Solución_banco_e1.pdf

UNIVERSIDAD DE PIURA CURSO: ÁLGEBRA LINEAL Piura, sábado 18 de octubre de 2014 TRABAJO DE RECUPERACIÓN

PRIMER EXAMEN INDICACIONES GENERALES - El trabajo es opcional. Si no lo hace mantiene la nota de su examen parcial. - Solo podrán presentar el trabajo aquellos alumnos que dieron el examen. - Los ejercicios se resuelven en el orden en el que están. No puede escogerlos. - ¿Cuántos ejercicios debo resolver? Debe resolver tantos ejercicios como puntos le faltaron para obtener 20 en su examen parcial, por ejemplo:  Si UD. tiene 05 en el examen le corresponde resolver los 15 primeros ejercicios (del 1 al 15).  Si UD. tiene 14 en el examen le corresponde resolver los 6 primeros ejercicios (del 1 al 6). - ¿Cuánto vale cada ejercicio? Cada ejercicio bien resuelto equivale a 2/5 de punto. PRESENTACIÓN - La presentación de los ejercicios es en hojas A3, las cuáles debe doblar a la mitad y conformar un cuadernillo. Utilice tantas hojas como le hagan falta. Debe utilizar todas las caras. - Los ejercicios resueltos deben presentarse en orden correlativo. - La fecha límite de entrega es el día miércoles 22 de octubre hasta las 07:00 p.m. en la oficina 28-A. PREGUNTAS - ¿Puedo presentar menos ejercicios de los que me corresponden? Sí, lo que no puede hacer es presentar más ejercicios de los que le corresponde. - ¿Si resuelvo más ejercicios de los que me corresponden obtendré más puntaje por mi esfuerzo? No. Solo se corregirán los ejercicios que le corresponde resolver de acuerdo a la nota que obtuvo en el examen. - Así no obtenga más puntaje, ¿puedo presentar más ejercicios de los que me corresponden para demostrar mis conocimientos? No. Por cada ejercicio adicional que presente no se le corregirá uno que sí le correspondía resolver. - ¿Si me equivoco al resolver, pero tengo la idea, obtendré puntos por procedimiento? No. Este es un trabajo para la casa. Sin embargo, si llega a la respuesta pero existe alguna inconsistencia en el desarrollo obtendrá cero puntos en esa pregunta. - ¿Puedo presentar mi trabajo después de la fecha límite aunque me descuenten puntos? No. No se descuentan puntos por entregar tarde. Simplemente no se acepta el trabajo.

HOJA DE PREGUNTAS Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss-Jordan 1. 2. 2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 𝑢 = 0 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 3 −𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 3𝑤 + 𝑢 = 0 2𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = 4 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 − 𝑢 = 0 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −3 𝑧+𝑤+𝑢 =0 2𝑦 + 2𝑧 = 1 RESOLUCIÓN Pregunta N° 1

0  1 0  1  2 2  1 0 1 H13  1 1  2 1 1 2 1 1 2  1  1 2  3 1  1  1 2  3 1 H 0 0  0  3 0 H24 0 0 1     21(1)   1 1 2  2 2  1 0 1 H31(2) 0 0 0 0 0  1 3 0 3 3        1 1 1 1 1 1 1 1 1 0  0 0  0 0 0 0 0 0 0  1 1 1 2  1 1  2 0  1  1 1  2 0  1 H12(2)  1 1 0 0    0 0 1 1 1 1 1 1 H23(1) 0 0 1 0 1  0 0  0 0 0 0 H32(3) 0 0 0  3 0 H3(1/ 3) 0 0 0 1 0 0 1 0        0  3 0 H43(1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0  1 1 1 0 3   3 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0  0 0 0

 x   s  t  1  1  y   s   1  0         x   z     t   s  0  t  1         w  0   0  0  u   t   0  1 Pregunta N° 2 3 3 3 3  1 1 2  1 1 2  1 1 2  1 1 2 2  2 5 H 0 0 H 0  0 4 1  2 1  1  2 1  1  2   21(2)   23     1 2  1  3 H31(1) 0 3  3  6 H3(1/ 3) 0 0 0 0 1  2 1  2         2 2 1 2 1 1 H42(2) 0 0 4 5 0 0 2 0 2 2

3  1 1 2 0 1  1  2  0 0 1  2   H43(4) 0 0 0 13 3.

El sistema es incompatible !

Señale cada proposición como verdadera o falsa. Justifique todas sus respuestas. a. Un sistema lineal homogéneo tiene sólo la solución trivial si la matriz de coeficientes del sistema tiene un pivote en cada fila. b. Si la forma escalonada de la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales tiene una fila con puros ceros, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.

RESOLUCIÓN Proposición a. Falso. La matriz de coeficientes debería tener un pivote en cada columna. Proposición b. Falso. No necesariamente. Si bien es cierto que tener una fila llena de ceros en la matriz aumentada garantiza que no existan inconsistencias el sistema también podría tener solución única.

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Dado el siguiente sistema: 𝑎𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1 − 𝑎 𝑥 + 𝑎𝑦 − 𝑧 = −1 𝑥+𝑦+𝑧 =𝑎 Halle el (los) valor(es) de 𝑎 para el(los) cual(es) el sistema: 4. Tiene exactamente una solución 5. Tiene infinitas soluciones 6. No tiene solución RESOLUCIÓN a 1 1 a 1 1 a a 1 2 1 a H13  1 1 1 1 1  1 a  1  1  1 a  1  1 H 0 a  1  2    1 a  1 a     21(1)  0 a  1  2  1 1 1 a 1 2 1 a H31(a) 0 1 a 2  a 1 a  a2  H32(1) 0 a 0  a  2a  a2  Preg. N° 4

Preg. N° 5

Preg. N° 6

SOLUCIÓN ÚNICA

INFINITAS SOLUCIONES

SIN SOLUCIÓN

a1  a 0

a0

a 1

Dada la siguiente ecuación vectorial 1 0 2 2 6 0 −5 0 0 1 1 2 0 0 𝑥1 [ ] + 𝑥2 [ ] + 𝑥3 [ ] + 𝑥4 [ ] + 𝑥5 [ ] + 𝑥6 [ ] = [ ] 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7. Resuelva el sistema lineal asociado a dicha ecuación vectorial. 8. Usando la respuesta obtenida en la pregunta anterior explique por qué los 6 vectores columna no son LI. 9. Explique por qué, sin resolver el sistema asociado a la ecuación vectorial, ya se sabía que los 6 vectores columna no eran LI. RESOLUCIÓN Pregunta N° 7

1 5 0 2 0 0 0 1  0 0 0 0  0 0 0 0

2 1 1 0

6 H13(2)  1  5 0 2 2 H23(1) 0 0 0 1 0 5 0 0 0   0 0 0 0 0

0  4 H12(2)  1  5 0 0 0 0  3 0 0 1  0 1 5 0 0 0   0 0 0 0 0 0

0 2 0  3 1 5  0 0

5m  2p  m     n  x   3p    5p     p 

Pregunta N° 8 El sistema asociado a la ecuación vectorial tiene infinitas soluciones, es decir, los vectores 𝑣̅1 ; … ; 𝑣̅6 no generan al vector cero con unicidad, por lo tanto 𝑣̅1 ; … ; 𝑣̅6 no son LI. Pregunta N° 9 Existen al menos dos explicaciones: 1st. Al tener 6 vectores de ℝ4 nunca podríamos encontrar un pivote en cada columna. Como máximo 4 vectores podrían ser LI. 2nd. Uno de los 6 vectores es el "vector cero", el cuál es múltiplo de cualquier vector. Por lo tanto, el conjunto es LD.

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Dada la siguiente ecuación matricial −3 2 −5 4 𝑥 1 5 1 −2 1 𝑥 [ ] [ 2] = [ ] 10 1 −4 5 𝑥 3 54 2 −3 1 10. Resuelva el sistema lineal asociado a dicha ecuación matricial. 11. Haga 2 interpretaciones geométricas de la solución obtenida en la pregunta anterior. RESOLUCIÓN Pregunta N° 10 2  5 4  3 H12  1  1  2 1 5 2     1  4 5 10 1    2  3 1 54 2

 2 1 5 1 5 5 1 2 1 2 1      H  5 4  3 21(2) 0  1 2  13 0  1 2  13  4 5 10 H31(1) 0  2 4 5 H32(2) 0 0 0 31       3 1 54 H41(2) 0 1  1 44 H42(1) 0 0 1 31

!

El sistema es incompatible Pregunta N° 11 1st. Los 4 planos de ℝ3 no se intersectan. Sin embargo, observe que si retiramos el tercer plano (tercera ecuación) los otros tres planos se intersectarían en un punto. 2nd. El vector 𝑏̅ no es combinación lineal de los vectores 𝑎̅1 ; 𝑎̅2 ; 𝑎̅3 . Adicionalmente, podemos comentar que el conjunto {𝑎̅1 ; 𝑎̅2 ; 𝑎̅3 ; 𝑏̅} es LI. 3rd. El vector 𝑏̅ no pertenece al 𝐺𝑒𝑛{𝑎̅1 ; 𝑎̅2 ; 𝑎̅3 }. Adicionalmente, podemos comentar que el conjunto {𝑎̅1 ; 𝑎̅2 ; 𝑎̅3 ; 𝑏̅} genera todo ℝ4 . 12. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales −𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 𝑎 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 𝑏 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 𝑐 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = 𝑑 Nota: Las incógnitas son 𝑥; 𝑦; 𝑧; 𝑡. Las letras 𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑 son los términos independientes de cada ecuación. RESOLUCIÓN  1 1 1 1  1 1 1 1   1 1 1 1   1 1 1 1

a H1(1)  1  1  1  1  a  1 1    b H21(1) 0 0 2 2 b  a H23 0 2 0 0 c H31(1) 0 2 0 2 c  a     d H41(1) 0 2 2 0 d  a 0 2 1  a  1 1 1 1  0 2 0  H2(1/ 2) 0 2 c  a   0 0 2 2 b  a H3(1/ 2) 0   H43(1) 0 0 0  4 d  c  b  a H4(1/ 4) 0 

 1  1  1 0  3a  b  4 4  a b 0 1 0 0   4 4  a b 1 0   0 0 4 4  a b   0 0 0 0 4 4

c 4 c 4 c 4 c 4

 1 1 0 0  dH 4  13(1)  0  d 1 0 0 4  d   0 0 1 0 4  d   0 0 0 0 4

 1  1  a  1  1  1  1  a  0 2 0 0 2 c  a 2 c  a  0 0 2 2 2 b  a 2 b  a    2 0 d  a H42(1) 0 0 2  2 d  c 1 1 1  a H 14(1) a c 1 0 1  H 2 2 24(1) a b 0 1 1  2 2  H34(1) a b c 0 0 1    d 4 4 4 4 

a 4 a 4 a 4

b  

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4 b 4 b 4

 

a 2 c 4 c 4 c 4

1  bH 2  12(1)  0  d 4  d   0 4  d   0 4

0 0 0  1 0 0 0

1 0

0 0 0

a 4 a 4 a 4 a 4

   

b 4 b 4 b 4 b 4

   

c 4 c 4 c 4 c 4

 d 4  d 4  d 4   d 4

13. Señale cada proposición como verdadera o falsa. Justifique todas sus respuestas. a. Si 𝑏̅ ≠ 0̅ el conjunto solución de 𝐴𝑥̅ = 𝑏̅ es un plano que no pasa por el origen. b. Si ninguno de los tres vectores en ℝ3 del conjunto 𝑆 = {𝑣̅1 ; 𝑣̅2 ; 𝑣̅3 } es un múltiplo de alguno de los otros vectores, entonces 𝑆 es linealmente independiente. RESOLUCIÓN Proposición a. Falso. ¿Por qué necesariamente debe ser un plano? También pudo ser una recta o un espacio de mayor dimensión. Todo depende del número de variables libres que hayamos obtenido. Como este dato no se conoce no se puede afirmar que sea una plano. Proposición b. Falso. Por ejemplo, tres vectores no paralelos 𝑣̅1 ; 𝑣̅2 ; 𝑣̅3 contenidos en un mismo plano no son múltiplos uno del otro, a pesar de esto el conjunto {𝑣̅1 ; 𝑣̅2 ; 𝑣̅3 } es LD. 1 3 4 14. Dada la matriz 𝐴 = [−4 2 −6]. Demostrar que el plano de ℝ3 −2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0 contiene todos los −3 −2 −7 vectores 𝑏̅ para los cuales la ecuación 𝐴𝑥̅ = 𝑏̅ es compatible. RESOLUCIÓN Verificamos que los vectores columna de 𝐴 generan un plano

4  1 3  1 3 4  1 3 4  4    0 14 10 2  6 H21(4) 0 14 10      3  2  7 H31(3) 0 7 5 H32(1/ 2) 0 0 0

 1  3  b  s  4  s  2   3  2

Luego, para demostrar que 𝑏̅ pertenece al plano −2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0 debe cumplirse que los vectores (1; −4; −3) y 3; 2; −2) satisfacen la ecuación del plano

2x  y  2z  0  2x  y  2z  0  21   4  2 3  0  23  2  22  0 00 00 Ok! Ok! 15. Suponga que uno quiere comparar el costo total de ciertos comestibles en tres supermercados. La siguiente tabla, que puede ser vista como una matriz, muestra el costo en centavos por libra de cada uno de los productos en dichos supermercados

SM 1 SM 2 SM 3

Carne 70 85 75

Pan 40 38 42

Papas 13 10 12

Manzanas 30 28 30

Café 330 310 325

Si usted necesita comprar 5 libras de carne, 3 lb de pan, 10 lb de papas, 4 lb de manzanas y 2 lb de café, ¿qué supermercado escogería para realizar su compra? RESOLUCIÓN

 5   70 40 13 30 330    3 1380 RATO 85 38 10 28 310 10   1371 ◄ MÁS BARATO   75 42 12 30 325  4  1391  2

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16. Hallar una matriz 𝐴 tal que 𝑆 sea un conjunto generador para todos los vectores 𝑏̅ para los cuales la ecuación matricial 𝐴𝑥̅ = 𝑏̅ es compatible y algunas soluciones particulares para la ecuación 𝐴𝑥̅ = 0̅ son 𝑢̅1 ; 𝑢̅2 ; 𝑢̅3 4 −2 −3 1 −1 0 −1 −1 0 𝑆 = {[4] ; [−6] ; [−2]} 𝑢̅1 = [ ] ; 𝑢̅2 = [ ] ; 𝑢̅3 = [ ] −2 6 4 0 1 1 0 −2 −1 RESOLUCIÓN Se define el tamaño de 𝐴

_ _ _ _   A  _ _ _ _  _ _ _ _ 

Si b  3  N filasA  3 Si x  4  N columnasA  4

Ahora, en este caso no podemos afirmar que los 3 vectores de 𝑆 (que generan 𝑏̅) son necesariamente 3 vectores columna de 𝐴. Fíjese, además, que si consideramos que los 3 vectores 𝑢̅𝑖 generan todo 𝑥̅ en la ecuación 𝐴𝑥̅ = 0̅, en principio, existirían 3 variables libres. Es decir, necesitaríamos espacio para 6 vectores: 3 LI y 3 LD, y solo tenemos 4 columnas. Entonces, probablemente los vectores de 𝑆 y los 3 vectores 𝑢̅𝑖 no son todos LI, verifiquemos

4  3 H12   1  1 0  2   1  1 0  2 4  3 H21(2)     6 2  6 2 4 4 H31(6)     0  1 0  1 H41(2)  2  2  1  1 0  1  1 0  0   0 6  3 6  3      0 8 4 H32(4 / 3)  0 0 0     2  1 H42(1/ 3)  0 0 0  0

 1  1 0  1  1 0 4  6  2 H     21(4) 0  2  2  1 0 1 H31(1) 0 1 1 H32(1/ 2)

 1  1 0 0  2  2   0 0 0

Efectivamente, solo 2 vectores de 𝑆 son LI y 2 de los 3 vectores 𝑢̅𝑖 son LI. Esto quiere decir que la matriz 𝐴 debe estar conformada por 4 vectores: 2 LI y 2 LD. Construimos 𝐴 y resolvemos como corresponde

 4  1  1 a x   0 4  6 b y   1  0    2    1 0 c z   0  0 4  1 2a  0  0  16  6  2b  0  0  4  0  2c  0  0 a 5 b  11 c2 2

2  1  1 5 x   0 2     1   4  6 11 y    0  1 0 2 z  6 0    2   2  1 15  2x  0  8  6  66  2y  0  2  0  12  2z  0 x7 y  32 z5

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 1  1 5 7 2    A  4  6 11 32  1 0 2 5  

Una imprenta edita tres calidades de libros: con encuadernación rústica, con pasta dura y con empastados en cuero. Para los rústicos, la empresa gasta en promedio 5 soles en papel, 2 en ilustraciones y 3 en pastas. Para los de pasta dura los gastos son: 10 soles en papel, 4 en ilustraciones y 8 en pasta; y para los de lujo empastados en cuero, 20 soles en papel, 12 en ilustraciones y 24 en pastas. El presupuesto de tres empresas en papel, ilustraciones y pastas se detalla en la siguiente tabla: E1 235000 110000 205000

Papel Ilustraciones Pastas

E2 310000 156000 302000

E3 270000 132000 252000

¿Cuántos libros de cada categoría puede producir cada empresa? Plantee un sistema de ecuaciones lineales y resuélvalo 17. Utilizando el método de Gauss-Jordan. 18. Utilizando la inversa de la matriz de coeficientes. RESOLUCIÓN Pregunta N° 17 5 10 20 235000 310000 270000  1 0 0 15000 10000 12000 2 4 12 110000 156000 132000 ~ 0 1 0 8000 10000 9000     3 8 24 205000 302000 252000 0 0 1 4000 8000 6000 Pregunta N° 18 A

1

 0 2  1   3 3 1   2 2  10 1 1 0  10 4 

 0 2  1 235000 310000 270000 15000 10000 12000   1 x  A 1b   3  3 110000 156000 132000   8000 10000 9000 2 2   10 1 1 0 205000 302000 252000  4000 8000 6000  10 4 

Un estudio afirma que los alumnos que invierten más horas de estudio por semana obtienen mejores calificaciones. La tabla que se muestra a continuación indica el número de horas (por semana) que invirtieron 4 alumnos de ALG en estudiar antes de una evaluación y la nota que obtuvieron en dicha evaluación N° horas Nota

0 01

3 04

6 11

9 19

Plantee un sistema de ecuaciones lineales y encuentre un polinomio de interpolación de grado 3, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑, que estime la nota obtenida en función de número de horas de estudio. Si usted dedica 5.5 horas para el parcial de ALG, ¿logrará aprobar? 19. Resuelva el sistema lineal utilizando una factorización 𝐿𝑈. 20. Resuelva el sistema lineal utilizando la Regla de Cramer. RESOLUCIÓN Pregunta N° 19 1 0 1 3 A 1 6  1 9

0 0 1 9 27 H21(1) 0 36 216 H31(1) 0   81 729 H41(1) 0

0 0 0 1 0 3 9 27  6 36 216 H32(2) 0   9 81 729 H42(3) 0

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0 0 0 1 0 3 9 27  0 0 18 162   0 54 648 H43(3) 0

0 0 0 3 9 27 U 0 18 162  0 0 162

̅ ̅=b Ly 1 1  1  1

0 1 2 3

0 0 1 3

̅=y ̅ Ux  1  3  y   4    3

0 1 0 4 0 11  1 19

1 0  0  0

0 0 0 1 3 9 27 3 0 18 162 4  0 0 162  3

Nh  a0  a1h  a2h2  a3h3  1

7 2 h 18



1   0    x 7  18  1  54 

1 3 h 54

7 5.52  1 5.53  9,68 ¡Desaprueba! N5.5  1 18 ¡Desaprueba! 54

RESOLUCIÓN Pregunta N° 20

1 1 A  1 1



A1 b

1 4  11 19

0 0 0 1 0 0 0 3 9 27 0 3 9 27   1 3  18  162  8748 6 36 216 0 0 18 162 9 81 729 0 0 0 162

0 0 0 3 9 27 3 9 27 3 9 27  6 36 216 H21(2)  0 18 162  318  648  54  162  8748 6 36 216 9 81 729 H31(3) 0 54 648 9 81 729



1 1 0 0 1 1 0 0 3 9 27 1 4 9 27 H21(1) 0 3 9 27    10 36 216  27162  21681  72918  0 1 11 36 216 H31(1) 0 10 36 216 18 81 729 H 1 19 81 729 41(1) 0 18 81 729



1 1  1 1

A2 b

A3 b

0 1 0 1 0 1 0 3 3 27 H 3 4 27 21(1) 0 3 3 27   6 10 216  2718  21627  72912  3402 6 11 216 H31(1) 0 6 10 216 9 18 729 H 9 19 729 41(1) 0 9 18 729

1 1 A4 b  1 1



x1 

8748 1 8748

0 0 1 1 0 0 1 3 9 3 3 9 4 H21(1) 0 3 9 3   6 36 10  3162  10162  1854  162 6 36 11 H31(1) 0 6 36 10 9 81 18 9 81 19 H41(1) 0 9 81 18 x2 

0 0 8748

x3 

Nh  a0  a1h  a2h2  a3h3  1

3402 7  8748 18 7 2 h 18



x4 

162  1 54 8748

1 3 h 54

7 5.52  1 5.53  9,68 ¡Desaprueba! N5.5  1 18 ¡Desaprueba! 54

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