Piramides.docx

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA

CALCULO I TRABAJO DE INVESTIGACION Y ANALICIS

DOCENTE: Carlos Fernández Mariño AUXILIAR: Alberth Chuquichambi Ramos ESTUDIANTE: Eddy Abraham Quispe Valencia GRUPO: “B” FECHA DE ENTREGA: 08 – MARZO - 2018

EL MISTERIO DE PI Y LAS PIRÁMIDES DE EGIPTO Mucho antes de que se pusieran de moda las teorías sobre la construcción de las pirámides de Egipto que hablan de alienígenas o habitantes de la Atlántida, se pensaba que éstas eran obra de Dios. Los primeros cristianos y musulmanes creían que las pirámides eran refugios construídos para sobrevivir al Diluvio Universal.

Ya en el siglo XIX, algunos descubrimentos sugirieron que la construcción de las pirámides estuvo influenciada por alguna entidad superior. Estas teorías llevaron a la creación de nuevas pseudociencias: “matemáticas de las pirámides“, “numerología” y de tipo astrológico que relacionan la constelación de Orion con las pirámidez de Gizah, entre otras. Desde entonces, muchos han creído que las misteriosas conexiones numéricas encontradas en estas obras magnas forman parte de un gran plan. La más famosa de estas conexiones numéricas es la omnipresencia del misterioso número Pi en el monumento más grande jamás construído por el hombre en piedra, la pirámide de Keops.

¿Qué es Pi, y cómo puede encontrarse en la Gran Pirámide? Pi, en si mismo, no es ninguna invención mágica o misteriosa. Se trata simplemente del valor por el que tenemos que multiplicar el diámetro de un círculo para obtener su circunferencia. El valor aproximado de Pi (3,141592…) se puede obtener a partir de experimentos simples. Cogemos por ejemplo una rueda de un metro de diámetro, la hacemos girar hasta que toda su superficie haya tocado el suelo, y no es ningún secreto que el recorrido que habrá hecho la rueda estará alrededor de los 3,14 metros. O igual de sencillo, podemos rodear la superficie de la rueda con una cuerda, y medir su longitud. Nos dará 3,14 metros igualmente. Pi es un número irracional con infinitos decimales, y puede ser calculado hasta un mínimo de dos decimales, si tenemos el suficiente conocimiento teórico de geometría – cosa que los antiguos egipcios nunca tuvieron– Es imposible conseguir con el experimento de la rueda un resultado más preciso de Pi que “3.14 +/- 0.05”, así que si encontramos un valor mucho más preciso en las dimensiones de un edificio nos encontramos con una irrefutable prueba de un conocimiento matemático muy avanzado.

Los antiguos egipcios simplemente usaban 3 como multiplicador, y esta medida les era suficiente para la mayoría de las aplicaciones cotidianas. Mucho más adelante, centenares de años después de la construcción de las grandes pirámides, fue cuando comenzaron a usar la medida 3 + 1/7.

Pi-rámide La Gran Pirámide de Keops tiene una base de 230,38m de longitud y una altura de 146,6m. Si tomamos dos veces la longitud de la base, y la dividimos por su altura, obtenemos el valor de “3.14297…”. Es una gran aproximación al valor de Pi, mejor que el valor que los antiguos egipcios pudieron haber estimado con su medida de 3, por lo que… ¿estamos ante el signo evidente de un diseño por parte de una entidad superior? La respuesta de los científicos es un claro ‘No’. ¿Por qué no, tienen una mejor explicación que darnos? Algunos dicen que este valor de Pi en la pirámide es simple coincidencia –bastante coincidencia, igualar el valor de Pi al cuarto decimal–. Además, hay otras muchas pirámides dimensionadas con el valor de Pi, incluso con mayor precisión. ¿Más coincidencias? No parece, así que otros científicos han encontrado una teoría que explicaría la misteriosa presencia de Pi en las pirámides. Sugieren que la presencia de Pi en Keops se debe a los métodos de medida usados en tiempos antiguos. Los egipcios median distancias en “codos reales”, que equivalían a 0,523 metros. La base de la pirámide de Keops es exactamente de 440 codos reales de largo, y su altura de 280 codos. ¿Cómo hacían los egipcios para medir distancias tan grandes? Los científicos sugieren que el uso de cuerdas sería impracticable en estos casos (las cuerdas de estas dimensiones se romperían o cambiarían su longitud debido a la enorme presión ejercida para mantenerlas en tensión). Entonces, lo más probable es que los egipcios utilizaran ruedas del diámetro de un codo real para medir las distancias, haciéndolas rodar y contando las revoluciones (cada giro completo de la rueda). Y, como hemos visto en el ejemplo de la rueda de antes, es aquí donde Pi dejaría su impronta en las medidas finales. Cuando los egipcios querían medir la altura de la pirámide, simplemente tenían que apilar unas ruedas encima de las otras y contarlas. Parece una teoría muy plausible y razonable, y puede explicar la relación entre Pi y las medidas de pirámides como las de Keops y Medum, así que la teoría ha tenido gran repercusión y ha pasado a ser la explicación más aceptada sobre el tema. El problema es que no es válida para explicar el resto de pirámides. Para la pirámide de Kefren, este cálculo da un resultado de “3”, mientras que para la de Micerinos el valor de Pi resultante es de “3,26”. No son valores de Pi aceptables, y finalmente, de las 90 pirámides que hay en Egipto la teoría

sólo explica satisfactoriamente las medidas de dos o tres de ellas. Así que ¿por qué aceptar una teoría que sólo explica unas poquísimas pirámides?, ¿no es probable que los antiguos egipcios construyeran todas sus pirámides con técnicas similares? Incluso para los casos como Keops en que la teoría parece cierta, tomando sus 440 codos reales de longitud y empleando una medida como la propuesta habría que hacerlos girar exactamente 140,0564 veces (440/Pi), y habría que apilarlos 130,825 veces para obtener la altura de la pirámide deseada. Sin un conocimiento verdadero del valor de Pi real, que recordemos no se ha podido demostrar que los egipcios tuvieran, no sería posible averiguar estos valores fraccionarios. Además, el sistema numérico egipcio era muy diferente al nuestro y, entre otras diferencias, no manejaba decimales, y la única fracción que manejaba era “uno partido por algo”, marcado por un signo oval encima del número. Un matemático egipcio ni entendía ni podía representar el número “2,537”, por ejemplo.

El ángulo de las pirámides Hay una explicación todavía más sencilla a todo este misterio, y tiene que ver en cómo los ingenieros egipcios medían los ángulos. Era diferente de nuestro sistema actual de medir la inclinación entre dos planos perpendiculares, desconocido para algunas culturas antiguas. En el caso egipcio se basaba en medir la distancia horizontal de la pendiente necesaria para alcanzar la parte superior de un codo real. Esta distancia se medía en palmos o dedos, y eran necesarios un máximo de 28 de ellos para cubrirla. Los ingenieros egipcios usaban únicamente la medida de los dedos para construir sus edificios. Debido a ello, disponían de un máximo de 28 ángulos posibles para sus edificaciones, que variaban entre el ratio 1 dedo : 1 codo real (casi 90 grados) hasta 28 dedos : 1 codo real (unos 45 grados). De hecho, todas las pirámides encontradas en Egipto trabajan con alguno de estos ángulos. El más común de todos –y el más atractivo para el ojo humano– es el ratio 1:22 (22 dedos por codo real). Es el utilizado en la Gran Pirámide. Las ratios inferiores a 1:20 eran imposibles de utilizar en la construcción de edificios monumentales (los podemos ver en los edificios a medio acabar de Meidum, y en la pirámide de Dahschur. Por el contrario, los ratios mayores de 1:24 también son raros de encontrar en las obras egipcias, ya que visualmente eran muy poco atractivos. Algunos ejempos de ratios usados en las pirámides:

¿Y qué sucede con Pi entonces? Resulta que el ratio 1:22 se aproxima mucho a su valor: 3,14285714 en la pirámide de Chufus, 3,142974 en el caso de Keops. La diferencia con respecto a Pi es de ¡menos de 0,00015! Pero probablemente no es más que una coincidencia, y es el ratio de 1:22 codos reales: dedos el que la provoca. El factor que nos indica que la relación de Pi con las pirámides probablemente se trata de una coincidencia es que, de las 90 pirámides egipcias censadas, hay bastante variación en sus aproximaciones a Pi de unas a otras. Si realmente este concepto matemático hubiera sido conocido y utilizado hace más de 5.000 años, todas las pirámides tendrían una similitud a Pi mucho más aproximada. De las 14 pirámides que nos han llegado en buen estado de conservación, 6 de ellas están construidas en ángulo de ratio 1:22, el radio Pi. Parece más seguro creer que estamos ante 90 pirámides con diferentes aproximaciones al valor de Pi, cuya casualidad es debida al sistema de medidas usado en el Antiguo Egipto, que creer que nos encontramos ante una pirámide construida por los dioses, de valor Pi casi perfecto, y otras 89 pirámides de los mismos periodos históricos cuyos ángulos no se pueden explicar de la misma manera.

ANÁLISIS MATEMÁTICO RESPECTO A LA HISTORIA DE ROMEO Y JULIETA Resumen. La obra literaria Romeo y Julieta de William Shakespeare ha motivado a varios científicos sociales, naturales y de las ciencias exactas a explicar, analizar y reflexionar acerca del amor de estos dos personajes, bajo diversas disciplinas, como lo son la Historia, la Física y las Matemáticas, para que las nuevas generaciones comprendan que este sentimiento puede ser explicado bajo diversas aristas. De manera particular, en esta ponencia nos enfocaremos a la relación existente entre el contexto histórico-social de esta historia de amor y su estudio como un sistema dinámico a partir de un modelo matemático lineal analizando diversos casos.

I .- NTRODUCCIÓN El diccionario de la Real Academia Española define al sistema como un conjunto de reglas o principios sobre una materia racionalmente enlazados entre sí; mientras que por dinámico entiende como aquello perteneciente o relativo a la fuerza cuando produce movimiento; así mismo puede ser el nivel de intensidad de una actividad. Entonces entenderemos por sistema dinámico al conjunto de reglas o principios que sufren cambios y evolucionan en el tiempo, es decir, no permanecen estáticos y su comportamiento puede ser modelado matemáticamente con una o más funciones de acuerdo a ciertos parámetros, variables y la relación entre estas. Estos sistemas han sido estudiados desde el siglo XVII, cuando Isaac Newton desarrolla el cálculo diferencial y enuncia sus leyes del movimiento y de la gravitación universal, y así poder explicar las leyes de Kepler para el movimiento planetario. Hoy en día, su campo de estudio no solo se limita a la Física y las Matemáticas, sino que se ha extendido a otras ciencias naturales como la Química y la Biología así como también a las ciencias sociales. Por ello consideramos necesaria la clasificación de los sistemas dinámicos desde el modelaje matemático:

discreto si se describe por medio de ecuaciones en diferencias (ED) o

continuo si se hace a través de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Otra clasificación importante es cuando se dice que el sistema es

lineal debido a la existencia de una proporcionalidad entre todas las variables involucradas en el modelo matemático y

no lineal si no existe en una o más variables. Muchos sistemas no lineales son susceptibles a ser

caóticos , es decir, se obtiene un conjunto de medidas azarosas que no permiten realizar predicciones exactas, estos debido a que son sensibles a condiciones iniciales, es decir, cada vez que se realice una cambio mínimo en la condición inicial, el sistema tendrá un comportamiento completamente distinto al anterior. La pertinencia de los sistemas dinámicos en los fenómenos sociales está en la no linealidad y temporalidad de los mismos, razón por la cual podemos considerar a la relación sentimental entre Romeo y Julieta como sistema dinámico de tipo social que evoluciona con el transcurrir de la obra (tiempo), y puede estudiarse como

aislado , es decir, solamente está conformado por la pareja de amantes y puede ser tanto lineal como no lineal o

abierto donde ellos interactúan con el resto de los personajes. En esta última situación, será importante tomar en cuenta el contexto histórico-social en el que se desarrolla la obra, ya que el sistema puede ser determinado por la economía, en la cual están inmersas clases e intereses sociales; y esto lo lleva a ser de tipo no lineal con tendencia caótica.

II LOS SENTIMIENTOS DE ROMEO Y JULIETA VISTOS COMO UN SISTEMA DINÁMICO

En este sentido la obra de Romeo y Julieta fue escrita a fínales del siglo XVI; en esa época se realizaban alianzas matrimoniales por conveniencia, es decir, se llevaban a cabo para construir nuevos Estados Nacionales que les permitieran consolidar sus intereses políticos y económicos; así mismo se llevaba a cabo una transición de la estructura económica feudal a una capitalista. Bajo este contexto dos familias rivales entre sí, Montesco y Capuleto, entran en conflicto por los sentimientos amorosos que empiezan a surgir entre Romeo y Julieta; ya que los Capuleto apoyan al Conde París pretendiente de Julieta, mientras que los Montesco apoyan a Romeo, a pesar de ello los enamorados empiezan a luchar por su amor desencadenando una serie de tragedias para consolidar su amor, lo cual lo convierte en un sistema dinámico no lineal como se mencionó anteriormente. En la Figura se muestra un mapa conceptual que sintetiza los sucesos de la obra. En 1988 Steven Strogatz, propone un primer modelo matemático para describir el comportamiento de la relación amorosa entre Romeo y Julieta tratándolo como un sistema dinámico lineal aislado, y consiste del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: La variable R(t ) representa los sentimientos de Romeo por Julieta y mientras que J (t ) representa los sentimientos de Julieta por Romeo, ambas a un tiempot , mientras que a, b, c, y d son constantes. El espacio fase idóneo para las expresiones (1) es un plano cartesiano como el que se muestra en la Figura

Este espacio fase, o mejor dicho plano fase para nuestro caso, permite que la evolución del sistema dinámico sea descrita de manera exhaustiva a través de trayectorias con distintas condiciones iniciales. La expresión explicita para estas trayectorias se obtiene a partir de la siguiente expresión:

Los ejes del plano fase está caracterizados por valores tanto positivos como negativos y se intersectan en un origen, entonces, se dice que hay presencia de amor si R(t ) y J (t ) son positivos pero tendremos odio si R(t ) yJ (t ) son negativos. El comportamiento del sistema (1) depende del valor dado a los parámetros a, b, c y d, los cuales pueden ser positivos o negativos y definen el estilo romántico de la relación entre ambos personajes. El cambio de unos valores a otros de estos parámetros, se verá reflejado en la forma de las trayectorias sobre el plano fase. A continuación presentamos algunos casos para valores específicos de los parámetros. A.=Amantes caprichosos Un primer caso es cuando b= 0 y c> 0, entonces nuestro sistema de ecuaciones (1) toma la siguiente forma: y el diagrama fase es el mostrado. Como podemos observar este diagrama es idéntico al de un péndulo simple o cualquier sistema oscilante sin fricción. En el caso de Romeo y Julieta, el diagrama representa que entre ellos hay una relación sentimental oscilante , es decir, cuando Romeo siente bastante amor por Julieta, ella tiende a ser indiferente, sin embargo, después de un tiempo ella cambia su actitud y comienza a interesarse por Romeo cuando él está completamente desilusionado de ella. Al no haber un factor externo que altere esta situación, ellos entran un proceso cíclico de amor y desamor B.= Amantes precavidos Otro caso a considerar es cuando a, c, d< 0 y b > 0 dentro de la expresión (1); bajo estas condiciones los amantes no son indiferentes entre sí pero serán precavidos para relacionarse el uno con el otro. De continuar así la situación, la relación tenderá a esfumarse como la figura , todas las trayectorias tienden a origen; de esta manera se deduce que la excesiva precaución puede llevar a la apatía entre ambos personajes.

Diagrama fase: Amantes caprichosos.

C. =Amantes apasionados Por último, si a, b, c, d> 0 en la expresión (1), Romeo y Julieta son más atrevidos por lo que la relación se torna explosiva, con la consecuencia de convertirse en una fiesta de amor o en una guerra sin cuartel. Esto se ve reflejado en el diagrama fase mostrado en la Figura, donde las trayectorias se acercan a las rectas de color verde J = R y J = -R.

III. DISCUSIÓN Como vemos, la relación sentimental entre Romeo y Julieta puede modelarse y estudiarse muy bien como un sistema dinámico lineal dando resultados interesantes. Sin embargo, existe la inquietud por parte de los autores de este artículo al preguntarnos si es posible modelar esta relación introduciendo uno o varios términos al sistema de ecuaciones (1) que representen la interacción de estos amantes con el resto de los personajes de la obra, alterando el sistema lineal con una posible tendencia al caos provocando así el trágico desenlace. La pertinencia de continuar desarrollando este modelo matemático permite continuar en un nuevo campo de investigación no solo en la evolución sentimental entre dos personajes ficticios como Romeo y Julieta, sino también extenderlo a situaciones reales del comportamiento humano, tanto individual como colectivo, abordando así los fenómenos sociales y la complejidad de la sociedad con nuevas herramientas de análisis e investigación exclusivas durante mucho tiempo de las ciencias exactas. La intención de este artículo es mostrar que el amor puede ser descrito desde distintos puntos de vista y motivar a las nuevas generaciones a continuar con su estudio a partir de distintas disciplinas científicas.