Oficina 062005

Capítulo 5

Exponenciais 5.1 Propriedades dos Expoentes Dados a ∈ R e n ∈ N, denota-se por an o produto de a por si mesmo n vezes, isto é

an = a · a · a · · · a (n fatores).

(5.1)

Como conseqüência de (5.1) temos as seguintes propriedades para os expoentes (m, n ∈ N): (i) am an = am+n ; (ii)

am an

= am−n ;

(iii) (am )n = amn ;

(iv) a−n =

1 an

(vii) 00 @

(v) a0 = 1, se a 6= 0; (vi) 0n = 0, se n 6= 0;

Além disto, denimos expoentes racionais (fracionários) como √ am/n = n am , onde ca subententido que m/n é uma fração irredutível e que a raiz n-ésima de am exista. A validade de (5.1) quando n é um número irracional é bem mais difícil de se estabelecer. Por exemplo, qual o signicado de √ 2 3 ? Apesar deste incoveniente, admitiremos, sem provas, que tanto (5.1) e as propriedades listadas continuam válidas para expoentes reais quaisquer. Para a desigualdade ax > ay observamos que: (i) se a > 1 então x > y ; (ii) se 0 < a < 1 então x < y .

5.2 Funções Exponenciais Uma função exponencial é uma função da forma

f (x) = ax ;

(5.2)

onde a base a é qualquer real positivo diferente de 1 (a ∈ R+∗ e a 6= 1). É importante distinguir potências da forma xa (a variável está na base) de exponenciais da forma ax (a variável está no expoente).

5.3 Problemas Propostos Problema 5.1 Escreva a expressão

r

√ 5 x x3 √ √ 3 4 x x7

na forma de expoente fracionário. 18

Problema 5.2 Sabendo-se que A =

3x +3−x 2

Problema 5.3 Simplique a expressão

eB=

3x −3−x , 2

determine A2 + B 2 .

2n+4 + 2n+2 + 2n−1 . 2n−2 + 2n−1

Problema 5.4 Resolva as equações exponenciais (a) 3x

2

√ (d) 8x−2 = 8 2;

= 243; √ (b) 27x = 3; +1

2

(c) (0.5)x

+x−12

= 1;

212;

(e) 2x 3x = 216;

(g) 16x 4x+3 − 8x+2 = 0;

(f ) 4x+2 + 4x−1 − 4x+1 + 4x =

(h) 28x − 4 · 24x − 32 = 0;

Problema 5.5 Resolva as inequações exponenciais (a) 2x+2 + 2x−1 > 3x−1 + 3x ;

(b)

¡

√1 2

¢ x−1 x−2

≥8

x−1 x

;

(c) 2x − 3 > −22−1 ;

Problema 5.6 Em uma colônia, o número N de bactérias em função do tempo t (em dias) é dada pela função exponencial N (t) = M 2kt , onde M e k são constantes. (a) Determine M e k sabendo-se que a população inicial (no tempo t = 0) é de 100 bactérias e que esta população se quadruplicou após um dia; (b) determine o número de bactérias presentes na colônia após cinco dias.

Problema 5.7 Se um raio de luz de intensidade k é projetado verticalmente para baixo na água, então a intensidade luminosa I a uma profundidade de h metros é dada por I(h) = k3αt , onde k e α são constantes.

(a) Determine k e α sabendo-se que a intensidade luminosa na superfície é de 12 lux/m2 e de 4 lux/m2 a um metro de profundidade; (b) determine a intensidade luminosa a 3 metros de profundidade.

5.4 Problemas Teóricos Problema Teórico 5.1 Suponha que uma quantia de capital C é capitalizada periodicamente a uma taxa de

juros j . Use indução matemática para mostrar que o montante de capital M após n períodos é dado pela função exponencial µ ¶n j M (n) = C 1 + . 100

5.5 Respostas dos Problemas Propostos - Capítulo 5 • 5.1 (página 18) x−15/46 • 5.2 (página 19)

(a) x < 3 (b) 0 < x ≤ 1

32x +3−2x 2

• 5.3 (página 19) 82/3

ou 12/7 ≤ x2

(c) x > 0

• 5.6 (página 19)

• 5.4 (página 19)

(a) x = ±2

x=3

(f) x = 2

(b) x = 5/3

(d) x = 19/6

(g) x = 0

(c) x = −4 ou

(e) x = 3

(h) x = 3/4

(a) M = 100 e k = 2

(b) N (5) = 102.400

• Problema 5.7 (página 19)

• 5.5 (página 19)

(a) K = 12 e α = −1

19

(b) I(3) = 12/27