Universidad Nacional Mayor de San Marcos Sánchez Facultad de Ingeniería Industrial
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS UNIVERSIDAD DEL PERÚ DECANA DE AMÉRICA FACULTAD DEINGENIERIA INDUSTRIAL
Trabajo de Investigación del curso de
Estadística Industrial Prueba de hipótesis, Análisis de Varianzas Alumnos
:
Milla Luyo Carlos Sánchez paulino Edgar Profesora
03170093 03170131
:
Ing. Rosmery Mayta Fecha de Entrega
: 27/09/06
Universitaria
Ciudad Setiembre del 2006 Laboratorio de Estadística
Industrial
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Prueba de hipótesis para una muestra Prueba de hipótesis de una media poblacional ( muestra grande ) Prueba de hipótesis de una media poblacional ( muestra pequeña ) Prueba de hipótesis para una proporción poblacional.
Prueba de hipótesis para dos muestras Prueba de hipótesis de dos medias poblacionales ( muestra grande ) Prueba de hipótesis de dos medias poblacionales ( muestra pequeña ) Prueba de hipótesis para dos proporciones Inferencia acerca de la diferencia entre las medias de dos poblaciones : muestras apareadas
Análisis de varianzas Anova en una dirección Anova en dos direcciones
Laboratorio de Estadística Industrial
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Prueba de hipótesis para una muestra 1.-Problema # 32 página 369 del Mason Z – para una media Una empresa de ventas de bienes raíces a nivel estatal, Farm Associates, se especializa en ventas de propiedades rurales en el estado de Nebraska. Sus registros indican que el tiempo medio de venta es de 90 días, con una desviación estándar de 22 días .Debido a recientes condiciones de sequía , estima que el tiempo de venta medio será ahora mayor de 90 días . Un estudio a nivel estatal de 100 granjas vendidas recientemente brindo la siguiente información : 93 144 76 87 124 74 122 97 80 108 99 81 51 87 70 58 94 114 72 111
114 119 93 105 99 98 94 63 121 105 59 124 48 84 77 73 109 65 115 68
113 70 88 87 80 83 88 82 86 100 125 117 100 92 148 114 83 91 115 53
118 80 86 124 62 102 80 92 11 79 106 122 68 97 122 71 133 83 80 71
95 82 90 94 83 126 84 100 90 85 46 57 111 102 120 122 86 117 56 114
Al nivel de significancia de 0.10 ¿ Se puede concluir que el tiempo de venta ha aumentado?
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SOLUCIÓN : Para dar solución a nuestro problema aplicaremos los cinco pasos para la prueba de hipótesis. Previamente calculamos con ayuda del MINITAB : Descriptive Statistics: tiempo de venta Variable tiempo de venta
Mean
SE Mean
StDev
Variance
92,37
2,34
23,38
546,40
1. Planteamiento de la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. H0 : μ = 90 Ha : μ > 90 2. Seleccionar el nivel de significancia. α = 0.10 3. Identificar el estadístico de prueba. En este caso utilizaremos la distribución normal estándar z , por tratarse demuestras grandes.
__
z=
x− µ
σ n
Z k = 1.0778
4. Formular la regla de decisión. Laboratorio de Estadística Industrial
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α=0.10
1.8182 1.2816 ACEPTACION
RECHAZO
5. Toma de decisión. Se acepta la hipótesis nula y se rechaza la alternativa a un nivel de significancia del 0.10 .
CONCLUSIÓN : Luego del estudio realizado se puede concluir que el tiempo de venta medio es igual a 90 días .
AHORA COMPROBAMOS UTILIZANDO EL MINITAB : Laboratorio de Estadística Industrial
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De donde obtenemos que el valor de nuestro Z k = 1.08, dado que nuestro Z t = 1.2816 es mayor, por consiguiente aceptamos la Ho y rechazamos la Ha .
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2.- Problema # 34 página del Mason Z – para una media Un articulo publicado recientemente en la revista Vitality reporto que la cantidad media de tiempo libre por semana de los hombres estadounidenses, es 40.0 horas. Se cree que esta cifra es muy elevada y se decide realizar una prueba. En una muestra aleatoria de 60 hombres, se encuentra que la media es 37.8 horas de tiempo libre a la semana, y que la desviación estándar de la muestra es 12.2 horas. ¿ Puede concluirse que la información del artículo es falsa ? Utilice un nivel de significancia de 0.05. SOLUCIÓN : 1° Planteamiento de Hipótesis H0 : µ = 40 Ha : µ = 40 2° Planteamiento del nivel de significancia Por ser una prueba de dos colas se usará un nivel de significancia de: α/2 = 0.025
3° Planteamiento del estadístico de prueba
__
z=
x− µ
σ n
Z k = - 1.40
4. Formular la regla de decisión Laboratorio de Estadística Industrial
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Milla /
α=0.025
RECHAZO
-1.40
ACEPTACION
–1.96
RECHAZO
1.96
5° Toma de decisión Se acepta la hipótesis nula y se rechaza la alternativa a un nivel de significancia del 0.05 . CONCLUSIÓN : El articulo publicado por la revista Vitality en la que indico que la cantidad media de tiempo libre por semana de los hombres estadounidenses es 40 horas es verdadera.
AHORA COMPROBAMOS UTILIZANDO EL MINITAB : Laboratorio de Estadística Industrial
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De donde observamos que el Z calculado es – 1.40 que pertenece al intervalo ( - 1.96 – 1.96 ) de modo que pertenece a la región de aceptación por lo que aceptamos la hipótesis nula .
3.- Problema # 42 de la página 370 del Mason Laboratorio de Estadística Industrial
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t – student para una media La sala de recuperación de un hospital se amplio recientemente con la intención de atender a mas pacientes por día, considerando que la cantidad promedio de pacientes por día era superior a 25. La cantidad de pacientes en una muestra aleatoria d 15 días fue : 25
27
25
26
25
28
28
27
24
26
25
29
25
27
24
Con un nivel de significancia de 0.01 ¿ Se puede concluir que la cantidad media de pacientes atendidos por día es superior a 25 ?
SOLUCIÓN : 1° Planteamiento de Hipótesis H0 : µ = 25 Ha : µ > 25 2° Planteamiento del nivel de significancia Por ser una prueba de una sola cola se usará un nivel de significancia: α=0.01
3° Planteamiento del estadístico de prueba
Debido a que el tamaño muestral es menor de 30 (tamaño muestral =15) No se conoce la desviación estándar de la población
Usaremos la distribución t de student
χ−µ
t =
X = 26.067 S = 1.53 t k = 2.70
s n
( CALCULADOS DE LA TABLA )
4° Establecimiento de la regla de decisión Laboratorio de Estadística Industrial
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g l = n-1 =14 t(0.05,14) =2.6245
α=0.01
2.70 2.6245 ACEPTACION
RECHAZO
5° Toma de decisión Se rechaza la hipótesis nula y se acepta la alternativa a un nivel de significancia del 0.01 .
CONCLUSIÓN : Podemos concluir que la cantidad media de pacientes atendidos por día es mayor a 25.
AHORA COMPROBAMOS UTILIZANDO EL MINITAB : Laboratorio de Estadística Industrial
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De donde obtenemos que el valor de nuestro t k = 2.69, dado que nuestro t t = 2.6245 es menor, por consiguiente rechazamos la Ho y aceptamos la Ha . 4.- Problema # 43 página 371 del Mason Laboratorio de Estadística Industrial
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t – una media Egolf.com recibe en promedio 6.5 devoluciones por día de compradores en línea . En una muestra de 12 días las cantidades de devoluciones por día fueron : 0
4
3
4
9
4
5
9
1
6
7
10
En el nivel de significancia de 0.01. ¿ Puede concluirse que la cantidad media de devoluciones por día es inferior a 6.5 ? SOLUCIÓN : Primero calculamos la media y la desviación estándar utilizando el MINITAB : Descriptive Statistics: DEVOLUCIONES Variable DEVOLUCIONES
Mean 5,167
SE Mean 0,911
StDev 3,157
Variance 9,970
Median 4,500
1° Planteamiento de Hipótesis H0 : µ = 6.5 Ha : µ < 6.5 2° Planteamiento del nivel de significancia Por ser una prueba de una sola cola se usará un nivel de significancia: α=0.01
3° Planteamiento del estadístico de prueba Debido a que el tamaño muestral es menor de 30 (tamaño muestral =12) No se conoce la desviación estándar de la población Usaremos la distribución t de student
χ−µ
t =
X =5,167 S = 3,157 t k = -1.4627
s n
( CALCULADOS DE LA TABLA )
4° Establecimiento de la regla de decisión Laboratorio de Estadística Industrial
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g l = n-1 =11 t(0.05,11) = - 2.718
α=0.01
- 1.4627 RECHAZO
ACEPTACIÓN
- 2.718 5° Toma de decisión Como el t calculado pertenece a la región de aceptación aceptamos la hipótesis nula con un nivel de significancia de 0.01. CONCLUSIÓN : Podemos concluir que el numero promedio de devoluciones diarias realizada por compradores en línea e igual a 6.5 devoluciones por día.
AHORA COMPROBAMOS UTILIZANDO EL MINITAB : Laboratorio de Estadística Industrial
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De donde se obtiene que el t calculado es – 1.46 que es mayor al t hallado de tabla – 2.718, por lo tanto aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la hipótesis alternativa.
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5.- Problema # 47 página 371 del Mason Una proporción Tina Dennis es la inventora de una empresa. La señorita Dennis considera que mas del 60 % de las cuentas tienen un atraso superior a tres meses. . Una muestra de 200 cuentas señalo que 140 contaban con mas de tres meses de retraso . Al nivel de significancia de 0.01, ¿se puede concluir que mas del 60% de las cuentas tienen un atraso de mas de tres meses ? SOLUCIÓN : 1° Planteamiento de Hipótesis Ho : p = 0.6 Ha : p > 0.6 2° Planteamiento del nivel de significancia α= 0.01 3° Planteamiento del estadístico de prueba En este caso utilizaremos la distribución normal estándar z , por tratarse de muestras grandes.
__
p− p
z=
p(1 − p) n
P = 140 / 200 = 0.70 Z k = 2.8868
4° Establecimiento de la regla de decisión Laboratorio de Estadística Industrial
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α=0.05
2.8868 ACEPTACION
RECHAZO
2.3263
5° Toma de decisión Se rechaza la hipótesis nula y se acepta la alternativa a un nivel de significancia del 0.01 . CONCLUSIÓN : La señorita Tina Dennis esta en lo correcto al decir que mas del 60 % de las cuentas tienen un atraso de mas de tres meses.
AHORA COMPROBAMOS UTILIZANDO EL MINITAB : Laboratorio de Estadística Industrial
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De donde obtenemos que el valor de nuestro Z k = 2.89, dado que nuestro Z t =2.3263 es menor, por consiguiente rechazamos la Ho y aceptamos la Ha .
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6.- Problema # 48 página 371 del Mason 1 – proporción Una línea de autobuses aumenta un autobús en cualquiera de sus rutas si mas de 55 % de los pasajeros potenciales indican que lo necesitan. En una muestra de 70 pasajeros se encontró que 42 usarían una determinada ruta. ¿ Satisface esta ruta el criterio establecido para aumentar un autobús ? Use un nivel de significancia de 0.05. SOLUCIÓN : 1° Planteamiento de Hipótesis Ho : p = 0.55 Ha : p > 0.55 2° Planteamiento del nivel de significancia α= 0.05 3° Planteamiento del estadístico de prueba En este caso utilizaremos la distribución normal estándar z , por tratarse de muestras grandes.
__
p− p
z=
p(1 − p) n
P = 42 / 70 = 0.60 Z k = 0.8409
4° Establecimiento de la regla de decisión Laboratorio de Estadística Industrial
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α=0.05
0.8409 ACEPTACION
RECHAZO
1.6449
5° Toma de decisión Se acepta la hipótesis nula y se rechaza la alternativa a un nivel de significancia del 0.05 .
CONCLUSIÓN : Esta ruta si satisface el criterio establecido para aumentar un autobús, es decir mas del 55 % de los pasajeros potenciales indican que lo necesitan.
AHORA COMPROBAMOS UTILIZANDO EL MINITAB : Laboratorio de Estadística Industrial
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De donde se tiene que el Z calculado es 0.84 siendo menor que nuestro Z obtenido por tablas 1.6449. De modo que el Z calculado pertenece a la región de aceptación, entonces aceptamos la hipótesis nula.
Prueba de hipótesis para dos muestras Laboratorio de Estadística Industrial
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1.- Problema # 43 página 403 del Mason t – student para 2 Medias Un determinado banco desea analizar el uso de sus cajeros automáticos. Le interesa, en especial, saber si los adultos jóvenes (menores que 25 años) usan mas los cajeros automáticos que los adultos mayores. Para investigar esto se tomaron muestras de clientes menores de 25 años y mayores de 60 años. Se determino el numero de transacciones realizadas a través de cajeros automáticos por cada persona seleccionada. Los resultados se dan a continuación : Edad en años
Menor de 25 Mayor a 60
1 10 4
2 10 8
3 11 7
4 15 7
5 7 4
6 11 5
7 10 1
8 9 7
9
10
11
4
10
5
Con un nivel de significancia de 0.01 ¿ La gerencia del banco puede concluir que los adultos jóvenes utilizan los cajeros automáticos con mayor frecuencia ? SOLUCIÓN : 1° Planteamiento de Hipótesis H0 : µ 25 = µ 60 H1 : µ 25 > µ 60 2° Planteamiento del nivel de significancia Por ser una prueba de una sola cola se usará un nivel de significancia de: 0.01 3° Planteamiento del estadístico de prueba Usaremos la distribución t de student para dos muestras t =
χ −χ 1
2
1 2 1 sp n +n 2 1
t k = 4.2832 4° Establecimiento de la regla de decisión g l = n1 + n2 - 2 = 17 Laboratorio de Estadística Industrial
α=
Universidad Nacional Mayor de San Marcos Sánchez Facultad de Ingeniería Industrial t(0.01,17) = 2.567
Milla /
α=0.01
4.2822 ACEPTACION
RECHAZO
2.5669
5° Toma de decisión Se rechaza la hipótesis nula a un nivel de significancia de 0.01, y aceptamos la hipótesis alternativa. CONCLUSIÓN : La gerencia del banco puede concluir que los adultos jóvenes utilizan los cajeros automáticos con mayor frecuencia que los adultos mayores.
AHORA COMPROBAMOS UTILIZANDO EL MINITAB :
Laboratorio de Estadística Industrial
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De donde obtenemos que el valor de nuestro t k = 2.48, dado que nuestro t = 2.5669 es menor, por consiguiente rechazamos la Ho y aceptamos la Ha .
Laboratorio de Estadística Industrial
t
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2.- Problema (N<30, dos colas)
t – para dos muestras En un centro educativo se aplicaron dos métodos A y B para la enseñanza de la biología en un grupo de 15 alumnos se aplico A y en otro grupo de 17 se aplico B. las medias de las calificaciones se obtiene de las tablas siguientes. ¿Puede admitirse que los métodos de enseñanza no difieren en los resultados y que las diferencias encontradas en las muestras se deben al azar? Por experiencias anteriores se conoce que cada variable que representa los resultados respectivos tiene distribución normal, con un nivel de significancia de 0.01. METODO A 10 11.5 12.5 13 12 10 12.5
11 13 14 11 13.5 9 13 14.5
METODO B 13 12 11 11.5 12 13 10 14.5 13
11 13 12 12.5 13 11.5 12.5 12
SOLUCIÓN : 1. Plantear las hipótesis H0 : uA = uB Ha : µΑ = uB 2. Seleccionar un nivel de significancia α=0.01 3. Identificar el valor estadístico de prueba
X1 – X2 t= ( n1 – 1) s12 + (n2 – 1) s2
1
1 +
n1 + n2 - 2
n1
n2
t k = - 0.363 4. formular una regla de decisión: Laboratorio de Estadística Industrial
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para α = 0.01 con 15+ 17 – 2 = 30 g l. en la tabla t de student se encuentra: 2.845
Rechazo
-0.363 aceptación - 2.750
rechazo 2.750
5.toma de decisión El valor calculado para t (- 0.37), se encuentra en la región de aceptación, es decir que los dos métodos de enseñanza de biología no difieren en sus resultados, podemos considerar que la diferencia hallada entre las dos medias muéstrales no es significativa al nivel de 0.01.
CONCLUSIÓN : los métodos de enseñanza no difieren en los resultados y que las diferencias encontradas en las muestras se deben al azar.
AHORA COMPROBAMOS UTILIZANDO EL MINITAB : Laboratorio de Estadística Industrial
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De Donde se obtiene que nuestro t calculado es – 0.37 que se encuentra en la región de aceptación, por lo tanto aceptamos la hipótesis nula rechazando la hipótesis alternativa.
1.-Problema # 31 página 403 del Mason 2 proporciones Laboratorio de Estadística Industrial
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Los fabricantes de un medicamento contra el dolor de cabeza, acaban de desarrollar una nueva formulación del mismo que se supone lo ara mas efectivo. Para evaluar el reciente fármaco, se pidió a una muestra de 200 usuarios que lo probaran. Después de un mes , 180 indicaron que la nueva medicina era mas efectiva. Al mismo tiempo, a una muestra de 300 usuarios se le dio la medicina acostumbrada, pero se les advirtió que era una nueva fórmula . De este grupo , 261 dijeron que había una mejoría. Al nivel de significancia de 0.05 ¿se puede concluir que la reciente medicina es mas efectiva? SOLUCIÓN : 1° Planteamiento de Hipótesis H0 : P n = p a Ha: P n > P a 2° Planteamiento del nivel de significancia α= 0.05 3° Planteamiento del estadístico de prueba
En este caso utilizaremos la distribución normal estándar z , por tratarse de muestras grandes. __
__
p1 p2 −
z=
__ __
__
__
pc (1 − pc ) pc (1− pc ) + n n 1
2
Z k = 1.0187
4° Establecimiento de la regla de decisión
Laboratorio de Estadística Industrial
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Milla /
α=0.05
1.0187 ACEPTACION
RECHAZO
1.6449 5° Toma de decisión Se acepta la hipótesis nula con un nivel de significancia del 0.01 .
CONCLUSIÓN :
Ambas formulas del medicamento ( tanto la antigua como la nueva formula ) tienen la misma efectividad para aliviar el dolor de cabeza.
AHORA COMPROBAMOS UTILIZANDO EL MINITAB :
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De donde obtenemos que el valor de nuestro Z k = 1.02, dado que nuestro Z t =1.6449 es mayor, por consiguiente aceptamos la Ho y rechazamos la Ha .
3. Problema 2 proporciones Laboratorio de Estadística Industrial
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En una muestra de 500 hogares de Trujillo se encontró que 50 de ellos estaban viendo vía satélite un programa especial de televisión. En otra muestra de 400 hogares de Tarapoto se encontró que 28 de ellos estaban viendo el mismo programa especial. En el nivel de significancia de 0.05, ¿puede rechazarse la suposición del patrocinador de que el porcentaje de hogares que están observando el programa especial no es el mismo en las dos ciudades? SOLUCIÓN : 1. Plantear las hipótesis H0 : p1= p2 Ha : p1 = p2 2. Seleccionar un nivel de significancia α=0.05 3. Identificar el valor estadístico de prueba En este caso utilizaremos la distribución normal estándar z , por tratarse de muestras grandes. __
__
p1 p2 −
z=
__ __
__
__
pc (1 − pc ) pc (1− pc ) + n n 1
2
Z k = 1.59
4. formular una regla de decisión:
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Rechazo
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1.59 aceptación rechazo - 1.96 1.96
5° Toma de decisión Observando los resultados el Z =1.59, se encuentra en la región de aceptación entonces la hipótesis nula se acepta . CONCLUSIÓN : Se concluye que el promedio de hogares que están viendo el programa especial en la ciudad de Trujillo es igual al promedio de hogares de Tarapoto.
AHORA COMPROBAMOS UTILIZANDO EL MINITAB : Laboratorio de Estadística Industrial
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De donde obtenemos que nuestro z calculado es 1.59 que pertenece a la región de aceptación, entonces aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la hipótesis alternativa.
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5. Problema muestreo apareado Varios accidentes automovilísticos ocurrieron en varios cruces de un distrito. El departamento de vialidad afirma que una modificación del tipo de semáforo reducirá los accidentes Entonces deciden realizar un experimento seleccionando aleatoriamente 8 semáforos y cambiándolos ¿Las modificaciones redujeron el número de accidentes ? Con un nivel de significancia de 5% Antes de la modificación
Después de la modificación
5 7 6 4 8 9 8 10
3 7 7 0 4 6 8 2
SOLUCIÓN : 1° Planteamiento de Hipótesis H0 : µ d = 0 H1 : µ d >0 2° Planteamiento del nivel de significancia Por ser una prueba de una sola cola se usará un nivel de significancia: α=0.05 3° Planteamiento del estadístico de prueba Debido a que las muestras son dependientes Usaremos la distribución t de student por pares
t =
d sd n
t k = 2.419 4° Establecimiento de la regla de decisión Laboratorio de Estadística Industrial
Universidad Nacional Mayor de San Marcos Sánchez Facultad de Ingeniería Industrial g l = n-1 =7 t(0.05,7) = 1.895
Milla /
α=0.05
1.895 ACEPTACION
2.419 RECHAZO
5° Toma de decisión Se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa con un nivel de significancia de 0.05. CONCLUSIÓN : podemos decir que luego de los cambios de los semáforos la cantidad de accidentes varia significativamente reduciendo el numero de accidentes
AHORA COMPROBAMOS UTILIZANDO EL MINITAB : De donde se obtiene que nuestro t calculado es 2.42 que pertenece a la región de rechazo, por lo tanto rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la hipótesis alternativa.
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6. Problema muestras apareadas Se obtuvieron las siguientes que representan las calificaciones en una prueba de aptitud mecánica antes y después de una sesión de repaso Al nivel de significancia de 0.05 ¿Se puede concluir que el rendimiento de los alumnos en el examen mejoro ? Antes 12 15 9 19 10 13 14 17 20 18 15
Después 14 15 9 11 11 13 15 18 20 18 16 Laboratorio de Estadística
Industrial
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SOLUCIÓN : 1° Planteamiento de Hipótesis H0 : µ d = 0 H1 : µ d < 0 2° Planteamiento del nivel de significancia Por ser una prueba de una sola cola se usará un nivel de significancia: α=0.05 3° Planteamiento del estadístico de prueba Debido a que las muestras son dependientes Usaremos la distribución t de student por pares
t =
d sd n
t k = 0.23 4° Establecimiento de la regla de decisión g l = n-1 =10 t(0.05,10) =1.812
0.23 RECHAZO
ACEPTACIÓN
-1.812 5° Toma de decisión No se rechaza la hipótesis nula con un nivel de significancia de 0.05 con lo cual concluimos que no existió diferencia significativa entre las notas entre antes y después del repaso. CONCLUSIÓN : Laboratorio de Estadística Industrial
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Las calificaciones en la prueba de aptitud mecánica antes y después de una sesión de repaso no tiene diferencia significativa. AHORA COMPROBAMOS UTILIZANDO EL MINITAB :
De donde se obtiene que el t calculado es 0.23 el cual pertenece a la región de aceptación por lo que aceptamos la hipótesis nula.
7.. Problema Z – para dos muestras Dos fabricantes A y B producen artículos similares cuyas vidas utilices tienen desviaciones estándar de 120 y 90 respectivamente se extrae una muestra de 60 Laboratorio de Estadística Industrial
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artículos de cada muestra encontrando l duración media 1230 para A y 1190 para B . ¿ Se puede concluir al nivel de significancia de 0.05 que los artículos de la marca tiene mayor duración que los artículos de la marca B ? SOLUCIÓN : 1. Planteamiento de la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. H0 : μ A = μ B Ha : μ A > μ B 2. Seleccionar el nivel de significancia. α = 0.05 3. Identificar el estadístico de prueba. En este caso utilizaremos la distribución normal estándar z , por tratarse demuestras grandes.
Z k = 1.0778
4. Formular la regla de decisión.
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2.06 1.645 α=0.05 ACEPTACION
RECHAZO
5. Toma de decisión. Se rechaza la hipótesis nula y se aceptamos la hipótesis alternativa a un nivel de significancia del 0.05 .
CONCLUSIÓN : Luego del estudio realizado se puede concluir que la duración media de los artículos de la marca A son mayores a los de los artículos de la marca B.
8. Problema Z – para dos muestras Una empresa Alfa esta preparando un folleto que cree puede ser de interés para compradores de casa potenciales en la región A y B de un departamento, un elemento de interés es el tiempo que el ,propietario que vende a ocupado el inmueble. Una muestra de 40 casas vendidas recientemente en la región A indica que el tiempo medio de propiedad fue de 7.6 años con una desviación de Laboratorio de Estadística Industrial
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2.3, una muestra de 55 casas en B señalo que dicho tiempo fue de 8.1 años con una desviación de 2.9. Con un nivel de significancia de 0.05 puede concluir que los residentes de A tenían en propiedad sus casas por un periodo mas cortos ? SOLUCIÓN : 1. Planteamiento de la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. H0 : μ A = μ B Ha : μ A < μ B 2. Seleccionar el nivel de significancia. α = 0.05 3. Identificar el estadístico de prueba. En este caso utilizaremos la distribución normal estándar z , por tratarse demuestras grandes.
Z k = - 0.94
4. Formular la regla de decisión.
α=0.05
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-0.94 RECHAZO
ACEPTACION
-1.645 5° Toma de decisión Se acepta la hipótesis nula y rechazamos la hipótesis alternativa a un nivel de significancia del 0.05 .
CONCLUSIÓN : luego del estudio concluimos que el tiempo medio de propiedad de A y B son iguales. Y las diferencias presentadas se debe al azar.
9.- Problema #13 página 432 del Mason ANOVA en una dirección Laboratorio de Estadística Industrial
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Un egresado de contabilidad recibe ofertas de cuatro empresas contables. Para considerar estas ofertas solicitó a una muestra de personas de reciente ingreso decirles cuantas meses trabajaron cada una para la empresa antes de recibir un aumento de sueldo. La información muestral es: Numero de semanas antes del primer aumento de sueldo Empresa A Empresa B Empresa C Empresa D 12 14 18 12 10 12 12 14 14 10 16 16 12 10
Al nivel de significación de 0.05 Pude concluirse que no hay diferencia en el numero medio de semanas antes de tener un aumento entre las cuatro empresas SOLUCION : 1° Planteamiento de Hipótesis H0 : µ 1 = µ 2= µ 3= µ 4 H1 : No todas las medias son iguales 2° Planteamiento del nivel de significancia α=0.05
3° Planteamiento del estadístico de prueba Usaremos la tabla ANOVA T 2 c ( ∑ x ) ( 48) 2 + ( 46) 2 + ( 46) 2 + ( 42 ) 2 − (182 ) 2 = 32.33 SST = ∑ = = N 4 4 3 3 14 nc 2
SSTotal = ∑ X − 2
(∑ X ) N
2
(182) = 2444 −
SSE = SSTotal – SST =
14
2
= 78.00
78.00 – 32.33 = 45.67
Tabla Anova : Laboratorio de Estadística Industrial
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Suma de cuadrados
Grados de libertad
Cuadrado medio
F
32.33 45.67 78.00
3 10 13
10.77 4.567
2.36
Tratamientos Error Total
SST MSTR 10.77 F = k −1 = = = 2.36 SSE MSE 4.567 N −K 4° Establecimiento de la regla de decisión g l. numerador : k – 1 = 3 g l. denominador : n - k = 10
F0.05,3,10 = 3.71
(de tablas)
2.36
3.71
5° Toma de decisión Debido a que el valor del estadístico de prueba es menor al valor de F hallado por tablas, entonces aceptamos la hipótesis nula. CONCLUSIÓN : No existe diferencia entre las cuatro empresas, en el numero medio de meses antes de recibir un aumento de sueldo.
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AHORA COMPROBAMOS UTILIZANDO MINITAB :
De los resultados obtenidos con MINITAB observamos que el valor de F calculado es 2.36 y el obtenido por tabla es 3.71 , el F calculado en menor que el F critico . Laboratorio de Estadística Industrial
Universidad Nacional Mayor de San Marcos Sánchez Facultad de Ingeniería Industrial Por lo tanto aceptamos la hipótesis nula.
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10. Problema Anova en una dirección una compañía desea comprar cuatro tipos de neumáticos. se asigno aleatoriamente los neumáticos a seis automóviles semejantes. La duración de los neumáticos en miles de kilómetros se da en la siguiente tabla que sigue. tipos de neumático N1 55 53 50 60 55 65
N2 63 67 55 62 70 75
N3 48 50 59 50 47 61
N4 59 68 57 66 71 73
Al nivel de significancia del 5% ¿se puede concluir que existe alguna diferencia en los rendimientos medios de los tipos de neumáticos. SOLUCIÓN : Paso 1: planteamos la hipótesis H0 : u1 = u2 = u3 = u4 Ha : no todas las medias son iguales Paso 2: consideramos un nivel de significancia de 0.05 Paso 3: el estadístico a utilizar es F Hallamos los valores de:
SST = 781.46 SS Total = 1550.96 SSE = 769.5
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Ordenando los valores en la tabla suma de cuadrados SST = 781.46
Tratamiento
grados de libertad 3
Error
SSE = 769.5
20
Total
SS total = 1550.96
n – 1 = 23
cuadrado medio MSTR = 781.46/3 = 260.49 MSE = 769.5/ 20 = 38.46
F MSTR =6.77 MSE
4° Establecimiento de la regla de decisión F tabla = F( 0.05,3,20) = 3.10
3.10
6.77
5° Toma de decisión Como el F calculado es mayor que el F critico, entonces se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa. CONCLUSIÓN : Por lo que se puede concluir que si existe alguna diferencia en los rendimientos medios de los tipos de neumáticos.
AHORA COMPROBAMOS UTILIZANDO MINITAB : Laboratorio de Estadística Industrial
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De los resultados obtenidos con MINITAB observamos que el valor de F calculado es 6.77 y el obtenido por tabla es 3.10 , el F calculado en MAYOR que el F critico . Por lo tanto rechazanos la hipótesis nula y aceptamos la hipótesis alternativa.
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11.- Problema # 34 página 444 del Mason Anova en dos direcciones La empresa Martín Motors tiene en almacén tres automóviles de la misma fabricación y modelo. Al gerente le gustaría comparar el consumo de gasolina de los tres vehículos (designados auto A, auto B y auto C) utilizando cuatro diferentes tipos de gasolina. Para cada prueba se puso un galón de combustible en el tanque vació de cada automóvil y se les manejo hasta agotar la gasolina. La siguiente tabla muestra el número de millas recorridas en cada prueba.
Distancias (millas)
Tipos de Gasolina
Auto A
Auto B
Auto C
Regular Súper Regular Sin Plomo Premium sin Plomo
22.4 17.0 19.2 20.3
20.8 19.4 20.2 18.6
21.5 20.7 21.2 20.4
Utilizando el nivel de significancia de 0.05 Hay diferencia entre los tipos de gasolina ¿Existe diferencia en los autos? SOLUCIÓN : * Tratamientos :
SST = 3.9217
* Bloques :
SSB = 10.2092
* Suma de cuadrados Total : SST = 22.5892 * Error :
SSE = 8.4583
Cuadro Anova : Laboratorio de Estadística Industrial
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Suma de cuadrados Tratamiento 3.9217 s Bloques 10.2092 Error 8.4583 Total 22.5892
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G .l. 2 3 6 11
Cuadrado Medio 1.9609 3.4031 1.4097
F 1.391 2.4141
Para los tratamientos es: 1° Planteamiento de Hipótesis H0: µ1=µ2=µ3 No existe diferencia entre las millas promedio que recorren los autos de la prueba. Ha: Existe diferencia en la cantidad de millas recorridas por auto 2° Planteamiento del nivel de significancia α=0.05 3° Planteamiento del estadístico de prueba F k = 1.391 4° Establecimiento de la regla de decisión
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5.14
5° Toma de decisión Se acepta la hipótesis a un nivel de significancia del 0.05 .
CONCLUSIÓN : No existe diferencia entre las millas promedio que recorren los autos de la prueba.
Para los bloques es: 1° Planteamiento de Hipótesis H0 : µ1=µ2=µ3=µ4 No hay diferencia entre las millas promedio que recorre el auto debido a la gasolina que usa Ha : Existe diferencia entre alguna de las medias. Es decir que la gasolina es un factor importante para el mejor desempeño del auto. 2° Planteamiento del nivel de significancia α=0.05 3° Planteamiento del estadístico de prueba
F k = 2.4141 4° Establecimiento de la regla de decisión
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4.76
5° Toma de decisión
Se acepta la hipótesis a un nivel de significancia del 0.05
.
CONCLUSIÓN : No hay diferencia entre las millas promedio que recorre el auto debido a la gasolina que usa.
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AHORA COMPROBAMOS UTILIZANDO EL MINITAB :
Para los tratamientos : El F calculado obtenido por MINITAB es 1.39 que es menor al obtenido por tabla 5.14 , por lo tanto aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la hipótesis alternativa . Laboratorio de Estadística Industrial
Universidad Nacional Mayor de San Marcos Sánchez Facultad de Ingeniería Industrial Para los bloques :
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El F calculado obtenido por MINITAB es 2.41 que es menor al obtenido por tabla 4.76 , por lo tanto aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la hipótesis alternativa .
12.- Problema Anova en dos direcciones Se realiza un estudio de movimientos para determinar el mejor de tres métodos de montar un mecanismo. Para esto se desarrollo un experimento de un factor por bloques aleatorios seleccionando cinco operarios con igual velocidad. El número de montajes terminados diarios por cada operario y con cada método se da en la tabla que sigue. operario 1 3 4 3 5 4 19 75
1 2 3 4 5 ∑x ∑x2
Método 2 9 8 7 9 6 39 311
3 5 6 8 7 9 35 255
∑x
∑x2
17 18 18 21 19 93
115 116 122 155 133 641
Al nivel de significancia del 5% ¿se puede concluir que los tres métodos de montaje son significativamente diferentes? Solución Para esto primero realizamos los cálculos de SST, SSB, SSTOTAL y SSE * Para tratamientos SST = 44.8 * Para bloques SSB = 3.06 * La suma de cuadrados total SSTOTAL = 64.4 * Para el error Laboratorio de Estadística Industrial
Universidad Nacional Mayor de San Marcos Sánchez Facultad de Ingeniería Industrial SSE = 16.54
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Ordenando los valores en la tabla suma de cuadrados tratamiento bloques
SST = 44.8 SSB = 3.06
error
SSE = 16.54
total
64.4
grados de libertad k – 1= 2 b–1=4 (k-1)(b-1)= 8 n - 1 = 14
Cuadrado medio MSTR = 44.8 / 2 = 22.4 MSB = 3.06 / 4 = 0.765 MSE = 16.54 / 8 = 2.068
F MSTR = 10.84 MSE MSB =0.37 MSE
Realizamos la comprobación de estos valores con el programa minitab
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Como se puede observar los valores obtenidos por el minitab y los calculados mediante las formulas son aproximadamente iguales de esta forma queda comprobado que el valor de F es. Para los tratamientos *obtenido por el minitab = 10.84 *obtenido mediante cálculos = 10.84 Para los bloques *obtenido por el minitab = 0.37 *obtenido mediante cálculos = 0.37 Realizamos la prueba de hipótesis con estos datos: Para los métodos Paso 1: planteamos la hipótesis H0 : u1 = u2 = u3 Ha : al menos una media es diferente Paso 2: consideramos un nivel de significancia de 0.05 Paso 3: el estadístico a utilizar es F; donde el valor calculado de F es 10.84 y el valor critico es F( 0.95, 2 , 8) = 4.46 Interpretación: Observamos que el F calculado es 10.84 y el obtenido por tablas es 4.46 valor critico. El F calculado es mayor que el F critico por la que se encuentra en la región de rechazo; la hipótesis nula se rechaza y se acepta la hipótesis alternativa. se puede concluir que los tres métodos de montaje son significativamente diferentes. para los operarios Paso 1: planteamos la hipótesis H0 : u1 = u2 = u3 = u4= u5 Ha : no todas las medias son iguales Paso 2: consideramos un nivel de significancia de 0.05 Paso 3: el estadístico a utilizar es F; donde el valor calculado de F es 0.37 y el valor critico es F( 0.95, 4 , 8) = 3.84 Interpretación: Observamos que el F calculado es 0.37 y el obtenido por tablas es 3.84 valor critico. El F calculado es menor que el F critico por la que se encuentra en la región de aceptación; la hipótesis nula se acepta y se rechaza la hipótesis alternativa. Se puede concluir que el numero de montajes terminados por cada operario son iguales. Laboratorio de Estadística Industrial