Presentacion Libro Hidr Notas

UNIDAD I: HIDROSTÁTICA 1.1 PRESION HIDROSTÁTICA La estática de fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo, y cuando se trata sólo de líquidos, se denomina hidrostática. Desde el punto de vista de ingeniería civil es más importante el estudio de los líquidos en reposo que de los gases, por lo cual aquí se hará mayor hincapié en los líquidos y, en particular, en el agua. En términos generales se puede decir que la presión es una fuerza por unidad de área, esto es:

P=

En donde:

F = FA−1 A

(1.1)

F = fuerza normal al área A A= área P = presión media sobre el área A La ecuación 5.1 da la presión media sobre el área considerada “A”; sin embargo, si la presión es variable y se desea obtener la presión en un punto determinado de la superficie total, con área “dA”, se puede emplear la definición siguiente:

P = lím a→0

∆F dF = ∆A dA

(1.2)

La hidrostática y la aerostática; son las ciencias que en conjunto estudian los fluidos en reposo, descansan sobre tres principios o leyes básicas, los cuales son: el principio de Pascal, el principio de Stevin y el principio de Arquímedes.

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De los tres principios anteriores, los relacionados directamente con la presión son el Pascal y el de Stevin, los cuales se discuten a continuación: 1.1.1 ECUACIONES BÁSICAS DE LA ESTÁTICA DE FLUIDOS PRINCIPIO DE PASCAL Éste principio establece que “en cualquier punto en el interior de un fluido en reposo la presión es la misma en todas las direcciones.” Demostración práctica Si se tiene un recipiente como el mostrado en la figura 1.1, al cual, por medio del pistón se le aplica una fuerza “F” , entonces el líquido dentro del recipiente se comprimirá con una presión igual a “FA-1” siendo “A” el área de la sección transversal del pistón. Al suceder esto se observa que en los tubos colocados en diferentes partes del recipiente, el líquido sube a la misma altura “h” en todos ellos, lo cual indica que la presión en cada punto del recipiente es la misma. Obviamente, en el experimento anterior, se supone que no existe escurrimiento del líquido entre las paredes del recipiente y el pistón.

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Demostración Teórica Considerando Un Prisma Imaginario con dimensiones elementales ubicado en el interior de un fluido en reposo (Fig.1.2), se tiene:

Como el fluido está en reposo, se puede establecer que: ΣFy = 0 Sustituyendo las fuerzas actuantes, de acuerdo con la figura 5.2, se tiene: Ps (dxds) − Py (dxdz ) = 0

Por otra parte, de la figura se obtiene que: dz senθ = ds

(1.3)

(1.4)

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Sustituyendo 5.4 en 5.3 queda:

dz − Py (dxdz ) = 0 ds Psdxdz − Pydxdz = 0 Ps (dxds)

Dividiendo por dxdz, se tiene: Ps − Py = 0 O bien: Ps = Py

(1.5)

De la misma manera, se puede establecer que: ΣFz = 0

(1.6)

Sustituyendo las fuerzas actuantes se tiene:  dydz  − Ps ( dxds) cos θ − γdx  + Pzdxdy = 0  2  (1.7) El segundo término del lado izquierdo de la ecuación anterior representa el peso del prisma ( γV ) . De la figura 1.2 se obtiene que: cos θ =

dy ds

(1.8)

Sustituyendo 5.8 en 5.7:  dv   dxdydz  − Ps ( dxds )  − γ   + Pz (dxdy ) = 0  ds   2 

Dividiendo por dxdy queda: − Ps − γdz − Pz = 0

El término "γdz" puede despreciarse, ya que es muy pequeño esto es: 8

γdz ≅ 0 Entonces queda: − Ps + Pz = 0

O bien: Pz = Ps

(1.9)

Comparando 1.9 con 1.5 se obtiene finalmente que: Ps = Pz = Py

(1.10)

Con lo cual queda demostrado el principio de Pascal. Para comprobar que Px es también igual a la presión en las otras direcciones, basta colocar el prisma en alguna otra posición con respecto a los ejes coordenados. Aplicación práctica del principio de Pascal (principio de la Prensa Hidráulica) En la figura 1.3, presentada a continuación, se muestra un esquema típico de una prensa Hidráulica.

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Si se aplica una fuerza F1 al émbolo de la izquierda, ésta provocará una presión media sobre el líquido en el interior de la prensa igual a:

P1 =

F1 −1 = F1 A1 A1

De acuerdo con el principio de Pascal, la presión de la misma en todas las direcciones, entonces, la presión P1 transmite a través del líquido y actuará sobre el pistón de la derecha, es decir, si se tiene en cuenta que las pérdidas por fricción en

el

P1=P2

interior

de

la

prensa

son

despreciables,

se

tiene

que:

(1.12) Claro que también hay que considerar que las pérdidas por fricción

entre los pistones y los cilindros son despreciables. La presión P2 a su vez es igual a: P2 =

F2 −1 = F2 A2 A2

(1.13)

Finalmente, sustituyendo 5.11 y 5.13 en 5.12 queda: 10

F1A1 = F2A2-1

(1.14)

Si se supone, como sucede en la mayoría de los casos prácticos, que las áreas son circulares, la ecuación anterior se transforma en: F1D1-2 = F1D1-2

(1.15)

Las ecuaciones anteriores son las expresiones matemáticas del Principio de la Prensa Hidráulica, en los cuales: F1 = Fuerza ejercida sobre el pistón de la izquierda F2 = Fuerza ejercida sobre el pistón de la derecha A1 = Área del pistón de la izquierda A2 = Área del pistón de la derecha D1 y D2 = Diámetros respectivos (en caso de áreas circulares) La ecuación 5.14 puede obtenerse de forma alterna si se aplica el principio de la conservación del trabajo y la energía de la Prensa Hidráulica como se ve en la figura 1.4

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En la figura anterior, la línea punteada corresponde a la posición inicial de los pistones. Al aplicar una fuerza F1 al pistón de la izquierda, ésta se mueve una distancia 11, desplazando cierta cantidad de líquido. El trabajo desarrollado por F1 al moverse la distancia 11 vale: W1 = F111

(1.16)

Sin embargo, el líquido desplazado por el pistón de la izquierda hace que el émbolo de la derecha suba, moviéndose una distancia 12, la cual, según se ve en la figura, tiene que ser más pequeña que 11 ya que el diámetro del pistón de la derecha es mayor. El trabajo desarrollado por el pistón de la derecha será: W2 = F212

(1.17)

De acuerdo con el principio de la conservación del trabajo y la energía, y despreciando las pérdidas por fricción, se puede establecer que: W1 = W2

(1.18)

Sustituyendo 5.16 y 5.17 en 5.18 queda: F111 = F212

(1.19)

12

Como los volúmenes desplazados por los pistones son los mismos, ya que no existe escurrimiento de líquido entre éstos y las paredes interiores de los cilindros, entonces: V = A111 =A212 De donde:

11 =

(1.20)

A2 12 A1

Sustituyendo 5.20 en 5.19 y operando álgebra se tiene:

F1

A2 12 = F212 A1 −1

F1 A1 = F2 A2

(1.14)

−1

Y, para áreas circulares: F1D1-2 = F2D2-2

(1.15)

Las cuales, como pueden verse, son las mismas ecuaciones obtenidas en las páginas anteriores. Ahora se analizarán algunas consecuencias prácticas de éste principio; Suponiendo que D2 sea diez veces mayor que D1, es decir, D2 = 10D1 y que se aplique una fuerza F1 de 1kg en el pistón de la izquierda. Sustituyendo estos valores en la ecuación 5.15 se obtiene: 2

 10 D1   = 100kg F2 = 1kg   D1 

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Lo cual significa que por cada kilogramo de fuerza que se aplique en el pistón de la izquierda, la prensa será capaz de levantar o transmitir una fuerza de 100kg al pistón de la derecha. Es obvia la ventaja que tiene la aplicación de éste principio. Éste principio a dado lugar a un amplio desarrollo de los controles hidráulicos para equipo en operación, como gatos hidráulicos, equipo pesado para mover tierra, montacargas, grúas, superficies de control de aviones, plataformas elevadoras, básculas, etc. PRINCIPIO DE STEVIN Éste principio se enuncia de la siguiente manera: “la diferencia de presiones entre dos puntos situados a diferente profundidad en el seno de un líquido en reposo es igual a la diferencia de profundidad multiplicada por el peso específico del líquido” Demostración Considerando un prisma regular imaginario en el interior de un líquido en reposo, como el mostrado en la figura 1.5

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Como el líquido está en reposo, es decir, en equilibrio, se puede establecer que: ΣFy = 0 Sustituyendo las fuerzas actuantes se tiene que: − P2 A2 + P1 A1 − γV = 0

(1.21)

Pero, como el prisma es regular se tiene que: A1 = A2 = A Sustituyendo en (5.21) y recordando que V = Ah, queda: − P2 A + P1 A − γAh = 0 Dividiendo por el área de A: − P2 + P1 − γh = 0 Esto es:

P1 − P2 − γh

O bien:

∆P = γh

(1.22`)

Donde: P1 – P2 = ∆P = diferencia de presiones entre los puntos 1 y 2, ubicados en diferentes profundidades en el seno del líquido

γ = peso específico del líquido h = distancias vertical entre los puntos 1 y 2

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Si se compara esta ecuación con el enunciado del principio, puede verse que es exactamente lo mismo. La ecuación 1.22 ó 1.22` es, pues, la representación matemática del principio de Stevin. Es importante hacer notar que el principio de Stevin, representado matemáticamente por la ecuación 1.22 ó 1.22`, es válido en el caso de que el fluido pueda considerarse continuo y homogéneo; en otras palabras que tenga un peso específico constante. Éste principio, también es conocido por el nombre de “Teorema general de la Hidrostática” Efectuando un análisis de la ecuación 1.22, puede observarse que si h = 0, entonces P1 = P2; lo cual significa que en cualquier fluido en reposo, la presión en todos los puntos de un plano horizontal dados es la misma, o visto de otra manera, en un fluido en reposo, todos los puntos que tienen la misma presión se encuentran en un plano horizontal común. Éste principio encuentra múltiples aplicaciones en la práctica, entre otras, para determinar la presión a que estarán sujetos los cuerpos sumergidos en algún fluido, seto es particularmente importante en el diseño de submarinos, batiscafos, equipos de buceo y todo tipo de equipo para operación submarina y/o subacuática. Además este principio es básico para manometría, ya que los manómetros de tubo con líquido, lo utilizan para determinar la presión manométrica y en algunos casos también la absoluta, como se verá más adelante (sección V.5) Finalmente, puede decirse que el principio de Stevin es básico, ya que prácticamente no existe problema hidrostático en que no se involucre ya sea directamente o en la deducción de alguna ecuación. 16

1.1.2 TIPOS DE PRESIÓN En esta sección se estudiara tres tipos de presión de uso común en la práctica en ingeniería que son: 1. Presión atmosférica o manométrica. 2. Presión absoluta. 3. Presión relativa o manométrica. PRESION ATMOSFERICA. Esta es la presión debido al peso de los gases de la atmósfera terrestre. Nosotros vivimos en el fondo de un océano de gases, a la mezcla de los cuales se les da el nombre de aire. Este aire tiene peso (aproximadamente

1 815

del

peso del agua en condiciones normales) y, por ende, provoca una presión al actuar sobre la superficie de la tierra. En base a lo anterior, es lógico suponer que la presión atmosférica varía con la altitud sobre el nivel del mar. Un lugar más alto tendrá una columna de aire menor sobre él, y por tanto, una presión atmosférica menor que un lugar más bajo. La presión atmosférica que actúa sobre el nivel medio del mar se denomina “PRESIÓN ATMOSFÉRICA NORMAL O ESTÁNDAR”. A la presión atmosférica que se ejerce sobre una localidad determinada se le llama “PRESION ATMOSFERICA LOCAL”. Por lo tanto, para cualquier lugar de la tierra situado al nivel del mar se tiene que: 17

PRESION ATMOSFERICA LOCAL ═ PRESION ATMOSFERICA NORMAL Por otro lado, el término γh equivale a la presión hidrostática relativa a la profundidad dentro del líquido. Esta es una presión relativa debido a que mide el incremento de presión (debido a la profundidad del punto 1) sobre el valor de la presión atmosférica local, que es la presión soportada por el punto 1, ubicado en la superficie libre. Por lo tanto se puede decir que:

γh = Prel Todos estos tipos de presiones y escalas se muestran el la figura 5.6 donde se observa la relación que guarda la escala absoluta de presiones con la escala relativa o manométrica.

En la figura 1.6 se grafico del lado izquierdo la escala absoluta de presiones y en el lado derecho la escala negativa o manométrica. También están graficadas la presiona atmosférica normal y la presión atmosférica local, tomando encuenta 18

que la localidad dada no se encuentra a nivel del mar, de tal manera que la presión atmosférica normal sea mayor que la presión atmosférica local. En la escala absoluta, el cero se muestra en el origen, coincidiendo con la línea horizontal que equivale al cero absoluto. En la escala relativa de presiones el cero esta ubicado en la línea correspondiente a la presión atmosférica local; entonces, para medir dos presiones cualesquiera (P1 y P2), si estas son medidas en escala absoluta de presiones, ambas serán positivas, como se observa en la figura 5.6, ya que en las lecturas se efectúan a partir del cero absoluto. Si se quieren medir estas mismas presiones con la escala relativa de presiones; la presión P 2 será positiva, pero P1 será negativa, ya que se encuentra por debajo del cero de esta escala, el cual coincide con el valor de la presión atmosférica local. En este diagrama también se puede ver que el máxima valor negativo que puede tener una presión medida en la escala relativa de presiones coincide con el valor de la presión atmosférica local, ya que si fuera mayor (en valor absoluto) equivaldría a que la presión llegara a ser menor que el 0 absoluto, lo cual es imposible. Para encontrar la presión absoluta a partir de la presión leída en un dispositivo que de la presión relativa, habrá que sumar a la presión leída en ese dispositivo, la presión atmosférica local, medida exactamente con un barómetro. Esto puede expresarse matemáticamente como: Pabs = Patm. Local + Prel

(1.23)

Esta ecuación puede comprobarse fácilmente en la figura 1.7 La ecuación anterior, básica en el estudio de presiones, se puede obtener a partir de la ecuación 1.22 esto es, a partir del principio de Stevin, de la manera siguiente:

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Suponiendo que se aplica 1.22 entre dos puntos 1 y 2, situados a cierta profundidad en un líquido y en la superficie libre de este, respectivamente, como se muestra en la figura 1.8 La ecuación 5.22 puede escribirse de la manera siguiente: P1 = γh + P2 (1.24) De acuerdo con la figura 1.8 y con la ecuación 1.22 se tiene que: P2 = Patm local

Por otro lado, el término γh equivale a la presión hidrostática relativa a la profundidad dentro del líquido. Esta es una presión relativa debido a que mide el incremento de presión (debido a la profundidad del punto 1) sobre el valor de la presión atmosférica local, que es la presión soportada por el punto 1, ubicado en la superficie libre. Por lo tanto se puede decir que:

γh = Prel Finalmente, la presión P1 debe ser la presión absoluta que se tiene en el punto 1, ya que es la suma de la presione atmosferita local (que actúa sobre la superficie libre) y del incremento de presión γh debido al aumento de la profundidad, esto es:

P1 = Pabs

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Sustituyendo las tres relaciones anteriores en 5.24 se tiene que: Pabs = Patm. Local + Prel

(1.23)

1.1.3 DISTRIBUCIÓN DE PRESIÓN HIDROSTÁTICA En general, los aparatos para medir presión se llaman manómetros, sin embargo, en forma particular, según el tipo de presión que miden, adoptan distintos nombres, los cuales se muestran en el cuadro 5.1 Existen innumerables tipos de aparatos para medir presión; algunos mecánicos, otros eléctricos y cada uno con grados de precisión muy diversos. Aquí se hablará solamente del principio de funcionamiento de los instrumentos más comunes para medir presiones. Cuadro 5.1 Tipos de presiones con su respectivo aparato de medición TIPO DE PRESION A MEDIR Presión atmosférica Presión absoluta Presión relativa (positiva) Presión relativa (negativa) Presiones muy pequeñas Diferencia de presiones

NOMBRE DEL APARATO Barómetro Manómetro de presión absoluta Manómetro Vacuómetro Micromanómetro Manómetro diferencial

Como puede verse en el cuadro 5.1, la presión atmosférica se mide con aparatos llamados barómetros, de los cuales existen varios tipos. En esta sección solamente se hablará del principio de funcionamiento del barómetro de mercurio, desarrollado por Evangelista Torricelli, alrededor del año de 1650, (ver figura 5.8) Torricelli construyó un tubo de vidrio en uno de cuyos extremos había una esfera soplada. El tubo tenía una longitud de alrededor 120 cm. Este tubo y la 21

esfera se llenaron completamente con mercurio. Tapando con un dedo el extremo del tubo, se le dio vuelta y se le introdujo en un recipiente que también contenía mercurio. Al retirar el dedo, el mercurio bajo de nivel, estabilizándose en una altura h igual a unos 76 cm. (ver figura 5.8) De lo anterior se dedujo que la columna de 76 cm. De mercurio, equilibraba la presión de aire exterior (presión atmosférica), ya que sobre el mercurio dentro del tubo sólo actúa la presión del vapor del mercurio, lo que, para fines prácticos, puede considerarse como si estuviera vacío. La presión atmosférica, puede expresarse en términos de columna de líquido (unidades de longitud) o en términos coherentes, que son las unidades que se obtienen al aplicar la ecuación 5.1, es decir, [ Fuerza / Area ] . La ecuación que relaciona lo anterior, se deriva del principio de Stevin, y es: P = γh

(5.25)

Donde: P = Presión de unidades coherentes [ Fuerza / Area ] .

γ = Peso específico del líquido h = Altura de presión en unidades de longitud. Entonces, la presión atmosférica normal, expresada en términos de altura de presión vale, según lo encontrado por Torricelli y confirmado posteriormente: Patm normal = 76 cm. De mercurio =760 mm. De mercurio.

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En honor a Torricelli, a esta unidad de presión se le dio el nombre de Torr, esto es: 1 mm de mercurio = 1 Torr La presión atmosférica normal expresada en unidades coherentes, se obtiene a partir de la ecuación 5.25 y vale: P = γh = (13600 kg m-3)(0.76 m) = 10330 kg m-2 P = (10330 kg m-2)(104 m2cm-2) = 1.033 kg cm-2

O bien:

Usualmente, se acostumbra expresar la expresión en términos de altura de agua, por lo tanto, la presión atmosférica normal de estas unidades valdrá:

h=

P (10330kgm −2 ) = = 10.33m.c.a. γ (1000kgm −3 )

En el sistema internacional de unidades S.I. la unidad básica para la medición de cualquier tipo de presión es el PASCAL, el cual se define como: 1PASCAL = 1 N m-2 Entonces, la presión atmosférica normal, expresada en pascales, valdrá:

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P = (10330 kg m-2)(9.81 N kg-1) = 101337.3 Pascales. Sin embargo, el pascal presenta el inconveniente de ser una unidad bastante pequeña para medir la gran mayoría de las personas usuales en ingeniería, por lo que se acostumbra usar algún múltiplo de esta como el KPA (kilopascal = 103 pascales), el MPA (megapascal = 106 pascales). A pesar de lo anterior, para el caso particular de la presión atmosférica, es muy usado el BAR, el cual se define como:1 BAR = 105 Pascales Por lo tanto, la presión atmosférica normal en bares será:  5 milibares   = 1.01337 bares P = (101337.3 Pascales) 10 bar   En la actualidad, la mayoría de las estaciones meteorológicas del mundo han estandarizado el milibar como unidad básica para la medición de la presión atmosférica, entonces:  3 milibares   = 1013.3 Milibares Patm normal = (1.01337 bares) 10 bar   La obtención del valor de la presión atmosférica normal en el sistema inglés de unidades, tanto en unidades coherentes (Lo pulg-2 o Lb pie-2), como unidades de altura (pulg o pies de mercurio o de agua) se deja como ejercicio (ver problema V.8.1) Por otra parte, como se dijo anteriormente, la presión atmosférica local varía principalmente con la altitud sobre el nivel del mar. Existen numerosos gráficos en donde se puede obtener tal variación, aquí se presenta la figura 5.9, la

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cual dá la variación de la presión atmosférica con la altitud sobre el nivel del mar, así como la temperatura de ebullición del agua para el mismo rango de altitudes. Sin embargo, para fines prácticos, y cuando no se disponga de un grafico como el de la figura 5.9 conviene recordar la siguiente regla, la cual puede aplicarse con muy poco margen de error: La expresión atmosférica local disminuye 25.4 mm (10``) de mercurio por cada 305 m (1000 pies) sobre el nivel del mar. Obviamente esta disminución a partir del valor de la presión atmosférica normal o estándar que, como se vio anteriormente, es de 760 mm de mercurio. Además, existen algunas fórmulas empíricas bastante confiables, como la propuesta por la Comisión Internacional de la Navegación Aérea, la cual expresa que:  288 − 0.0065Z  P = 1013.2   288  

2.256

(5.26) Válida para ( 0 ≤ Z ≤ 12000m )

Donde: P= presión atmosférica local en milibares

Z = Altitud sobre el nivel del mar en metros.

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1.1.4 DISPOSITIVOS DE MEDICIÓN MEDICION DE LA PRESION RELATIVA Y ABSOLUTA. En esta selección, se describirá en forma breve, el principio de fundamentos de los aparatos más comunes para medir la relación relativa y absoluta. TUBOS PIEZOMETRICOS

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Este aparato es un tubo transportable de diámetro pequeño (entre 12 y 15 mm.) que se conectan al punto en donde se requiere medir la presión (véase figura 1.10)

Este dispositivo mide la presión hidrostática de un líquido midiéndolo la altura allá que asciende el mismo dentro del tubo, por lo tanto, un tubo piezometrito mide la altura de presión en un líquido, y si se quiere conocer la presión en unidades de fuerza sobre área hay que aplicar la ecuación 1.25. Una de las ventajas que este aparato es su gran precisión y si desventaja principal es que solo sirve para medir presiones pequeñas, ya que de lo contrario se requeriría que el tubo fuera muy alto, cosa que resultaría impractica. Manómetros con líquido Para medir presiones relativas

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Los manómetros de líquido consisten simplemente en un tubo en forma de U el cual contiene en su interior un líquido. El tubo se conecta por uno de sus brazos al depósito o tubería donde se requiera medir la presión, estando el otro brazo abierto a la atmósfera (véase Fig. 1.11).

El líquido dentro del tubo se denomina líquido manométrico (color negro, ver la Fig. 1.11) y es muy común que sea mercurio ya que tiene una densidad muy alta y un bajo coeficiente de expansión térmica. Son también usados, sobre todo para medir presiones más pequeñas: El tetracloruro de carbono (Dr = 1.6 a 20ºC) , el tetrabromoeato (Dr = 3.43 a 0ºC), el bromuro de etileno (Dr = 2.18 a 0ºC), el bromorfo (Dr = 3.0 a 0ºC), el tolueno (Dr = 0.87), la parafina (Dr = 0.87), la parafina (Dr = 0.81) y el agua (Dr = 1.0); éstos tres últimos se utilizan sobre todo cuando la presión que va a medirse es de un gas. Este tipo de manómetros pueden medir presiones relativas positivas y negativas. Esto se muestra en la Fig. 1.11, en la cual se presentan tres casos posibles. En la Fig. 1.11a se está midiendo una presión relativa positiva, ya que la

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presión del depósito es mayor que la presión atmosférica local e impulsa al líquido manométrico hacia el brazo derecho del manómetro. En la Fig. 1.11b sucede lo contrario, es decir, la presión atmosférica local es mayor que la presión del depósito y, por consecuencia, el líquido manométrico se eleva en el tubo conectado al depósito; la presión de este caso será una presión relativa negativa. Finalmente, en la Fig. 1.11c las presiones del depósito y de la atmósfera son iguales y, por tanto, el líquido manométrico sube a la misma altura en ambos brazos, la lectura en este caso sería cero, en la escala relativa de presiones obviamente.

Para medir presiones absolutas Este tipo de manómetro puede usarse también para medir presiones absolutas, sólo que en este caso el brazo derecho del manómetro no debe encontrarse abierto a la atmósfera, sino que debe estar cerrado y vacío. De esta manera, todas las presiones que se midan en el depósito o tubería serán absolutas, ya que son medidas a partir del cero absoluto. Esto se muestra en la Fig. 1.12

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Cuando en ambos brazos del manómetro el líquido se encuentre al mismo nivel (Fig. 1.12b), quiere decir que la presión en el depósito o tubería equivale al CERO ABSOLUTO, es decir, el depósito está vacío. Manómetro diferencial Algunas veces, a los manómetros de tubo en U se les llama manómetros diferenciales, pues miden la diferencia de presión entre un depósito o tubería y la atmósfera. Sin embargo, en forma más particular, se acostumbra llamar manómetro diferencial a un tubo en U que mida la diferencia de presiones entre dos depósitos o entre dos secciones de un mismo conducto, ver Fig. 1.13

Manómetro de Bourdon Este tipo de manómetro consta de un tubo que tiene una sección transversal elíptica, doblado en un aro circular y hueco en su parte interior.

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El principio de funcionamiento de éste manómetro se muestra en la Fig. 1.14. Cuando la presión atmosférica local (presión relativa cero) prevalece por la parte exterior del tubo, éste no se reflexiona; para ello, la aguja del manómetro, está calibrada para leer una presión de cero en la carátula exterior. Cuando se aplica una presión al manómetro (la cual entra por el interior del tubo elíptico) el tubo tiende a enderezarse, en forma muy parecida a esos juguetes que se dan en las fiestas llamados “espanta suegras” que se enderezan cuando se sopla por su extremo. El extremo del tubo ya conectado a un mecanismo previamente calibrado, el cual hace que la aguja se mueva e indique la correspondiente presión en la carátula exterior.

Un manómetro de Bourdon puede medir también presiones absolutas, a condición de que por la parte exterior del tubo elíptico reine un vacío total. Esto sólo puede lograse si el interior del manómetro, donde está alojado el tubo elíptico, se encuentre sellado y vacío; de esta manera, cualquier presión por encima del cero absoluto que entre el tubo elíptico deformará este, ya que por su parte exterior la presión equivale al cero absoluto. Este tipo de manómetro es muy común y es bastante confiable sino se le somete a excesivas pulsaciones de presión o a choques externos indebidos. Sin embargo, como ambas condiciones prevalecen a veces en la práctica, es 31

deseable que se instalen amortiguadores de pulsaciones en la línea que conduce a tales manómetros y que éstos se calibren periódicamente para verificar su exactitud. Otros tipos de manómetros Existen múltiples tipos de manómetros además de los descritos anteriormente, como son: Manómetros de cubeta, Manómetros diferenciales tóricos, Manómetros de membrana, Micromanómetros, Manómetros de fuella, de émbolo, de resorte, combinados, eléctricos, etc. Si el lector se interesa en ellos puede consultar por ejemplo: Mataix, Claudio (1982), Creus, Antonio (1981) o Holzbock, Werner (1982) PRESIÓN DE SATURACIÓN DE VAPOR Todos los líquidos que se exponen a la atmósfera presentan una superficie libre. Entre ésta y el aire de la atmósfera (intercara) existe un incesante movimiento de moléculas que escapan del líquido, esto es, el líquido se evapora. Un líquido volátil, por ejemplo: se vaporiza completamente al contacto con la atmósfera. Si la superficie libre está en contacto con su espacio cerrado y vacío (por ejemplo en el espacio vacío de los manómetros de tubo en U mostrados en la Fig. 1.12 o en el barómetro de Torricelli, mostrado en la Fig. 1.8) la evaporación se produce sólo hasta que en espacio se satura de vapor. Éste vapor ejerce una presión sobre la superficie libre, la cual impide que el líquido se siga evaporando y cuya magnitud depende únicamente de la temperatura. Esta presión se denomina Presión de saturación de vapor, y es denotada por Ps. Debido a lo anterior, la altura a la que se asciende el mercurio en un barómetro de Torriceli no es simplemente h =

patm.local , sino que, como el espacio γ

vacío dentro del tubo se satura con el vapor de mercurio, entonces la altura real será: 32

h=

Patm.local − Ps γ

(1.27)

Donde: γ = peso específico del mercurio Lo mismo sucede en los manómetros de presión absoluta como los mostrados en la Fig. 1.12, los cuales en realidad no están refiriendo sus lecturas al CERO ABSOLUTO sino al valor de la presión de saturación de vapor del líquido manométrico a la temperatura que se encuentre. Sin embargo, como la presión de saturación de vapor de los líquidos comunes a temperaturas ordinarias (10 a 30ºC) es muy pequeña, en la mayoría de los casos prácticos puede despreciarse. A pesar de esto, como la presión de saturación de vapor de un líquido aumenta con la temperatura, hay que tener cuidado en tomarle en cuenta principalmente cuando ésta es algo elevada (digamos, mayor de 45ºC en el caso del agua). Cada líquido tiene sus respectivos valores de presión de saturación en vapor en función de la temperatura. En la Fig. 1.15 se muestran estos valores para el agua. Obviamente, según lo explicado anteriormente, la presión de saturación de vapor, es una PRESIÓN ABSOLUTA.

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1.2 EMPUJE HIDROSTÁTICO A Arquímedes de Siracusa (287 – 212 A. de C) que fue uno de los más grandes hombres de ciencia de la antigua Grecia, se le considera actualmente como el Padre de la Hidrostática, ya que una de sus mayores aportaciones a la ciencia es el llamado Principio de Arquímedes, el cual se enuncia como “todo cuerpo total o parcialmente sumergido en influido experimenta un empuje vertical hacia arriba que es igual al peso del volumen de fluido desalojado”. Este empuje actúa en el centro de gravedad de la parte sumergida del cuerpo.

DEMOSTRACIÓN TEÓRICA Al igual que el principio de Pascal, el de Arquímides tiene varias formas de demostrarse, tanto teórica como práctica, de las cuales se expondrán algunas a continuación: Si sumergimos un prisma regular dentro de un fluido y obtenemos la resultante de las fuerzas verticales que actúan sobre este prisma por parte del fluido tenemos:

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ΣFy = P2 A − P1 A................1 En donde: A = Área de la sección transversal del prisma De acuerdo con el principio de Stevin las presiones P1 y P2 valen: P1 = γZ ...........................2 P2 = γ ( Z + h).................3 Obviamente, P2 es mayor que P1 ya que el área donde actúa esta última presión se encuentra a menor profundidad en el fluido. Sustituyendo 2 y 3 en 1 tenemos: ΣFy = γ ( Z + h) A − γZA ΣFy = γZA + γhA − γZA ΣFy = γhA.........................4 Pero hA = volumen del prisma (V), entonces: ΣFy = γV ..........................5

35

El signo positivo indica que el sentido de esta fuerza es vertical hacia arriba, de acuerdo con la convención de la Fig. 6.1 Debido a lo anterior, a esta fuerza se le llama fuerza de empuje o simplemente empuje y se designa con la letra (E), por lo tanto, la ecuación 5 nos queda: E = γV ................................6.1 La ecuación 6.1 es la representación matemática del principio de Arquímedes, en donde: E = empuje sobre el cuerpo γ = peso específico del fluido en que se encuentra sumergido el cuerpo V = volumen desplazado del fluido Una forma alterna de representar teóricamente el principio de Arquímedes es debido al principio de la conservación del trabajo y la energía, como se ve enseguida: Consideramos que levantamos imaginariamente un cuerpo de volumen (V) y peso específico ( γ 0 ) una altura (h), haciéndolo en el vacío y después dentro de un fluido con peso específico ( γ ). Para el primer caso hay que efectuar un trabajo igual a W1 = γ 0Vh . En el segundo caso, en el cual se despreciará el rozamiento, se gasta menos energía, ya que al levantar el cuerpo de volumen (V) a la misma altura (h), un volumen (V) del fluido desciende la misma altura. Por esta razón, el trabajo necesario para levantar el cuerpo en el segundo caso es igual a: W2 = γ 0Vh − γVh . Interpretando la cantidad de trabajo que restamos ( γVh ), E = γV .................................6.1 podemos decir, que en comparación con el vacío, dentro del fluido actúa una

36

fuerza complementaria F = γV que facilita el ascenso del cuerpo. Esta fuerza es precisamente el empuje, por lo tanto: Que es la misma ecuación obtenida anteriormente. DEMOSTRACIÓN PRÁCTICA Se cuelga un cilindro (I) y un cubo (II) de igual volumen del brazo izquierdo de una balanza. Ambos se equilibran con la carga o contrapeso III. Supongamos que ahora sumergimos el cilindro (I) dentro de un líquido. Debido a esto, el brazo izquierdo de la balanza se elevará a causa de la fuerza de empuje que actúa sobre el cilindro (I) sumergido. El equilibrio vuelve a lograrse si llenamos el cubo (II) con un volumen de agua igual al volumen del cilindro (I). Como el volumen de agua es igual al volumen del cilindro sumergido (I), entonces quiere decir que el empuje ascendente es igual al peso del líquido que llevaría el espacio ocupado por el cilindro, (ver Fig. 6.2)

Fig. 6.2 Demostración práctica del principio de Arquímides

RESUMEN DEL PRINCIPIO DE ARQUÍMIDES Todos los cuerpos experimentan un empuje vertical hacia arriba al estar sumergidos en un fluido, nosotros mismos, en este instante, estamos recibiendo un empuje vertical hacia arriba igual al peso específico del fluido que desalojamos 37

(aire) por el volumen desalojado (volumen de nuestro cuerpo). Claro, nosotros estamos acostumbrados a vivir con este empuje, el cual, es despreciable en comparación con el peso de nuestro cuerpo y es bastante pequeño como para hacernos flotar en el aire. Por ejemplo, un hombre promedio, con un volumen corporal de 70 lts. Estará recibiendo, por parte del aire que desaloja, un empuje aproximadamente igual a:

kg   E = γV = 1.23 3 (0.07 m 3 ) = 0.085kg = 85 grs , el cual es bastante pequeño. m   Sin embargo, si este mismo hombre se sumerge en agua, entonces el empuje que kg   3 recibirá será: E = γV = 1000 3 (0.07 m ) = 70kg , el cual ya no es espreciable, e m   incluso, es tan grande que hará que el hombre flote en el agua. De hecho, todos los seres humanos normales y la mayoría de los animales recibimos por parte del agua un empuje mayor a nuestro peso, y por lo tanto, al sumergirnos en ella flotamos. De la misma manera flotaríamos en cualquier líquido que tuviera un peso específico mayor que el del agua. Pero si nos sumergimos en un líquido que tenga un peso específico algo menor que el del agua no flotaríamos (sería menor que nuestro peso). Sin embargo, nuestro peso aparente dentro de esos líquidos sería menor. El empuje, de acuerdo con lo anterior, puede expresarse en forma alterna como la diferencia del peso del cuerpo en el aire y el peso aparente que tendría al estar totalmente sumergido en un fluido. Esto es: E = Wen el aire-Wen el fluido En donde:

E = empuje Wen

el aire

= peso del cuerpo en el aire 38

Wen

el fluido

= peso del cuerpo sumergido en un fluido

Obviamente la condición para que esta ecuación sea válida es que el cuerpo se encuentre totalmente sumergido en un fluido. Cualquier material que su peso específico sea menor que el peso específico del fluido que le rodea (sea líquido o gas), flotará en este. Por todo de lo que ya estuvimos hablando podemos establecer que:  Cualquier cuerpo que su peso sea menor o igual al peso del volumen del líquido que puede desplazarse si se sumerge en este FLOTARÁ  Cualquier cuerpo que su peso sea mayor al peso del volumen de líquido que puede desplazar al sumergirse en éste se HUNDIRÁ El principio de Arquímedes, a parte de ser la base para la construcción de barcos tiene múltiples aplicaciones. 1.2.1 RESULTANTE DE LA CUÑA DE PRESIÓN En este problema vamos a construir una escala para un hidrómetro. Un hidrómetro es un aparato que se utiliza para medir la densidad de los líquidos (midiendo directamente la densidad relativa). Éste aparato se muestra en la Fig. 6.3 y consta de un vástago y un bulbo. En el fondo del bulbo y por dentro de este se colocan pequeñas esferas metálicas (balines) usualmente de plomo, con el fin de hacer que el centro de gravedad del hidrómetro quede ubicado lo más bajo posible de éste para que flote verticalmente al sumergirlo en cualquier líquido. El bulbo siempre se debe quedar sumergido, emergiendo sólo parte del vástago. Obviamente mientras mas denso sea el líquido emergerá una mayor

39

altura del vástago (ya que el hidrómetro necesita desplazar un volumen menor de este líquido para equilibrar su peso) y viceversa. La escala se coloca pues en el vástago y se calibra marcando la posición de la superficie libre cuando el hidrómetro flota en agua destilada. A este punto corresponderá una densidad relativa (Dr = 1). Para trazar la escala a partir de este valor se efectúa lo siguiente: Sea: VB = volumen del bulbo A = área de la sección transversal del vástago

γ A = peso específico del agua γ X = peso específico del líquido WH = peso total del hidrómetro l = profundidad que se sumerge el hidrómetro cuando flota en un líquido x Cuando el hidrómetro flota en agua se cumple que: ΣFy = 0

E – WH = 0

E = WH WH = γ A (VB + Al )........................1 Y cuando lo hace en otro líquido x WX = γ A (VB + Al X )........................2 Igualando 1 y 2 tenemos que:

40

γ X (VB + Al X ) =γ A (VB + Al ) γ X VB + γ X Al X = γ AVB + γ A Al γ X Al X − γ A Al = γ AVB − γ X VB Dividiendo por γ A nos queda:

γX γ Al X − Al = VB − X VB γA γA

Pero

γX = Dr , entonces: γA

DrAl X −V B − DrV B DrAl X = V B − DrV B + Al DrAl X = V B (1 − Dr ) + Al  1  Al Al X = V B  −1 +  Dr  Dr V  1  l lx = B  −1 + A  Dr  Dr

lx =

l V  1  + B − 1...................6.3 Dr A  Dr 

En donde: Dr = densidad relativa del líquido (x)

41 Fig. 6.3 Hidrómetro

Con la ecuación 6.3, conocidos el volumen del bulbo (VB), la sección transversal del vástago y la longitud l a partir del bulbo a la que se sumerge el hidrómetro, se puede calcular cualquier altura lx para líquidos de diferentes densidades relativas. Observe que si sustituimos Dr = 1 en la ecuación 6.3 nos queda que: lx = l Si sustituimos una Dr >1 obtendremos que: lx < l y sustituimos una Dr < 1 obtenemos que: lx > l Lo anterior puede comprobarse en el laboratorio para cualquier hidrómetro. 1.2.2 CENTROS DE PRESION Para sumergir totalmente en agua una colchoneta inflable necesitamos empujarla hacia abajo. Es más fácil sostener un objeto pesado dentro del agua que fuera de ella. Cuando buceamos pareciera que nos apretaran los tímpanos. Éstos y muchos otros ejemplos nos indican que un líquido en equilibrio ejerce una fuerza sobre un cuerpo sumergido. Pero, ¿qué origina esa fuerza?, ¿en qué dirección actúa?, ¿también el aire en reposo ejerce fuerza sobre los cuerpos?, ¿qué determina que un cuerpo flote o no? Éstas son algunas de las cuestiones que aborda la estática de fluidos: el estudio del equilibrio en líquidos y gases. Un fluido en reposo en contacto con la superficie de un sólido ejerce fuerza sobre todos los puntos de dicha superficie. Si llenamos de agua una botella de plástico con orificios en sus paredes observamos que los chorritos de agua salen en dirección perpendicular a las paredes. Esto muestra que la dirección de la fuerza que el líquido ejerce en cada punto de la pared es siempre perpendicular a la superficie de contacto. 42

En el estudio de los fluidos, resulta necesario conocer cómo es la fuerza que se ejerce en cada punto de las superficies, más que la fuerza en sí misma. Una persona acostada o parada sobre una colchoneta aplica la misma fuerza en ambos casos (su peso). Sin embargo, la colchoneta se hunde más cuando se concentra la fuerza sobre la pequeña superficie de los pies. El peso de la persona se reparte entre los puntos de la superficie de contacto: cuanto menor sea esta superficie, más fuerza corresponderá a cada punto. Se define la presión como el cociente entre el módulo de la fuerza ejercida perpendicularmente a una superficie (F perpendicular) y el área (A) de ésta: En fórmulas es: p=F/A La persona parada ejerce una presión mayor sobre la colchoneta que cuando está acostada sobre ella. La fuerza por unidad de área, en cada caso, es distinta. Cuando buceamos, la molestia que sentimos en los oídos a una cierta profundidad no depende de cómo orientemos la cabeza: el líquido ejerce presión sobre nuestros tímpanos independientemente de la inclinación de los mismos. La presión se manifiesta como una fuerza perpendicular a la superficie, cualquiera sea la orientación de ésta. Densidad y peso específico La densidad es una magnitud que mide la compactibilidad de los materiales, es decir, la cantidad de materia ¡contenida en un cierto volumen. Si un cuerpo está hecho de determinado material, podemos calcular su densidad como el cociente entre la masa del cuerpo y su volumen: d = m/V Análogamente, se define el peso específico como el peso de un determinado volumen del material. Por lo tanto:

p=P/V

(peso dividido el 43

volumen, pero el peso es la masa (m) por la aceleración de la gravedad (g)) Se puede entonces escribir: p=(m.g)/V. Como vimos antes, m/V es la densidad d, entonces p=d.g Las unidades de presión que se utilizan normalmente son:

Sistema

Unidad

Nombre

M.K.S. TECNICO

N/m² Kg/m²

Pascal (Pa) --Baría

C.G.S.

dina/cm²

EL PRINCIPIO DE PASCAL En las figuras se muestran dos situaciones: en la primera se empuja el líquido contenido en un recipiente mediante un émbolo; en la segunda, se empuja un bloque sólido. ¿Cuál es el efecto de estas acciones? ¿Qué diferencia un caso de otro?

44

La característica estructural de los fluidos hace que en ellos se transmitan presiones, a diferencia de lo que ocurre en los sólidos, que transmiten fuerzas. Este comportamiento fue descubierto por el físico francés Blaise Pascal (16231662) , quien estableció el siguiente principio: Un cambio de presión aplicado a un fluido en reposo dentro de un recipiente se transmite sin alteración a través de todo el fluido. Es igual en todas las direcciones y actúa mediante fuerzas perpendiculares a las paredes que lo contienen. El principio de Pascal fundamenta el funcionamiento de las genéricamente llamadas máquinas hidráulicas: la prensa, el gato, el freno, el ascensor y la grúa, entre otras. Cuando apretamos una chinche, la fuerza que el pulgar hace sobre la cabeza es igual a la que la punta de la chinche ejerce sobre la pared. La gran superficie de la cabeza alivia la presión sobre el pulgar; la punta afilada permite que la presión sobre la pared alcance para perforarla. Cuando caminamos sobre un terreno blando debemos usar zapatos que cubran una mayor superficie de apoyo de tal manera que la presión sobre el piso sea la mas pequeña posible. Seria casi imposible para una mujer, inclusive las mas liviana, camina con tacos altos sobre la arena, porque se hundiría inexorablemente. El peso de las estructuras como las casas y edificios se asientan sobre el terreno a través de zapatas de hormigón o cimientos para conseguir repartir todo el peso en la mayor cantidad de área para que de este modo la tierra pueda soportarlo, por ejemplo un terreno normal, la presión admisible es de 1,5 Kg/cm². La Presa Hidráulica

45

El principio de Pascal fundamenta el funcionamiento de las genéricamente llamadas máquinas hidráulicas: la prensa, el gato, el freno, el ascensor y la grúa, entre otras.

Este dispositivo, llamado prensa hidráulica, nos permite prensar, levantar pesos o estampar metales ejerciendo fuerzas muy pequeñas. Veamos cómo lo hace. El recipiente lleno de líquido de la figura consta de dos cuellos de diferente sección cerrados con sendos tapones ajustados y capaces de res-balar libremente dentro de los tubos (pistones). Si se ejerce una fuerza (F1) sobre el pistón pequeño, la presión ejercida se transmite, tal como lo observó Pascal, a todos los puntos del fluido dentro del recinto y produce fuerzas perpendiculares a las paredes. En particular, la porción de pared representada por el pistón grande (A2) siente una fuerza (F2) de manera que mientras el pistón chico baja, el grande sube. La presión sobre los pistones es la misma, No así la fuerza! Como p1=p2 (porque la presión interna es la misma para todos lo puntos). Entonces: F1/A1 es igual F2/A2 por lo que despejando un termino se tiene que: F2=F1.(A2/A1)

46

Si, por ejemplo, la superficie del pistón grande es el cuádruple de la del chico, entonces el módulo de la fuerza obtenida en él será el cuádruple de la fuerza ejercida en el pequeño. La prensa hidráulica, al igual que las palancas mecánicas, no multiplica la energía. El volumen de líquido desplazado por el pistón pequeño se distribuye en una capa delgada en el pistón grande, de modo que el producto de la fuerza por el desplazamiento (el trabajo) es igual en ambas ramas. ¡El dentista debe accionar muchas veces el pedal del sillón para lograr levantar lo suficiente al paciente!

1.2.3 EMPUJES EN SUPERFICIES PLANAS Se considera un recipiente con un líquido en reposo, donde una de sus paredes tiene una inclinación θ respecto a la horizontal, como se indica en la fig. 29. Sobre esta pared se delimita una superficie de área A para la cual se desea conocer la fuerza resultante debida a la presión hidrostática, así como su punto de aplicación o centro de presiones. La fuerza resultante sobre la superficie A será:

47

Ρ = ∫∫ pdA =γ ∫∫ zdA(2.14) A

A

es decir, el volumen de a cuña de distribución de presiones abcd está limitada por el área A. La integral que aparece en la Ec. (2.14) es el momento estático del área respecto de la superficie libre del líquido y se puede expresar en términos del área A y de la profundidad de su centro de gravedad zG.

El empuje hidrostático es entonces P = γAz G (2.15)

Las coordenadas ( X K , YK ) del centro de presiones se obtienen cuando se iguala la suma de los momentos estáticos de las áreas diferenciales respecto de los ejes x y y, con el producido por la fuerza resultante. Para el eje x tenemos que PYk = ∫∫ yγ zdA A

donde la integral representa el momento estático del volumen de la cuña de presiones respecto del eje x. De aquí se deduce que y k coincide con la ordenada de la proyección K´ del centro de gravedad S, de la cuña. Se puede dar también una interpretación distinta y para ello se substituye Z=Y sen θ en la ecuación anterior:

Py k = γsenθ ∫∫ y 2 dA (2.16) A

48

Figura 2.9. Empuje hidrostático y centro de presiones sobre una superficie plana e inclinada

donde la integral es el momento de inercia del área A respecto del eje x, el cual es también I X = ∫∫ y 2 dA = I X + AyG 2 A

en que I X es el momento de inercia del área respecto de un eje centroidal 2

paralelo a x; I X puede también expresarse como I X = r x A, donde r x es el radio de giro de A respecto del eje centroidal paralelo a x. Por tanto, si se substituye la Ec. (215) en la (216), con z G = y G senθ , resulta: 2 rx yk = + yG yG (2.17) Obsérvese que el centro de presiones se encuentra por debajo del centro de gravedad del área. Aunque tiene importancia secundaria, se puede calcular en forma análoga a X K : PX K = rsenθ ∫∫ xydA A

49

La integral de esta ecuación representa el producto de inercia I xy , del área respecto del sistema de ejes x-y; por tanto XK =

I XY (2.18) yG A

Generalmente, las superficies sobre las que se desea calcular el empuje hidrostático son simétricas respecto de un eje Paralelo a y. Esto hace que I xy = 0 y

que

el

centro

de

presiones

quede

sobre

dicho

eje.

Un procedimiento gráfico para determinar yK se presenta en la Fig. 2.9: sobre G´ se levanta una normal G´M a la superficie de altura γ x ; la intersección de la perpendicular a la recta O1 M con la superficie señala la posición de K´. Se deja al lector la demostración del procedimiento. En la tabla 2.1 se presentan la posición del centro de gravedad, el área y el radio del giro de las figuras más usuales.

Problema 2.1. Calcular el empuje hidrostático y el centro de presiones sobre la pared de 2 m de ancho de un tanque de almacenamiento de agua, para los siguientes casos: a) pared vertical con líquido de un solo lado (Fig. 2.10); b) pared inclinada con liquido en ambos lados (figura 2.lla); c) pared vertical con líquido en ambos lados (Fig. 2. llb).

50

Figura 2.10. Distribución de la presión hidrostática sobre una pared vertical.

Solución a). En la Fig. 2.10 se muestra la distribución de presiones hidrostáticas del agua sobre la pared vertical. La presión total para γ = 1ton / m 3 , según la Ec. (2.t5), vale h h2 2.4 2 = γb = 1× 2 × 2 2 2 P = 5.76ton P = γbh

El empuje hidrostático es igual al volumen de la cuña de distribución de presiones.

La profundidad del centro de presiones según la Ec. (217) y las características

indicadas en la Fig. 2.10, vale

51

ZK =

h 2 x2 h 2 + = h = 1.6m 12h 2 3

Fig. 2.11 Empuje hidrostático sobre una pared inclinada o vertical con líquido en ambos lados

Este valor también es e! de la profundidad del centro de gravedad de la cuña de distribución de presiones. 52

Solución b). La distribución depresiones es lineal en ambos lados y de sentido contrario, siendo la distribución resultante como se muestra en la Fig. 2. lla. En la misma forma que en la solución (a), el empuje hidrostático sobre la pared es el volumen de la cuña de distribución de presiones de ancho h indicada con el área sombreada, la cual se puede determinar calculando el área del triángulo

de

presiones

de

la

izquierda

menos

el

de

la

derecha.

Para el triángulo a la izquierda

P1 = γb

h12 2 senθ

Aplicada a la distancia y k 1 , desde el punto A, entonces

y k1 =

2 h1 3 senϑ

Para el triangulo a la derecha, se tiene que

P1 = γb

h22 2 senθ

Aplicada a la distancia y k 2 desde el punto A, resulta yk2 =

h1 − ( h2 / 3) senϑ

El empuje total esta representado por la cuña sombreada:

P = P1 − P2 = γb

(

)

h12 − h22 2.4 2 − 1.4 2 = 1x = 4.388ton 2senϑ 2 x 0.866 53

Tomando momentos de las fuerzas respecto A, obtenemos h12 h22 h1 − ( h2 / 3) 2 h1 Py k = γb x − λb 2senϑ 3 senϑ 2senϑ senϑ Substituyendo el valor de P, y k se puede despejar y escribir en la forma

yk =

h1 1 h13 − h23 2.4 2.916 − = − = 1.649m 2 2 senϑ 3senϑ h1 h2 0.866 3x 0.866

SOLUCIÓN c). Para el caso de la figura 2.11b es suficiente hacer ϑ =90º en lasa ecuaciones anteriores resultando h12 − h22 2.4 2 − 1.4 2 P = γb = 1x 2 x = 3.8ton 2 2 1 h13 − h23 y k = z k = h1 − 3 h13 − h22

y k = 2.4 −

1 2.4 3 − 1.4 3 = 1.428m 3 2.4 2 − 1.4 2

54

1.2.4 EMPUJES EN SUPERFICIES CURVAS TEOREMA DE PASCAL Para sumergir totalmente en agua una colchoneta inflable necesitamos empujarla hacia abajo. Es más fácil sostener un objeto pesado dentro del agua que fuera de ella. Cuando buceamos pareciera que nos apretaran los tímpanos. Éstos y muchos otros ejemplos nos indican que un líquido en equilibrio ejerce una fuerza sobre un cuerpo sumergido. Pero, ¿qué origina esa fuerza?, ¿en qué dirección actúa?, ¿también el aire en reposo ejerce fuerza sobre los cuerpos?, ¿qué determina que un cuerpo flote o no? Éstas son algunas de las cuestiones que aborda la estática de fluidos: el estudio del equilibrio en líquidos y gases. Un fluido en reposo en contacto con la superficie de un sólido ejerce fuerza sobre todos los puntos de dicha superficie. Si llenamos de agua una botella de plástico con orificios en sus paredes observamos que los chorritos de agua salen en dirección perpendicular a las paredes. Esto muestra que la dirección de la fuerza que el líquido ejerce en cada punto de la pared es siempre perpendicular a la superficie de contacto. En el estudio de los fluidos, resulta necesario conocer cómo es la fuerza que se ejerce en cada punto de las superficies, más que la fuerza en sí misma. Una persona acostada o parada sobre una colchoneta aplica la misma fuerza en ambos casos (su peso). Sin embargo, la colchoneta se hunde más cuando se concentra la fuerza sobre la pequeña superficie de los pies. El peso de la persona se reparte entre los puntos de la superficie de contacto: cuanto menor sea esta superficie, más fuerza corresponderá a cada punto. Se define la presión como el cociente entre el módulo de la fuerza ejercida perpendicularmente a una superficie (F perpendicular) y el área (A) de ésta: En fórmulas es: p=F/A 55

La persona parada ejerce una presión mayor sobre la colchoneta que cuando está acostada sobre ella. La fuerza por unidad de área, en cada caso, es distinta. Cuando buceamos, la molestia que sentimos en los oídos a una cierta profundidad no depende de cómo orientemos la cabeza: el líquido ejerce presión sobre nuestros tímpanos independientemente de la inclinación de los mismos. La presión se manifiesta como una fuerza perpendicular a la superficie, cualquiera sea la orientación de ésta. EMPUJES EN SUPERFICIES PLANAS Y CURVAS El teorema fundamental de la hidrostática ¿Por qué las paredes de un dique van aumentando su espesor hacia el fondo del lago’? ¿Por qué aparecen las várices en las piernas? Es un hecho experimental conocido que la presión en el seno de un líquido aumenta con la profundidad. Busquemos una expresión matemática que nos permita calcularla. Para ello, consideremos una superficie imaginaria horizontal S, ubicada a una profundidad h como se muestra en la figura de la derecha.

La presión que ejerce la columna de líquido sobre la superficie amarilla será: p = Peso del líquido/Area de la base Con matemática se escribe: p = P/S = (d . V)/S=(d . S . h)/S= d . h (porque la S se simplifican) Donde p es el peso específico del líquido y V es el volumen de la columna de fluido que descansa sobre la superficie S. 56

Es decir que la presión que ejerce un líquido en reposo depende del peso específico (p) del líquido y de la distancia (h) a la superficie libre de éste.

i ahora consideramos dos puntos A y B a diferentes profundidades de una columna de líquido en equilibrio, el mismo razonamiento nos permite afirmar que la diferencia de presión será: PA —PB = p . hA— d . hB Este resultado constituye el llamado teorema fundamental de la hidrostática: La diferencia de presión entre dos puntos dentro de una misma masa líquida es el producto del peso específico del líquido por la distancia vertical que los separa. Ésta es la razón por la cual dos puntos de un fluido a igual profundidad estarán a igual presión. Por el contrario, si la presión en ambos puntos no fuera la misma, existiría una fuerza horizontal desequilibrada y el líquido fluiría hasta hacer que la presión se igualara, alcanzando una situación de equilibrio. Hasta aquí sólo hemos encontrado la expresión de la presión que ejerce el líquido sobre un cuerpo —imaginario o no— sumergido en una determinada profundidad h. Ahora bien, ¿cuál es la presión total ejercida en el cuerpo? Si tenemos en cuenta que, probablemente, por encima del líquido hay aire (que también es un fluido), podemos afirmar que la presión total ejercida sobre el cuerpo es debida a la presión de la columna del líquido más la presión que ejerce el aire sobre la columna. Es decir: P = Paire + Plíquido = Patmosférica + d . h 57

Este resultado tiene generalidad y puede ser deducido del teorema fundamental de la hidrostática. Veamos cómo. Si consideramos que el punto B se encuentra exactamente en la superficie del líquido, la presión en A es: PA= PB+ d . Ah = Psuperficie + P. (hA-hB) = Atmosférica + d . h Los

vasos

comunicantes

son

recipientes

comunicados

entre

sí,

generalmente por su base. No importa cuál sea la forma y el tamaño de los recipientes; en todos ellos, el líquido alcanza la misma altura.

Cuando tenemos un recipiente vertical conteniendo un líquido y le hacemos perforaciones en sus paredes, las emisiones del líquido de los agujeros de la base tendrán mayor alcance que las emisiones de arriba, ya que a mayor profundidad hay mayor presión. 1.3 FLOTACION El primer requisito para que un barco flote es que cumpla con el principio de Arquímedes es decir, que se construya de tal forma que:  Desplace más agua que su cuerpo

58

 Guardar simetría tanto geométrica, como sobre todo, dinámicamente; (al estar en agua tranquila el barco guarde una posición horizontal) Matemáticamente hablando, existen dos fuerzas que afectan la estabilidad de un barco:  El peso del mismo  El empuje que recibe por porte del agua desalojada. Por lo que se debe cumplir que: ΣFy = 0................... (Ya que el barco flota) E–W=0 E=W

Condición de equilibrio

El peso del barco actúa en el centro de gravedad de este (CG) mientras que el empuje actúa en el centro de gravedad del volumen sumergido del barco, al cual se le llama centreo de flotabilidad (CF) o de la canela (C). La Fig. 7.1 muestra un barco en aguas tranquilas, en esta condición el barco se encuentra estable, con su centro de gravedad situado por encima del centro de flotabilidad. En este caso, las fuerzas involucradas, es decir, el peso del barco y el empuje actúan sobre la misma línea de acción.

59

Sin embargo, cuando el barco se encuentra en altamar sufre cierto balanceo debido al oleaje y al viento. Para este caso, en la Fig. 7.2 se muestra un barco sufriendo un cierto balanceo. El centro de gravedad del barco (donde actúa el peso) sigue estando donde mismo, no así el centro de flotabilidad ya que este se ha trasladado a la izquierda debido a que la forma del volumen desplazado cambia por la forma del barco. El barco de esta figura se dice que es un BARCO ESTABLE, ya que como puede verse, la acción combinada de las dos fuerzas (peso W y empuje E) provocan un momento tendiente a enderezar el barco. El barco de la Fig. 7.3 se encuentra ladeado, pero este barco quizá es muy angosto o tiene su centro de gravedad muy arriba, esto hace que a pesar de que el centro de flotabilidad se ha desplazado hacia la izquierda a causa de que vació la forma del volumen desplazado, no fue suficiente para provocar el momento restaurado en el mismo. Como puede observarse, aquí la acción combinada de las dos fuerzas (W y E) hará que el barco actúe su balanceo y probablemente hará que zozobre. En las figuras 7.2 y 7.3 se encuentra un punto marcado con una (M). A este punto se le llama METACENTRO, el cual corresponde al punto de intersección de la línea de acción del empuje con el eje de simetría del barco.

60

La posición del metacentro es de vital importancia para determinar si un cuerpo flotante es estable o no. En general podemos decir que:  Si M se encuentra por encima del CG el cuerpo es estable  Si M se encuentra por debajo del CG el cuerpo es inestable  Si M y CG coinciden, el cuerpo tiene un equilibrio indiferente En el caso particular de un barco interesa que se cumpla la primera condición. Sin embargo, si M se encuentra por encima del CG, pero muy cerca una de la otra el barco se balanceará lenta y ampliamente y será muy probable que se hunda en caso de un choque. Si M está muy arriba del CG el barco regresará bruscamente a la vertical con riesgo de dañar la carga y causar trastornos a los tripulantes y pasajeros (será a lo que se le denomina BARCO DURO). La distancia que existe entre CG y M se llama altura metacéntrica, la cual, si M está por encima de CG (cuerpo estable) es positiva; si M coincide con CG (equilibrio indiferente) vale cero y si M se encuentra por debajo del CG es negativa. En la práctica un valor confiable de altura metacéntrica para barcos mercantes modernos totalmente cargados es de un 5% de la manga, es decir, la parte más ancha del barco. En el cuadro 7.1 se muestran algunos valores prácticos de altura metacéntrica para ciertos tipos de embarcaciones. TIPO DE EMBARCACIÓN

ALTURA METACÉNTRICA 61

Barcos de Vela Torpederos Cruceros Cargueros De Pasajeros

0.90 a 1.50 0.40 a 0.60 0.80 a 1.20 0.60 a 0.90 0.45 a 0.60

Cuadro 7.1 Algunas alturas metacéntricas de tipos diversos de buques

A veces, en la práctica, situar el metacentro de una embarcación resulta muy difícil, sin embargo, existen algunas ecuaciones, como la obtenida por Duhamel, la cual desarrollaremos enseguida, basándonos en la Fig. 7.4

El volumen desplazado total no cambia en valor por la vuelta a través del ángulo θ , pero si cambia en forma debido a la emersión del volumen en forma de cuña (omn) y a la sumersión de un volumen igual (om´n´) Estas cuñas representan una pérdida de empuje E2 debido al volumen emergido (omn) y una ganancia del mismo E1 debido a la sumersión del volumen (om´n´). La nueva posición de la fuerza de empuje total (E´) puede considerarse como la resultante de componer al empuje (E) en su posición original y las fuerzas 62

desequilibrantes de pérdida y ganancia de empuje (E1 y E2). Como el momento de una fuerza resultante es igual a la suma algebraica de los momentos de sus componentes y el centro de flotabilidad original (CF) se seleccionó como centro de momentos tenemos. Como E1 = E2 dejamos la ecuación 1 en función de E1, entonces: E´l = E (0) + E1 x + E2 y..................................1 E´l = E1 x + E1 y = E1 ( x + y )...............................2 Como, de la figura tenemos que: x + y = ∴l =

d d + = d entonces: E´l = E1d 2 2

E1d ´..........................3 E

Considerando un ángulo θ pequeño y de acuerdo con la Fig. 7.5 el volumen del prisma considerado es: dv = xtgθdA.........................................4 La fuerza de empuje sobre este prisma elemental será: dE1 = γdv = γxtgθdA...................................5 Y el momento de esta fuerza elemental con respecto a cero será: dM = xdE1 = γx 2tgθdA...................................6 La integral de esta ecuación representa el momento de E1 con respecto al eje “y”. Pero recordando que a lado izquierdo de “y” existe también otro prisma, sobre el que actúa una fuerza E2. Entonces el momento de la pareja E1 y E2 será el doble del momento que nos da la integral de la ecuación 6, ya que E 1 y E2 son iguales, entonces: 2 ∫ xdE1 = 2γtgθ ∫ x 2 dA........................................7 63

De estática tenemos que:

∫ xdE

1

= E1d , entonces sustituyendo:

E1d = 2γtgθ ∫ x 2 dA............................................8 2 También de estática tenemos que: 2 ∫ x dA = Iy donde:

Iy = momento de inercia con respecto al eje “y” (eje longitudinal del barco) del área de la sección transversal del barco en la línea de flotación, en consecuencia: E1d = γtgθIy.................................9 Sustituyendo en 3 tenemos: l= l=

γtgθIy ´..........................10 y como E´= γV entonces: E

γtgθIy tgθIy = ...................................11 γV V Ahora de la Fig. 7.4 tenemos: l = (CF • M ) senθ ......................12

Donde: CF·M es la distancia que hay entre el CF y el M. Sustituyendo en 11 nos queda: tgθIy V tgθIy ∴ CF • M = .........................................13 senθV (CF • M ) senθ =

Como θ es pequeño tenemos que tgθ ≈ senθ entonces la ecuación 13 puede escribirse como:

CF • M =

Iy .....................................7.1 V

64

Esta es la llamada ecuación de Duhamel. Como la altura metacéntrica es la distancia desde el CG hasta el M; se tiene que:

CG • M =

Iy ± (CG • CF )......................................7.2 V

Donde: + CG·M = altura metacéntrica + Iy = momento de inercia del área que la superficie libre del líquido intercepta en el cuerpo flotante con relación al eje de inclinación (eje sobre el cual se supone que el cuerpo pueda girar) V = volumen del líquido desplazado NOTA: el signo positivo representa el caso en el que el CG está debajo del CF. 1.3.1 PRINCIPIO DE ARQUIMEDES Notable matemático e inventor griego, que escribió importantes obras sobre geometría plana y del espacio, aritmética y mecánica. Nació en Siracusa, Sicilia, y se educó en Alejandría, Egipto. En el campo de las matemáticas puras, se anticipó a muchos de los descubrimientos de la ciencia moderna, como el cálculo integral, con sus estudios de áreas y volúmenes de figuras sólidas curvadas y de áreas de figuras planas. Demostró también que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe. En mecánica, Arquímedes definió la ley de la palanca y se le reconoce como el inventor de la polea compuesta. Durante su estancia en Egipto inventó el ‘tornillo sin fin’ para elevar el agua de nivel. Arquímedes es conocido sobre todo por el descubrimiento de la ley de la hidrostática, el llamado principio de Arquímedes, que establece que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta 65

una pérdida de peso igual al peso del volumen del fluido que desaloja (véase Mecánica de fluidos). Se dice que este descubrimiento lo hizo mientras se bañaba, al comprobar cómo el agua se desplazaba y se desbordaba.Arquímedes pasó la mayor parte de su vida en Sicilia, en Siracusa y sus alrededores, dedicado a la investigación y los experimentos. Aunque no tuvo ningún cargo público, durante la conquista de Sicilia por los romanos se puso a disposición de las autoridades de la ciudad y muchos de sus instrumentos mecánicos se utilizaron en la defensa de Siracusa. Entre la maquinaria de guerra cuya invención se le atribuye está la catapulta y un sistema de espejos —quizá legendario— que incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del sol. Al ser conquistada Siracusa, durante la segunda Guerra Púnica, fue asesinado por un soldado romano que le encontró dibujando un diagrama matemático en la arena. Se cuenta que Arquímedes estaba tan absorto en las operaciones que ofendió al intruso al decirle: "No desordenes mis diagramas". Todavía subsisten muchas de sus obras sobre matemáticas y mecánica, como el Tratado de los cuerpos flotantes, El arenario y Sobre la esfera y el cilindro. Todas ellas muestran el rigor y la imaginación de su pensamiento matemático. El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado. La explicación del principio de Arquímedes consta de dos partes como se indica en las figuras: 1. El estudio de las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido. 2. La sustitución de dicha porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones.

66

Porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido. Consideremos, en primer lugar, las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto de fluido. La fuerza que ejerce la presión del fluido sobre la superficie de separación es igual a p·dS, donde p solamente depende de la profundidad y dS es un elemento de superficie. Puesto que la porción de fluido se encuentra en equilibrio, la resultante de las fuerzas debidas a la presión se debe anular con el peso de dicha porción de fluido. A esta resultante la denominamos empuje y su punto de aplicación es el centro de masa de la porción de fluido, denominado centro de empuje. De este modo, para una porción de fluido en equilibrio con el resto se cumple Empuje=peso=rf·Gv El peso de la porción de fluido es igual al producto de la densidad del fluido rf por la aceleración de la gravedad g y por el volumen de dicha porción V. Se sustituye la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones si sustituimos la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones. Las fuerzas debidas a la presión no cambian, por tanto, su

67

resultante que hemos denominado empuje es el mismo, y actúa sobre el mismo punto, es decir, sobre el centro de empuje. Lo que cambia es el peso del cuerpo y su punto de acción que es su propio centro de masa que puede o no coincidir con el centro de empuje.

Por tanto, sobre el cuerpo actúan dos fuerzas: el empuje y el peso del cuerpo, que no tienen en principio el mismo valor ni están aplicadas en el mismo punto. En los casos más simples, supondremos que el sólido y el fluido son homogéneos y por tanto, coincide el centro de masa del cuerpo con el centro de empuje. Ejemplo: Supongamos un cuerpo sumergido de densidad ρ rodeado por un fluido de densidad ρf. El área de la base del cuerpo es A y su altura h.

68

La presión debida al fluido sobre la base superior es p1= ρfgx, y la presión debida al fluido en la base inferior es p2= ρfg(x+h). La presión sobre la superficie lateral es variable y depende de la altura, está comprendida entre p1 y p2. Las fuerzas debidas a la presión del fluido sobre la superficie lateral se anulan. Las otras fuerzas sobre el cuerpo son las siguientes: Peso del cuerpo, mg Fuerza debida a la presión sobre la base superior, p1·A Fuerza debida a la presión sobre la base inferior, p2·A En el equilibrio tendremos que mg+p1·A= p2·Amg+ρfgx·A= ρfg(x+h)·A o bien, mg=ρfh·Ag El peso del cuerpo mg es igual a la fuerza de empuje ρfh·Ag Como vemos, la fuerza de empuje tiene su origen en la diferencia de presión entre la parte superior y la parte inferior del cuerpo sumergido en el fluido. El principio de Arquímedes se enuncia en muchos textos de Física del siguiente modo:

Cuando un cuerpo está parcialmente o totalmente sumergido en el fluido que le rodea, una fuerza de empuje actúa sobre el cuerpo. Dicha fuerza tiene dirección hacia arriba y su magnitud es igual al peso del fluido que ha sido desalojado por el cuerpo. Energía potencial de un cuerpo en el seno de un fluido

69

Cuando un globo de helio asciende en el aire actúan sobre el globo las siguientes fuerzas: •

El peso del globo Fg=–mgj .

•

El empuje Fe= rfVgj, siendo rf la densidad del fluido (aire).

La fuerza de rozamiento Fr debida a la resistencia del aire Dada la fuerza conservativa podemos determinar la fórmula de la energía potencial asociada

La fuerza conservativa peso Fg=–mgj está asociada con la energía potencial Eg=mg·y. Por la misma razón, la fuerza conservativa empuje Fe= rVg j está asociada a la energía potencial Ee=-rfVg·y. Dada la energía potencial podemos obtener la fuerza conservativa

70

La energía potencial asociada con las dos fuerzas conservativas es Ep=(mg- rfVg)y A medida que el globo asciende en el aire con velocidad constante experimenta una fuerza de rozamiento Fr debida a la resistencia del aire. La resultante de las fuerzas que actúan sobre el globo debe ser cero. rf Vg- mg-Fr=0 Como rfVg> mg a medida que el globo asciende su energía potencial Ep disminuye. Empleando el balance de energía obtenemos la misma conclusión

El trabajo de las fuerzas no conservativas Fnc modifica la energía total (cinética más potencial) de la partícula. Como el trabajo de la fuerza de rozamiento es negativo y la energía cinética Ek no cambia (velocidad constante), concluimos que la energía potencial final EpB es menor que la energía potencia inicial EpA. En la página titulada "movimiento de un cuerpo en el seno de un fluido ideal", estudiaremos la dinámica del cuerpo y aplicaremos el principio de conservación de la energía. EL EMPUJE: PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

71

Resulta evidente que cada vez que un cuerpo se sumerge en un líquido es empujado de alguna manera por el fluido. A veces esa fuerza es capaz de sacarlo a flote y otras sólo logra provocar una aparente pérdida de peso. Pero, ¿cuál es el origen de esa fuerza de empuje? ¿De qué depende su intensidad? Sabemos que la presión hidrostática aumenta con la profundidad y conocemos también que se manifiesta mediante fuerzas perpendiculares a las superficies sólidas que contacta. Esas fuerzas no sólo se ejercen sobre las paredes del contenedor del líquido sino también sobre las paredes de cualquier cuerpo sumergido en él.

Distribución de las fuerzas sobre un cuerpo sumergido Imaginemos diferentes cuerpos sumergidos en agua y representemos la distribución de fuerzas sobre sus superficies teniendo en cuenta el teorema general de la hidrostática. La simetría de la distribución de las fuerzas permite deducir que la resultante de todas ellas en la dirección horizontal será cero. Pero en la dirección vertical las fuerzas no se compensan: sobre la parte superior de los cuerpos actúa una fuerza neta hacia abajo, mientras que sobre la parte inferior, una fuerza neta hacia arriba. Como la presión crece con la profundidad, resulta más intensa la fuerza sobre la superficie inferior. Concluimos entonces que: sobre el cuerpo actúa una resultante vertical hacia arriba que llamamos empuje. ¿Cuál es el valor de dicho empuje?

72

Tomemos el caso del cubo: la fuerza es el peso de la columna de agua ubicada por arriba de la cara superior (de altura h1). Análogamente, F2 corresponde al peso de la columna que va hasta la cara inferior del cubo (h2). El empuje resulta ser la diferencia de peso entre estas dos columnas, es decir el peso de una columna de líquido idéntica en volumen al cubo sumergido. Concluimos entonces que el módulo del empuje es igual al peso del líquido desplazado por el cuerpo sumergido. Con un ejercicio de abstracción podremos generalizar este concepto para un cuerpo cualquiera. Concentremos nuestra atención en una porción de agua en reposo dentro de una pileta llena. ¿Por qué nuestra porción de agua no cae al fondo de la pileta bajo la acción de su propio peso? Evidentemente su entorno la está sosteniendo ejerciéndole una fuerza equilibrante hacia arriba igual a su propio peso (el empuje). Ahora imaginemos que “sacamos” nuestra porción de agua para hacerle lugar a un cuerpo sólido que ocupa exactamente el mismo volumen. El entorno no se ha modificado en absoluto, por lo tanto, ejercerá sobre el cuerpo intruso la misma fuerza que recibía la porción de agua desalojada. Es decir: Un cuerpo sumergido recibe un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de líquido desplazado. E = Peso del líquido desplazado = dlíq . g . Vliq desplazado = dliq . g . Vcuerpo 73

Es importante señalar que es el volumen del cuerpo, y no su peso, lo que determina el empuje cuando está totalmente sumergido. Un cuerpo grande sumergido recibirá un gran empuje; un cuerpo pequeño, un empuje pequeño.

1.3.2 CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE CUERPOS EN FLOTACION ¿Como hace un barco para flotar? Pues bien, el mismo está diseñado de tal manera para que la parte sumergida desplace un volumen de agua igual al peso del barco, a la vez, el barco es hueco (no macizo), por lo que se logra una densidad media pequeña. En el caso de los submarinos, tienen un sistema que le permite incorporar agua y de esta manera consiguen regular a sus necesidades la densidad media de la nave. EL PROBLEMA DE LA CORONA DEL REY El rey Hierón le entregó 2,5 kg de oro a su joyero para la construcción de la corona real. Si bien ése fue el peso de la corona terminada, el rey sospechó que el artesano lo había estafado sustituyendo oro por plata en el oculto interior de la 74

corona. Le encomendó entonces a Arquímedes que dilucidara la cuestión sin dañar la corona. Con sólo tres experiencias el sabio pudo determinar que al monarca le habían robado casi un kilo de oro. Veamos cómo lo hizo. En primer lugar, Arquímedes sumergió una barra de medio kilo de oro puro y comprobó que desplazaba 25,9 cm3. Por lo tanto, el peso específico del oro es: Poro = 500 gr/25.3 cm3 =19.3 gr/cm3 Si el joyero hubiera hecho las cosas como le habían indicado, el volumen de líquido desplazado por la corona real, que pesaba 2,5 kilogramos, debería haber sido: Vcorona = 2.500 gr/19.3 gr/cm3=129.5 cm3 A continuación, sumergió la corona real y midió que el volumen de agua desplazado era de 166 cm3, o sea, mayor del esperado. ¡Hierón había sido estafado! ¿En cuánto? Para saber qué cantidad de oro había sido reemplazado por plata, Arquímedes repitió la primera experiencia sumergiendo una barra de un kilo de plata para conocer su peso específico. Como el volumen desplazado resultó 95,2 cm3, se tiene que: Pplata=1000 gr/95.2 gr/cm3=10.5 gr/cm3 Sabemos que el peso total de la corona es 2.500 gr. (el joyero tuvo la precaución de que así fuera) y su volumen total, de 166 cm3. Entonces: Vcorona=Voro+Vplata=166 cm3 Vplata=166-Voro Pcorona=Poro+Pplata=2500 gr.

75

Si reescribimos la última ecuación en función del peso específico y el volumen, nos queda que: 19.3 gr/cm3 . Voro + 10.5 gr/cm3 . Vplata = 2500 gr Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas (Voro y Vplata). Sustituyendo una ecuación con la otra, se tiene que: 19,3 gr/cm3. Voro + 10.5 gr/cm3. (166 cm3-Voro) = 2.500 g de donde se despeja la incógnita: Voro =86cm3 con lo que se deduce que: Poro =Poro Voro = 19,3 gr/cm3 . 86 cm3 = 1.660 gr Pplata=Pcorona - Poro =2.500gr -1.660 gr =840 gr De esta manera, Arquímedes pudo comprobar que al rey le habían cambiado 840 gr. de oro por plata. Cuenta la leyenda que el joyero no pudo disfrutar del oro mal habido. TEOREMA II DE BUCKINGHAM En 1915, Buckingham demostró que el número de grupos adimensionales de variables independientes necesarios para relacionar las variables de un proceso dado es igual a n- m, donde n es el número de variables que intervienen y m, es el número de dimensiones básicas incluidas en las variables. Por lo tanto, si la residencia al avance F de una esfera en un fluido es función de la velocidad V, la densidad ρ , la viscosidad µ y el diámetro D, tenemos cinco variables

( F ,V , ρ , µ , D )

y tres dimensiones fundamentales (L, F, T). Por lo que se tendrá 5 -

76

3 = 2 grupos básicos de variables que servirán para relacionar los resultados experimentales. MAGNITUDES FÍSICAS, UNIDADES Y DIMENSIONES En la descripción y estudio de los fenómenos físicos se han desarrollado (y se desarrollan) conceptos abstractos muy especiales llamados magnitudes físicas. Estas magnitudes se definen por medio de un conjunto de operaciones experimentales que permiten obtener un número como medida de la magnitud en cualquier situación. Esta definición comprende dos pasos esenciales: 1.-La elección de una unidad de medida con múltiplos y submúltiplos 2.- Un proceso para comparar la magnitud o medir con la unidad de medida y establecer un número como medida de la magnitud. Ejemplos de magnitudes físicas: longitud, área, volumen, tiempo, masa, energía, temperatura, fuerza, potencia, velocidad, aceleración, etc. Una de las tareas fundamentales de la física consiste en establecer las relaciones que existen entre las diversas magnitudes que intervienen en un fenómeno determinado. Éstas relaciones matemáticas definiciones o leyes; permiten asociar la media de una magnitud con la medida de las otras magnitudes con las cuales están relacionadas. Por ejemplo: cuando una partícula se mueve en línea recta se define la velocidad como la longitud recorrida por la partícula en unidad de tiempo y si se ha definido adecuadamente un sistema de unidades, se escribe V =

∆x , donde ∆t ∆t

es el tiempo que se toma la partícula en recorrer la magnitud ∆x . Asimismo la aceleración se define como el cambio de velocidad sufrido en una unidad de tiempo, y se escribe a =

∆v . Por otra parte la segunda ley de Newton establece ∆t

que la relación que sufre esta partícula es proporcional a la fuerza neta que actúa sobre ella; F = ma. 77

El concepto de dimensión de una magnitud aparece cuando se trata de construir un sistema de unidades. En principio podría asignársele a cada magnitud física una unidad de medida para la longitud, otra para el tiempo, otra para le velocidad, otra independiente para la aceleración t asimismo otra para la fuerza, pero esto nos conduciría a la necesidad de especificar coeficientes que realizarán las conversiones de unidades y escribiríamos:

∆x ∆t ∆v a = C2 ∆t f = C3 = ma

V = C1

Ante la posibilidad de semejante proliferación de coeficientes de conversión sea establecido un procedimiento general para construir sistemas de unidades; se adoptan por convención algunas magnitudes físicas como fundamentales y se eligen arbitrariamente sus respectivas unidades de medida; las magnitudes que no forman parte de las fundamentales son llamadas magnitudes derivadas y sus unidades de medida se establecen fijando los valores numéricos de los coeficientes que figuran en las expresiones matemáticas que relacionan estas magnitudes con las fundamentales. Las unidades de medida de la velocidad, aceleración y fuerza quedan unívocamente determinadas en función de las unidades de medida de las fundamentales: la unidad de velocidad es entonces el m/s, la unidad de aceleración es el metro por segundo por segundo m/s2 y la de fuerza es kilogramo metro por segundo al cuadrado N.

78

Y es en ese punto donde aparece la noción de dimensión de una magnitud física. PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD Corresponde a la noción intuitiva de que solo puedan sumarse o igualarse cantidades del mismo tipo y que no puede hacerse lo mismo con cantidades de tipo diferente. Este principio suministra un método muy eficaz para el control de la consistencia de las ecuaciones que se manejan en el estudio de algún problema. Así si en alguna expresión matemática que relacione las magnitudes físicas pertinentes al problema, los términos que se suman o se igualan, no tienen todas unas mismas dimensiones, hay un error en alguna parte y se hace preciso revisar. Pero ¡cuidado! la homogeneidad dimensional no garantiza que la ecuación sea la correcta, puede haber errores en las constantes o en la concepción del problema. En consecuencia, las ecuaciones que se manejan en física deben de ser todas dimensionalmente homogéneas y en el momento de realizar los cálculos para obtener el valor numérico de una magnitud en términos de los valores numéricos conocidos de las otras magnitudes, las unidades de medida deben ser expresadas todas en el mismo sistema de unidades: la homogeneidad dimensional y la consistencia de las unidades son dos aspectos de una misma cosa. SISTEMA DE UNIDADES Desde 1989, las definiciones de las unidades de medida de las magnitudes fundamentales fueron establecidas por una organización internacional llamada Conferencia General de Pesas y Medidas, y cuenta con representantes de la mayoría de los Países del mundo. El sistema de unidades definido por esta 79

organización, basado en el sistema métrico decimal y cuyo mas inmediato antecesor al sistema MKS, se conoce oficialmente desde 1960 como Sistema Internacional o SI, y su uso tiende a ser adoptado mundialmente. En este Sistema han sido escogidas como magnitudes fundamentales las siguientes: longitud, tiempo, masa, intensidad de corriente eléctrica, intensidad luminosa, temperatura y cantidad de sustancia en la tabla siguiente nombramos las unidades definidas como fundamentales y sus respectivos símbolos.

Magnitud

Unidad

Fundamental Longitud Tiempo Masa Corriente Eléctrica Temperatura Intensidad Luminosa Cantidad

de

Medida ( SI ) Metro Segundo Kilogramo Amperio Kelvin

de

Sustancia

Símbolo

de

la

Unidad M S Kg A K

Candela

Cd

Mol

Mol

Se hace necesario definir unidades suplementarias para la medida de ángulos planos y la medida de ángulos sólidos; éstas y un conjunto de unidades SI muy utilizadas en Mecánica son listadas a continuación. Se incluye también la fórmula dimensional de cada magnitud. SÍMBOL MAGNITUD

O

LONGITUD

OFICIAL L

UNIDAD

TÍPICO PATRON

MASA

M

TIEMPO

T

INTERNACIONAL Metro, m Kilogramo, Kg Segundo, s

DIMENSIO N L M T 80

VELOCIDAD ACELERACIÓ N ÁNGULO PLANO ÁNGULO SÓLIDO VELOCIDAD ANGULAR

ACELERACIÓ

V

m/s

L T-1

a

m/s2

L T-2

radianes,

Adimension

θ ,φ Ω

rad

al Estereoradia

n

Adimension al

ϖ

Rad/s

T-1

N ANGULAR FRECUENCIA MOMENTUM-

α

rad/s2

T-2

v

Hertz (s-1)

T-1

IMPULSO FUERZA TRABAJO-

P

Kg m/s

M L T-1

F

Newton N Joule J (N

M L T—2

Pot

Vatio (Watt)

M L2 T-3

L

Kg m/s

M L2 T-2

τ

Nm

M L2

I

Kg m2

M L-1 T-2

ENERGÍA POTENCIA MOMENTUMANGULAR TORQUE MOMENTO DE INERCIA PRESIÓNESFUERZO MÓDULO DE ELASTICIDAD MÓDULO DE COMPRESIBILIDAD VISCOSIDAD CALOR ENTROPÍA

W, E

P, σ

m)

Pascal (N/m2)

Pa

M L2 T-1

M L-1 T-2

Y, B, G

Pa

M-1 L T2

X

Pa-1

M L-1 T-1

η Q S

Pa s J J/0K

M L2 T2 M L2 T-2

Otro Sistema de unidades de gran importancia en física es el sistema cgs que define el centímetro, el gramo y el segundo como unidades de medida para la 81

longitud, la masa y el tiempo respectivamente. Su uso en Mecánica es relativamente escaso, pero en la teoría electromagnética es de gran importancia. Las unidades del Sistema Inglés o Británico, en vías de extinción, se definen ahora oficialmente en función de las unidades SI de la siguiente manera: Longitud: 1 pulgada = 2.54 cm. Masa: 1 libra masa = 0.45359237 kg Tiempo: 1 segundo = 1 s La libra es la unidad de fuerza en el Sistema Británico, y equivale a una fuerza igual al peso de una libra masa en condiciones específicas. En Física, las unidades inglesas sólo se emplean en Mecánica y en Termodinámica, y no existe un sistema Británico de unidades eléctricas. Otras unidades de fuerza que, aunque no forman parte de ningún sistema de unidades, son: el kilogramo fuerza (kgf) y el gramo fuerza (gf): 1 kgf es el peso de una masa de un kilogramo en la superficie de la tierra; de la expresión f = ma se deduce que en un sitio donde la aceleración de la gravedad sea 9.8 m/s2, 1 kgf = (1 kg) (9.8 m/s2) = 9.8 kg m/s2 = 9.8 N Asimismo, 1 gf es el peso de una masa de 1 g; así, 1 gf = ( 1 g)(980 cm/s2) = 980 g cm/s2 = 980 dinas PESO ESPECÍFICO ( γ ) La fuerza gravitacional por unidad de volumen de fluido o simplemente el peso por unidad de volumen se denomina peso específico y se representa por el símbolo γ (gamma), que se determina dividiendo el peso de la sustancia entre el volumen que ocupa.

82

Pe =

peso p = volumen v

Donde: Pe = peso específico de la sustancia en N/m3; N = kg m/s2 P = Peso de la sustancia en N v = volumen que ocupa en m3 DENSIDAD ( ρ ) La densidad de una sustancia “P” expresa la masa contenida en la unidad de volumen. Su valor se determina dividiendo la masa de la sustancia entre el volumen que ocupa.

ρ=

masa m = volumen v

Donde: m = kg v = m3 = litro DENSIDAD RELATIVA La relación del peso específico de un líquido dado al peso específico del agua a una temperatura estándar de referencia se define como densidad relativa. La temperatura estándar de referencia para el agua a menudo se toma como 4 0C, donde el peso específico del agua a presión atmosférica es de 9810 N/m 3; con esta referencia la densidad relativa del mercurio a 200C es: den.rel.deHg =

133KN / m3 = 13.6 9.81KN / m3

Ya que la densidad relativa es una relación de pesos específicos, no tiene dimensiones y por supuesto es independiente del sistema de unidades. VISCOSIDAD Esta propiedad se origina por el rozamiento de unas partículas con otras cuando el líquido fluye por tal motivo, la viscosidad se puede definir como una 83

medida de la resistencia que opone un líquido al fluir. Si un recipiente perforado en el centro se hacen fluir por separado: miel, leche, agua y alcohol; se observa que cada líquido fluye con rapidez distinta. Mientras más viscoso es un líquido más tiempo tarda en fluir. Al medir el tiempo que el líquido deja de fluir se conoce su viscosidad en el sistema internacional es el poiseville, definido como la viscosidad que tiene un fluido cuando su movimiento rectilineo uniforme sobre una superficie plana, es retardado por una fuerza de un Newton por metro cuadrado de superficie de contacto con el fluido, cuya velocidad respecto a la superficie es de 1m/s. 1nemton kg 1 poiseville = = m2 ms kgm / s 1 poiseville = m2 kg 1 poiseville = ms

PRESIÓN MANOMÈTRICA En una región, como en el espacio exterior que está virtualmente vacío de gases, la presión es esencialmente cero. Tal condición puede lograrse en forma muy aproximada en el laboratorio, donde una bomba de vacío se utiliza para vaciar una botella. La presión en el vacío se denomina cero absoluto, y todas las presiones respecto a esta presión cero se llaman presiones absolutas. De ahí que la presión atmosférica al nivel del mar en un día en particular está dada por 101 kN/m2, que equivale a 760 mm de deflexión en un barómetro de mercurio. Muchos dispositivos medidores de presión no miden presiones absolutas, si no únicamente diferencias de presión. Por ejemplo; un manómetro consistente en un tubo de bordón común (fig.3-3) indica tan solo la diferencia entre la presión en el fluido al cual se conecta y la presión en la atmósfera. En este caso, la presión

84

de referencia es realmente la presión atmosférica en el indicador. Este tipo de lectura de presión se llama presión manométrica. La unidad fundamental de presión en el sistema internacional (SI) es el pascal (Pa) que equivale a un Newton por metro cuadrado (N/m2). Las presiones manométrica y absoluta suelen identificarse después de la unidad. Por ejemplo, si una presión de 50 kPa se midiese con un manómetro respecto a la atmósfera, absoluta fuese 100 kPa, P = 50 kPa manométrica entonces expresarse

la

presión

podría

P = 150 kPa absoluta

Siempre que la presión atmosférica se utiliza como referencia (en otras palabras, cuando se mide la presión manométrica) existe la posibilidad de que la presión a sí medida pueda ser ya sea positiva o negativa. A las presiones manométricas negativas se les llama presiones de vacío. De ahí que si un manómetro se conecta a un tanque e indica una presión de vacío de 31 kPa absoluta. En la (fig. 3-3) se muestra un ejemplo de este sistema de referencia para presiones arbitrarias de pA = 200kPa manométrica y pB = 51kPa absoluta con una presión atmosférica de 101 kPa absoluta. 1

DIFERENCIA ENTRE UN LÍQUIDO Y UN GAS

1. Los líquidos son prácticamente incomprensible, los gases son compresibles 2. los líquidos ocupan un valor definido y tienen superficies libre, mientras que los gases ocupan la forma del recipiente que los contienen. La densidad ( ρ ) representa la masa de fluido contenida en la unidad de volumen; en los sistema absoluto y gravitacional sus dimensiones son [ ML³ ] Y [ FT² L ] respectivamente.

85

Peso especifico (δ ω) representa el peso de fluido por unidad de volumen [ FL ³] δ= ω = Pg

δ= ω = w = kg vol m³

ρr Densidad Relativa = ω sust

no tiene dimensiones

ω agua ω = 1000kg / m³ Densidad Absoluta = ω kg / m³ = kg seg² g m / seg²

m

Viscosidad: la viscosidad de un fluido es una medida de su resistencia a fluir, como resultado de la interacción y cohesión de sus moléculas. μ = Viscosidad Absoluta o Dinámica. Para el sistema absoluto cm–grmasa–seg, la equivalencia es gm/cmseg, que es utilidad como unidad de viscosidad cinemática, se conoce como poise. 1 poise = 1 gm cmseg Para el sistema gravitacional es más común la unidad: 1 kgseg = 98.0665 gm m³

cmseg

86

En el sistema CGS se emplea la unidad 1 STOKE = 1 cm² =0.001 m² seg

seg

CALCULO DE Ycp Tomando momentos con respecto al eje X. (el cual se coloca a lo largo del punto de contacto de la superficie libre del liquido con la pared de la estructura se tiene:

FYcp = ∫ ydF

......(1' )

∴

De estatica (Teorema de los segundos

1 YdF ......( 2' ) F∫ SUSTITUIMO S 5 Y 7 EN ( 2' ) 1 Ycp = Y γ Y sen θ dA ......( 3' ) γ sen θ Ycg A ∫ γ sen θ Ycp = Y 2 dA ......( 4' ) γ sen θ Ycg A ∫ Ycp =

momentos de A. ò momentos de inercia)

∫Y

2

dA = Ix

......( 5' )

Ix = momento de inercia del àrea con respecto al eje x mostrando en la fig. Ix Ycp = .......( 6' ) Ycg A

Es mas practico obtener el momento de inercia del área con respecto a un eje paralelo a “x” que pase por el centro de gravedad de la misma, entonces recurrimos al teorema de los ejes paralelos, el cual es: Ix = Ixcg + A Y 2 cg .......( 7' ) sust. en 6' Ixcg + AY 2 cg AYcg Ixcg Ycp = + Ycg .......( 2) AYcg Nota : Ycp =

Ixcg = momento de inercia del àrea con respecto a un eje, paralelo a " x" ,φ, pase por el C.G del àrea.

Si el àrea se encuentra en una pared vertical, esto es, θ = 90 0 , se tendria

87

h= Y sen hcg= Ycg sen hcp= Ycp sen

=90º

∴

hcp =

Ixcg + hcg Ahcg

h=Y hcg=Ycg hcp=ycp

sen 90º =1

........( 3 )

MOMENTOS DE INERCIA DE FIG. GEOMÉTRICAS COMUNES. Como el momento de inercia de cualquier área es una cantidad positiva, y observando las EC. (2) y (3) se concluye φ , Ycp > Ycg y que hcp>hcg se concluye que el centro de presión del área se encuentra por debajo del centro de gravedad de la misma. CALCULO DE Ycp De igual forma, pero ahora tomando momentos con respecto al eje “y” obtenemos:

88

FXcp = ∫ xdF .......(1' ' ) ∴ 1 Xcp = ∫ xdF .......( 2' ' ) F sust. 5 y 7 en 2' ' 1 Xcp = ∫ x γ sen θ y d A .......( 3' ' ) γ sen θ Ycg A xYdA γ sen θ Xcp = ∫ γ sen Ycg A De estàtica (teorema de los productos de inercia) tenemos que ∫ xydA = Ix .......( 5' ' )

Ixy = producto de inercia del àrea con respecto a los ejes " X" y " Y" mostrados en la fig. Al igual que el caso anterior, nos interesa saber el producto de inercia del àrea pero con respecto a dos ejes " X" y " Y" paralelos

Ixy = Ixycg + AXcg ......( 6' ' )

a los de la fig. y que pasen por el centro de

5' '

gravedad del àrea. Ixycg Xcp = + xcg * * * * * *( 4) Ycg A Ixycp = producto de inercia con respecto

en

4' ' IxY Xcp = .......( 7' ' ) Ycg A 6' ' en 7' ' Ixycg + AXcg Ycg Xcp = Ycg A

a sus ejes centroides. Xcp

puede ser mayor, menor o igual que Xcg.

En la mayoría de los casos las áreas sobre las cuales se calcula la fuerza hidrostática son simétricas con respecto o por lo menos un eje centroidal Entonces (4) es.

Xcp = Xcg ........( 5)

Ya Ixycg = 0 cuando alguno de los ejes centroidales, a los dos, son ejes de simetría. PROBLEMAS 1.-Determinar la localización “Y” de la articulación en la compuerta rectangular de la Fig. De tal manera que la compuerta se abra cuando el nivel del liquido alcance la posición mostrada.

89

NOTA: para que la compuerta se abra para alcanzar una altura mayor de 2mts. , es necesario hacer coincidir el punto de aplicación de la fuerza. hidrostática con la articulación, cuando el nivel es exactamente el mostrado.

Independientemente del valor de la fuerza, el punto de aplicación es:

Ixcg + hcg A hcg consideran do 1 m de ancho 2 - 0.8 hcg = 0.8 + = 1.4m 2 A = bh = 1.2m x 1m = 1.2 m 2 hcp =

bh 3 1m x (1.2m ) Ixcg = = = 0.144 m 4 12 12 0.144 m 4 ∴hcp = + 1.4m = 1.4857 m 1.2m 2 (1.4m ) ∴Y = 2 - 1.4857 = 0.5143 m = Y 3

La compuerta AB tiene un eje de giro en B y su anchura es de 1.5 m. ¿Que fuerza vertical, aplicada en su centro de gravedad, será necesaria para mantener la compuerta en equilibrio, si pesa 2,000 Kg?

90

1.5

A W F

1.5 4 N

B = Eje

Calculo de FH FH = Ɣ heg A heg = 1.5 + 1.5 ÷ 2 = 2.25 m. Sen 45º = 1.5 ÷ h A = b h = b (1.5 m. ÷ sen 45º) = 1.5 m. x 2.12 m. A = 3.18 m.2 FH = Ɣ heg A = (1000 Kg./m.3 )(2.25 m.)(3.18 m.2) FH = 7155 Kg. Actuara en forma normal Calculo de N : ‫ ץ‬c p = Іx ÷ A ‫ ץ‬cg + ‫ ץ‬cg ‫ ץ‬c g = heg ÷ ‫ ץ‬cg ‫ ץ‬c g = heg ÷ sen 45º = 3.18 m І x = (1.5 )(1.5÷sen45º)3 ÷ 12 = 1.191m.4 ‫ ץ‬c p = 1.191 m.2 ÷ (3.18 m.2)(3.18 m.) + 3.18 m. = 3.297 m. De la Fig. N = 3 m. ÷ sen 45º = ‫ ץ‬cp = 4.242 m. – 3.297 ∴ N = 0.9448 m. Calculo de M : Como F y W actuaran en el C.G. del área A – B, entonces M será : M = 1.5 ÷ 2 = 0.75 m. 91

Haciendo suma de momentos en B y suponiendo que (F) tiene el sentido indicado, tenemos : ∑MB = 0 = FHN – WM –FM ∴ F = FHN – WM ÷ M F = (7155 Kg.)(0.9448) – (2000 Kg.)(0.75) ÷ 0.75 m F = 7013.4 Kg. 2.-Calcular el empuje hidráulico y el centro de presiones sobre la pared de 2 m de ancho de un tanque de almacenamiento de agua, para los siguientes casos : a).- Pared vertical con liquido de un solo lado. Fig. (a) b).- Pared inclinada con líquidos en ambos lados. Fig. (b) c).- Pared vertical con líquidos en ambos lados. Fig. (c) A).- Pared vertical con liquido de un solo lado. Ɣ = 1 Ton. / m.3 P = Ɣ A heg ∴ P = Ɣ b h1 (h1 ÷ 2) = Ɣ b (h2 ÷ 2) = 1 x 2 x 2.42 ÷ 2 = 5.7 Ton. El empuje hidrostático es igual al volumen de la cuña dist. de presiones. Ƶk = (h)2(2) ÷ (12)(h) + h ÷ 2 = 2÷ 3 (h) = 1.6 m.

Fig. (a)

h1=2.4

ƵK

Ɣ h1

92

B).- Pared inclinada con líquidos en ambos lados. Triangulo de izquierda – triangulo de derecha ∆ izquierda

P = Ɣ h (h2÷2sen⊖)

∆ derecha

P 2 = Ɣ b x (h2)2 ÷

2sen⊖ ‫ץ‬K1 = (2÷2)(h1÷sen⊖)

‫ץ‬K2 = (h1 – h2÷3) ÷ (senӨ)

P = P1 – P2 = Ɣ b (h12 – h22 ÷ 2senӨ) = 1x2 (2.42 – 1.42 ÷ 2x 0.866) =4.388 Ton. Tomando momentos de las fuerza respecto al punto A P ‫ץ‬K = Ɣ h (h12÷2senӨ) x (2÷3)(h1÷senӨ) – Ɣ b (h22÷2senӨ) x (h1 – h2/3÷senӨ) Sustituyendo el valor de P, ‫ץ‬K se puede despejar y escribir. ‫ץ‬K = (h1÷senӨ) – (1÷3 x senӨ)(h13 – h23 ÷ h12 – h22) = 2.4 ÷ 0.866 – 2.916 ÷ 3 x 0.866 = 1.649 6 Fig. (b)

‫ץ‬

P

h1 =

h1 =

Ɣ Ɣ

C).- Pared vertical con líquidos en ambos lados. P = Ɣ b (h12 – h22 ÷ 2) = 1 x 2 (2.42 – 1.42 ÷ 2) = 3.8 Ton. ‫ץ‬K = ƵK = h1 – 1 / 3 (h13 – h23 ÷ h12 – h22) = 2.4 – 1 / 3 (2.43 – 1.43 ÷ 2.42 – 1.42) = 1.428 Fig. (C)

h h2 Ɣ

Ɣ

93

SISTEMA

DE

DIEMENCIONES DIMENCI ONES

FLT(TEC NICO)

MLT(ABSO LUTO)

METRICO

KG.S 2 =1 N M

FUERZA MASA

KG

KG.S 2 =1UTM M

LONGITU

TIEMPO

M

RENTE)

KGT KGM

KG MLT(ABSO LUTO)

D

FMLT(INCOHE

M SEG

S

SEG LB − PIES = POUDAL SEG

INGLES

LB FUERZA

LBT

LB − S 2 = SEG PIES

MASA

LB

LBM

PIE

PIE

PIE

SEG

SEG

SEG

LONGITU D TIEMPO

94

UNIDAD II: PRINCIPIOS CONSERVATIVOS 2.1 CONSERVACION DE LA MATERIA Esta ley es una de las tres leyes de conservación de la física - La le y de la conservación de la masa postulada que esta no se puede crear ni destruir. Este concepto origina le ecuación de continuidad, la que establece que, dentro de cualquier sistema hidráulico se debe balancear la descarga que entra, el volumen que se almacena y la descarga que sale; en otra palabras, se deben considerar todas las cantidades volumétricas. Como el agua se considera incompresible, se puede usar a este respecto tanto la masa como el volumen en formas intercambiable. Para poner el concepto en forma matemática, se puede escribir la ecuación de cantidad como

Qent − Qsal = Cambio en el almacenamiento (2.2a) La ecuación anterior se usa a menudo en el análisis de los depósitos y en el control de las avenidas de los ríos. Es importante que la escala del tiempo sea la misma en ambos lados de la ecuación. Por ejemplo, si las descargas están en " pie 3 / seg" , y se desea el cambio en el almacenamiento por periodos de 6 horas, será necesario introducir un factor de conversión apropiado. En el caso de que no sea posible tener cambio alguno en el almacenamiento, como cuando una tubería está llena, el lado derecho de la ecuación 2.2 a se deducirá a cero,

95

Qent − Qsal = 0

(2.2b)

Lo que significa que lo que entra tiene que salir. En ciertas aplicaciones, como en los ríos o en las tuberías complejas, se separa el problema en componentes de menor tamaño que se unen en puntos determinados. En este caso, se debe cuidado al seleccionar el signo apropiado para cada componente de descarga. La conversión común de signos a considerar es la que tiene como positivas las descargas que encuentra a la componente hidráulica, y las que salen como negativo. en los puntos donde se unen dos componentes hidráulicas, cambiara el signo de la descarga. 2.1.1 ECUACION DE CONTINUIDAD La ecuación de continuidad o conservación de masa es una herramienta muy útil para el análisis de fluidos que fluyen a través de tubos o ductos con diámetro variable. En estos casos, la velocidad del flujo cambia debido a que el área transversal varía de una sección del ducto a otra.

Si se considera

un fluido con un flujo estable a través de un volumen fijo como un tanque con una entrada y una salida, la razón con la cual el fluido entra en el volumen debe ser igual a la razón con la que el fluido sale del volumen para que se cumpla el principio fundamental de conservación de masa

96

La ecuación de continuidad es empleada para el análisis de boquillas, toberas, altura de alabes de turbinas y compresores, perfil de los alabes de las turbinas a reacción entre otros.

97

1. Nota introductoria: Los siguientes apuntes sobre los "ASPECTOS FÍSICOS ELEMENTALES DEL VUELO DE LAS COMETAS", son una recopilación de los escritos que aparecieron en catalán en el Boletín L´Estel del Barcelona Estels Club debidos a Xavier Soret que bajo el nombre de "Aclarint conceptes" (Aclarando conceptos), se han ido publicando a lo largo de más de una veintena de números del citado boletín. He considerado que tales escritos eran de interés para los que les gustaba los aspectos más "científicos" de las cometas, pero debido al idioma de publicación, limitaban mucho la difusión de tal obra, esta fue la razón que me llevo ha recopilarlos y presentarlos en la forma que tienes en tu mano. La traducción no es literal, por lo que he cambiado el orden en que fueron publicados estos artículos, omitiendo conceptos recurrentes y algunos que he considerado evidentes, todo esto en vías de una mayor claridad expositiva, así 98

mismo, he añadido algunos conceptos que no aparecían en estos escritos, como el capítulo dedicado a la Teoría de la Semejanza. Aunque pueda asustar un poco, si se echa una primera ojeada, no hacen falta grandes conocimientos físicos-matemáticos para entender lo que sigue, no van más allá de los estudiados en bachiller, creo yo que es más importante, poseer una gran curiosidad científica, que otra cosa. Espero que el lector disfrute con su lectura, lo que yo he disfrutado redactándolos. 2. Conceptos Elementales De Mecánica De Fluidos Ecuación De Continuidad Consideremos un fluido, que atraviesa dos superficies S1 y S2, las cuales, son perpendiculares a las direcciones de las líneas de corriente del fluido. Como entre ambas superficies no existe ninguna fuente ni sumidero de fluido, la masa que atraviesa las superficies tiene que ser igual, por tanto: M1 = M2

Principio de conservación de la matera. De acuerdo con este, de la masa de fluido que en la unidad de tiempo entra a un volumen especificado entro del flujo, una parte se queda almacenada en su interior y el resto sale del volumen. Si el volumen que se estudia es de forma y magnitud constante (volumen de control), el almacenaje no puede ser indefinido. Matemáticamente es preferible tratar con la cantidad neta de masa que sale y que entra, sumadas algebraicamente; así, el principio de la conservación de la materia, aplicado a un volumen de control fijo completamente arbitrario dentro del flujo, de expresa en la formula siguiente: 99

Cantidad neta de masa que atraviesa la superficie de frontera del volumen, en la unidad de tiempo.

+

Rapidez de variación de la masa contenida en el volumen

=0

Este principio se aplica lo mismo a un volumen de control de tamaño diferencial que a uno finito, de lo cual se deriva la llamada ecuación de continuidad. Ecuación diferencial de continuidad Si bien esta ecuación no tiene mucha aplicación en los problemas de flujo unidimensional en hidráulica, aquí se presenta su derivación para ser utilizada en los problemas de flujo con potencial. Para obtenerla se aplica el principio de conservación de la materia al volumen de control diferencial, mostrado en la Fig. 4.1 (de lados dx, dy, dz). En el centro de masa p del volumen considerado corresponden los valores p y v como funciones de punto y del tiempo, o bien, el producto pv como función vectorial. Al pasar a las caras normales al eje x, que limitan al elemento de fluido, la función pv se incrementa y decrementa en la misma cantidad:

100

1 ∂pv x dx, 2 ∂x

Donde el subíndice x indica componente de la función pv según x. de este modo, considerando positiva la masa que sale del volumen y negativo la que entra, la cantidad neta de masa que atraviesa estas cara es: ∂pv x 1 ∂pv x  1 ∂pv x    dx dydz −  pv x − dx dydz = dxdydz  pv x + 2 ∂x 2 ∂x ∂x     Por un razonamiento semejante, la cantidad neta de masa que atraviesa las caras normales al eje y es: ∂pv y ∂y

dxdydz;

Y, la que atraviesa a las normales al eje z; ∂pv z dxdydz ∂z Finalmente, la rapidez de variación de la masa contenida en el volumen elemental es:

∂ ( pdxdydz ); ∂t De tal manera que el principio de conservación de la masa establece lo siguiente:

101

∂pv y ∂pv x ∂pv z ∂ dxdydz + dxdydz + dxdydz + ( pdxdydz ) = 0 ∂x ∂y ∂z ∂t y, puesto que el volumen elemental escogido no cambia con el tiempo, la ecuación anterior se puede simplificar y resulta: ∂pv x ∂pv y ∂pv z ∂p + + + = 0( 4.1a ) ∂x ∂y ∂z ∂t O bien, recordando que div( pv ) =

∂pvx ∂pv y ∂pvz + + , ∂x ∂y ∂z

La ecuación anterior también se expresa en la forma div ( pv ) +

∂p = 0( 4.1b ) ∂t

Las ecs. (4.1ª Y b) son dos formas de expresar la ecuación diferencial de continuidad, que es la más general para un flujo compresible no permanente; admite las siguientes simplificaciones: a) fluido compresible permanente

( ∂p / ∂t = 0) div( pv ) = 0( 4.2 ) b) flujo incompresible no permanente (p = constante) divν = 0( 4.3) c) flujo incompresible no permanente

∂p   = 0  p = cons tan te, ∂t   divν = 0 102

Igual que la Ec. (4.3) para un flujo incompresible, sea o no permanente.

Problema 4.1 un flujo incompresible permanente, con simetría axial respecto del eje z (Fig. 4.2), esta limitado por una superficie sólida (con la misma simetría) cuya forma esta definida por la ecuación zr 2 = b (r, radio medido desde el eje z, y b una constante) y tiene un campo de velocidades dado por las componentes en coordenadas cilíndricas: v r = ar; vθ = 0; v z = −2az. a) demostrar que se satisface la ecuación diferencial de continuidad. b) Determinar la expresión para el gasto a través de la sección horizontal A-A y de la sección cilíndrica B-B c) Determinar la velocidad en el punto P(r = z =1.5m) cuando Q = 10.64m/seg. (ref. 20)

Solución a). El campo de velocidades, definido en coordenadas cilíndricas, equivale a las siguientes expresiones en coordenadas cartesianas. v x = ax v y = ay v z = −2az Resulta entonces que divν = a + a − 2a = 0 Esto es, se satisface la ecuación de continuidad (4.3) y se verifica que el flujo es incompresible. 103

Para los restantes puntos conviene mas utilizar las coordenadas polares. Solución b). Para la sección horizontal A-A, el gato es

b z

Q = − ∫ 2π r ( − 2az ) dr 0

b

r2  z Q = 4πaz   = 2πab  2 0 Para la sección cilíndrica B-B se tiene: b r2

Q = ∫ 2πr ( ar ) dz = 2πar [ z ] 2

b r2 0

0

Q = 2πab c) para el punto P: b = zr 2 = 1.5 * 2.25 = 3.375m 2

Y, considerando el valor de Q, se tiene entonces que

a=

Q 10.64 = = 0.502 seg −1 2πb 2 * 3.1416 * 3.375

Por tanto, la magnitud de la velocidad en el punto P, es:

104

2

v = v r + v z2 = a r 2 + 4 z 2 = 0.502 2.25 + 4 * 2.25 v = 1.684m / seg ECUACIÓN DE BERNOULLI En la Fig. 11.1 se presenta un conducto a través del cual existe un flujo de un fluido incompresible (líquido). Vamos a asumir que el flujo sea permanente y que no existe transferencia de masa a través de las paredes del conducto es decir, que la cantidad de fluido que entre por una sección determinada del conducto es decir, que la cantidad de fluido que entre por una sección determinada del conducto sea igual a la que sale por otra sección en el mismo intervalo.

Aplicando el principio de la conservación de la energía, el cual dice que: ……….11.1

E1 + W1-2 = E2

105

En donde: E1 = energías de las partículas del fluido en la sección 1 E2 = idem en la sección 2 W1-2 = trabajo necesario para llevar una partícula de fluido de la sección 1 a la sección 2. Como la energía en cada punto se divide en energía cinética y en energía potencial, tenemos que de acuerdo con la ecuación 11.1 ECIN 1 +EPOT 1 +W1-2 = ECIN 2 +EPOT 2…………………………1 Sabemos que ECIN = 1 / 2 mv2

y que EPOT = mgz

El trabajo de 1 a 2 se puede ver así: en el sentido del flujo actúa la fuerza F1 = P1A1, la cual ayuda a trasladar las partículas del punto 1 al punto 2; la fuerza F2 = P2A2 actúa en sentido contrario, es decir, trata de impedir que las partículas del 106

fluido ponen del punto 1 al punto 2. A parte de estas dos fuerzas, existe otra que trata de impedir el flujo de 1 y 2, esta es la fuerza de rozamiento entre las paredes del conducto y las partículas del fluido en contacto con ellas. Sin embargo en el análisis siguiente vamos a considerar despreciable esta última fuerza. La fuerza F1, en un instante pequeño de tiempo t mueve ciertas partículas de fluido una distancia l1 ; como el fluido es incompresible, este movimiento se transmite hasta el punto 2, en el cual las partículas se desplazan una distancia l2 . Entonces el trabajo de 1y 2 podemos expresarlo como: W1− 2 = F1l1 − F2l2 W1− 2 = P1 A1l1 − P2 A2 l2 ..........................................2 Como las distancias l1 y l2 son pequeños podemos considerar que A1l1 = V1 y A2l2 = V2 en donde V1 y V2 son los volúmenes desplazados en un instante pequeño de tiempo (t). Para V1 = V2 ya que el flujo es permanente compresible y sin transferencia de masa a través de las paredes del conducto, con esto podemos establecer que: V1 = V2 = V

sustituyendo en 2 nos queda:

W1-2 = P1V1 – P2V2 = (P1 – P2)V……………………………….3

Poniendo el volumen en función de la densidad y la masa del fluido tenemos:

107

W1− 2 = ( P1 − P2 )

m .....................................4 δ

Sustituyendo las energías potencial y cinética en cada punto y el trabajo de 1 a 2 en la ecuación 1 nos queda: 1 2 m 1 mv1 + mgz1 + ( P1 − P2 ) = mv22 + mgz2 ...................5 2 p 2 Dividiendo entre mg: V12 1 V2 + Z1 + ( P1 − P2 ) = 2 + Z 2 .........................................6 2g pg 2 g Recordando que pg = γ y ordenando los términos de acuerdo con su subíndice a uno y otro lado del signo igual, tenemos:

P V2 V12 P + Z1 + 1 = 2 + Z 2 + 2 .......................................11.2 2g γ 2g γ

La ecuación anterior se conoce como ecuación de Bernoulli en la cual se han despreciado las pérdidas de energía por fricción y no se ha considerado la adición de energía por medios externos al flujo. Si consideramos las pérdidas por fricción y tenemos algún dispositivo que añada energía al flujo entre los puntos 1 y 2, la ecuación de Bernoulli tiene la siguiente forma:

V12 P1 V 22 P + Z 1 + + H A − H F 1− 2 = + Z 2 + 2 .....................................11.3 2g γ 2g γ

108

En donde: V1 = velocidad media del fluido en la sección 1 V2 = idem en la sección 2 Z1 = distancia vertical desde el plano de referencia al punto 1 Z2 = idem en el punto 2 Estas distancias Z son positivas si el punto se encuentra por encima del plano referencia; son negativas si el punto se encuentra por debajo del plano y son cero si el punto coincide con dicho plano. P1 = presión del fluido en el punto 1 P2 = presión del fluido en el punto 2 RECOMENDACIONES PARA LA APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI

 Siempre se aplica en la dirección del flujo  Generalmente se aplica desde el inicio hasta el final de la instalación (casi siempre el inicio y el final de una instalación, se considera la superficie libre del líquido en el deposito de aspiración y de descarga, respectivamente).  Los puntos elegidos como 1 y 2 deben ser puntos en los cuales sea posible determinar su presión, velocidad y posición (altura) con respecto al plano de referencia  Si en un problema dado al aplicar la ecuación de Bernoulli nos quedara más de una incógnita, posiblemente sea necesario aplicar también la ecuación de continuidad o aplicar nuevamente Bernoulli seleccionando otros puntos de la instalación. 2.1.2 ECUACION DEL GASTO

109

GASTO EN MASA O MÁSICO Se define como la cantidad de fluido, expresada en unidades de masa, que pasa por una sección determinada en la unidad de tiempo. Es decir: •

M = PAV

Ó

•

M = PQ

GASTO EN PESO (W) Cantidad de fluido, expresada en unidades de peso, que pasa por una sección determinada en la unidad de tiempo y se puede expresar como: •

W = γAV En la fig. 3.13, un elemento dA, de la superficie S (limitada por la curva C) y que contiene al punto cualquiera P, se puede representar por el vector diferencial de superficie: dA = dAn Donde n se define como un vector unitario normal a la superficie en el punto P, cuyo sentido positivo se establece por convención. Figura 3.13. Concepto de gasto. La velocidad v que corresponde al punto P tiene en general una dirección distinta a la de dA.

En un intervalo dt, el volumen de fluido 110

que atraviesa el elemento de superficie dA queda determinado por el producto escalar de los vectores: el diferencial de arco ds sobre la línea de corriente que pasa por P y el vector diferencial de superficie dA. Entonces, considerando que ds = v dt, el volumen de fluido que pasa a través del elemento dA vale: d v = ds . dA = v . dA dt El flujo de volumen a través de toda la superficie S queda definido por la ecuación

Q=

dv = v.dA( 3.11) dt ∫∫ v

[

]

Cuyas dimensiones son L3T −1 . Este flujo de volumen se conoce como gasto o caudal. Si en un flujo la superficie S se escoge de modo que las líneas de corriente sean normales a ella en cada punto, de la Ec. (3.11) el gasto se puede calcular de la manera siguiente: Q = ∫∫ vdA( 3.12 ) A

Se llama velocidad media, a través de la superficie S de área A, al promedio calculado así: V =

∫∫ v.dA A

A

=

Q ( 3.13) A

Y equivale a suponer que la velocidad se distribuye uniformemente sobre toda la superficie, con un valor constante V y en dirección perpendicular a la misma.

111

Problema 3.6. En el fluido mencionado en el problema 3.4, determinar el gasto, por unidad de ancho, del chorro que pasa a través de una superficie horizontal localizada a y=1.5m y limitada por las abscisas x=-0.50m y x=0.50m Solución: el vector velocidad para el fluido es v = 3 xi − 3 yj Y el vector diferencial de superficie es dA=-dxj Haciendo el producto escalar indicado en la EC. (3.11), esta se escribe como 0.50

Q=

∫ 3ydx

− 0.50

Donde los limites de integración corresponden a las abscisas. La integración efectuada con y=cte, conduce al siguiente resultado: Q = 3y

[ x]

0.50 − 0.50

= 3y

Y para y=1.5m vale 2.2 CONSERVACION DE LA ENERGIA.

Primero procederemos a distinguir entre dos tipos de fuerzas, conservativas y no conservativas. Consideremos un ejemplo de cada tipo y después discutimos cada ejemplo, desde varios puntos de vista diferente, pero relacionados. Imaginemos un resorte con uno de sus extremos asegurado a una pared rígida, como se muestra en la figura 8-1. Deslicemos, directamente hacia el resorte, un bloque de masa m con la velocidad v; suponemos en el plano horizontal no tiene fricción, y que el resto es ideal, es decir, que obedece la ley de Hooke (Ec.2-7), 112

F = − Kx, (2.3) Donde F es la magnitud de la fuerza ejercida por el resorte, cuando su extremo libre se desplaza la distancia x. Después de que el bloque toca el resorte, la rapidez, y con ella la energía cinética del bloque decrecen, hasta que finalmente el bloque alcanza el reposo por la acción de la fuerza del resorte, como en la figura 8-1b. Entonces, cuando se extiende el resorte comprimido, el bloque invierte su movimiento; gana rapidez y energía cinética y, cuando pasa de nuevo por la porción del contacto inicial con el resorte, encontramos que tiene la misma rapidez y energía cinética que la que tenia originalmente, solo que ha cambiado el sentido del movimiento. El bloque pierde energía cinética durante parte de su movimiento, pero la gana totalmente durante la otra parte de su movimiento, cuando regresa a su punto de partida.

113

La energía cinética de un cuerpo se puede interpretar como su capacidad para hacer trabajos en virtud de su movimiento. Claramente se ve en la figura anterior, que al completarse al viaje redondo, la capacidad del bloque para hacer trabajo permanece igual; se ha conservado. La fuerza elástica ejercida por un resorte ideal y otras fuerzas que actúan en la misma forma, se llama conservativas. La fuerza de la gravedad también es conservativa; si lanzamos una pelota verticalmente hacia arriba (si la resistencia del aire es depresiable), regresa hasta nuestra mano con la misma energía cinética que tenia cuando dejo nuestra mano. Si por el contrario, unja partícula sobre la que actúa una o mas fuerzas, regresa a su posición inicial con mas o menos energía cinética de la que tenia inicialmente, entonces, en su viaje redondo ha cambiado su capacidad para hacer trabajos, su capacidad para hacer trabajos no se conserva y cuando menos una de las fuerzas que actúan se identifican como no conservativas. La fricción se opone al movimiento del bloque, sin importar en que sentido se mueve, y se encuentra que el bloque regresa a su punto de partida con menos energia cinetica de la que tenia inicialmente. Decimos que esta fuerza y otras que se comportan de la misma manera, son no conservativas. La fuerza de inducción en un betatrón (sec. 32-6), también es una fuerza no conservativa. En lugar de disipar energía cinética, la produce, de tal manera que un electrón que se mueva en la órbita circular del betatrón, regresará a su posición inicial con más energía cinética que la que tenía originalmente. En un viaje redondo el electrón gana energía cinética, como debe hacerlo, si el betatrón ha de ser efectivo. Resumiendo: una fuerza es conservativa si la energía cinética de una partícula sobre la que actúa, regresa a su valor inicial después de un viaje 114

redondo. Una fuerza es no conservativa, si la energía cinética de la partícula cambia después de un viaje redondo. En esta definición suponemos que la fuerza en cuestión sólo es una de las que hacen trabajo sobre la partícula. Si más de una fuerza hace trabajo, consideraremos que los efectos atribuibles a cada una de estas fuerzas se pueden analizar separadamente. 2.2.1 ECUACION DE LA ENERGIA Ecuación del movimiento Si no se incluyen los efectos termodinámicos en el flujo ni la adición o extracción de energía mecánica desde el exterior (bomba o turbina), es posible derivar las ecuaciones del movimiento- aplicables al flujo de líquidos- a partir de la segunda ley de Newton. Para ello es necesario considerar las fuerzas que se oponen al movimiento, las cuales desarrollan un trabajo mecánico equivalente a la energía disipada al vencer dichas fuerzas. Cuando se aplica la segunda ley de newton a un elemento diferencial de masa de liquido, en la forma dF=dm a, se obtienen las ecuaciones del movimientoa lo largo de una línea de corriente- para el

flujo de un liquido real, no

permanente; puede generalizarse para una vena liquida en flujo unidimensional. La derivación de dicha ecuación corresponde a las condiciones particulares del movimiento según el sistema natural de coordenadas. Para el planteo de las ecuaciones es necesario establecer el equilibrio dinámico de las fuerzas en las direcciones tangencial, normal y binormal, que actúan sobre el elemento líquido (mostrado en la figura 4.6), con la fuerza de peso como única fuerza de cuerpo. Dicho elemento encierra al puno o, en el cual existen los valores v, p, ρ ,τ (velocidad, presión, densidad, esfuerzo de fricción). Las componentes de las fuerzas que actúan sobre el elemento en la dirección +s son las siguientes: 115

La fuerza de superficie resultante de un gradiente de presiones en la dirección del movimiento; para la dirección positiva de la coordenada curvilínea s (fig. 4.6 b) es:

1 ∂p  1 ∂p  ∂p   ds dndb −  p + ds dndb = − dsdndb p− 2 ∂s  2 ∂s  ∂s  

116

La fuerza de superficie, debida a la resistencia al movimiento, se puede evaluar en términos del esfuerzo tangencial de fricción ‫זּ‬, el cual varia únicamente en la dirección n dado que en la inmediata vecindad del puno P no hay variación de la velocidad en la dirección b. esta fuerza es: 1 ∂τ  1 ∂τ  ∂τ   dn dsdb − τ − dn dsdb = dndsdb τ + 2 ∂n  2 ∂n  ∂n   c) la componente de la fuerza de cuerpo, debida al propio peso del elemento. Con cos θ =

∂z , vale: ∂s

− pgdsdndb cos θ = − pgdsdndb

∂z ∂s

La segunda ley de newton- aplicada al elemento- establece que la suma de estas fuerzas es igual a la masa del elemento, multiplicada por la componente a s de la aceleración dada por la EC.(3.5ª). Puesto que en todos los términos que representan fuerzas aparece el volumen del elemento ds dn db, resulta entonces:  ∂  v 2  ∂v  ∂z   ∂p ∂τ − ∂s + ∂n − pg ∂s  dsdndb = p  ∂s  2  + ∂t  dsdndb     Dado que p ds dn db representa la masa del elemento, si los términos de la ecuación anterior se dividen entre aquella, cada término representara una fuerza por unidad de masa. Resulta entonces que esta es la primera ecuación diferencial del movimiento.

117

NOTA: Las dimensiones del elemento son ds, dn y db, medidas a través de su centro; v, p, p y 't, los valores medidos en P. Figura 4.6 b). Componentes de las fuerzas que actúan sobre el elemento.

El primer término es debido gradiente de presiones en la dirección la línea de corriente; el segundo, la fuerza de resistencia causada por la fricción interna y que induce la disipación de energía; el tercero, la fuerza de peso (todas estas fuerzas son por unidad de masa); finalmente, el cuarto término (segundo miembro) es el cambio de energía cinética aceleración convectiva) que experimenta unidad de masa a lo largo de la línea corriente; y, el último, la aceleración local de la misma. La Ec. (4.8a) se ha derivado por simplicidad para un elemento de área transversal constante. Sin embargo, el mismo resultado se obtiene si el elemento es divergente

118

(Ref. 12). En la misma forma se establece el equilibrio dinámico del elemento, ahora en la dirección de la normal principal a la línea de corriente, sobre la cual la componente de la aceleración está dirigida en sentido negativo de n y está expresada por la Ec. (3.5b) y donde, además, no existe fuerza de fricción. Resulta:

Donde r es el radio local de curvatura de la línea de corriente. Dividiendo entre p ds dn db, se tiene:

La Ec. (4.8b) permite determinar la distribución de la presión en la dirección de la normal principal de la línea de corriente, si se conoce la distribución de v sobre la misma. Es válida para el flujo compresible permanente o no y sus diferentes términos representan a las fuerzas por unidad de masa. En el caso de que la línea de corriente sea de curvatura despreciable (r=∞), el segundo termino de la Ec. (4.8 b) vale cero. Finalmente, del equilibrio dinámico según la dirección de la binormal, resultaría:

−

1 ∂p ∂z −g = 0( 4.8c ) p ∂b ∂b

119

Debido a que ab = 0 Ec. (3.5 c). La ecuación (4.8c) es valida para el flujo permanente o no permanente y sus términos también representan a fuerzas por unidad de masa. Si se trata del flujo de líquidos los efectos térmicos no tienen influencia en p y, además, es común que los cambios de p y τ , con la posición del punto, sean más tar p (aun en golpe de ariete). Por tanto, las Ecs. (4.8) para el flujo de líquidos se pueden escribir en forma: ∂  p ∂z ∂  τ  ∂  v 2   − g +   =  ∂s  ρ  ∂s ∂n  ρ  ∂s  2 ∂  p ∂z v2 −   − g = − ( 4.9b ) ∂n  ρ  ∂n r −

−

 ∂v  + ( 4.9a )  ∂t

∂  p ∂z   − g = 0( 4.9c ) ∂b  ρ  ∂b

Todavía más considerando las ecuaciones (3.6) y (3.8), la forma vectorial de las ecuaciones del movimiento (4.9 a, b, c) es (Ref.12):

 v2 p  ∂ τ  − grad  + gz  +  s = grad  ρ  ∂n  ρ   2

 ∂v  + rotv * v + ( 4.9 ) ∂t 

2.2.2 SOLUCION PARA UNA VENA LIQUIDA El considerar que los valores de z, ρ , p, hr Yv, sobre una línea de corriente ideal que coincidiera con el eje de una vena liquida, fueran representativos de cada sección, no implicaría un error apreciable y la Ec. (4.12) seria igualmente valida para la vena liquida. Esta consideración es suficientemente precisa por lo que respecta a los términos que contienen las cuatro primeras magnitudes, pero será menos exacta en lo que se refiere a los que contienen a v. En efecto; al existir 120

una distribución de velocidades en la sección, que además se aparta del valor medio v (Fig. 4.7), se comete un error en el cálculo de dicho valor medio.

2 Puesto que en las ecuaciones (4.11) y (4.12) el término v 2 g representa la

energía cinética que posee la unidad de peso, la que corresponde al peso del líquido que atraviesa el área dA en la unidad de tiempo será: γvdAv 2 / 2 g . En la misma forma, la energía cinética que posee todo el peso del liquido que fluye a través de una sección de la vena liquida, en la unidad de tiempo, es γVAαV 2 / 2 g. donde α corrige el error de considerar el valor medio de la velocidad. Se debe entonces satisfacer lo siguiente:

α

V2 v2 γVA = ∫∫ γvdA 2g 2g A

Puesto que γ representa el valor medio del peso especifico en toda la sección, resulta que Por un razonamiento análogo con el último termino de la Ec. (4.12), se tiene Los coeficientes α ,Y , β se conocen como coeficientes de coriolis y de boussines que respectivamente. Con estas correcciones la Ec. (4.12) resulta así:

121

Que es la ecuación diferencial de la energía para una vena liquida, llamada también ecuación dinámica. Si esta ecuación se integra entre dos secciones, 1 y 2 de la vena líquida, se obtiene:

Es decir, la ecuación general de la energía para una vena liquida, donde 2

∑h

r

representa la disipación de energía interna del flujo, entre las secciones 1 y

1

2, que además, incluye la constante de integración C (t). Interpretación de la ecuación de la energía Con el objeto de entender mejor las diferentes aplicaciones de la Ec. (4.19), es adecuado hacer una interpretación física de los diferentes términos que intervienen en ella. El análisis de cada uno de sus términos muestra que corresponden a los de una longitud o carga. El termino z, medido desde un plano horizontal de referencia, se llama carga de posición; 2

p

γ es la carga de presión;

αV / 2 g la carga de velocidad; ∑ hr la perdida de carga y 2

1

1 ∂βV 2 ds g ∫1 ∂t 2

la carga

correspondiente al cambio local de la velocidad. La Ec. (4.19) establece las relaciones entre las diferentes transformaciones de la energía mecánica del líquido, por unidad de peso del mismo [ FL / F ] . La carga de posición es la energía correspondiente al trabajo mecánico a la presión; la carga de velocidad es la energía cinética de toda la vena liquida; la perdida de carga es la energía transformada en otro tipo de energía (transferencia de calor) que, en el caso de los líquidos, no es utilizable en el movimiento; y, finalmente, la

122

carga correspondiente al cambio local de la velocidad es la energía utilizada para efectuar dicho cambio.

a) Si el flujo es permanente,

∂β V = 0 y la Ec. (4.19) se reduce a la ∂t

expresión: 2 p1 V12 p2 V22 z1 + + α1 = z2 + +α2 + ∑ hr ( 4.20 ) γ 2g γ 2g 1 2

b) Si, además, no hay pérdida de energía,

∑h

r

= 0 y los coeficientes

1

α 1 = α 2 = 1 , la Ec. (4.20) adopta la forma llamada ecuación de Bernoulli para una liquida, esto es: c) z1 +

p1 V1 p V2 + = z 2 + 2 + 2 ( 4.21) γ 2g γ 2g

p V2 d) Si H = z + + α representa la energía por unidad de peso que tiene γ 2g el líquido en una determinada sección, la cual es medida desde el plano horizontal de referencia, la Ec. (4.20) se simplifica así: 2

H 1= H 2 + ∑ hr ( 4.22 ) 1

En una determinada sección la energía de un volumen v del líquido, respecto del plano horizontal de referencia, es:

E = γHv

Y, por definición de energía y potencia, en esa sección esta ultima vale: P = γQH ( 4.23) Donde:

γ Peso especifico del liquido, en kg / m 3 123

H Energía total respecto del plano de referencia, en m; Q Gasto en la sección considerada, en m 3 / seg ; P Potencia del liquido, en kgm / seg . Esto es, si se multiplican ambos miembros de la Ec. (4.22) por γQ , para el flujo permanente, esta ecuación se puede también expresar en la forma 2

P1 = P2 + ∑ Pr ( 4.24 ) 1

Una interpretación física de cada uno de los términos de la Ec. (4.19) para una conducción forzada con escurrimiento no permanente, se muestra en la Fig. 4.8, la cual tendría validez para un instante determinado. Con este esquema se pueden hacer las siguientes definiciones. 1. La línea de energía une los puntos que indican en cada sección la energía de la corriente. 2. La línea de cargas pieloométricas o gradiente de cargas de presión, une los puntos que marcan en cada sección la suma de las cargas

por

arriba del y plano de referencia. De acuerdo con estas definiciones la línea de cargas piezométricas está separada de la línea de energía, una distancia vertical correspondiente a cada sección.

Al mismo tiempo se pueden hacer las siguientes generalizaciones.

124

1. La línea de energía no puede ser horizontal o con inclinación ascendente en la dirección del escurrimiento, si el líquido es real y no adquiere energía adicional desde el exterior. La diferencia de nivel de la línea de energía en dos puntos distintos representa la pérdida de carga o disipación de energía por unidad de peso del líquido fluyente. 2. La línea de energía y la de cargas piezométricas coinciden y quedan al nivel de la superficie libre para un volumen de líquido en reposo (por ejemplo, un depósito o un embalse). 3. En el caso de que la línea de cargas piezométricas quede en algún tramo por debajo del eje de la vena líquida, las presiones locales en ese tramo son menores que la presión cero de referencia que se utilice (comúnmente la presión atmosférica).

125

En la Fig. 4.9 se muestra la disposición de las líneas de energía, y de cargas piezométricas, de una instalación hidroeléctrica donde el flujo es permanente; la turbina aprovecha la energía disponible Ha., b. En la Fig. 4.10 se muestra el mismo esquema, pero en este caso se trata de una instalación de bombeo. Para los dos casos la Ec. (4.19) se escribe como sigue:

En la instalación hidroeléctrica la turbina queda generalmente muy próxima a la sección 2 y el término

es despreciable.

Por lo que respecta al término Ha., b éste se ha empleado en la Ec. (4.25) como una energía cedida o añadida al flujo y tiene las dimensiones de una longitud. En efecto, por definición de potencia (Ec. 4.23) tenemos que:

Finalmente, la carga de velocidad se mide desde el nivel de la superficie libre del agua hasta la línea de energía. En el caso de que sean los ángulos e >

126

10', la carga de presión es distinta y se evalúa como

, en que d

es el tirante y medido en dirección perpendicular a la

plantilla del canal; o bien, siendo y , donde y es el tirante y medido verticalmente. De este modo, la suma de las cargas de posición, presión y velocidad es

donde V representa la velocidad media en La sección perpendicular a la plantilla correspondiente al tirante d. La pérdida de energía que se produce al escurrir un líquido real puede deberse no sólo al efecto de fricción entre las partículas del líquido y las fronteras que confinan a la vena líquida, sino -además- al efecto de separación o turbulencias inducidas en el movimiento al presentarse obstáculos o cambios bruscos en la geometría. El primer tipo de perdida se conoce como perdida de energía por fricción; es proporcional a la longitud de recorrido y suele adquirir gran importancia en estructuras largas. El segundo tipo de perdida se conoce como perdida menor y se concentra en el sitio mismo en que se origina. 2.2.3 ANALISIS DE LA ECUACION DE LA ENERGIA El primer término es debido gradiente de presiones en la dirección la línea de corriente; el segundo, la fuerza de resistencia causada por la fricción interna y que induce la disipación de energía; el tercero, la fuerza de peso (todas estas fuerzas son por unidad de masa); finalmente, el cuarto término (segundo miembro) 127

es el cambio de energía cinética aceleración convectiva) que experimenta unidad de masa a lo largo de la línea corriente; y, el último, la aceleración local de la misma. La Ec. (4.8a) se ha derivado por simplicidad para un elemento de área transversal constante. Sin embargo, el mismo resultado se obtiene si el elemento es divergente (Ref. 12). En la misma forma se establece el equilibrio dinámico del elemento, ahora en la dirección de la normal principal a la línea de corriente, sobre la cual la componente de la aceleración está dirigida en sentido negativo de n y está expresada por la Ec. (3.5b) y donde, además, no existe fuerza de fricción. Resulta:

Donde r es el radio local de curvatura de la línea de corriente. Dividiendo entre p ds dn db, se tiene:

La Ec. (4.8b) permite determinar la distribución de la presión en la dirección de la normal principal de la línea de corriente, si se conoce la distribución de v

128

sobre la misma. Es válida para el flujo compresible permanente o no y sus diferentes términos representan a las fuerzas por unidad de masa. En el caso de que la línea de corriente sea de curvatura despreciable (r=∞), el segundo termino de la Ec. (4.8 b) vale cero. Finalmente, del equilibrio dinámico según la dirección de la binormal, resultaría:

−

1 ∂p ∂z −g = 0( 4.8c ) p ∂b ∂b

Debido a que ab = 0 Ec. (3.5 c). La ecuación (4.8c) es valida para el flujo permanente o no permanente y sus términos también representan a fuerzas por unidad de masa. Si se trata del flujo de líquidos los efectos térmicos no tienen influencia en p y, además, es común que los cambios de p y τ , con la posición del punto, sean más tar p (aun en golpe de ariete). Por tanto, las Ecs. (4.8) para el flujo de líquidos se pueden escribir en forma: ∂  p ∂z ∂  τ  ∂  v 2  ∂v −   − g +   =   + ( 4.9a ) ∂s  ρ  ∂s ∂n  ρ  ∂s  2  ∂t ∂  p ∂z v2 −   − g = − ( 4.9b ) ∂n  ρ  ∂n r −

∂  p ∂z   − g = 0( 4.9c ) ∂b  ρ  ∂b

Todavía más considerando las ecuaciones (3.6) y (3.8), la forma vectorial de las ecuaciones del movimiento (4.9 a, b, c) es (Ref.12):  v2 p  ∂ τ  − grad  + gz  +  s = grad  ρ  ∂n  ρ   2

 ∂v  + rotv * v + ( 4.9 ) ∂t 

129

2.2.4 LÍNEAS DE ENERGÍA Y LÍNEAS DE CARGAS ISOMÉTRICAS Es la energía neta por unidad de peso que cede o se transmite al líquido por efecto de la máquina; tiene signo positivo en la Ec. (4.25) cuando el líquido cede energía (turbina) o negativo cuando la recibe (bomba). Aún más, si P. es la potencia nominal de la máquina y 1}su eficiencia, entonces

Si se trata de una turbina; y

si es una bomba. En el caso de una conducción a superficie libre en escurrimiento continuo (figura 4.11), con líneas de corriente de curvatura despreciable y paralelas, es más adecuado medir la carga de posición desde el plano de referencia hasta el punto más bajo de la sección transversal, esto es, hasta la plantilla del canal. La carga de presión coincide con el tirante y de la sección, es decir, con el desnivel entre

130

La superficie libre y la plantilla, siempre que sea pequeño el ángulo θ de inclinación de la plantilla. Esto equivale a considerar que la distribución de presiones es hidrostática y que no existen componentes de la aceleración normales a la dirección del flujo.

2.2.5 ECUACION DE POTENCIAS EN BOMBAS Y TURBINAS Los fluidos son impulsados a través de las tubería y equipos de bombas, vertedores, sopladores y compresores. Estos aparatos retroalimentan la energía mecánica de la sustancia, aumentando su velocidad, presión y/o altura. Los aparatos más usados son los que proporcionan energía por desplazamiento positivo o los que lo hacen por fuerzas centrífugas. Las bombas

131

se utilizan para mover líquidos, mientras que los vertedores, sopladores y compresores son empledos para impulsar gases y vapor. Al usar bombas la densidad del fluido es constante; puede utilizarse para subir un líquido, forzándolo a entrar a un recipiente o simplemente darles suficiente presión para que fluya por la tubería. No importa cual sea el servicio requerido para utilizar la bomba; en todos los casos se deben tomar encuenta las diferentes formas de energía para favorecer su trabajo. En el siguiente diagrama, la bomba instalada en el sistema provee energía para extraes un líquido del recipiente 1 y descargarlo a flujo constante en 2. El líquido entra a la conexión de succión de la bomba en el punto A y llega al punto B. Se puede plantear una ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B. Como en este caso la única fricción es la que se produce dentro de la bomba, esta se mide con la eficiencia de la misma

(ub

2

− ua 2

) 21gc + (Zb − Za) gcg + ( Pb − Pa ) P1 = − Mϕ

Las cantidades entre paréntesis se denominan cabezas, cargas o columnas. Hay cargas de velocidad. De altura o de presión. La carga total esta definida por:

H=

g P u2 +Z + ρ gc 2 gc

132

En las bombas la diferencia de altura entre la succión y la descarga es despreciable, por lo que Za y Zb pueden no tomarse en consideración. Inclusive la diferencia entre ub y ua suelen ser despreciables. Si Ha es la carga de succión Hb es la columna de descarga:

( Hb − Ha ) = ∆H = Pb − Pa ρ

La carga o cabeza se expresa en metros o pies de líquidos (cubicos). POTENCIA HIDRÁULICA Es el trabajo requerido para cambiar la posición, presión y velocidad de un líquido en un tiempo determinado

ϕH =

ϕ (M ) M

ϕ H = ∆HM [ =]

Kgm Kg HP Kgm × × = HP Kg seg 76 seg

M = gasto másico ( = ) M θ −1

ϕ H = potencia hidráulica (=) E Potencia Es la energía consumida por la bomba para dar el trabajo que requiere el fluido. También recibe el nombre de potencia al freno.

ϕ=

ϕ H ∆HM = ;η = eficiencia ( = ) adimensional también η η

ϕ=

C a ρ∆H 75η

donde: 133

Ca = caudal en m3/seg ρ = densidad en Kg/m3

ϕ = potencia en CV H = carga o cabeza en metros 75 es un factor de conversión de

Kgm a CV seg

BOMBAS CENTRÍFUGAS En esta bomba la energía o cabeza se le aplica líquido por medio de fuerza centrífuga. El tipo más común es el de las bombas con cabeza de caracol (véase en la figura); el líquido entra cerca del eje del impulsor, que gira a alta velocidad, y es arrastrado rápidamente a través de un espiral que se va haciendo cada vez más amplia

134

Figura Las paletas del impulsor son curvas para asegurar el flujo suave del líquido. La carga de velocidad aplicada al líquido se convierte gradualmente en carga de presión, al reducirse la unidad del líquido. En la mayoría de las bombas la sección del orificio de admisión es mayor que el de presión, esta regla casi y en general queda alterada en las bombas de giro bi-direccional donde ambos orificios presentan el mismo diámetro. La razón de las diferencias de diámetros anotada, queda justificada por la necesidad de ingreso de aceite a la bomba al valor más bajo posible (máximo 1,20 metros por segundo) quedará como consecuencia una mínima pérdida de carga, evitándose de esta forma el peligro de la cavitación. En ningún caso debe disminuirse por razones de instalación o reparación el diámetro nominal de esta conexión que invariablemente esta dirigida al depósito o tanque como así también mantener la altura entre el nivel mínimo de aceite de este último y la entrada en el cuerpo de la bomba (Ver Fig. 2.6) de acuerdo al indicado por el fabricante. Para las bombas a engranajes, paletas y pistones sin válvulas, los fabricantes dan valores de succión del orden de los 4 a 5 pulgadas de mercurio cuando ellas operan con aceites minerales, disminuyendo este valor a 3 pulgadas de mercurio cuando las bombas operan con fluidos sintéticos. En general podemos decir que la distancia h de la Fig. 2.6. no debe superar nunca los 80 centímetros. Las bombas de pistones con igual válvula de admisión y salida no proveen una succión suficiente para elevar el aceite y funcionar sin cavitación por ello se recurre al llenado o alimentación por gravedad como vemos en la Fig. 2.7.

135

2.2.6 APLICACIONES La observación de lo anotado permitirá el funcionamiento correcto de las bombas instaladas asegurando su eficiencia, mediante una aspiración correcta y preservando la vida útil de las mismas al limitar las posibilidades de la cavitación por una altura a excesiva o una sección de aspiración menor es la indicada. Uno de los problemas que frecuentemente se presentan, es la aspiración de aire por parte de la bomba, teniendo por consecuencia un funcionamiento deficiente, perdida de presión, excesivo desgaste y funcionamiento sumamente ruidoso. Afortunadamente los puntos por los cuales puede ingresar aire a la bomba están perfectamente localizados. Consideraremos ahora los que se encuentran entre la bomba propiamente dicha y el tanque.

136

En la Fig. 2.8 observamos una disposición corriente de una tubería de succión en ella cada conexión de accesorio es decir 1, 2 , 3 y 4 presenta un camino propicio para el ingreso de aire si bien esta tubería no soporta presión, el empaquetado de los accesorios y conexiones señaladas, debe efectuarse con extremo cuidado para impedir que , por succión de la bomba , se introduzca aire. Cuando la tubería de succión se acopla a la bomba mediante una brida A es necesario prestar especial atención al aro sello o junta existente entre la brida y el cuerpo de la bomba, ya que su estado determinará la posibilidad de ingresa de aire. Un método que si bien es poco ortodoxo resulta rápido y eficiente para el estado de los puntos A, 1 ,2 ,3 y 4 o similares, es aplicar mediante un pincel espuma obtenida con agua y detergente. Una rápida aparición de las burbujas nos indicará el sitio exacto por donde se incorpora aire al circuito. El extremo de la tubería de succión termina en el tanque, a través de una coladera o totalmente libre, según el caso, pero en ambos su ubicación debe quedar 2 pulgadas por debajo del nivel mínimo del tanque, eliminando de esta forma, la última posibilidad de ingreso de aire. 2.3 CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO La ecuación de la cantidad de movimiento en un cuerpo libre o volumen de control se deriva de la segunda ley de Newton. Se conoce como la cantidad de movimiento de un elemento de masa M al producto de esta por su velocidad. Por lo tanto, la segunda ley de Newton establece lo que sigue. “La suma vectorial de todas las fuerzas F que actuan sobre una masa de fluido es igual a la rapidez del cambio del vector lineal cantidad de movimiento de la masa del fluido”, es decir: F=

d ( Mv ) dt

137

Fig. Derivación de la ecuación de la cantidad de movimiento para un volumen de control. Las fuerzas externas son de dos tipos: a) Fuerza de superficie que actúa sobre la masa de fluido y, a su vez, pueden ser: Fuerzas Fp, normales a la frontera de la masa, que se pueden evaluar en términos de las intensidades de presión sobre la misma. Conviene aquí observar que la presión comprende, además de la presión estática, la dinámica ejercida por el flujo. Fuerzas FT, tangenciales a la frontera de la masa, que se pueden medir en términos del esfuerzo tangencial sobre la misma. b) Fuerzas de cuerpo Fc, generalmente de precio propio la masa que fluye en la unidad de tiempo, a través de un elemento de superficie de dA de la que encierra al volumen de control (mostrado en la fig), es ρv • dA. Se recuerda que la magnitud del vector dA es igual al área del elemento de superficie; su dirección normal al mismo elemento; y –por convención- positivo si se dirige hacia afuera del volumen. Por lo tanto, ρv • dA. es posible si el fluido sale del volumen, dado que el producto escalar tendrá ese signo, y negativo en caso contrario.

138

La variación en el tiempo, de la cantidad de movimiento a través del elemento dA será entonces

ρv( v • dA) En cualquier instante la masa de un elemento diferencial es ρdu , donde la densidad del elemento depende del instante que se considere y de la posición del mismo dentro del volumen de control. La cantidad de movimiento de dicho elemento de volumen será entonces: vρdu .

2.3.1 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO Las fuerzas debido al esfuerzo cortante se consideran como la ecuación de fricción desde la frontera hacia el líquido y en ocasiones, puede ser difícil de evacuarlas. Las fuerzas del cuerpo pueden ser de cualquier tipo pero, en general serán fuerzas debidas al peso del volumen de control y aplicadas a su centro de gravedad. V = representa al vector de velocidad media del gasto Q que atraviesa una cierta posición de la superficie de control; se considera aplicado en el centro de gravedad y en la dirección normal a las porciones de área de la Sc. De esta manera cada producto QβV que integra el término Σ( QβV ) será un vector de la misma dirección y sentido de V se deberán efectuar cada término con un signo: posditivos si el gasto sale del volumen de control y negativo en caso contrario. Finalmente, β representa el coeficiente de Buussinesq para corregir el efecto de 139

considerar una velocidad media en lugar de la verdadera distribución de velocidades sobre la proporción de área. 2.3.2 FUERZA HIDROSTÁTICA Esta rama de la mecánica de fluidos se ocupa de las leyes de los fluidos en movimiento; estas leyes son enormemente complejas, y aunque la hidrodinámica tiene una importancia práctica mayor que la hidrostática, sólo podemos tratar aquí algunos conceptos básicos. Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinámicas para los fluidos sólo pueden expresarse de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es incompresible e ideal, es decir, si se pueden despreciar los efectos del rozamiento y la viscosidad. Sin embargo, como esto nunca es así en el caso de los fluidos reales en movimiento, los resultados de dicho análisis sólo pueden servir como estimación para flujos en los que los efectos de la viscosidad son pequeños. a) Flujos incompresibles y sin rozamiento Estos flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, que afirma que la energía mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es constante a lo largo de una línea de corriente. Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido. El teorema de Bernoulli implica una relación entre los efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la presión disminuye. Este principio es importante para predecir la fuerza de sustentación de un ala en vuelo.

140

Ecuación de continuidad: (para flujo estacionario e incompresible, sin fuentes ni sumideros, por evaluarse a lo largo de una línea de corriente). 1) Ley de conservación de la masa en la dinámica de los fluidos: A1.v1 = A2.v2 = cte.

Recordar que p = F/A

F = p.A

Flujo de volúmen: (caudal). = A .v [m3/s] Ecuación de Bernoulli: (principio de conservación de la energía) para flujo ideal (sin fricción).

p/

= energía de presión por unidad de masa.

g.h = energía potencial por unidad de masa. v2/2 = energía cinética por unidad de masa. Ecuación de Bernoulli para flujo en reposo: v1 = v2 = 0 141

p1 +

.g.h1 = p2 +

.g.h2

b) Flujos viscosos: movimiento laminar y turbulento Los primeros experimentos cuidadosamente documentados del rozamiento en

flujos

de

baja

velocidad

a

través

de

tuberías

fueron

realizados

independientemente por Poiseuille y por Hagen. El primer intento de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones matemáticas se debió a Navier e, independientemente, a Stokes, quien perfeccionó las ecuaciones básicas para los fluidos viscosos incompresibles. Actualmente se las conoce como ecuaciones de Navier-Stokes, y son tan complejas que sólo se pueden aplicar a flujos sencillos. Uno de ellos es el de un fluido real que circula a través de una tubería recta. El teorema de Bernoulli no se puede aplicar aquí, porque parte de la energía mecánica total se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso, lo que provoca una caída de presión a lo largo de la tubería. Las ecuaciones sugieren que, dados una tubería y un fluido determinados, esta caída de presión debería ser proporcional a la velocidad de flujo. Los experimentos demostraron que esto sólo era cierto para velocidades bajas; para velocidades mayores, la caída de presión era más bien proporcional al cuadrado de la velocidad. Este problema se resolvió cuando Reynolds demostró la existencia de dos tipos de flujo viscoso en tuberías. A velocidades bajas, las partículas del fluido siguen las líneas de corriente (flujo laminar), y los resultados experimentales coinciden con las predicciones analíticas. A velocidades más elevadas, surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo, o remolinos (flujo turbulento), en una forma que ni siquiera en la actualidad se puede predecir completamente. Reynolds también determinó que la transición del flujo laminar al turbulento era función de un único parámetro, que desde entonces se conoce como número de Reynolds. Si el número de Reynolds (que carece de dimensiones y es el 142

producto de la velocidad, la densidad del fluido y el diámetro de la tubería dividido entre la viscosidad del fluido) es menor de 2.000, el flujo a través de la tubería es siempre laminar; cuando los valores son mayores a 3000 el flujo es turbulento. El concepto de número de Reynolds es esencial para gran parte de la moderna mecánica de fluidos. Los flujos turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones calculadas, y su análisis depende de una combinación de datos experimentales y modelos matemáticos; gran parte de la investigación moderna en mecánica de fluidos está dedicada a una mejor formulación de la turbulencia. Puede observarse la transición del flujo laminar al turbulento y la complejidad del flujo turbulento cuando el humo de un cigarrillo asciende en aire muy tranquilo. Al principio, sube con un movimiento laminar a lo largo de líneas de corriente, pero al cabo de cierta distancia se hace inestable y se forma un sistema de remolinos entrelazados. Ecuación de Bernoulli para flujo real (con fricción)

H0 = perdida de energía por rozamiento desde 1 hasta 2. c) Flujos de la capa límite Los flujos pueden separarse en dos regiones principales. La región próxima a la superficie está formada por una delgada capa límite donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el modelo matemático. Fuera de esta capa límite, se pueden despreciar los efectos de la viscosidad, y pueden emplearse las ecuaciones matemáticas más sencillas para flujos no viscosos. La teoría de la capa límite ha hecho posible gran parte del desarrollo de las alas de los aviones modernos y del diseño de turbinas de gas y compresores.

143

d) Flujos compresibles El interés por los flujos compresibles comenzó con el desarrollo de turbinas de vapor por el británico Parsons y el sueco Laval. En esos mecanismos se descubrió por primera vez el flujo rápido de vapor a través de tubos, y la necesidad de un diseño eficiente de turbinas llevó a una mejora del análisis de los flujos compresibles. El interés por los flujos de alta velocidad sobre superficies surgió de forma temprana en los estudios de balística, donde se necesitaba comprender el movimiento de los proyectiles. Uno de los principios básicos del flujo compresible es que la densidad de un gas cambia cuando el gas se ve sometido a grandes cambios de velocidad y presión. Al mismo tiempo, su temperatura también cambia, lo que lleva a problemas de análisis más complejos. El comportamiento de flujo de un gas compresible depende de si la velocidad de flujo es mayor o menor que la velocidad del sonido. El sonido es la propagación de una pequeña perturbación, u onda de presión, dentro de un fluido. Para un gas, la velocidad del sonido es proporcional a la raíz cuadrada de su temperatura absoluta. La velocidad del sonido en el aire a 20 ∞C (293 Kelvin en la escala absoluta), es de unos 344 metros por segundo. Si la velocidad de flujo es menor que la velocidad del sonido (flujo subsónico), las ondas de presión pueden transmitirse a través de todo el fluido y así adaptar el flujo que se dirige hacia un objeto. Por tanto, el flujo subsónico que se dirige hacia el ala de un avión se ajustará con cierta distancia de antelación para fluir suavemente sobre la superficie. En el flujo supersónico, las ondas de presión no pueden viajar corriente arriba para adaptar el flujo. Por ello, el aire que se dirige hacia el ala de un avión en vuelo supersónico no está preparado para la perturbación que va a causar el ala y tiene que cambiar de dirección repentinamente en la proximidad del ala, lo que conlleva una compresión intensa u 144

onda de choque. El ruido asociado con el paso de esta onda de choque sobre los observadores situados en tierra constituye el estampido sónico de los aviones supersónicos. Frecuentemente se identifican los flujos supersónicos por su número de Mach, que es el cociente entre la velocidad de flujo y la velocidad del sonido. Por tanto, los flujos supersónicos tienen un número de Mach superior a 1. 2.3.3 APLICACIONES La ecuación de la energía y de la cantidad de movimiento se aplica de manera diferente, si se hace correctamente, ellas describirán el flujo con idénticos grados de exactitud. Sus principales diferencias se encuentran en su estructura: mientras la ecuación de la cantidad de movimiento es vectorial y engloba fuerzas tales y condiciones externas –sin tomar en cuenta los cambios internos de energía- la ecuación de la energía es por el contrario escalar y toma en cuenta los cambios internos de energía y no las fuerzas totales y condiciones externas. En muchos casos, de una de las dos ecuaciones es suficiente para el análisis de un problema; la elección entre ellas depende que sean las fuerzas totales o la energía del flujo la que se necesita en la solución. En otros casos, por el contrario, la naturaleza del problema es tal que resulta necesario usar las dos ecuaciones simultáneamente para utilizar la opción correcta. En general, cualquiera que sea el sistema de ecuaciones por usar, este se deberá plantear entre secciones finales con direcciones de frontera permanentes definidas, es decir, entre ellas secciones de la conducción en los que se conozcan con exactitud los valores de la energía de posición, de presión y de la velocidad y, por lo mismo0 la energía total.

145

UNIDAD III: HIDRÁULICA EXPERIMENTAL 3.1 MODELOS HIDRAÚLICOS La Hidráulica, hoy en día una ciencia básica de la ingeniería, estuvo durante mucho tiempo basada en resultados empíricos obtenidos de anteriores obras hidráulicas. Con el desarrollo paulatino de teorías y técnicas desarrolladas tanto en modelos reducidos como en modelos matemáticos, ha cambiado esta orientación empirista. Como muchas veces una descripción matemática de los fenómenos hidráulicos es muy complicada o imposible al menos por ahora, dado el estado del conocimiento humano, se hace necesaria la experimentación en modelos hidráulicos a escala reducida, los que además son útiles para la calibración de los modelos matemáticos. El modelo hidráulico es una ayuda importante para el diseño de las obras hidráulicas difíciles de analizar por medio de un modelo matemático, siempre y cuando el diseño de un modelo reducido sea correcto, está bien operado y los resultados sean interpretados con sentido crítico. El objetivo final de una investigación en un modelo hidráulico es mejorar las situaciones desfavorables existentes en el prototipo (la estructura hidráulica al tamaño natural), o ayudar en el diseño de obras hidráulicas para encontrar una solución, sin riesgos de fallas completas o parciales, de las obras que se van a construir. Los costos de la investigación en modelos hidráulicos reducidos no suben más del 0.75% del costo del proyecto de la realidad, y casi siempre la ejecución del modelo justifica su mismo valor por disminución de los riesgos en la ejecución u operación de la obra, por ganancia de tiempo en la ejecución de la misma, por la comprensión que proporciona del funcionamiento del prototipo, o por las valiosas recomendaciones que pueden surgir para su diseño. 146

En cuanto a la situación del Laboratorio de la Facultad de minas en el campo de investigación, se cuenta con los elementos materiales fundamentales, ya sea en aquél o en otros de la sede, cuando se requieran aparatos de medida muy complejos, la investigación pura dependería en gran parte de la calidad y de la mística de los técnicos que hagan parte del laboratorio, y de la relación que exista entre ellos y los técnicos dedicados a la práctica profesional, pues esos últimos pueden señalar las necesidades. Con respecto a la investigación aplicada: dependería en gran parte del estímulo y oportunidades de trabajo que se den al laboratorio (como elemento que relaciona a la Universidad con la sociedad), de las entidades oficiales, semioficiales y de las firmas de ingenieros dedicados a las prácticas de la ingeniería, tanto en el diseño como en la construcción. 3.1.1 SIMILITUD Uno de los notables descubrimientos de Newton fue la Ley de la Gravitación Universal, según la cual si dos cuerpos tienen masa, cuando están cerca uno del otro hay una fuerza de atracción entre ellos. Así, por ejemplo, la tierra atrae a la luna y el sol a la tierra. Para estos propósitos, lo importante de esta ley es que nos indica, en primer lugar, que la fuerza entre los cuerpos depende de la distancia entre ellos. No da lo mismo tener dos cuerpos muy cercanos uno del otro que muy separados. Mientras mayor sea la distancia entre los cuerpos menores, será la fuerza entre ellos, ya que ha medida que las distancia entre dos cuerpos sea mayor, menor será el efecto que uno ejerza sobre el otro. 3.1.2 LEYES DE SIMILITUD En segundo lugar, la ley de la gravitación universal nos indica cómo depende la fuerza de la distancia de un metro y la fuerza tiene determinado valor. 147

Si la distancia entre estos mismos cuerpos aumenta al doble, o sea a 2m, entonces la fuerza disminuye a la cuarta parte. Si la distancia aumenta el triple, o sea a 3m, la fuerza disminuye a la novena parte, etc. La cuarta parte de la fuerza es igual a º; pero 4 es igual a 2 2, o sea, 2 elevado a la potencia 2; por lo que la cuarta parte es igual a ½ 2. La novena parte de la fuerza es igual a 1/9; pero 9 = 32, o sea, 3 elevado a la potencia 2; por lo que la novena parte es igual a 1/3 2, etc. En consecuencia: si la distancia aumenta 3 veces, la fuerza disminuye 1/32 veces; si la distancia aumenta 4 veces, la fuerza disminuye 1/42veces, etc. Esto último se expresa diciendo que la disminución del valor de la fuerza es como el cuadrado de la distancia. En forma abreviada, usando lenguaje matemático lo anterior se expresa diciendo que la fuerza depende en forma inversamente proporcional al cuadrado de loa distancia. Inversamente quiere decir que al aumentar la distancia disminuye la fuerza. Ahora bien, si en lugar de haber considerado la distancia en la escala de metros la hubiéramos tomado en la escala de kilómetros, la forma en que varía la fuerza con la distancia no cambia, sigue disminuyendo en razón al cuadrado de la distancia. Si se toma una escala de miles o de millones de kilómetros (como ocurre en el caso del sistema planetario), la dependencia de la fuerza con la distancia sigue siendo la misma. Por tanto, como el mismo comportamiento ocurre sin importar la escala, éste fenómeno es auto similar. Existen otros fenómenos en la naturaleza en los que la dependencia de la distancia no es como el cuadrado, que acabamos de considerar, sino que dependen de otra potencia. Además, puede ocurrir que la fuerza no disminuya al aumentar la distancia. Por ejemplo, podemos considerar un resorte: si este se estira sabemos entonces que ejerce una fuerza que trata de regresarlo su posición 148

original (se dice de equilibrio). Mientras mayor sea la distancia que se estire, mayor será la fuerza que el resorte ejerza. Lo mismo ocurre cuando se comprime, mientras mayor sea la distancia en que se comprima, mayor será la fuerza que ejerza. Además, resulta que: si la distancia aumenta al doble, la fuerza aumenta al doble; si la distancia aumenta a triple, la fuerza aumenta a triple; etc. O dicho de otra manera: si la distancia aumenta dos veces, la fuerza aumenta 2 veces, si la distancia aumenta 3 veces, la fuerza aumenta 3 veces, etc. Vemos ahora que el 2, o el 3, son 2 1 y 31, respectivamente, cantidades elevadas a la potencia 1. En este caso vemos que la fuerza aumenta como la distancia. Usando lenguaje matemático se abrevia esta información diciendo que la fuerza es proporcional a la primera potencia de la distancia. En este caso también hay auto similitud. Hemos hablado de la relación entre las fuerzas y distancias. Sin embargo, en muchos fenómenos alguna cantidad depende de una variable (no necesariamente la distancia), ya sea: inversamente, lo que quiere decir que al aumentar el valor de la variable disminuye el valor de la cantidad, o bien en forma proporcional, lo que quiere decir que al aumentar el valor de la variable aumenta el valor de la cantidad. Además, la dependencia entre la cantidad y la variable de la que depende puede usarse por medio de alguna potencia, que no necesariamente tiene que ser siempre ni 2 (como en la ley de la gravitación universal) ni 1 (como en el resorte). Puede ser como otro valor numérico, ya sea entero o no.

149

Cuando la dependencia de una cantidad de su variable es como la que acabamos de explicar

se dice que el fenómeno está regido por una ley de

potencias. En todos estos casos existe la auto similitud. 3.2 ORIFICIOS Y COMPUERTAS Considere un recipiente lleno en un líquido, en cuya pared lateral se ha practicado un orificio de pequeñas dimensiones (en comparación con su profundidad H) y cualquier forma, además de un área A. El orificio desgasta un gasto Q cuya magnitud se desea calcular, para lo cual se supone que el nivel del agua en el recipiente permanece constante por el efecto de la entrada de un gasto idéntico a la que sale; o bien porque pose un volumen muy grande. Además, el único contacto con el líquido y la pared debe ser alrededor de una arista afilada como se muestra en la figura. esto es, el orificio es de pared delgada. Las partículas de liquido en la aproximada del orificio se mueve aproximadamente en dirección al centro del mismo, de modo que, por efecto de su inercia, la deflexión brusca que sufren produce una contracción del chorro, la cual se alcanza a la sección 2A se le llama contraída y tiene una área Ac inferior al área A del orificio. En ella las velocidades de las partículas son prácticamente uniformes y con un valor medio V. 3.2.1 ECUACIÓN GENERAL DE ORIFICIOS Suponiendo un plano de referencia que coincida con el centro de gravedad del orificio, la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre las secciones 1 y 2 de una vena liquida, además de considerar despreciable la velocidad de llagada al orificio, co0nduce a la expresión;

V2 H= 2g

Donde se ha despreciado el desnivel entre los centros de gravedad del orificio y la sección contraria. De aquí se obtiene 150

V = 2 gH

La ecuación llamada de Torricelli y puede obtenerse de la ecuación de Bernoulli entre dos puntos: uno dentro del recipiente y otro en el centro de gravedad de la sección contraída. Esto es, la ec .(3.2.1) indica que la velocidad sigue una ley parabólica con la profundidad y en este caso la velocidad media V, se calcula con la profundidad media del orificio y corresponde al centro de gravead, no obstante que las velocidades de las partículas arriba de este punto son menores y, abajo, mayores. Esto tendrá por supuesto mayor valides a medida que la sección transversal, no horizontal, del orificio sea mucho menor que la profundadas H del mismo. Es además, los resultados obtenidos de la ec. . (3.2.1) concuerda con lo obtenido experimentalmente solo si se corrigen, mediante un coeficiente Cv llamado de velocidad, en la forma: V = C v 2 gH (3.2.2) Donde Cv, coeficiente sin dimensiones muy aproximo a 1, es de

tipo

experimental y además corrige el error no considerar la ec. (3.2.1), tanto la perdida de energía ∆hr , como los coeficientes a1 y a2. Si el área de la sección contraída se calcula en términos de la del orificio, por medio de un coeficiente Cc llamada de contracción (también condiciones), en la forma; Ac = CcA El gasto descargado por el orificio es entonces Q = C v C v A 2 gH 151

O bien con Cd =CvCc (coeficiente de gasto), el gasto se le calcula finalmente con la ecuación general de un orificio de pared delgada, a saber;

Q = C d A 2 gH Conviene calcular que las ecuaciones anteriores se considerado H como el desnivel entre la superficie libre y el centro de gravedad del orificio. Esto resulto de suponer que era despreciable la velocidad de llegada del orificio y la presión sobre la superficie libre corresponde a la atmosférica. Cuando ello no acontece, H corresponde a la energía total; esto es, a la suma de la profundidad del orificio, de la carga de velocidad de llegada y de la carga de presión sobre la superficie del agua: 2

V p E=H+ o + o 2g γ

3.2.2 COEFICIENTE DE VELOCIDAD, CONTRACCIÓN Y GASTO, EN ORIFICIOS DE PARED DELGADA. Semiesfera de radio R, traza la figura cuya dirección es radial al centro de la semiesfera. Los coeficientes de velocidad, contracción y gasto, de un orificio, son básicamente experimentales. Sin embargo en teoría es posible encontrar la magnitud del coeficiente de gasto para un orificio circular a partir de la ecuación de la cantidad del movimiento aplicada sobre un volumen de control limitado por la frontera del chorro en contacto con el aire. La sección contraída y, dentro del recipiente, por una superficie semiesférica del radio igual al del orificio como en la fig. para hacer lo anterior, se designa como V1la velocidad de una partícula sobre la la superficie de la semiesfera vale: A1 = 2πR 2 152

Y corresponde a la sección contraída; Ac = C c A = C c πR 2

(3.2.7)

De la ecuación de continuidad se obtiene V1 =

Ac V A1

Sustituyendo en esta ecuación a las Eccs. (3.2.6) y (3.2.7) resulta que

V1 =

1 CcV 2

(3.2.8)

Para aplicar la ecuación de la cantidad de movimiento es necesario conocer la velocidad media sobre la semiesfera en la dirección del escurrimiento. La componente paralela al eje del orificio de las velocidades V1, sobre la superficie de la semiesfera, vale V1 cos θ ; es decir, que la variación es según una ley cosenoidal como se muestra en la figura de este modo, la media de las componentes de la velocidad, sobre la superficie semiesférica, se obtiene por la igualación del

153

volumen cilíndrico

Vs πR 2 con el volumen encerrado por la superficie de ley

cosenoidal, o sea

Vs =

V1 ∫ ∫ A cos θdA πR 2

Y con cos θ =

R2 − r 2 , dA = 2πrdr ; R

Entonces Vs =

2V1 R ∫ 0 R 2 − r 2 rdr R3

La integración conduce al resultado siguiente:

(

)

R

[

2V  2V 3 Vs = − 13  R 2 − r 2  = − 13 − R # 20 3R  3R

]

Finalmente, se tiene que 2 Vs = V1 3

(3.2.9)

Sustituyendo la ec. (3.2.8) en la (3.2.9) resulta:

Vs =

Cc V 3

154

Por lo tanto, es posible evaluar los coeficientes β

que intervienen en la

ecuación de la cantidad de movimiento. Por luna parte, el coeficiente β para la sección contraída vale 1, pues se supone que la distribución de la velocidad coincide con la media; sin embargo, el coeficiente β para la semiesfera tiene un valor distinto de 1 y resulta de una ecuación a saber; ∫ ∫ A v1 cos 2 θdA AVs2 2

β1 =

De la figura 3.3.6,dA=2 π r dr y además r2 r2 2 sen θ = 2 ; cos = 1 − 2 R R 2

Con esta expresión y considerando la ec. 3.2.8 el valor β 1 es:

155

1 R C cV 2 β1 = ∫ 2 o 3 AVs

 r2  1 C c2V 2 πR 2 πR 2  1 − 2 2πrdr = −   4  R  AVs2 2  2 

Y la ecuación

(3.3.10) resulta entonces que

β1 =

2 9 9 2 2 πR C V = = 1.125 c 2 2 2 8 8 πR C c V

Es necesario conocer la fuerza que impulsan al volumen de agua limitado por la sección contraída y la sección de la esfera; en un punto E sobre la semiesfera actúa la presión p. la ecuación de Bernoulli para una línea de corrientes se aplica en este punto, es p v12 H = z+ + γ 2g Si se acepta que la carga H es muy grande en comparación con el radio del orificio, puede entonces desprenderse z y, por tanto, sobre la semiesfera la presión sera constante y de valor:  v2  p = γ  H − 1  2g   Por lo cual la componente en la dirección del movimiento del empuje o fuerza total, sobre la superficie de la semiesfera, es  v2  pA = γ  H − 1  A 2g  

(3.2.13)

En la sección contraída actúa la presión atmosférica, por lo que la fuerza sobre dicha sección será cero. La masa del líquido descargada a través del orificio es

156

γ C c AV g La cual se acelera desde la velocidad media Vs sobre la semiesfera, expresada por la ecuación (3.2.10), hasta la velocidad media V en la sección contraída. Así, de acuerdo con las ecuaciones (3.2.8),(3.2.10), (3.2.12) y (3.2.13), la ecuación de la cantidad de movimiento se expresa como sigue: 2  1  C cV   γ 9 Cc   γA H − V    = AC cV V − 2 g  2   g 8 3   

Por otra parte, la ec.(3,2,2)se tiene que H=

1 V2 C v2 2 g

Con lo que resulta:

V2 2g

 3 2 1 2 1  2C c − C c + C c − 2  = 0 4 4 Cv  

O bien, eliminando la carga de velocidad, se tiene que 1 3 1  − C c − 2C c + 2 = 0 Cv 4 4 Por tanto:

C c2 − 4C c +

2 =0 C v2

Debido a que Cc debe ser menor que 1, la raíz valida en esta ecuación en la correspondiente al signo negativo del radial; así, se se obtienen la ecuación

Cc = 2 − 4 −

2 C v2 157

En la tabla 3.2.1 se presentas los valores de Cc y Cd calculados de la ec. (3.2.14), diferentes valores de Cv y la definición de Cd. TABLA 3.2.1 COEFICIENTES DE GASTO DE LE ECUACUPON 3.2.14 1

Cv

0 .99

.98

0

Cc .586

0 .60

.586

0

0 .594

0 .97

.615

0

Cd

0

.96 0

.631 0

.603

0 .95 0 .647

0 .612

0 0 .664

0 .621

0 .631

Mediante un análisis dimensional se comprueba que los coeficientes de velocidad, contracción

gasto, son funciones exclusivamente del numero de

Reynolds. De acuerdo con los resultados de diferentes investigaciones ,para orificios circulares subvalores tienen la variación mostrada en la figura 3.2.4 se no observa que para números de reynolds Re 105, los coeficientes C v , C c y C d son independientes de dicho numero y adquieren los valores constantes siguientes: C v = 0.99 C c = 0.605 C d = 0.060

Por definición de coeficiente de contracción, para un orificio circular se obtiene que

158

D=

1 Dc Cc

Y con C c = 0.605,D= 1.285 Dc ; o bien, Dc = 0.778D

Cuando se trata de orificios rectangulares de poca altura loa coeficientes C v , C c y C d son prácticamente los mismos en la figura 3.2.4. en este caso (en lugar de D) en el numero de Reynolds se utiliza la mínima dirección a del orificios en la ecuación (3.2.4) corresponde a su área A = ab (b es la dimensión máxima del orificio ). Los resultados de la figura 3.2.4 son validos siempre que se tenga una contracción completa, que se logra si la distancia entre los cuantos del orificio y las fronteras del recipiente (pared lateral, fondo o superficie libre) es por lo menos 3D en orificios circulares, o 3a en orificios rectangulares. 3.2.3 APLICACIÓN DE ORIFICIOS Si al establecer la ecuación de Bernoulli para deducir su ecuación (3.2.1), se incluye el término de perdida de energía, entonces,

H=

V2 + ∆hr 2g

Por otra parte, la ecuación (3.2.2), resulta H=

1 V2 C v2 2 g

Que, substituida en la ecuación anterior, da  1 V 2 V2 ∆hr =  2 − 1 =K 2g  Cv  2g

159

La ecuación (3.2.16) indica que la perdida de energía es proporcional a al carga de velocidad media a la sección contraída. El coeficiente de perdida K no tiene dimensiones y es función solo del coeficiente de velocidad siguiente: K=

1 −1 C v2

(3.2.17a) Así, para C v = 0.99, K= 0-02. de la ecuación (3.2.17a) se tiene también que:

Cv =

1 K +1

(3.17b) El perfil de la trayectoria del chorro queda determinado por una ecuación.

3.2.4 APLICACIÓN DE COMPUERTAS Una compuerta consiste en una placa móvil, plana o curva, que al levantarse permite graduar la altura del orificio que se va descubriendo, ala vez que controlar la descarga producida. El orificio generalmente se hace entre el piso de un canal y el borde inferior de la compuerta, por lo que su ancho coincide con el del canal; en estas condiciones el flujo puede considerarse bidimensional.

160

El gasto de una compuerta y las características hidráulicas de su descarga se puede conocer a partir del estudio de una red de flujo obtenida por cualquiera de los métodos propuestos. La red de flujo de la compuerta plana en la figura permite explicar con claridad la contracción que experimenta el chorro descargado por el orificio de altuta a , hasta alcanzar un valor C c a en una distancia L en la que las líneas de corriente se vuelven horizontales y tiene por ello una distribución hidrostatica de presiones. Debido al fenómeno de contracción con el piso, se produce una perdida de carga

∆hr que influye en el calculo del gasto. La carga de velocidad

que llega el agua

V12 con 2g

en el canal, agua arriba de la compuerta, tiene mayor

importancia a medida que la relación

y1 disminuye. a

En el canto interior de la compuerta las líneas de corrientes tienden a unirse y es ahí donde la velocidad adquiere su máximo valor. Debido a la curvatura de las líneas de corriente en gran presión actúa sobre la línea de intersección del plano de la compuerta, razón por la cual se tiene una velocidad pequeña. 161

Para obtener la ecuación que proporcione al gasto, aquí se considera el caso mas general de una compuerta plana, con una inclinación θ 0 respecto a la horizontal como se muerta en la figura y un ancho b la inclinación θ 0 es equivalente a la del tangente en el labio de la compuerta radial. De la figura 6.12, y con θ = 90∞ incluye en el caso de la compuerta vertical de la figura 6.11.se establece la ecuación

de la energía entre una sección 1, agua arriba, en la

compuerta y la sección contraída a saber: 2

V V2 H = y1 1 = C ca + 2 2g 2g

(3.22)

Las compuertas son equipos mecánicos utilizados para el control del flujo del agua y mantenimiento en los diferentes proyectos de ingeniería, tales como presas, canales y proyectos de irrigación. Existen diferentes tipos y pueden tener diferentes clasificaciones, según su forma, función y su movimiento. Las diferentes formas de las compuertas dependen de su aplicación, el tipo de compuerta a utilizar dependerá principalmente del tamaño y forma del orificio, de la cabeza estática, del espacio disponible, del mecanismo de apertura y de las condiciones particulares de operación. Aplicaciones: Control de flujos de aguas Control de inundaciones Proyectos de irrigación Crear reservas de agua Sistemas de drenaje Proyectos de aprovechamiento de suelos Plantas de tratamiento de agua Incrementar capacidad de reserva de las presas 162

Compuertas Planas Deslizantes Se les llama compuertas deslizantes pues para su accionar se deslizan por unos rieles guías fijos. Puede ser movida por diferentes tipos de motores. Estas compuertas pueden ser de acero estructural, madera y en caso de pequeñas cabeza de hierro, el espesor y el material de la compuerta dependerá de la presión del agua y el diseño de los sellos. Al trabajar a compresión estas compuertas tienen buenas adaptaciones a los sellos presentando pequeñas fugas. Este tipo de compuertas han sido utilizadas para todo tipo de cabezas, pero resultan ser más económicas para pequeñas cabezas y tamaños moderados pues necesitan grandes fuerzas para ser movidas. Compuertas Planas de Rodillos Las compuertas planas de rodillos están diseñadas especialmente para controlar el flujo a través de grandes canales donde la economía y la facilidad de operación sean dos factores preponderantes. Son denominadas compuertas de rodillos ya que están soportadas en rodillos que recorren guías fijas y generalmente tienen sellos de caucho para evitar filtraciones a través de los rodillos. Los rodillos minimizan el efecto de la fricción durante la apertura y el cierre de las compuertas, como consecuencia de estos se necesita motores de menor potencia para moverlas. Pueden ser diseñadas para abrirse hacia arriba o hacia abajo. Estas compuertas son muy versátiles ya que pueden diseñarse tanto para trabajar bajo presión en una o ambas caras simultáneamente. Generalmente son de sección transversal hueca, para disminuir la corrosión e infiltraciones son rellenadas con materiales inertes como el concreto. 163

Compuertas Radiales (Taintor) Las compuertas radiales se construyen de acero o combinando acero y madera. Constan de un segmento cilíndrico que está unido a los cojinetes de los apoyos por medio de brazos radiales. La superficie cilíndrica se hace concéntrica con los ejes de los apoyos, de manera que todo el empuje producido por el agua pasa por ellos; en esta forma sólo se necesita una pequeña cantidad de movimiento para elevar o bajar la compuerta. Las cargas que es necesario mover consisten en el peso de la compuerta, los rozamientos entre los cierres laterales, las pilas, y los rozamientos en los ejes. Con frecuencia se instalan contrapesos en las compuertas para equilibrar parcialmente su peso, lo que reduce todavía más la capacidad del mecanismo elevador. La ventaja principal de este tipo de compuertas es que la fuerza para operarlas es pequeña y facilita su operación ya sea manual o automática; lo que las hace muy versátiles. Compuertas Flap o Clapetas Llamadas también clapetas, formadas por un tablero articulado en su arista de aguas arriba que puede abatirse dando paso al agua. Estas compuertas se abren automáticamente por un diferencial de presión aguas arriba y se cierran cuando el nivel aguas abajo supera el nivel aguas arriba o cuando el nivel aguas arriba alcance el nivel deseado de almacenamiento.

164

Existen compuertas clapeta de contrapeso, en las que los tableros se mantenían en su posición elevada por medio de un puntal, hasta que la sobre elevación del nivel del agua les hacía bascular sobre el extremo superior del puntal; también las hay sin contra peso que son recomendadas para aquellos casos de poca altura de agua y gran luz de vano. Compuertas Ataguía Están compuestas de vigas separadas colocadas unas sobre otras para formar un muro o ataguía soportado en ranuras en sus extremos. La separación de las pilas de apoyo depende del material de las vigas, de la carga que obre en ellas, y de los medios que se disponga para manejarlas, es decir, para quitarlas y ponerlas. Compuertas Mariposa Las compuertas tipo mariposa son utilizadas para controlar el flujo de agua a través de una gran variedad de aberturas. Aunque pueden ser utilizadas para controlar el flujo en ambas direcciones la mayoría de las instalaciones sólo las utilizan para controlar el flujo en una dirección. Con las compuertas mariposa es posible tener una máxima cabeza de energía en ambos lados de la compuerta. La cabeza estática se mide desde el eje horizontal de apertura de la compuerta. La mayoría de estas compuertas son instaladas en sitios con baja cabeza de presión (menor a 6 metros).

Las

secciones transversales de este tipo de compuertas normalmente son cuadradas o rectangulares; las secciones circulares no son muy comunes ya que estas se utilizan en válvulas mariposa. Son ideales cuando hay poco espacio disponible ya que al girar respecto a un eje, no es necesario disponer de espacio para levantarlas y allí se puede ubicar el mecanismo de apertura. Estas pueden ser utilizadas como reguladoras de flujo, pues al rotar la hoja cambia el tamaño de la abertura y se regula el caudal que fluye a través de ella. 165

Compuertas Caterpillar (Tractor) Son también conocidas como Compuertas de Broome, en honor a su inventor. Este tipo de compuertas son utilizadas tanto para altas como para bajas cabezas de presión. Han sido utilizadas con cabezas hasta de 200 pies en varios proyectos hidroeléctricos y de control de inundaciones. Ambos extremos de la compuerta están equipados con orugas que facilitan su desplazamiento a lo largo de ranuras paralelas a los lados de la compuerta. Las orugas se mueven alrededor de la compuerta mientras la compuerta es movida. Este tipo de compuertas es movido por medio de cables de acero tirados por motores, lo que facilita su operación bajo diferentes condiciones de flujo. Compuertas Cilíndricas Las compuertas cilíndricas consisten en cilindros sólidos de acero (generalmente) abiertas en ambos extremos, que funcionan por el balance de las presiones de agua en las superficies interior y exterior. Este tipo de compuertas generalmente son levantadas por medio de cables o máquinas hidráulicas; como la presión del agua siempre se encuentra balanceada, el único peso que debe ser movido es el equivalente al peso propio de la compuerta. Mecanismos Complementarios Por sus grandes dimensiones, peso y cargas que deben soportar, las compuertas deben ser movidas por sistemas mecánicos (eléctricos, hidráulicos, manuales). Estos sistemas pueden ser de gran variedad y su utilización depende de múltiples factores tales como espacio disponible, cargas transmitidas a la estructura y por supuesto el tipo de compuerta que deben mover. Los sistemas

166

más comunes son: pórticos, puentes grúa, vigas de alce, servomotores, contrapesos y malacates. Se deben incluir mecanismos adicionales como: marcos, sellos, rieles, fuentes de potencia, dispositivos de transporte y sistemas de control para garantizar su buen funcionamiento COMPUERTAS PROYECTO HIDROELÉCTRICO PORCE II Compuertas Para la Captación Las compuertas serán utilizadas para el cierre de las aducciones de la estructura de captación, para efectuar la inspección y el mantenimiento del túnel o de las válvulas de admisión de las turbinas en la casa de máquinas.

Las

compuertas serán operadas por medio de grúas polar y una viga de alce. Se utilizaran cinco compuertas del tipo tablero plano de construcción soldada y con membrana y sellos en su cara de aguas abajo. Dotada de ruedas principales, ruedas guía y soporte tipo ballesta para ayudar en el sellado. Debido a que existe una diferencia entre el nivel del pozo de la captación y el nivel del embalse, se crea una diferencia de presión originando fuerzas sobre la compuerta, fuerzas que deberán ser absorbidas durante el cierre por las ruedas principales. Características Generales Ancho: 3.45m Altura: 4.10m Presión de Diseño: 241 kPa Fuerza de Cierre: Cierra por su propio peso bajo condiciones de presión desbalanceada (el peso de la compuerta deberá ser al menos un 50% superior a las fuerzas estimadas que se oponen al cierre).

167

Fugas: < 0.08 l/s Compuertas Radiales para el Vertedero Se utilizaran dos compuertas radiales sin solapa (laterales) y dos compuertas radiales con solapa (centrales) para el vertedero, fabricadas de acero de construcción soldada. Las cuatro compuertas serán operadas hidráulicamente con tendencia a la apertura con contrapesos. La compuerta y la solapa deberán ser mantenidas cerradas por medio de servomotores que impedirán la acción de apertura del contrapeso y la acción de apertura de la presión del agua en la solapa (las solapas se abren por su propio peso).

Es posible cerrar la compuerta y la

solapa mediante condiciones desbalanceadas de presión. Características Generales Ancho: libre entre pilas: 11m Altura: 14m Radio de la membrana: 14m Fugas: < 1l/s por metro lineal Presión de Diseño: La equivalente al nivel máximo del embalse. Compuerta Auxiliar del Vertedero Se utiliza una compuerta auxiliar para los cuatro azudes del vertedero. La compuerta es del tipo ataguía (stoplogs, 12 secciones horizontales) de acero de fabricación soldada. Esta sirve para cerrar cualquiera de los cuatro azudes del vertedero, para operar durante la inspección o mantenimiento de la compuerta radial. Será operada por un carro grúa y una viga de alce, y cerrará por su propio peso bajo presiones equilibradas.

La apertura se efectuará con presiones

balanceadas por medio de un sistema de “bypass” instalado en las pilas intermedias. Características Generales Ancho: libre entre pilas: 11m 168

Altura: 13.80m Fugas: < 2l/s por metro lineal Presión de Diseño: Condiciones normales de operación. Compuerta de Ruedas para la Aducción de la Descarga de Fondo Se utiliza una compuerta de ruedas con actuador hidráulico para cerrar la aducción de la descarga de fondo.

Operará bajo condiciones de presión

equilibradas y cerrará bajo su propio peso (normalmente cerrada). Características Generales Ancho: 2500mm Altura: 3200mm Fugas: < .08 l/s Presión de Diseño. Correspondiente al nivel máximo del embalse. Otras Compuertas Utilizadas ·

Compuerta Deslizante para la Descarga de Fondo

·

Compuerta Radial para la Descarga de Fondo

COMPUERTAS Y VERTEDEROS Son estructuras de control hidráulico. Su función es la de presentar un obstáculo al libre flujo del agua, con el consiguiente represamiento aguas arriba de la estructura, y el aumento de la velocidad aguas abajo.

169

Existen diferentes tipos de vertederos que se clasifican de acuerdo con el espesor de la cresta y con la forma de la sección de flujo. En el primer caso se habla de vertederos de pared delgada, vertederos de pared gruesa y vertederos con cresta en perfil de cimacio. En el segundo se clasifican como vertederos rectangulares, trapezoidales, triangulares, circulares, parabólicos, proporcionales, etc. Un caso particular es el vertedero lateral, el cual se instala en una de las paredes de un canal para derivar hacia otro canal o para descargar excesos de agua. Las compuertas a su vez se clasifican como deslizantes y radiales. Los esquemas y las ecuaciones particulares de los diferentes tipos de estructuras se encuentran en los Manuales de Hidráulica y en los textos que se presentan en las Referencias, al final del artículo.

170

UNIDAD IV: FLUJO DE CONDUCTOS DE PRESION 4.1 RESISTENCIA A FLUJOS EN CONDUCTOS DE PRESIÓN

Desde el punto de vista de la mecánica de fluidos, un filtro es un dispositivo de flujo, en el cual el fluido es forzado a través del filtro al aplicar una diferencia de presión entre la entrada del fluido sucio y la salida del fluido filtrado. Durante la filtración los sólidos presentes en el fluido quedan retenidos por el medio filtrante, formando una capa de partículas a través de la cual el filtrado debe fluir. El filtrado a su paso debe vencer tres tipos de resistencias en serie. Estas resistencias son: 1.- Las resistencias de los conductos que llevan el fluido sucio hacia la torta y que extraen el filtrado desde el medio filtrante. 2.- La resistencia de la torta. 3.- La resistencia asociada con el medio filtrante. Como el flujo es en serie, la caída de presión total puede igualarse a la suma de las caídas individuales. En un sistema de filtración bien diseñado, las resistencias de los conductos y conexiones de entrada y salida son muy pequeñas y suelen ser despreciadas en comparación con las resistencias relacionadas con la torta y el medio filtrante. En la práctica, la resistencia asociada con el medio filtrante es mayor que la ofrecida por un medio filtrante limpio al flujo de un fluido limpio. Esto se debe a que en los primeros instantes del proceso algunas partículas son retenidas en los 171

poros del medio filtrante y en consecuencia se desarrolla una resistencia adicional al flujo subsiguiente. La resistencia total ejercida por el medio filtrante y las partículas embebidas se denomina resistencia del medio filtrante, siendo esta muy importante durante la etapa inicial de filtración. La resistencia ofrecida por el conjunto de partículas que conforman la torta se denomina resistencia de la torta. Esta resistencia es nula al inicio de la filtración y crece con el tiempo de filtración debido a la continua retención de partículas. Durante el proceso de lavado, todas las resistencias permanecen constantes siendo aquí también despreciable (por lo general) la resistencia del medio filtrante. Si pa es la presión de entrada, pb es la presión de salida y p' es la presión en la frontera entre la torta y el medio filtrante 4.1.1 PERDIDAS DE ENERGIA POR FRICCION

Las paredes de la tubería ejercen una resistencia continua al flujo de los fluidos. En flujo permanente en una tubería uniforme, el esfuerzo constante t en la zona de contacto del fluido con la tubería, es uniforme a lo largo de la misma y ésta resistencia produce una rata uniforme de pérdida de energía a lo largo de la tubería. Las pérdidas de energía a lo largo de una tubería se denominan comúnmente "pérdidas por fricción" y se denotan por hf. La rata de pérdida de

energía o gradiente de energía se define con

Sf =

hf L

donde:

Sf : Rata de pérdida de energía 172

hf : Pérdidas de energía L : Longitud de la tubería Cuando la tubería es de gran longitud, las pérdidas por fricción llegan a ser tan grandes que a veces pueden despreciarse las demás pérdidas por ser muy pequeñas comparadas con ella. Las pérdidas por fricción dependen de: a.

El material de que está construido el tubo (hierro, concreto, cobre, galvanizado..)

b.

El estado de la tubería (Nueva, vieja, con incrustaciones,.. etc.)

c.

La longitud de la tubería

d.

El diámetro de la tubería

e.

Velocidad de circulación del fluido en la tubería.

De acuerdo con lo anterior, en las leyes que rigen las pérdidas de carga por fricción en tuberías intervienen a nivel general los siguientes factores: 1.

Es proporcional a la longitud de la tubería

2.

Es inversamente proporcional al diámetro de la tubería

3.

Es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad de circulación del fluido.

Estas leyes se conocen como las leyes de Chezy, las cuales con la consideración de que las pérdidas por fricción dependen también del material y del estado de la tubería, se engloban en una fórmula fundamental para el cálculo de las pérdidas por fricción en tuberías que fue propuesta por Darcy-Weisbach, usando un coeficiente l que depende de éstas dos últimas condiciones.

173

4.1.2 PERDIDAS DE ENERGIA POR ACCESORIOS A medida que un fluido fluye por un conducto, tubo o algún otro dispositivo, ocurren pérdidas de energía debido a la fricción; tales energías traen como resultado una disminución de la presión entre dos puntos del sistema de flujo. Hay tipos de pérdidas que son muy pequeñas en comparación, y por consiguiente se hace referencia de ellas como pérdidas menores, las cuales ocurren cuando hay un cambio en la sección cruzada de la trayectoria de flujo o en la dirección de flujo, o cuando la trayectoria del flujo se encuentra obstruida como sucede en una válvula. En este laboratorio se calcularán las magnitudes de dichas pérdidas ocurridas por estas fuentes mediante datos experimentales. La ecuación de Darcy se puede utilizar para calcular la pérdida de energía en secciones largas y rectas de conductos redondos, tanto flujo laminar como turbulento. La diferencia entre los dos está en la evaluación del factor f, que carece de dimensiones. Cuando se tiene un flujo laminar, el flujo parece desplazarse en forma de varias capas, una sobre la otra. Debido a la viscosidad del fluido, se crea una tensión de corte entre las capas del fluido. La pérdida de energía debido a la fricción en un flujo laminar en conductos circulares se puede calcular a partir de la ecuación:

en la que,

Para un flujo turbulento de fluidos en conductos circulares resulta más conveniente utilizar la ley de Darcy para calcular la pérdida de energía debido a la 174

fricción. No podemos calcular f mediante un simple cálculo, como se puede hacer con el flujo laminar, pues el flujo turbulento no se conforma de movimientos regulares y predecibles. Está cambiando constantemente. Por eso se debe confiar en los datos experimentales para determinar los valores de f. Las pruebas han mostrado que el número adimensional f depende de otros dos números, también adimensionales, el número de Reynolds y la rugosidad relativa del conducto. La rugosidad puede variar debido a la formación de depósitos sobre la pared, o debido a la corrosión de los tubos después de que este ha estado en servicio durante algún tiempo. Uno de los métodos más extensamente empleados para evaluar el factor de fricción hace uso del diagrama de Moody. También se habla de la pérdida de energía cuando hay codos, dilatación o contracción o a través de una válvula. Los valores experimentales de pérdidas de energía generalmente se reportan en términos de un coeficiente de resistencia, K, de la siguiente forma: hL = K (v2/2g) Las pruebas han mostrado que el valor del coeficiente de pérdida K depende tanto de la porción de los tamaños de los dos conductos como de la magnitud de la velocidad del fluido, ya sea para una dilatación súbita o una contracción súbita. Para calcular el valor del coeficiente de fricción en válvulas o junturas se obtiene con la fórmula: K = (Le/d)ft

175

4.2. CALCULO DE FLUJO DE TUBERIA El cálculo del caudal de agua en una tubería viene expresado por la ecuación de continuidad:

en la que: Q es el caudal (m³/s) V es la velocidad (m/s) S es la sección de la tubería (m²) Para que el fluido discurra entre dos puntos a lo largo de una línea de flujo, debe existir una diferencia de energía entre esos dos puntos. Esta diferencia corresponderá, exactamente, a las pérdidas por rozamiento, que son función de: la rugosidad del conducto la viscosidad del fluido el régimen de funcionamiento (régimen laminar o régimen turbulento) el caudal circulante, es decir de la velocidad (a más velocidad, más pérdidas) El cálculo de caudales se fundamenta en el Principio de Bernoulli que, para un fluido sin rozamiento, se expresa como:

donde g es la aceleración de la gravedad ρ es el peso específico del fluido P es la presión 176

Se aprecia que los tres sumandos son, dimensionalmente, una longitud, por lo que el principio normalmente se expresa enunciando que, a lo largo de una

línea de corriente, la suma de la altura geométrica (h) la altura de velocidad (

la altura de presión (

)y

) se mantiene constante.

Considerando el rozamiento, la ecuación entre dos puntos 1 y 2 se puede expresar como:

o lo que es igual

, donde pérdidas(1,2) es la pérdida de energía (o de altura) que sufre el fluido por rozamiento al circular entre el punto 1 y el punto 2. Esta ecuación es aplicable por igual al flujo por tuberías como por canales y ríos. Si L es la distancia entre los puntos 1 y 2 (medidos a lo largo de la conducción), entonces el cociente (pérdidas (1,2)) / L representa la pérdida de altura por unidad de longitud de la conducción. A este valor se le llama pendiente de la línea de energía y se lo denomina J

4.2.1 CONDUCTOS SENCILLOS El análisis de este tipo de situación se realiza en función de los datos disponibles. Para el caso como el de la figura 1, en el que tenemos una tubería 177

horizontal, con estrechamiento y ensanchamiento brusco en su parte intermedia, la determinación de los valores de energía perdida en cada uno de los puntos indicados, puede determinarse mediante la aplicación de la ecuación de Darcy – Weisbach, las formulas empíricas de Hazen –Williams, o la de Manning (Mataix, 1992), aunque esta última es empleada con menor frecuencia en el estudio de conductos cerrados, reservándose generalmente para los cálculos relacionados con canales abiertos. También los nomogramas, gráficos, tablas y diagramas, proporcionan una solución rápida aunque con menor precisión en los resultados desde el punto de vista de la hidráulica, el procedimiento seguido es el siguiente: conociendo el valor de la energía en el extremo inicial de la tubería, la energía en la sección 3 será igual a la que tenia en la sección 2 menos la pérdida entre los puntos 2 y 3 ( H3 = H2 - h2-3 ). Particularizando esta ecuación para cada tramo elegido en la tubería problema y adoptando la expresión adecuada para cada tipo de pérdida, se puede determinar los niveles de energía totales en todas las secciones, luego restando la porción correspondiente a energía cinética se obtienen los llamados niveles piezométricos.

4.2.2 TUBERIAS EN PARALELOS Cuando varias cañerías se unen de manera tal que conforman un circuito en paralelo, es necesario verificar dos condiciones principales: a) el caudal Q se reparte entre todas las tuberías y b) la presión al comienzo y al final de cada rama es la misma. Los casos más comunes son aquellos en los se conoce la pérdida de carga y se quiere determinar los caudales en cada rama, o cuando se tiene como dato el caudal total y se desea determinar tanto la pérdida de carga como la distribución de caudales.

178

El problema se puede resolver empleando los Métodos del Porcentaje y el de la Tubería Equivalente (Giles et al., 1996), utilizados especialmente cuando el fluido circulante es agua, o el Método de Ajuste del Número de Reynolds propuesto por Mataix, 1992 en casos de petróleo como fluido. El Método del Porcentaje consiste en calcular las pérdidas de carga por unidad de longitud en cada rama (S ) y los caudales en las mismas. Sumando estos últimos se obtiene el caudal total que circula por el sistema, valor necesario para determinar la incidencia porcentual de este parámetro en las diferentes ramas. Realizando el producto entre el caudal dato y los porcentajes estimados se determinan los caudales reales. Los resultados se verifican comprobando si la pérdida de carga es la misma para cada rama. Existe también una variante a este método, en el que se trabaja con velocidades (v) en lugar de caudales. Se hace uso de la ecuación de Hazen – Williams para conductos cerrados (4), por lo tanto deben determinarse además los radios hidráulicos (R ) de cada tubería y procederse en forma similar al anterior. v = 0,8492 C R0,63 S 0,54 (4) C : coeficiente de rugosidad de HazenWilliams El Método de la Tubería Equivalente requiere la adopción de una pérdida de carga cualquiera (H) entre los puntos de bifurcación y unión, para luego calcular las pérdidas de carga por metro para cada rama. Esto permite encontrar los caudales correspondientes a esa pérdida de carga, para sumarlos y obtener el caudal total. Con este valor, se busca la pérdida de carga por metro que se produciría en una cañería equivalente (a todas las ramas) cuando circula un caudal igual al determinado. Se supone además para esta tubería un diámetro idéntico al mayor de las ramas y se determina la longitud equivalente que debería tener esta cañería para que se produzca una pérdida de carga igual a la adoptada. A continuación se calcula una nueva pérdida de carga por metro, pero en este caso, la producida en esta cañería cuando circule el caudal dato. Con este valor 179

puede determinarse la pérdida de carga total que se produce cuando la tubería tiene una longitud igual a la de la tubería equivalente y utilizando longitudes y diámetros de cada rama se determinan los caudales correspondientes. En el Método de Ajuste del Número de Reynolds se aplica la 2da. ecuación de Karman –Prandtl escrita de la forma (5) para determinar los coeficientes λi de cada rama, suponiendo que los mismos son solo función del diámetro (D) y de la rugosidad (K) e independientes del número de Reynolds. Combinando la ecuación de Darcy con la de Continuidad, se determinan los coeficientes αi , en la que se tiene en cuenta además la longitud de tubería (L), mediante (6)

Como el caudal total es: QT = _α i H , puede calcularse la pérdida de carga en cada rama sumando los valores de αi encontrados y utilizando el caudal dato, para luego, mediante la expresión de Darcy determinar la velocidad del fluido en cada rama y el numero de Reynolds (Re) correspondiente, el que permitirá ajustar los valores de λ, mediante las ecuaciones. Determinados los λ´, se recalculan los αi´, se determinan los Hi´, a continuación los vi´, y nuevamente los Re´. Si algunos de los valores encontrados de Re´ es menor a 2000 se procede a un nuevo tanteo. En cambio si se verifica que el numero de Reynolds en todas las ramas es mayor a 2000 (régimen turbulento), se realiza una verificación final calculando λ´´, αi´´, Hi´´ , vi´´. Estos últimos valores son los que corresponden a las velocidades del fluido en cada rama, por lo tanto pueden usarse para calcular los caudales en las mismas. Si el procedimiento seguido ha sido el correcto, debe verificarse que la suma de los caudales salientes es igual al caudal total entrante. 180

Resolución mediante circuito análogo Una vez transformado el sistema hidráulico en un modelo circuital eléctrico la resolución se hace sencilla. Considerando despreciables las pérdidas secundarias se puede conformar el circuito solamente con elementos análogos a las perdidas por fricción (RF). Si se conoce el valor de la presión en algún punto de la cañería, se debe evidenciar este mismo efecto incorporando una fuente de tensión (E) en el circuito eléctrico equivalente (figura 3). En cambio si lo que se conoce es el caudal total circulante se debe intercalar una fuente de corriente en el mismo (figura 4). Los datos correspondientes se ingresan al programa respetando el sistema de unidades elegido para verificar las analogías, por lo cual se debe tener especial cuidado de proceder a la conversión de las mismas al Sistema Internacional 4.3 REDES EN TUBERIAS El cálculo del diámetro de las tuberías se hará teniendo en cuenta el caudal y las características físicas del fluido portador a la temperatura media de funcionamiento, las características del material, utilizado (para lo cual se seguirán las recomendaciones del fabricante) y el tipo de circuito (caudal constante o variable). Se procurará que el dimensionado y la disposición de las tuberías de una red de distribución se realice de tal forma que la diferencia entre los valores extremos de las presiones diferenciales en las acometidas de las distintas unidades terminales no sea mayor que el 15% del valor medio. Cuando la potencia térmica transportada por una red sea mayor que 500 kW, el factor de transporte para cada tipo de circuito será igual o mayor que el valor correspondiente de la tabla 7. 181

TABLA 7 Factor de transporte para agua o soluciones TIPO DE CIRCUITO FACTOR DE TRANSPORTE baterías de unidades de tratamiento de aire: -agua caliente 700 -agua refrigerada 150 baterías de unidades terminales: -agua caliente 100 -agua refrigerada 80 redes de calefacción: - sistema bitubular 850 - sistema monotubular 250 Para el cálculo de redes de fluidos de temperatura dual se adoptará el caudal obtenido a partir de la carga correspondiente al régimen de enfriamiento y se calculará el diferencial de temperatura correspondiente a la carga en régimen de calefacción o viceversa, de manera que el caudal del fluido portador sea igual en ambos regímenes de funcionamiento. Los sistemas de expansión de las redes se calcularán de acuerdo con la instrucción UNE 100155 4.3.1 REDES ABIERTAS Se constituye por una sola línea principal de la cual se desprenden las secundarias y las de servicio tal como se muestra en la Figura 3 (sup.). La poca inversión inicial necesaria de esta configuración constituye su principal ventaja. Además, en la red pueden implementarse inclinaciones para la evacuación de condensados tal como se muestra en la Figura 4. La principal desventaja de este tipo de redes es su mantenimiento. Ante una reparación es posible que se detenga el suministro de aire "aguas abajo" del punto de corte lo que implica una detención de la producción.

182

Figura 4. Configuración abierta y su inclinación

4.3.2 REDES CERRADAS En esta configuración la línea principal constituye un anillo tal como se muestra en la Figura 3 (medio). La inversión inicial de este tipo de red es mayor que si fuera abierta. Sin embargo con ella se facilitan las labores de mantenimiento de manera importante puesto que ciertas partes de ella pueden ser aisladas sin afectar la producción. Una desventaja importante de este sistema es la falta de dirección constante del flujo. La dirección del flujo en algún punto de la red dependerá de las demandas puntuales y por tanto el flujo de aire cambiará de dirección dependiendo del consumo tal como se muestra en la Figura 5. El problema de estos cambios radica en que la mayoría de accesorios de una red (p. ej. Filtros) son diseñados con una entrada y una salida. Por tanto un cambio en el sentido de flujo los inutilizaría. 183

Figura 5. Dirección del flujo en una red cerrada para una demanda característica Cabe anotar que otro defecto de la red cerrada es la dificultad de eliminar los condensados debido a la ausencia de inclinaciones tal como se muestra en la. Esto hace necesario implementar un sistema de secado mas estricto en el sistema. Al contrario de lo pensado, Carnicer expone que en dichos sistemas las caídas de presión no disminuyen. Por tanto la principal razón para implementar redes cerradas es por su buen mantenimiento.

Figura 6. Configuración Cerrada y su ausencia de inclinación

184

UNIDAD V: GOLPE DE ARIETE 5.1 PRINCIPIO TEÓRICO DE GOLPE DE ARIETE El fenómeno del golpe de ariete, también denominado transitorio, consiste en la alternancia de depresiones y sobrepresiones debido al movimiento oscilatorio del agua en el interior de la tubería, es decir ,básicamente es una variación de presión, y se puede producir tanto en impulsiones como en abastecimientos por gravedad. El valor de la sobrepresión debe tenerse en cuenta a la hora de dimensionar las tuberías, mientras que, en general, el peligro de rotura debido a la depresión no es importante, más aún si los diámetros son pequeños. No obstante, si el valor de la depresión iguala a la tensión de vapor del líquido se producirá cavitación, y al llegar la fase de sobrepresión estas cavidades de vapor se destruirán bruscamente, pudiendo darse el caso, no muy frecuente, de que el valor de la sobrepresión producida rebase a la de cálculo, con el consiguiente riesgo de rotura. Los principales elementos protectores en este caso serían las ventosas y los calderines, como estudiaremos posteriormente. Por lo tanto, el correcto estudio del golpe de ariete es fundamental en el dimensionamiento de las tuberías, ya que un cálculo erróneo puede conducir a: 1. Un sobredimensionamiento de las conducciones, con lo que la instalación se encarece de forma innecesaria. 2. Tubería calculada por defecto, con el consiguiente riesgo de que se produzca una rotura.

185

5.1.1 Definición Si el agua se mueve por una tubería con una velocidad determinada y mediante una válvula se le corta el paso totalmente, el agua más próxima a la válvula se detendrá bruscamente y será empujada por la que viene detrás. Como el agua es algo compresible, empezará a comprimirse en las proximidades de la válvula, y el resto del líquido comprimirá al que le precede hasta que se anule su velocidad. Esta compresión se va trasladando hacia el origen conforme el agua va comprimiendo al límite la que le precede, de manera que al cabo de un cierto tiempo todo el agua de la tubería está en estas condiciones, concluyendo la primera etapa del golpe de ariete. En definitiva, se forma una onda de máxima compresión que se inicia en las proximidades de la válvula y se traslada al origen. La energía cinética que lleva el agua se transforma en energía de compresión. Cuando el agua se detiene, ha agotado su energía cinética y se inicia la descompresión en el origen de la conducción trasladándose hacia la válvula, y por la ley pendular esta descompresión no se detiene en el valor de equilibrio, sino que lo sobrepasa para repetir el ciclo. Esta descompresión supone una depresión, que retrocede hasta la válvula para volver a transformarse en compresión, repitiendo el ciclo y originando en el conducto unas variaciones ondulatorias de presión que constituyen el golpe de ariete. En definitiva, se producen transformaciones sucesivas de energía cinética en energía de compresión y viceversa, comportándose el agua como un resorte.

186

5.1.2 TEORIA DE LA COLUMNA RIGIDA En una impulsión, la parada brusca de motores produce el mismo fenómeno, pero al contrario, es decir, se inicia una depresión aguas arriba de la bomba, que se traslada hacia el final para transformarse en compresión que retrocede a la bomba. En efecto, cuando se produce la parada del grupo de bombeo, el fluido, inicialmente circulando con velocidad v, continuará en movimiento a lo largo de la tubería hasta que la depresión a la salida del grupo ocasionada por la ausencia de líquido (el que avanza no es repuesto, no es “empujado”), provoque su parada. En estas condiciones, viaja una onda depresiva hacia el depósito, que además va deteniendo el fluido, de tal manera que al cabo de un cierto tiempo toda la tubería está bajo los efectos de una depresión y con el líquido en reposo. Ha concluido la primera etapa del golpe de ariete. Como la presión en el depósito es siempre superior a la de la tubería, que se encuentra bajo los efectos de la depresión, se inicia un retroceso del fluido hacia la válvula de retención con velocidad -v. Con el agua a velocidad de régimen, pero en sentido contrario, nuevamente se tiene la presión de partida en la tubería, de manera que al cabo de un cierto tiempo toda ella estará sometida a la presión inicial y con el fluido circulando a velocidad -v. El inicio de la tercera fase es una consecuencia del choque del líquido contra la válvula de retención. El resultado es un brusco aumento de presión y una detención progresiva del fluido, de modo que al cabo de un cierto tiempo todo el líquido de la tubería está en reposo y la conducción sometida a una sobrepresión de la misma magnitud que la depresión inicial. Esta tercera fase del golpe de ariete en una impulsión es semejante a la primera fase en el caso de abastecimientos por gravedad.

187

En la cuarta fase comienza la descompresión, iniciándose de nuevo el movimiento, por lo que al cabo de un tiempo la situación es idéntica a la que teníamos al principio. Comienza un nuevo ciclo. Tanto en abastecimientos por gravedad como en impulsiones, la duración de cada una de estas fases es a L , siendo L la longitud de la tubería y a la celeridad. 5.1.3 TEORIA DE LA COLUMNA ELÁSTICA La celeridad (a) es la velocidad de propagación de la onda de presión a través del agua contenida en la tubería, por lo que su ecuación de dimensiones es L.

T1. Su valor se determina a partir de la ecuación de continuidad y depende

fundamentalmente de las características geométricas y mecánicas de la conducción, así como de la compresibilidad del agua. Una expresión práctica propuesta por Allievi, que permite una evaluación rápida del valor de la celeridad cuando el fluido circulante es agua, es la siguiente:

Siendo: K: Coeficiente función del módulo de elasticidad ( ) del material constitutivo de la tubería, que representa principalmente el efecto de la inercia del grupo motobomba, cuyo valor es:

188

También se puede hallar el valor de la celeridad consultando las tablas Siguiente:

189

En el caso de que la conducción esté constituida por tramos de tubos de diferentes características (diámetro, espesor, timbraje, material, etc.), La celeridad media se calculará como la media ponderada de la celeridad de cada tramo. Si L1, L2, L3, ..., son las longitudes de los tramos de distintas características y a1, a2, a3, ..., las celeridades respectivas, el tiempo total La que tarda la onda en recorrer la tubería será la suma de los tiempos parciales:

3. Tiempo de cierre de la válvula y tiempo de parada de Bombas. Cierre lento y cierre rápido. Se define el tiempo (T) como el intervalo entre el inicio y el término de la maniobra, sea cierre o apertura, total o parcial, ya que durante este tiempo se produce la modificación del régimen de movimiento del fluido. Este concepto es aplicable tanto a conducciones por gravedad como a impulsiones, conociéndose en el primer caso como tiempo de cierre de la válvula y como tiempo de parada en el segundo. El tiempo de cierre de una válvula puede medirse con un cronómetro, es

un

tiempo

físico

y

real,

fácilmente

modificable,

por

ejemplo,

con

desmultiplicadores, cambiando la velocidad de giro en válvulas motorizadas, etc. Por el contrario, en el caso de las bombas, el tiempo de parada no puede medirse de forma directa y es más difícil de controlar. En resumen, en las 190

conducciones por gravedad, el cierre de la válvula se puede efectuar a diferente ritmo, y por tanto, el tiempo T es una variable sobre la que se puede actuar, pero en las impulsiones el tiempo de parada viene impuesto y no es posible actuar sobre él, salvo adicionando un volante al grupo motobomba o un sistema similar. Mendiluce propone la siguiente expresión para el cálculo del tiempo de parada:

La

altura

geométrica

o

presión

estática

(Hg)

se

mide

siempre

inmediatamente aguas arriba de la bomba, por lo que la profundidad del agua en el pozo debe tenerse en cuenta en el caso de bombas sumergidas. El coeficiente C (ver figura) es función de la pendiente hidráulica (m), Siendo L H m m  . Toma el valor C=1 para pendientes hidráulicas crecientes de hasta el 20%, y se reduce progresivamente a partir de este valor hasta hacerse cero para pendientes del 40%. Pendientes superiores al 50% implican paradas muy rápidas, aconsejándose considerar el golpe de ariete máximo de Allievi en toda la longitud de la tubería.

191

Valores del coeficiente C según Mendiluce El coeficiente K depende de la longitud de la tubería y puede obtenerse a partir de la gráfica o de la tabla siguientes, propuestas por Mendiluce. Este autor recomienda la utilización de los valores de K redondeados recogidos en la tabla, ya que ha comprobado que las pequeñas diferencias respecto a la gráfica tienen una repercusión despreciable en el golpe de ariete y siempre del lado de la seguridad, y es de más sencillo manejo

Puesto que L es la longitud de la tubería y la celeridad a es la velocidad de

propagación de la onda de presión,

será el tiempo que tarda la onda de

presión en dar una oscilación completa. Por lo tanto, es

la maniobra ya

habrá concluido cuando se produzca el retorno de la onda de presión y tendremos 192

un cierre rápido, alcanzándose la sobrepresión máxima en algún punto de la

tubería. Sin embargo, si

estaremos ante un cierre lento y ningún punto

alcanzará la sobrepresión máxima, ya que la primera onda positiva reflejada regresa antes de que se genere la última negativa.

Que es la ecuación de Jouguet, establecida en la misma época que de Michaud, y se deduce analíticamente igualando el impulso que experimenta el agua en el interior de la tubería a la variación de su cantidad de movimiento.

Y puesto que la presión Quedaría

En caso de cierre parcial, la velocidad final será menor que la inicial pero no nula, con lo que cuando

v < v. El caso más desfavorable para la conducción se produce

v = v, es decir, cuando la velocidad final es cero, correspondiendo con

el cierre total de la válvula.

193

Entonces:

Que es la fórmula de Jouguet. Sin embargo, Michaud, partiendo de distintos supuestos, comprobó que la sobrepresión alcanzaba valores del doble de la establecida por Jouguet. En realidad, Jouguet se aproxima más al principio de la sobrepresión y Michaud al final, ya que las disminuciones de la velocidad no son lineales con el tiempo, decreciendo más suavemente al principio del transitorio que al final, pero puesto que siempre se alcanzará en algún punto de la tubería un golpe de ariete igual al dado por Michaud, es ésta la fórmula que habrá que aplicar en el cálculo de la sobrepresión con un tiempo de cierre lento

b) Cierre rápido. Como ya comentamos anteriormente, al cerrar la válvula C, el agua se detiene y comienza a comprimirse en sus proximidades.

194

Si S es la sección transversal de la tubería y

P es la presión ejercida por

la rodaja de agua considerada, la fuerza que soporta dicha sección será:

El impulso (I) de dicha fuerza durante el tiempo T que tarda en pararse el fluido contenido en el segmento BC de tubería, de longitud

L, será:

Siendo a la celeridad de la onda de presión. Como el impulso ha de ser igual a la variación de la cantidad de movimiento

A su vez, la masa (m) de la porción de líquido considerado es:

Luego:

Considerando el caso más peligroso para la tubería, es decir, el cierre total de la válvula:

195

y como

Llamando

H al valor de la sobrepresión, es decir,

se obtiene:

Expresión que dedujo Allievi en 1904, con la que se calcula el valor máximo del golpe de ariete que puede producirse en una conducción. Puede observarse cómo el valor de la sobrepresión es independiente de la longitud de la tubería. Representando gráficamente las ecuaciones de Allievi y de Michaud, se observa que, si la conducción es lo suficientemente larga, las dos rectas se cortan en un punto, denominado punto crítico. La longitud del tramo de tubería regido por la ecuación de Michaud se conoce como longitud crítica (Lc), y su valor se obtiene, lógicamente, igualando las fórmulas de Michaud y Allievi.

196

Excepto en el caso de ser la pendiente hidráulica mayor del 50%, en que Se recomienda considerar la sobrepresión de Allievi en toda la conducción, el Valor así calculado lo soportará el tramo de tubería de longitud Lm, siendo

Si LLc, entonces la impulsión (conducción) es larga y el cierre rápido, siendo el valor del golpe de ariete el dado por Allievi desde la válvula hasta el punto crítico y por Michaud en el resto.

197

5. Método práctico para el cálculo del golpe de ariete. Necesitamos calcular previamente la velocidad del agua y, en impulsiones, la altura manométrica del grupo de bombeo. Se obtiene el tiempo de parada con la ecuación de Mendiluce. En el caso de abastecimientos por gravedad, el tiempo de cierre de la válvula será conocido.

Se calcula la celeridad “a” con la fórmula de Allievi o se consultan las tablas para calcular la sobrepresión mediante la fórmula adecuada.

Se calcula la longitud crítica “Lc”, que es la distancia que separa el final de la impulsión del punto crítico o de coincidencia de las fórmulas de Michaud y Allievi. En la Lc rige la fórmula de Michaud.

Se comparan las longitudes L y Lc.

198

El tipo de cierre, lento o rápido, también puede conocerse comparando el tiempo de parada de la bomba o el de cierre de la válvula con el tiempo que tarda la onda de presión en dar una oscilación completa, es decir, con

En impulsiones, se colocan las válvulas de retención necesarias para mantener la línea de sobre presión debida al golpe de ariete por debajo de la línea piezo métrica. Con las válvulas de retención se desplaza la línea de máximas presiones del golpe de ariete. 5.2 EFECTOS DEL GOLPE DE ARIETE Junto a la cavitación, el golpe de ariete o pulso de Joukowski, llamado así por el ingeniero ruso Nikolay Egorovich Zhukovskiy (Жуковский, Николай Егорович en ruso), es el principal causante de averías en tuberías e instalaciones hidráulicas. El golpe de ariete se origina debido a que el agua es ligeramente elástica aunque

en

diversas

situaciones

se

puede

considerar

como

un

fluido

incompresible. En consecuencia, cuando se cierra bruscamente una válvula o un grifo instalado en el extremo de una tubería larga, las partículas de agua que se han detenido son empujadas por las que vienen inmediatamente detrás y que siguen aún en movimiento. Esto origina una sobrepresión que se desplaza por la 199

tubería a una velocidad algo menor que la velocidad del sonido en el agua. Esta sobrepresión tiene dos efectos: primero comprime ligeramente el agua, reduciendo su volumen, y segundo dilata ligeramente la tubería. Cuando todo el agua que circulaba en la tubería se ha detenido, cesa el impulso que la comprimía y, por tanto, ésta tiende a expandirse. Por otro lado, la tubería que se habia ensanchado ligeramente tiende a retomar su dimensión normal. Conjuntamente, estos efectos provocan otra onda de presión en el sentido contrario. El agua se desplaza en dirección contraria pero, al estar la valvula cerrada, se produce una depresión con respecto a la presión normal de la tubería. Al reducirse la presión, el agua puede pasar a estado gaseoso formando una burbuja mientras que la tuberia se contrae. Al alcanzar el otro extremo de la tubería, si la onda no se ve disipada por ejemplo, en

un

depósito

a

presión

atmosférica,

se

reflejará

siendo

mitigada

progresivamente por la propia resistencia a la compresión del agua y a la dilatación de la tubería. El problema del golpe de ariete es uno de los problemas más complejos de la hidráulica, y es resuelto generalmente mediante modelos matemáticos, que permites simular el comportamiento del sistema. Este fenómeno es muy peligroso, ya que la sobrepresión generada puede llegar a entre 60 y 100 veces la presión normal de la tubería, ocasionando roturas en los accesorios instalados en los extremos (grifos, válvulas, etc). La fuerza del golpe de ariete es directamente proporcional a la longitud del conducto, ya que las ondas de sobrepresión se cargarán de más energía, e inversamente proporcional al tiempo durante el cual se cierra la llave: cuanto menos dura el cierre, más fuerte será el golpe. El golpe de ariete estropea el sistema de abastecimiento de agua, a veces hace reventar tuberías de hierro colado, ensancha las de plomo, arranca codos instalados, etc. 200

5.2.1 EN COMPUERTAS Según el contexto, Compuerta puede referirse a: Compuerta lógica Compuertas hidráulicas: Una compuerta es un dispositivo hidráulico mecánico destinado a regular el pasaje de agua u otro fluido en una tubería, en un canal, presas, esclusas, obras de derivación, u otra estructura hidráulica. Los principales tipos de compuertas son: Para canales, presas, esclusas y obras hidráulicas de envergadura: Compuerta tipo Anillo, Basculante, Clapeta, Cilíndrico, Esclusa, Lagarto, Rodante, Sector, Segmento, Stoney, Tambor, Tejado, Vagón, Vicera, Stop Log. Para tuberías, también llamadas válvulas: Esféricas, Mariposa, Aguja.

Las compuertas de tipo "Stoney" son utilizadas para tomas en presión para descargas de fondo o para la toma de una central hidroeléctrica. 201

La compuerta tipo "Stop Log, es utilizada en vertederos, descargas de fondo, tomas para centrales hidroeléctricas de presas y en canales, como una compuerta auxiliar, para poder hacer el mantenimiento de las compuertas principales. Generalmente son operadas por una grúa móvil.

202

Las compuertas tipo anillo son utilizadas en la cresta de los vertederos tipo "tulipa", en las presas que están equipadas con este tipo de vertedero.

Compuerta basculante o clapeta puede ser utilizada tanto en la cima del vertedero de una presa como instalado en el fond de un río o canal

Las compuertas cilíndricas se utilizan para descargas en presión permitiendo la colocación de la secciòn de toma a cualquier profundidad, en un embalse. En el mismo pozo se pueden disponer tomas de agua a diversas alturas. Se acopla fácilmente a una tubería de salida. 203

Croquis de la compuerta de una esclusa. Las compuertas tipo esclusa tienen las bisagras verticales, son accionadas por medios mecánicos, o por pistones hidráulicos. La compuerta se abre para permitir el pasaje del buque. Solo puede ser abierta cuando los niveles de agua fuera y dentro de la esclusa se encuentran con pocos centímetros de diferencia.

204

Vista exterior de la compuerta de una Esclusa Miraflores del Canal de Panamá

Las compuertas tipo "lagarto" son utilizadas para abrir o cerrar tomas en presión para descargas de fondo o para centrales hidroeléctricas. La compuerta rodante, utilizada en vertederos de presas, es operado desde los pilares del vertedero accionando cadenas, una en cada punta. La compuerta, constituida por un cilindo vacío rueda sobre sí misma al ser elevada o descendida. Permite liberar totalmente el vano del vertedero, permitiendo la navegación. Compuerta tipo sector

205

Compuerta utilizada en vertederos de presas, es operado utilizando el desnivel de agua creado por estas, no requiere de equipo mecánico para su operación. La necesidad de contar con una cámara donde se abate la compuerta hase que el vertedero no pueda tener la forma óptima, lo que incrementa el volumen de hormigón del mismo.

206

Las compuertas de segmento son muy utilizadas en la cresta de los vertederos de las presas. Antiguamente se movian jaladas por cadenas, mediante dispositivos instalados en los pilares del vertedero. Actualmente son accionadas mediante pistones hidráulicos o pneumáticos. Algunas compuertas de este tipo dispones, en la parte superior, de una parte abatiente, esto permite descargar caudales pequeños, liberar el embalse de materiales fluctuantes, y llenar la cuenca de disipación del vertedero para mejorar su funcionamiento en las fases iniciales de grandes descargas.

Croquis de compuerta tipo Tambor La compuerta tipo tambor es un tipo de compuerta utilizada en vertederos de presas, es operado utilizando el desnivel de agua creado por estas, no requiere de equipo mecánico para su operación. La necesidad de contar con una cámara donde se abate la compuerta hase que el vertedero no pueda tener la forma óptima, lo que incrementa el volumen de hormigón del mismo. Su utilización y características son semejantes a la compuerta tipo sector. 207

La compuerta tipo tejado es un tipo de compuerta utilizada en vertederos de presas. Es operado utilizando el desnivel de agua creado por estas y no requiere de equipo mecánico para su operación. La necesidad de contar con una cámara donde se abate la compuerta hase que el vertedero no pueda tener la forma óptima, lo que incrementa el volumen de hormigón del mismo.

208

La compuerta tipo vagón es un tipo de compuerta utilizada en descargas de fondos y bocatomas de presas. Es accionada por un pistón hidráulico o neumático

Croquis de compuerta tipo Vicera La compuerta tipo vicera es un tipo de compuerta utilizada en canales navegables. Es accionada por un pistón hidráulico o neumático 5.2.2 EN TUBERIA Y DISPOSITIVOS HIDRAULICOS La situación ideal del flujo en una tubería se establece cuando las capas de fluido se mueven en forma paralela una a la otra. Esto se denomina "flujo laminar" figura 1-14. las capas de fluido próximas a las paredes internas de la tubería se mueven lentamente, mientras que las cercanas al centro lo hacen rápidamente. Es necesario dimensionar las tuberías de acuerdo al caudal que circulará por ellas, una tubería de diámetro reducido provocará elevadas velocidades de circulación y como consecuencia perdidas elevadas por fricción; una tubería de gran diámetro resultará costosa y difícil de instalar. Para ver el gráfico seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior

209

Por lo expuesto recomendamos el uso del gráfico nro. 1 para la elección de los diámetros adecuados en instalaciones hidráulicas. Para ver el gráfico seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior En la figura 1-15 vemos una situación de flujo turbulento donde las partículas de fluido se mueven en forma desordenada con respecto a la dirección del flujo. La turbulencia es causada por el exceso de velocidad de circulación, por cambios bruscos del diámetro de la tubería, y por la rugosidad interna de la misma la turbulencia produce excesiva perdida de presión en los sistemas y sobrecalentamiento del aceite. A menudo puede ser detectada por el ruido que produce la circulación por las tuberías. Para prevenir la turbulencia , las tuberías deben ser de diámetro adecuado, no tener cambios bruscos de diámetro u orificios restrictotes de bordes filosos que produzcan cambios de velocidad. Para ver el gráfico seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior En la figura 1-16 vemos una sección de tubería con flujo laminar , las partículas se mueven a alta velocidad en el centro pero paralelas una a la otra. La restricción se ha realizado de manera tal que presenta una transición lenta de velocidades, de esta forma se evita la turbulencia. Las dos figuras 1-17A y 1-18B muestran qué sucede con la corriente fluida cuando toma una curva de radio amplio se mantienen las condiciones de flujo laminar, a la derecha el cambio de dirección es abrupto induciendo un flujo turbulento. Tuberías en Aire Comprimido: Para el transporte del aire comprimido se reconocen tres tipos de canalizaciones

210

Cañería principal. Cañería secundaria. Cañerías de servicio. Para ver el gráfico seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior Se denomina cañería principal a aquella que saliendo del tanque de la estación compresora conduce la totalidad del caudal de aire. Debe tener una sección generosa considerando futuras ampliaciones de la misma. En ella no debe superarse la velocidad de 8 m/segundo. Cañerías secundarias son la que tomando el aire de la principal se ramifican cubriendo áreas de trabajo y alimentan a las cañerías de servicio tal como apreciamos en la figura 1-19. Para ver el gráfico seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior Cañerías de Servicio. Estas cañerías o "bajadas" constituyen las alimentaciones a los equipos y dispositivos y

herramientas

neumáticas,

en

sus

extremos

se

disponen

acoplamientos rápidos y equipos de protección integrados por filtros, válvula reguladora de presión y lubricador neumático. Su dimensión debe realizarse de forma tal que en ellas no se supere la velocidad de 15 m/segundo. Cañerías de Interconexión: El dimensionado de estas tuberías no siempre se tiene en cuenta y esto ocasiona serios inconvenientes en los equipos, dispositivos y herramientas neumáticas alimentados por estas líneas. Teniendo en cuenta que estos tramos de tubería son cortos podemos dimensionarlos para velocidades de circulación mayores del orden de los 20 m/seg. 211

Caída de Presión en tuberías: Es importante recordar que la perdida de presión en tuberías "solo" se produce cuando el fluido esta en "movimiento" es decir cuando hay circulación. Cuando esta cesa, caso de la figura 1-23 las caídas de presión desaparecen y los tres manómetros darán idéntico valor. Para ver el gráfico seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior Si al mismo circuito de la figura anterior le retiramos el tapón del extremo aparecerán perdidas de presión por circulación que podemos leer en los manómetros de la Fig.1-24. Cuando mas larga sea la tubería y mas severas las restricciones mayores serán las perdidas de presión. Para ver el gráfico seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior Si quitamos las restricciones una gran proporción de la perdida de presión desaparece. En un sistema bien dimensionado, la perdida de presión natural a través de la tubería y válvulas será realmente pequeña como lo indican los manómetros de la Fig.1-25. Para ver el gráfico seleccione la opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior Caídas de presión en válvulas. Las válvulas presentan perdidas de presión localizadas, por ello deben ser correctamente dimensionadas. Una válvula subdimensionada provocará perdidas de potencia y velocidad, una sobre dimensionada será económicamente cara. Las recomendaciones precisas figuran en los catálogos de los fabricantes, pero para establecer una norma general diremos:

212

Válvulas Hidráulicas: Una velocidad de 4 m/seg. es considerada estándar para aplicaciones generales. Por ello el tamaño de la válvula puede ser el mismo que el diámetro de cañería de la tabla para líneas de presión. En condiciones especiales pueden utilizarse tamaños mayores o menores. Válvulas Neumáticas. Una regla similar puede utilizarse aquí. El tamaño de los orificios de conexión de los cilindros neumáticos es una guía razonable para el tamaño de la válvula. Como excepción se presentan los siguientes casos: Cuando una válvula comanda varios cilindros. Cuando se requieren altas velocidades de operación en un cilindro. Cuando el cilindro operara siempre a bajas velocidades 5.2.3 EN LINEAS DE DESCARGAS DE BOMBA Las bombas se clasifican según las consideraciones generales diferentes: 1. La que toma en consideración la características de movimiento de los líquidos. 2. La que se basa en el tipo de aplicación especifica para los cuales se ha diseñado la bomba. Clases y tipos.- Hay tres clases de bombas en uso común del presente: centrífuga, rotatoria y reciprocante. Nótese estos términos se aplican solamente a la mecánica del movimiento de líquido y no al servicio para el que se a diseñado una bomba. En cualquier problema de este tipo, hay que recordar que la columna de succión no debe exceder el limite máximo recomendado.

213

BOMBAS CENTRÍFUGAS Bombas de tipo Voluta.- Aquí (Fig. 1-2) el impulsor descarga en una caja espiral que se expande progresivamente, proporcionada en tal forma que la velocidad del líquido se reduce en forma gradual. Por este medio, parte de la energía de velocidad del líquido se convierte en presión estática. Bombas de Tipo Difusor.- Los álabes direccionales estacionarios (Fig. 1-3) rodean al rotor o impulsor en. una bomba del tipo de difusor. Esos pasajes con expansión gradual cambian la dirección del flujo del líquido y convierten la energía de velocidad a columna de presión. Bombas de Tipo Turbina.- También se conocen como bombas de vértice, periféricas y regenerativas; en este tipo se producen remolinos en el líquido por medio de los álabes a velocidades muy altas dentro del canal anular en el que gira el impulsor. El líquido va recibiendo impulsos de energía (Fig.1-4). Las bombas del tipo difusor de pozo profundo, se llaman frecuentemente bombas turbinas. Sin embargo, asemejan a la bomba turbina regenerativa en ninguna y no deben confundirse con ella. Tipos de Flujo Mixto y de Flujo Axial.- Las bombas de flujo mixto desarrollan su columna parcialmente por fuerza centrifuga y parcialmente. por el impulsor de los álabes sobre el líquido (Fig. 1-5). El diámetro de descarga de los impulsores es mayor que el de entrada. Las bombas de flujo axial desarrollan su columna por la acción de impulso o elevación de las paletas sobre el líquido (Fig. 1-6). El diámetro de! impulsor es el mismo en el lado de succión y en el de descarga. Una bomba de impulsor es un tipo de bomba de flujo axial. Velocidad Especifica.- Éste es un índice del tipo de bomba, que usa la capacidad de columna que se obtiene en el punto de eficiencia máxima. 214

Determina el perfil o forma general del impulsor. En números, la velocidad especifica es la velocidad, en revoluciones por minuto a la cual un impulsor deben girar si su tamaño se reduce para dar un gastó de un litro por segundo contra una columna de un metro. Los impulsores para columnas altas tienen generalmente una velocidad específica baja. Los impulsores para columnas reducidas tienen generalmente una velocidad específica alta. Según lo indica la Fig. -17, cada diseño de impulsor tiene una región de velocidad específica para la cual está mejor adaptado. Estas regiones son aproximadas, sin divisiones bien definidas entre ellas. La Fig. 1-7 da las relaciones generales entre la forma de impulsor eficiencia y capacidad. Las limitaciones de succión para las diferentes bombas están relacionadas con la velocidad específica. Éstas se discutirán después, para las diversas condiciones de operación. Curvas Características.- A diferencia de las bombas de desplazamiento positivo (rotatorias y reciprocantes), una bomba centrifuga que se opera a velocidad constante puede suministrar cualquier capacidad de cero A un máximo, dependiendo de la columna, diseño y succión. Las curvas características (Fig. 1-8) muestran la relación existente entrena de bomba, capacidad, potencia y eficiencia para un diámetro de impulsor especifico y para un tamaño determinado de carcasa. Es habitual dibujar la columna, potencia y eficiencia en función de la capacidad a velocidad constante, como en la Fig. 1-8. Pero en casos especiales es. Posible señalar en las gráficas tres variables cualesquiera contra una cuarta. La curva de capacidad de columna, conocida como HQ (Fig. 1-8), muestra la relación entre la capacidad de columna total, y puede ser creciente, decreciente, con gran inclinación o casi horizontal, dependiendo del tipo de impulsor usado y de su diseño. En A en la Fig. 1-8 la columna desarrollada por la bomba es de 43.80 m

215

de liquido, capacidad de 67 lps A 36.50 m de columna R la capacidad de la bomba sube a 98.8 lps. BOMBAS ROTATORIAS Las bombas rotatorias que generalmente son unidades de desplazamiento positivo, consisten de una caja fija que contiene engranes, aspas, pistones, levas, segmentos, tornillos, etc., que operan con un claro mínimo. En lugar de "aventar" el liquido como en una bomba centrifuga, una bomba rota. toña lo atrapa, lo empuja contra la caja fija en forma muy similar a como lo hace el pistón de una bomba reciprocante. Pero, a diferencia de una bomba de pistón, la bomba rotatoria descarga un flujo continuo. Aunque generalmente se les considera como bombas para líquidos viscosos, las bombas rotatorias no se limitan a este servicio sólo. Pueden manejar casi cualquier liquido que esté libre de sólidos abrasivos. Incluso puede existir la presencia de sólidos duros en el liquido si una chaqueta de vapor alrededor de la caja de la bomba los puede mantener en condición fluida. TIPOS DE BOMBAS ROTATORIAS Bombas de Leva y Pistón. También se llaman bombas de émbolo rotatorio, y consisten de un excéntrico con un brazo ranurado en la parte superior (Fig. 2-1). La rotación de la flecha hace que el excéntrico atrape el liquido contra la caja. Conforme continúa la rotación> el liquido se fuerza de la caja a través de la ranura a la salida de la bomba. Bombas de Engranes Externos. Éstas constituyen cl tipo rotatorio más simple. Conforme los dientes de los engranes se separan en el lado el líquido llena el espacio, entre ellos. Éste se conduce en trayectoria circular hacia afuera y es exprimido al engranar nuevamente los dientes. Los engranes pueden tener dientes simples, 216

dobles, o de involuta. Algunos diseños tienen agujeros de flujo radiales en el engrane loco, que van de la corona y del fondo de los dientes a la perforación interna. Éstos permiten que el liquido se comunique de un diente al siguiente, evitando 'a formación de presiones excesivas que pudiesen sobrecargar las chumaceras y causar una operación ruidosa. Bombas de Engrane Interno. Este tipo (Fig. 2-3) tienen un rotor con dientes cortados internamente y que encajan en un engrane loco, cortado externamente. Puede usarse (Fig.2-3) una partición en forma de luna creciente para evitar que el líquido pase de nuevo al lado de succión de la bomba. Bombas Lobulares .- Éstas se asemejan a las bombas del tipo de engranes en su forma de acción, tienen dos o más rotores cortados con tres, cuatro, o más lóbulos en cada rotor (Fig.s 2-4 a 2-6). Los rotores se Sincronizan para obtener una rotación positiva por medio de engranes externos, Debido a que el líquido se descarga en un número más reducido de cantidades mayores que en el caso de la bomba de engranes, el flujo del tipo lobular no es tan constante como en la bomba del tipo de engranes. Existen también combinaciones de bombas de engrane y lóbulo. Bombas de Tornillo. Estas bombas (Figs. 2-7 a 2-8) tienen de uno a tres tornillos roscados convenientemente que giran en una caja fija. Existe un gran número

de

diseños

apropiados

para

varias

aplicaciones.

Las bombas de un solo tomillo tienen un rotor en forma espiral que gira excéntricamente en un estator de hélice interna o cubierta. El rotor es de metal y la

217

hélice es generalmente de hule duro o blando, dependiendo del líquido que se maneje. Las bombas de dos y tres tornillos tienen uno o dos engranes locos, respectivamente, el flujo se establece entre las roscas de los tornillos, y a lo largo del eje de los mismos. Pueden usarse tornillos con roscas opuestas para eliminar el empuje axial en la bomba. Bombas de Aspas. Las bombas de. aspas oscilantes (Fig. 2-10) tienen una serie de aspas articuladas que se balancean conforme gira el rotor, atrapando al líquido y forzándolo en el tubo de descarga de la bomba. Las bombas de aspas deslizantes (Fig. 2-11) usan aspas que se presionan contra la carcasa por la fuerza centrifuga cuando gira el rotor. El liquido atrapado entre las dos aspas se conduce y fuerza hacia la descarga de la bomba. Otros Diseños. Las bombas de block de vaivén (Fig. 2-12) tiene un motor cilíndrico que gira en una carcasa concéntrica. En el interior del rotor se encuentra en un bloque que cambia en posición de vaivén y un pistón reciprocado por un perno

loco

colocado

excéntricamente,

produciendo

succión

y

descarga.

La bomba de junta universal (Fig. 2-13) tiene un pequeño tramo de flecha en el extremo libre del rotor, soportado en una chumacera y a 80 grados con la horizontal. El extremo opuesto del rotor se encuentra unido al motor. Cuando el rotor gira, cuatro grupos de superficies planas se abren y cierran para producir una acción de bombeo o cuatro descargas por. revolución.

5.2.4 CONTRARRESTAR EL GOLPE DE ARIETE Sistemas de bombeo de baja y alta presión: el golpe de ariete tiene mayor significación en sistemas de baja presión, que en los de alta presión. Las velocidades de desplazamiento en condiciones estables normales tanto en los 218

sistemas de alta como en los de baja presión son aproximadamente iguales. Sin embargo, los cambios de presión son proporcionales a la velocidad con que se cambia la velocidad de la masa de agua contenida dentro de la tubería. Por lo tanto, dado un cambio de velocidad especifico dentro de la unidad del tiempo, el cambio de presión que resulta en los sistemas de alta y baja presión es del mismo orden de magnitud. Por lo tanto, una elevación en la presión por una cantidad dada, representara un aumento en mayor proporción dentro del sistema de baja presión, que lo que este mismo aumento de presión representara dentro de un sistema de alta presión. Tamaño de la tubería: El diámetro de la tubería se suele determinar en consideraciones económicas, basadas en condiciones de bombeo en estado estable. No obstante, los efectos del golpe de ariete en un tubo de descarga de una bomba se pueden reducir al aumentar el tamaño del tubo de descarga, porque los cambios de velocidad serán menores en el tubo más grande. Este método de reducción del golpe de ariete en los tubos de descarga suele ser muy costoso, pero hay ocasiones en las cuales resulta más costoso utilizar dispositivos de control que el cambio del diámetro de la tubería.

Efecto de volante (

): Otro método para reducir los efectos del golpe de

ariete en los tubos de descarga de las bombas, es proveer un efecto de volante adicional en el elemento rotatorio del motor. En promedio, el motor por lo general produce alrededor del 90% del efecto del volante combinado de los elementos rotatorios de la bomba y el motor. Al ocurrir una interrupción de corriente en el motor, un aumento de la energía cinética de las partes rotatorias, reducirá la rapidez del cambio de la circulación de agua en el tubo de descarga. En la mayoría de los casos se puede obtener un aumento del 100% en el

de los

motores grandes con un aumento de precio del 20% del costo original del motor. Ahora bien, un aumento en el

no es un método económico para reducir el

219

golpe de ariete, pero es posible en algunos casos marginales, eliminar otros dispositivos más costosos para el control de la presión. Numero de bombas: El numero de bombas conectadas en cada tubo de descarga se suele determinar con los requisitos operacionales de la instalación, disponibilidad de las bombas y otras consideraciones económicas. No obstante, el numero y tamaño de las bombas conectadas en cada tubo de descarga tendrán algún efecto sobre las transitorias del golpe de ariete. Para el arranque de bombas equipadas con válvulas de retención, cuanto mayor sea el numero de bombas en cada tubo de descarga, menor será el aumento de la presión. Además, si hay una falla en una de las bombas o válvulas de retención, seria preferible una instalación con bombas múltiples en cada tubo de descarga, en vez de una sola bomba, porque los cambios de circulación en el tubo de descarga producidos por la falla, serian menores. Cuando ocurre una interrupción simultanea de la corriente en todos los motores de las bombas, cuanto menor sea el numero de bombas en un tubo de descarga, menores serán los cambios en la presión y otros fenómenos hidráulicos transitorios. Para una circulación total dada en un tubo de descarga, un gran numero de bombas y motores pequeños, tendrá mucha menor energía cinética total en las partes rotatorias, para mantener la circulación, que un numero pequeño de bombas. En consecuencia, para el mismo caudal total, los cambios de velocidad y los efectos del golpe de ariete a consecuencia de la interrupción de la corriente son mínimos, cuando hay una sola bomba conectada en cada tubo de descarga. Velocidad especifica de las bombas: Para una tubería y condiciones dadas de circulación estable inicial, el aumento máximo en la carga que puede ocurrir en un tubo de descarga, después de la interrupción de la corriente, cuando la circulación inversa pasa por la bomba depende, primero, de la magnitud de la circulación inversa máxima que puede pasar por la bomba durante los periodos de disipación de energía y de funcionamiento de la turbina y, luego, de la circulación que puede por la bomba a la velocidad de embalamiento o “desboque” en reversa. Al ocurrir la interrupción de la corriente, la bomba de flujo radial (alta velocidad 220

especifica), producirá un poco mas de turbulencia que las bombas de flujo axial y de flujo mixto. La bomba de flujo radial también producirá el máximo aumento en la carga al ocurrir la interrupción de la corriente, si se permite que la circulación inversa pase por la bomba. Suele haber muy poco aumento en la carga en las bombas de flujo mixto y de flujo axial cuando ocurre una interrupción de la corriente y si no ocurre una separación de la columna de agua en algún otro lugar de la tubería. Durante la interrupción de la corriente si no se utilizan válvulas, se llega a una mayor velocidad inversa en la bomba de flujo axial y a una menor en la bomba de flujo radial. Por lo tanto, se debe tener cuidado de evitar daños a los motores de las bombas de mayor velocidad especifica, debido a estas velocidades inversas más altas. Al arrancar una bomba en contra de una válvula de retención inicialmente cerrada, la bomba de flujo axial producirá el máximo aumento de carga en el tubo de descarga porque también tiene la máxima carga de cierre. Al arrancar la bomba, una bomba de flujo radial producirá un aumento nominal en la carga; pero, una bomba de flujo axial puede producir un aumento en la carga varias veces mayor que la carga estática. ACCESORIOS PARA CONTRARRESTAR EL GOLPE DE ARIETE Válvulas de retención: estas se pueden agrupar en dos clases: de cierre rápido y de cierre lento. El requisito más importante de una válvula de retención es, que al ocurrir la interrupción de la corriente, esta se cierre con una rapidez tal que no se establezca

una circulación inversa apreciable. Si debido a las

características de circulación del sistema y al diseño de la válvula de retención no se puede cumplir con el anterior objetivo, se tiene que recurrir a unos dispositivos que sean capaces de amortiguar el cierre de la válvula, ya sea en su totalidad o en su finalización. En los sistemas grandes de bombeo, si se utiliza un cierre de una velocidad para la válvula de descarga, después de la interrupción de la corriente, se limitara 221

el aumento de la carga en la tubería de descarga, a un valor aceptable. Si se desea, por otras consideraciones, limitar la velocidad inversa de la bomba, se puede utilizar un cierre de dos velocidades para la válvula, en este caso la válvula en su mayor parte debe ser cerrada con mucha rapidez, hasta el momento en que se invierta la circulación en la bomba. Después debe acabar de cerrarse con una menor velocidad, a fin de limitar el aumento de presión en el tubo de descarga, a un valor aceptable. Supresores de fluctuaciones: estos se utilizan, en las plantas de bombeo para controlar el aumento en la presión que ocurre en los tubos de descarga de las bombas, después de una interrupción de la corriente. Un supresor de fluctuaciones consiste en una válvula operada por piloto, la cual abre con rapidez después de una interrupción de la corriente. Esta válvula produce una abertura para descargar el agua del tubo de descarga, después esta se cierra con lentitud debido a la acción de un amortiguador de cierre, a fin de controlar el aumento en la presión conforme se corta la circulación de agua. Un supresor de fluctuaciones adecuado y bien ajustado en el campo, puede reducir el aumento en la presión a cualquier valor deseado, siempre y cuando no ocurra una separación de la columna de agua en otros lugares de la tubería. Si el supresor abre con demasiada rapidez, después de la interrupción de la corriente, la fluctuación descendente de la bomba y de la tubería de descarga seria mayor que si no hubiera supresor. Como resultado, se puede producir una separación de la columna de agua en algunos lugares de la tubería, por la apertura prematura del supresor. Si el supresor cierra con demasiada rapidez después de establecida la máxima circulación inversa, ocurrirá un gran aumento en la presión Cámaras de aire: es un dispositivo eficaz para controlar las fluctuaciones de presión en una tubería de descarga larga de una bomba. Esta suele encontrarse en la estación de bombeo o cerca de esta. La parte inferior de esta contiene agua 222

y la superior aire comprimido. Cuando ocurre una interrupción de la corriente en el motor de la bomba, la carga producida por la bomba baja con rapidez. El aire comprimido de la cámara se expande y expulsa el agua por el fondo de la cámara hacia el tubo de descarga, minimizando los efectos de cambio de velocidad y los efectos del golpe de ariete en el tubo. Cuando la velocidad de la bomba se reduce a un punto al cual no puede entregar agua en contra de la carga existente, entonces la válvula de retención en la descarga se cierra con rapidez, desacelerando la bomba, hasta que esta se detiene. Unos instantes mas tarde, el agua en el tubo de descarga pierde velocidad y se detiene, se invierte y retorna a la cámara de aire. Esta entra por un orificio de restricción, disminuyendo el volumen de aire de la cámara y ocurriendo un aumento en la carga, superior a la carga de bombeo en la tubería de descarga. Tanques de compensación de pulsaciones: este es uno de los dispositivos mas confiables que se pueden utilizar en las estaciones de bombeo para reducir el golpe de ariete. No tiene piezas móviles que se puedan dañar. Después de la interrupción en la corriente, el agua en el tanque de compensación constituye una fuente de energía potencial, que reduce en forma efectiva, la rapidez en el cambio de circulación y el golpe de ariete en la tubería de descarga. Una de las desventajas del tanque de compensación es que su parte superior debe estar mas arriba del gradiente hidráulico para evitar derrames, haciendo así el tanque muy alto y muy costoso. En el libro Hidraulic Institute Standards (Bombas centrifugas, rotatorias y reciprocas), 12a, 1969. Podemos encontrar unas gráficas de fácil manejo de donde se pueden calcular las fluctuaciones en la tubería ocasionadas por el arranque o paro súbito de una bomba. Trinquetes no reversibles: este aparato de uso solo en plantas de bombeo pequeñas, consiste de un trinquete (cuña) no reversible en el eje de la bomba y del motor, que evita la rotación inversa de la bomba. Este aparato es eficaz para 223

controlar el golpe de ariete al ocurrir la interrupción de la corriente, debido a la gran circulación inversa que puede pasar por el impulsor que esta estacionario. Aunque ha sido útil en bombas pequeñas, su uso en bombas medianas y grandes ha sido decepcionante, debido a que el choque en el sistema de eje de motor y bomba por el paro repentino del eje, ocasiono graves problemas mecánicos. A continuación se mostraran algunas gráficas que ofrecen un método conveniente para obtener las transitorias hidráulicas en la bomba y en el punto medio del tubo de descarga, cuando no hay válvulas de control en la bomba. Aunque las gráficas, en teoría, son aplicables a un grupo particular de bombas de flujo radial, también son útiles para calcular los efectos del golpe de ariete en cualquier tubería de descarga equipadas con bombas de flujo radial. Las gráficas están basadas en dos parámetros independientes:

, la constante de la tubería y

una constante que incluye el efecto de la inercia de la bomba del motor y el tiempo de recorrido de la onda de golpe de ariete en la tubería de descarga

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UNIDAD VI: MÁQUINAS HIDRÁULICAS 6.1 FUNDAMENTOS Consiste en incorporar a la parte rotatoria del grupo de impulsión un volante cuya inercia retarde la pérdida de revoluciones del motor, y en consecuencia, aumente el tiempo de parada de la bomba, con la consiguiente minoración de las sobrepresiones. Este sistema crea una serie de problemas mecánicos, mayores cuantos mayores sea el peso del volante. 6.1.1 IMPULSO Consiste en una tubería de diámetro superior al de la tubería, colocada verticalmente y abierta en su extremo superior a la atmósfera, de tal forma que su altura sea siempre superior a la presión de la tubería en el punto donde se instala en régimen permanente. Este dispositivo facilita la oscilación de la masa de agua, eliminando la sobrepresión de parada, por lo que sería el mejor sistema de protección si no fuera pos aspectos constructivos y económicos. Sólo es aplicable en instalaciones de poca altura de elevación. 6.1.2 REACCION Consiste en un recipiente metálico parcialmente lleno de aire que se encuentra comprimido a la presión manométrica. Existen modelos en donde el aire se encuentra aislado del fluido mediante una vejiga, con lo que se evita su disolución en el agua.

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El calderín amortigua las variaciones de presión debido a la expansión prácticamente adiabática del aire al producirse una depresión en la tubería, y posteriormente a la compresión, al producirse una sobrepresión en el ciclo de parada y puesta en marcha de una bomba. Su colocación se realiza aguas debajo de la válvula de retención de la bomba. Se instala en derivación y con una válvula de cierre para permitir su aislamiento. Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real 6.1.3 LEYES DE SIMILITUD Son de dispositivas que permiten de forma automática y casi instantánea la salida de la cantidad necesaria de agua para que la presión máxima en el interior de la tubería no exceda un valor límite prefijado. Suelen proteger una longitud máxima de impulsión el orden de 2 km. Los fabricantes suelen suministrar las curvas de funcionamiento de estas válvulas, hecho que facilita su elección en función de las características de la impulsión. 6.2 MAQUINAS DE FUNCIONAMIENTO HIDRÁULICO Estas válvulas están diseñadas para que se produzca su apertura en el momento de parada de la bomba y cuando se produce la depresión inicial, de tal forma que cuando vuelva a la válvula la onda de sobrepresión, ésta se encuentre totalmente abierta, minimizando al máximo las sobrepresiones que el transitorio puede originar.

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6.2.1 BOMBAS Dependiendo de su función, permiten la eliminación del aire acumulado en el interior de la tubería, admisión de aire cuando la presión en el interior es menor que la atmosférica y la eliminación del aire que circula en suspensión en el flujo bajo presión. 6.2.2 TURBINAS Estas válvulas funcionan de manera que sólo permiten el flujo de agua en un sentido, por lo que también se conocen como válvulas anti-retorno. Entre sus aplicaciones se puede señalar: En impulsiones, a la salida de la bomba, para impedir que ésta gire en sentido contrario, proteger la bomba contra las sobrepresiones y evitar que la tubería de impulsión se vacíe. En impulsiones, en tramos intermedios para seccionar el golpe de ariete en tramos y reducir la sobrepresión máxima. En hidrantes, para impedir que las aguas contaminadas retornen a la red. En redes de distribución con ramales ascendentes, para evitar el vaciado de las mismas al detenerse el flujo.

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6.3 PROBLEMAS DE OPERACIÓN Sus limitaciones son: No se pueden instalar verticalmente cuando la corriente va hacia abajo. No funcionan correctamente cuando la velocidad del agua sobrepasa los 1.5 m/s. No funcionan correctamente cuando las presiones estáticas empiezan a ser elevadas. Si se trabaja con más de 3 atmósferas de presión, conviene asegurarse de la fiabilidad de la válvula de claveta simple que se trate de elegir. No funcionan correctamente cuando las sobrepresiones del golpe de ariete empiezan a ser importantes. En ocasiones, la presión estática puede ser baja, pero una gran longitud de la tubería puede dar lugar a golpes de ariete excesivos para ciertas válvulas de retención. No funcionan correctamente cuando los caudales son importantes. Su funcionamiento es incorrecto cuando se cierran bruscamente, produciendo vibraciones que pueden dañar las tuberías y otras válvulas. 6.3.1 CAVITACIÓN Son de fácil construcción. El disco se levanta por acción del agua hasta unos noventa grados. Su cierre suele ser muy brusco y entonces produce un golpetazo que repercute en las tuberías y en otros elementos adyacentes y puede originar un fuerte golpe de ariete.

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6.3.2 GOLPE DE ARIETE El caso más desfavorable para la conducción (máximo golpe de ariete) es el cierre instantáneo (T 0). En la práctica esto sólo ocurre en impulsiones de gran pendiente hidráulica, no siendo lo habitual. Como a mayor tiempo T menor sobrepresión, si podemos controlar T limitaremos en gran medida los problemas en tuberías, siendo éste el caso de los abastecimientos por gravedad. Cálculo de la sobrepresión producida por el golpe de Ariete. Fórmulas de Michaud y Allievi. Una vez conocido el valor del tiempo T y determinado el caso en el que nos encontramos (cierre lento o cierre rápido), el cálculo del golpe de ariete se realizará de la forma siguiente: a) Cierre lento. A finales del siglo XIX, Michaud propuso la primera fórmula para valorar el golpe de ariete: Para deducir esta ecuación, Michaud no tuvo en cuenta ni la compresibilidad del agua ni la elasticidad de la tubería.

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El límite mínimo de ∆H se produce cuando L es muy pequeño frente a T, y entonces:

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