Portaflio Electro

UNIVERSIDAD DEL DESARROLLO PROFESIONAL ING. SISTEMAS COMPUTACIONALES

Materia: Electricidad y Magnetismo Alumno: Emmanuel Urquijo Preciado Matricula: 200731974 Maestro: L.F. Adrián Navarro Badilla Tarea Portafolio de evidencias

Hermosillo, Sonora; 01 Octubre de 2007.

CONTENIDO DEL PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS 1) Contenido del portafolio de evidencias. (indicr) 2) Correo de compa;eros de clase. 3) Dinamica de exposiciones en equipo 4) Exposiciones por equipos y turno. 5) Temas de las exposiciones en equipo. 6) Perfil descriptivo de la clase. 7) Apuntes sobre: A) Carga electrica. B) Ley de Coulomb. C) Principio de conservacion de la carga. D) Campo Electrico. E) Flujo de campo electrico.

8) Actividad individual en clase (experimentos sobre carga electrica) 9) Cuestionario sobre campo electrico. 10) Cuestionario sobre Carga electrica, ley de Coulomb, principio de conservacion de la carga y flujo de campo electrico. 11) Tarea 1. Fuerza electrica. 12) Tarea 2.Campo electrico y aplicaciones de la ley de Gauss Especificaciones y datos importantes a tomar en cuenta al momento de la elaboracion del portafolio de evidencias. 1) Valor: 10% de la calificacion final. 2) Las notas de clase seran enviadas por parte del maestro del curso por adelantado via e-mail o direccion electronica asignada a su debido tiempo para su descarga, con el fin de que el alumno las imprima o lea para su estudio previo al momento de asistir a clase. Estas notas deberan integrarse al portafolio. 2

3) Las tareas individuales y grupales deberan entregarse en hoja blanca tama;o carta y seran devueltas por el maestro al momento de registrar su entrega y calificarse. 4) Es responsabilidad del alumno de entregar la tarea el dia previamente asignado. En caso de no entregarse a tiempo, no se tomara en cuenta como tal. 5) Los datos de registro que debera contener la tarea en hoja tama;o carta sencilla son los siguientes: a) Nombre del alumno. b) Expediente. c) Carrera. d) Materia. e) La mencion de ser 1er. Cuatrimestre 2007. f)

Fecha de entrega.

6) Para el caso de que el alumno desee utilizar hoja de presentacion: a) Universidad de desarrollo professional. b) Plantel Serdan. c) Logotipo de la escuela(opcional) d) Carrera. e) Nombre de la materia. f)

Nombre del maestro (opcional)

g) Nombre del alumno. h) Titulo de la tarea. i)

Lugar y fecha de entrega. Ej. Hermosillo, Sonora, 17 de septiembre de 2007.

7) Es responsabilidad del alumno entregar su portafolio de evidencias al final del modulo. Se recibiran archivos tales como word, excel, power point, imagines en formatos diversos, tareas scaneadas, etc. siempre y cuando sean compatibles con windows.

3

PE RFI L DES CRI P TI VO DE CLA SE MATERIA: Electricidad y magnetismo CICLO: 1er. Cuatrimestre MAESTRO: L.F. Adrián Navarro HORARIO: 11:00 a.m.-1:00 p.m. Badilla OBJETIVO DEL CURSO: EL ALUMNO COMPRENDERÁ LA NATURALEZA ELÉCTRICA DE LA MATERIA, LAS CONDICIONES DEL MAGNETISMO Y EL CAMPO ELÉCTRICO Y SUS PROPIEDADES.

BIBLIOGRAFÍA: # TIPO TITULO 1 Libro Electricidad y Magnetismo 2 Libro Fundamentos de Electricidad 3 Libro Electricity and Magnetism (Volume II). CRI T E RI O S PAR A L A E VAL UACI Ó N

AUTOR Raymond A. Serway Gilberto Enriquez Harper Berkeley Physics,

EDITORIAL AÑO Thomson 2001 Corporation LIMUSA 1999 McGraw – Hill

2002

CAL I FI CACI Ó N O RDI NARI A ( PO NDE RA CI Ó N) Productos Académicos Exposición por 50% 5% Individuales equipo. Portafolio de enseñanza 1 0 % Proyecto final 20% Productos Académicos 15% Grupales T O TAL 100 %

REGLAS 1.

El alumno es responsable de enterarse de su número de faltas y retardos.

2.

El alumno que se sorprenda copiando en exámenes, tareas o trabajos, obtendrá cero (0) de calificación en el curso.

3.

Es responsabilidad del estudiante hablar inmediatamente con el maestro cuando tenga problemas con el material de clase, sus calificaciones, etc. De esta manera evitaremos problemas en el fin del ciclo.

4.

Sólo se justifican inasistencias por un evento organizado por la Universidad.

5.

Se tomara asistencia al iniciar la clase.

6.

Prohibido utilizar teléfonos celulares dentro del aula.

4

7.

La clase es de 1 hora con cuarenta minutos sin receso.

8.

No se permiten alimentos ni bebidas dentro del aula.

9.

Deberá presentar su Carnet de Evaluación Final para la autorización de recepción de trabajos finales y la aplicación de exámenes en la última semana del módulo.

CALENDARIZACIÓN SESIÓN

FECHA

Tema Presentación del contenido general de la materia, mecánica de evaluacion y conocimiento del grupo (alumnos y maestro). Carga eléctrica.

1

3 de septiembre de 2007 Ley de Coulomb. Principio de la conservación de la carga.

2

4 de septiembre de 2007 Campo eléctrico.

3

5 de septiembre de 2007 Flujo de un campo eléctrico.

4

6 de septiembre de 2007 Potencial eléctrico.

5

10 de septiembre de 2007 Capacitancia.

6

11 de septiembre de 2007 Capacitares en serie y en Paralelo

7

12 de septiembre de 2007 Energía potencial eléctrica

8

13 de septiembre de 2007 Dieléctricos

Corriente, resistencia y resistividad 9

17 de septiembre de 2007 1ra. evaluación parcial(Electrostática) Ley de Ohm

10 11

18 de septiembre de 2007 19 de septiembre de 2007 Circuitos eléctricos

Trabajo, energía y fuerza electromotriz 12 13

20 de septiembre de 2007 24 de septiembre de 2007 Circuitos RC e

5

instrumentos de medición Campos magnéticos 14

25 de septiembre de 2007 Fuerzas magnéticas

15

26 de septiembre de 2007 Dipolos magnéticos

16

27 de septiembre de 2007 Medición de los campos magnéticos

17

1ro. De octubre de 2007

Segunda evaluación parcial (Resistencia, corriente y capacitancia) Ley de Ampere Ley de Faraday

18

2 De octubre de 2007 Ley de Lenz

19

3 De octubre de 2007

Campos eléctricos inducidos Tercera evaluación trabajo final y proyecto (Magnetismo)

20

4 de octubre de 2007

ENTREGA DE CALIFICACIONES ORDINARIAS EXAMEN EXTRAORDINARIOS

6

E-MAIL DE ESTUDIANTES DEL CURSO Y MAESTRO ESTUDIANTES DEL CURSO:

1)

"Joel Molina" < [email protected] >

2)

"Ivan Lopez" < [email protected] >

3)

"Marco Gomez Pi;a" < [email protected] >

4)

"Jorge Alberto Monge" < [email protected] >

5)

"Jenifer Ballesteros" < [email protected] >

6)

"Cesar Alexandro Calzada" < [email protected] >

7)

"Adilene Herrera" < [email protected] >

8)

"Julio Cesar Maytorena" < [email protected] >

9)

"Emmanuel Urquijo" < [email protected] >

10)

"Jorge Arispuro" < [email protected] >

11)

"Daniel Isaac Novoa" < [email protected] >

12)

"Javier Murguia Diaz" < [email protected] >

13)

"Javier Murguia Diaz" < [email protected] >

14)

"Rodrigo Alvarez Sieber" < [email protected] >

15)

"Jose German Houffon Marquez" < [email protected] >

16)

"Edgar Martinez Chavez" < [email protected] >

17)

"Ricardo Rocha Almada" < [email protected] >

18)

"Manuel Ignacio Leyva Vasquez" < [email protected] >

19)

"Manuel Alejandro Lizarraga" < [email protected] >

20)

"Jose Alonso Acu;a Valenzuela" < [email protected] >

21)

"Luis Fernando Lara Herrera" < [email protected] >

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E-MAIL DE ESTUDIANTES DEL CURSO Y MAESTRO (CONT…)

22)

"Everardo Rodriguez Parra" < [email protected] >

23)

"Luis Carlos Sanchez Madrid" < [email protected] >

24)

"Brenda Verónica Soto Rosas" < [email protected] >

25)

"Brenda Verónica Soto Rosas"

26)

"Victor Orantes Castro" < [email protected] >

27)

"Rafael Sagasta Durazo" < [email protected] >

28)

"Jibran de la Cruz" < [email protected] >

29)

"Daniel J. Navarro Cruz" < [email protected] >

30)

"Rafael Olivarria Flores" < [email protected] >

31)

"Ramses Ahumada Gracia" <[email protected] >

32)

"" < [email protected] >

33)

"Ignacio Armendariz Garcia"

34)

"Diana Leyva Ruiz" < [email protected] >

EMAIL DEL MAESTRO:

1)

"Adrian Navarro Badilla" < [email protected] >

2)

"Adrian Navarro Badilla" < [email protected]>

8

DINAMICA DE EXPOSICIONES EN EQUIPO 1) Se formaran 5 equipos de 5 personas y un equipo de 6 personas maximo. 2) Se seleccionara por sorteo los temas a exponer escogiendo cada equipo 4 temas de artefactos tecnologicos y 4 temas de fenomenos naturales de un total de 25 y 23 temas respectivamente. 3) Los equipos se comprometen a entregar el dia de la exposicion en hoja tama;o carta los temas de investigacion, como un resumen de 3 cuartillas como maximo por tema investigado. 4) Los equipos expondran un tema de los cuatro de artefactos tecnologicos y un tema de los cuatro de fenomenos naturales. 5) La exposicion debera durar un maximo de 20 minutos (sugerencia: emplearse 10/10 minutos para cada topico de exposicion). 6) Se destinara un lapso de tiempo entre 5 y diez minutos para preguntas por parte de los alumnos. 7) Se evaluara los siguientes puntos: a) Presentacion del tema. b) Claridad de exposicion. c)

Motivacion e interes generado por los expositores en los temas expuestos ante el resto de los compa;eros de clase.

8) Los alumnos evaluaran las exposiciones en estos puntos asignandole a el valor de su calificacion en la escala del cero al 100, siendo el cero el minimo y el 100 el valor mas alto. Se promediaran estos tres puntos y esa sera la calificacion por alumno otorgada. 9)

El maestro del curso, seguira la misma dinamica formando parte del publico escucha de la exposicion.

10) La calificacion total de los alumnos y el maestro sera promediada, siendo finalmente su calificacion final de la exposicion del equipo. 11) Las exposiciones empezaran a partir del 17 de septiembre del año en curso.

Nota: La exposicion por equipo cuenta el 5 % de la calificacion final del curso. Ademas, los trabajos de investigacion por equipo cuentan como parte de los productos academicos grupales con un valor del 15% de la calificacion final.

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EXPOSICIONES POR EQUIPOS Y TURNO 1) Nombre del equipo: “X” Integrantes:

Luis Fernando Lara Herrera Luis Carlos Sanchez Madrid Everardo Rodriguez Parra

Cesar Alexandro Calzada Cardona Manuel Alejandro Lizarraga Rodriguez Marco Antonio Gomez Piña Guadalupe Adilene Herrera Valenzuela Ignacio Armendariz Garcia

Temas a exponer: •

•

Artefactos tecnologicos:

5, 6, 14 y 15 •

Fenomenos naturales:

6, 9 , 10 y 16.

Artefactos tecnologicos:

12, 13,18 y 24. •

Temas a exponer:

Fenomenos naturales:

1, 2, 3 y 15.

2) Nombre del equipo:

4) Nombre del equipo: Los Gansitos Integrantes: Rafael Olivarria Flores Javier Manuel Medina Audebes

Integrantes: Temas a exponer:

Rodrigo Alvarez sieber Ramses Ahumada Gracia

•

Artefactos tecnologicos:

Jibran Humberto Dela Cruz Lnderos

•

Fenomenos naturales:

Temas a exponer: •

3) Nombre del equipo: Los Cachoras

Artefactos tecnologicos:

3, 8, 23 y 25 •

Fenomenos naturales:

Integrantes: 5, 7, 13 y 18 Ricardo Rocha Almada Edgar martin Martinez Chavez

5) Nombre del equipo: Los TX8’S 10

Integrantes:

Integrantes:

Jose Alonso Acuña Valenzuela

Ballesteros Valenzuela Jenifer Salima

Jorge Alberto Monge Villareal

Molina Ceballos Jose Joel

Julio Cesar Maytorena Quijada

Lopez Arredondo Ivan Aurelio

Emmanuel Alejandro Urquijo Preciado

Novoa Blanco Daniel Isaac

Jorge Antonio Arispuro Gamboa

Temas a exponer: •

Artefactos tecnologicos:

7, 21, 1 Y 17. •

Fenomenos naturales:

12, 14, 20 Y 23.

Soto Rosas Brenda Veronica Temas a exponer: •

Artefactos tecnologicos:

2, 9, 16 y 20 •

Fenomenos naturales:

17, 21, 22 y 24

6) Nombre del equipo: Los Stramboticos

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TEMAS DE LAS EXPOSICIONES EN EQUIPO ARTEFACTOS TECNOLOGICOS. 1)

¿Qué es un microscopio de fuerza atómica? ¿Cómo funciona? Aplicaciones.

2)

¿Qué es un ultrasonido? ¿Cómo funciona? Aplicaciones.

3)

¿Cómo funciona una bocina? Diagrama

4)

¿Qué es un pararrayos? ¿Cómo funciona?

5)

¿Cómo funciona una planta hidroeléctrica?

6)

¿Cómo funciona un motor eléctrico AC?

7)

¿Cómo funciona una lámpara de Neón?

8)

¿Cómo funciona una fuente de voltaje para pc?

9)

¿Qué es un ciclotrón? Como funciona?

10) Diferencia entre corriente alterna y corriente directa. Aplicaciones. 11) ¿Qué es la polarización de la luz? Este fenomeno tiene que ver con los vidrios polarizados de los autos? (sugerencia: vease polarized filters) 12) ¿Cómo funciona un reproductor blu ray? Diferencia entre reproductor de DVD y blu ray. 13) ¿Cómo funciona una antena parabólica (satellite tv)? Porqué el lnb esta a cierta distancia del centro del plato? 14) ¿Cómo funciona un horno de microondas? 15) ¿Cómo funciona un televisor? 16) ¿Cómo funciona una pantalla lcd? 17) ¿Cómo funcionan los lentes tridimensionales? 18) ¿Cómo funciona una quemadora de CD? 19) ¿Cómo funciona una memoria USB? 20) ¿Cómo funciona un Puerto USB? Como funciona un Puerto paralelo? 21) ¿Cómo funciona una copiadora?

12

22) ¿Cómo funciona un scanner? 23) ¿Cómo funciona un mouse optico? 24) ¿Cómo opera una maquina de tomografia computarizada? 25) ¿Cómo funciona un refrigerador?

FENOMENOS NATURALES 1)

El cielo es azul, ¿porque?

2)

¿Vemos una sola cara de la luna? ¿Porque?

3)

¿Como se produce un eclipse solar? ¿Como se produce un eclipse lunar?

4)

¿Como se produce un arcoiris? ¿Tiene relacion con el prisma de Newton?

5)

¿Cual es el origen de las mareas? ¿Tiene que ver con la luna?

6)

En America del sur hace calor el 25 de diciembre y en America del norte hace frio,¿ porque?

7)

El agua del retrete gira en norteamerica de manera circular contra las manecillas del reloj. ¿Sucede los mismo en America del sur? Explique el efecto Coriollis.

8)

¿Como se produce un rayo? ¿Porque se recomienda no resguardarse bajo un arbol? ¿Porque no se recomienda estar en contacto con el agua cuando existen tormentas electricas?

9)

El agua y el aceite no se mezclan. Porque? ¿Que sucede si primero se introduce aceite en un vaso y despues se introduce agua? Pasa lo mismo si se hace la operacion de manera contraria?

10) Las hojas de los arboles generalmente son verdes, ¿porque? 11) El planeta marte es denominado el “planeta rojo” ¿Porque? 12) El desierto es caluroso de dia y frio de noche por lo que se dice que su clima es extremoso. ¿Porque? ¿Que factores naturales influyen en este fenomeno? 13) El plastico no conduce la electricidad. ¿Porque? 14) Las carteras de huevo o hule espuma son usadas en las cabinas de sonido o estudios de grabacion musical, ¿ porque? 15) Una esponja absorbe agua. ¿Porque? Como lo hace? 13

16) Cuando dos platos mojados se juntan se pegan. ¿Porque? 17) En ocasiones en el cielo vemos nubes blancas, grises y oscuras, ¿Porque se ven de esos colores? 18) Al exponerse mucho tiempo directamente a los rayos del sol, la piel oscurece, ¿porque? 19) El cuerpo humano al realizar una actividad fisica intensa comienza a sudar. ¿Porque? 20) El hierro experimenta corrosion metalica. ¿Porque? 21) Vemos playeras color rojo, color azul, color blanca, etc. ¿Porque? 22) La denominada tormenta tropical es consecuencia de un huracan, ¿porque? 23) El metal al contacto con el calor es blando, ¿porque?

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CARGA ELECTRICA La carga electrica es una propiedad intronseca de algunas partuculas sub-atomicas que se manifiesta mediante atracciones y repulsiones que determinan las interacciones electromagneticas entre ellas. La materia cargada electricamente es influida por los campos electromagneticos siendo, a su vez, generadora de ellos. La interaccion entre carga y campo electrico es la fuente de una de las cuatro fuerzas fundamentales, la fuerza electromagnetica. La carga electrica es de naturaleza discreta, fenomeno demostrado experimentalmente por Robert Millikan. Por definicion, los electrones tienen carga -1, tambien notada -e. Los protones tienen la carga opuesta, +1 o +e. En el Sistema Internacional de Unidades la unidad de carga electrica se denomina culombio (simbolo C). Se define como la cantidad de carga que pasa por una seccion en 1 segundo cuando la corriente electrica es de 1 amperio, y se corresponde con la carga de 6,25 x 1018 electrones aproximadamente. HISTORIA Los antiguos griegos ya sabian que al frotar ambar con una piel, esta adquiria la propiedad de atraer cuerpos ligeros tales como trozos de paja y pequeñas semillas, fenomeno descubierto por el filosofo griego Tales de Mileto hace 2500 años. Casi 2000 años despues el medico ingles William Gilbert observo que algunos otros materiales se comportan como el ambar al frotarlos y que la atraccion que ejercen se manifiesta sobre cualquier otro cuerpo, aun cuando no sea ligero. Como la designacion griega correspondiente al ambar es elektron, Gilbert comenzo a utilizar el termino "electrico" para referirse a todo material que se comportaba como aquel, lo que derivo en los terminos electricidad y carga electrica. Sin embargo, fue solo hacia mediados del siglo XIX que estas observaciones fueron planteadas formalmente, gracias a los experimentos sobre la electrolisis que realizo Faraday, hacia 1833 y que le permitieron descubrir la relacion entre la electricidad y la materia. Es posible observar el fenomeno descrito al frotar un lapiz con la ropa (atrae pequeños trozos de papel), al frotar vidrio con seda, o ebonita con una piel. CARGAS POSITIVAS Y NEGATIVAS Si se toma una varilla de vidrio y se frota con seda colgandola de un hilo largo (tambien de seda), se observa que al aproximar una segunda varilla (frotada con seda) se produce una repulsion mutua. Sin embargo, si se aproxima una varilla de ebonita, previamente frotada con una piel, se observa que atrae la varilla de vidrio colgada. Tambien se verifica que dos varillas de ebonita frotadas con piel se repelen entre si. Estos hechos se explican diciendo que al frotar una varilla se le comunica carga electrica y que las cargas en las dos varillas ejercen fuerzas entre si.

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Los efectos electricos no se limitan a vidrio frotado con seda o a ebonita frotada con piel. Cualquier sustancia frotada con cualquier otra, en condiciones apropiadas, recibe carga en cierto grado. Sea cual sea la sustancia a la que se le comunico carga electrica se vera que, si repele al vidrio, atraera a la ebonita y viceversa. No existen cuerpos electrificados que muestren comportamientos de otro tipo. Es decir, no se observan cuerpos electrificados que atraigan o repelan a las barras de vidrio y de ebonita simultaneamente: si el cuerpo sujeto a observacion atrae al vidrio, repelera a la barra de ebonita y si atrae a la barra de ebonita, repelera a la de vidrio. La conclusion de tales experiencias es que solo hay dos tipos de carga y que cargas similares se repelen y cargas diferentes se atraen. Benjamin Franklin denomino positivas a las que aparecen en el vidrio y negativas a las que aparecen en la ebonita.

INTERACCIONES ENTRE CARGAS DE IGUAL Y DISTINTO SIGNO. ORIGEN DE LAS CARGAS Buscando una explicacion que justificara este hecho, formula la teoria de que estos fenomenos se producen debido a la existencia de un "fluido electrico" que se transfiere de un cuerpo a otro. Un cuerpo no electrizado tendria una "cantidad normal" de fluido. El frotamiento seraa la causa de la transferencia y el cuerpo que recibiera mas fluido quedaria electrizado positivamente mientras que el que lo perdiera quedaria electrizado negativamente. Asi conforme a estas ideas, no habria creacion ni destruccion de carga electrica, sino unicamente una transferencia de electricidad de un cuerpo hacia otro. En la actualidad se sabe que la teoria estaba parcialmente acertada. El proceso de electrizacion consiste en transferencia de carga electrica, pero no debido al fluido imaginado por Franklin, sino por el paso de electrones de un cuerpo hacia otro. La teoria atomica moderna afirma que toda materia esta constituida, basicamente, por particulas: protones, electrones y neutrones. Los primeros poseen carga positiva (el tipo de carga con que se electrifica el vidrio), los segundos, carga negativa (el tipo de carga con que se electrifica la ebonita) y los neutrones carecen de carga electrica.

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Un cuerpo no electrizado posee el mismo numero de electrones que de protones. Cuando se frotan dos cuerpos hay una transferencia de electrones de uno hacia otro y el cuerpo que presenta exceso de electrones queda cargado negativamente, mientras que el que los perdia presenta un exceso de protones provocando la existencia de carga electrica positiva. O sea, se desplazan los electrones debido a la posicion que ocupan en el atomo y por ende en la molecula que forma el material. Asi, los protones quedan fijos en los nucleos atomicos, mientras que los electrones, mas libres que los componentes nucleares, se desplazan de un lugar a otro. Observese que los electrones y protones no poseen en su seno nada positivo ni negativo, esto solo es una denominacion que se aplica a una propiedad intronseca de la materia que se manifiesta mediante repulsiones y atracciones. Otro aspecto importante del modelo de la electricidad de Franklin es que la carga electrica siempre se conserva. Es decir, cuando un cuerpo es frotado contra otro, no se crea carga en el proceso, sino que existe una transferencia de cargas entre un cuerpo y el otro. AISLANTES Y CONDUCTORES Una varilla metalica sostenida con la mano y frotada con una piel no resulta cargada. Sin embargo, es posible cargarla si se la provee de un mango de vidrio o de ebonita y el metal no se toca con las manos al frotarlo. La explicacion es que las cargas se pueden mover libremente en los metales y el cuerpo humano, mientras que en el vidrio y la ebonita no pueden hacerlo. Esto se debe a que en ciertos materiales, tipicamente en los metales, los electrones mas alejados de los nucleos respectivos adquieren libertad de movimiento en el interior del solido. Estas particulas se denominan electrones libres y son el vehiculo mediante el cual se transporta la carga electrica. Estas sustancias se denominan conductores. En contrapartida a los conductores electricos, existen materiales en los cuales los electrones estan firmemente unidos a sus respectivos atomos. En consecuencia, estas sustancias no poseen electrones libres y no sera posible el desplazamiento de carga a traves de ellos. Estas sustancias son denominadas aislantes o dielectricos. El vidrio, la ebonita o el plastico son ejemplos tipicos. En consecuencia, esta diferencia de comportamiento de las sustancias respecto del desplazamiento de las cargas en su seno depende de la naturaleza de los atomos que las componen. Entre los buenos conductores y los dielectricos existen multiples situaciones intermedias. Entre ellas destacan los materiales semiconductores por su importancia en la fabricacion de dispositivos electronicos que son la base de la actual revolucion tecnologica. En condiciones ordinarias se comportan como dielectricos, pero sus propiedades conductoras pueden ser alteradas con cierta facilidad mejorando su

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conductividad en forma prodigiosa ya sea mediante pequeños cambios en su composicion, sometiendolos a temperaturas elevadas o a intensa iluminacion. A temperaturas cercanas al cero absoluto, ciertos metales adquieren una conductividad infinita, es decir, la resistencia al flujo de cargas se hace cero. Se trata de los superconductores. Una vez que se establece una corriente electrica en un superconductor, los electrones fluyen por tiempo indefinido. Es de relevancia tener en cuenta, y puede verificarse experimentalmente, que solamente la carga negativa se puede mover. La carga positiva es inmovil y unicamente los electrones libres son los responsables del transporte de carga. PROPIEDADES DE LA CARGA PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA CARGA

Todo objeto cuyo numero de electrones sea distinto al de protones tiene carga electrica. Si tiene mas electrones que protones la carga es negativa. Si tiene menos electrones que protones, la carga es positiva. En concordancia con los resultados experimentales, el principio de conservacion de la carga establece que no hay destruccion ni creacion neta de carga eloctrica, y afirma que en todo proceso electromagnetico la carga total de un sistema aislado se conserva, tal como penso Franklin. Los electrones no se crean ni se destruyen, sino que simplemente se transfieren de un material a otro. Cuando un cuerpo es electrizado por otro, la cantidad de electricidad que recibe uno de los cuerpos es igual a la que cede el otro. La carga se conserva. En todo proceso, ya sea en gran escala o en el nivel atomico y nuclear, se aplica el concepto de conservacion de la carga. Jamas se ha observado caso alguno de creacion o destruccion de carga neta. La conservacion de la carga es una de las piedras angulares de la fisica, a la par con la conservacion de la energia de la cantidad de movimiento. Todo objeto con carga electrica tiene un exceso o una deficiencia de cierto numero entero de electrones: los electrones no se pueden dividir en fracciones. Esto significa que la carga del objeto es un multiplo entero de la carga del electron. El objeto no puede poseer una carga igual a 1.5 o a 1000.5 electrones, por ejemplo. Todos los objetos cargados que se han observado hasta ahora tiene una carga que es un multiplo entero de la carga de un solo electron. MEDICION DE LA CARGA ELECTRICA El valor de la carga electrica de un cuerpo, representada como q o Q, se mide segun el numero de electrones que posea en exceso o en defecto. En el Sistema Internacional de Unidades la unidad de carga electrica se denomina culombio (simbolo C) y se define como la cantidad de carga que a la distancia de 1 metro ejerce sobre otra cantidad de carga igual, la fuerza de 9x109 N. 19

Un culombio corresponde a 6,24 x1018 electrones. En consecuencia, la carga del electron es

=

LA LEY DE COULOMB La Ley de Coulomb lleva su nombre en honor a Charles-Augustin de Coulomb, mediante una balanza de torsion, Coulomb encontro que la fuerza de atraccion o repulsion entre dos cargas puntuales separadas a una distancia determinada.

El valor de la constante de proporcionalidad xk depende de las unidades en las que se exprese F, q, qx y r. En el Sistema Internacional de Unidades de Medida vale 9x109 Nm2/C2. Se puede observar que la ley de Coulomb tiene la misma forma funcional que la ley de la Gravitaci�n UniversalEsta comparacion es relevante ya que ambas leyes dictan el comportamiento de dos de las fuerzas fundamentales de la naturaleza mediante expresiones matematicas cuya similitud es notoria. La ley de la gravitaci�n universal establece que la fuerza de atraccion entre dos masas es directamente proporcional al producto de las mismas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Expresandolo matematicamente: siendo la constante de gravitacion universal, y las masas de los cuerpos en cuestion y r la distancia entre los centros de las masas. vale 6,67x10-11 Nm2/kg2. El enunciado que describe la ley de Coulomb de manera formal, es el siguiente: "La magnitud de cada una de las fuerzas electricas con que interactuan dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa." Esta ley es valida solo en condiciones estacionarias, es decir, cuando no hay movimiento de las cargas o, como aproximacion, el movimiento se realiza a velocidades bajas y trayectorias rectilineas uniformes. Se le llama a esta Fuerza Electrost�tica. La parte Electro proviene de que se trata de fuerzas electricas y estatica debido a la ausencia de movimiento de las cargas. En terminos matematicos, la magnitud de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales y ejerce sobre la otra separadas por una distancia x(tambien llamada r en otros textos) se expresa como:

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Dadas dos cargas puntuales y separadas una distancia en el vac�o, se atraen o repelen entre s� con una fuerza cuya magnitud esta dada por:

La Ley de Coulomb lleva su nombre en honor a Charles-Augustin de Coulomb, uno de sus descubridores y el primero en publicarlo. No obstante, Henry Cavendish obtuvo la expresión correcta de la ley, con mayor precisión que Coulomb, si bien esto no se supo hasta después de su muerte. DESCUBRIMIENTO DEL FENÓMENO Coulomb estudió en detalle las fuerzas de interacción entre partículas con carga eléctrica, haciendo referencia a cargas puntuales (aquellas cargas cuya magnitud es muy pequeña respecto a la distancia que los separa).

BALANZA DE TORSIÓN DE COULOMB Este notorio físico francés efectuó mediciones muy cuidadosas de las fuerzas existentes entre cargas puntuales utilizando una balanza de torsión similar a la usada por Cavendish para evaluar la ley de la gravitación universal. La balanza de torsión consiste en una barra que cuelga de una fibra. Esta fibra es capaz de torcerse, y si la barra gira la fibra tiende a regresarla a su posición original. Si se conoce la fuerza de torsión que la fibra ejerce sobre la barra, se logra un método sensible para medir fuerzas.

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En la barra de la balanza, Coulomb, colocó una pequeña esfera cargada y, a continuación, a diferentes distancias, posicionó otra esferita con carga de igual magnitud. Luego midió la fuerza entre ellas observando el ángulo que giraba la barra. Dichas mediciones permitieron determinar que: 1) La fuerza de interacción entre dos cargas y duplica su magnitud si alguna de las cargas dobla su valor, la triplica si alguna de las cargas aumenta su valor en un factor de tres, y así sucesivamente. Concluyó entonces que el valor de la fuerza era proporcional al producto de las cargas: y en consecuencia:

2) Si la distancia entre las cargas es , al duplicarla, la fuerza de interacción disminuye en un factor de 4 (2²); al triplicarla, disminuye en un factor de 9 (3²) y al cuadriplicar , la fuerza entre cargas disminuye en un factor de 16 (4²). En consecuencia, la fuerza de interacción entre dos cargas puntuales, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:

Variación de la Fuerza de Coulomb en función de la distancia Asociando las relaciones obtenidas en 1) y 2):

Finalmente, se introduce una constante de proporcionalidad para transformar la relación anterior en una igualdad:

22

La creencia en la ley de Coulomb, no descansa cuantitativamente en los experimentos del mismoLas medidas con la balanza de torsión son difíciles de hacer con una precisión de más de unos cuantos centésimos. Esas medidas no son lo suficientemente precisas como para determinar que el exponente de la ecuación de Coulomb es 2 y no fuera, por ejemplo, 2,01. El hecho es que la ley de Coulomb puede deducirse mediante experimentos indirectos que ponen de manifiesto que el exponente en cuestión debe estar comprendido entre 2,000000002 y 1,999999998 No es raro, entonces, que se considere que el exponente sea exactamente 2. ENUNCIADO DE LA LEY El enunciado que describe la ley de Coulomb es el siguiente: "La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa." Esta ley es válida sólo en condiciones estacionarias, es decir, cuando no hay movimiento de las cargas o, como aproximación, el movimiento se realiza a velocidades bajas y trayectorias rectilíneas uniformes. Se le llama a esta Fuerza Electrostática. La parte Electro proviene de que se trata de fuerzas eléctricas y estática debido a la ausencia de movimiento de las cargas. En términos matemáticos, la magnitud de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales y ejerce sobre la otra separadas por una distancia se expresa como:

Dadas dos cargas puntuales y separadas una distancia en el vacío, se atraen o repelen entre sí con una fuerza cuya magnitud esta dada por:

La Ley de Coulomb se expresa mejor con magnitudes vectoriales:

donde es un vector unitario que va en la dirección de la recta que une las cargas, siendo su sentido desde la carga que produce la fuerza hacia la carga que la experimenta.

23

El exponente (de la distancia: d) de la Ley de Coulomb es, hasta donde se sabe hoy en día, exactamente 2. Experimentalmente se sabe que, si el exponente fuera de la forma , entonces

.

Representación gráfica de la Ley de Coulomb para dos cargas del mismo signo. Obsérvese que esto satisface la tercera de la ley de Newton debido a que implica que fuerzas de igual magnitud actúan sobre y . La ley de Coulomb es una ecuación vectorial e incluye el hecho de que la fuerza actúa a lo largo de la línea de unión entre las cargas. CONSTANTE DE COULOMB

La constante Nm²/C².

es la Constante de Coulomb y su valor para unidades SI es

A su vez la constante

donde

es la permitividad relativa,

,y

F/m es la permitividad del medio en el vacío. Cuando el medio que rodea a las cargas no es el vacío hay que tener en cuenta la constante dieléctrica y la permitividad del material. Algunos valores son: Material

(F/m)

(Nm²/C²)

Vacío

1

8,85·10-12

8,99·109

Parafina

2,1-2,2

1,90·10-11

4,16·109

Mica

6-7

5,76·10-11

1,38·109

Papel parafinado 2,2

1,95·10-11

4,09·109

Poliestireno

1,05

9,30·10-12

8,56·109

Baquelita

3,8-5

3,90·10-11

2,04·109

C-irbolito

3-5

3,54·10-11

2,25·109

Vidrio orgánico

3,2-3,6

3,01·10-11

2,64·109

Vidrio

5,5-10

6,86·10-11

1,16·109

Aire

1,0006

8,86·10-12

8,98·109

24

Mármol

7,5-10

7,75·10-11

1,03·109

Ebonita

2,5-3

2,43·10-11

3,27·109

Porcelana

5,5-6,5

5,31·10-11

1,50·109

Micalex

7-9

7,08·10-11

1,12·109

Micarta A y B

7-8

6,64·10-11

1,20·109

Batista barnizada 3,5-5

3,76·10-11

2,11·109

Goma en hojas

2,6-3,5

2,70·10-11

2,95·109

Poliestireno

2,7

2,39·10-11

3,33·109

La ecuación de la ley de Coulomb queda finalmente expresada de la siguiente manera:

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN Y LA LEY DE COULOMB Como ley básica adicional, no deducible de la ley de Coulomb, se encuentra el Principio de Superposición: "La fuerza total ejercida sobre una carga eléctrica q por un conjunto de cargas será igual a la suma vectorial de cada una de las fuerzas ejercidas por cada carga sobre la carga ."

Representación gráfica del principio de superposición Conjuntamente, la Ley de Coulomb y el Principio de Superposición constituyen los pilares de la electrostática.

25

VERIFICACIÓN EXPERIMENTAL DE LA LEY DE COULOMB Es posible verificar la ley de Coulomb mediante un experimento sencillo. Considérense dos pequeñas esferas de masa m cargadas con cargas iguales q del mismo signo que cuelgan de dos hilos de longitud l, tal como se indica en la figura.

Sobre cada esfera actúan tres fuerzas: el peso mg, la tensión de la cuerda T y la fuerza de repulsión eléctrica entre las bolitas . En el equilibrio:

(1) y

(2).

Dividiendo (1) entre (2) miembro a miembro, se obtiene:

Siendo

la separación de equilibrio entre las esferas cargadas, la fuerza

entre ellas, vale, de acuerdo con la ley de Coulomb: cumple la siguiente igualdad:

de repulsión

y, por lo tanto, se (3)

Al descargar una de las esferas y ponerla, a continuación, en contacto con la esfera cargada , cada una de ellas adquiere una carga q/2, en el equilibrio su separación será y la fuerza de repulsíón entre las mismas estará dada por:

Por estar en equilibrio, tal como se dedujo más arriba:

Y de modo similar se obtiene:

.

(4)

26

Dividiendo (3) entre (4), miembro a miembro, se llega a la siguiente igualdad:

(5) Midiendo los ángulos y y las separaciones entre las cargas y verificar que la igualdad se cumple dentro del error experimental.

es posible

En la práctica, los ángulos pueden resultar difíciles de medir, así que si la longitud de los hilos que sostienen las esferas son lo suficientemente largos, los ángulos resultarán lo bastante pequeños como para hacer la siguiente aproximación:

Con esta aproximación, la relación (5) se transforma en otra mucho más simple:

De esta forma, la verificación se reduce a medir la separación entre cargas y comprobar que su cociente se aproxima al valor indicado. COMPARACIÓN ENTRE LA LEY DE COULOMB Y LA LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL Esta comparación es relevante ya que ambas leyes dictan el comportamiento de dos de las fuerzas fundamentales de la naturaleza mediante expresiones matemáticas cuya similitud es notoria. La ley de la gravitación universal establece que la fuerza de atracción entre dos masas es directamente proporcional al producto de las mismas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Expresándolo matemáticamente: siendo la constante de gravitación universal, y las masas de los cuerpos en cuestión y r la distancia entre los centros de las masas. vale 6,67·10-11 Nm2/kg2. A pesar del chocante parecido en las expresiones de ambas leyes se encuentran dos diferencias insoslayables. La primera es que en el caso de la gravedad no se han podido observar masas de diferente signo como sucede en el caso de las cargas eléctricas, y por tanto, la fuerza entre masas siempre es atractiva.

27

La segunda tiene que ver con los órdenes de magnitud de la fuerza de gravedad y de la fuerza eléctrica. Para aclararlo analizaremos como actúan ambas entre un protón y un electrón en el núcleo de hidrógeno. La separación promedio entre el electrón y el protón es de 5,3·10-11 m. La carga del electrón y la del protón valen

y

respectivamente y sus masas son y

.

Sustituyendo los datos:

.

Al comparar resultados se observa que la fuerza eléctrica es de unos 39 órdenes de magnitud superior a la fuerza gravitacional. Lo que esto representa puede ser ilustrado mediante un ejemplo muy llamativo. 1 C equivale a la carga que pasa en 1 s por cualquier punto de un conductor por el que circula una corriente de intensidad 1 A constante. En viviendas con tensiones de 220 Vrms, esto equivale a un segundo de una bombilla de 220 W (120 W para las instalaciones domésticas de 120 Vrms). Si fuera posible concentrar la mencionada carga en dos puntos con una separación de 1 metro, la fuerza de interacción sería:

, o sea, ¡916 millones de kilopondios, o el peso de una masa de casi un millón de toneladas (un teragramo)! Si tales cargas se pudieran concentrar de la forma indicada más arriba, se alejarían bajo la influencia de esta enorme fuerza, ¡aunque tuvieran que arrancarse del acero sólido para hacerlo! Si de esta hipotética disposición de cargas resultan fuerzas tan enormes, ¿por qué no se observan despliegues dramáticos debidos a las fuerzas eléctricas? La respuesta general es que en un punto dado de cualquier conductor nunca hay demasiado alejamiento de la neutralidad eléctrica. La naturaleza nunca acumula un Coulomb de carga en un punto. 28

LIMITACIONES DE LA LEY DE COULOMB •

La expresión matemática solo es aplicable a cargas puntuales.

•

La fuerza no está definida para r = 0.

LA LEY DE COULOMB Mediante una balanza de torsión, Coulomb encontró que la fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas puntuales (cuerpos cargados cuyas dimensiones son despreciables comparadas con la distancia r que las separa) es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. El valor de la constante de proporcionalidad (K)depende de las unidades en las que se exprese F, q, Q y r. En el Sistema Internacional de Unidades de Medida vale 9 109 Nm2/C2. La ley de Coulomb nos describe la interacción entre dos cargas eléctricas del mismo o de distinto signo. La fuerza que ejerce la carga Q sobre otra carga q situada a una distancia r es.

donde La fuerza F es una fuerza central y consevativa. La fuerza F es repulsiva si las cargas son del mismo signo y es atractiva si las cargas son de signo contrario.

29

LEY DE CONSERVACIÓN Las leyes de conservación se refieren a las leyes físicas que postulan que durante la evolución temporal de un sistema aislado ciertas magnitudes tienen un valor constante. Puesto que el universo entero constituye un sistema aislado pueden aplicársele diversas leyes de conservación. LEYES DE CONSERVACIÓN EN FÍSICA CLÁSICA Las leyes de conservación más importantes en mecánica y electromagnetismo clásicos son: • • • •

Conservación de la energía. Conservación del momento lineal. Conservación del momento angular. Conservación de la carga eléctrica.

LEYES DE CONSERVACIÓN EN FÍSICA CUÁNTICA En mecánica cuántica y física nuclear a las anteriores se les añaden estas otras: • • • •

Conservación del número leptónico. Conservación de la carga de color. Conservación de la probabilidad. Simetría CPT.

LEYES DE CONSERVACIÓN APROXIMADAS Además de las anteriores tanto en mecánica clásica (MC) como en mecánica cuántica (MQ) se usan en ciertos contextos leyes de conservación aproximadas, es decir, que no son universales para todos los procesos aunque sí una buena parte de los procesos físicos conocidos: • • • • •

Conservación de la masa o cantidad de materia (MC). Conservación del número bariónico, ver anomalía quiral (MQ). Conservación de aroma, violada en algunas interacciones débiles (MQ). Conservación de paridad (MC y MQ). Simetría CP (MQ).

LEYES DE CONSERVACIÓN Y TEOREMA DE NOETHER En las teorías físicas que admiten un formalismo lagrangiano puede probarse que las leyes de conservación están ligadas a simetrías del sistema físico. Más concretamente el teorema de Noether para las teorías clásicas establece que si existe una simetría abstracta del lagrangiano asociada a un grupo uniparamétrico existe una magnitud que permanece constante a lo largo de la evolución del sistema, es decir, existe una ley de conservación asociada a esa simetría.

30

Más aún la magnitud observada funcionalmente puede construirse a partir de los momentos conjugados del lagrangiano y del elemento del álgebra de Lie del grupo uniparamétrico de simetría. EL CONCEPTO FÍSICO DE CAMPO

Las cargas eléctricas no precisan de ningún medio material para ejercer su influencia sobre otras, de ahí que las fuerzas eléctricas sean consideradas fuerzas de acción a distancia. Cuando en la naturaleza se da una situación de este estilo, se recurre a la idea de campo para facilitar la descripción en términos físicos de la influencia que uno o más cuerpos ejercen sobre el espacio que les rodea. La noción física de campo se corresponde con la de un espacio dotado de propiedades medibles. En el caso de que se trate de un campo de fuerzas éste viene a ser aquella región del espacio en donde se dejan sentir los efectos de fuerzas a distancia. Así, la influencia gravitatoria sobre el espacio que rodea la Tierra se hace visible cuando en cualquiera de sus puntos se sitúa, a modo de detector, un cuerpo de prueba y se mide su peso, es decir, la fuerza con que la Tierra lo atrae. Dicha influencia gravitatoria se conoce como campo gravitatorio terrestre. De un modo análogo la física introduce la noción de campo magnético y también la de campo eléctrico o electrostático.

Figura 1.- a) La figura de arriba representa la Fuerza que existe entre dos cargas puntuales (Fuerza electrica) b) La figura de abajo representa la fuerza de atracción entre la masa de la luna y la masa de la tierra (Fuerza gravitacional)

EL CAMPO ELÉCTRICO El campo eléctrico asociado a una carga aislada o a un conjunto de cargas es aquella región del espacio en donde se dejan sentir sus efectos. Así, si en un punto cualquiera del espacio en donde está definido un campo eléctrico se coloca una carga de prueba o

31

carga testigo, se observará la aparición de fuerzas eléctricas, es decir, de atracciones o de repulsiones sobre ella.

¿CÓMO SE DEFINE EL VECTOR INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO? La fuerza eléctrica que en un punto cualquiera del campo se ejerce sobre la carga unidad positiva, tomada como elemento de comparación, recibe el nombre de intensidad del campo eléctrico y se representa por la letra E. Por tratarse de una fuerza la intensidad del campo eléctrico es una magnitud vectorial que viene definida por su módulo E y por su dirección y sentido. En lo que sigue se considerarán por separado ambos aspectos del campo E. ¿CUÁL ES SU EXPRESIÓN MATEMÁTICA? La expresión del módulo de la intensidad de campo E puede obtenerse fácilmente para el caso sencillo del campo eléctrico creado por una carga puntual q sin más que combinar la ley de Coulomb con la definición de E. La fuerza que q ejercería sobre una carga unidad positiva 1+ en un punto genérico P distante r de la carga central q viene dada, de acuerdo con la ley de Coulomb, pero aquélla es precisamente la definición de E y, por tanto, ésta será también su expresión matemática. Puesto que se trata de una fuerza electrostática estará aplicada en P, dirigida a lo largo de la recta que une la carga central q y el punto genérico P, en donde se sitúa la carga unidad, y su sentido será atractivo o repulsivo según q sea negativa o positiva respectivamente. Si la carga de prueba es distinta de la unidad, es posible no obstante determinar el valor de la fuerza por unidad de carga en la forma: Donde F es la fuerza calculada mediante la ley de Coulomb entre la carga central Q y la carga de prueba o testigo q empleada como elemento detector del campo. Es decir: E=KQq/rª /=KQ/rª A partir del valor de E debido a Q en un punto P y de la carga q situada en él, es posible determinar la fuerza F en la forma: F = q · E (Su estructura es similar a la fuerza gravitacional F=mg) Expresión que indica que la fuerza entre Q y q es igual a q veces el valor de la intensidad de campo E en el punto P. Esta forma de describir las fuerzas del campo y su variación con la posición hace más sencillos los cálculos, particularmente cuando se ha de trabajar con campos debidos a muchas cargas. La unidad de intensidad de campo E es el cociente entre la unidad de fuerza y la unidad de carga; en el SI equivale, por tanto, al newton (N)/coulomb (C). 32

REPRESENTACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO Es posible conseguir una representación gráfica de un campo de fuerzas empleando las llamadas líneas de fuerza. Son líneas imaginarias que describen, si los hubiere, los cambios en dirección de las fuerzas al pasar de un punto a otro. En el caso del campo eléctrico, las líneas de fuerza indican las trayectorias que seguirían las partículas positivas si se las abandonase libremente a la influencia de las fuerzas del campo. El campo eléctrico será un vector tangente a la línea de fuerza en cualquier punto considerado. Una carga puntual positiva dará lugar a un mapa de líneas de fuerza radiales, pues las fuerzas eléctricas actúan siempre en la dirección de la línea que une a las cargas interactuantes, y dirigidas hacia fuera porque las cargas móviles positivas se desplazarían en ese sentido (fuerzas repulsivas). En el caso del campo debido a una carga puntual negativa el mapa de líneas de fuerza sería análogo, pero dirigidas hacia la carga central. Como consecuencia de lo anterior, en el caso de los campos debidos a varias cargas las líneas de fuerza nacen siempre de las cargas positivas y mueren en las negativas. Se dice por ello que las primeras son «manantiales» y las segundas «sumideros» de líneas de fuerza. APLICACIÓN DEL CONCEPTO DE INTENSIDAD DE CAMPO La intensidad de campo E, como fuerza por unidad de carga, es una magnitud que admite una representación vectorial. Además está relacionada con la fuerza de modo que conociendo el valor de E en un punto es posible determinar la fuerza que experimentaría una carga distinta de la unidad si se la situara en dicho punto, y viceversa. Se trata ahora de determinar la intensidad de campo eléctrico debido a una carga puntual Q = 1,6 · 10-6 C en un punto P situado a una distancia de 0,4 m de la carga y de dibujar en dicho punto el vector que lo representa. ¿Cuál sería la fuerza eléctrica que se ejercería sobre otra carga q = 3 · 10-8 C si se situara en dicho punto P? Tómese como medio el vacío con K = 9 · 109 N m2/C2. El módulo de la intensidad de campo E debido a una carga puntual Q viene dada por la expresión:

Dicho valor depende de la carga central Q y de la distancia al punto P, pero en él no aparece para nada la carga que se sitúa en P por ser ésta, siempre que se utiliza este concepto, la carga unidad positiva. Sustituyendo en la anterior expresión se tiene:

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Por tratarse de una fuerza debida a una carga positiva también sobre la unidad de carga positiva será repulsiva y el vector correspondiente estará aplicado en P y dirigido sobre la recta que une Q con P en el sentido que se aleja de la carga central Q. Conociendo la fuerza por unidad de carga, el cálculo de la fuerza sobre una carga diferente de la unidad se reduce a multiplicar E por el valor de la carga q que se sitúa en P:

F = q · E = 9 ·104 · 3 · 10-8 = 2,7 · 10-3 N

REPRESENTACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO Es posible conseguir una representación gráfica de un campo de fuerzas empleando las llamadas líneas de fuerza. Son líneas imaginarias que describen, si los hubiere, los cambios en dirección de las fuerzas al pasar de un punto a otro. En el caso del campo eléctrico, las líneas de fuerza indican las trayectorias que seguirían las partículas positivas si se las abandonase libremente a la influencia de las fuerzas del campo. El campo eléctrico será un vector tangente a la línea de fuerza en cualquier punto considerado. Una carga puntual positiva dará lugar a un mapa de líneas de fuerza radiales, pues las fuerzas eléctricas actúan siempre en la dirección de la línea que une a las cargas interactuantes, y dirigidas hacia fuera porque las cargas móviles positivas se desplazarían en ese sentido (fuerzas repulsivas). En el caso del campo debido a una carga puntual negativa el mapa de líneas de fuerza sería análogo, pero dirigidas hacia la carga central. Como consecuencia de lo anterior, en el caso de los campos debidos a varias cargas las líneas de fuerza nacen siempre de las cargas positivas y mueren en las negativas. Se dice por ello que las primeras son «manantiales» y las segundas «sumideros» de líneas de fuerza.

34

35

FLUJO DEL CAMPO ELÉCTRICO

FLUJO DE CAMPO ELECTRICO A TRAVES DE UNA SUPERFICIE GAUSSIANA. El flujo (símbolo ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el flujo ( ) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie. Para definir a con precisión considérese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria dentro de un campo eléctrico. La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales , cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda ser considerado plano. Estos elementos de área pueden ser representados como vectores , cuya magnitud es la propia área, la dirección es normal a la superficie y el sentido hacia afuera. En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado. y caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo entre sí y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados. El flujo, entonces, se define como sigue:

36

O sea:

FLUJO PARA UNA SUPERFICIE CILÍNDRICA COLOCADA EN UN CAMPO UNIFORME Supóngase una superficie cilíndrica colocada dentro de un campo uniforme muestra la figura:

tal como

El flujo puede escribirse como la suma de tres términos, (a) una integral en la tapa izquierda del cilindro, (b) una integral en la superficie cilíndrica y (c) una integral en la tapa derecha:

Para la tapa izquierda, el ángulo , para todos los puntos, es de constante y los vectores son todos paralelos

,

tiene un valor

Entonces:

siendo

el área de la tapa. Análogamente, para la tapa derecha:

37

Finalmente, para la superficie cilíndrica:

Por consiguiente:

FLUJO PARA UNA SUPERFICIE ESFÉRICA CON UNA CARGA PUNTUAL EN SU INTERIOR

Superficie gaussiana esférica de radio r rodeando a una carga puntual q. Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual q en su centro tal como muestra la figura. El campo eléctrico es paralelo al vector superficie campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica.

, y el

En consecuencia:

38

Si E es constante sobre la superficie y dada por E = kq/r 2 y tomando en cuenta que k = 1/4π εo, el flujo de campo electrico a traves de la superficie gaussiana nos queda de la siquiente forma: Donde εo es la permitividad eléctrica del vacío. Por lo que concluimos que el flujo neto a traves de cualquier superficie cerrada rodeando una carga q esta dado por Q/εo y es independiente de la forma de la superfice. De aqui deducimos el enunciado para la ley de Gauss.

POTENCIAL ELÉCTRICO punto es el trabajo que debe realizar una fuerza eléctrica (ley de Coulomb) para mover una carga unitaria q desde ese punto hasta el infinito, donde el potencial es cero. Dicho de otra forma es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una carga unitaria q desde el infinito hasta el punto considerado en contra de la fuerza eléctrica. Matemáticamente se expresa por:

Considérese una carga de prueba positiva, la cual se puede utilizar para hacer el mapeo de un campo eléctrico. Para tal carga de prueba localizada a una distancia r de una carga q, la energía potencial electrostática mutua es:

De manera equivalente, el potencial eléctrico es

=

TRABAJO ELÉCTRICO Y ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA Considérese una carga puntual q en presencia de un campo eléctrico. La carga experimentará una fuerza eléctrica.

Ahora bien, si se pretende mantener la partícula en equilibrio, o desplazarla a velocidad constante, se requiere de una fuerza que contrarreste el efecto de la generada por el campo eléctrico. Esta fuerza deberá tener la misma magnitud que la primera, pero sentido contrario, es decir:

39

(1)

Partiendo de la definición clásica de trabajo, en este caso se realizará un trabajo para trasladar la carga de un punto a otro. De tal forma que al producirse un pequeño desplazamiento dl se generará un trabajo dW. Es importante resaltar que el trabajo será positivo o negativo dependiendo de cómo se realice el desplazamiento en relación con la fuerza

. El trabajo queda, entonces, expresado como:

Nótese que en el caso de que la fuerza no esté en la dirección del desplazamiento, sólo se debe multiplicar su componente en la dirección del movimiento. Será considerado trabajo positivo el realizado por un agente externo al sistema cargacampo que ocasione un cambio de posición y negativo aquél que realice el campo. Teniendo en cuenta la expresión (1):

Por lo tanto, el trabajo total será:

Si el trabajo que se realiza en cualquier trayectoria cerrada es igual a cero, entonces se dice que estamos en presencia de un campo eléctrico conservativo. Expresándolo matemáticamente:

Ahora bien, sea una carga q que recorre una determinada trayectoria en las inmediaciones de una carga Q tal como muestra la figura.

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El trabajo infinitesimal es el producto escalar del vector fuerza F por el vector desplazamiento dl, tangente a la trayectoria, o sea:

donde dr es el desplazamiento infinitesimal de la carga q en la dirección radial. Para calcular el trabajo total, se integra entre la posición inicial A, distante de fuerzas y la posición final B, distante del centro fijo de fuerzas:

del centro

De lo anterior se concluye que el trabajo W no depende del camino seguido por la partícula para ir desde la posición A a la posición B. lo cual implica que la fuerza de atracción F, que ejerce la carga Q sobre la carga q es conservativa. La fórmula de la energía potencial es:

Por definición, el nivel cero de energía potencial se ha establecido en el infinito, o sea, sí y sólo si . POTENCIAL ELÉCTRICO Considérese una carga de prueba positiva en presencia de un campo eléctrico y que se traslada desde el punto A al punto B conservándose siempre en equilibrio. Si se mide el trabajo que debe hacer el agente que mueve la carga, la diferencia de potencial eléctrico se define como:

El trabajo puede ser positivo, negativo o nulo. En estos casos el potencial eléctrico en B será respectivamente mayor, menor o igual que el potencial eléctrico en A. La unidad en el SI para la diferencia de potencial que se deduce de la ecuación anterior es Joule/Coulomb y se representa mediante una nueva unidad, el voltio, esto es: 1 voltio = 1 Joule/Coulomb.

41

Un electrón volt (eV) es la energía adquirida para un electrón al moverse a través de una diferencia de potencial de 1V, 1 eV = 1,6x10^-19 J. Algunas veces se necesitan unidades mayores de energía, y se usan los kiloelectrón volts (keV), megaelectrón volts (MeV) y los gigaelectrón volts (GeV). (1 keV=10^3 eV, 1 MeV = 10^6 eV, y 1 GeV = 10^9 eV). Aplicando esta definición a la teoría de circuitos y desde un punto de vista más intuitivo, se puede decir que el potencial eléctrico en un punto de un circuito representa la energía que posee cada unidad de carga al paso por dicho punto. Así, si dicha unidad de carga recorre un circuito constituyendóse en corriente eléctrica, ésta irá perdiendo su energía (potencial o voltaje) a medida que atraviesa los diferentes componentes del mismo. Obviamente, la energía perdida por cada unidad de carga se manifestará como trabajo realizado en dicho circuito (calentamiento en una resistencia, luz en una lámpara, movimiento en un motor, etc.). Por el contrario, esta energía perdida se recupera al paso por fuentes generadoras de tensión. Es conveniente distinguir entre potencial eléctrico en un punto (energía por unidad de carga situada en ese punto) y corriente eléctrica (número de cargas que atraviesan dicho punto por segundo). Usualmente se escoge el punto A a una gran distancia (en rigor el infinito) de toda carga y el potencial eléctrico a esta distancia infinita recibe arbitrariamente el valor cero. Esto permite definir el potencial eléctrico en un punto poniendo y eliminando los índices:

siendo el trabajo que debe hacer un agente exterior para mover la carga de prueba desde el infinito al punto en cuestión. Obsérvese que la igualdad planteada depende de que se da arbitrariamente el valor cero al potencial en la posición de referencia (el infinito) el cual hubiera podido escogerse de cualquier otro valor así como también se hubiera podido seleccionar cualquier otro punto de referencia. También es de hacer notar que según la expresión que define el potencial eléctrico en un punto, el potencial en un punto cercano a una carga positiva aislada es positivo porque debe hacerse trabajo positivo mediante un agente exterior para llevar al punto una carga de prueba (positiva) desde el infinito. Similarmente, el potencial cerca de una carga negativa aislada es negativo porque un agente exterior debe ejercer una fuerza para sostener a la carga de prueba (positiva) cuando la carga positiva viene desde el infinito. Por último, el potencial eléctrico queda definido como un escalar porque escalares.

y

son

Tanto como son independientes de la trayectoria que se siga al mover la carga de prueba desde el punto A hasta el punto B. Si no fuera así, el punto B no tendría un potencial eléctrico único con respecto al punto A y el concepto de potencial sería de utilidad restringida.

42

Una carga de prueba se mueve desde A hasta B en el campo de carga q siguiendo una de dos trayectorias. Las flechas muestran a E en tres puntos de la trayectoria II Es posible demostrar que las diferencias de potencial son independientes de la trayectoria para el caso especial representado en la figura. Para mayor simplicidad se han escogido los puntos A y B en una recta radial. Una carga de prueba puede trasladarse desde A hacia B siguiendo la trayectoria I sobre una recta radial o la trayectoria II completamente arbitraria. La trayectoria II puede considerarse equivalente a una trayectoria quebrada formada por secciones de arco y secciones radiales alternadas. Puesto que estas secciones se pueden hacer tan pequeñas como se desee, la trayectoria quebrada puede aproximarse a la trayectoria II tanto como se quiera. En la trayectoria II el agente externo hace trabajo solamente a lo largo de las secciones radiales, porque a lo largo de los arcos, la fuerza y el corrimiento son perpendiculares y en tales casos es nulo. La suma del trabajo hecho en los segmentos radiales que constituyen la trayectoria II es el mismo que el trabajo efectuado en la trayectoria I, porque cada trayectoria está compuesta del mismo conjunto de segmentos radiales. Como la trayectoria II es arbitraria, se ha demostrado que el trabajo realizado es el mismo para todas las trayectorias que unen A con B. Aún cuando esta prueba sólo es válida para el caso especial ilustrado en la figura, la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria para dos puntos cualesquiera en cualquier campo eléctrico. Se desprende de ello el carácter conservativo de la interacción electrostática el cual está asociado a la naturaleza central de las fuerzas electrostáticas. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES Las líneas negras muestran cuatro trayectorias a lo largo de las cuales se desplaza una carga de prueba entre superficies equipotenciales. El lugar geométrico de los puntos de igual potencial eléctrico se denomina superficie equipotencial. Para dar una descripción general del campo eléctrico en una cierta región del espacio, se puede utilizar un conjunto de superficies equipotenciales, correspondiendo cada superficie a un valor diferente de potencial. Otra forma

43

de cumplir tal finalidad es utilizar las líneas de fuerza y tales formas de descripción están íntimamente relacionadas. No se requiere trabajo para mover una carga de prueba entre dos puntos de una misma superficie equipotencial, lo cual queda manifestado por la expresión:

puesto que debe ser nulo si . Esto es válido porque la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria de unión entre los dos puntos aún cuando la misma no se encuentre totalmente en la superficie considerada. La figura muestra un conjunto arbitrario de superficies equipotenciales. El trabajo necesario para mover una carga siguiendo las trayectorias I y II' es cero porque comienzan y terminan en la misma superficie equipotencial. El trabajo que se necesita para mover una carga según las trayectorias I' y II no es cero, pero tiene el mismo valor porque las trayectorias unen el mismo par de superficies equipotenciales. Las superficies equipotenciales son siempre perpendiculares a las líneas de fuerza y, por consiguiente, a . Si no fuera así, el campo tendría una componente en ella y, por consiguiente, debería hacerse trabajo para mover la carga en la superficie. Ahora bien, si la misma es equipotencial, no se hace trabajo en ella, por lo tanto el campo debe ser perpendicular a la superficie. Para un par de placas paralelas en las cuales se cumple que , donde d es la distancia entre las placas paralelas y E es el campo eléctrico constante en la región entre las placas.

Potencial e intensidad de campo CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME Sean A y B dos puntos situados en un campo eléctrico uniforme, estando A a una distancia d de B en la dirección del campo, tal como muestra la figura. Una carga de prueba q se mueve de A hacia B en un campo eléctrico uniforme E mediante un agente exterior que ejerce sobre ella una fuerza F. Considérese una carga de prueba positiva q moviéndose sin aceleración, por efecto de algún agente externo, siguiendo la recta que une A con B. La fuerza eléctrica sobre la carga será qE y apunta hacia abajo. Para mover la carga en la forma descrita arriba, se debe contrarrestar esa fuerza aplicando una fuerza externa F de la 44

misma magnitud pero dirigida hacia arriba. El trabajo proporciona esta fuerza es:

realizado por el agente que

Teniendo en cuenta que:

sustituyendo se obtiene:

Esta ecuación muestra la relación entre la diferencia de potencial y la intensidad de campo en un caso sencillo especial. El punto B tiene un potencial más elevado que el A. Esto es razonable porque un agente exterior tendría que hacer trabajo positivo para mover la carga de prueba de A hacia B.

Una carga de prueba q se mueve de A hacia B en un campo eléctrico no uniforme E mediante un agente exterior que ejerce sobre ella una fuerza F. CAMPO ELÉCTRICO NO UNIFORME En el caso más general de un campo eléctrico no uniforme, este ejerce una fuerza sobre la carga de prueba, tal como se ve en la figura. Para evitar que la carga acelere, debe aplicarse una fuerza que sea exactamente igual a posiciones del cuerpo de prueba.

para todas las

Si el agente externo hace que el cuerpo de prueba se mueva siguiendo un corrimiento a lo largo de la trayectoria de A a B, el elemento de trabajo desarrollado por el

45

agente externo es . Para obtener el trabajo total hecho por el agente externo al mover la carga de A a B, se suman las contribuciones al trabajo de todos los segmentos infinitesimales en que se ha dividido la trayectoria. Así se obtiene:

Como

, al sustituir en esta expresión, se obtiene que

Si se toma el punto A infinitamente alejado, y si el potencial al infinito toma el valor de cero, esta ecuación da el potencial en el punto B, o bien, eliminando el subíndice B,

Estas dos ecuaciones permiten calcular la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera si se conoce . DEFINICIÓN MATEMÁTICA El potencial eléctrico suele definirse a través del campo eléctrico a partir del teorema del trabajo de la física.

donde E es el campo eléctrico vectorial generado por una distribución de carga eléctrica. Esta definición muestra que estrictamente el potencial eléctrico no está definido sino tan sólo sus variaciones entre puntos del espacio. Por lo tanto, en condiciones de campo eléctrico nulo el potencial asociado es constante. Suele considerarse sin embargo que el potencial eléctrico en un punto infinitamente alejado de las cargas eléctricas es cero por lo que la ecuación anterior puede escribirse:

En términos de energía potencial el potencial en un punto r es igual a la energía potencial entre la carga Q:

46

El potencial eléctrico también puede calcularse a partir de la definición de energía potencial de una distribución de cargas:

EJEMPLOS DE POTENCIAL ELÉCTRICO ASOCIADOS A DIFERENTES DISTRIBUCIONES DE CARGA POTENCIAL DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL

Una carga de prueba q, se mueve, mediante un agente exterior de A hasta B en el campo producido por una carga Considérense los puntos A y B y una carga puntual q tal como muestra la figura. Según se muestra, apunta a la derecha y , que siempre está en la dirección del movimiento, apunta a la izquierda. Por consiguiente:

47

Ahora bien, al moverse la carga una trayectoria dl hacia la izquierda, lo hace en la dirección de la r decreciente porque r se mide a partir de q como origen. Así pues:

Por lo cual:

Combinando esta expresión con la de E para una carga punto se obtiene:

Escogiendo el punto de referencia A en el infinito, esto es, haciendo que considerando que en ese sitio y eliminando el subíndice B, se obtiene:

,

Esta ecuación muestra claramente que las superficies equipotenciales para una carga puntual aislada son esferas concéntricas a la carga puntual.

Superficies equipotenciales producidas por una carga puntual

48

POTENCIAL DEBIDO A DOS CARGAS PUNTUALES El potencial en un punto P debido a dos cargas es la suma de los potenciales debido a cada carga individual en dicho punto.

Siendo

y

las distancias entre las cargas

y

y el punto P respectivamente.

POTENCIAL ELÉCTRICO GENERADO POR UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE CARGAS El potencial en un punto cualquier debido a un grupo de cargas punto se obtiene calculando el potencial debido a cada carga, como si las otras cargas no existieran, y sumando las cantidades así obtenidas, o sea:

siendo el valor de la enésima carga y la distancia de la misma al punto en cuestión. La suma que se efectúa es una suma algebaica y no una suma vectorial. En esto estriba la ventaja de cálculo del potencial sobre la de intensidad del campo eléctrico. Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo. En el gráfico se representa la intersección de las superficies equipotenciales con el plano XY.

La ecuación de las líneas equipotenciales es:

49

POTENCIAL ELÉCTRICO GENERADO POR UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA Si la distribución de carga es continua y no una colección de puntos, la suma debe reemplazarse por una integral:

siendo dq un elemento diferencial de la distribución de carga, r su distancia al punto en el cual se calcula V y dV el potencial que dq produce en ese punto.

POTENCIAL ELÉCTRICO GENERADO POR UN PLANO INFINITO Un plano infinito con densidad de carga de superficie crea un potencial eléctrico saliente en la dirección perpendicular al plano de valor constante

Si x es la dirección perpendicular al plano y éste se encuentra en x=0 el potencial eléctrico en todo punto x es igual a:

Donde se ha considerado como condición de contorno V(x)=0 en x=0

ESFERA CONDUCTORA CARGADA Sea Q la carga total almacenada en la esfera conductora. Por tratarse de un material conductor las cargas están situadas en la superficie de la esfera siendo neutro su interior. Potencial en el exterior de la corteza: El potencial en el exterior de la corteza es equivalente al creado por una carga puntual de carga Q en el centro de la esfera

donde es la distancia entre el centro de la corteza y el punto en el que medimos el potencial eléctrico.

Donde

es el radio de la esfera.

50

CAPACITORES En capacitor es un dispositivo electrónico que está formado por dos placas metálicas separadas por un aislante llamado dieléctrico. Un dieléctrico o aislante es un material que evita el paso de la corriente. Es un dispositivo que almacena energía en la forma de un campo eléctrico (es evidente cuando el capacitor funciona con corriente directa) y se llama capacitancia o capacidad a la cantidad de cargas eléctricas que es capaz de almacenar La capacidad depende de las características físicas de condensador: - Si el área de las placas que están frente a frente es grande la capacidad aumenta - Si la separación entre placas aumenta, disminuye la capacidad - El tipo de material dieléctrico que se aplica entre las placas también afecta la capacidad - Si se aumenta la tensión aplicada, se aumenta la carga almacenada La capacitancia de un condensador con aire entre sus placas está dada por la fórmula: A C = εo d donde: - C = capacidad - Eo= permitividad - A = área entre placas - d = separación entre las placas La unidad de medida es el faradio. Hay submúltiplos como el miliFaradio (mF), microFaradio (uF), el nanoFaradio (nF) y el picoFaradio (pF) Las principales características eléctricas de un condensador son su capacidad o capacitancia y su máxima tensión entre placas (máxima tensión que es capaz de aguantar sin dañarse). Nunca conectar un capacitor a un voltaje superior al que puede aguantar pues puede explotar Hay capacitores electrolíticos que son polarizados (ver signo + o signo - en el cuerpo del elemento) y hay que conectarlos con cautela. Nunca conectarlo al revés pues puede dañarse y explotar Hay dos tipos de condensadores. Fijos y variables. Ver Clasificación de los capacitores

Símbolo condensador electrolítico (polarizado)

Símbolo condensador no polarizado

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CONDENSADORES / CAPACITORES EN SERIE Y PARALELO CONDENSADORES EN SERIE Cuando se conectan dos o mas condensadores (capacitores) uno después del otro, se dice que están conectados en serie.

Estos condensadores se pueden reemplazar por un único condensador que tendrá un valor que, sea el equivalente al de los otros que están conectados en serie. Para obtener el valor de este único condensador se utiliza la fórmula: 1/CT = 1/C1 + 1/C2 + 1/C3 + 1/C4 Pero fácilmente se puede hacer un cálculo para cualquier número de condensadores con ayuda de la siguiente fórmula 1 / CT = 1 / C1 + 1 / C2 + .........+ 1 / CN donde: N es el número de condensadores que están conectados en serie. Ver el gráfico de 4 condensadores en serie CONDENSADORES EN PARALELO Del gráfico se puede ver si se conectan 4 condensadores en paralelo (los terminales de cada lado de los elementos están conectadas a un mismo punto). Para encontrar el condensador equivalente se utiliza la fórmula: CT = C1 + C2 + C3 + C4

52

Fácilmente se puede hacer un cálculo para cualquier número de condensadores con ayuda de la siguiente fórmula: CT = C1 + C2 + .........+ CN donde N es el número de condensadores. Como se ve, para obtener el condensador equivalente de condensadores en paralelo, sólo basta con sumarlos.

CAPACITORES Y DIELECTRICOS El capacitor es un dispositivo que almacena energía en un campo electrostático. Una lámpara de destello o de luz relámpago, por ejemplo, requiere una breve emisión de energía eléctrica, un poco mayor de lo que generalmente puede proporcionar una batería. Podemos sacar energía con relativa lentitud (más de varios segundos) de la batería al capacitor, el cual libera rápidamente (en cuestión de milisegundos) la energía que pasa al foco. Otros capacitores mucho más grandes se emplean para proveer intensas pulsaciones de láser con el fin de inducir una fusión termonuclear en pequeñas bolitas de hidrógeno. En este caso el nivel de potencia es de alrededor de 1014 W, el equivalente a unas 200 veces toda la capacidad generadora de Estados Unidos, y dura sólo unos 10-9 s. Los capacitores se usan también para producir campos eléctricos como es el caso del dispositivo de placas paralelas que desvía los haces de partículas cargadas. En el presente capítulo estudiaremos el campo electrostático y la energía almacenada en los capacitores. Los capacitores tienen otras funciones importantes en los circuitos electrónicos, especialmente para voltajes y corrientes variables con el tiempo. Los capacitores son componentes fundamentales de los osciladores electromagnéticos para transmitir y recibir señales de radio y televisión. CAPACITANCIA La figura 1 muestra un capacitor generalizado, que consta de dos conductores a y b de forma arbitraria. Sin importar cual sea su geometría, a estos conductores se les llama placas, y damos por hecho que se hallan totalmente aisladas de su entorno, como también que, por el momento, están en el vacío. Decimos que el capacitor está cargado si sus placas contienen cargas +q y –q iguales y opuestas, respectivamente. Notesé que q no es la carga neta en el capacitor, la cual es cero. En nuestro estudio sobre los capacitores denotamos con q el valor absoluto de la carga en cualquier placa; esto es, q representa una magnitud únicamente, y el signo de la carga de una placa dada debe especificarse.

53

Podemos cargar un capacitor conectando las dos placas a las terminales opuestas de una batería. Puesto que las placas son conductoras, son también equipotenciales, y la diferencia de potencial de la batería aparecerá en las placas. Al cargar el capacitor, la batería transfiere a las dos placas cargas iguales y opuestas. Por conveniencia, a la magnitud de la diferencia de potencial entre las placas las representamos por V. Como lo demostraremos en la sección siguiente, existe una proporcionalidad directa entre la magnitud de la carga q en un capacitor y la diferencia de potencial V entre sus placas, Esto es, podemos escribir q = CV (1) donde C, la constante de proporcionalidad, se llama capacitancia del capacitor. En la sección siguiente, demostraremos también que C depende de las formas y posiciones relativas de la placa, y calcularemos la dependencia real de C de dichas variables en tres casos especiales importantes. C depende también del material que llena el espacio entre las placas; sin embargo, por el momento supondremos que el espacio es vacío. La unidad de capacitancia en el SI que se infiere de la ecuación 1 es el coulomb/volt, y se le da el nombre de farad (abreviado F): 1 farad = 1 coulomb/volt. Recibe el nombre en honor de Michael Faraday quien, entre sus otras contribuciones, desarrolló el concepto de capacitancia. Los submúltiplos del farad, el microfarad (1 F = 10-6 F) y el picofarad (1 pF = 10-12), son unidades más convenientes en la práctica. La figura 2 muestra algunos capacitores en la región de los microfarad o de los picofarad que pueden encontrarse en equipos electrónicos o de computación.

CALCULO DE LA CAPACITANCIA Aquí nuestra tarea es calcular la capacitancia de un capacitor una vez que conocemos su geometría. Puesto que consideramos un número de geometrías diferentes, parece acertado desarrollar un plan general para simplificar el trabajo. Resumido, nuestro plan es como sigue: (1) suponemos una carga q en las placas; (2) calculamos el campo eléctrico E entre las placas en términos de la carga, usando la Ley de Gauss; (3) conociendo E, calculamos la diferencia de potencial V entre las placas de la ecuación 15 del capítulo anterior; (4) calculamos C de C = q/V (Ec. 1). Antes de comenzar, podemos simplificar el cálculo tanto del campo eléctrico como de la diferencia de potencial haciendo ciertas suposiciones. Veremos cada una en su momento. Cálculo del campo eléctrico El campo eléctrico se relaciona con la carga en las placas según la ley de Gauss, o sea 54

0

0 E. dA = q. (2)

Aquí q es la carga contenida dentro de la superficie gaussiana, y la integral se efectúa sobre esa superficie. Consideraremos sólo los casos en que, cuando el flujo pase a través de la superficie gaussiana, el campo eléctrico E tenga una magnitud constante E, y los vectores E y dA sean paralelos. La ecuación 2 se reduce entonces a

Donde A es el área de esa parte de la superficie gaussiana a través de la cual pasa el flujo. Por conveniencia, dibujamos la superficie gaussiana de modo que encierre por completo a la carga sobre la placa positiva; véase la figura 3 para un ejemplo. CÁLCULO DE LA DIFERENCIA DE POTENCIAL La diferencia de potencial entre las placas se relaciona con el campo eléctrico E por la ecuación 15 del capítulo anterior,

en la cual la integral se evalúa a lo largo de cualquier trayectoria que comience en una placa y termine en la otra. Siempre elegimos una trayectoria que siga a la línea del campo eléctrico desde la placa positiva hasta la placa negativa, como se muestra en la figura 3. Para esta trayectoria, los vectores E y ds apuntan en la misma dirección, de modo que la cantidad Vf – Vi es negativa. Puesto que estamos buscando a V, valor absoluto de la diferencia de potencial entre las placas, podemos establecer que Vf – Vi = -V. Podemos volver a escribir la ecuación 4 como:

donde los signos + y – nos recuerdan que nuestra trayectoria de la integración comienza en la placa positiva y termina en la placa negativa. El campo eléctrico entre las placas de un capacitor es la suma de los campos debidos a las dos placas: E = E+ + E-, en donde E+ es el campo debido a las cargas en las placa positiva y E- es el campo debido a las cargas en la placa negativa. Según la ley de Gauss, E+ y E- deben ser cada una proporcional a q. Esto es, si duplicamos a q (la carga en cada placa), E y V se duplican igualmente. Puesto que V es proporcional a q, la razón q/V es una constante y es independiente de q. Definimos esta razón como la capacitancia C, de acuerdo con la ecuación 1. CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS Suponemos, como se ve en la figura 3, que las placas de este capacitor son tan grandes y tan próximas y tan próximas entre sí que podemos despreciar la distorsión de las líneas de campo eléctrico en los bordes de las placas. Consideramos que E es constante en todo el volumen entre las placas.

55

Tracemos una superficie gaussiana que incluya a la carga q en la placa positiva, como lo muestra la figura 3. El campo eléctrico puede entonces calcularse de la ecuación 3: E = p/ A, donde A es el área de las placas. La ecuación 5 da entonces

En la ecuación 6, E es constante y puede quitarse del signo de la integral; la segunda integral de arriba es simplemente la separación d entre las placas. Obsérvese en la ecuación 6 que V es igual a una constante multiplicada por q. De acuerdo con la ecuación 1, esta constante es precisamente 1/C, y así C= 

A

(capacitor de placas paralelas).

(7)

d La capacitancia sólo depende de factores geométricos, por ejemplo, del área A de la placa y de la separación d de la placa. Señalamos además que la ecuación 7 indica por qué escribimos la constante electrostática en la forma 1/ 4 e n la ley de Coulomb. Si no lo hubuiésemos hecho así, la ecuación 7 –que se usa en la práctica más a menudo que la ley de Coulomb- su forma sería menos sencilla. Notamos también que la ecuación 7 sugiere unidades para la constante de permitividad  que son más apropiadas para los problemas en que intervienen capacitores, es decir, = 8.85 x 10-12F/m = 8.85 pF/m. 

Previamente hemos expresado esta constante como: 

= 8.85 x 10-12C2/N·m2,

que comprende unidades que son útiles cuando se trata con problemas en los que se aplica la ley de Coulomb. Los dos grupos de unidades son equivalentes. CAPACITOR CILÍNDRICO La figura 4 muestra, en sección transversal, un capacitor cilíndrico de longitud L formado por dos cilindros coaxiales de radios a y b. Suponemos que L>> b de modo que podemos despreciar la no uniformidad de las líneas del campo eléctrico que se presenta en los extremos de los cilindros. Como superficie gaussiana, elegimos un cilindro de longitud L y radio r, cerrado en los extremos por tapas. La ecuación 3 da q=

EA = 

E(2 rL) 

56

donde 2 rL es el área de la parte curvada de la superficie gaussiana. Si se despeja E obtenemos E=q. 2

(8)

L  r

La sustitución de este resultado en la ecuación 5 da V = E ds = q dr = q ln b 2

(9)

L r 

2

L  a

De la relación C = q/V, tenemos entonces C=2

L (capacitor cilíndrico). 

(10)

ln(b/a) Vemos que la capacitancia del capacitor cilíndrico, al igual que la de un capacitor de placas paralelas, depende sólo de los factores geométricos, en este caso de L, b y a. CAPACITOR ESFÉRICO La figura 4 puede también representar la sección transversal central de un capacitor que conste de dos cascarones esféricos concéntricos de radios a y b. Como superficie gaussiana trazamos una esfera de radio r. Si se aplica la ecuación 3 a esta superficie nos da q=

EA = 

E(4 r2), 

Donde 4 r2 es el área de la superficie esférica gaussiana. Si despejamos de esta ecuación a E, se obtiene E=1q, 4 

(11)

r2

la cual reconocemos como la expresión para el campo eléctrico debidoa una distribución esférica uniforme de carga. Si sustituimos esta expresión en la ecuación 5, hallamos

Al sustituir la ecuación 12 en la ecuación 1 y si despejamos C, obtenemos C=4 

ab

(capacitor esférico).

(13) 57

b-a ESFERA AISLADA Podemos asignar una capacitancia a un conductor individual aislado si suponemos que la "placa faltante" es una esfera conductora de radio infinito, Al fin y al cabo, las líneas de campo que salen de la superficie de un conductor aislado cargado deben terminar en alguna parte; las paredes del salón en qué esté alojado el conductor pueden servir, efectivamente, como nuestra esfera de radio infinito. Si hacemos que b

en la ecuación 13 y sustituimos a a por R, hallamos C=4

R 

(esfera aislada).

(14)

Al comparar las ecuaciones 7, 10, 13 y 14, notamos que C se expresa siempre como  multiplicada por una cantidad con dimensión de longitud. Las unidades de  (F/m) son consistentes con esta relación.

CAPACITORES EN SERIE Y PARALELO

Al analizar circuitos eléctricos, es deseable conocer la capacitancia equivalente de dos o más capacitores que estén conectados de cierto modo. Por "capacitancia equivalente" queremos significar la capacitancia de un capacitor individual que puede sustituirse por la combinación sin que cambie la operación del resto del circuito. En un circuito eléctrico, un capacitor se representa por el símbolo , el cual, aunque parezca un capacitor de placas paralelas, representa a cualquier tipo de capacitor. CAPACITORES CONECTADOS EN PARALELO La figura 5a muestra dos capacitores conectados en paralelo. Existen tres propiedades que caracterizan a una conexión en paralelo de los elementos de un circuito. (1) Al viajar de a a b, podemos tomar cualquiera de varias trayectorias paralelas (dos, en este caso) cada una de las cuales pasa por sólo uno de loes elementos en paralelo. (2) Cuando se conecta una batería de diferencia de potencial V entre las terminales de una combinación (es decir, las puntas de la batería están conectadas a los puntos a y b en la fig. 5), en cada elemento de la conexión en paralelo aparece la misma diferencia de potencial V. Los alambres y las placas del capacitor son conductores y por lo tanto equipotenciales. El potencial en a aparece en los alambres conectados a a y en las dos placas de capacitor a la izquierda; similarmente, el potencial en b aparece en todos los alambres conectados a b y a las dos placas de capacitor a la derecha. (3) Los elementos comparten la carga total que la batería proporciona a la combinación. Sin perder de vista estos principios, podemos ahora hallar la capacitancia equivalente Ceq que da la misma capacitancia total entre los puntos a y b, como se indica en la figura

58

5b. Suponga una batería de diferencia de potencial V conectada entre los puntos a y b. Para cada capacitor, podemos escribir (usando la Ec. 1) q1 = C1V

y

q2 = C2V.

(15)

Al escirbir estas ecuaciones hemos empleado el mismo valor de la diferencia de potencial entre las terminales de los capacitores, de acuerdo con la segunda característica de una conexión en paralelo previamente estipulada. La batería extrae la carga q de un lado del circuito y la mueve hacia el otro lado. Esta carga la comparten los dos elementos de acuerdo con la tercera característica, de modo que la suma de las cargas de los dos capacitores es igual a la carga total: q = q1 + q2

(16)

Si la combinación en paralelo fuese reemplazada por un solo capacitor Ceq y conectada a la misma batería, el requisito de que el circuito opere de un modo idéntico significaría que la batería debe transferir la misma carga q. O sea, para el capacitor equivalente, Q = CeqV

(17)

Al sustituir la ecuación 16 en la ecuación 17, incorporando luego las ecuaciones 15 dentro del resultado, obtenemos Ceq V = C1 V + C2V, o sea Ceq = C1 + C2

(18)

Si se tienen más de dos capacitores en paralelo, podemos primero reemplazar a C1 y C2 por su equivalente C12 determinado de acuerdo con la ecuación 18. Luego hallamos la capacitancia equivalente de C12 y el siguiente capcitor C3 en paralelo. Si este proceso se continúa, podemos extender la ecuación 18 a cualquier número de capacitores conectados en paralelo: Ceq =

n

Cn

(combinación en paralelo)

(19)

Es decir, para calcular la capacitancia equivalente de una combinación en paralelo, simplemente sumamos las capacitancias individuales. Nótese que la capacitancia equivalente es siempre mayor que la máxima capacitancia en la combinación en paralelo. La combinación en paralelo puede almacenar más carga que cualquiera de los capacitores individuales. CAPACITORES CONECTADOS EN SERIE La figura 6 muestra dos capacitores conectados en serie. Existen tres propiedades que distinguen a una conexión en serie de los elementos de un circuito. (1) Si intentamos viajar de a a b, debemos pasar por todos los elementos del circuito en sucesión. (2) Cuando se conecta una batería entre la combinación, la diferencia de potencial V de la batería es igual a la suma de las diferencias de potencial entre cada uno de los 59

elementos. (3) La carga q entregada a cada elemento de la combinación en serie tiene el mismo valor. Para entender esta última propiedad, observemos la región de la figura 6 encerrada por la línea de trazos. Supongamos que la batería establece una carga -q en la placa izquierda de C1. Puesto que un capacitor contiene cargas iguales y opuestas en sus placas, una carga +q aparece en la placa derecha de C1. Pero el conductor en forma de H, encerrado dentro de la línea de trazos, está aislado eléctricamente del resto del circuito; al inicio no contiene ninguna carga neta, y no se le puede transferir ninguna carga. Si aparece una carga +q en la placa derecha de C1, entonces debe aparecer una carga –q en la placa izquierda de C2. Si hubiese más de dos capacitores en serie, puede formularse un argumento semejante para toda la línea de capacitores, con el resultado de que la placa izquierda en cada capacitor de la conexión en serie contendrá una carga q de un signo, y que la placa derecha de cada capacitor de la conexión en serie contendrá una carga de igual magnitud q y de signo opuesto. Podemos escribir para los capacitores individuales, usando la ecuación 1, V1 = q

y

V2 = q ,

C1

(20)

C2

Con la misma carga q en cada capacitor, pero distintas diferenciales de potencial entre cada uno. De acuerdo con la segunda propiedad de una conexión en serie, tenemos V = V1 + V2

(21)

Buscamos la capacitancia equivalente Ceq que pueda reemplazar a la combinación, de modo que la batería proporcionaría la misma cantidad de carga:

V=q. (22) Ceq Si se sustituye la ecuación 21 en la ecuación 22 e incluimos luego las ecuaciones 20, obtenemos q=q+q, Ceq C1 C2 o sea 1 = 1 + 1 . (23) Ceq C1 C2

60

Si tenemos varios capacitores en serie, podemos usar la ecuación 23 para determinar la capacitancia equivalente C12 de los primeros dos. Luego encontramos la capacitancia equivalente de C12 y el siguiente capacitor en serie C3. Al continuar de esta manera, hallaremos la capacitancia equivalente de cualquier número de capacitores en serie, 1=

n

1 (combinación en serie) (24)

Ceq Cn Esto es, para calcular la capacitancia equivalente de una combinación en serie, tómese el recíproco de la suma de los recíprocos de las capacitancias individuales en la serie. A veces, los capacitores están conectados de modo tal que no son inmediatamente identificables como combinaciones en serie o en paralelo. Tales combinaciones pueden dividirse en unidades más pequeñas que pueden analizarse como conexiones en serie o en paralelo. ALMACENAMIENTO DE ENERGIA EN UN CAMPO ELECTRICO Como se indicó en la introducción de este capítulo, un uso importante de los capacitores es el almacenamiento de energía electrostática en aplicaciones que van desde las lámparas de destello hasta los sistemas de láser (véase la Fig. 8), dependiendo ambas para su operación de la carga y descarga de capacitores. En la segunda sección del capítulo anterior se demostró que cualquier configuración de carga tiene una cierta energía potencial eléctrica U, igual al trabajo W (que puede ser positivo o negativo) realizado por un agente externo que conjunte la configuración de carga a partir de sus componentes individuales, que originalmente se supuso estaban infinitamente separadas entre sí y en reposo. Esta energía potencial es semejante a la de los sistemas mecánicos, como un resorte comprimido o el sistema Tierra-Luna. En un ejemplo simple, se realiza trabajo cuando dos cargas iguales y opuestas están separadas. Esta energía está almacenada como energía potencial eléctrica en el sistema, y puede recuperarse como energía cinética si se permite que las cargas se junten de nuevo. De modo semejante, un capacitor cargado tiene almacenada en él una energía potencial U igual al trabajo W que el agente externo realiza cuando el capacitor se carga. Esta energía se recupera si se permite que el capacitor se descargue. Alternativamente, podemos visualizar el trabajo en el proceso de carga, al imaginarnos que el agente externo jala electrones de la placa positiva y los empuja hacia la placa negativa, lográndose así la separación de la carga. Por lo general, el trabajo en el proceso de carga lo realiza una batería, a costa de su energía química almacenada. Supongamos que en un tiempo t se transfiere una carga q de una placa a la otra. La diferencia de potencial V’ entre las placas en ese momento es V’ = q’/C. Si ahora se transfiere un incremento de carga dq’, el pequeño cambio dU resultante en la energía potencial eléctrica es, de acuerdo con la ecuación V = U/q, dU = V’dq’ = q’ dq’. C

61

Si este proceso continúa hasta que se haya transferido una carga q, la energía potencial total es de U = dU = q’ dq’ (25) C o sea U = q2 (26) 2C De la relación q = CV podemos también escribir lo siguiente U = ½ CV2 (27) Es razonable suponer que la energía almacenada en un capacitor reside en el campo eléctrico entre sus placas, del mismo modo que la energía que tiene una onda electromagnética puede considerarse que reside en su campo eléctrico. Cuando q o V en las ecuaciones 26 y 27 aumenta, por ejemplo, también lo hace el campo eléctrico E; cuando q y V son cero, también E lo es. En un capacitor de placas paralelas, no considerando el efecto del borde, el campo eléctrico tiene el mismo valor en todos los puntos entre las placas. Se deduce que la densidad de la energía almacenada por unidad de volumen, deberá también ser la misma en todas partes entre las placas; u es la energía almacenada U dividida entre el volumen Ad, o sea u = U = ½ CV2 . Ad Ad Al sustituir la relación C =

A  /d (Ec. 7) nos da u= 

V2 1. 1. d

Pero, V/d es el campo eléctrico E, de modo que U = ½ E2 (28) Si bien hemos deducido esta ecuación para el caso particular de un capacitor de placas paralelas, en el caso general sigue siendo válida. Si un campo eléctrico E existe en cuqluier en el espacio (el vacío), podemos concebir ese punto como el sitio de energía almacenada en cantidad, por unidad de volumen, de ½ E2.

62

En general, E varía con la ubicación, de modo que u es función de las coordenadas. En el caso especial del capacitor de placas paralelas, E y u no varían con la ubicación en la región entre las placas.

CAPACITOR CON DIELECTRICO En esta sección se estudiará el efecto de llenar la región entre las placas con una de las diversas sustancias aislantes conocidas como dieléctricos. Michael Faraday, en 1837, fue el primero en investigar el efecto de llenar el espacio entre las placas de un capacitor con un dieléctrico. Faraday construyó dos capacitores idénticos, llenando uno con un dieléctrico y el otro con aire en condiciones normales. Cuando ambos capacitores fueron cargados a la misma diferencia de potencial, los experimentos de Faraday demostraron que la carga en el capacitor con el dieléctrico era mayor que aquélla en el otro. Puesto que q es mayor para la misma V con el dieléctrico presente, se sigue de la relación C = q/V que la capacitancia de un capacitor aumenta si se coloca un dieléctrico entre las placas. (Suponemos, amenos que se indique lo contrario, que el dieléctrico llena completamente el espacio entre las placas.) El factor adimensional por el cual crece la capacitancia, en relación con su valor C0 cuando no hay un dieléctrico presente, se llama constante dieléctrica ke: ke = C/C0. (29) La constante dieléctrica es una propiedad fundamental del material dieléctrico y es independiente del tamaño o la forma del conductor. La figura 10 nos da una idea de los experimentos de Faraday. La batería B carga inicialmente al capacitor con una carga q, y la batería permanece conectada para asegurar que la diferencia de potencial V y el campo eléctrico E entre las placas permanezca constante. Después de haber insertado una lámina dieléctrica, la carga aumenta en un factor de ke a un valor de keq. La carga de más (ke – 1)q se lleva desde la placa negativa a la placa positiva por la batería cuando la lámina dieléctrica se inserta. Alternativamente, como en la figura 11, podemos desconectar la batería después de que el capacitor se ha cargado a la carga q. Si ahora insertamos la lámina dieléctrica, la carga permanece constante (pues no hay una trayectoria para la transferencia de carga), pero la diferencia de potencial cambia. En este caso, hallamos que la diferencia de potencial disminuye en un factor ke de V a V/ke después de haber insertado al diélectrico. El campo eléctrico disminuye también por el factor ke. Esperamos esta disminución en V basándonos en la expresión q = CV; si q es constante, entonces el aumento en C por el factor ke debe compensarse por una disminución equivalente en V por el mismo factor. Si el propósito de un capacitor es almacenar energía, entonces su capacidad aumenta gracias al dieléctrico, el cual le permite almacenar un factor ke más de carga para una misma diferencia de potencial. Sin embargo, la presencia del dieléctrico limita también la diferencia del potencial que puede mantenerse entre las placas. Si se excede este

63

límite, el material dieléctrico se perfora, resultando en una trayectoria conductora entre las placas. Cada material dieléctrico tiene una resistencia o rigidez dieléctrica característica que es el valor máximo del campo dieléctrico que puede soportar sin perforación. En un capacitor de placas paralelas lleno con dieléctrico, la capacitanica es de C = ke

A (30)

o

d La ecuación 7 es un caso especial de este resultado con ke = 1, correspondiente al vacío entre las placas. La capacitancia de cualquier capacitor aumenta por un factor de ke cuando todo el espacio en donde existe el campo eléctrico está completamente lleno con un dieléctrico. De modo semejante, podemos corregir las ecuaciones 10, 13 o 14 para la presencia de un dieléctrico que llene la región entre las placas. El reemplazo de o por oke explica el efecto sobre la capacitancia cuando el capacitor se llena con un dieléctrico. Este mismo cambio puede emplearse para modificar cualquiera de las ecuaciones de la electrostática y así explicar la presencia de un dieléctrico que llene todo el espacio. Para una carga puntual q incrustada en el dieléctrico, el campo eléctrico es E = 1 q . (31) 4 ke 

r2

La ecuación 31 da el campo total en el dieléctrico. El campo debido a la carga puntual está aún dado por la ley de Coulomb (sin el factor ke), pero el dieléctrico mismo produce otro campo eléctrico, que se combina con el campo de la carga puntual para dar la ecuación 31. De un modo similar, el campo eléctrico cerca de la superficie de un conductor cargado y aislado inmerso en un dieléctrico es E= ke

. (32) 

El conductor da una contribución   al campo, y el dieléctrico da una contribución extra, de modo que el campo total está dado por la ecuación 32. En ambas ecuaciones, 31 y 32, la presencia del dieléctrico causa que  se reemplace por ke . Nótese que el efecto de ese reemplazo es debilitar el campo eléctrico.

RESISTENCIA ELÉCTRICA .Se denomina resistencia eléctrica, R, de una sustancia, a la oposición que encuentra la corriente eléctrica durante su recorrido. Su valor viene dado en ohmios, se designa con

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la letra griega omega mayúscula (Ω), y se mide con el Óhmetro. También se define como la propiedad de un objeto o sustancia de transformar energía eléctrica en otro tipo de energía de forma irreversible, generalmente calor. Esta definición es válida para la corriente continua y para la corriente alterna cuando se trate de elementos resistivos puros, esto es, sin componente inductiva ni capacitiva. De existir estos componentes reactivos, la oposición presentada a la circulación de corriente recibe el nombre de impedancia. Según sea la magnitud de esta oposición, las sustancias se clasifican en conductoras, aislantes y semiconductoras. Existen además ciertos materiales en los que, en determinadas condiciones de temperatura, aparece un fenómeno denominado superconductividad, en el que el valor de la resistencia es prácticamente nula. ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS Las formas más comunes de conectar resistencias entre sí son las asociaciones serie, paralelo y mixta. A estas formas hay que añadir las asociaciones en estrella y en triángulo y la asociación puente. Seguidamente se comentan las características de cada una de ellas comenzando con el concepto de resistencia equivalente. RESISTENCIA EQUIVALENTE

Figura 2. Asociaciones generales de resistencias: a) Serie y b) Paralelo. c) Resistencia equivalente Se denomina resistencia equivalente, RAB, de una asociación respecto de dos puntos A y B, a aquella que conectada la misma diferencia de potencial, UAB, demanda la misma intensidad, I (ver figura 2). Esto significa que ante las mismas condiciones, la asociación y su resistencia equivalente disipan la misma potencia.

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ASOCIACIÓN SERIE Dos o más resistencias se encuentran conectadas en serie cuando al aplicar al conjunto una diferencia de potencial, todas ellas son recorridas por la misma corriente. Para determinar la resistencia equivalente de una asociación serie imaginaremos que ambas, figuras 4a) y 4c), están conectadas a la misma diferencia de potencial, UAB. Si aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a la asociación en serie tendremos:

Aplicando la Ley de Ohm:

En la resistencia equivalente:

Finalmente, igualando ambas ecuaciones:

Y eliminando la intensidad:

Por lo tanto la resistencia equivalente a n resistencias montadas en serie es igual a la suma de dichas resistencias.

ASOCIACIÓN PARALELO Dos o más resistencias se encuentran en paralelo cuando tienen dos terminales comunes de modo que al aplicar al conjunto una diferencia de potencial, UAB, todas la resistencias tienen la misma caída de tensión, UAB. Para determinar la resistencia equivalente de una asociación en paralelo imaginaremos que ambas, figuras 2b) y 2c), están conectadas a la misma diferencia de potencial mencionada, UAB, lo que originará una misma demanda de intensidad, I. Esta intensidad se repartirá en la asociación por cada una de sus resistencias de acuerdo con la primera ley de Kirchhoff:

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Aplicando la ley de Ohm:

En la resistencia equivalente se cumple:

Igualando ambas ecuaciones y eliminando la tensión UAB:

De donde:

Por lo que la resistencia equivalente de una asociación en paralelo es igual a la inversa de la suma de las inversas de cada una de las resistencias.

COMPORTAMIENTOS IDEAL Y REAL

Figura 1. Circuito con resistencia. Una resistencia ideal es un elemento pasivo que disipa energía en forma de calor según la Ley de Joule. También establece una relación de proporcionalidad entre la intensidad de corriente que la atraviesa y la tensión medible entre sus extremos, relación conocida como Ley de Ohm:

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donde i(t) la Corriente eléctrica que atraviesa la resistencia de valor R y u(t) es la diferencia de potencial que se origina. En general, una resistencia real podrá tener diferente comportamiento en función del tipo de corriente que circule por ella. COMPORTAMIENTO EN CORRIENTE CONTINUA Una resistencia real en corriente continua (CC) se comporta prácticamente de la misma forma que si fuera ideal, esto es, transformando la energía eléctrica en calor. Su ecuación pasa a ser:

que es la conocida ley de Ohm para CC. LEY DE OHM "La intensidad de la corriente es directamente proporcional al voltaje e inversamente proporcional a la resistencia en todos los circuitos o elementos eléctricos"

Circuito mostrando la Ley de Ohm: Una fuente eléctrica con una diferencia de potencial V, produce una corriente eléctrica I cuando pasa a través de la resistencia R La ley de Ohm, es una propiedad específica de ciertos materiales. La relación

es un enunciado de la ley de Ohm. Un conductor cumple con la ley de Ohm sólo si su curva V-I es lineal; esto es si R es independiente de V y de I. La relación

sigue siendo la definición general de la resistencia de un conductor, independientemente de si éste cumple o no con la ley de Ohm. La intensidad de la corriente eléctrica que circula por un dispositivo es directamente proporcional a la diferencia de potencial

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aplicada e inversamente proporcional a la resistencia del mismo, según expresa la fórmula siguiente:

En donde, empleando unidades del Sistema internacional: I = Intensidad en amperios (A) V = Diferencia de potencial en voltios (V) R = Resistencia en ohmios (Ω). ENUNCIADO En un conductor recorrido por una corriente eléctrica, el cociente entre la diferencia de potencial aplicada a los extremos del conductor y la intensidad de la corriente que por él circula, es una cantidad constante, que depende del conductor, denominada resistencia. La ley enunciada verifica la relación entre voltaje y corriente en un resistor.

INTENSIDAD DE CORRIENTE ELÉCTRICA Se denomina intensidad de corriente eléctrica a la carga eléctrica que pasa a través de una sección del conductor en la unidad de tiempo. En el Sistema Internacional de Unidades se expresa en C·s-1 (culombios partido por segundo), unidad que se denomina amperio. Si la intensidad es constante en el tiempo se dice que la corriente es continua; en caso contrario, se llama variable. Si no se produce almacenamiento ni disminución de carga en ningún punto del conductor, la corriente es estacionaria. Se mide con un galvanómetro que, calibrado en amperios, se llama amperímetro y en el circuito se coloca en serie con el conductor cuya intensidad se desea medir. El valor i de la intensidad instantánea Si la intensidad permanece constante, en cuyo caso se denota I, utilizando incrementos finitos de tiempo se puede definir como:

Si la intensidad es variable la fórmula anterior da el valor medio de la intensidad en el intervalo de tiempo considerado. Según la ley de Ohm, la intensidad de la corriente es igual al voltaje dividido por la resistencia que oponen los cuerpos:

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RESISTIVIDAD ELÉCTRICA Resistividad eléctrica, magnitud característica que mide la capacidad de un material para oponerse al flujo de una corriente eléctrica. También recibe el nombre de resistencia específica. Es la inversa de la conductividad eléctrica, σ. La resistividad se mide en ohmio•metro. La resistividad eléctrica de un material viene dada por la expresión R • S/l, donde R es la resistencia eléctrica del material, l la longitud y S la sección transversal. La experiencia demuestra que la resistividad de un buen conductor es del orden de 10-8 Ω•m. La resistividad de cualquier metal depende de la temperatura. Excepto a temperaturas muy bajas, la resistividad varía casi linealmente con la temperatura. Existen muchos metales para los cuales la resistividad es cero por debajo de cierta temperatura, denominada temperatura crítica. Este fenómeno, superconductividad, fue descubierto en 1911 por el físico holandés Heike Kamerling Onnes. Para un metal puro y a una temperatura determinada, la resistividad es una propiedad característica, pero le afectan todos los tratamientos mecánicos y térmicos sufridos por el metal, así como las impurezas que contenga. En algunos metales, como el selenio, la resistividad disminuye cuando se iluminan fuertemente, lo que se aprovecha en la fabricación de células fotoeléctricas. La resistividad de cualquier metal depende de la temperatura. Excepto a temperaturas muy bajas, la resistividad varía casi linealmente con la temperatura. Existen muchos metales para los cuales la resistividad es cero por debajo de cierta temperatura, denominada temperatura crítica. Este fenómeno, superconductividad, fue descubierto en 1911 por el físico holandés Heike Kamerling Onnes. Para un metal puro y a una temperatura determinada, la resistividad es una propiedad característica, pero le afectan todos los tratamientos mecánicos y térmicos sufridos por el metal, así como las impurezas que contenga. En algunos metales, como el selenio, la resistividad disminuye cuando se iluminan fuertemente, lo que se aprovecha en la fabricación de células fotoeléctricas. La resistencia (R) de un alambre conductor de resistividad p conocida, y de longitud (L) y sección transversal (A) es:

Ejemplos.

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PROBLEMA 9. Determinar la resistencia de un alambre de cobre, calibre Nro. 10 American Wire Gauge (AWG), que posee una resistividad de 10,4 ohm-mil-pie, y un diámetro de 0,102 pulgadas.

SOLUCIóN. Un diámetro de 0,102 pulgada = 102 mils; por lo tanto, A= (102)2 = 10.400 mils circular, y la resistencia será:

PROBLEMA 10. El alambre de cobre tiene una resistividad (aproximada) de 1,72 microhm por centímetro (1 microhm = 10-6 ohm). Determinar la resistencia y la conductancia de un alambre de cobre de 100 metros de longitud y 0,259 cm de diámetro. Solución . El área de la sección transversal es :

La longitud (L) = 100 metros X 102 = 10.000 cm, y la resistividad p = 1,72 x 10-6 ohmcm. Por lo tanto la resistencia del alambre es:

conductancia G = 1/R = 1/0,3277 = 3,05 mhos .

LEYES DE KIRCHHOFF Para los cálculos de circuitos son indispensables las dos primeras leyes establecidas por Gustav R. Kirchhoff (1824-1887).

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1. La suma de las corrientes que entran, en un punto de unión de un circuito es igual a la suma de las corrientes que salen de ese punto. Si se asigna signo más (+) a las corrientes que entran en la unión, y signo menos (-) a las que salen de ella, entonces la ley establece que la suma algebraica de las corrientes en un punto de unión es cero: SUMA DE I= 0 (EN LA UNIÓN) En esencia, la ley simplemente dice que la carga eléctrica no uede acumularse en un punto (es decir, cuanto más corriente lega a un punto, mayor cantidad sale de él ). 2. Para todo conjunto de conductores que forman un circuito cerrado, se verifica que la suma de las caídas de voltaje en las resistencias que constituyen la malla, es igual a la suma de las fem intercaladas. Considerando un aumento de potencial como positivo (+) y una caída de potencial como negativa (-), la suma algebraica de las diferencias de potenciales (voltajes) en una malla cerrada es cero: SUMA DE E - SUMA DE LAS CAÍDAS IR = 0 (EN LA MALLA CERRADA) Para aplicar esta ley en la práctica, se supone una dirección arbitraria para la corriente en cada rama. El extremo de la resistencia, por donde penetra la corriente, es positivo, con respecto al otro extremo. Si la solución para la corriente que se resuelve, hace que quede invertido el negativo, es porque la dirección de la corriente es opuesta a la que se ha supuesto. PROBLEMA 51. Determinar la corriente a través de cada resistencia, y la caida sobre cada resistencia del circuito de la Fig 1-13. SOLUCIóN. Por la primera ley de Kirchoff, en el punto B: I2 + I3 = I1 , ó I1 - I2 - I3 = 0 (1) Por la segunda ley de Kirchoff, la suma de los voltajes alrededor de la malla EBAFE: I1R1 + I3R3 - E1 = 0 ó 10I1 + 12I3 - 12 volts = 0 (2) La suma de los voltajes en la malla EBCDE:

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I1R1 + I2R2 - E2 = 0 ó 10I1+ 6I2 - 10 volts = 0 (3) Vemos que tenemos tres ecuaciones simultáneas con tres incógnitas (I1 , I2 e I3) . Resolviendo la ecuación (1) para I3 , y, sustituyendo en la ecuación (2)

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CIRCUITO RC

INTRODUCCION El circuito RC es un circuito que cuenta con infinidad de aplicaciones, para ello se establece en primer lugar el desarrollo matemático del mismo , acompañado de un argumento teórico y seguido de ejemplos para apoyar las ideas planteadas en este trabajo. El simple acto de cargar o descargar un capacitor, se puede encontrar una situación en que las corrientes, voltajes y potencias si cambian con el tiempo, los capacitores tienen muchas aplicaciones que utilizan su capacidad de almacenar carga y energía; por eso, entender lo que sucede cuando se cargan o se descargan es de gran importancia practica. Muchos circuitos eléctricos contienen resistores y capacitores. La carga/ descarga de un capacitor tiene muchas aplicaciones. Por ejemplo algunos automóviles vienen equipados con un elemento mediante el cual los limpiadores del parabrisas se utilizan de manera intermitente durante una llovizna ligera. En este modo de operación los limpiadores permanecen apagados durante un rato y luego se encienden brevemente. La duración del ciclo encendido/apagado es determinada por la constante de tiempo de una combinación resistor-capacitor. CIRCUITOS RC La figura ilustra un ejemplo de un circuito resistor-capacitor, o circuito RC. En la parte a del dibujo un interruptor completa el circuito en el punto A, de modo que la batería puede cargar las placas del capacitor. Cuando el interruptor esta cerrado, el capacitor no se carga de inmediato . En vez de lo anterior , la carga llega gradualmente a su valor de equilibrio de q= CVo, en donde Vo es la tensión de la batería.

CARGA DE UN CAPACITOR

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Si cargamos al capacitor de la figura siguiente al poner el interruptor Sen la posición a. ¡ Que corriente se crea en el circuito cerrado resultante?, aplicando el principio de conservación de energía tenemos:

En el tiempo dt una carga dq (=i dt) pasa a través de cualquier sección transversal del circuito. El trabajo ( = Є dq) efectuado por la fem debe ser igual a la energнa interna ( i2 Rdt) producida en el resistor durante el tiempo dt, mas el incremento dU en la cantidad de energía U (=q2/2C) que esta almacenada en el capacitor. La conservación de la energía da: Є dq = i2 Rdt + q2/2C Є dq = i2 Rdt + q/c dq Al dividir entre dt se tiene: Є dq / dt = i2 Rdt + q/c dq/dt Puesto que q es la carga en la placa superior, la i positiva significa dq/dt positiva. Con i = dq/dt, esta ecuación se convierte en : Є = i Rdt + q/c La ecuación se deduce tambien del teorema del circuito cerrado, comodebe ser puesto que el teorema del circuito cerrado se obtuvo a partir del principio de conservación de energía . Comenzando desde el punto xy rodeando al circuito en el sentido de las manecillas del reloj, experimenta un aumento en potencial, al pasar por la fuentge fem y una disminución al pasar por el resistor y el capacitor , o sea : Є -i R - q/c = 0 La cual es idéntica a la ecuación Є = i Rdt + q/c sustituimos primero por i por dq/dt, lo cual da: Є = R dq / dt + q/c Podemos reescribir esta ecuación así: dq / q - Є C = - dt / RC Si se integra este resultado para el caso en que q = 0 en t= 0, obtenemos: (despejando q), q= C Є ( 1 – e-t/RC) Se puede comprobar que esta función q (t) es realmente una solución de la ecuación Є = R dq / dt + q/c , sustituyendol en dicha ecuaciуn y viendo si reobtiene una identidad. Al derivar la ecuación q= C Є ( 1 – e-t/RC) con respecto al tiempo da: i = dq = Є e-t/RC dt R En las ecuaciones q= C Є ( 1 – e-t/RC) y i = dq = Є e-t/RC la cantidad RC tiene dt R las dimensiones de tiempo porque el exponente debe ser adimensional y se llama constantecapacitiva de tiempo τ C del circuito τ C = RC

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Es el tiempio en que ha aumentado la carga en el capacitor en un factor 1- e-1 (~63%) de su valor final C Є , Para demostrar esto ponemos t = τ C = RC en la ecuación q= C Є ( 1 – e-t/RC) para obtener: q= C Є ( 1 – e-1) = 0.63 C Є Grafica para el circuito

Corriente i y carga del capacitor q. La corriente inicial es Io y la carga inicial en el capacitor es cero. La corriente se aproxima asintóticamente a cero y la carga del capacitor tiende asintóticamente a su valor final Qf. Grafica para los valores Є= 10v, R= 2000 Ώ y C= 1 μ F

Esta figura en la parte a muestra que si un circuito se incluye una resistencia junto con un capacitor que esta siendo cargado, el aumento de carga en el capacitor hacia su valor límite se retrasa durante su tiempo caracterizado por la constante de tiempo RC. Si un resistor presente (RC=0), la carga llegaría inmediatamente hacia su valor limite. Tambien en la parte a como se indica por la diferencia de potencial Vc, la carga aumente con el tiempo durante el proceso de carga y Vc tienede la valor de la fem Є. El tiempo se mide en el momento en que el interruptores conecta en a para t= 0. En la parte b de la figura La diferencia de potencial en el resistor disminuye con el tiempo, tendiendo a 0 en tiempos posteriores poruqe la corriente cae a cero una vez que el capacitor esta totalmente cargado. Las curvas esta dibujadas para el caso Є= 10v, R= 2000 Ώ y C= 1 μ F. Los triangulos negros representan las constantes de tiempos sucesivas. CONSTANTE DE TIEMPO Después de un tiempo igual a RC, la corriente en el circuito R- C disminuye a 1/e ( cerca de 0.38) de su valor inicial. En este momento, la carga del capacitor ha alcanzado (1 – 1/e) = 0.632 de su valor final Qf= C Є . El producto RC es, pues una medida de que tan rápido se carga el capacitor. RC se llama constante de tiempo o tiempo de relajación del circuito y se representa con τ : τ = RC ( constante de tiempo para un circuito R – C). Cuando τ es pequeρa, el capacitor se carga rαpidamente; cuando es mas grande, la carga 76

lleva mas tiempo. Si la resistencia es pequeña,es mas facil que fluya corriente y el capacitor se carga en menor tiempo. Ejemplos. Carga de un capacitor en un circuito RC 1) Un capacitor descargado y una resistencia se conectan en serie con una bateria como se muestra en la figura siguiente. Si Є= 12v, C= 5 μ F y R= 8 x 10 5 Ώ, dterminese la constante de tiempo del circuito, la maxima carga en el capacitor, la maxima corriente en el circuito y la carga y la corriente cono funcion del tiempo.

Solucion: La constante de tiempo del circuito es τ C = RC = (8 x 10 5 Ώ) (5 x 10-6 F) = 4s. La Maxima carga en el cpacitor es Q= C Є = (5 x 10-6 F)(12V)= 60 μC. La maxima corriente en el circuito es I0 = ЄR = (12V) / (8x10 5 Ώ) = 15 μ A. Utilizando estos valores y las ecuaciones q= C Є ( 1 – e-t/RC) y i = dq = Є e-t/RC dt R se encuentra que: q(t) = 60 ( 1 – e-t/4) μC I (t) 15 e-t/4 μ A Las graficas de estas funciones son las siguientes:

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2) Un resistor R (=6.2M Ώ) y un capacitor C (=2.4 μ F) estan conectados en serie, y a traves de esta combinaciσn se conecta una bateria de 12 V de resistencia interna insignificacnte . A) ΏCuál es la constante capacitiva de tiempo de estecircuito? B) ¿Qué tiempo después de haber conectado la bateria, la diferencia de potencial en el capacitor es igual a 5.6 V? Solución: a)De la ecuación τ C = RC tenemos: τ C = RC = (6.2M Ώ) (2.4 x10-6 F) = 15 s b) La diferencia de potencial en el capacitor es de Vc = q/c, lo cual, de acuerdo con la ecuación q= C Є ( 1 – e-t/RC) puede escribirse Vc = q/c = Є ( 1 – e-t/RC) Al despejar t obtenemos (usando τ C = RC) t= - τ C ( 1 – Vc ) Є t = - (15s) ln (1 – 5.6 V ) 9.4 s 12v DESCARGA DE UN CAPACITOR Considerese el circuito de la siguiente figura que consta de un capacitor con una carga inicial Q, una resistencia y un interruptor. Cuando el interruptor está abierto (parte a), existe una diferencia de potencial Q / C a través del capacitor y una diferencia de potencial cero a traves de la resistencia ya que I = 0. Si el interruptor se cierra al tiempo t = 0, el capacitor comienza a descargarse a traves de la reisistencia. En algún tiempo durante ladescarga, la corriente en el circuito es I y la carga del capacitor es q (parte b) . De la segunda Ley de Kirchhoff, se ve que la caída de potencial a traves de la resistencia, IR, debe ser igual a la diferencia de potencial a través del capacitor, q / C: IR = q c

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Sin embargo, la corriente en el circuito debe ser igual a la rapidez de decrecimiento de la carga en el capacitor. Es decir, I = - dq/ dt, así la ecuación IR = q/c viene a dar : - R dq = q dt c dq = - 1 dt q RC Integrando esta expresión y utilizando el hecho de que q= Q para t = 0 se obtiene:

Diferenciando la última ecuación con respecto al tiempo se tiene la corriente como función del tiempo:

donde la corriente inicial Io = Q/RC. Por lo tanto, se ve que la carga del capacitor y la corriente decaen exponencialmente a una rapidez caracterizada porla constante de tiempo τ = RC. Gráfica para el circuito

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Corriente i y carga del capacitor q como funciones del tiempo para el circuito. La corriente Io y la carga inicial Qo: tanto i como q se acercan asintóticamente a cero. Ejemplos. Descarga de un capacitor en un circuito RC 1) Considerese el capacitor C descargandose a traves de la resistencia R como muestra la figura. a) Después de cuántas constantes de tiempo la carga en el capacitor será la cuarta parte de su valor inicial?

Solución: La carga en el capacitor varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación q(t) = Qe-t/RC donde q es la carga inicial en el capacitor. Para determinar el tiempo que tomaría la carga en caer hasta una cuarta parte de su valor inicial, se sustituye q 8t) = Q / 4 en esta expresión y se despeja para t: ¼ Q = Qe-t/RC o ¼ = e-t/RC Tomando logaritmos de ambos lados, se encuentra que : -ln4 = -t / RC o t= RCln4 = 1.39 RC b) La energía almacenada en el capacitor decrece con el tiempo cuando está descargando. ¿ Después de cuántas constantes de tiempo la energía almacenada se reduciría la cuarta parte de su valor inicial? Solución: Utilizando las ecuaciones se puede expresar la energía almacenada en el capacitor en cualquier tiempo : U = q2 = Q2 e-2t/RC = Uo e-2t/RC 2C 2C donde Uo es la energía inicial almacenada en el capacitor como en el inciso a), ahora considerese U = Uo /4 y despejes t: 1/4Uo = Uo e-2t/RC 80

¼ = e-2t/RC Nuevamente, tomando logaritmos de ambos lados y despejando t se obtiene: t = ½ RC ln4 = 0. 693 RC 2) Un capacitor C se descarga a través de un resistor R. a) ¿ Después de cuantas constantes de tiempo disminuye su carga a la mitad de su valor inicial? b) ¿ Después de cuántas constantes de tiempo, la energía almacenada disminuye su valor inicial? Solución: a) La carga en el capacitor varía de acuerdo con la ecuación q(t) = Qe-t/RC 1/2Q = Qe-t/RC -ln2 = -2/ τ C t = τ C ln2 / 2 = 0.35 La carga cae a la mitad de su valor inicial después de 0.69 constantes de tiempo. b) La energía del capacitor es U = q2 = Q2 e-2t/RC = Uo e-2t/RC 2C 2C 1/2Uo = Uo e-2t/RC -ln 2 = -2t/ τ C t = τ C ln2/2 = 0.35 τ C La energía almacenada cae a la mitad de su valor inicial después de transcurridas 0.35 constantes de tiempo. Esto sigue siendo así dependientemente de cuál haya sido la energía almacenada inicialmente. El tiempo ( 0.69 τ C) necesario para que la carga caiga a la mitad de su valor inicial es mayor que el tiempo (0.35 τ C) necesario para que la energía siga a la mitad de su valor inicial. CONCLUSIONES Los capacitores tienen muchas aplicaciones que utilizan su capacidad de almacenar carga y energía El acto de cargar o descargar un capacitor, se puede encontrar una situación en que las corrientes, voltajes y potencias si cambian con el tiempo. Cuando τ es pequeρa, el capacitor se carga rαpidamente; cuando es mas grande, la carga lleva mas tiempo. Si la resistencia es pequeña,es mas facil que fluya corriente y el capacitor se carga en menor tiempo. Cuando se carga un capacitor ,la corriente se aproxima asintóticamente a cero y la carga del capacitor tiende asintóticamente a su valor final Qf y el aumento de carga en el capacitor hacia su valor límite se retrasa durante su tiempo caracterizado por la constante de tiempo RC. Si un resistor presente (RC=0), la carga llegaría inmediatamente hacia su valor limite. Cuando se descarga un capacitor.la corriente Io y la carga inicial Qo: tanto i como q se acercan asintóticamente a cero.La carga en el capacitor varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación q(t) = Qe-t/RC. la caída de potencial a traves de la resistencia, IR, debe ser igual a la diferencia de potencial a través del capacitor, q / C entonce IR = q/c . Cuando el interruptor está abierto, existe una diferencia de potencial Q / C a través del capacitor y una diferencia de potencial cero a traves de la resistencia ya que I = 0. Si el interruptor se cierra al tiempo t = 0, el capacitor comienza a descargarse a traves de la reisistencia

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FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN CONDUCTOR Un conductor es un hilo o alambre por el que circula una corriente eléctrica. Una corriente eléctrica es un conjunto de cargas eléctricas en movimiento. Ya que un campo magnético ejerce una fuerza lateral sobre una carga en movimiento, es de esperar que la resultante de las fuerza sobre cada carga resulte en una fuerza lateral sobre un alambre que lleva corriente. CONDUCTOR RECTILÍNEO

La figura muestra un tramo de alambre de longitud que lleva una corriente y que está colocado en una campo magnético Para simplificar se ha orientado el vector densidad de corriente de tal manera que sea perpendicular a . La corriente en un conductor rectilineo es transportada por electrones lbres, siendo el número de estos electrones por unidad de volumen del alambre. La magnitud de la fuerza media que obra en uno de estos electrones está dada por;

por ser

y siendo

la velocidad de arraste:

. Por lo tanto,

La longitud del conductor contiene electrones libres, siendo el volumen de la sección de conductor de sección transversal que se está considerando. La fuerza total sobre los electrones libres en el conductor y, por consiguiente, en el conductor mismo, es: 82

Ya que

es la corriente en el conductor, se tiene:

Las cargas negativas que se mueven hacia la derecha en el conductor equivalen a cargas positivas moviéndose hacia la izquierda, esto es, en la dirección de la flecha verde. Para una de estas cargas positivas, la velocidad apuntaría hacia la izquierda y la fuerza sobre el conductor apunta hacia arriba saliendo del plano de la figura. Esta misma conclusión se deduce si se consideran los portadores de carga negativos reales para los cuales apunta hacia la derecha, pero tiene signo negativo. Así pues, midiendo la fuerza magnética lateral que obra sobre un conductor con corriente y colocado en un campo magnético, no es posible saber si los portadores de corriente son cargas negativas moviéndose en una dirección o cargas positivas que se mueven en dirección opuesta. La ecuación anterior es válida solamente si el conductor es perpendicular a posible expresar el caso más general en forma vectorial así:

siendo

. Es

un vector (recorrido) que apunta a lo largo del conductor en el sentido de la

corriente. Esta ecuación es equivalente a la relación dos puede tomarse como ecuación de definición de

y cualquiera de las

Obsérvese que (no representado en la figura) apunta hacia la izquierda y que la fuerza magnética

apunta hacia arriba saliendo del plano de la figura.

Esto concuerda con la conclusión a que se llegó al analizar las fuerzas que obran en los portadores de carga individuales

FUERZAS MAGNETICAS FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CORRIENTE RECTILÍNEA Una carga en movimiento en presencia de un imán experimenta una fuerza magnética Fm que desvía su trayectoria. Dado que la corriente eléctrica supone un movimiento continuado de cargas, un conductor por donde circula corriente sufrirá, por la acción de un campo magnético, el efecto conjunto de las fuerzas magnéticas que se ejercen sobre

83

las diferentes cargas móviles de su interior. Si la corriente es rectilínea y de longitud l,la expresión de la fuerza magnética toma la forma: Fm = I.B.L.sen φ

(11.6)

en donde I es la intensidad de corriente, B la intensidad de campo y φ el ángulo que forma la corriente con el vector campo. La anterior ecuación, que se conoce como ley de Laplace, se puede obtener experimentalmente, también puede deducirse de la expresión Fm = I.B.l. sen φ de la fuerza magnética sobre una carga móvil. Admitiendo que la corriente es estacionaria, esto es, de intensidad constante y considerando en tal circunstancia el movimiento de avance de las cargas como uniforme, se cumple la igualdad: q.v = I.L

(11.7)

pues en tal supuesto v = L/t e I = q/t; despejando la variable t en ambas ecuaciones e igualándolas, resulta L/v = q/I ecuación equivalente a la anterior. La dirección y el sentido de la fuerza magnética Fm se obtiene aplicando la regla de la mano izquierda, con el dedo pulgar representando la dirección de la fuerza magnética Fm,el índice el campo magnético B y el dedo corazón la corriente l. FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA ESPIRA RECTANGULAR Una espira con forma rectangular por la que circula una corriente cuando es situada en el interior de un campo magnético, como el producido por un imán de herradura, sufre un conjunto de acciones magnéticas que producen en ella un movimiento de giro o rotación, hasta situarla dispuesta paralelamente a la dirección del campo B (o dirección de las líneas de fuerza). La explicación de este fenómeno puede efectuarse aplicando la ley de Laplace a cada uno de los tramos rectilíneos de la espira. Supóngase que como se muestra en la figura adjunta, la espira puede girar en torno a un eje que es perpendicular a las líneas de fuerza. La espira rectangular está formada por dos pares de segmentos rectilíneos paralelos entre sí, un par horizontal AD y BC y otro vertical AB = DC, por los que circula la corriente I. Cuando se aplica la regla de la mano izquierda a los segmentos horizontales AD y BC se advierte que las fuerzas magnéticas correspondientes resultan verticales y opuestas de modo que no producen ningún efecto de movimiento. Las fuerzas sobre los segmentos verticales AB y DC son opuestas y paralelas y están contenidas en un plano horizontal. Constituyen por tanto un par de fuerzas, el cual da lugar a un movimiento de giro que hace que la espira se sitúe perpendicularmente a las líneas de fuerza. En tal situación también estas otras fuerzas actuantes se anulan mutuamente y el cuadro permanece en equilibrio. La expresión del momento del par de fuerzas que actúa sobre la espira es, de acuerdo con su definición: M = fuerza x braza = Fm.b.sen φ

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donde bes la dimensión horizontal de la espira y es el ángulo que forma la dirección de una cualquiera de las dos fuerzas del par con la línea que une sus respectivos puntos de aplicación. La aplicación de la ley de Laplace a uno cualquiera de los segmentos verticales de longitud a da lugar a la expresión: Fm = B.I.a.sen 90° = B.I.a pues B y la dirección de la corriente I son perpendiculares; la expresión del momento toma la forma: M = B.I.a.b.sen α = B.I.S.sen α

(11.8)

donde S = a . b es el área de la espira. Cuando la espira al girar se orienta paralelamente al campo, α se hace cero y el momento M resulta nulo, lo que explica que esta orientación sea la del equilibrio. GALVANÓMETRO DE CUADRO MÓVIL El galvanómetro de cuadro o bobina móvil se basa en el fenómeno anteriormente descrito. La expresión del momento M de la fuerza magnética aplicada a una bobina de N espiras resulta de multiplicar por el número de espiras el momento de una sola, es decir: M = N.B.I.S.sen α que indica que el momento M y la intensidad de corriente I son directamente proporcionales. En un galvanómetro de cuadro móvil una aguja cuyo extremo señala una escala graduada se mueve junto con una bobina, y un resorte en espiral se opone a cualquier movimiento de giro, manteniendo la aguja, en ausencia de corriente, en el cero de la escala. Si se hace pasar por la bobina una corriente eléctrica, el par de las fuerzas magnéticas deforman el resorte oponiéndose al par recuperador de éste. Cuando sus momentos respectivos se igualan, la aguja se detiene en una posición que estará tanto más desplazada del origen de la escala cuanto mayor sea la intensidad de corriente que circula por el galvanómetro. MOTOR ELÉCTRICO Aun cuando una bobina por la que circula una corriente eléctrica puede girar por la acción de un campo magnético, dicho giro es transitorio y acaba cuando el plano de la bobina se sitúa perpendicularmente al campo. Para conseguir un movimiento de rotación continuado es necesario que en cada media vuelta se invierta el sentido de la corriente que circula por la bobina, con lo que el nuevo par actuando en el sentido del movimiento provoca la siguiente media vuelta y así sucesivamente. Aun cuando en la posición de la bobina perpendicular a las líneas de fuerza el momento es nulo, dicha orientación es sobrepasada debido a la inercia de la bobina en movimiento, lo que permite que el nuevo par entre en acción. En un motor de corriente continua la bobina está arrollada sobre un cilindro formado por láminas de hierro; este conjunto constituye el rotor. El elemento conmutador 85

encargado de invertir en cada media vuelta el sentido de la corriente eléctrica que circula por la bobina, está formado por dos piezas semicilíndricas o delgas,aisladas eléctricamente entre sí, solidarias al rotor y en contacto con unas varillas de grafito o escobillas,cuya misión es mantener el paso de la corriente del generador a la bobina. Con frecuencia el campo magnético es producido por un electroimán alimentado también por corriente eléctrica. La corriente alterna, que es la empleada habitualmente para usos domésticos e industriales, se caracteriza porque invierte su sentido de modo alternativo a razón de 50 veces por segundo, lo cual hace innecesario el conmutador. Por tal motivo, los motores que funcionan con corriente alterna disponen de unos anillos colectores completos y no partidos en dos mitades aisladas como en los motores de corriente continua. Su velocidad de rotación está limitada, en este caso, por la frecuencia de la corriente que los alimenta. Ejemplo de fuerza magnética sobre una corriente eléctrica: Por un hilo conductor rectilíneo de 0,75 m de longitud circula una corriente de 20 A de intensidad; se coloca en el campo magnético producido por un imán de herradura, formando la corriente un ángulo de 30° con respecto a las líneas de fuerza del campo magnético. Si la intensidad del campo B es de 2.10³ T, determinar numéricamente la magnitud de la fuerza y con la ayuda de una figura su dirección y sentido. La ley de Laplace proporciona la expresión de la fuerza magnética que sufre una corriente eléctrica I rectilínea y de longitud L si está inmersa en un campo magnético B: Fm = I.B.L.sen φ siendo φ el ángulo que forma la corriente con el campo B . Sustituyendo en la expresión anterior se tiene: Fm = 20 A 2.10³.T.0,75 m sen 30 = 1,5.10 ² N La aplicación de la regla del tornillo proporciona la dirección y sentido de Fm, que es perpendicular a la corriente y al campo, y en este caso dirigida hacia abajo, según el esquema de la figura. ATRACCIONES Y REPULSIONES MAGNÉTICAS ENTRE CORRIENTES Las corrientes eléctricas en presencia de imanes sufren fuerzas magnéticas, pero también las corrientes eléctricas y no sólo los imanes producen campos magnéticos; de modo que dos corrientes eléctricas suficientemente próximas experimentarán entre sí fuerzas magnéticas de una forma parecida a lo que sucede con dos imanes. La experimentación con conductores dispuestos paralelamente pone de manifiesto que éstos se atraen cuando las corrientes respectivas tienen el mismo sentido y se repelen cuando sus sentidos de circulación son opuestos. Además, esta fuerza magnética entre corrientes paralelas es directamente proporcional a la longitud del conductor y al producto de las intensidades de corriente e inversamente proporcional a la distancia r que las separa, dependiendo además de las características del medio.

86

La explicación de tales resultados experimentales puede hacerse aplicando ordenadamente la ley de Laplace, Fm = I.B.L.sen φ,la expresión del campo magnético debido a una corriente rectilínea, B = μ .l/2.π.r y las relaciones entre las direcciones del campo B,la corriente I y la fuerza Fm resumidas en la regla de la mano izquierda. La corriente I1 crea a nivel de I2 un campo magnético de intensidad B1 igual a: B1 = μ .I1/2.π.r Al estar sometido al campo B1,la corriente I2 experimenta una fuerza magnética debida a I1 igual a: F12 = B1.I2.L ya que al ser B1 e I2 perpendiculares, sen φ = 1. Sustituyendo B1 por su valor resulta: F1 ® 2 = μ .I1,I2.L/2.π.r

(11.9)

Inversamente, la corriente I2crea al nivel de I1 un campo magnético: B2 = μ .I2./2.π.r por lo que la corriente I1experimenta una fuerza magnética debida a I2 e igual a: F1 ® 2 = B2.l1.I = μ .I1,I2.L/2.π.r

(11.10)

El estudio gráfico que se muestra en la figura anterior indica que tales fuerzas de igual magnitud tienen sentidos opuestos. Se trata, por tanto, de fuerzas de acción y reacción que definen la interacción magnética entre las corrientes y cuya magnitud depende de las intensidades de corriente, de la longitud y de la distancia en la forma indicada por los experimentos. Por otra parte, la aplicación de la regla de la mano izquierda explica su carácter atractivo o repulsivo en función del sentido igual u opuesto de las corrientes consideradas. LA DEFINICIÓN DE AMPERE INTERNACIONAL El hecho de que las fuerzas se sepan medir con facilidad y con precisión sugirió la posibilidad de definir el ampere como unidad fundamental recurriendo a experiencias electromagnéticas, en las cuales la fuerza magnética varía con la intensidad de corriente según una ley conocida. Tal es el caso de la interacción magnética entre corrientes paralelas. Considerando como medio el vacío con μ 0 = 4.π 10-7 y la distancia entre los hilos conductores de 1 m, la expresión de la fuerza magnética entre ellos se convierte en: F = 4.π.10-7.l2.L/2.π.1 = 2.10-7.l2.L Haciendo en la anterior ecuación I = 1 A y L = 1 m, resulta una fuerza F =2.10-7 N, lo cual permite definir el ampere como la intensidad de corriente que circulando por dos conductores rectilíneos de longitud infinita, sección circular y paralelos, separados entre 87

sí un metro en el vacío, producirá una fuerza magnética entre ellos de 2.10-7 N por cada metro de longitud de cada uno de los dos hilos. EL MAGNETISMO NATURAL EL MAGNETISMO DE LA MATERIA El hierro es el material magnético por excelencia, pues en contacto con un imán y, en general, cuando es sometido a la acción de un campo magnético,adquiere propiedades magnéticas, esto es, se imana o magnetiza. El tipo de materiales que como el hierro presentan un magnetismo fuerte reciben el nombre de sustancias ferromagnéticas. Los materiales que por el contrario poseen un magnetismo débil se denominan paramagnéticoso diamagnéticos según su comportamiento. Las sustancias ferromagnéticas se caracterizan porque poseen una permeabilidad magnética μ elevada, del orden de 10 ² a 106 veces la del vacío μ 0. En las sustancias paramagnéticas el valor de μ es ligeramente mayor que el del m0, mientras que en las diamagnéticas es ligeramente menor. Por tal motivo el magnetismo de este tipo de sustancias es inapreciable a simple vista. Junto con el hierro, el níquel,el cobalto y algunas aleaciones son sustancias ferromagnéticas. El estaño, el aluminio y el platino son ejemplos de materiales paramagnéticos, y el cobre, el oro, la plata y el cinc son diamagnéticos. A pesar de esta diferencia en su intensidad, el magnetismo es una propiedad presente en todo tipo de materiales, pues tiene su origen en los átomos y en sus componentes más elementales. EL ORIGEN DEL MAGNETISMO NATURAL El hecho de que los campos magnéticos producidos por los imanes fueran semejantes a los producidos por las corrientes eléctricas llevó a Ampère a explicar el magnetismo natural en términos de corrientes eléctricas. Según este físico francés, en el interior de los materiales existirían unas corrientes eléctricas microscópicas circulares de resistencia nula y, por tanto, de duración indefinida; cada una de estas corrientes produciría un campo magnético elemental y la suma de todos ellos explicaría las propiedades magnéticas de los materiales. Así, en los imanes las orientaciones de esas corrientes circulares serían todas paralelas y el efecto conjunto, sería máximo. En el resto,al estar tales corrientes orientadas al azar se compensarían mutuamente sus efectos magnéticos y darían lugar a un campo resultante prácticamente nulo. La imanación del hierro fue explicada por Ampère en la siguiente forma: en este tipo de materiales el campo magnético exterior podría orientar las corrientes elementales paralelamente al campo de modo que al desaparecer éste quedarían ordenadas como en un imán. De acuerdo con los conocimientos actuales sobre la composición de la materia, los electrones en los átomos se comportan efectivamente como pequeños anillos de corriente. Junto a su movimiento orbital en torno al núcleo, cada electrón efectúa una especie de rotación en torno a sí mismo denominada espín; ambos pueden contribuir al magnetismo de cada átomo y todos los átomos al magnetismo del material. En la época de Ampère se ignoraba la existencia del electrón; su hipótesis de las corrientes

88

circulares se adelantó en tres cuartos de siglo a la moderna teoría atómica,por lo que puede ser considerada como una genial anticipación científica. LOS CINTURONES DE RADIACIÓN DE VAN ALLEN La existencia del campo magnético terrestre ejerce un efecto protector de la vida sobre la Tierra. De no ser por él, el nivel de radiación procedente del espacio sería mucho más alto y el desarrollo y mantenimiento de la vida en la forma actualmente conocida probablemente no hubiera sido posible. A la radiación cósmica procedente de las explosiones nucleares que se producen continuamente en multitud de objetos celestes situados en el espacio exterior, se le suma la que proviene de la actividad de la corona solar. Un chorro de partículas cargadas. compuesto principalmente de protones y electrones, es proyectado desde el Sol hacia la superficie terrestre como si de una corriente de viento se tratara, por lo que se denomina viento solar. Al llegar a la zona de influencia del campo magnético terrestre (también llamada Magnetosfera) todas estas partículas cargadas que provienen de la radiación cósmica y del viento solar, sufren la acción desviadora de las fuerzas magnéticas. Estas se producen en una dirección perpendicular a la trayectoria de la partícula y a las líneas de fuerza del campo magnético terrestre y sitúan a una importante cantidad de protones y electrones en órbita en tomo a la Tierra como si se trataran de pequeños satélites. Sólo una pequeña fracción formada por aquellas partículas que inciden en la dirección de las líneas de fuerza, no experimenta fuerza magnética alguna y alcanza la superficie terrestre. Ese conjunto de partículas cargadas orbitando alrededor de la Tierra se concentra, a modo de cinturones, en ciertas regiones del espacio. Son los llamados cinturones de radiación de Van Allen. En ellos, la densidad de partículas cargadas moviéndose a gran velocidad es tan alta que en las expediciones espaciales el atravesarlos supone siempre un riesgo, tanto para los astronautas como para el instrumental de comunicación.

CAMPO MAGNÉTICO El campo magnético es una propiedad del espacio por la cual una carga eléctrica puntual de valor q que se desplaza a una velocidad , sufre los efectos de una fuerza perpendicular y proporcional a la velocidad, y a una propiedad del campo, llamada inducción magnética, en ese punto:

La existencia de un campo magnético se pone en evidencia por la propiedad localizada en el espacio de orientar un magnetómetro (laminilla de acero imantado que puede girar libremente). La aguja de una brújula, que pone en evidencia la existencia del campo magnético terrestre, puede ser considerada un magnetómetro. HISTORIA Si bien algunos efectos magnéticos han sido conocidos desde la antigüedad, como por ejemplo el poder de atracción que sobre el hierro ejerce la magnetita, no fue sino hasta 89

el siglo XIX cuando la relación entre la electricidad y el magnetismo quedó patente, pasando ambos campos de ser diferenciados a formar el cuerpo de lo que se conoce como electromagnetismo. Antes de 1820, el único magnetismo conocido era el del hierro. Esto cambió con un profesor de ciencias poco conocido de la Universidad de Copenhague, Dinamarca, Hans Christian Oersted. En 1820 Oersted preparó en su casa una demostración científica a sus amigos y estudiantes. Planeó demostrar el calentamiento de un hilo por un corriente eléctrica y también llevar a cabo demostraciones sobre el magnetismo, para lo cual dispuso de una aguja de compás montada sobre una peana de madera. Mientras llevaba a cabo su demostración eléctrica, Oersted notó para su sorpresa que cada vez que se conectaba la corriente eléctrica, se movía la aguja del compás. Se calló y finalizó las demostraciones, pero en los meses siguientes trabajó duro intentando explicarse el nuevo fenómeno.¡Pero no pudo! La aguja no era ni atraída ni repelida por ella. En vez de eso tendía a quedarse en ángulo recto. Hoy sabemos que esto es una prueba fehaciente de la relación intrínseca entre el campo magnético y el campo eléctrico plasmadas en la ecuaciones de Maxwell. Como ejemplo para ver la naturaleza un poco distinta del campo magnético basta considerar el intento de separar el polo de un imán. Aunque rompamos un imán por la mitad éste "reproduce" sus dos polos. Si ahora partimos estos cachos otra vez en dos, nuevamente tendremos cada cachito con dos polos norte y sur diferenciados. En magnetismo no existen los monopolos magnéticos. DETERMINACIÓN DEL CAMPO DE INDUCCIÓN MAGNÉTICA B El campo magnético para cargas que se mueven a velocidades pequeñas comparadas con velocidad de la luz, puede representarse por un campo vectorial. Considérese una carga eléctrica de prueba q0 en un punto P de una región del espacio moviéndose a una cierta velocidad arbitraria v respecto a un cierto observador que no detecte campo eléctrico. Si el obsevador detecta una deflexión de la trayectoria de la partícula entonces en esa región existe un campo magnético. El valor o intensidad de dicho campo magnético puede medirse mediante el llamado vector de inducción magnética B, a veces llamado simplemente "campo magnético", que estará relacionado con la fuerza F y la velocidad v medida por dicho observador en el punto P: Si se varía la dirección de v por P, sin cambiar su magnitud, se encuentra, en general, que la magnitud de F varía, si bien se conserva perpendicular a v . A partir de la observación de una pequeña carga eléctrica de prueba puede determinarse la dirección y módulo de dicho vector del siguiente modo: •

•

La dirección del "campo magnético" se define operacionalmente del siguiente modo. Para una cierta dirección y sentido de v, la fuerza F se anula. Se define esta dirección como la de B. Una vez encontrada esta dirección el módulo del "campo magnético" puede encontrarse fácilmente ya que es posible orientar a v de tal manera que la carga de prueba se desplace perpendicularmente a B. Se encuentra, entonces, que la F es máxima y se define la magnitud de B determinando el valor de esa fuerza máxima:

90

En consecuencia: Si una carga de prueba positiva q0 se dispara con una velocidad v por un punto P y si obra una fuerza lateral F sobre la carga que se mueve, hay una inducción magnética B en el punto P siendo B el vector que satisface la relación:

La magnitud de F, de acuerdo a las reglas del producto vectorial, está dada por la expresión:

Expresión en la que es el ángulo entre v y B. La figura muestra las relaciones entre los vectores.

Se observa que: (a) la fuerza magnética se anula cuando , (b) la fuerza magnética se anula si v es paralela o antiparalela a la dirección de B (en estos casos o bien y ) y (c) si v es perpendicular a B ( fuerza desviadora tiene su máximo valor dado por

) la

El hecho de que la fuerza magnética sea siempre perpendicular a la dirección del movimiento implica que el trabajo realizado por la misma sobre la carga, es cero. En efecto, para un elemento de longitud de la trayectoria de la partícula, el trabajo

91

es que vale cero por ser y perpendiculares. Así pues, un campo magnético estático no puede cambiar la energía cinética de una carga en movimiento. Si una partícula cargada se mueve a través de una región en la que coexisten un campo eléctrico y uno magnético la fuerza resultante está dada por:

Esta fórmula es conocida como Relación de Lorentz FUENTES DEL CAMPO MAGNÉTICO Un campo magnético tiene dos fuentes que lo originan. Una de ellas es una corriente eléctrica de convección, que da lugar a un campo magnético estático. Por otro lado una corriente de desplazamiento origina un campo magnético variante en el tiempo, incluso aunque aquella sea estacionaria. La relación entre el campo magnético y una corriente eléctrica está dada por la ley de Ampère. El caso más general, que incluye a la corriente de desplazamiento, lo da la ley de Ampère-Maxwell. DIFERENCIA ENTRE B Y H El nombre campo magnético se ha usado informalmente para dos tipos de campos vectoriales diferentes, que se denotan normalmente como y . El primero es el que técnicamente se denominó "campo magnético", y a se le denominó con el término secundario de "inducción magnética". Sin embargo, modernamente se considera que la inducción magnética es una entidad más básica o fundamental y tiende a ser llamado "campo magnético", excepto en algunos contextos donde es importante distinguir entre ambos1. La diferencia física entre

y

aparece sólo en presencia de materia.

El campo magnético generado por una única carga en movimiento (no por una corriente eléctrica) se calcula a partir de la siguiente expresión:

Donde . Esta última expresión define un campo vectorial solenoidal, para distribuciones de cargas en movimiento la expresión es diferente, pero puede probarse que el campo magnético sigue siendo un campo solenoidal.

92

PROPIEDADES DEL CAMPO MAGNÉTICO La inexistencia de cargas magnéticas lleva a que el campo magnético es un campo solenoidal lo que lleva a que localmente puede ser derivado de un potencial vector , es decir:

•

INEXISTENCIA DE CARGAS MAGNÉTICAS Cabe destacar que, a diferencia del campo eléctrico, en el campo magnético no existen monopolos magnéticos, sólo dipolos magnéticos, lo que significa que las líneas de campo magnético son cerradas, esto es, el número neto de líneas de campo que entran en una superficie es igual al número de líneas de campo que salen de la misma superficie. Un claro ejemplo de esta propiedad viene representado por las líneas de campo de un imán, donde se puede ver que el mismo número de líneas de campo que salen del polo norte vuelve a entrar por el polo sur, desde donde vuelven por el interior del imán hasta el norte.

Como se puede ver en el dibujo, independientemente de que la carga en movimiento sea positiva o negativa, en el punto A nunca aparece campo magnético; sin embargo, en los puntos B y C el campo magnético invierte su sentido dependiendo de si la carga es positiva o negativa. El sentido del campo magnético viene dado por la regla de la mano derecha, siendo las pautas a seguir las siguientes: •

En primer lugar se imagina un vector qv, en la misma dirección de la trayectoria de la carga en movimiento. El sentido de este vector depende del signo de la carga, esto 93

es, si la carga es positiva y se mueve hacia la derecha, el vector +qv estará orientado hacia la derecha. No obstante, si la carga es negativa y se mueve hacia la derecha, el vector es -qv va hacia la izquierda. •

En segundo lugar, se imagina un vector Ur que va orientado desde la carga hasta el punto en el que se quiere calcular el campo magnético.

•

A continuación, vamos señalando con los cuatro dedos de la mano derecha (índice, medio, anular y meñique), desde el primer vector qv hasta el segundo vector Ur, por el camino más corto o, lo que es lo mismo, el camino que forme el ángulo menor entre los dos vectores. El pulgar extendido indicará en ese punto el sentido del campo magnético.

UNIDADES

La unidad de B que se deduce de la ecuación se le ha dado el nombre de tesla.

es

. A esta unidad

La unidad del campo magnético en el Sistema Internacional de Unidades es el tesla, pese a que a menudo se emplea el gauss. Sin embargo, la conversión es directa:

1 Tesla equivale a 1 V·s·m-2, o lo que es lo mismo, 1 kg·s-2·A-1. (Véase unidad derivada del SI).

DIPOLO MAGNÉTICO

94

Si r“<
En el caso que el circuito es plano se tendrá que:

donde S es el área de la superficie plana cuyo borde es C. CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UN DIPOLO Se define el potencial magnético dipolar generado por este circuito como:

y el campo magnético dipolar será:

DIPOLO ELÉCTRICO

95

El potencial en el punto P distante r1 de la carga – Q y r2 de la carga +Q es

Expresamos r1 y r2 en función de r y q , que es la posición del punto P expresada en coordenadas polares.

Teniendo en cuenta que d es pequeño frente a r, podemos obtener una buena aproximación empleando el desarrollo en serie

para expresar de forma aproximada los cocientes r/r1 y r/r2.

Despreciando los términos de orden superior a d2/r2

El potencial se expresa en función de r y θ

Es interesante destacar, que el potencial debido a un dipolo disminuye con la inversa del cuadrado de la distancia r, mientras que para una carga puntual disminuye con la inversa de r.

96

Componentes del campo eléctrico Las componentes de E en coordenadas polares se pueden calcular a partir del gradiente de V expresado en coordenadas polares

Las componentes del campo eléctrico E son

La intensidad del campo eléctrico disminuye como el cubo de la distancia r.

Definimos momento dipolar al vector p, cuyo módulo es p=Qd, el producto de la carga Q por la separación d, y que se dirige desde la carga negativa a la positiva.

Actividades Se introduce •

El módulo de p (en unidades arbitrarias), en el control de selección titulado momento dipolar

Se pulsa el botón titulado Nuevo. Observar las líneas de fuerza (en color blanco) y las equipotenciales (en color azul claro) de un dipolo. Las equipotenciales se han trazado de modo que su separación es de 10 unidades arbitrarias de energía potencial. Las líneas de fuerza y equipotenciales son similares a las obtenidas en el applet del sistema de dos cargas, cuando las cargas son iguales y opuestas. 97

LEY DE AMPÈRE

Una corriente eléctrica produce un campo magnético, siguiendo la Ley de Ampère. En física del magnetismo, la ley de Ampère relaciona un campo magnético estático con la causa que la produce, es decir, una corriente eléctrica estacionaria. Es análoga a ley de Gauss. LEY DE AMPÈRE ORIGINAL FORMA INTEGRAL Dada una superficie abierta S por la que atraviesa una corriente eléctrica I, y dada la curva C, curva contorno de la superficie S, la forma original de la ley de Ampère para medios materiales es:

donde es el campo magnético, es la corriente encerrada en la curva C, Y se lee: LA CIRCULACION DEL CAMPO a lo largo de la curva C es igual al flujo de la densidad de corriente sobre la superficie abierta S, de la cual C es el contorno. En presencia de un material magnético en el medio, aparecen campos de magnetización, propios del material, análogamente a los campos de polarización que aparecen en el caso electrostático en presencia de un material dieléctrico en un campo eléctrico. DEFINICIÓN:

98

donde es la densidad de flujo magnético, es la permeabilidad magnética del vacío, es la permeabilidad magnética del medio material, Luego, es la permeabilidad magnética total. es el vector magnetización del material debido al campo magnético. es la suceptibilidad magnética del material. Un caso particular de interés es cuando el medio es el vacío (

o sea,

):

FORMA DIFERENCIAL A partir del teorema de Stokes, esta ley también se puede expresar de forma diferencial:

donde

es la densidad de corriente que atraviesa el conductor.

LEY DE AMPÈRE-MAXWELL La ley de Ampère-Maxwell o ley de Ampère generalizada es la misma ley corregida por James Clerk Maxwell debido a la corriente de desplazamiento y creó una versión generalizada de la ley, incorporándola a las ecuaciones de Maxwell. Este término introducido por Maxwell del campo eléctrico en la superficie. FORMA INTEGRAL

siendo el último término la corriente de desplazamiento. FORMA DIFERENCIAL Esta ley también se puede expresar de forma diferencial, para el vacío:

o para medios materiales:

99

EJEMPLOS DE APLICACIÓN HILO CONDUCTOR INFINITO Campo magnético creado por un hilo conductor de longitud infinita por el que circula una corriente , en el vacío. El objetivo es determinar el valor de los campos

,

y

en todo el espacio.

Escribimos la Ley de Ampère:

. • •

Utilizamos coordenadas cilíndricas por las características de simetría del sistema. Definimos una curva alrededor del conductor. Es conveniente tomar una circunferencia de radio ρ.

• •

El diferencial de longitud de la curva será entonces Para este caso, la corriente encerrada por la curva es la corriente del conductor:

. •

Como el sistema posee simetría radial (Es indistinguible un punto cualquiera de la circunferencia de otro que esté en otro ángulo sobre la misma curva), podemos decir que el campo y el radio ρ son independientes de la coordenada . Por lo tanto pueden salir fuera de la integral. Integramos para toda la circunsferencia, desde 0 a 2π.

. •

La integral que queda no es más que el perímetro de la circumferencia:

.

•

Despejamos y nos queda en función de ρ. La dirección es en , por la regla de la mano derecha:

100

•

Como estamos trabajando en el vacío, μ = μ0, por lo tanto:

•

Y por la misma razón, en ausencia de materiales magnéticos:

FORMA DEL ÁNGULO SÓLIDO Si c es un lazo cerrado por el cual circula una corriente i, y Ω es el ángulo sólido formado por el circuito y el punto en el que se calcula el campo, entonces la intesidad de campo magnético está dada por:

LEY DE FARADAY La Ley de inducción electromagnética de Faraday (o simplemente Ley de Faraday) se basa en los experimentos que Michael Faraday realizó en 1831 y establece que el voltaje inducido en un circuito cerrado es directamente proporcional a la rapidez con que cambia en el tiempo el flujo magnético que atraviesa una superficie cualquiera con el circuito como borde:

donde es el campo eléctrico, es el elemento infinitesimal del contorno C, es la densidad de campo magnético y S es una superficie arbitraria, cuyo borde es C. Las direcciones del contorno C y de

están dadas por la regla de la mano derecha.

La permutación de la integral de superficie y la derivada temporal se puede hacer siempre y cuando la superficie de integración no cambie con el tiempo. Por medio del teorema de Stokes puede obtenerse una forma diferencial de esta ley:

Ésta es una de las ecuaciones de Maxwell, las cuales conforman las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo. La ley de Faraday, junto con las otras leyes del electromagnetismo, fue incorporada en las ecuaciones de Maxwell, unificando así al electromagnetismo.

101

En el caso de un inductor con N vueltas de alambre, la fórmula anterior se transforma en:

donde e es la fuerza electromotriz inducida y dΦ/dt es la tasa de variación temporal del flujo magnético Φ. La dirección de la fuerza electromotriz (el signo negativo en la fórmula) se debe a la ley de Lenz.

LEY DE LENZ Los estudios sobre inducción electromagnética, realizados por Michael Faraday nos indican que en un conductor que se mueva cortando las líneas de fuerza de un campo magnético se produciría una fuerza electromotríz (FEM) inducida y si se tratase de un circuito cerrado se produciría una corriente inducida. Lo mismo sucedería si el flujo magnético que atraviesa al conductor es variable. La Ley de Lenz nos dice que las fuerzas electromotrices o las corrientes inducidas serán de un sentido tal que se opongan a la variación del flujo magnético que las produjeron. Esta ley es una consecuencia del principio de conservación de la energía. La polaridad de una FEM inducida es tal, que tiende a producir una corriente, cuyo campo magnético se opone siempre a las variaciones del campo existente producido por la corriente original. El flujo de un campo magnético uniforme a través de un circuito plano viene dado por:

donde: Φ = Flujo magnético. La unidad en el S.I. es el weber (Wb). B = Inducción magnética. La unidad en el S.I. es el tesla (T). S = Superficie del conductor. α = Ángulo que forman el conductor y la dirección del campo. Si el conductor está en movimiento el valor del flujo será:

En este caso la Ley de Faraday afirma que la FEM inducida en cada instante tiene por valor:

El signo (-) de la expresión anterior indica que la FEM inducida se opone a la variación del flujo que la produce. Este signo corresponde a la ley de Lenz.

102

Esta ley se llama así en honor del físico germano-báltico Heinrich Lenz, quien la formuló en el año 1834.

103

104

105

106

PREGUNTAS SOBRE CAMPO ELÉCTRICO 1.-Explique que es un campo de fuerzas: R = Es aquella región del espacio en donde se dejan sentir los efectos de fuerzas a distancias.

2.-¿Cómo medimos la influencia gravitatoria de un cuerpo? R = La fuerza gravitatoria sobre el espacio que rodea a la tierra se hace visible cuando en cualquiera de sus puntos se sitúa, a modo de detector, un cuerpo de prueba y se mide su peso, es decir, la fuerza con la que la tierra lo atrae.

3.-¿De qué otro nombre se le considera a esta influencia gravitatoria? R = Campo Gravitatorio Terrestre.

4.-¿Qué región representa un campo eléctrico a una carga aislada o conjunto de cargas? R = Es aquella región del espacio donde se dejan sentir sus efectos. 107

5.-¿Cómo definimos el vector intensidad del campo eléctrico? R = La fuerza eléctrica en un punto cualquiera del campo, se ejerce sobre la carga unidad positiva tomada como elemento de comparación, recibe el nombre de campo eléctrico y se representa por la letra “E”

6.-¿Cuál es su expresión matemática (CE)? R = E = KQ q/R2 = KQ/R2

7.-¿Por qué es similar la fuerza eléctrica a la fuerza gravitatoria? R = La estructura de la fuerza electrica y la fuerza gravitatoria es similar (F= q.E F=mg por lo tanto mg=qE).

8.-¿Cuáles son las Unidades (CE) en el SI? R = Newton (N)/Coulom (C).

CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A UNA BARRA CARGADA.Una barra de longitud ℓ tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud λ y una carga total Q. Se calculará el campo eléctrico en un punto P a lo largo del eje de la barra a una distancia d de uno de los extremos. Solución: Para esté cálculo se considera que la barra esta colocada a lo largo del eje x. La razón de ∆q, la carga en el segmento ∆x, la longitud del mismo segmento, es igual a la razón de carga total a la longitud de la barra; esto es, ∆q/∆x = Q/ℓ = λ. Por lo tanto la carga ∆q= λ ∆x. El campo ∆E, debido al segmento, en el punto P se encuentra en dirección x negativa y su magnitud se expresa como:

Observe que cada elemento produce un campo en la dirección x negativa y, por tanto, en este caso el problema de sumar sus contribuciones es particularmente sencillo. El campo total en p, debido a todos los segmentos de la barra, se obtiene la ecuación.

En donde los limites de la integral se extienden desde uno de los extremos de la barra (x=d) hasta esotro extremo (x= ℓ + d). Como k y λ son constantes pueden extraerse de la integral; así se encuentra: 108

A partir de este resultado de ve que si el punto p está lejos de la barra (d»ℓ), entonces puede despreciarse la ℓ del denominador E ≈ k λℓ/d2 (en donde se ha aplicado al echo de que la carga total Q= λ ℓ). Esta es precisamente la forma en la que debe esperarse para una carga puntual; por lo tanto, a distancias grandes de la barra, la distribución de carga aparece como una carga puntuadle magnitud Q. A menudo, el uso de la técnica de calcular limites (d→∞) resulta un buen método para verifica una formula teórica. Campo eléctrico en p debido a una barra cargada uniformemente que está a lo largo del eje x. El campo en p debido al segmento de carga ∆q es k∆q/x2. El campo total de p es la suma vectorial de todos los segmentos de la barra.

CAMPO ELÉCTRICO GENERADO POR UN ANILLO DE DENSIDAD DE CARGA UNIFORME SOBRE LOS PUNTOS DE SU EJE

La figura muestra un anillo de carga q y radio a. Considérese un elemento diferencial del anillo de longitud ds, localizado en la parte superior. Este elemento contiene una carga dada por:

109

siendo la circunferencia del anillo. Este elemento produce un campo eléctrico diferencial dE en el punto P. El campo resultante E se encuentra integrando los efectos de todos los elementos que constituyen el anillo. Por simetría, este campo resultante debe estar en el eje del anillo. Así pues, solamente la componente dE paralela a este eje contribuye al resultado final. La componente perpendicular al eje se anula por una componente igual y opuesta que produce el elemento de carga situado en el lado opuesto del anillo. Así la integral general de vector integral escalar

se transforma en una

.

La cantidad dE será:

Según la figura, se tiene:

Como para un punto P, x tiene el mismo valor para todos los elementos de carga y, por tanto, no es una variable, se obtiene:

La integral es simplemente la circunferencia del anillo (2πa) y, en consecuencia, se obtiene:

Esta expresión de E se reduce E=0 para x =0 ya que, en tal caso, cada componente perpendicular al eje se anula, como antes, con una componente igual y opuesta que produce el elemento de carga situado en el lado opuesto del anillo y la componente paralela al eje vale cero. Para x >> a, se puede omitir a en el denominador de esta ecuación, dando:

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Este es un resultado esperado porque a distancias suficientemente grandes el anillo se comporta como una carga punto q.

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DIPOLO ELÉCTRICO

El potencial en el punto P distante r1 de la carga – Q y r2 de la carga +Q es

Expresamos r1 y r2 en función de r y q , que es la posición del punto P expresada en coordenadas polares.

Teniendo en cuenta que d es pequeño frente a r, podemos obtener una buena aproximación empleando el desarrollo en serie

para expresar de forma aproximada los cocientes r/r1 y r/r2.

Despreciando los términos de orden superior a d2/r2

El potencial se expresa en función de r y θ

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Es interesante destacar, que el potencial debido a un dipolo disminuye con la inversa del cuadrado de la distancia r, mientras que para una carga puntual disminuye con la inversa de r.

Componentes del campo eléctrico Las componentes de E en coordenadas polares se pueden calcular a partir del gradiente de V expresado en coordenadas polares

r.

Las líneas de fuerza y equipotenciales son similares a las obtenidas en el applet del sistema de dos cargas, cuando las cargas son iguales y opuestas.

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DENSIDAD DE CARGA LINEAL: Se usa en cuerpos lineales como, por ejemplo, hilos.

donde Q es la carga del cuerpo y L es la longitud. En el Sistema Internacional de Unidades se mide en C/m (culombios por metro). DENSIDAD DE CARGA SUPERFICIAL: Se emplea para superficies, por ejemplo una plancha metálica delgada como el papel de aluminio.

donde Q es la carga del cuerpo y S es la superficie. En el Sistema Internacional de Unidades se mide en C/m2 (culombios por metro cuadrado). DENSIDAD DE CARGA VOLUMÉTRICA: Se emplea para cuerpos que tienen volumen.

donde Q es la carga del cuerpo y V el volumen. En el Sistema Internacional de Unidades se mide en C/m3 (culombios por metro cúbico). El concepto de campo electrostático facilita la descripción, en términos físicos, de la influencia que una o más cargas eléctricas ejercen sobre el espacio que les rodea. Para una distribución superficial continua de carga puede ser calculado cómo se indica. Caso general

Campo eléctrico producido por un elemento dS de una distribución superficial continua de carga. Si se dispone de una distribución superficial continua de carga, el campo producido en un punto cualquiera puede calcularse dividiendo la carga en elementos infinitesimales dq. Entonces, se calcula el campo dE que produce cada elemento en el punto en cuestión, tratándolos como si fueran cargas. La magnitud de dE está dada por:

El campo resultante en el punto se encuentra, entonces, sumando; esto es, integrando; las contribuciones debidas a todos los elementos de carga, o sea,

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Si la distribución continua de carga que se considera tiene una densidad superficial de carga Por lo tanto,

, entonces

.

Campo eléctrico generado por un plano infinito de densidad de carga uniforme

La figura muestra una porción de un plano infinito cuya densidad superficial de carga (esto es, la carga por unidad de superficie) tiene valor constante . Sea dS un elemento diferencial de superficie. La carga contenida en este elemento será magnitud del campo

debida al elemto de carga

y la

será:

siendo y las proyecciones del radio vector R sobre el plano XY y el eje Z respectivamente. Ahora bien, al estar utilizando coordenadas cilíndricas para el cálculo, se puede observar que cada elemento diferencial de superficie dS, por simetría, posee una contraparte diametralmente opuesta. Esto hace que las componentes radiales de dE se anulen. Así, las componentes sobre Z son las únicas que contribuyen al resultado final.

Siendo

y

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se obtiene:

Con lo cual:

En consecuencia:

El anterior, es un resultado físico muy notable, ya que, como se ve, la magnitud del campo es independiente de las distancia. Campo eléctrico generado por dos placas infinitas y paralelas

Campo eléctrico en el exterior de las placas El campo eléctrico generado en el exterior de las placas es nulo en cualquier punto. Como las placas son infinitas, los campos eléctricos que crean no dependen de la distancia que hay entre la placa y el punto en el cual se mide el valor del campo eléctrico; además, como las placas están cargadas de forma contraria (una es positiva y otra negativa), los campos se restan anulándose entre sí.

Campo eléctrico entre las dos placas El campo eléctrico entre las dos placas es la suma vectorial de los dos campos eléctricos.

Campo eléctrico generado por un disco cargado de grosor despreciable

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La figura muestra un disco cargado cuya densidad superficial de carga (esto es, la carga por unidad de superficie) tiene un valor constante . Sea dS un elemento diferencial de superficie en forma de anillo. La carga contenida en este elemento será y, sabiendo que el campo eléctrico generado por un anillo cargado sobre puntos de su eje está dado por

siendo el radio del anillo y la distancia entre el centro del anillo y el punto considerado, la magnitud del campo

Ahora bien,

debida al elemento de carga

será:

y, en consecuencia se cumplirá:

Con lo cual:

O sea:

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Esta expresión también puede ser deducida, utilizando coordenadas cilíndricas, mediante un razonamiento similar al utilizado en la sección Campo eléctrico generado por un plano infinito de densidad de carga uniforme. La única diferencia es que en lugar de integrar entre y , se integra entre y , con lo cual se llega a la misma expresión. Campo eléctrico generado por una esfera hueca y de espesor despreciable Campo eléctrico en el exterior de la corteza esférica Para calcular el campo en el exterior a la esfera se considera que toda la carga Q distribuida en la superficie (que coincide, en este caso, con la carga total) se encuentra comprimida en el centro de la esfera, conclusión a la que se llega tras aplicar la ley de Gauss, de modo que el campo creado es equivalente al generado por una única carga puntual ubicada en el centro de la esfera: donde r es la distancia desde el centro de la esfera hasta el punto donde se está calculando el campo eléctrico. Campo eléctrico en el interior de la esfera El campo eléctrico en el interior de una esfera hueca es siempre nulo, conclusión a la que se llega tras aplicar la ley de Gauss:

FLUJO PARA UNA SUPERFICIE CILÍNDRICA COLOCADA EN UN CAMPO UNIFORME Supóngase una superficie cilíndrica colocada dentro de un campo uniforme muestra la figura:

tal como

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El flujo puede escribirse como la suma de tres términos, (a) una integral en la tapa izquierda del cilindro, (b) una integral en la superficie cilíndrica y (c) una integral en la tapa derecha:

Para la tapa izquierda, el ángulo , para todos los puntos, es de constante y los vectores son todos paralelos

,

tiene un valor

Entonces:

siendo

el área de la tapa. Análogamente, para la tapa derecha:

Finalmente, para la superficie cilíndrica:

Por consiguiente:

FLUJO PARA UNA SUPERFICIE ESFÉRICA CON UNA CARGA PUNTUAL EN SU INTERIOR

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Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual q en su centro tal como muestra la figura. El campo eléctrico es paralelo al vector superficie campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica.

, y el

En consecuencia:

Forma integral de la ley de Gauss Su forma integral utilizada en el caso de una distribución extensa de carga puede escribirse de la manera siguiente:

donde Φ es el flujo eléctrico, es el campo eléctrico, es un elemento diferencial del área A sobre la cual se realiza la integral, QA es la carga total encerrada dentro del área A, ρ es la densidad de carga en un punto de V y εo es la permitividad eléctrica del vacío. Forma diferencial de la ley de Gauss En su forma diferencial, la ecuación se convierte en:

donde es el campo de desplazamiento eléctrico (en C/m²), y ρ es la densidad de carga eléctrica. Esta forma diferencial se obtiene a partir del teorema de Gauss de la divergencia. Para materiales lineales, la ecuación es:

donde ε es la permitividad eléctrica.

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PROBLEMA DE CLASE DEL 20 DE SEPTIEMBRE DE 2007 )CAPACITANCIA) Las placas paralelas de un capacitor de aire estan separadas 1.0 mm. ¿Cual debe de ser el area de las placas para que la capacitancia sea de 1.0 F? Partimos de la relacion: C=( εoA)/d Donde: C= Capacitancia. Unidades=Faradios (F) A=Area de las placas del capacitor. Unidades: Metros cuadrados, M2 d= Distancia de separacion entre las placas del capacitor.Unidades: Metros, M εo= Constante de permitividad electrica del medio (aire en este caso). Unidades: c2/(NM2) Despejando A, dado que queremos conocer el area del capacitor que hace possible lograr una capacitancia de 1 F. A=(Cd)/ εo Sustituyendo los valores dados inicialmente y de manera directa, el resultado total es de: A=1.1x108 M2 Hacemos operaciones con unidades: A=(Cd)/ εo (1) A=F M/ (C2/(NM2)) Sabemos que: (2) F=q/V=Carga/Voltaje=c/V Sustituimos (2) en (1): (3) A= cM NM2 / c2V (4) A=c NM3/ c2V El volaje esta dado por la expression: (5) V = J/c=Joules/Coulombs Joules esta dado por:

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(6) J= N M Sustituyendo (6) en (5): (7) V=NM/c Sustituyendo (7) en (4): (8) A=c NM3/ c2 NM/c Por la ley del inverso multiplicativo (la denominada “ley de la toritilla”): (9) A= c2 NM3/ c2 NM Finalmente eliminamos N y c2 (10) A= M2 Otro procedimiento, es considerando que εo lo podemos expresar en unidades de F/M(Faradios/metros) y la expression (1) queda de la siguiente forma: (11) A=F M/( F/M) Lo cual nos queda de la siguiente forma: (12) A= M2 Nota: εo= 9x10-12 c2/(NM2) εo= 9x10-12 F/M

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PROBLEMAS SOBRE FLUJO DEL CAMPO ELÉCTRICO

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EXPERIMENTOS Experimento 1. CAIDA DE VOLTAJE EN LOS ALAMBRES DE UNA CASA. La corriente electrica que se disipa corre por los cables y se convierte en calor. Experimento 2. FRIENDO UNA SALCHICHA A 110V. La salchicha produce vapor, producto de la corriente elelectrica. Experimento 3. CIRCUITO RECTIFICADOR. Se transforma la corriente alterna en corriente directa, para cerrar el circuito y que la corriente fluya. Experimento 4. EFECTO BATERÍA (ÁCIDO SULFÚRICO). Cobre/Cobre .01 Cobre/Hiero .57 Cobre/Zin .99 Cobre/plomo .51 Fierro/Plomo .05 Experimento 5. GALVANOPLASTIA (sulfato de cobre) Carbón (-) Cobre (+) Iones de cobre (-) más Carbón (+)… se atraen Experimento 6. BOTELLAS DE LEYDEN EN UN GENERADOR TOPLER-HOLTZ Generador electrostático de condensaciones almacenan y convierten la energía. Experimento 7. CONDENSADOR EXPLOSIVO. Se cargan cuatro condensadores con 400 vl. Almacenan corriente eléctrica Experimento 8. CONDENSADOR DE PLACAS PARALELAS. Electroscopio. Como cambia el voltaje de un condensador cargado dependiendo de la distancia entre las placas, a mayor distancia mayor voltaje.

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Experimento 9. EL PARA RAYOS. Un lado del generador se conecta a una bola metálica y al mismo lado del generador se conecta una varilla puntiaguda (que hará las veces de para rayos), Cuando se enciende el generador y la varilla puntiaguda esta abajo el generador produce chispas grandes, pero al subir el para rayos las chispas cesan. Esto se debe a que entre mas grande sea la superficie mayor será el campo eléctrico (la chispa) y entre menor sea el tamaño de la superficie menor será el campo eléctrico.

Experimento 10. PRECIPITADOTES DE UNO. Se usan precipitadotes electrostáticas para reducir las cantidades de humo que se expiden en una chimenea. Estos se utilizan para atraer las moléculas de humo por medio de cargas eléctricas y así la contaminación será menor. Experimento 11. RESISTORES EN SERIE Y EN PARALELO.. Cuando se conecta un alambre a una corriente este dejara pasar sierta cantidad de energía, si conectamos 2 alambres en serie estos dejaran fluir la mitad de la energia que pasa por un solo alambre, pero si conectamos 2 alambres en paralelo por estos fluira el doble de energía que por un solo alambre.

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