Nombres Premiers
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NOMBRES PREMIERS 1) Définition Définition : Un nombre entier naturel est dit premier s’il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Remarque : On considère que 1 n’est pas un nombre premier. Exemples : 3, 5, 13, 71 sot des nombres premiers. 14 n’est pas un nombre premier : il est divisible par 1, 2, 7 et 14 Propriété Soit a un entier naturel strictement supérieur à 1. a possède au moins un diviseur premier. si a n'est pas premier, alors au moins un des diviseurs premiers de a est inférieur ou égal à a .
2) Critères de divisibilité
Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par un nombre pair Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est multiple de 3 Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5 Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est multiple de 9
J.HERTZOGColegio Francia - CARACAS
2008/2009
3) Méthode de recherche d’un nombre premier Pour savoir si un nombre est premier ou non, on le divise successivement par les nombres premiers jusqu’à ce que le quotient obtenu soit inférieur au diviseur Exemple : 157 est-il premier ? 157 n’est pas divisible par 2 et 157/2 = 75,5 ce qui est supérieur à 2 157 n’est pas divisible par 3 et 157/3 = 52,3.. ce qui est supérieur à 3 157 n’est pas divisible par 5 et 157/5 = 31,4 ce qui est supérieur à 5 157 n’est pas divisible par 7 et 157/7 = 22,4.. ce qui est supérieur à 7 157 n’est pas divisible par 11 et 157/11 = 14,3.. ce qui est supérieur à 11 157 n’est pas divisible par 13 et 157/13 = 12,0.. ce qui est inférieur à 13 Conclusion : 157 n’est pas un nombre premier
4) Décomposition en facteurs premiers Décomposer en produit de facteurs premiers signifie trouver tous les diviseurs premiers d’un nombre On regarde d’abord combien le nombre est divisible par 2, puis par 3, 5, 7 … Exemple : Décomposer 1050 1050 525 175 35 7 1
2 3 5 5 7
donc, 1050 = 2 3 52 7
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Crible d’Ératosthène Le crible d'Eratosthène est une méthode permettant d'obtenir tous les nombres premiers inférieurs à un nombre donné. Pour trouver par exemple tous les nombres premiers inférieurs à 100, on écrit dans un tableau tous les nombres de 1 à 100.
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On raye le nombre 1 qui n'est pas premier. Le premier nombre non rayé est 2, il est premier. On raye tous les multiples de 2 supérieurs à 2. Le premier nombre non rayé est 3, il est premier. On raye tous les multiples de 3 supérieurs à 3. Le premier nombre non rayé est 5, il est premier. On raye tous les multiples de 5 supérieurs à 5. Le premier nombre non rayé est 7, il est premier. On raye tous les multiples de 7 supérieurs à 7. Le premier nombre non rayé est 11, il est premier. On peut s'arrêter car 11 > 100 . On a obtenu alors dans les cases non rayées, les nombres premiers inférieurs à 100.
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Crible d’Ératosthène Le crible d'Eratosthène est une méthode permettant d'obtenir tous les nombres premiers inférieurs à un nombre donné. Pour trouver par exemple tous les nombres premiers inférieurs à 100, on écrit dans un tableau tous les nombres de 1 à 100.
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2) Critères de divisibilité
Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par un nombre pair Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est multiple de 3 Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5 Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est multiple de 9
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3) Méthode de recherche d’un nombre premier Pour savoir si un nombre est premier ou non, on le divise successivement par les nombres premiers jusqu’à ce que le quotient obtenu soit inférieur au diviseur Exemple : 157 est-il premier ? 157 n’est pas divisible par 2 et 157/2 = 75,5 ce qui est supérieur à 2 157 n’est pas divisible par 3 et 157/3 = 52,3.. ce qui est supérieur à 3 157 n’est pas divisible par 5 et 157/5 = 31,4 ce qui est supérieur à 5 157 n’est pas divisible par 7 et 157/7 = 22,4.. ce qui est supérieur à 7 157 n’est pas divisible par 11 et 157/11 = 14,3.. ce qui est supérieur à 11 157 n’est pas divisible par 13 et 157/13 = 12,0.. ce qui est inférieur à 13 Conclusion : 157 n’est pas un nombre premier
4) Décomposition en facteurs premiers Décomposer en produit de facteurs premiers signifie trouver tous les diviseurs premiers d’un nombre On regarde d’abord combien le nombre est divisible par 2, puis par 3, 5, 7 … Exemple : Décomposer 1050 1050 525 175 35 7 1
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Crible d’Ératosthène Le crible d'Eratosthène est une méthode permettant d'obtenir tous les nombres premiers inférieurs à un nombre donné. Pour trouver par exemple tous les nombres premiers inférieurs à 100, on écrit dans un tableau tous les nombres de 1 à 100.
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Crible d’Ératosthène Le crible d'Eratosthène est une méthode permettant d'obtenir tous les nombres premiers inférieurs à un nombre donné. Pour trouver par exemple tous les nombres premiers inférieurs à 100, on écrit dans un tableau tous les nombres de 1 à 100.
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