Problemas De Hiller

INGENIERÍA INDUSTRIAL

PROBLEMAS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I ROMERO ROJAS, Dennis Alfredo 1.

Suponga que una persona acaba de heredar $6000 y que desea invertirlos. Al oír esta noticia dos amigos distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno planeado por cada amigo. En ambos casos, la inversión significa dedicar un poco de tiempo el siguiente verano, al igual que invertir efectivo. Con el primer amigo al convertirse en socio completo tendría que invertir $5000 y 400 horas, y la ganancia estimada (ignorando el valor del tiempo) sería $4500. Las cifras correspondientes a la proposición del segundo amigo son $4000 y 500 horas, con una ganancia estimada de $4500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirían entrar en el negocio con cualquier fracción de la sociedad; la participación en las utilidades será proporcional a esa fracción. Como de todas maneras esta persona está buscando un trabajo interesante para el verano (600 horas a lo sumo), ha decidido participar en una o ambas propuestas, con la combinación que maximice la ganancia total estimada. Es necesario resolver el problema de obtener la mejor combinación. a) b) c) d)

2.

Describa la analogía entre este problema y el de la Wyndor Glass Co. que se presentó en la sección 3.1. Después construya una tabla similar a la 3.2, identificando tanto las actividades como los recursos. Formule el modelo de programación lineal para este problema. Resuelva este modelo con una gráfica. ¿Cuál es la ganancia total estimada? Indique por qué parece que cada una de las cuatro suposiciones de programación lineal se satisface razonablemente en este problema. ¿Está en duda alguna de las suposiciones? Si así es, ¿Qué puede hacerse para tomar en cuenta esto?

Una compañía manufacturera descontinuó la producción de cierta línea de productos no redituable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos, llámense productos 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción. Tipo de máquina

Tiempo disponible (en horas-máquina por semana)

Fresadora Torno Rectificadora

500 350 150

El número de horas-máquina que se requiere para cada producto es: Coeficiente de productividad (en horas-máquina por unidad) Tipo de máquina Fresadora Torno Rectificadora

Producto 1

Producto 2

Producto 3

9 5 3

3 4 0

5 0 2

El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25, respectivamente, para los productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia. Formule el modelo de programación lineal para este problema. 10.

Un granjero cría cerdos para venta y desea determinar qué cantidades de los distintos tipos de alimento debe dar a cada cerdo para cumplir requisitos nutricionales a un costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada clase de ingrediente nutritivo básico contenido en un kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos nutricionales diarios y los costos de los alimentos:

Ingrediente nutricional

Kilogramo de maíz

Kilogramo de grasas

Kilogramo de alfalfa

Carbohidratos Proteínas Vitamínas

90 30 10

20 80 20

40 60 60

Costo (c)

42

36

30

Requerimiento mínimo diario 200 180 150

Formule el modelo de programación lineal para este problema. 11.

Cierta compañía tiene tres plantas con un exceso en su capacidad de producción. Las tres pueden fabricar un determinado producto y la gerencia ha decidido usar parte de la capacidad adicional para esto. El producto puede hacerse en tres tamaños: grande, mediano y chico, que darán una ganancia neta de $420, $360 y $300, respectivamente. Las plantas tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750, 900 y 450 unidades diarias cada una, sin importar el tamaño o la combinación de tamaños de que se trate. La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone también una limitación en las tasas de producción del nuevo producto. Se cuenta con 13000, 12000 y 5000 pies cuadrados de espacio en las plantas 1, 2 y 3, para los materiales en proceso de la producción diaria de este producto. Cada unidad grande, mediana y chica que se produce requiere 20, 15 y 12 pies cuadrados, respectivamente. Los pronósticos de mercado indican que se pueden vender 900, 1200 y 650 unidades diarias, correspondientes a los tamaños grandes, mediano y chico. Con el fin de mantener una carga de trabajo uniforme entre las plantas y para conservar alguna flexibilidad, la gerencia ha decidido que la producción adicional que se les asigne emplee el mismo porcentaje de la capacidad adicional con que cuentan. El gerente quiere saber cuántas unidades de cada tamaño debe producir en cada planta para maximizar la ganancia. Formule el modelo de programación lineal para este problema.

12.

Una familia campesina es propietaria de 125 acres y tiene fondos por $40,000 para invertir. Sus miembros pueden producir un total de 3500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno (mediados de septiembre a mediados de mayo) y 4000 horas-hombre durante el verano. En caso de que no se necesite una parte de estas horas-hombre, los jóvenes de la familia las emplearán para trabajar en un campo vecino por $5.00 la hora durante los meses de invierno y por $6,00 la hora en el verano. Pueden obtener el ingreso en efectivo a partir de tres tipos de cosecha y dos tipos de animales de granja: vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no se necesita inversión, pero cada vaca requerirá un desembolso de $1,200 y cada gallina costará $9.

Cada vaca necesita 1.5 acres, 100 horas-hombre durante el invierno y otras 50 horas-hombre en el verano; cada una producirá un ingreso anual neto de $1000 para la familia. Las cifras correspondientes para cada gallina son nada de terreno, 0.6 horas-hombres en el invierno, 0.3 horas-hombre en el verano y un ingreso anual neto de $5. Caben 3000 gallinas en el gallinero y el corral limita el ganado a un máximo de 32 vacas. Las estimaciones de las horas-hombres y el ingreso por acre plantado con cada tipo de cosecha son: Soya Horas-hombre en invierno Horas-hombre en verano Ingreso neto anual ($)

20 50 600

Maíz 35 75 900

Avena 10 40 450

La familia quiere determinar cuántos acres debe sembrar con cada tipo de cosecha y cuántas vacas y gallinas debe mantener para maximizar su ingreso neto. Formule el modelo de programación lineal para este problema.

13.

Un avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero. Estos compartimientos tienen un límite de capacidad tanto en peso como en espacio. Los datos se resumen en seguida: Compartimiento

Delantero Central Trasero

Capacidad de peso (toneladas)

Capacidad de espacio (pies cúbicos)

12 18 10

7000 9000 5000

Para mantener el avión balanceado, el peso de la carga en los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su capacidad. Se tienen ofertas para los siguientes envíos en un vuelo próximo ya que se cuenta con espacio: Carga 1 2 3 4

Peso (toneladas) 20 16 25 13

Volumen (pies cúbicos/tonelada) 500 700 600 400

Ganancia ($/tonelada) 320 400 360 290

Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar qué cantidad de cada carga debe aceptarse (si se acepta) y cómo distribuirla en los compartimientos para maximizar la ganancia del vuelo. Formule el modelo de programación lineal para este problema. 14.

Un inversionista tiene oportunidad de realizar las actividades A y B al principio de cada uno de los próximos cinco años (llámense años 1 a 5). Cada dólar invertido en A al principio de cualquier año retribuye $1.40 (una ganancia de $0.40) 2 años después (a tiempo para la reinversión inmediata). Cada dólar invertido en B al principio de cualquier año retribuye $1.70, 3 años después. Además, las actividades C y D estarán disponibles para inversión una sola vez en el futuro. Cada dólar invertido en C al principio del año 2 da $1.90 al final del año 5. Cada dólar invertido en D al principio del año 5 retribuye $1.30 al final de ese año. El inversionista tiene $60000 para iniciar y desea saber cuál plan de inversión maximiza la cantidad de dinero acumulada al principio del año 6. Formule el modelo de programación lineal para este problema.

G.D. EPPEN, F.J. GOULD, C.P. SCHMIDT. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES EN LA CIENCIA ADMINISTRATIVA. Ed. Prentice Hall, México 1992, pág. 30. 2-3

Un problema de producción (véase el Ejemplo 1) La compañía Swelte Glove manufactura y vende dos productos. La compañía obtiene una utilidad de $12 por unidad del producto 1 y $4 por unidad del

producto 2 que se vendan. La horas de trabajo que se requieren para los productos en cada uno de los tres departamentos de producción se sintetizan en la figura 2.30. Los supervisores de estos departamentos han estimado que durante el próximo mes estarán disponibles las siguientes horas de trabajo: 800 en el departamento 1, 600 en el departamento 2 y 200 en el departamento 3. Suponiendo que la compañía quiera maximizar las utilidades, formule el modelo de programación lineal de este problema. FIGURA 2.30 Datos de producción de la compañía Swelte Glove PRODUCTO

2-4

Departamento

1

2

1 2 3

1 1 2

2 3 3

Un problema de producción Wood Walker es un fabricante de muebles independiente. Hace tres estilos diferentes de mesas, A, B, C. Cada modelo de mesa requiere de una cierta cantidad de tiempo para el corte de las piezas, su montajes y pintura. Wood puede vender todas las unidades que fabrica. Es más, el modelo B se puede vender sin pintar. Utilizando los datos en la figura 2.31, formulen un modelo PL que ayude a Wood a determinar la mezcla de productos que maximizará sus utilidades. FIGURA 2.31 Datos de Wood Walker MODELO

TIEMPO DE ENSAMBLADO

UTILIDAD POR MESA

CORTE

POR MESA (Horas)

PINTURA

A B B sin pintar C

1 2 2 3

2 4 4 7

4 4 0 5

Capacidad (horas/mes)

200

300

150

$35 40 20 50

2.6 Un problema de mezclas (véase el Ejemplo 2) Dong E. Starr, gerente de la Heavenly Dog Kennels, Inc., proporciona albergues para cachorros. El alimento para perros Kennel se hace mezclando dos productos de soya para obtener una "dieta para perros bien balanceada". En la figura 2.33 se dan los datos para los dos productos. Si Dong quiere asegurarse de que sus perros reciban al menos 8 onzas de proteínas y 1 onza de grasa diariamente, ¿cuál sería la mezcla de costo mínimo de los dos alimentos para perro?

FIGURA 2.33 Dieta bien balanceada para perros PRODUCTO DE SOYA

COSTO POR ONZA

PROTEINA (%)

GRASAS (%)

1 2

$0.60 0.15

50 20

10 20

2.10

Planeación de dietas (véase el Ejemplo 2) Pearce Dears, un antiguo entrenador de grupos de choque, se ha convertido en avicultor. Desea alimentar a sus animales en forma tal que se cubran sus necesidades de nutrición a un costo mínimo. Parece estar estudiando el uso de maíz, soya, avena y alfalfa. En la figura 2.38 se muestra la información dietética importante por libra de grano (por ejemplo, 1 libra de maíz proporciona 15 miligramos de proteína). Elaboren un modelo PL para determinar la mezcla dietética que satisfará los requisitos diarios a un costo mínimo. FIGURA 2.38 Nutrientes por libra de grano NUTRIENTE

MAIZ

SOYA

AVENA

ALFALFA

Proteína (mg) calcio (mg) Grasas (mg)

15 40 20

30 10 50

15 40 8

7 45 25

Calorías

850

1500

1200

4000

Costo por libra

70

45

40

90

NECESIDADES DIARIAS Mínimo de 50 mg Mímino de 150 mg Máximo de 120 mg Mínimo de 25 mg Mínimo de 5000 calorías

2-11 Dos productos son manufacturados en tres máquinas. Una libra de cada producto requiere un número específico de horas en cada máquina, como se presenta en la figura 2.39. El total de horas disponibles de las máquinas 1, 2 y 3 corresponde, respectivamente, a 10, 16 y 12. Las utilidades por libra de los productos 1 y 2 son 4 y 3, respectiva-mente. Defina las variables de decisión y formule el problema como programa lineal para la maximización de las utilidades. FIGURA 2.39 Datos de tiempo de máquina (horas) PRODUCTO MAQUINA

1

2

1 2 3

3 1 5

2 4 3

2.19 Administración agrícola. Una empresa opera cuatro granjas de productividad comparable. Cada granja tiene una cierta cantidad de acres útiles y un número de horas disponibles para plantar y atender los cultivos. Los datos para la siguiente temporada se muestran en la figura 2.48. La organización está pensando en sembrar tres cultivos, que difieren, según se muestra en la figura 2.49.

FIGURA 2.48 Datos de área y trabajo por granja GRANJA

AREA UTILIZABLE

HORAS DE TRABAJO DISPONIBLES POR MES

1 2 3

500 900 300

1700 3000 900

4

700

2200

Por otra parte, el área total que puede ser destinada a cualquier cultivo particular está limitada por los requerimientos de equipo de cultivo. Con el objeto de mantener, a grandes rasgos, cargas de trabajo uniformes entre las granjas, la política de la administración es que el porcentaje del área aprovechada debe ser el mismo en cada granja. Sin embargo, se puede cultivar cualquier combinación de las plantaciones en tanto se satisfagan todas las restricciones (incluyendo el requerimiento de carga de trabajo uniforme). La administración desea saber cuántos acres de cada cultivo deben sembrarse en las respectivas granjas con el objeto de maximizar las utilidades. Formule esto como un modelo de programación lineal. FIGURA 2.49 Datos de área, trabajo y utilidad por cultivo CULTIVO

AREA MAXIMA

A B C

HRS. DE LABOR REQUER. AL MES POR ACRE

700 800 300

UTILIDAD ESPERADA POR ACRE

2 4 3

$500 200 300

HAMDY A. TAHA, INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, Ed. Alfaomega, México, 1991, pág. 27. 2-2

un granjero posee 200 cerdos que consumen 90 lb de comida especial todos los días. El alimento se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya con las siguientes composiciones: Libras por libra de alimento Alimento

Calcio

Maíz Harina de soya

0.001 0.002

Proteína

Fibra

0.09 0.60

Costo ($/lb)

0.02 0.06

0.20 0.60

Los requisitos diarios de alimento de los cerdos son: 1. Cuando menos 1% de calcio 2. Por lo menos 30% de proteína 3. Máximo 5% de fibra Determine la mezcla de alimentos con el mínimo de costo por día. 2-3

Un pequeño banco asigna un máximo de $20,000 para préstamos personales y para automóvil durante el mes siguiente. El banco cobra una tasa de interés anual del 14% a préstamos personales y del 12% a préstamos para automóvil. Ambos tipos de préstamos se saldan en período de tres años. El monto de los préstamos para automóvil debe ser cuando menos dos veces mayor que el de los préstamos personales. La experiencia pasada ha demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen el 1% de todos los préstamos personales. ¿Cómo deben asignarse los fondos?

2-5

Una planta armadora de radios produce dos modelos, HiFi-1 y HiFi-2, en la misma línea ensamble. La línea de ensamble consta de tres estaciones. Los tiempos de ensamble en las estaciones de trabajo son: Minutos por unidad de Estación de trabajo

HiFi-1

HiFi-2

1 2

6 5

4 5

3

4

6

Cada estación de trabajo tiene una disponibilidad máxima de 480 minutos por día. Sin embargo, las estaciones de trabajo requieren mantenimiento diario, que contribuye al 10%, 14% y 12% de los 480 minutos totales de que se dispone diariamente para las estaciones 1, 2 y 3, respectivamente. La compañía desea determinar las unidades diarias que se ensamblarán de HiFi-1 y HiHi-2 a fin de minimizar la suma de tiempos no usados (inactivos) en las tres estaciones. 2-6

Una compañía de productos electrónicos produce dos modelos de radio, cada uno en una línea de producción de volumen diferente. La capacidad diaria de la primera línea es de 60 unidades y la de la segunda es de 75 radios. Cada unidad del primer modelo utiliza 10 piezas de cierto componente electrónico, en tanto que cada unidad del segundo modelo requiere ocho piezas del mismo componente. La disponibilidad diaria máxima del componente especial es de 800 piezas. La ganancia por unidad de los modelos 1 y 2 es $30 y $20, respectivamente. Determine la producción diaria óptima de cada modelo de radio.

2-7

Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquinas. El tiempo por máquina asignado a los dos productos está limitado a 10 horas por día. El tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto son: Minutos por unidad Producto 1 2

Máquina 1 10 5

Máquina 2

Máquina 3

6 20

8 15

Ganancia $2 $3

Determine la combinación óptima de los dos productos 2-10

Una compañía elabora dos tipos de sombreros. Cada sombrero del primer tipo requiere dos veces más tiempo de mano de obra que un producto del segundo tipo. Si todos los sombreros son exclusivamente del segundo tipo, la compañía puede producir un total de 500 unidades al día. El mercado limita las ventas diarias del primero y segundo tipos a 150 y 200 unidades. Supóngase que la ganancia que se obtiene por producto es $8 para el tipo 1 y $5 para el tipo 2. Determine el número de sombreros de cada tipo que deben elaborarse para maximizar la ganancia.

2-26

Se elaboran cuatro productos en forma sucesiva en dos máquinas. Los tiempos de manufactura en horas por unidad de cada producto se tabulan para las dos máquinas:

Tiempo por unidad (hr) Máquina 1 2

Producto 1 2 3

Producto 2 3 2

Producto 3 4 1

Producto 4 2 2

El costo total de producción de una unidad de cada producto está basado directamente en el tiempo de la máquina. Supóngase que el costo por horas de las máquinas 1 y 2 es $10 y $15, respectivamente. El total de horas presupuestadas para todos los productos en las máquinas 1 y 2 son 500 y 380. Si el precio de venta unitario de los productos 1, 2, 3 y 4 son $65, $70, $55 y $45, formule el problema como un modelo de programación lineal para maximizar la ganancia neta total. 2-27

Un fabricante produce tres modelos (I, II y III) de cierto producto. El utiliza dos tipos de materia prima (A y B), de los cuales se dispone de 4000 y 6000 unidades, respectivamente. Los requisitos de materias primas por unidad de los tres modelos son: Requisitos por unidad del modelo dado Materia prima

I

II

III

A B

2 4

3 2

5 7

El tiempo de mano de obra para cada unidad del modelo I es dos veces mayor que el del modelo II y tres veces mayor que el del modelo III. Toda la fuerza de trabajo de la fábrica puede producir el equivalente de 1500 unidades del modelo I. Un estudio del mercado indica que la demanda mínima de los tres modelos es 200, 200 y 150 unidades, respectivamente. Sin embargo, las razones del número de unidades producidas deben ser iguales a 3:2:5. Supóngase que la ganancia por unidad de los modelos I, II y III es $30, $20 y $50, respectivamente. Formule el problema como un modelo de programación lineal para determinar el número de unidades de cada producto que maximizarán la ganancia. 2-30

Considere el problema de asignar tres tipos de avión a cuatro rutas. La tabla ofrece los datos pertinentes: Número de viajes diarios en la ruta Tipo de avión

Capacidad (pasajeros)

Número de avión

1

2

3

4

1 2 3

50 30 20

5 8 10

3 4 5

2 3 5

2 3 4

1 2 2

100

200

Número diario de clientes

90

120

Los costo asociados son Costo de operación por viaje en la ruta dada ($) Tipo de avión

1

2

3

4

1 2 3

1000 800 600

1100 900 800

1200 1000 800

1500 1000 900

Costo de penalización por cliente

40

50

45

70

Formule el problema como un modelo de programación lineal.

2-32

Dos aleaciones, A y B, están hechas de cuatro metales diferentes: I, II, III y IV, según las especificaciones siguientes: Aleación

Especificaciones

A

Cuando mucho el 80% de I Cuando mucho el 30% de II Por lo menos el 50% de IV

B

Entre 40% y el 60% de II Cuando menos el 30% de III A lo más el 70% de IV

Los cuatro metales se extraen de tres minerales metálicos diferentes:

Capacidad máxima (ton)

Mineral

1 2 3

1000 2000 3000

Constituyentes (%) Precio ($/ton) I

II

III

IV

Otros

20 10 5

10 20 5

30 30 70

30 30 20

10 10 0

30 40 50

Suponiendo que los precios de venta de las aleaciones A y B son $200 y $399 por tonelada, formule el problema como un modelo de programación lineal. [Sugerencia: supóngase que Xijk representa el número de toneladas del i-ésimo metal obtenido del jésimo mineral metálico y asignado a la késima aleación]. JESUS ARREOLA RISA, ANTONIO ARREOLA RISA, PROGRAMACIÓN LINEAL, UNA INTRODUCCIÓN A LA TOMA DE DECISIONES, ITESM, México 1986. 2-7

La empresa "Triturados y Derivados, S.A." (TRIDESA), desea producir tres diferentes tipos de block de concreto I, II, III. Esta compañía cuenta con el siguiente suministro de materiales diariamente: 12,000 kg de cemento, 8000 kg de arena, 600 kg de grava y 400 litros de agua. Adicionalmente, dispone de 300 horas-máquina por día. En la tabla mostrada a continuación, se proporcionan las estimaciones que TRIDESA ha elaborado del consumo necesario de cada elemento, para fabricar cada uno de los tipos de block, así como de la utilidad unitaria que obtiene en la venta de los mismos.

Consumo de elemento/block Block (tipo) I II III

Cemento (kg) 1.50 1.20 0.80

Arena (kg)

Grava (kg)

Agua (litros)

Horas máquina

Utilidad ($/unidad)

0.80 0.60 1.00

0.40 0.60 0.80

0.30 0.40 0.50

0.004 0.002 0.010

6 8 9

Basándose en la información anterior, se ha pedido a la dirección de Ingeniería Industrial, determinar el número de blocks a fabricar diariamente para maximizar la utilidad. Formular como un modelo de PL. 2-8

Un fabricante de radios portátiles está interesado en conocer cuantas unidades de los tipos de radio que manufactura, deben de producirse durante el siguiente período de tiempo para maximizar la utilidad. Basándose en el desenvolvimiento pasado, él estima que la demanda mínima para cada tipo de radio: A, B, C y D, será de 250, 300, 150 y 200 unidades, respectivamente. El fabricante tiene disponibles 1000 unidades de tiempo y 2000 unidades de materia prima, para el siguiente período. A continuación se presenta la información que el fabricante considera esencial para resolver el problema. Tipo de radio

Tiempo

Materia Prima

Precio de venta unitario

Costo de venta unitario

A B C D

2.0 3.0 4.0 1.5

3.0 2.2 2.0 2.0

300 420 360 250

200 280 240 150

en donde, por ejemplo, se requieren 3.0 unidades de tiempo y 2.2 unidades de materia prima para fabricar un radio de tipo B. formular como un modelo de PL. 2-9

"La Regiomontana" es una fábrica que produce sombreros en tres diferentes modelos. Su capacidad de producción mensual, es como sigue: Modelo

Capacidad de producción (sombreros/mes)

Norteño Lona Articela

650 900 700

La producción mensual es repartida en tres distribuidoras que se localizan en el área metropolitana de la ciudad. Los costos de transporte unitarios se muestran más bajo, para cada modelo y para cada distribuidora. Distribuidora Modelo Norteño Lona Articela

Zona Norte

Zona Rosa

Zona Sur

$3.0 2.5 2.0

$5.0 4.8 3.4

$7.0 5.8 5.2

Los requerimientos por mes de cada distribuidora son los siguientes: Distribuidora Zona Norte Zona Rosa Zona Sur

Demanda (sombreros/mes) 750 900 600

Formular un modelo de PL que minimice los costos de transporte.

2-10

En una compañía minera, se está estudiando la posibilidad de comprar concentrados de mineral de plomo, para los hornos de sinterización, los cuales requieren de 1000 toneladas diarias, la cama de material sinterizado, se le debe de alimentar cuando mucho un 70% de plomo y un 15% de escoria, y cuando menos un 15% de plata. La empresa tiene como posibles proveedores a cuatro Molinos, los cuales proporcionaron la siguiente información: Composición (% de elemento/ton. de concentrado) Molino

Plomo

Plata

Escoria

Costo ($/ton)

1 2 3 4

65 70 70 90

15 10 20 5

20 20 10 5

50,000 40,000 70,000 65,000

Formular un modelo de PL para minimizar el costo total de la carga diaria de los hornos de sinterización.

2-13

En la refinería de una compañía petrolera, se producen tres grados de gasolina MEXPF-82, MEXGASOL y SUPER. Para elaborar cada grado de gasolina, se mezclan gasolina pura, octano y aditivos. Un litro de MEXOE-82 requiere 22% de gasolina pura, 48% de octano y 30% de aditivo. un litro de MEXGASOL, se compone de 45% de gasolina pura, 30% de octano y 25% de aditivo. Un litro de SUPER contiene 70% de gasolina pura, 25% de octano y 5% de aditivos. La empresa estima que la utilidad por litro que obtiene en cada tipo de gasolina es de $6 en MEXPE-82, $5 en MEXGASOL y $4 en SUPER. La empresa ha estimado la siguiente disponibilidad de los elementos a combinar. Elemento

Disponibilidad máxima (litro/mes)

Gasolina pura Octano Aditivo

6,000,000 2,000,000 1,000,000

Formular como un modelo de PL. 2-22

Un hospital está realizando estudios de Ingeniería Industrial para optimizar los recursos con que cuenta. Una de las principales preocupaciones del Director del hospital es la del personal. El problema que actualmente enfrenta es con el número de enfermeras en la sección de "Emergencias". Para tal efecto, mandó realizar un estudio estadístico que arrojó los resultados siguientes:

Hora

Número mínimo requerido de enfermeras

0a4 4a8 8 a 12 12 a 16 16 a 20 20 a 24

40 80 100 70 120 50

Cada enfermera de acuerdo a la Ley Federal del Trabajo, debe trabajar 8 horas consecutivas por día. Formular el problema de contratar el mínimo de enfermeras que satisfagan los requerimientos arriba citados, como un modelo de PL. 2-23

Una compañía cortadora de cartón recibió 3 órdenes para cortar rollos a los anchos y largos indicados a continuación. Orden

Ancho (metros)

Largo (metros)

A B C

0.50 0.70 0.90

1000 3000 2000

Esta empresa compra el cartón a ser cortado en dos anchos estándar: 1 y 2 metros, y posteriormente lo corta de acuerdo a lo especificado por cada orden. Los rollos estándar no tienen una longitud definida, dado que para propósitos prácticos el cartón puede pegarse para cumplir con el largo requerido. Formular el problema de determinar los patrones óptimos de corte que minimicen el desperdicio como un modelo de PL (todo sobrante menor de 0.50 metros de ancho es considerado desperdicio).

ROSCOE DAVIS, PATRICK McKEOWN, MODELOS CUANTITAIVOS PARA ADMINISTRACIÓN, Ed. Iberoamerica, USA, 1986 México. 2.

La EZ Company fabrica tres productos de última moda, a los cuales el departamento de mercadotecnia ha denominado Mad, Mud y Mod. Estos tres productos se fabrican a partir de tres ingredientes los cuales, por razones de seguridad, se han designado con nombres en código que son Alpha, Baker y Charlie. Las libras de cada ingrediente que se requieren para fabricar una libra de producto final se muestran en la tabla P3-2 TABLA P3-2 Ingrediente Producto

Alpha

Baker

Charlie

Mad Mud Mod

4 3 2

7 9 2

8 7 12

La empresa cuenta respectivamente con 400, 800 y 1000 libras de los siguientes Alpha, Baker y Charlie. Bajo las condiciones actuales del mercado, las contribuciones a las utilidades para los productos son $18 para Mad, $10 para Mud y $12 para Mod. Planteee un problema de PL para determinar la cantidad de cada uno de los productos de última moda que deben fabricarse. 3.

La Clear-Tube Company fabrica partes electrónicas para aparatos de televisión y radio. La compañía ha decidido fabricar y vender radios de AM/FM y tocacinta. Ha construido una planta que puede operar 48 hora semanales con gastos fijos de $10,000 por semana. La producción de un radio AM/FM requiere 2 horas de mano de obra y la producción de un tocacintas requiere 3 horas de mano de obra. Cada radio contribuye con $20 a las utilidades y cada tocacintas con $25. El departamento de mercadotecnia de la Clear-Tube ha determinado que lo máximo que puede venderse por semana son 150 radios y 100 tocacintas. Plantee un problema de PL para determinar la mezcla óptima de producción que maximice la contribución a las utilidades.

4.

La Lord Manufacturing Company fabrica 3 productos para el creciente mercado de las computadoras: diskettes, cassetes de cintas y cartuchos para limpiar unidades de disco. La contribución unitaria a las utilidades para cada producto se muestra en la tabla P3-4a. TABLA P3-4a Producto

Contribución a las utilidades

Diskette Cassette Paquete de limpieza

$2 $1 $3.50

Cada uno de esos productos pasa a través de tres centros de manufactura y prueba como parte del proceso de producción. Los tiempos que se requieren en cada uno de los centros para fabricar una unidad de cada uno de los tres productos se muestran en la tabla P3-4b. Horas por unidad Producto Diskette Cassette Paquete de limpieza

Centro 1

Centro 2

Centro 3

3 4 2

2 1 2

1 3 2

En la tabla P3-4c se muestran el tiempo disponible para la siguiente semana y los costos fijos para cada uno de los centros.

Centro 1: Centro 2: Centro 3:

Tiempo

Gastos fijos

60 horas 40 horas 80 horas

$1000 $2000 $1500

Plantee un problema de PL para programar la producción de manera que se maximice la contribución a las utilidades. 5.

6.

La Ware Farms del Valle Schoharie, cerca de Albany, N.Y., cultiva brócoli y coliflor en 500 acres de terrenos en el valle. Un acre de brócoli produce $500 de contribución a las utilidades y la contribución de un acre de coliflor es de $1000. Debido a reglamentos gubernamentales, no pueden cultivarse más de 200 acres de brócoli. Durante la temporada de plantación, habrá disponibles 1200 horas-hombre de tiempo de plantadores. Cada acre de brócoli requiere 2-5 horas-hombre y cada acre de coliflor requiere 5.5 horas-hombre. Plantee un problema de PL para determinar cuántos acres de brócoli y cuántos de coliflor deben plantarse para maximizar la contribución a las utilidades. La Pro-Shaft Company fabrica y vende tres líneas de raquetas de tenis: A, B y C: A es una raqueta "estándar", B y C son raquetas "profesionales". El proceso de manufactura de las raquetas hace que se requieran dos operaciones de producción; todas las raquetas pasan a través de ambas operaciones. Cada raqueta requiere 3 horas de tiempo de producción en la operación 1. En la operación 2 la raqueta A requiere 2 horas de tiempo de producción; la raqueta B requiere 4 horas y la C, 5. La operación 1 tiene 50 horas de tiempo semanal de producción y la operación 2 tiene suficiente mano de obra para operar 80 horas a la semana. El grupo de mercadotecnia de la Pro-Shaft ha proyectado que la demanda de la raqueta estándar no será de más de 25 por semana. Debido a que las raquetas B y C son de calidad similar, se ha pronosticado que la demanda combinada para éstas será, en total, de diez o más, pero no más de 30 por semana. La venta de la raqueta A da como resultado $7 de utilidades, en tanto que las raquetas B y C proporcionan utilidades de $8.00 y $8.50, respectivamente. ¿Cuántas raquetas del tipo A, B y C deben fabricarse por semana, si la compañía busca maximizar sus utilidades? Plantee el problema como un modelo estándar de PL.

7.

La Higgins Company fabrica piezas de metal de alta precisión que se utilizan en los motores de automóviles de carrera. La pieza se fabrica en un proceso de forjado y refinación y son necesarias cantidades mínimas de diversos metales. Cada pieza requiere 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de hierro colado. Existen 4 tipos de mineral disponible para el proceso de forjado y reafinación. El mineral de tipo 1 contiene 4 onzas de plomo, 2 de cobre y 2 de acero colado por libra. Una libra de mineral de tipo 2 contiene 2 onzas de plomo, 6 de cobre y 6 de acero colado. Una libra del mineral tipo 3 contiene 1 onza de plomo, 4 de cobre y 4 de acero colado. Por último, el mineral de tipo 4 contiene ½ onza de plomo, 1 de cobre y 8 onzas de acero colado por libra. El costo por libra para los cuatro minerales en $20, $30, $60 y $50, respectivamente. A la Higgins le gustaría mezclar los minerales de manera que se satisfagan las especificaciones de las piezas y se minimice el costo de fabricarlas. Defina las variables de decisión y plantee el apropiado modelo de PL. 8. La Georgia Outdoors Company fabrica tres tipos de combinaciones energéticas de semillas que se venden a mayoristas los cuales a su vez los venden a expendios al menudeo. Los tres tipos son normal, especial y extra y se venden en $1.50, $2.20 y $3.50 por libra, respectivamente. Cada mezcla requiere los mismos ingredientes: maní, pasas y algarrobo. Los costos de estos ingredientes son: Maní: $0.90 por libra Pasas: $1.60 por libra Algarrobo: $1.50 por libra Los requerimientos de las mezclas son: Normal: cuando menos 5% de cada ingrediente Especial: Cuando menos 20% de cada ingrediente y no más de 50% de cualquiera de ellos. Extra: Cuando menos 25% de pasas y no más de 25% de maní. Las instalaciones de producción hacen que haya disponibles por semana como máximo 1000 libras de maní, 2000 de pasas y 3000 de algarrobo. Existe un costo fijo de $2000 para la fabricación de las mezclas. Existe también la condición de que la mezcla normal debe limitarse al 20% de la producción total. Plantee un problema de PL para maximizar las utilidades. 9.

Los supervisores de la producción de una refinería deben programar dos procesos de mezclado. Cuando se realiza el proceso 1 durante una hora se consumen 100 barriles de petróleo nacional y 300 barriles de petróleo importado. De manera similar, cuando se efectúa el proceso 2 durante una hora, se consumen 100 barriles de petróleo nacional y 200 barriles de petróleo importado. Con respecto a la producción, el proceso 1 genera 4000 galones de gasolina y 1750 galones de petróleo para uso doméstico por hora de operación. El proceso 2 genera 3500 galones de gasolina y 2250 galones de petróleo para uso doméstico, por hora. Para la siguiente corrida de producción, existen disponibles 1200 barriles de petróleo nacional y 1800 barriles de petróleo importado. Los contratos de ventas exigen que se fabriquen 28000 galones de gasolina y 12000 galones de petróleo para consumo doméstico. Las contribuciones a las utilidades por hora de operación son $1000 y $1100 para los procesos 1 y 2, respectivamente. a) Plantee un modelo de programación lineal para determinar el programa de producción que maximice la contribución total. Asegúrese de indicar las unidades de medición para sus variables de decisión y las unidades en las que se mide cada restricción. b) El U.S. Department of Energy puede emitir un dictamen que limite la producción total de gasolina a no más de la mitad del petróleo que se fabrique para uso doméstico. ¿Qué restricción debe añadirse al modelo para plantear esta condición?

11.

La H.R. Rusell Manufacturing Company es un fabricante importante de equipo estereofónico. En la actualidad, los administradores de la Rusell están considerando añadir una nueva línea de productos a su grupo existente de sistemas estereofónicos. La nueva línea incluirá cuatro nuevos productos. La Rusell tiene dos plantas en las que puede fabricar la nueva línea de productos. El proceso de manufactura en la planta no. 1 tiene una estructura algo diferente al de la planta no 2. En la plana no, 1 se requieren tres procesos de fabricación, en la planta no. 2 sólo se requieren dos procesos. Debido a que las operaciones de manufactura de las dos plantas difieren, sus costos variables son también diferentes. Por tanto, tal vez reditúe más fabricar un artículo de la línea en una de las plantas y uno o más de los restantes en la otra. El precio de venta y los costos variables, así como también la demanda máxima para los nuevos productos, se muestran en la tabla P3-11a.

En la tabla P3-11b se describen las operaciones de manufactura para las dos plantas (los números de la tabla expresan horas de tiempo de fabricación). El gerente de la planta no 1 ha señalado que pueden dedicarse las siguientes horas de capacidad mensual de producción para la nueva línea de productos: operación A 30,000 horas; operación B 10,000 horas; operación C 16,000 horas. En cada una de las dos operaciones de la planta no 2 existen disponibles 20,000 horas de tiempo de producción. A la Rusell le gustaría determinar la cantidad de cada uno de los 4 tipos de productos que deben fabricarse cada mes en las dos plantas, de manera que se maximice la contribución de las utilidades de la compañía. a) Planee el problema como modelo de PL. b) Suponga que los administradores de primer nivel de la Rusell han decidido que cada planta fabrique el 50% de la demanda para cada producto. Plantee dos modelos que pudieran representar esta política. ¿Qué podría hacer usted para convencer a los administradores de la Rusell que esa no es una política óptima para la compañía?. TABLA P3-11a Producto Precio de venta y demanda

No. 1

No. 2

No. 3

No. 4

Precio de venta costos variables: planta no. 1 Costos variables: planta no. 2 Demanda (unidades)

$200 $160 $220 1000

$300 $270 $300 3000

$250 $240 $200 4000

$280 $270 $220 6000

TABLA P3-11b Producto

Planta no. 1: Operación A Operación B Operación C Planta no. 2: Operación X Operación Y

15.

No. 1

No. 2

No. 3

No. 4

6.0 18.0 2.0

7.2 20.0 2.0

4.0 16.0 1.0

7.0 18.0 1.0

8.0 10.0

8.0 16.0

4.0 8.0

8.0 6.0

El distrito escolar del Condado Clark tiene dos escuelas en nivel medio superior que atienden las necesidades del condado. La escuela no. 1 tiene una capacidad de 6500 estudiantes y la escuela no. 2 tiene una capacidad para 4500. El distrito escolar está subdividido en 6 áreas. Cada una de ellas tiene tamaño diferente (población de estudiantes) y una combinación distinta de alumnos de minorías. En la tabla P3-15a se describen las seis áreas respectivas: TABLA P3-15a Area

Población total de estudiantes

Número de estudiantes de minoría

A B C D E F

1900 2475 1000 2150 1800 1400

200 1600 490 450 870 590

Un plan en contra de la discriminación, ordenado por un tribunal, ha llegado al distrito y especifica que cada escuela debe tener inscritos por lo menos 32% de alumnos de minorías. Ninguna escuela puede tener inscritos más del 45% de alumnos de minorías. Para tratar de cumplir con el dictamen del tribunal, el distrito desea minimizar el número de millas que deben viajar en autobús escolar los estudiantes. En la tabla P3-15b se muestran datos que indican las distancias (millas) entre las diversas áreas y las escuelas correspondientes. si es posible, al distrito le gustaría evitar que los estudiantes viajaran más de 2.8 millas. Plantee un modelo de PL que le permita al distrito cumplir con el plan de no discriminación y la restricción del transporte.

17.

Una cooperativa agrícola grande del suroeste de los Estados Unidos de Norteamérica opera cuatro granjas. La producción de cada granja está limitada por la cantidad de agua disponible para irrigación y por el número de acres disponibles para cultivo. Los datos de la tabla P3-17a describen las granjas. Normalmente, la cooperativa cultiva 3 tipos de productos, aunque cada una de las granjas no necesariamente cultiva todos ellos. Debido a la limitación en la disponibilidad de equipo para cosechar, existen restricciones sobre el número de acres de cada producto que se cultivan en cada granja. Los datos de la tabla P3-17b reflejan el máximo de acres de cada cultivo que pueden producirse en cada granja. El agua que se requiere (expresada en millares de pies cúbicos por acre) para los respectivos cultivos son: 6, 5 y 4. las utilidades que se proyectan por acre para cada uno de los tres cultivos son $500, $350 y $200, respectivamente. Para mantener una carga de trabajo equilibrada entre las 4 granjas, la cooperativa ha adoptado la política de hacer que en cada granja se cultive un porcentaje igual de terreno disponible. Plantee un modelo de PL para el problema, que permita la cooperativa determinar la cantidad(acres) de cada cultivo que deben plantearse en cada granja para que se maximicen las utilidades totales esperadas para la cooperativa. TABLA P3-17a Granja

Disponibilidad de agua (pies cúbicos)

Disponibilidad de tierra (acres)

1 2 3 4

480,000 1,320,000 370,000 890,000

450 650 350 500

TABLA P3-17b Cultivo A B C

20.

Granja 1 200 150 200

Granja 2 300 200 350

Granja 3 100 150 200

Granja 4 250 100 300

El gerente de la línea de producción de una empresa electrónica debe asignar personal a cinco tareas. Existen cinco operadores disponibles para asignarlos. El gerente de línea tiene a su disposición datos de prueba que reflejan una calificación numérica de productividad para cada uno de los cinco trabajos. Estos datos se obtuvieron a través de un examen de operación y prueba administrado por el departamento de ingeniería industrial (véase la tabla P3-20). Suponiendo que un operador puede ejecutar un solo trabajo, plantee un modelo que conduzca a la asignación óptima de tareas. TABLA P3-20 Número de trabajo Número de operador

1 2 3 4 5

21.

1

2

3

4

5

12 6 10 2 7

16 8 6 4 10

24 20 26 2 6

8 14 18 24 6

2 6 12 20 18

La Red Service Company se desenvuelve en el negocio de reparación de máquinas lavadoras y secadoras domésticas. la compañía da servicio a clientes en toda la ciudad. Tiene cinco empleados de servicio que viven en diferentes lugares de la ciudad. Con el objeto de ahorrar tiempo de manejo y costos al inicio de cada día, el personal de servicio se dirige directamente de sus casas a los lugares donde se les requiere. La tabla P3-21 presenta las distancias asociadas con los primeros cinco trabajos que deben llevarse a cabo. A cada empleado de servicio se le paga por conducir; por ello, la Reed desea minimizar la distancia extra de traslado. Planee el modelo apropiado de PL.

TABLA P3-20 Número de trabajo Empleado de servicio

1 2 3 4 5

22.

1

2

3

4

5

20 16 8 20 4

14 8 6 22 16

6 22 24 2 22

10 20 14 8 6

22 10 12 6 24

La Eat-A-Bite Fastfood Company opera un restaurante que funciona 24 horas al día. En la empresa trabajan diversas personas, y cada una de ellas lo hace 8 horas consecutivas por día. Debido a que la demanda varía durante el día, el número de empleados que se requiere varía con el tiempo. Con base en experiencias pasadas, la compañía ha proyectado el requerimiento mínimo de obra para cada período de 4 horas del día. Plante un modelo de PL que indique el número mínimo de empleados que se requerirán para atender las operaciones durante las 24 horas. TABLA P3-22 Tiempo 12:00 p.m. a 4:00 a.m. 4:00 a.m. a 8:00 a.m. 8:00 a.m. a 12:00 m 12:00 a.m a 4:00 p.m. 4:00 p.m. a 8:00 p.m. 8:00 p.m. a 12:00 m.

24.

Número mínimo de empleados que se requieren 3 5 10 6 10 8

La BL & C Paper Company fabrica papel y lo vende a su vez a vendedores comerciales. La compañía fabrica un rollo de papel "estándar" de 120 pulgadas de ancho. Sin embargo, no necesariamente todos los pedidos son para este ancho. Es frecuente que la compañía reciba pedidos para rollos más

angostos. Para satisfacer esos pedidos, los rollos más angostos se cortan de los rollos estándar. Para el mes siguiente, la compañía ha comprometido pedidos para el siguiente número de rollos: Ancho del rollo

Pedidos

80 plg. 70 plg. 60 plg. 50 plg.

1800 500 1200 1400

A la BL & C le gustaría determinar le número mínimo de rollos estándar que se requerirán para satisfacer esta demanda. Plantee un modelo de PL apropiado para el problema.

HEBERT MOSKOWITZ y GORDON WRINGHT, Investigación de Operaciones, Ed. Prentice-Hall, México 1982. 8.1

La Maine Snowmobile Company fabrica dos clases de máquinas, cada una requiere de una técnica diferente de fabricación. La máquina de lujo requiere de 18 horas de mano de obra, 9 horas de prueba y produce una utilidad de $400. La máquina estándar requiere de 3 horas de mano de obra, 4 horas de prueba y produce una utilidad de $200. Se dispone de 800 horas para manos de obra y 600 horas para prueba cada mes. Se ha pronosticado que la demanda mensual para el modelo de lujo no es más de 80 y de la máquina estándar no es más de 150. La gerencia desea saber el número de máquinas de cada modelo, que deberá producirse para maximizar la utilidad total. Formule este problema como un modelo de programación lineal.

8.2

La Texas Electronics Inc. está estudiando la posibilidad de agregar nuevos minicomputadores a su línea con el fin de incrementar sus utilidades. Tres nuevos computadores han sido diseñados y evaluados. Cada uno requerirá de una inversión de $300.000. El computador 1 tiene un valor esperado en las ventas de 50.000 unidades por año, con una contribución en las utilidades de $20 por unidad. Los computadores 2 y 3 tienen un valor esperado de ventas de 300,000 y 100,000 unidades, respectivamente, con contribuciones en la utilidad de $5 y $10. La TEI ha asignado 800 horas mensuales de tiempo de la planta técnica para estos nuevos productos. Los computadores 1, 2, 3 requieren 1, 0.2 y 0.5 horas técnicas por unidad respectivamente. El sistema de empaque y desechos serán los usados actualmente por la compañía. Este sistema puede empacar y desempacar como máximo 25,000 cajas de los minicomputadores 1, 2 y 3. El computador 1 es empacado en 1 caja; los computadores 2 y 3 son empacados, cada uno, 4 computadores por caja. Formule un modelo de programación lineal para determinar las decisiones que aporten la máxima utilidad a la TEI.

8.4

La Kansas Company está dentro de los negocios de comercialización. Compra y vende maíz en efectivo. Posee una bodega con capacidad de 50.000 bushels. El 1 de enero, esperan tener un inventario inicial de 10.000 bushels de maíz y $200.000 en caja. El precio estimado del maíz por bushel para el primer trimestre es como sigue: Mes Enero Febrero Marzo

Precio de compra

Precio de venta

$2.85 3.05 2.90

$3.10 3.25 2.95

El maíz es entregado en el mes de compra y no puede ser vendido hasta el mes siguiente. La compra y venta se hace estrictamente al contado sobre entrega. La compañía desea tener un inventario final de 20,000 bushels de maíz al terminar el semestre. La gerencia pide al programa de compra y venta que maximice el retorno neto total hasta el tercer mes del período. Formule esto como un modelo de programación lineal. 8-5

La oficina encargada del cobro de peajes en el estado de Atlanta tiene el siguiente requerimiento mínimo diario de cobradores de peajes. Período

Horario (24 horas

al

día) 1 2 3 4 5 6

6 A.M. - 10 A.M. 10 A.M. - 2 P.M. 2 P.M. - 6 P.M. 6 P.M. - 10 P.M. 10 P.M. - 2 A.M. 2 A.M. - 6 A.M.

Número mínimo de peajeros requeridos 8 6 8 7 5 3

Los peajeros se presentan a su sitio de trabajo al comienzo de cada período para laborar 8 horas consecutivas. La oficina desea determinar el número de peajeros que debe emplear para tener el personal suficiente disponible en cada período. Formule este problema como un modelo de programación lineal. 8-6

Considere el problema de programación de la producción de un producto para cada una de las próximas 4 semanas. El costo de la producción de una unidad es $100 para las 2 primeras semanas y $150 para las últimas 2. Las demandas semanales son 7, 8, 9 y 10 unidades y tienen que ser satisfechas. La planta puede producir un máximo de 9 unidades semanales. Además, se pueden emplear horas extras durante la tercera y cuarta semana; esto incrementa la producción semanal en 2 unidades más, pero el costo de producción también sube en $58 por unidad de hora extra. El exceso de producción puede ser almacenado a un costo unitario de $3. ¿Cómo programar la producción de tal manera que minimice los costos totales? Formule este problema como un modelo de programación lineal.

8-20

La Florida Oranges Inc. (FOI) tiene que determinar la cantidad óptima de furgones para recoger, empacar y transportar sus naranjas "super" y "comunes" cada semana. La mano de obra disponible para recogerla y empaque es de 4000 horas semanales. para recoger, empacar y dejar un furgón cargado con naranjas super, se necesitan 30 horas y para naranjas comunes se necesitan 15 horas. La FOI tiene una cantidad máxima de dinero en caja de $60,000. El costo de alquiler por cada proceso de carga del furgón y transporte es de $200 y $300 para naranjas comunes y super respectivamente. La utilidad por furgón es de $2,000 para naranjas comunes y de $2,500 para naranjas super. La FOI desea determinar la combinación óptima de furgones por tipo de naranjas que maximice la utilidad semanal. Formule el modelo de programación lineal para el problema de la FOI. Determine la mejor decisión graficando las restricciones del modelo, identificando el área de soluciones factibles y los vértices.

8-21

L Colorado Beef Inc. (CBI) procesa dos clases de carne cada una de las cuales requiere diferentes técnicas de producción. La CBI necesita saber cuál es su programa de producción dado que su precio de venta a sus distribuidores es de $180 y $150 por tonelada, para los grados A y B respectivamente. Este precio se paga a la CBI, f.o.b. en la planta de Denver. Contabilidad de costos ha estimado que la mano de obra directa cuesta el 40% del precio de venta para ambos grados.

Otros costos diferentes a los de mano de obra directa, matanza y empaque son de $25 para cada grado y los de matanza y empaque son de $30 y $50 por tonelada de grados A y B respectivamente. La capacidad de matanza y empaque está limitada a 2,000 horas-hombre por día. Cada tonelada de grados A y B requieren 1,5 horas y 1,0 hora de procesamiento en matanza y empaque respectivamente. La mano de obra directa disponible se considera ilimitada. Formule el modelo de programación lineal, para la CBI que maximice las utilidades. Determine la mejora combinación de producción para el procesamiento por el método de la representación gráfica, identificando el área de soluciones factibles y sus vértices.