No. Reynolds

Universidad Iberoamericana Laboratorio de operaciones unitarias Número de Reynolds

I. Objetivo Relacionar la velocidad y las propiedades físicas de un fluido, y la geometría del ducto por el que fluye con los diversos patrones de flujo. II. Introducción Cuando un líquido fluye en un tubo y su velocidad es baja, fluye en líneas paralelas a lo largo del eje del tubo; a este régimen se le conoce como “flujo laminar”. Conforme aumenta la velocidad y se alcanza la llamada “velocidad crítica”, el flujo se dispersa hasta que adquiere un movimiento de torbellino en el que se forman corrientes cruzadas y remolinos; a este régimen se le conoce como “flujo turbulento” (ver la figura 1). El paso de régimen laminar a turbulento no es inmediato, sino que existe un comportamiento intermedio indefinido que se conoce como “régimen de transición”.

Figura 1. Si se inyecta una corriente muy fina de algún líquido colorido en una tubería transparente que contiene otro fluido incoloro, se pueden observar los diversos comportamientos del líquido conforme varía la velocidad (véase la figura 2). Cuando el fluido se encuentra dentro del régimen laminar (velocidades bajas), el colorante aparece como una línea perfectamente definida (figura 2.1), cuando se encuentra dentro de la zona de transición (velocidades medias), el colorante se va dispersando a lo largo de la tubería (figura 2.2) y cuando se encuentra en el régimen turbulento (velocidades altas) el colorante se difunde a través de toda la corriente (figura 2.3).

Figura 2.

0

Las curvas típicas de la distribución de velocidades a través de tuberías se muestran en la figura 3.

Figura 3. Para el flujo laminar, la curva de velocidad en relación con la distancia de las paredes es una parábola y la velocidad promedio es exactamente la mitad de la velocidad máxima. Para el flujo turbulento la curva de distribución de velocidades es más plana (tipo pistón) y el mayor cambio de velocidades ocurre en la zona más cercana a la pared. III. Teoría Los diferentes regímenes de flujo y la asignación de valores numéricos de cada uno fueron reportados por primera vez por Osborne Reynolds en 1883. Reynolds observó que el tipo de flujo adquirido por un líquido que fluye dentro de una tubería depende de la velocidad del líquido, el diámetro de la tubería y de algunas propiedades físicas del fluido. Así, el número de Reynolds es un número adimensional que relaciona las propiedades físicas del fluido, su velocidad y la geometría del ducto por el que fluye y está dado por:

Re =

Dvρ µ

. . . . . (1)

Donde: Re = Número de Reynolds D = Diámetro del Ducto [ L ] v = Velocidad promedio del líquido [ L / θ ] ρ = Densidad del líquido [ M / L3] µ = Viscosidad del líquido [ M / L θ ] Cuando el ducto es una tubería, D es el diámetro interno de la tubería. Cuando no se trata de un ducto circular, se emplea el diámetro equivalente (De) definido como:

De = 4

Area transversal de flujo Perímetro mojado

. . . . . (2)

Generalmente cuando el número de Reynolds (ecuación 1) se encuentra por debajo de 2100 se sabe que el flujo es laminar, el intervalo entre 2100 y 4000 se considera como flujo de transición y para valores mayores de 4000 se considera como flujo turbulento. Este grupo adimensional es uno de los parámetros más utilizados en los diversos campos de la Ingeniería Química en los que se presentan fluidos en movimiento.

1

IV. Equipo El equipo utilizado se muestra en la figura 4. Consiste de un tubo de vidrio de 1” de diámetro, iluminado en su parte superior por una lámpara fluorescente, por el cual fluye agua regulada por medio de la válvula A. El colorante (violeta de genciana en solución) se mantiene en un recipiente y se inyecta en la corriente de agua mediante un tubo metálico insertado en el tubo de vidrio. La corriente de agua se recoge en un tanque de 21 centímetros de diámetro, provisto de un medidor de nivel de tubo de vidrio.

A

Figura 4.

V. Trabajo de Prelaboratorio Determinar el flujo de alimentación de agua necesario para obtener un flujo laminar, uno de transición y uno turbulento. Esto es, ¿cuál debe ser la velocidad de llenado del tanque de descarga para cada tipo de flujo? VI. Procedimiento Por medio de la válvula A regula lo mejor posible cada uno de los flujos que obtuviste en el trabajo de prelaboratorio, y comprueba si realmente el régimen observado es el que esperabas. Regula al menos seis flujos diferentes de manera que observes al menos dos de cada tipo de régimen y obtén los datos necesarios para determinar la velocidad del flujo en cada caso. VII. Bibliografía 1. Engineering Division, CRANE Co. Flow of fluids through valves fittings and pipe. Crane Co. Chicago, Illinois. 1957. 2. W.L. Mc Cabe & J.C. Smith. Unit operations of Chemical Engineering. Mc Graw Hill Book Co. New York USA. 1956. 3. Brown & Associates. Unit Operations. 7th Ed. John Wiley & Sons Inc. New York. 1960.

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VIII. Reporte 1. Determinar las velocidades mínimas y máximas del fluido en el tubo de vidrio para cada régimen de flujo. 2. Determinar la velocidad promedio y el número de Reynolds para cada uno de los casos analizados. Reportar en forma tabular los resultados. 3. Incluir ejemplos de cálculo para el flujo de alimentación supuesto y el número de Reynolds real (experimental). 4. ¿Coinciden el régimen observado y el teórico? Identificar las causas a las que se atribuyen las desviaciones en caso de haberlas. 5. Discutir los resultados.

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Universidad Iberoamericana I. Objetivos 1. Desarrollar un programa de cómputo para resolver el modelo matemático que describe el drenado de un tanque 2. Comparar los tiempos experimental y teórico de drenado de un tanque con tubos de descarga de diferentes diámetros y longitudes. II. Introducción El vaciado de tanques con descarga lateral o en el fondo ha sido estudiado ampliamente y se han publicado modelos que representan la influencia de variaciones en el diámetro y forma del orificio en el flujo volumétrico. Por medio de la aplicación de los principios de conservación de masa y momentum se formulará un modelo matemático que describe el vaciado de un tanque al que no se le repone agua, para ser validado experimentalmente. III. Teoría Para el diagrama siguiente, consideremos un sistema isotérmico con un fluido newtoniano, incomprensible, con densidad, viscosidad y composición constantes.

Figura 1.

4

Aplicando el principio de conservación de masa en el sistema de la figura 1 se tiene:

m1 − m2 = donde: m1 m2 m t

= = = =

... (1)

flujo másico del líquido que entra al tanque flujo másico del líquido que sale del tanque masa del líquido acumulada en el tanque tiempo

Sabemos que m1=0 y que:

donde: A h q ρ

∂m ∂t

= = = =

m = hA1 ρ

... (2)

m 2 = qρ

... (3)

Area transversal de flujo Altura del líquido en el tanque Flujo volumétrico Densidad del fluido

sustituyendo las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1) tenemos:

− qρ =

d (hA1 ρ ) dt

... (4)

Si tomamos A y ρ como constantes y simplificamos, la ecuación (4) se reduce a:

−

q dh = A1 dt

... (5)

Sabemos que q = v2 A2, por lo tanto, si sustituimos q en (5) nos queda:

− v2

A2 dh = A1 dt

... (6)

Planteando un balance de energía mecánica entre el punto 1 y 2 del sistema de la figura 1 obtenemos:

z1

v2 v 2 punto 2 f v 2 L g P1 g P2 + + 1 = z2 + + 2 + ∑ D g c ρ 1 2g c g c ρ 2 2g c punto 1 2g c D

... (7)

5

Desarrollando el último término de la ecuación (7) tenemos: punto 2

∑

punto 1

f D v 2 L f D v12 L f D v 22 L = + 2g c D 2g c D1 2g c D2

... (8)

El factor de fricción de Darcy (fD) para flujos con un Re>3000, está definido por la ecuación de Colebrook:

 ε 1 2.51 −2 ln = +  f D 2.3056  3.7 D Re f D donde: ε

=

   

... (9)

Rugosidad del material

Sustituyendo la ecuación (8) en la ecuación (7) y haciendo las suposiciones pertinentes para simplificarla, se llega a:

v 22 f D v 22 L z1 g = + 2 2 D2

... (10)

Rearreglando:

z1 g =

v 22 2

 fDL 1 + D  2  

... (11)

v2 =

2 z1 g 1 + ( f D L D2 )

... (12)

Despejando la velocidad (v2):

Sabemos que:

z1 = h + L

... (13)

Por lo tanto:

v2 =

2g(h + L ) 1 + ( f D L D2 )

... (14)

Sustituyendo la ecuación (14) en la ecuación (6) obtenemos:

A dh 2g(h + L ) =− 2 dt A1 1 + ( f D L D2 )

... (15)

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IV. Equipo El equipo utilizado en la práctica consiste de un tanque cilíndrico al que se le pueden ajustar tubos de descarga de diferentes diámetros y longitudes (ver la figura 2).

Figura 2. Donde: Tubo 1: long. = 32.0 cm, diámetro = 0.575 cm Tubo 2: long. = 32.0 cm, diámetro = 0.355 cm Tubo 3: long. = 60.5 cm, diámetro = 0.550 cm Tubo 4: long. = 78.0 cm, diámetro = 0.595 cm

V. Procedimiento 1. 2. 3. 4. 5.

Colocar el primer tubo a la descarga del tanque Llenar el recipiente con agua Dejar que el líquido se descargue Hacer las mediciones necesarias Cambiar el tubo de descarga y repetir la operación con el resto de los tubos

VI. Bibliografía 1. Bird, R.B., Stewart, W.E. y Lightfoot, E.N. Transport Phenomena. John Wiley & Sons. New York. 1960. 2. Rice, R.G. y Do, D.D. Applied Mathematics and Modeling for Chemical Engineers. John Wiley & Sons. New York. 1995.

VII. Reporte 1. Mostrar los datos experimentales para cada tubo en forma tabular 2. Desarrollar un programa de cómputo para obtener el perfil teórico de la altura en el tiempo (integrar numéricamente la ecuación (15)) 3. Mostrar esquemáticamente el algoritmo detallado del programa realizado y proporcionar el listado del mismo.

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4. Graficar: a) Los valores experimentales de altura contra tiempo para los cuatro tubos (una gráfica) b) Los valores teóricos de altura contra el tiempo para los cuatro tubos (una gráfica) c) Los valores teóricos y experimentales de altura contra tiempo para cada tubo (una gráfica por tubo) 5. Analizar y discutir los resultados obtenidos.

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Universidad Iberoamericana Laboratorio de operaciones unitarias Caída de presión en tubos de diferente diámetro

I. Objetivos 1. Analizar los factores que intervienen en la caída de presión de fluidos transportados a través de tuberías. 2. Obtener un modelo matemático que permita simplificar el cálculo de la caída de presión para gases que fluyen a través de tubos de diferentes diámetros colocados en serie. II. Introducción Es muy importante en los casos de flujo de fluidos minimizar las pérdidas de energía debidas al efecto de fricción. Cuando un fluido entra en contacto con un sólido, se manifiestan los efectos de fricción que pueden ser de dos tipos, que se ilustran en las figuras 1a y 1b.

En el primer caso se tiene una placa delgada colocada de forma paralela a la dirección del fluido. La rugosidad de la superficie sólida se opone al flujo, provocando pérdidas de energía debidas a la fricción por superficie (skin friction). En el segundo caso la placa se encuentra colocada de forma perpendicular a la dirección del flujo, lo cual provoca que se formen dos vórtices en movimiento circular constante. Como resultado de esto se pierde una gran cantidad de energía debida a la fricción por forma (form friction). Para calcular el factor de fricción para gases, existen varias ecuaciones, desde la más común y general que es la de Colebrook y White, hasta algunas muy específicas como la de Panhandle para gas natural (metano), Pitglass para casos en los que la caída de presión es muy pequeña, Babcock para vapor de agua y Weymouth cuando los gases se encuentran a altas presiones y el flujo es isotérmico. En muchas ocasiones en la práctica de la ingeniería química existen casos en los que es conveniente utilizar ecuaciones simplificadas que relacionen las variables más importantes en determinado caso. El objetivo de esta práctica es encontrar una ecuación de este tipo.

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III. Teoría La fricción en una tubería recta y larga es solamente fricción superficial (skin friction). La ecuación general para el cálculo de la caída de presión se conoce como ecuación de Darcy y Weissback y se expresa como:

P=

Hfs*ρ 144

... (1)

La pérdida de energía por fricción, Hfs, se puede expresar de cualquiera de las siguientes formas:

4 fLv 2 4 fLG 2 32 fLW 2 32 fLg 2 Hfs = = = = 2g c D 2g c Dρ π 2 ρ 2gc D5 π 2gc D5 donde: D f G g gc Hfs L v W ∆P ρ

= = = = = = = = = = =

... (2)

Diámetro interno de la tubería Factor de fricción Masa velocidad Aceleración de la gravedad Constante gravitacional Pérdida de energía por fricción Longitud de la tubería Velocidad Gasto másico Caída de presión Densidad

Empleando la tercer igualdad de la ecuación de pérdida de energía por fricción (ecuación 2) en la ecuación de la caída de presión (ecuación 1) obtenemos:

P=

32 fLW 2 144π 2 ρ g c D 5

... (3)

Para el sistema en estudio (descrito en la figura 2), se pueden hacer las siguientes consideraciones: a) Las longitudes de ambas secciones son iguales b) El gasto másico es el mismo c) La densidad es constante. Por lo tanto, si se desea relacionar la caída de presión con el diámetro de las tuberías 1 y 2, se pueden dividir ambas ecuaciones obteniendo:

f D5 f ∆P1 = 1 25 = 1 f 2 D1 f2 ∆P2

 D2   D1

  

5

... (4)

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Sabemos que para un flujo laminar (Re < 2100) el factor de fricción se define como:

f = donde: Re

=

64 Re

... (5)

número de Reynolds

Si se considera que la viscosidad permanece constante:

f 1 D1 = f 2 D2

... (6)

Sustituyendo (6) en (4) se tiene que:

∆P1  D2   = ∆P2  D1 

4

... (7)

Si el flujo es turbulento, se usa la ecuación de Blasius en tuberías lisas (rugosidad relativa = 0). Haciendo un análisis similar se llega a:

∆P1  D2   = ∆P2  D1 

4 .75

... (8)

Para fluidos compresibles se utilizan las ecuaciones de fricción de Weymouth o Panhandle, cuyos exponentes resultan ser 5.333 y 4.854. Es sumamente difícil tener flujo laminar en una tubería por la que fluye un gas, y las ecuaciones para factor de fricción en flujo turbulento son demasiado ideales. Sin embargo, se puede considerar factible obtener un exponente que sea adecuado para el sistema en estudio (figura 2) empleando la relación:

∆P1  D2 = ∆P2  D1

  

C

... (9)

Aplicando logaritmos y despejando en coeficiente C obtenemos:

 ln  ∆P1  P ∆ 2 C=  ln  D2   D1 

... (10)

Debiendo ser C aproximadamente igual si se tienen diversas mediciones.

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IV. Equipo El equipo tiene una alimentación de aire de la red a dos tubos de vidrio, el primero de 5/16” y el segundo de 7/34” de diámetro. Cada tubo está conectado a un manómetro diferencial que emplea agua como fluido manométrico (véase la figura 2).

Figura 2.

V. Procedimiento Abrir lentamente la válvula de entrada de aire y regular un flujo, tomar las lecturas de la diferencia de altura en los manómetros. Repetir el procedimiento para al menos cinco diferentes flujos de aire. VI. Bibliografía 1. Engineering Division CRANE Co. Flow of fluids through valves fittings and pipe. Crane Co. Chicago, Illinois. 1957. 2. W.L. Mc Cabe & J.C. Smith. Unit operations of Chemical Engineering. Mc Graw Hill Book Co. New York USA. 1956. VII. Reporte 1. Determinar el valor del exponente C para cada una de las mediciones y completar la siguiente tabla ∆h1 (cm)

∆h2 (cm)

∆P1 (g/cm2)

∆P2 (g/cm2)

ln(∆P1/∆P2)

C

C promedio

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2. Incluir ejemplo de cálculo 3. Obtener la desviación estándar de los valores de C experimentales. Concluir acerca de esta desviación 4. Comparar el valor promedio de C obtenido, con los distintos valores teóricos de C. Concluir al respecto 5. Si tuviéramos un tercer tubo de 6/34” conectado en serie con el segundo ¿cuál sería la caída de presión en este último considerando cualquiera de los gastos experimentales de la práctica? 6. Discutir los resultados.

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