NUMERE REALE Radacina patrata.
Radacina patrata a unui numar rational pozitiv.
x
5
0,4
-11
x2
25
0,16
121
-1,0(3) 961 900
2 3 4 9
−8
64
Observam ca patratul unui numar rational este un numar pozitiv. • Un numar natural este patrat perfect daca este patratul unui numar intreg. Definitie: Numarul rational se numeste radacina patrata a x •
numarului a daca
.
a = x2 Se scrie:
a= x Semnul
se numeste radical . In cazul radacinii patrate acesta
este radical de ordinul 2. (Mai exista si radicali de ordin superior lui 2.) EXTRAGEREA RADACINII PATRATE DINTR-UN NUMAR NATURAL PATRAT PERFECT. Pentru a calcula radacina patrata exista mai multe metode: • Descompunem numarul in factori primi si scriem numarul ca putere( de 2 sau multiplii de 2). Baza puterii este radacina patrata. 1
( ) ⇒ 256 = 2 = 16 ⋅ 3 = ( 2 ⋅ 3) ⇒ 144 = 2 ⋅ 3 = 12
256 = 2 8 = 2 4 144 = 2 4
2
2
4
(
324 = 2 ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 2
•
4
2
2
)
2 2
2
⇒ 324 = 2 ⋅ 3 2 = 18
Algoritmul de extragere a radacinii patrate:
1. se desparte numarul in grupe de cate doua cifre de la dreapta
la stanga:
1296 2. Cautam numarul cel mai mare al carui patrat este mai mic sau ce lult egal
cu numarul format din prima grupa de cifre (12) si il scriem in dreapta pe pozitia catului. Scadem apoi patratul acestui numar din prima grupa de doua cifre:
1296 3 9 3 3. Langa primul rest (3) coboram grupa a doua de cifre (96), dublam primul
cat (3) si il asezam sub acesta:
1296 3 9 6 396 4. Vedem de cate ori se cuprinde catul dublat (6) in numarul obtinut la rest
din care inlaturam ultima cifra (39) si-l adaugam langa numarul dublat si inmultim cu el. Rezultatul(396) il scadem din numarul obtinut la rest(396). Restul este 0. Numarul cu care am inmultit il adaugam langa primul cat:
2
1296 36 9 66 ⋅ 6 = 396 396 396 === 5. Operatia se repeat de la coborarea unei alte perechi de cifre si dublarea
primului cat pana restul devine 0 sau pana se termina toate perechile de cifre. Rezultatul este catul obtinut pe prima linie (36).
3
EXTRAGEREA RADACINII PATRATE DINTR-UN NUMAR RATIONAL SCRIS SUB FORMA DE FRACTIE ORDINARA. Daca avem fractia ireductibila :
a , a, b ∈ N , b ≠ 0 si∃c, d ∈ N , a = c 2 , b = d 2 ⇒ b ⇒
a = b
2
c2 c c = = d d2 d
EXTRAGEREA RADACINII PATRATE DINTR-UN NUMAR RATIONAL SCRIS SUB FORMA DE FRACTIE ZECIMALA. 1. Se desparte numarul de la virgula
382, 5936 19,56 1 29 ⋅ 9 = 261 282 385⋅ 5 = 1925 261 3906⋅ 6 = 23436 = 2159 1925 = 23436 23436
spre stanga si de la virgula spre dreapta in grupe de cate doua cifre. 2. Se aplica acelasi procedeu ca la numerele fara virgula. 3. Se poate intampla san u putem face grupe de cate doua cifre de la virgula spre dreapta si in acest caz se completeaza cu cifra 0. 4. Daca numarul rational din care extragem radacina patrat nu este patrat perfect, de obicei se extrag doua zecimale dupa virgula.
APROXIMARI Numerele invatate pana acum sunt numerele rationale, adica numerele care se pot scrie sub forma
a , b ≠ 0, a, b ∈ Z b Exista si numere care nu se pot scrie sub forma de mai sus si anume fractiile zecimale infinite neperiodice. 4
Exemplu: 2 = 1.41142135...... 3 = 1,7320508.......
Aceste numere nu sunt rationale , caci nu se pot scrie sub forma
si ele a b
formeaza multimea numerelor IRATIONALE, notata cu I In calcule fiindca nu putem scrie valoarea exacta a lor, le aproximam, adica le scriem sub forma de fractie zecimala cu una, doua sau mai multe zecimale. De exemplu:
2 ≈ 1,41; 3 ≈ 1,73 Aceste aproximari pot fi prin lipsa sau prin adios: Aproximare 2 prin lipsa: Aproximatie de o unitate 1 Aproximatie de o zecime 1,4 Aproximatie de o sutime 1,41 Aproximatie de o miime 1,414
Aproximare prin adios: 2 1,5 1,42 1,415
3
Aproximatie de o unitate Aproximatie de o zecime Aproximatie de o sutime Aproximatie de o miime
1 1,7 1,73 1,732
2 1,8 1,74 1,733
Numerele irationale pot fi approximate si prin rotunjire. Rotunjire la prima zecimala 2,6 7 = 2,6457.....
Rotunjire la a doua zecimala 2,65 Rotunjire la a treia zecimala 2,646 • Ultima zecimala la care se face rotunjirea ramane neschimbata daca dupa ea urmeaza 0,1,2,3,4. • Ultima zecimala la care se face rotunjirea se mareste cu 1 daca dupa ea urmeaza 5,6,7,8,9. 5
6
Multimea numerelor reale: Notam cu: • N – multimea numerelor natural, • Z – multimea numerelor intregi, • Q – multimea numerelor rationale, • I – multimea numerelor irationale, • R – multimea numerelor reale. Atunci:
IR Q Z N
7
Sau:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R I
8