Presentacion 2

Bandas de Energía y Conducción Eléctrica en los Sólidos, Portadores en Equilibrio Térmico y Propiedades en los Semiconductores

Jehan Ramírez Díaz, C.I 18566300 EES, Sección 1, Nº de Lista 28

Bandas de Energía en los Sólidos Modelo de Kronig-Penney: describe los estados de energía de un electrón perteneciente a un cristal. Para esto supone que la estructura cristalina configura un potencial periódico, de cambios abruptos que, si bien es hipotético, es de gran ayuda en los cálculos. La forma unidimensional de este potencial es como indica la figura.

Bandas de Energía en los Sólidos La distribución probabilística del electrón, Ψ, está regida por la ecuación de Schrödinger:

U representa el potencial en el cristal y, debido a su regularidad, se lo puede aproximar con una función periódica. En el modelo unidimensional de Kronig-Penney el potencial presenta discontinuidades abruptas que, si bien es físicamente imposible, puede hacerse una buena aproximación a un caso real. Además, la solución a la ecuación en este caso es más sencilla, que si se haría una mejor aproximación con la ley de Coulomb. La solución a esta ecuación es una onda de Bloch, que tiene el mismo período que el potencial y se expresa en la forma:

Ψ(x) = μ(x)eikx

Bandas de Energía en los Sólidos

Bandas de Energía en los Sólidos Diagrama del Espacio k: en el gráfico mostrado en la figura, podemos observar que f(E) permanece entre los límites ± 1, solo para ciertas regiones. Estas energías permitidas forman las bandas permitidas y están separadas por bandas de separación. Se puede obtener la relación o la estructura de bandas E versus k del electrón en la estructura periódica, como se muestra en la figura , en donde las energías entre E2 y E1 forman la banda permitida, las energías entre E4 y E3 forman la segunda banda de separación, etc. El movimiento de los electrones en la red se puede asimilar a la propagación de una onda electromagnética en un cristal.

Bandas de Energía en los Sólidos Los valores k son aquellos para los cuales la red lineal impide el movimiento de electrones en una dirección dada y los obliga a moverse en la dirección opuesta. El conjunto de los valores de k comprendidos entre -∏/a y ∏/a constituye la primera zona de Brillouin. Para k comprendido -2∏/a y -∏/a entre ∏/a y 2∏/a , tenemos la segunda zona de Brillouin, así sucesivamente. La energía se parece mucho a la de una partícula libre (indica con líneas de trazo). En consecuencia la red afecta el movimiento del electrón solo cuando k es cercano a a np , y el efecto de producir discontinuidad de energía. Para los valores intermedios de k, los electrones se mueven libremente a través de la red.

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Conducción Eléctrica en los Sólidos El Modelo de Enlace: cada átomo de cristal tiene cuatro vecinos más próximos con los que comparte sus electrones de valencia.

Conducción Eléctrica en los Sólidos En la figura anterior observamos que: - Cada átomo esta rodeado de cuatro vecinos equidistantes. - Los electrones de valencia, en numero de 4 por átomo, son compartidos por igual por los 4 vecinos mas próximos. Con lo cual, cada enlace entre un átomo y uno de sus vecinos mas próximos contiene 2 electrones. Cuando todos los electrones de valencia están constreñidos en enlaces covalentes, como en la figura anterior, no será posible la conducción eléctrica por no haber portadores de carga que puedan moverse libremente, como consecuencia un material que tenga esta configuración se comporta como aislador. A temperatura superior a 0ºk algunos enlaces covalentes son incompletos. Los electrones que faltan ya no están confinados a la región de enlace, sino q pueden moverse libremente.

Conducción Eléctrica en los Sólidos

Conducción Eléctrica en los Sólidos Masa Efectiva del Electrón: la masa efectiva de una partícula es la masa que parece tener en un cristal según el modelo semiclásico de transporte. Parece ser que, bajo ciertas condiciones, los electrones y los huecos de un cristal se comportan a campos magnéticos y eléctricos como si estuvieran libres en el vació pero con una masa diferente. Generalmente no es igual que la masa del electrón libre. Esta masa se suele expresar como una constante por la masa del electrón. La masa efectiva, m*, se determina por la estructura de bandas y varía según el tipo de material. Depende de la curvatura de la superficie E-k.

Conducción Eléctrica en los Sólidos Concepto de Hueco: el hueco es ese espacio que deja un electrón cuando se desplaza de un nivel a otro. Al igual que los electrones los huecos tienen un movimiento aleatorio pero también son afectados por los campos eléctricos. El movimiento de los huecos se puede considerar matemáticamente como el movimiento de una partícula cargada positivamente y con masa ligeramente superior al electrón.

Conducción Eléctrica en los Sólidos Metales, Aislantes y Semiconductores: para que la conducción de la electricidad sea posible es necesario que haya electrones en la capa de conducción, así podemos considerar tres situaciones:

Conducción Eléctrica en los Sólidos En un aislante la separación entre la banda de valencia y la banda de conducción es muy grande (» 10 eV), y esto significa que un electrón en la banda de valencia necesita mucha energía para ser liberado y convertirse en un electrón libre necesario para la conducción. En un conductor las dos bandas están solapadas, no necesitándose ninguna energía para alcanzar la conducción. En un semiconductor la banda prohibida es muy estrecha, o lo que es lo mismo, es muy fácil que un electrón sea liberado y pueda contribuir a la conducción.

Conducción Eléctrica en los Sólidos Función de la Densidad de Estados: el número de niveles de energía con un determinado valor de energía se conoce como la densidad de estados, N(E) o ρ. Es posible representar la variación de energía de una banda en función de la densidad de estados. La densidad de estados no es uniforme a lo largo de toda la banda debido a que los niveles de energía se empaquetan más a unos determinados valores de energía que a otros. Entre dos bandas separadas por un espaciamiento energético, la densidad de estados en el mismo es cero, pues no hay niveles energéticos en dicha separación. En algunos casos especiales puede ocurrir que la separación entre la banda de valencia y la de conducción sea nula, aunque la densidad de estados en el punto de conjunción de ambas bandas sea cero.

Conducción Eléctrica en los Sólidos

Conducción Eléctrica en los Sólidos

Portadores Térmico

en

Equilibrio

Semiconductor Intrínseco: son los semiconductores puros, en los que la conducción se debe al aumento de electrones originados por la temperatura. Los portadores de carga son los electrones y huecos. Los semiconductores intrínsecos no presentan impurezas en su estructura, y están constituidos solamente por el elemento tetravalente semiconductor, Germanio y Silicio puro.

Portadores Térmico

en

Equilibrio

Portadores Térmico

en

Equilibrio

El nivel de Fermi: a la temperatura T = 0 K los electrones ocupan los orbitales moleculares que forman la banda siguiendo el principio de construcción citado en la lección 2. Si cada átomo del modelo (distribución lineal de átomos) contribuye a la banda s con 1 electrón entonces, a T = 0 K la mitad de los orbitales que forman la banda (1/2 N) estarán ocupados. El orbital molecular de mayor energía que se encuentra ocupado se conoce como el nivel de Fermi y, en este caso, estará situado en el centro de la banda. La banda de menor energía que se encuentra ocupada o semiocupada se conoce como banda de valencia. La banda de menor energía que se encuentra vacía se conoce como la banda de conducción.

Portadores Térmico

en

Equilibrio

A una temperatura superior a 0 K, la población de los orbitales moleculares que forman la banda, P, viene dada por la distribución de Fermi-Dirac, que es una versión de la distribución de Boltzmann, y que tiene en cuenta que cada nivel de energía de la banda sólo puede estar ocupado por 2 electrones como máximo. Esta distribución P tiene la siguiente forma: P = 1/(e(E-μ)/kT + 1) donde μ es el potencial químico o energía del nivel para el cual P = 1/2. La forma de la distribución de Fermi-Dirac. Cuando la banda no está completamente ocupada los electrones que se encuentran próximos al nivel de Fermi pueden, fácilmente, promocionarse a niveles vacíos que se encuentran inmediatamente por encima de éste. Como resultado, los electrones gozan de movilidad y pueden moverse libremente a través del sólido. Este fenómeno origina que la sustancia sea un buen conductor eléctrico. Como se ha visto, en un metal la conductividad eléctrica disminuye con la temperatura; este hecho se debe a las interferencias (los electrones se pueden describir como ondas) que se producen entre los electrones que se mueven por el sólido y las vibraciones de la red cristalinas, provocadas por el movimiento de los átomos, vibraciones que aumentan al hacerlo la temperatura.

Transporte de Portadores. Propiedades de los Semiconductores Movilidad: a la hora de producir una corriente eléctrica no es lo mismo trabajar con silicio tipo P, que con silicio tipo N. En el silicio tipo N la conducción la producen los electrones y en el tipo P la producen los huecos. Sin embargo no se requiere la misma energía para mover un electrón que para mover un hueco, a este parámetro se le denomina movilidad. Se mide en cm/Vs (centímetros / (voltio•segundo), y depende el material y de la concentración de portadores. Además de otros factores, la masa efectiva de un electrón es un 30% menor que la de un hueco, lo que implica la necesidad de una menor energía para desplazar un electrón. En los semiconductores con impurezas pentavalentes (tipo N) el electrón "sobrante" sólo tiene que superar una barrera energética de 0,05eV para pasar a la banda de conducción, una 20 veces menor que la barrera de potencial en silicio puro. Mientras que los huecos en impurezas trivalentes requieren una energía mayor. Los resultados indican cifras de movilidad aproximadamente tres veces mayores en electrones que en huecos, entre 1400 y 1600 cm/V•s para los electrones y 450-600 cm/V•s para los huecos.

Transporte de Portadores. Propiedades de los Semiconductores Resistividad: una propiedad importante en los semiconductores es que posibilita el poder modificar su resistividad de manera controlada entre márgenes muy amplios. La razón primera de este comportamiento diferente reside en su estructura atómica, básicamente en la distancia interatómica de sus átomos en la red así como el tipo de enlace entre ellos. Así el enlace atómico depende del número de electrones de valencia de los átomos formantes del enlace y de la electronegatividad de los mismos. Los electrones de la capa externa o electrones de valencia son los que determinan y forman los enlaces y los que en su momento pueden determinar el carácter conductivo o no de él.

Transporte de Portadores. Propiedades de los Semiconductores Efecto Hall: el efecto Hall es una consecuencia de la fuerza que se ejerce sobre una carga eléctrica en movimiento cuando se encuentra sometida a la acción de un campo eléctrico y un campo magnético. Si por una muestra semiconductora circula una densidad de corriente J perpendicular a un campo magnético B, éste provoca la aparición de un campo eléctrico normal al plano determinado por B y J. Este mecanismo denominado efecto Hall puede ser usado para determinar características del semiconductor tales como: tipo de portador (hueco o electrón), concentración o movilidad.

Transporte de Portadores. Propiedades de los Semiconductores Recombinación: al describir el concepto de electrón y hueco en los apartados anteriores ligamos su existencia al hecho por el cual un electrón gana energía suficiente para liberarse del átomo al que estaba ligado. Precisando un poco más se dice que un electrón gana energía suficiente para promocionarse de la banda de valencia a la banda de conducción, y de forma más breve aún, se ha generado un par electrónhueco (par eh). El proceso inverso también existe y un electrón libre puede ser capturado por un hueco (enlace vacío) de la red. Se dice entonces que se ha producido una recombinación de un par eh. Estos procesos ocurren continuamente de forma dinámica en un semiconductor. Pero si un semiconductor se encuentra en equilibrio (aislado del exterior) el número de procesos de generación por unidad de tiempo tiene que ser igual al número de procesos de recombinación. O sea, que la población de de electrones y huecos permanece constante. Existen varios procesos de recombinación/generación (procesos en los que un electrón puede ganar o perder energía para intercambiarse entre la banda de valencia y conducción).