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OCM09 Blog Problemas Nivel Superior Miguel Moreno 23 de marzo de 2009
1.
Geometr´ıa
1. Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD tales que AB = 2CD. Por A se traza la recta r perpendicular a BC y por B la recta t perpendicular a AD. Sea P el punto de intersecci´on de r y t. Por C se traza la recta s perpendicular a BC y por D la recta u perpendicular a AD. Sea Q el punto de intersecci´on de u y s. Si R es el punto de intersecci´on de las diagonales. Demostrar que P , Q y R son colineales. 2. Sea ABC un tri´ angulo acutangulo, y AD, BE, CZ sus alturas y H so ortocentro. Sean AI y AQ las bisectrices internas y externas de ∠A. Sean M, N los puntos medios de BC y AH respectivamente. Demostrar a) M N ⊥ EZ. b) Si M N corta a AI, AQ en K, L. Entonces KL = M N . 3. Sea O un punto dentro del paralelogramo ABCD talque ∠AOB+∠COD = π. Demostrar que ∠OBC = ∠ODC. 4. Un tri´ angulo acutangulo ABC esta inscrito en una circunferencia de centro O. Las alturas del tri´ angulo son AD, BE y CF . La recta F E corta a la circunferencia en P y Q. Demostrar a) OA ⊥ P Q. b) Si M es el punto medio de BC, entonces AP 2 = 2AD · OM .
´ Algebra
2.
1. Hallar todas las funciones f : R −→ R, continuas que satisfacen: f (x + y) − f (x) − f (y) = 3x2 y + 3xy 2 . 1
2. Sea p ≥ 2 un real. Demostrar que para todos los reales no negativos se tiene: s s s 3 + pabc 3 + pabc a b c3 + pabc 3 + 3 + 3 ≤a+b+c 1+p 1+p 1+p 3. Encontrar todas las parejas (n, r), con n entero positivo y r real, tales que el polinomio (x + 1)n − r es divisible por 2x2 + 2x + 1. 4. Sea P un polinomio de grado impar tal que P (x2 − 1) = P (x)2 − 1 demostrar que P (x) = x.
3.
Teor´ıa de N´ umeros
1. Un numero natural n es abundante si la suma de sus divisores es mayor que 2n. Demuestre que existen infinitos n´ umeros abundantes. 2. Sean a, b impares positivos. Se define {fn } como: f1 = a, f2 = b y para n ≥ 3 fn es el mayor impar que divide a fn−1 + fn−2 . Demuestre que fn es constante para un n suficientemente grande. 3. Demuestre que para todo n ≥ 2, se tiene Q (aj − ai ) Q1≤i≤j≤n 1≤i≤j≤n (j − i) es entero. 4. Sea φ(5m − 1) = 5n − 1 para algunos enteros positivos m, n. Demostrar (m, n) > 1.
4.
Combinatoria
1. Algunas de las personas asistentes a una reuni´on se saludan mutuamente. Sea n el numero de personas que saludan a un numero impar de personas. Demostrar que n es impar. 2. Sea S = {1, 2, . . . , n} y A1 , A2 , . . . , Ak subconjuntos de S tales que para 1 ≤ i1 , i2 , i3 , i4 ≤ k, se tiene | Ai1 ∪ Ai2 ∪ Ai3 ∪ Ai4 |≤ n − 2 donde | B | es la cantidad de elementos de B. Demostrar que k ≤ 2n−2 . 2
3. Sea S un subconjunto de {1, 2, . . . , 1989} tal que no hay dos elementos de S que estan a difrencia 4 o 7. Cual es el mayor numero de elementos que puede tener S? 4. Alrededor de una mesa redonda estan sentados respresentantes de n paises (n ≥ 2), de modo que satisfacen la siguiente condicion: si dos personas son del mismo pais, entonces sus respectivos vecinos de la derecha no pueden ser de un mismo pais. Determinar, para cada n, el numero maximo de personas que puede haber alrededor de la mesa.
3
1.
Geometr´ıa
1. Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD tales que AB = 2CD. Por A se traza la recta r perpendicular a BC y por B la recta t perpendicular a AD. Sea P el punto de intersecci´on de r y t. Por C se traza la recta s perpendicular a BC y por D la recta u perpendicular a AD. Sea Q el punto de intersecci´on de u y s. Si R es el punto de intersecci´on de las diagonales. Demostrar que P , Q y R son colineales. 2. Sea ABC un tri´ angulo acutangulo, y AD, BE, CZ sus alturas y H so ortocentro. Sean AI y AQ las bisectrices internas y externas de ∠A. Sean M, N los puntos medios de BC y AH respectivamente. Demostrar a) M N ⊥ EZ. b) Si M N corta a AI, AQ en K, L. Entonces KL = M N . 3. Sea O un punto dentro del paralelogramo ABCD talque ∠AOB+∠COD = π. Demostrar que ∠OBC = ∠ODC. 4. Un tri´ angulo acutangulo ABC esta inscrito en una circunferencia de centro O. Las alturas del tri´ angulo son AD, BE y CF . La recta F E corta a la circunferencia en P y Q. Demostrar a) OA ⊥ P Q. b) Si M es el punto medio de BC, entonces AP 2 = 2AD · OM .
´ Algebra
2.
1. Hallar todas las funciones f : R −→ R, continuas que satisfacen: f (x + y) − f (x) − f (y) = 3x2 y + 3xy 2 . 1
2. Sea p ≥ 2 un real. Demostrar que para todos los reales no negativos se tiene: s s s 3 + pabc 3 + pabc a b c3 + pabc 3 + 3 + 3 ≤a+b+c 1+p 1+p 1+p 3. Encontrar todas las parejas (n, r), con n entero positivo y r real, tales que el polinomio (x + 1)n − r es divisible por 2x2 + 2x + 1. 4. Sea P un polinomio de grado impar tal que P (x2 − 1) = P (x)2 − 1 demostrar que P (x) = x.
3.
Teor´ıa de N´ umeros
1. Un numero natural n es abundante si la suma de sus divisores es mayor que 2n. Demuestre que existen infinitos n´ umeros abundantes. 2. Sean a, b impares positivos. Se define {fn } como: f1 = a, f2 = b y para n ≥ 3 fn es el mayor impar que divide a fn−1 + fn−2 . Demuestre que fn es constante para un n suficientemente grande. 3. Demuestre que para todo n ≥ 2, se tiene Q (aj − ai ) Q1≤i≤j≤n 1≤i≤j≤n (j − i) es entero. 4. Sea φ(5m − 1) = 5n − 1 para algunos enteros positivos m, n. Demostrar (m, n) > 1.
4.
Combinatoria
1. Algunas de las personas asistentes a una reuni´on se saludan mutuamente. Sea n el numero de personas que saludan a un numero impar de personas. Demostrar que n es impar. 2. Sea S = {1, 2, . . . , n} y A1 , A2 , . . . , Ak subconjuntos de S tales que para 1 ≤ i1 , i2 , i3 , i4 ≤ k, se tiene | Ai1 ∪ Ai2 ∪ Ai3 ∪ Ai4 |≤ n − 2 donde | B | es la cantidad de elementos de B. Demostrar que k ≤ 2n−2 . 2
3. Sea S un subconjunto de {1, 2, . . . , 1989} tal que no hay dos elementos de S que estan a difrencia 4 o 7. Cual es el mayor numero de elementos que puede tener S? 4. Alrededor de una mesa redonda estan sentados respresentantes de n paises (n ≥ 2), de modo que satisfacen la siguiente condicion: si dos personas son del mismo pais, entonces sus respectivos vecinos de la derecha no pueden ser de un mismo pais. Determinar, para cada n, el numero maximo de personas que puede haber alrededor de la mesa.
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