Encontrar Una Raíz Cuadrada Manualmente.docx

Encontrar una raíz cuadrada manualmente Utilizando un algoritmo de división

1.

1 Divide en pares los dígitos del número. Este método utiliza un proceso similar a una división para encontrar la raíz cuadrada exacta del número, dígito por dígito. Aunque no es necesario, puede que te sea más fácil realizar este proceso si organizas visualmente tu lugar de trabajo y divides el número en partes más fáciles de trabajar. Primero, dibuja una línea vertical que separe tu área de trabajo en dos secciones, luego dibuja una línea horizontal más pequeña en la parte superior de la sección derecha para dividir esta sección en una sección superior más pequeña y una sección inferior más grande. Luego, separa los dígitos del número en pares, empezando desde el punto decimal. Por ejemplo, aplicando dicha regla, 79,520,789,182.47897 se convierte en "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Escribe el número en la parte superior en la sección izquierda. 

Por ejemplo, vamos a calcular la raíz cuadrada de 780.14. Dibuja dos líneas para dividir tu espacio de trabajo como se dijo anteriormente y escribe "7 80. 14" en la parte superior de la sección izquierda. No hay problema si el primer número está

solo. Escribirás la respuesta (la raíz cuadrada de 780.14) en la parte superior de la sección derecha.

2.

2 Encuentra el mayor número entero n cuyo cuadrado sea menor o igual al número (o par de números) ubicado en el extremo izquierdo. Empieza con el "bloque" ubicado al extremo izquierdo del número, no importa si es un par de números o un número solo. Encuentra el mayor cuadrado perfecto que sea menor o igual a este bloque, luego toma la raíz cuadrada de dicho cuadrado perfecto. Este número será n. Escribe n en la parte superior derecha y escribe el cuadrado de n en el cuadrante inferior derecho. 

En nuestro ejemplo, el 7 es el número ubicado en el extremo izquierdo. Ya que sabemos que 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, podemos decir que n = 2 por que es el número entero más grande cuyo cuadrado es menor o igual a 7. Escribe 2 en el cuadrante superior derecho. Este es el primer dígito de la respuesta. Escribe 4 (el cuadrado de 2) en el cuadrante inferior derecho. Este número será importante en nuestro próximo paso.

3.

3 Resta el número que acabas de calcular al número ubicado en el extremo izquierdo. Al igual que en una división, el próximo paso es restar el cuadrado que acabas de encontrar al número ubicado en el extremo izquierdo. Escribe este número debajo de la primera parte y réstalo, escribiendo la respuesta debajo. 

En nuestro ejemplo, escribimos 4 debajo del 7, y luego restamos La respuesta nos da 3.

4.

4 Continúa con la siguiente parte del número. Mueve el siguiente "bloque" de números al frente del número que obtuviste al resolver la resta. Luego multiplica el número en el cuadrante superior derecho por dos y escribe la respuesta en el cuadrante inferior derecho. Al lado del número que acabas de escribir, deja un espacio para realizar un problema de multiplicación que se hará en el próximo paso utilizando la forma '"_×_="'. 

En nuestro ejemplo, el próximo bloque de números es "80". Escribe "80" al lado del 3 en el cuadrante izquierdo. Luego, multiplica el número en la parte superior derecha por dos. Este número es 2, entonces obtenemos que 2 × 2 = 4. Escribe "'4"' en el cuadrante inferior derecho, seguido por _×_=.

5.

5 Llena los espacios en blanco del cuadrante derecho. Debes llenar los espacios en blanco del cuadrante derecho con el mismo número entero. Este número debe ser el número entero más grande que nos de como resultado de la multiplicación en el cuadrante derecho un número menor o igual al número que se encuentra en el cuadrante izquierdo. 

En nuestro ejemplo, si ponemos un 8 en los espacios en blanco, obtenemos que 4(8) × 8 = 48 × 8 = 384. 384 es un número mayor que 380. Por lo tanto, 8 es un número muy grande, pero el 7 probablemente sirva. Escribe 7 en los espacios en blanco y realiza la operación: 4(7) × 7 = 329. Podemos utilizar el 7 porque 329 es menor que 380. Escribe el 7 en el cuadrante superior derecho. Este es el segundo dígito de la raíz cuadrada de 780.14.

6.

6 Resta el número que obtuviste del número que se encuentra en el cuadrante izquierdo. Continúa aplicando y resolviendo el algoritmo. Toma el resultado de la multiplicación del cuadrante derecho y réstalo del número que se encuentra a la izquierda, escribiendo la respuesta a dicha resta debajo del número. 

En nuestro ejemplo, vamos a restar 329 de 380, lo cual da como resultado 51.

7.

7 Repite el paso 4. Baja el próximo bloque de números. Cuando llegues al punto decimal del número, escribe un punto decimal en la respuesta del cuadrante superior derecho. Luego, multiplica el número en la parte superior derecha por 2 y escríbelo al lado del espacio en blanco del sistema de multiplicación ("_ × _") como se hizo anteriormente. 

En nuestro ejemplo, ya que nos encontramos con el punto decimal de 780.14, debemos escribir el punto decimal después del último número de nuestra respuesta actual en la parte superior derecha. Luego, baja el otro bloque de números (14) en el cuadrante izquierdo. El número de la parte superior derecha (27) multiplicado por 2 nos da 54, así que escribe "54 _×_=" en el cuadrante inferior derecho.

8.

8 Repite el paso 5 y 6. Encuentra el mayor número entero que nos de como un respuesta un número mayor o igual al número de la izquierda, para ponerlo en el espacio en blanco. Luego, realiza la operación. 

En este caso, 549 × 9 = 4941, el cual es un número menor o igual que el número de la izquierda (5114). 549 × 10 = 5490, el cual es un número mayor que 5114; por lo tanto 9 es el número que utilizaremos para llenar los espacios en blancos. Escribe 9 como siguiente dígito en el cuadrante superior derecho y resta el resultado de la multiplicación al número de la izquierda: 5114 menos 4941 es 173.

9.

9 Para seguir calculando dígitos, añade un par de ceros en el cuadrante izquierdo, y repite los pasos 4, 5, y 6. Para mayor precisión, continúa repitiendo el proceso para hallar más decimales en la respuesta. Repite el proceso hasta que halles una respuesta exacta o hasta que halles el número de decimales que deseas.

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Instrucciones

1. Lo mejor para explicar la raíz cuadrada es partir de un número, cogeremos el: 5836,369. Añadiremos un 0 al lado del 9 para generar parejas de números.

2. Se busca un número que multiplicado por sí mismo, más se aproxime por debajo al primer grupo de números de la izquierda (en el ejemplo, 58). El resultado no puede ser mayor que 58. Una vez encontrado el número se agrega a la parte de la raíz. En este caso el número sería el 7, porque 7×7 es 49.

3. Multiplicamos por sí mismo. El resultado (49) se escribe debajo del primer grupo de cifras de la izquierda (58), y se procede a restarlo. El resultado de la resta (58-49) es 9. Una vez obtenido el resultado de la resta, se baja el siguiente grupo de dos cifras (36), con lo que la siguiente cifra de la raíz es ahora la unión del resultado de la resta anterior con las nuevas cifras bajadas (es decir, 936). Para continuar la extracción de la raíz cuadrada multiplicamos por 2 el primer resultado (7) y lo escribimos justo debajo de éste.

4.

En este paso hay que encontrar un número n que, añadido a 14, y multiplicado por ese mismo n, de como resultado un número igual o inferior a 936. La primera cifra del resultado que no sea cero, aunque sea un decimal, es, generalmente, la que buscamos. El resultado se agrega al número de la raíz y al del renglón auxiliar. En este caso 93 dividido entre 14 es 6. El siguiente resultado de la raíz cuadrada es 6. También procedemos a anotarlo en el radicando.

5. El resultado de la operación anterior (876) se coloca debajo del número procedente de la resta anterior (936) y se restan. Al resultado de la resta (60) se le añade el siguiente grupo de cifras del radical (en este caso, 36). Si el siguiente grupo está después de la coma decimal se agrega una coma decimal al número de la raíz. El nuevo número obtenido es 6036.

6. La cifra de la raíz (76) se multiplica por dos (resultando 152). Buscamos un número que añadido a 152 y multiplicado por ese mismo número nos dé una cantidad aproximada a 6036. La operación a realizar es, por tanto, 1523×3. El resultado (4569) se coloca bajo el último resto y se procede a hallar la diferencia (que es 1467). Una vez realizada la resta se baja el siguiente grupo de cifras y se continúa el proceso. Obsérvese que el número a dividir entre renglón auxiliar y residuo va aumentado.

7. Lo podemos hacer por tanteo, o por el procedimiento de dividir en este caso, las tres primeras cifras de la raíz por las tres primeras cifras de la línea auxiliar (nótese que antes eran las dos primeras cifras), es decir, 603/152 (el número buscado es 3, ya que el resultado es 3,9 y hemos dicho que la cifra que debemos tomar es la primera). 8. Se continúa el mismo proceso, la raíz se vuelve a multiplicar por dos (ignorando la coma de los decimales). El resultado de la multiplicación se agrega al tercer renglón auxiliar, se vuelven a dividir los primeros cuatro números del residuo (1467) entre el resultado de la multiplicación (152), y se obtiene la siguiente cifra para la raíz y el número del renglón auxiliar (9). Dicha cifra se multiplica por el número del tercer renglón auxiliar y se le resta al tercer residuo. Se continua el proceso, si ya no hay más cifras la raíz ha terminado. En este caso, 76,3 se multiplica por 2 como 763 (763×2) que nos da un resultado de 1526. La cifra resultante es 14679 (nótese que son las primeras cuatro cifras, cuando antes eran las tres primeras), y se divide entre 1526, lo que nos da un resultado de 0,9 (como decíamos antes, se toma el primer número aunque sea decimal, por lo tanto, la cifra buscada es 9). El nueve se agrega en el renglón de la raíz y el tercer renglón auxiliar, y se multiplica 9 por 15269, lo que da un resultado de 137421, esta cifra se le resta a 146790 y nos da un resultado de 9369. 9. La raíz cuadrada de 5836,369 es 76,39, con un residuo de 9369. El cero es sólo un auxiliar. Es importante señalar también que la operación anterior utilizada como ejemplo no está completa. Si la continuáramos daría como resultado 76,396132 (con seis decimales).