Notions Sur Les Tenseurs

NOTIONS SUR LES TENSEURS – Partie 1

Repère cartésien oblique - Covariance et contrevariance Définitions  Soient les vecteurs ei où i = (1,2,3) de la base d'un repère cartésien oblique Rc ayant son origine en O.   A tout point P correspond un vecteur x = P − O et un système de trois quantités xi = x.ei ; réciproquement, les trois quantités xi déterminent la position du point P , on les appelle coordonnées  covariantes du point P ou composantes covariantes du vecteur x .    i Le vecteur x peut aussi s'exprimer linéairement en fonction des vecteurs ei de la base ; on écrit x = x ei (où i est un indice de sommation) et on appelle les coefficients x i les coordonnées contrevariantes du point P  ou composantes contrevariante du vecteur x . La justification des qualificatifs covariant et contrevariant sera donnée plus loin. Relations entre les x i et les xi       xi = x ⋅ ei = x j e j ⋅ ei = g ij x j (en posant g ij = ei .e j ) Il y a correspondance biunivoque entre les xi et les x i , et la matrice des g i j est symétrique et inversible, de sorte que les x j sont exprimables en fonction des xi : x j = g ji xi avec g ji =

cofacteur g i j g

, où g est le déterminant de la matrice ( g i j )

      x = x i ei = x j g ji ei = x j e j (en posant e j = g ji ei ) ;  les vecteurs e j sont linéairement indépendants puisque le déterminant          1 D(e 1 , e 2 , e 3 ) = D( g 1i ei , g 2 j e j , g 3k ek ) = g 1i g 2 j g 3k D(ei , e j , ek ) = η ijk g 1i g 2 j g 3k = g calculé par rapport à Rc , est différent de zéro.   On peut adopter le système des vecteurs e j comme nouvelle base, on l'appelle base duale des ei . On définit un nouveau repère Rc * appelé repère dual de Rc , construit sur les vecteurs de la base duale associée au point O.     k  g ij e j = g ij g jk ek = δ i ek = ei , on obtient ainsi les ei linéairement en fonction des e j On a les relations :     e i ⋅ x = g ij e j ⋅ x = g ij x j = x i     x = x i ei = x i g ij e j = x j e j     j ei ⋅ e j = ei ⋅ g jk ek = g jk g ik = δ i 1

Ces relations montrent que chaque axe de Rc * est perpendiculaire à un plan de coordonnées de Rc et, réciproquement, chaque axe de Rc est perpendiculaire à un plan de coordonnées de Rc * ; les deux trièdres i  formés par Rc et Rc * sont dits supplémentaires. De plus le produit scalaire e .ei ( i étant fixé et non pas ici indice de sommation) est égal à l'unité. En vue d'harmoniser les symboles, nous poserons :   e i ⋅ e j = g ij , on a bien entendu g ij = δ ij Remarques : 1) en repère cartésien orthonormé, les matrices ( g ij ) et ( g jk ) sont des matrices unité et l'on a :   xi = x i et e i = ei , il n'y a pas lieu de faire la distinction entre un indice placé en position supérieure et ce même indice placé en position inférieure. 2) dans un monôme, une contraction (ou sommation) s'effectue sur deux indices muets, l'un placé en position supérieure et l'autre en position inférieure. Il en est toujours ainsi quand le repère n'est pas orthonormé.

Coordonnées curvilignes générales - Repère local Les points de l'espace étant rapportés à un repère cartésien Rc , donnons-nous les coordonnées cartésiennes x α d'un point P en fonction de coordonnées curvilignes quelconques x i . On suppose que la correspondance x α = x α ( x i ) avec ( x i ) = ( x 1 , x 2 , x 3 ) , est biunivoque, continue et à dérivées continues. La position du point P est aussi bien déterminée par les x i que par les x α : on dit que les variables x i constituent un système de coordonnées. Quand une des variables x i varie seule, le point P décrit une ligne Li que l'on appelle ligne coordonnée. Si les relations x α = x α ( x i ) sont linéaires, les lignes Li sont des droites comme les lignes Lα qui correspondent aux coordonnées cartésiennes. On dit alors que les coordonnées x i sont rectilignes. En général les lignes coordonnées sont des courbes : on dit alors que les x i sont des coordonnées curvilignes. Si les lignes Li sont orthogonales entre elles, les coordonnées x i sont dites orthogonales. Les coordonnées cylindriques et les coordonnées sphériques sont deux exemples de coordonnées curvilignes orthogonales.

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Définition des vecteurs de la base du repère local   P = P ( x i ) avec ( x i ) = ( x 1 , x 2 , x 3 ) les coordonnées curvilignes   ∂P i  dP = i dx = P, i dx i = ei dx i ∂x   ∂P  ei = i = P, i ∂x  associés au point P, les vecteurs ei constituent un repère R , dit repère local, pour le système donné des  coordonnées curvilignes. Chaque vecteur ei est évidemment tangent à la ligne coordonnée Li passant par P et il est orienté dans le sens des x i croissants le long de cette ligne. Remarques : Pour des coordonnées rectilignes, les relations x α = x α ( x i ) avec ( x i ) = ( x 1 , x 2 , x 3 ) , sont linéaires de la  α α i α forme x = ai x où les coefficients ai sont des constantes; les dérivées P, i dont les composantes suivant  Rc sont les aiα , sont alors elles-mêmes des constantes. Réciproquement, si les ei sont des constantes par rapport à Rc , les relations x α = x α ( x i ) avec ( x i ) = ( x 1 , x 2 , x 3 ) sont linéaires et les coordonnées x i sont rectilignes. En dehors de ce cas, les vecteurs du repère R dépendent de la position du point P; c'est pourquoi on définit un repère local au point P. Pour les coordonnées curvilignes covariantes et les vecteurs de la base duale locale, on retrouve des formules analogues à celles démontrées en repère cartésien oblique, mais en raisonnant sur les dxi puisque nous sommes en repère local. Posons par définition :     g ij = ei ⋅ e j et dxi = dP ⋅ ei  j  j alors : dxi = (e j dx ) ⋅ ei = g ij dx Par un raisonnement analogue à celui mené en repère cartésien oblique et en remarquant qu'il y a correspondance biunivoque entre les dxi et les dx j , alors la matrice g ij est inversible et les dx j sont exprimables en fonction des dxi . En appelant g ij la matrice inverse de la matrice g ij , on a : dx j = g ji dxi       dP = ei dx i = ei g ij dx j = e j dx j , où on pose e j = g ji ei       dP = ei dx i = e j dx j = e j g ji dx i , on voit que ei = g ij e j       ei ⋅ e j = ei ⋅ ( g jk ek ) = g jk (ei ⋅ ek ) = g jk g ik = δ i j j j On a donc, en posant g i = δ i pour harmoniser la notation :       ei ⋅ e j = g ij et e i ⋅ e j = g ik ek ⋅ e j = g ik g kj = g ij

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Changement de système de coordonnées   ′ ′ ′ ′ P = P ( x α ′ ) avec ( x α ) = ( x 1 , x 2 , x 3 ) coordonnées curvilignes en repère local R ′   ∂P α ′  dP = α ′ dx = P,α ′ dx α ′ = eα ′ dx α ′ ∂x    ∂P eα ′ = P,α ′ = α ′ sont les vecteurs de la base du repère local R ′ en chaque point P. ∂x Les x α ′ étant fonctions des x i du repère local R , on peut écrire :      ∂P eα ′ = α ′ = P,α ′ = P, i x i ,α ′ = ei x i ,α ′ ( relations de la transformation R → R ′ ) ∂x de même :    ∂P   ei = i = P, i = P,α ′ x α ′ , i = eα ′ x α ′ , i (relations de la transformation inverse R ′ → R ) ∂x On a évidemment :      ei = P , i = P , α ′ x α ′ , i = P , j x j , α ′ x α ′ , i = P , j δ i j j α′ j donc x ,α ′ x , i = δ i

On a aussi :

  i , i ∂P ∂P ∂xα ′ α ′ , i e =P = = = e xα ′ ∂xi ∂xα ′ ∂xi     ∂P ∂P ∂x i eα ′ = P,α ′ = α ′ = i α ′ = ei x,i α ′ ∂x ∂x ∂x i i  j e ⋅ eα ′ = e ⋅ e j x, α ′ = g ij x, jα ′ = x,i α ′     eα ′ ⋅ e i = eα ′ ⋅ e β ′ x β, i′ = g αβ′′ x β, i′ = xα, ′i

Comme les deux produits scalaires ci-dessus sont égaux, on a finalement : xα, ′i = x,i α ′ relation très utile dans les calculs.

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Notions de tenseurs Définition du produit tensoriel de deux vecteurs   A chaque couple de vecteurs x et y de l'espace vectoriel E de dimension n , et pour un repère donné R ,   associons un être mathématique noté x ⊗ y et constitué par le système des produits xi y j des composantes   de x et de y .   Ces n 2 produits sont appelés composantes de x ⊗ y . Définition d'un tenseur du second ordre ⇒

Nous généralisons en associant au repère R des éléments dont chacun, représenté par le symbole t , est ⇒ constitué par un système de n 2 quantités arbitraires t ij appelées composantes de t .   ⇒ Les éléments x ⊗ y forment un sous-ensemble des éléments t . ⇒

L'ensemble des éléments t est doté des propriétés suivantes : ⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

t =0

t =p

si

t ij = 0

si

t ij = pij

⇒

t = p + q si

t ij = pij + qij

⇒

t ij = α pij

⇒

si

t =α p

Il en résulte les quatre propriétés suivantes pour l'opération d'addition : ⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

( t + p ) + q = t + ( p + q ) associativité ⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

commutativité

t + p = p+ t

⇒

élément neutre 0

t+0 = t

⇒

⇒

⇒

t ′ élément opposé de t (et noté − t )

t + t′ = 0

Pour l'opération de multiplication par un nombre, on a les quatre propriétés : ⇒

⇒

associativité

(αβ ) t = α ( β t ) ⇒

⇒

⇒

(α + β ) t = α t + β t ⇒

⇒

⇒

distributivité

⇒

α ( t + p) = α t + α p ⇒

⇒

1× t = t

élément numérique neutre α = 1 ⇒

Il en résulte que l'ensemble des éléments t constitue un espace vectoriel. Il s'agit d'un espace à n 2 dimensions, puisque chaque élément est déterminé par n 2 composantes : nous désignons cet espace vectoriel par E 2 et nous appelons tenseur du second ordre chacun de ses éléments. 5

Parmi eux, nousappelons produit tensoriel de deux vecteurs chacun des éléments que nous avons représenté  par le symbole x ⊗ y . Remarquons que les produits tensoriels ne forment pas un sous-espace vectoriel car une somme telle que     x ⊗ y + u ⊗ v est un élément ⇒t qui n'appartient pas en général à l'ensemble des produits tensoriels de deux vecteurs. On a encore deux propriétés importantes sur l'ensemble des produits tensoriels de deux vecteurs :       α ( x ⊗ y ) = αx ⊗ y = x ⊗ αy associativité        x ⊗ ( y + z) = x ⊗ y + x ⊗ z distributivité à droite        ( x + y ) ⊗ z ) = x ⊗ z + y ⊗ z distributivité à gauche On a en effet les mêmes composantes αxi y j pour les différents membres de la première suite d'égalités et les deus membres de chacune des deux dernières égalités ont les mêmes composantes qui sont respectivement xi y j + xi z j et xi z j + y i z j .   A l'aide de ces dernières propriétés, on peut exprimer linéairement le produit tensoriel x ⊗ y en fonction des     produits ei ⊗ e j des vecteurs du repère R ou des produits e i ⊗ e j des vecteurs du repère dual R * ou encore  j en fonction des produits ei ⊗ e des vecteurs de R et de R * . Il vient :       x ⊗ y = x i ei ⊗ y j e j = x i y j ei ⊗ e j       x ⊗ y = xi e i ⊗ y j e j = x i y j e i ⊗ e j       x ⊗ y = x i ei ⊗ y j e j = x i y j ei ⊗ e j    j   On remarque que les coefficients des ei ⊗ e j , des e i ⊗ e j et des ei ⊗ e sont les composantes du produit   tensoriel x ⊗ y , appelées respectivement composantes contrevariantes, covariantes et mixtes. Changement de repère – Critère fondamental de tensorialité     Exprimons maintenant les vecteurs ei et e j du repère R en fonction des vecteurs eα ′ et e β ′ d'un autre repère R ′ . Il vient :         x ⊗ y = x i y j ei ⊗ e j = x i y j aiα ′ eα ′ ⊗ a βj ′ e β ′ = aiα ′ x i a βj ′ y j eα ′ ⊗ e β ′ Or, on a : ′ ′ aiα ′ x i = x α ′ et a βj y j = y β     α′ β ′  i j d'où il résulte x ⊗ y = x y eα ′ ⊗ e β ′ = x y ei ⊗ e j     ′ ′ Les coefficients x α y β des eα ′ ⊗ e β ′ sont les composantes de x ⊗ y par rapport au nouveau repère R ′ ,     comme les coefficients x i y j des ei ⊗ e j sont les composantes de x ⊗ y par rapport au repère R .

Il n'est donc pas nécessaire de préciser le repère utilisé quand on définit le produit tensoriel de deux vecteurs.   x ⊗ y est indépendant du repère, c'est un invariant tensoriel, on a en effet :       x ⊗ y = x α ′ y β ′ eα ′ ⊗ e β ′ = x i y j ei ⊗ e j ⇒

Pour tout tenseur t de l'espace vectoriel E 2 , on a également : 6

 αβ ij  ij  α  β ij α β αβ   t = t ij ei ⊗ e j car les composantes du second membre : (t ei ⊗ e j ) = t (ei ) (e j ) = t δ i δ j = t sont

⇒

⇒

précisément celles de t .     ⇒ Cette expression linéaire de t en fonction des ei ⊗ e j étant unique, les produits ei ⊗ e j forment une base pour l'espace vectoriel E 2 . ⇒

Exprimons t par rapport au nouveau repère R ′ .   On a, en calculant ei ⊗ e j en fonction des vecteurs du repère R ′ : ⇒

    t = t ij ei ⊗ e j = a iα ′ a βj ′ t ij eα ′ ⊗ e β ′

α ′β ′ = aiα ′ a βj ′ t ij Posons t ⇒ Il vient t = t α ′β ′ eα ′ ⊗ eβ ′

  ⇒ On appelle composantes de t par rapport à R ′ les coefficients t α ′β ′ des produits eα ′ ⊗ e β ′ Les nouvelles composantes t α ′β ′ sont obtenues à partir des anciennes t ij par la même formule de   α′ β ′ α′ β ′ i j transformation x y = ai a j x y qui exprime les nouvelles composantes du produit tensoriel x ⊗ y en fonction des anciennes. ⇒ Des égalités t = t ij ei ⊗ ej = t α ′β ′ eα ′ ⊗ eβ ′ = a iα ′ a βj ′ t α ′β ′ ei ⊗ ej , il vient, par identification des coefficients des   ei ⊗ e j , la formule de transformation inverse t ij = aαi ′ a βj ′ t α ′β ′ analogue à celle que l'on a pour les i j i j α′ β′ composantes du produit tensoriel x y = aα ′ a β ′ x y ⇒

Réciproquement, si les composantes de t , associées à un repère R , se transforment suivant les formules ⇒ précédentes dans un changement de repère, l'être mathématique t = t ij ei ⊗ ej = t α ′β ′ eα ′ ⊗ eβ ′ est indépendant du repère, c'est un invariant. L'une ou l'autre des deux formules de transformation des composantes, exprime par conséquent les ⇒ conditions nécessaires et suffisantes pour que l'être mathématique t = t ij ei ⊗ ej soit indépendant du repère. Nous disons que ces conditions constituent un critère fondamental de tensorialité. Justification des qualificatifs covariant et contrevariant ⇒

Les composantes covariantes d'un vecteur x se transforment de la manière suivante quand on passe de R à R′ .     xα ′ = x ⋅ eα ′ = x ⋅ ei aαi ′ = aαi ′ xi . Si l'on compare ce résultat à la formule de transformation des vecteurs de la base, soit   eα ′ = aαi ′ ei , on s'aperçoit que les coefficients sont les mêmes dans les deux formules. Les composantes covariantes d'un vecteur se transforment suivant la même loi linéaire que celle des vecteurs de la base : c'est pour cette raison que les composantes xi sont appelées covariantes.

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Chaque fois qu'un indice occupe une position inférieure, la loi de transformation qui lui correspond est celle des vecteurs de la base et elle est dite covariante. ⇒

Les composantes contrevariantes du vecteur x , se transforment de la manière suivante :     x = x i ei = x i aiα ′ eα ′ = x α ′ eα ′ α′ α′ i d'où résulte l'égalité x = a i x

 α′  Comparant le résultat obtenu à la formule de transformation ei = ai eα ′ des vecteurs de la base, on voit qu'il s'agit de la même loi linéaire quand on passe de R à R ′ pour les composantes et de R ′ à R pour les vecteurs de la base. C'est pour cette raison que les composantes x i sont appelées contrevariantes ; Chaque fois qu'un indice occupe une position supérieure, la loi de transformation est contraire à celle des vecteurs de la base et elle est dite contrevariante. Tenseur métrique fondamental de l'espace vectoriel   i  j Posons g ij = ei ⋅ e j (produit scalaire) et étudions la transformation de l'expression g i j e ⊗ e dans un changement de repère.             g i j e i ⊗ e j = ei ⋅ e j aαi ′ a βj ′ e α ′ ⊗ e β ′ = eα ′ ⋅ e β ′ e α ′ ⊗ e β ′ = g α ′β ′′ e α ′ ⊗ e β ′ On voit que cette expression est indépendante du repère, c'est celle d'un tenseur que l'on appelle le tenseur ⇒

métrique fondamental g de l'espace vectoriel E 2 ,     g = g i j e i ⊗ e j où g ij = ei ⋅ e j

⇒

Tenseurs d'ordre supérieur au second On généralise sans difficulté, en définissant des produits tensoriels de n vecteurs et des tenseurs d'ordre n :       x1 ⊗ x 2 ⊗ ⋅ ⋅ ⋅ ⊗ x n = x1i1 x 2i2 ⋅ ⋅ ⋅ x nin ei1 ⊗ ei2 ⊗ ⋅ ⋅ ⋅ ⊗ ein ⇒

   t = t i1i2 ⋅⋅⋅in ei1 ⊗ ei2 ⊗ ⋅ ⋅ ⋅ ⊗ ein

   Comme on l'a démontré précédemment pour l'ordre 2, les produits tensoriels ei1 ⊗ ei2 ⊗ ⋅ ⋅ ⋅ ⊗ ein de n vecteurs d'une base de l'espace vectoriel E à p dimensions, forment une base pour l'espace vectoriel E n à p n dimensions.

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Invariance des égalités tensorielles (notion particulièrement utile) Un tenseur étant un être indépendant du repère de formulation, il est évident que toute égalité tensorielle est elle aussi indépendante de ce repère. Pratiquement ce sont des égalités entre composantes de tenseurs que l'on aura à considérer. Ces composantes dépendent du repère choisi mais, si une égalité entre composantes de tenseurs est vérifiée pour tel repère, elle subsiste pour tout autre repère. ⇒

⇒ Considérons par exemple l'égalité t ij = qij entre les composantes d'un tenseur t et celles d'un tenseur q par rapport à un repère R ; pour un autre repère R ′ , on a :

tα ′β ′ − qα ′β ′ = aαi ′ a βj ′ (t ij − qij ) d'où il résulte que l'égalité t ij = qij entraîne tα ′β ′ = qα ′β ′ . On dit pour cette raison qu'une égalité tensorielle est invariante. Il en résulte que l'on pourra faciliter l'étude de nombreuses questions tensorielles en utilisant tel repère particulier, un repère orthonormé par exemple, choisi de manière que les composantes s'expriment aussi simplement que possible.

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