Fourier Analizi

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ ELEKTRONİK VE HABERLEŞME MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR İLE SAYISAL ÇÖZÜMLEME DERSİ KONU: FOURİER ANALİZİ HAZIRLAYANLAR: 060207007 MEHMET ZEKİ KONYAR 050207009 MURAT ÇELEBİ

BÖLÜM 10. FOURİER ANALİZİ

• Mühendisler çoğu zaman salınlım veya titreşim hareketi yapan sistemlerle ilgilenirler. Beklenildiği gibi trigonometrik fonksiyonlar bu tür problemlerin modellenmesinde önemli bir rol oynar.Fourirer yaklaştırması bu amaçla kullanılan trigonometrik seriler için sistematik bir çerçeve oluşturur. • Karakteristik fonksiyonlar, Fourier Dönüşümlerinin genel teorisinin özel bir durumudur.Moment çıkaran fonksiyonu bulunamayan bir dağılış fonksiyonunun bir sabit farkıyla Ters Fourier Dönüşümünü bulmak işlemidir.(Chapra S. Literatür yay.)

• Fourier analizi, ele alınan işaretin frekans davranışını irdeler. Frekans analizinde temel bağıntı Zaman ×Band Genişliği = Sabit şeklindedir. Yani,

• zamanda sonsuz süreli işaretin (örn. sin(ωt)) enerjisi tek frekansta yoğunlaşır. • Zamanda anlık işaretlerin (dürtü yada kısa darbe) enerjisi hemen tüm frekans eksenine yayılır. • Darbe şeklindeki işaretler geniş bandlıdır ve darbe süresi kısaldıkça frekans bandı genişler. • Darbesel bir işaret sonsuz sayıda sinüs işaretinin toplamından oluşmaktadır. (SEVGİ L. Endüstriyel & Otomasyon 2005)

• İlk olarak matematiksel olarak fourier dönüşümlerinden bahsedelim : •

f(x

• Matematiksel olarak tanımlanan ve frekans analizinde kullanılan bu dönüşüm incelendiğinde şu noktaların altını çizmek gerekir: • Bir işaretin frekans analizini yapabilmek için tüm zamanlarda gözlenmesi (sonsuz gözlem süresi) gerekir. • Bu koşullar altında verilen bir S(t) işaretinin bütün frekans davranışı (1), Fourier dönüşümü ile bire bir belirlenir. • Matematiksel olarak istenen her frekansta ve frekans sıklığında çözüm elde edilebilir.

Fourier Analizinin Mühendislik Uygulamalarını görelim: 1. Sinüsoidal fonksiyonlarla eğri uydurma Periyodik fonksiyonlarda f(t)=f(t+T) formülü geçerlidir. Burada T periyodu gösterir. Bu ifadeye uygun en yaygın örnekler kare dalga, testere dişi dalga ve sinüsoidal dalgalardır.

• Bir örnek verirsek; • f(t)=A + C cos(w t+θ) (10.1) Bu dört parametre bir sinüsoidi tanımlamaktadır. A : apsisten itibaren ortalama yüksekliği gösterir C : dalganın genliğini W :açısal frekansı θ: dalganın yatay eksende ne kadar kaydığını yani faz açısını göstermektedir. 0

0

1

0

1

0

• Fonksiyonun bazı değerlerler için grafik örneği:

• π/2

ve

- π/2 ‘lik faz farkları için grafikleri şöyledir.

Dikkat ederseniz açısal frekans(radyan/zaman) ile frekans(çevrim/zaman) arasında aşağıdaki • bağıntı vardır ω = 2πf • Frekans ise periyot T(zaman biriminde) ile ilişkilidir. • f=1/T bu grafiklerdeki faz farklarını aşağıdaki formül yardımıylagiderebiliriz. • (10.2) • 0

bu eşitlik ana formülümüzde yerine konulursa şu sonuç elde edilir. (10.3)

• Burada

• Dolayısıyla burada elde edilen formül ana formülümüzün(10.1) alternatifidir.

• Bir sinüsoidin en küçük kareler eğri

uydurması

• Eşitlik (10.1) bir doğrusal en küçük kareler modeli olarak göz önüne alınabilir. • (10.4) Bu ise aşağıdaki genel modelin sadece bir örneğidir. (10.5) Burada, olup diğer tüm z’ler 0’dır.Bu nedenle,bizim amacımız aşağıdaki denklemi minumum yapan katsayıları belirlemektir.

Burada minimizasyonu sağlayan normal denklemler aşağıdaki gibi matris formunda yazılabilirler.

SÜREKLİ FOURİER SERİLERİ

Yüksekliği 2 ve periyodu T=2π/ ω0 olan bir kare dalga şekli

Şekildeki kare formundaki dalga için Fourier yaklaştırması. Çizilen eğriler serisi hem birinci(a), ikinci(b) ve üçüncü(c) terimleri hemde ilgili toplamları göstermektedir

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Tablo 1: Bir kare dalgayı sonlu sayıda terimli Fourier serisine açan Matlab kodu =================================================== clear; fprintf('N = ?, M = ?'); N=input(' '); M=input(' '); wo = pi; % Ana açısal frekans (rad/s) c0 = 0; % DC değeri t = -1:0.01:2; % zaman değerleri dizisi clf; % tüm şekilleri sil figure(1) % birinci şekli kullan % N terimli trigonometrik seriyi kullanarak yt’yi hesapla; yt = 0.0; for n = 1:2:N, % n-dongüsü (N eleman için) cn = 2/(j*n*wo); % Fourier Seri katsayıları yt = yt + 2*abs(cn)*cos(n*wo*t+angle(cn)); % Fourier Serisi hesabı end subplot(2,1,1) hold; plot(t,yt); grid; ylabel('Y(t)'); ttle = ['N terimli Trigonometrik Fourier Serisi = ', num2str(N)]; title(ttle); hold % N terimli trigonometrik seriyi kullanarak yt’yi hesapla; yt = 0.0; for n = 1:2:M, % n-döngüsü (M eleman için) cn = 2/(j*n*wo); % Fourier Seri katsayıları yt = yt + 2*abs(cn)*cos(n*wo*t+angle(cn)); % Fourier Seri hesabı end subplot(2,1,2) hold; plot(t,yt); grid; xlabel('time [Sec]'); ylabel('Y(t)'); ttle = ['M terimli Trigonometrik Fourier Serisi = ', num2str(M)]; title(ttle); hold %==================== PROGRAM SONU ====================

% Tarih : Kasım 2004 Yazar : L. Sevgi

Kare dalganın 1 ve 5 terimli Fourier serisi gösterilimleri

Kare dalganın 11 ve 500 terimli Fourier serisi gösterilimleri

KAYNAKLAR • SEVGİ L. Endüstriyel & Otomasyon, Haziran 2005 • Müh. İçin Say. Yöntemler, CAPRA.S , Literatür Yayınları • Yrd. Doç. Dr. Serhat YILMAZ-Ders Notları KOU Yayınları Kocaeli 2005

• Dinlediğiniz için teşekkürler ;-))

Mehmet Zeki KONYAR Murat ÇELEBİ