Modulo Fisica De Semi Conduct Ores

MÓDULO FÍSICA DE SEMICONDUCTORES

MANUEL JULIÁN ESCOBAR DÍAZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD BOGOTÁ 2008

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CAPITULO 0.

INTRODUCCIÓN Y PRESABERES

El curso de Física de Semiconductores es de carácter teórico y corresponde a un segmento primordial de los fundamentos en Ciencias Básicas sobre los que se construye la técnica electrónica. Es un curso a distancia y de dos (2) créditos académicos. Durante este curso, se tratarán temas fundamentales de la Física y la Ingeniería relacionadas. A continuación se resumen diversos aspectos. Se aborda brevemente la enunciación de los métodos y objetivos de la Ingeniería Electrónica, a fin de establecer el vínculo entre lo temas visto y la carrera propiamente dicha. El tratamiento del curso no tendrá formalidad matemática al 100%. Se espera que el curso sirva sólo como un marco conceptual y operativo respecto a la física fundamental de los semiconductores y las estrategias de investigación que la vinculan con la Ingeniería Electrónica. Será muy útil si el estudiante está previamente familiarizado en alguna medida con una serie de conceptos provenientes de diversas áreas; algunos de ellos realmente se espera que sean ya manejados rutinariamente por los estudiantes (sobre todo los referentes a física), fruto de anteriores cursos. Se listan a continuación algunos de ellos: FÍSICA: Vibración, Onda, Energía, Carga Eléctrica, Potencia, Campos, Campo Eléctrico y Magnético, Potencial, Semiconductores. INGENIERÍA: Electrónica, Dopado, Materiales conductores y no conductores, transistores, Diseño, Componentes Eléctricos, Leyes de Ohm y Kirchoff, conductividad y uniones. Las dos unidades del curso son, explícitamente: PRIMERA UNIDAD, Fundamentos Teóricos, se remite casi exclusivamente a postulados, leyes o principios físicos y procedimientos o formulaciones matemáticas aplicadas a física fundamental; se hace énfasis en que los capítulos tendrán profundidad y extensión MUY VARIABLE, ya que se considera que ciertos temas de la Física de Semiconductores, asociados fuertemente a fenómenos eléctricos, son DE MUCHO MÁYOR INTERÉS PARA EL INGENIERO ELECTRÓNICO que otros, importantes en Física de Semiconductores, pero no siempre relevantes en Ing. Electrónica. 2

SEGUNDA UNIDAD, Ingeniería y Tecnología de semiconductores, es una introducción al campo tecnológico de los dispositivos usados en sistemas electrónicos basados en semiconductores simples y las técnicas empleadas para su empleo, análisis y diseño (aclarando que el curso no se remite a configuraciones específicas para determinadas aplicaciones a partir de componentes semiconductores, sino a un esbozo conceptual contextualizado). Esto incluye un acercamiento al diseño y la investigación en semiconductores. Durante el curso las temáticas serán oportunamente desarrolladas, pero cabe la posibilidad que desde ya el estudiante intente responder estas preguntas: ¿Qué es “Semiconductor”? ¿Cuál es la diferencia entre semiconductores, conductores y aislantes? ¿Qué principios físicos gobiernan el comportamiento de un semiconductor? ¿Por qué es importante saber Física de Semiconductores en Electrónica? ¿En qué consisten las investigaciones adelantadas en Semiconductores y las aplicaciones más avanzadas que de esta tecnología se conocen? ¿De qué forma se definen qué estándares eléctricos se requiere que tenga un semiconductor, y qué principios físicos se relacionan directamente? ¿Qué significa diseñar un Semiconductor? ¿Qué matemática puede usarse en el terreno de la Física de Semiconductores? Dentro de las actividades planeadas para la aprehensión de conocimientos, se encuentra la lectura de textos guías, el desarrollo de investigaciones cien por ciento libres y la revisión de artículos. Se espera que el estudiante se sienta motivado a realizar algunas experimentaciones basadas en el contenido teórico del curso.

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PRIMERA UNIDAD DIDÁCTICA FÍSICA FUNDAMENTAL DE SEMICONDUCTORES

CAPÍTULO 1.1 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA

1.1.1 Dualidad Onda Partícula A principios del siglo pasado (1895-1905) diversas revoluciones conceptuales en física comenzaron a hacer carrera en la física mundial. Particularmente, el artículo del Efecto Fotoeléctrico de Einstein (1905) fue abriendo la posibilidad para un desarrollo justificado de la mecánica cuántica. ¿Por qué tan nombrada la Mecánica Cuántica? Porque su revolución conceptual es tan fuerte que se vuelve una revolución de Paradigmas, y como tal tiene repercusiones filosóficas inmediatas. Las contribuciones de Bohr, Schrödinger, De Broglie, Dirac, Pauli y Heisenberg fueron realmente las que construyeron la mecánica cuántica; aunque Einstein hubiese colaborado en su precursión, el formalismo de la mecánica cuántica es debido realmente a los anteriores nombres mencionados. Particularmente, De Broglie propuso esta interesante hipótesis, que luego se comprobó y fue convertida en teoría (la siguiente no es una cita textual, ni mucho menos): Así como la luz puede verse como una onda electromagnética, pero al interactuar con la materia la entendemos mejor cuando suponemos que está compuesta por partículas (llamadas “fotones”, los cuantos de la luz), una partícula puede ser entendida como una onda: en otras palabras, se puede asociar una onda a cada partícula, para entender ciertas de sus propiedades. Y lo anterior es cierto SIEMPRE. Siempre puede asignarse una Ecuación de Onda a una Partícula, como si no se propagara una trayectoria de esa partícula,

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sino unos FRENTES DE ONDA que corresponde a esa realidad física que llamamos “partícula”. Es importante hacer énfasis en que el TODO el universo sigue las leyes de la mecánica cuántica (y la dualidad onda partícula). El asunto es que los objetos macroscópicos, debido al orden de magnitud de sus variables físicas (de hecho, una variable física en particular), no demuestran su carácter ondulatorio fácilmente. Cabe entonces preguntar, ¿cómo reconocemos el carácter ondulatorio?

Figura 1. Barrera con orificios (negro) y pantalla (rojo)

Véase la figura 1. Una barrera se interpone entre el flujo de partículas que, viajando de izquierda a derecha, se dirigen hacia la barrera en rojo. Para partículas lo suficientemente pequeñas, se puede pensar que es extremadamente improbable que colisionen entre sí, así que, si el grupo de partículas es suficientemente grande, veremos dos posibilidades: 5

A. Partículas en completa Línea Recta: si las partículas describen línea recta entre la barrera y la pantalla, diremos que VENÍAN en línea recta, desde antes de la barrera. B. Partículas en todas direcciones: si las partículas aparecen por todos lados, podremos decir que las partículas, de alguna forma, venían de todas direcciones cuando pasaron por los orificios de la barrera. En ambos casos visualizaremos lo que esperamos que quede marcado en la pantalla de choque (la línea roja de los anteriores diagramas), como resultado de las colisiones. En el caso A:

Figura 2. Por cada rendija ha atravesado un grupo grande de partículas en línea recta.

En el caso B, se esperaría que hubiese una distribución aproximadamente igual de aleatoria a lo aleatorias que sean las direcciones antes de atravesar las ranuras. Algo así:

Figura 3. Las partículas tenían direcciones ligeramente diferentes, por lo que se esparcen.

Donde es evidente que haya más concentración en el centro, debido a que las ranuras están en el centro (las gráficas son aproximaciones ilustrativas, no simulaciones). Ahora, escogeremos el caso B como el real, ya que en experimentos es imposible hacer que todas las partículas viajen en línea recta (mejor dicho, alinear 6

perfectamente las partículas), y el tamaño de las ranuras es muy grande comparado con el de los electrones. Esto se resume en que si los electrones, iones o cualquier otra entidad se comportan como partículas, en un experimento de doble rendija debemos ver una distribución aleatoria centrada en el medio de las dos rendijas, seguramente con una distribución aproximadamente Normal. Para ser exactos, podemos esperar una distribución normal para cada rendija y para la suma de las dos:

Figura 4. Distribución de los puntos según la distancia, centrada en la posición donde se encuentre la rendija

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Figura 5. Dos normales superpuestas darían la distribución central mostrada en rojo más los periféricos azules de cada distribución

Es decir, la aleatoriedad de todas formas presenta más casos sobre la región donde está la rendija, y, al ser dos, vemos el patrón señalado en rojo en el espacio entre las rendijas. ES ASÍ COMO SE COMPORTAN PARTÍCULAS. Ahora, la realidad es que este experimento fue realizado y el verdadero comportamiento visto en pantalla fue aproximadamente:

Figura 6. Verdadero comportamiento de electrones en experimento doble rendija. Es decir, un PATRÓN DE INTERFERENCIA ONDULATORIA: LAS PARTÍCULAS INTERFERÍAN COMO ONDAS, lo que ha sido posteriormente constatado en innumerables experimentos y demostraciones. Esto querrá decir que el estado de una partícula en un tiempo t y posición x se puede describir definiendo su ecuación de onda en el tiempo t y posición x.

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La hipótesis de De Broglie se comprobó experimentalmente, en 1927 en los laboratorios Bell, cuando Joseph Davisson y Lester Halbert Germer observaron la difrección de electrones en una película metálica. Por este trabajo, Davisson y Germer recibieron el premio Nobel de Física en 1937.

1.1.2 Ecuación de Schrödinger y solución para partícula libre INTRODUCCIÓN Erwin Schrödinger utilizó una formulación ya antigua en teoría de mecánica clásica para definir una importante ecuación de la mecánica cuántica. En principio, es definir el Hamiltoniano de un sistema como la suma de su energía cinética y potencial, sean los potenciales que fuesen; lo siguiente es entender que tal definición de Hamiltoniano obliga a que éste cumpla ciertas propiedades y relaciones. Siendo este un tema de una carrera de Pregrado en Física, no se entrará en detalles al respecto, pero sí se hará énfasis que la ecuación de Schrödinger no es compleja de entender en el plano clásico (no cuántico ni relativista) y resulta análoga a la que usaremos para conceptualizar la mecánica cuántica básica que abordaremos. Entendiendo que las partículas pueden describirse como ondas (y que un fenómeno ondulatorio puede entenderse como partícula), el planteamiento fundamental se hace con una Función de Onda (la ecuación de Schrödinger es una ecuación de onda), y requiere comprender el siguiente principio de la mecánica cuántica, el PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG: Es imposible conocer al mismo tiempo la ubicación y el momento de una partícula. Lo anterior se debe a que se descubrió en la naturaleza una interesante propiedad de impredictibilidad que parecía aplicarse a TODO. En otras palabras, se encontró que las partículas están en continua oscilación respecto a casi cualquiera de los parámetros físicos de interés. Una multitud de experimentos ha mostrado que las partículas NO SIEMPRE HACEN LO MISMO. Cuando se repite un experimento de escala cuántica (es decir, una prueba con átomos individuales o partículas subatómicas, en la que pueda verificarse algún aspecto específico de cada partícula), NO SE OBTIENEN LOS MISMOS RESULTADOS, por más que se reproduzcan exacta y precisamente las mismas condiciones. Entonces, ¿cómo puede hablarse de Ciencia Física? Sencillo. Al ver la imposibilidad de acertar predicciones, los Físicos intentaron estudiar estadísticamente los experimentos, y finalmente notaron que había comportamientos más probables que otros. A nivel de porcentajes de ocurrencia, 9

SÍ SE PODÍAN PREDECIR RESULTADOS. Por esto, la ecuación de Schrödinger funciona si se interpreta de manera estadística.

PLANTEAMIENTO Así pues, la interpretación estadística es suponer que la partícula en cuestión se está representando con una función de onda cuyo significado será, de alguna forma, estadístico. Aquí el detalle sutil: LA PROBABILIDAD DE ENCONTRAR UNA PARTÍCULA EN UN ESPACIO DADO ES IGUAL A LA NORMA DE LA FUNCIÓN DE ONDA AL CUADRADO, INTEGRADA EN EL INTERVALO ESPACIAL MENCIONADO. Esto no resulta claro a primera vista, pero quizá en los siguientes párrafos se dilucide. Ahora bien, la ecuación de Schrödinger se aplicará sobre una función de onda tipo senos y cosenos…este tipo de funciones tienen su forma más general en: 



 

 (r , t )  A(r , t ) exp(i[k  r  wt ])

(1)

Donde el número “i” es la base de los números imaginarios, la raíz cuadrada de -1, y la función de onda (psi) depende del vector de posición r y el tiempo t, por lo que, en caso general, suponemos que así mismo ocurre con su parte exponencial y la amplitud A. Es importante que el estudiante recuerde que las exponenciales complejas se pueden expandir mediante la Identidad de Euler1 (propiedad matemática que se deduce a partir de la definición formal de exponencial, senoidales y cosenoidales) de la siguiente forma:       exp(i[k  r  wt ])  cos(k  r  wt )  isen(k  r  wt )

(2)

Y entonces es evidente que la ecuación ondulatoria de Schrödinger tiene sentido con este tipo de funciones. Ahora, si restringimos el conjunto de funciones de onda a aquellas cuya amplitud no varíe, A = constante hace que la derivada temporal y la derivada espacial cumplan, teniendo en cuenta un caso unidimensional (por simplicidad):

i

2   ( x, t )    2  2  ( x, t )  t x

Si se escoge correctamente k y w. ¿Es esta escogencia arbitraria? NO. Realmente, teniendo en cuenta la forma (1) con A constante, y la identidad (2), resulta que una función de ONDA ESTACIONARIA puede ser descrita 1

Respecto a esto se sugiere que se consulte un buen libro de matemáticas, que contenga, claro, series infinitas. A partir de las definiciones en forma de serie infinita es sencillo entender la identidad de Euler

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especificando los números k y w, que para cualquier onda estacionaria están relacionados de una manera bien definida, y que representan conceptos físicos. Entonces: k: Número de Onda w: Frecuencia Angular De manera que k y w guardarán una relación intrínseca. A partir de esta relación, es que podemos decir: i

  ( x, t )    2   ( x, t )  t x

Siempre y cuando la función de onda sea una onda estacionaria. El valor constante que se representa como una h más una barra cruzada es llamado “h barra” y es igual a una constante h dividida entre dos veces el número pi. 

h 2

Y, como el estudiante imaginará, esta h SÍ TIENE UN SIGNIFICADO FÍSICO bien definido, particular y explícito: es la constante de proporción entre la energía mínima que una onda de luz puede transmitir y la frecuencia de ésta luz. Más tarde se entenderá mejor el significado de “h” y se abordará con detalle el fenómeno de la luz y su interacción con el medio. Retomando el hecho de que, para ondas estacionarias:

i

2   ( x, t )    2  2  ( x, t )  t x

Extenderemos este resultado a tres dimensiones: i

  ( x, t )    2  ( x, t )  t

 ˆ  ˆ  ˆ i j  k , y no es x y z más un operador que sólo pretende significar que se hace la segunda derivada con respecto a cada eje de coordenadas y luego se suman los resultados. Esta ecuación no sólo es válida para ondas estacionarias, pero el nivel de un curso de Donde el triángulo representa el Laplaciano    2 

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pregrado en Ingeniería no permite ahondar más en su razón de ser, por lo que simplemente se consignará la siguiente definición y ecuación: Toda partícula, sin entrar en consideraciones de spín2, puede ser descrita por una función de onda ψ(r,t) que cumple la ecuación de Schrödinger:   (r, t )   i (r, t )  t

Donde el cuadrado de la función de onda representa una función de densidad de probabilidad. Y la ecuación de Schr. (desde ahora utilizaremos esta sigla) se usará en el siguiente capítulo al encontrar la solución más simple de mecánica cuántica, con fines ilustrativos.

1.1.3 Principio de Equivalencia. ACLARACIONES FUNDAMENTALES Primero que nada, es necesario aclarar que en Relatividad General existe un Principio de Equivalencia fundamental que NO ES EL QUE SE EXPLICARÁ A CONTINUCACIÓN, YA QUE EL NOMBRE DE ESTA LECCIÓN ES SÓLO UNA FORMA EFICIENTE Y RÁPIDA DE RESUMIR EL PROPÓSITO DE ELLA. Teniendo en cuenta esto, enunciamos el propósito de la lección, que es responder a esta pregunta: ¿Cómo puede ser coherente la mecánica cuántica con el mundo macroscópico cotidiano? Esta respuesta es análoga a una pregunta que suele hacerse en relatividad especial: ¿Cómo puede ser coherente la relatividad especial con el mundo cotidiano? La razón de esta última (como introducción a la pregunta en negrilla, que es la que nos interesa), es que los efectos de la relatividad no son importantes si la

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Para definición y manejo de Saín remitirse a un libro básico en conceptos de Mecánica Cuántica. Por ahora se dirá que es una propiedad fundamental de toda partícula, que tiene que ver con cómo se comporta en colisiones , órbitas y otros fenómenos.

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velocidad de los objetos y fenómenos es muy pequeña comparada con la de la luz. Por ejemplo, si se viaja a una velocidad igual al 80% de la velocidad de la luz, la dilatación del tiempo experimentada al viajar equivale a que, por cada 10 minutos transcurridos para observadores inmóviles, transcurren sólo 6 minutos para el viajero. El problema es que el 80% de la velocidad de la luz ¡son 240.000 km/s!!! Esta velocidad no ha sido siquiera remotamente alcanzada. Se recuerda que un avión supersónico maneja velocidades sólo alrededor de Match3, que equivale aproximadamente a 1km/s, 240.000 veces menos que el ejemplo. ¿CÓMO SE HACE COHERENTE LA MECÁNICA CUÁNTICA CON EL MUNDO MACROSCÓPICO COTIDIANO? La razón se encuentra en la dualidad onda-partícula de la materia, propuesta por Louis De Broglie: el que a cada partícula se le asigna una onda, y las propiedades de éstas definen su comportamiento cuántico. Ahora bien, la relación entre comportamiento y números ondulatorios es bastante sencilla: simplemente ha de considerarse la frecuencia de la onda asociada, debido a la siguiente característica fenomenológica: Cualquier onda de frecuencia suficientemente alta, puede tener una oscilación tan rápida que sus interacciones con el universos no tengan efectos ondulatorios observables: por ejemplo, una mano que golpea una pared de manera ondulatoria, pero cuya frecuencia es más alta que la velocidad de captura del ojo humano, no se verá como un objeto en movimiento sino como un objeto estático (si la frecuencia es apropiada). Y esto es válido para otros fenómenos físicos diferentes a la visión. Como otro ejemplo, la propia luz que recibimos es una onda, pero resulta imposible que el ojo la aprecie como un fenómenos en el que le “llega o no le llega energía”, sino como un continuo de partículas. Aún más: piénsese que si un resorte es presionado por una fuerza que oscila de forma sinusoidal pero de manera tremendamente rápida, el resorte no tiene tiempo suficiente para volver a (o salir de) su posición de equilibrio en los intervalos de fuerza negativa. Como último ejemplo, EL PROPIO CONDENSADOR FUNCIONA ASÍ EN UN CIRCUITO CONVERTIDOR DE VOLTAJE AC EN DC: SE ESCOGE EL VALOR DE LA CAPACITANCIA DE MANERA QUE SU TAO SEA TAL QUE NO PUEDE SEGUIR SU PROCESO DE DESCARGA, DEJANDO PASAR UN VOLTAJE CONSTANTE. Si se entiende la validez de los anteriores ejemplos simples, es posible comprender que una alta frecuencia de la Onda de De Broglie nos hace ver la onda como un proceso continuo, como una partícula u objeto discreto con propiedades definidas. 13

Ahora, ¿cómo se halla la frecuencia de una onda asociada a tal objeto? De Broglie encontró que la onda que describe el estado de un objeto tiene que estar relacionada de esa forma: Energía del objeto = Momento del objeto

h*frecuencia = h*k/2*3,141592…

Es decir, la energía es proporcional a la frecuencia por el factor h, que es llamado CONSTANTE DE PLANCK, y que ya mencionamos anteriormente, mientras que el momento del objeto es proporcional al vector de onda “k”, mediante la constante de proporción h/(2π), el “h barra” que también se mencionó. A partir de las dos relaciones de energía y momento, entonces queda claro que:

h p

 

(1.3.1)

Lo que entrega la respuesta que necesitábamos, ya que Altas Frecuencias corresponden a Longitudes de onda Cortas, y precisamente este es caso, si tenemos en cuenta que h = 6.62618 x 10-34 Joule · Segundo De manera formal, podemos resumir todo lo anterior en un párrafo: La constante de Planck tiene un valor tan bajo que en el mundo microscópico de partículas la longitud de onda producida por los momentos de dichas partículas (mediante ecuación 1.3.1) es lo suficientemente grande (frecuencia suficientemente baja de la onda asociada) como para que sea observable mediante efectos físicos. En cambio, en mundo macroscópico, los valores de momento de objetos multimoleculares son demasiado grandes (comparados con el caso anterior), y las longitudes asociadas a estos fenómenos son demasiado cortas (frecuencias altas de las ondas asociadas). Como ejemplo, supóngase una pelota lenta, de masa 100gr y velocidad 0,1 metros por segundos, comparada con un electrón a 0,5 veces la velocidad de la luz. MOMENTO PELOTA: (0,1 Kg) * (0,1 m/s ) MOMENTO ELECTRÓN: (9,1x10-31 Kg) * (3x108 m/s)

= 1 x 10-2 Kg·m/s = 2,7 x 10-22 Kg·m/s

Donde se observa la diferencia de 20 órdenes de magnitud entre los dos momentos analizados. 14

1.2 POZOS Y BARRERAS DE POTENCIAL

INTRODUCCIÓN EN esta sección se intentará esbozar los ejemplos ilustrativos iniciales de la mecánica cuántica, para que el estudiante se vaya familiarizando con cierto tipo de gráficas y funciones que serán utilizados posteriormente (de manera más sencilla) en el tratamiento de la física de los Semiconductores. Cuando se examina el movimiento de una partícula, es posible generalizar éste como el resultado de la acción de diversas fuerzas. Como las fuerzas conservativas son realmente las de importancia a escala microscópica y estas fuerzas pueden asociarse a potenciales, tenemos que el movimiento de las partículas puede ser determinado por la forma e intensidad de los potenciales que experimenta. En Mecánica Cuántica la primera aproximación al tratamiento de partículas sometidas a fuerza son los diagramas unidimensionales de potencial, por simplicidad. El caso práctico más sencillo (y quizá más relevante en términos de electrónica) podría ser el potencial que un electrón experimenta en presencia de un núcleo atómico. Sin embargo, ocurre que la forma de este potencial es matemáticamente compleja, debido a que la fuerza electromagnética en sí misma depende de las distancias de separación y las velocidades, por un lado; y por el otro la distribución de cargas dentro de un núcleo atómico realmente NO es uniforme (el modelo representativo puntual es sólo una aproximación, bastante burda pero a veces útil). Por todo lo anterior, el primer tema a tratar en un estudio conceptual de funciones de onda, potenciales, movimientos, átomos y mecánica cuántica, es necesariamente una simplificación de potenciales realmente existente. Desde la matemática, se encuentra indicado iniciar con unos niveles de potencial constantes en un intervalo y cero fuera de él.

1.2.1 Potencial infinito y escalón. Relación con los pozos de potencial Esta sección será una de las más largas de toda la unidad, debido a que no sólo se analiza el caso particular de los potenciales infinitos y escalones, sino que se expone el sustento matemático de estos métodos; y de hecho la mayor parte del 15

contenido que se tratará aquí será utilizado por las siguientes lecciones, de manera que lo extenso de ésta redundará en una reducción de la longitud de posteriores secciones. INTRODUCCIÓN Las barreras y los pozos de potencial simplemente representan la situación en que una partícula libre (que no experimenta ningún potencial) se ve sometida a la acción de una fuerza en un rango determinado. Un potencial positivo representa una fuerza repulsiva, mientras que un potencial negativo representa una fuerza atractiva. El asunto de si es o no válido decir que una fuerza actúa SÓLO en un determinado rango tiene que ver con la forma matemática de la SUMATORIA DE EFECTOS DINÄMICOS: es decir, no basta con conocer la forma matemática de la fuerza, sino si ésta es la única realmente presente, o si algún efecto referente a la historia cinemática (qué estado de movimiento tenía la partícula antes de experimentar la fuerza) podría alterar la manera como la partícula responde a la fuerza neta sobre ella. Finalmente, aquí asumiremos que en algunos casos el modelo de barreras y pozos es una aproximación suficientemente exacta. Consideremos primero las gráficas que corresponden a cada caso:

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1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Figura 7. Típica barrera de potencial positivo

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0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 -1 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Figura 8 Barrera de potencial negativo, equivalente aun pozo de potencial

Dejando esto totalmente claro, se puede ahora pasar a tratar de entender cómo articula la ecuación de Schrödinger una solución para casos en los que existe un potencial infinitamente grande o un escalón positivo.

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1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Figura 9 Escalón de potencial. Corresponde a un caso en que la región de acción se extiende infinitamente en una dirección.

En la figura 7 identificamos un potencial positivo, mientras que en la 8 es claro que el potencial en mención es negativo (la magnitud del potencial se ha estandarizado a 1 por simplicidad; la escala de longitud del eje X tampoco es relevante para la explicación conceptual). Como resulta evidente, es más fácil hablar en términos de “barrera” y “pozo”, ya que con esto queda especificado el signo del potencial y la forma de la gráfica. En cuanto la figura 9, analizamos una barrera que cubre infinitos rangos de longitud. Esta barrera es realmente correspondiente a la función matemática “Escalón”, así que es conveniente llamar a la situación ESCALÓN DE POTENCIAL. Los escalones también puedes ser negativos o de forma inversa (y siguen siendo escalones), como puede verse en estas figuras:

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0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 -1 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Figura 10. Escalón de potencial negativo

20

0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 -1 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Figura 11. Escalón de potencial negativo en los valores negativos de x

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1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Figura 12. Escalón de potencial positivo en los valores negativos de x

Donde vemos que en el caso de las figuras 11 y 12 es necesario especificar hacia qué valores del eje espacial observamos la presencia del potencial. También se puede decir “Un escalón de potencial en el eje positivo/negativo de las x (o de la coordenada espacial)”, pero en este caso resultaría más práctico colocar el marco de referencia en el punto de discontinuidad. Esto quiere decir que la forma usual de escribir un escalón de potencial es así:

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0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 -1 -500

-400

.300

.200

-100

0

100

200

300

400

500

Figura 13. Escalón de potencial de la figura 9 después del ajuste de coordenadas que usualmente se realiza para encarar mejor el problema

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER PARA ESCALÓN DE POTENCIAL Como la función de onda que representa el movimiento de la partícula a estudiar debe depender de su energía, podemos tratar de evadir la solución de la evolución temporal separando la ecuación de SCH (se abreviará de ahora en adelante el nombre de esta manera), ya que la Energía será para nosotros simplemente un parámetro conocido que obtenemos respecto a una partícula que viene desplazándose desde el espacio libre. Observemos una gráfica explicativa de la situación inicial del problema:

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Figura 14. Partícula libre en el medio descrito por el escalón de potencial.

La energía de la partícula puede tener diferentes valores (es un simple parámetro), pero en todo caso está relacionada con su masa y su velocidad. La ecuación de SCH en ausencia de potencial:

i

  ( x, t )    2  ( x, t )  t

Conviene sea separada de manera que se encuentre una ecuación que involucre a la función de onda pero NO dependa del tiempo, pues entonces desaparece una derivada (la del lado izquierdo), y nos quedamos con una ecuación mucho más fácil de solucionar. Específicamente, si la onda solución es estacionaria:

 ( x, t )   ( x) exp(iEt / ) Y, de hecho, la anterior condición permite separar la ecuación diferencial respecto a sus dos variables, x y t. Recapitulemos el procedimiento: 1. Es más fácil resolver el problema si se pudiera separar la ecuación en parte espacial y parte temporal, porque así es más fácil encontrar la función de onda  ( x, t )

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2. Si la onda es estacionaria, la forma matemática de  ( x, t ) es tal que la teoría de Ecuaciones Diferenciales específica que la Ecuación SÍ ES SEPARABLE. 3. Como conclusión, una función de onda estacionaria permite hallar con facilidad la Función de Onda que nos permitirá conocer el estado cinemático y dinámico de la partícula en presencia del escalón de potencial. Es por eso que el siguiente principio físico, que no se demostrará o enunciará con toda la formalidad matemático-física del caso pero que en la aproximación que se dará es suficiente para brindar un marco conceptual para posteriores análisis, es radicalmente importante: “Una función de onda estacionaria está asociada a una partícula en un estado estable” Ahora, el concepto de estabilidad en Mecánica Cuántica requiere una enunciación muy cuidadosa, que será examinada posteriormente. Por ahora nos conformaremos con concluir que nuestro método de solución, basado en analizar sólo el aspecto espacial de la ecuación de onda, NOS ENTREGARÁ COMO RESULTADO LAS FUNCIONES DE ONDA ESTABLES DEL SISTEMA. A partir de la teoría de Ecuaciones Diferenciales se llega a la ECUACIÓN DE SCH INDEPENDIENTE DEL TIEMPO:    2 E  ( x)     2m

    V ( x)  ( x)  (1.2.1.1)  

Donde m es la masa y E la energía, ambas cosas respecto a la partícula. V(x) es el potencial presente en la región de análisis, y se incluye sin ningún problema, simplemente añadiéndolo al Laplaciano, ya que hemos supuesto que el potencial no depende del tiempo, sino sólo de x. Si el potencial fuera variable en el tiempo, tendría que suponerse que éste potencial fuera separable en las variables x y t. Formalmente se escribe de una manera mucho más sintética de esta forma:    2 E  ( x)     2m

  ˆ   E   V ( x)  ( x)     

(1.2.1.2)

Y para resolverla, resolvemos la ecuación de SCH en dos diferentes subespacios:

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Figura 15. Las dos regiones a analizar

En la región 1 el potencial es cero, y entonces la ecuación 1.2.1.2 se reduce a decir “La segunda derivada de la Función es igual a La función multiplicada por una constante”. Este es uno de los casos más simples de ecuaciones diferenciales, de manera que la solución será:

 1 ( x)  A exp(ikx)  B exp(ikx)

(1.2.1.3)

Donde k es la raíz cuadrada de lo que acompaña a la función en el lado derecho de la ecuación ya despejada (el resultado típico y simple de Ecuaciones diferenciales que fue mencionado): d2 2mE  ( x)   2  ( x) 2 dx 

(1.2.1.4)

Es decir,

k

2mE 

(1.2.1.5)

26

Las constantes A y B se encuentran mediante comprobación de condiciones en la frontera entre regiones 1-2 que son necesarias para poder usar la función de onda como representación de un estado físico. Para la región 2, sí existe potencial. La ventaja es que, al ser un potencial constante, la ecuación 2.1.1.4es prácticamente igual a la que se produce en este caso:

d2 2 m( E  V )  ( x)    ( x) 2 dx 2

(1.2.1.6)

Produciendo dos tipos de soluciones para cada uno de estos casos: 1. Energía de la partícula mayor que el potencial 2. Energía de la partícula menor que el potencial

Figura 16. La energía de la partícula se suele representar en los diagramas de potencial mediante líneas rectas

27

Por ejemplo, en la figura 16 se observa una línea roja que identifica una partícula con energía mayor que el potencial de la fuerza repulsiva que experimenta, mientras que la línea amarilla representa una partícula con energía menor. Como el término E - V en la ecuación 1.2.1.6 cambia de signo según sea uno de estos dos casos, entonces tenemos: CASO 1. Energía Mayor

 2 ( x)  A exp(ix)  B exp(ix)

(1.2.1.3)

CASO 2. Energía Menor

 2 ( x)  C exp(x)  D exp(x)

(1.2.1.7)

Donde, para la ecuación 1.2.1.7, “alfa” es también obtenida de la ecuación fundamental, mientras que C y D tienen que ver con las condiciones de frontera a cumplir. También es importante notar que estos A y B no tienen necesariamente que ser iguales a los A y B de la zona 1 de análisis.



2m(V  E ) 

Las condiciones de frontera son: 1. La función de onda debe estar definida y ser continua en todo punto del espacio. De otro modo, no podría identificarse como una función de densidad de probabilidad 2. Su derivada espacial debe también estar definida y ser continua, ya que se supone que la segunda derivada existe. 3. También debe existir la derivada temporal, en todo momento. Sin embargo, aún existen otras condiciones que debes satisfacerse para tener una función de densidad de probabilidad. Esto es, la función de densidad de probabilidad no debe ser infinita en ningún punto, sino más bien tender a 0 en el infinito, ya que cualquier función de densidad es tal que: 

 f ( x)dx  convergente

(1.2.1.8)



28

A partir de esto, es posible resolver el sistema de ecuaciones que hemos planteado, si tenemos en cuenta que el punto de inflexión de la función de onda es donde debemos plantear y resolver el sistema de educaciones: 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 -1 -500

-400

.300

.200

-100

0

100

200

300

400

500

Figura 17. Escalón de potencial estandarizado.

Aplicando las condiciones en la frontera (se recomienda que el estudiante lo verifique), se obtiene que los valores de las funciones de onda que conforman la solución son:  

 1 ( x)  A exp(ikx) 

ik    exp(ikx)  ik   

 2ik  exp(x)   ik   

 2 ( x)  A

(1.2.1.9)

(1.2.1.10)

Con A como una constante que respeta 1.2.1.8 y además la siguiente normalización, que proviene también del concepto de función de densidad de probabilidad (recuérdese que una probabilidad es un número entre 0 y 1, por definición):

29



 * ( x) ( x)dx  1

(1.2.1.10)



Donde el asterisco quiere decir “complejo conjugado”, ya que la norma de una función compleja es el resultado de multiplicar el complejo conjugado de la función por ella misma y sacar raíz cuadrada a este término Real. A partir de todo lo anterior, se conoce la probabilidad de que una partícula se encuentre en el intervalo (por ejemplo) que va desde 0 hasta x: x

x

Pr ob(0  x)    ( x) dx   * ( x) ( x)dx  Número 2

0

0

Ya que la función de onda es bien conocida. Como el objeto de este curso es entender la física de los semiconductores desde una perspectiva de Ingeniería, no es necesario realizar más aclaraciones respecto a los detalles de la derivación, que es sólo una muestra de cómo puede hacerse un cálculo en Mecánica Cuántica (para este ejemplo se escogió, de hecho, el más simple de los cálculos posibles con el más simple de los ejemplos de utilidad, de modo que el estudiante pueda entender y extrapolar la idea a otros contextos). En el caso de “Potencial Infinito”, simplemente el número “alfa” será un valor infinito, de manera que la función de onda en la zona 2 cae a 0 desde el inicio. Cabe anotar que los potenciales infinitos puede corresponderse a, por ejemplos, soluciones de situaciones reales en las que una partícula (por ejemplo, un electrón) tiene una energía miles o decenas de miles de veces menor que el potencial repulsivo que experimenta. Finalmente, en la figura 18 se observa la gráfica de norma de la función de onda (rojo) superpuesta a la gráfica del escalón de potencial (azul), de una manera aproximada y en el caso en que la Energía de la partícula es menor que el potencial repulsivo que se le impone. En verde se señala el punto en el que, a pesar de que el potencial de la fuerza es discontinuo, la función de onda sigue siendo continua.

30

Figura 18. Comportamiento de la norma de la Función de Onda ante el escalón de potencial. En verde se resalta que la función de onda es continua.

Dos puntos es imperioso mencionar: 



Aunque la función de onda parece tener “zonas prohibidas” donde la probabilidad es cero o casi cero, la realidad es que una función de onda realmente es una función del tiempo, por lo que los espacios posibles a la izquierda del potencial no tienen probabilidad completamente constante de ser ocupados por la partícula: su probabilidad cambia con el tiempo. En mecánica clásica, cualquier partícula que tenga energía menor que un potencial repulsivo simplemente rebotará contra la barrera de potencial que se le impone. La mecánica cuántica, en cambio, establece que una partícula de energía menor que una barrera de potencial repulsivo que la bloquea SÍ TIENE UNA PROBABILIDAD DE PENETRARLA, AUNQUE PUEDA SER BAJA.

1.2.2 Barrera de potencial. Pozo infinito y finito En esta sección se utilizan todos los resultados de la sección anterior. Para la barrera de potencial, la función de onda tiene un comportamiento que puede visualizarse aproximadamente de la siguiente forma:

31

Figura 19. Comportamiento de la Barrera de potencial. Tomado de www.wikimedia.org

Básicamente la Figura 19 significa que existe una probabilidad de atravesar una barrera de potencial más alta que la energía disponible (un resultado francamente en contra del concepto Clásico). Este fenómeno es conocido como EFECTO TÚNEL, y es la base de la operación de algunos dispositivos, tales como el Microscopio que lleva su nombre. La solución de la ecuación se basa simplemente en los pasos anteriormente detallados. Para mayor claridad, se resumen de nuevo: 1. Incluir en el Hamiltoniano el potencial respectivo. 2. Para primeras aproximaciones, afrontar sólo la parte Espacial de la Ecuación de SCH. 3. Encontrar la Ecuación Diferencial Equivalente.

32

4. Resolverla; esto equivale a hallar los valores de las constantes que se encuentran en las exponenciales, que SIEMPRE son función de la energía incidente y la energía de la barrera. 5. Trasladar el origen del sistema de coordenadas (para poder realizar rápidamente el paso 6). 6. Aplicar las condiciones de continuidad en los dos puntos de la barrera donde el potencial de discontinuo: así se obtienen las condiciones de las constantes. 7. Verificar las condiciones de Normalización de la Función de Onda.

Tanto para una barrera como para un pozo de potencial, se deben haber definido tres zonas claramente:

Figura 20. Pozo de potencial y sus zonas relevantes

Lo que simplemente quiere decir que la partícula se encuentra ante un potencial atractivo. A la luz de lo anterior, el resultado de solucionar la ecuación de SCH correspondiente se resume en: 33

Figura 21. Comportamiento de la función de onda en una caja de potencial. Es decir, aunque una caja de potencial mayor que la energía de la partícula SÍ CONFINA LA PARTÍCULA, no es posible restringir absolutamente su movimiento: sólo limitarlo. Esta tipo de inseguridades son comunes en la mecánica cuántica, debido a que la NATURALEZA MISMA de la Mecánica Cuántica está relacionada intrínsecamente con la no certeza (Principio de Incertidumbre de Heisenberg). De hecho, la definición de la diferencia de la Mecánica Cuántica con la Mecánica Clásica es que “La mecánica cuántica incluye el principio de incertidumbre”, y la clásica no3. De nuevo, EN EL CASO DE UN POZO INFINITO, LA PARTÍCULA ESTÁ PERFECTAMENTE CONFINADA Y LA SITUACIÓN ES LA PREDICHA CLÁSICAMENTE. Qué tanto el potencial real en análisis sea realmente infinito, define qué tanto es válida una aproximación clásica, que no maneje funciones de onda ni tenga en cuenta efectos túnel.

1.2.2.3 Barreras de potencial y estudio de caso: Molécula de Amoníaco La siguiente es una ilustración a cómo una situación real es modelada por la Mecánica Cuántica. 3

Sin embargo, es conveniente anotar que existe una definición ampliada de Mecánica Clásica en la que se complementa el anterior enunciado, así: “La mecánica Clásica es aquella que no tiene en cuenta ni el principio de incertidumbre ni efectos relativistas (velocidades cercanas a la de la luz)”

34

La molécula de Amoníaco es NH3, lo que significa que tiene tres átomos de hidrógeno y un átomo de Nitrógeno. Los enlaces, como se ve en bachillerato, pueden ser —en general— covalentes o iónicos, principalmente; en la molécula de Amoníaco lo importante es la forma de esta molécula: una pirámide triangular. La pirámide triangular es un poliedro cuyas caras son triángulos:

Figura 22. Pirámide triangular o tetraedro, en una vista superior. Tomado de www.gaussianos.com

Figura 23. Posible lista lateral de la anterior. Tomado de la página de la Universidad Politécnica de Cataluña

35

De manera que un gráfico que incluya los átomos de la molécula de Amoníaco puede ser este:

Figura 24. Esquematización de la ubicación de cada uno de los tres átomos de hidrógeno y el de nitrógeno dentro de la estructura de la molécula de Amoníaco. Recordar que en el gráfico hay una perspectiva presente.

La figura 24 es una representación bastante exacta: sólo con esta geometría el Amoníaco podría ser una estructura estable, así que es realmente ésta la forma que la naturaleza adopta. Notar que el hecho de que los triángulos sean equiláteros obliga a que haya simetría en los ángulos existentes entre las líneas que unen un átomo con otro (indicadores de trayectorias de enlace) Ahora, para entender cómo la molécula de Amoníaco puede —conservando parte de la simetría para permitir cierta estabilidad— oscilar de algún modo, sería de mucha ayuda si fuésemos capaces de aplicar mecánica cuántica y encontrar una función de onda asociada a este movimiento. Analizar el comportamiento de la molécula puede corresponder a analizar el movimiento de: a.) Los tres átomos de hidrógeno, como si fueran una entidad rígida, ya que la simetría entre ellos puede que se conserve y la figura que forman entre sí (triángulo equilátero) nunca cambie. b.) El átomo de Nitrógeno. Realmente, si tenemos en cuenta que obviamente el movimiento absoluto no es interesante (la molécula en realidad de todas maneras está fluctuando de muchas formas y desplazándose constantemente), sino más bien el relativo, podemos 36

plantear el problema en términos del Movimiento del Nitrógeno CON RESPECTO al plano conformado por los tres hidrógenos, o viceversa. Entonces podemos hablar de este sistema de coordenadas:

Figura 25. Eje de coordenadas seleccionado por conveniencia, a sabiendas de la estructura que tendrá el planteamiento de la Ecuación de SCH

Entonces, el V(y) relacionado con las fuerzas interatómicas tiene una dependencia con la distancia que se extrae de la naturaleza de las fuerzas interatómicas: las fuerzas electromagnéticas entre un átomo y otro. Claramente, V(y) será mayor en tanto más negativo sea y, para luego decrecer a medida que se aleje de los átomos de Hidrógeno. Por supuesto, también podemos pensar en que el sistema de coordenadas es otro que funcione de la anterior manera para valores positivos de y:

37

Figura 26. Otro sistema de coordenadas

Finalmente, suponemos que el átomo de Nitrógeno quizá pueda oscilar de la siguiente forma:

38

Figura 27. Posible oscilación del N, entre la posición en A y la posición B; ambas son vértice de un tetraedro (pirámide triangular), así que ambas son estables.

Ya que las posiciones finales (en un vértice de la pirámide) son estables. Esta suposición tiene ciertas prohibiciones clásicas que se ven cuando se examina la forma del potencial. A la vista de esta posible oscilación, lo mejor es colocar el origen del eje de coordenadas en la base del tetraedro:

39

Figura 28. SISTEMA DE COORDENADAS FINAL ESCOGIDO PARA EL ANÁLISIS DE LA POSIBLE OSCILACIÓN

Entonces el potencial electromagnético, ya que se sabe que normalmente el Amoníaco haya estabilidad en la configuración de un tetraedro, tiene una forma que se puede representar así:

Figura 29. Gráfica del potencial electromagnético entre los hidrógenos y el Nitrógeno, asociado a las fuerzas interatómicas. Este comportamiento no es simplemente el de una fuerza atractiva o repulsiva: la región en azul representa la barrera de potencial repulsiva, mientras que las zonas amarillas son zonas estables.

En la figura 29, ¿cuáles son las zonas estables? Por supuesto, las que tengan el mínimo de energía potencial. Corresponden a los puntos mínimos encerrados en círculos rojos. Si a la altura de la pirámide le llamamos h, la gráfica completa es: 40

Figura 30. Potencial de fuerzas interatómicas y puntos estables en la molécula de amoníaco.

Donde los puntos rojos son los puntos estables. Si necesidad de resolver el caso particular exacto, se puede aproximar este potencial una suma de los casos barrera de potencial y pozo de potencial:

Figura 31. Modelo de pozos y barreras de potencial superpuesto al real.

41

Figura 32. Modelo esquemático de pozos y barreras de potencial

Así que es posible proceder de una manera aproximada con análisis análogos a las anteriores secciones. De hecho, la conclusión de la posibilidad del EFECTO TÚNEL, hace que se pueda decir que sí existe una oscilación. Especificando las zonas de interés:

42

Figura 33. Zonas de interés

Se ve que la solución de este problema es exactamente juntar las soluciones de barreras y pozos de potencial. Las zonas 1 y 5 finalmente se pueden tratar como de energía infinita, por tener una probabilidad de penetración muy baja a distancias mensurables, pero la zona 3 es definitivamente lo suficientemente baja como para que ciertos estados energéticos puedan tener una probabilidad de atravesarla. Las ecuaciones son las mismas que fueron analizadas anteriormente. Aunque el tratamiento matemático de la molécula de Amoníaco es un poco complejo, con la exposición meramente conceptual pero cercana al proceso matemático, el estudiante puede tener una idea del enfoque con que se puede afrontar problemas de este tipo. De hecho, muchas de las conclusiones que se obtienen a partir del modelo “rectangular” de pozos y barreras para la molécula de Amoníaco son CIERTAS. Los experimentos lo han comprobado. Una de las conclusiones más importantes del la resolución de la ecuación de SCH modelada con un potencial rectangular es que existen dos niveles principales de energía posible para la Energía, que en realidad corresponden cada uno a dos niveles de energía muy cercanos, si se examina más detenidamente el espectro.

43

Como nota final, se enuncia que para poder hallar el valor esperado de una variable observada a partir de la función de onda encontrada, se usa el siguiente método operativo:

ValorEsperadodeunObservable  Observable 

 * ( x)Observable ( x)

int ervalo

Esto es, que el valor esperado de un observable es igual a la integral de el conjugado de la función de onda por el observable por la función de onda, evaluado sobre el intervalo que quiere tomarse para hallar el valor esperado (éste puede ser el infinito, para hallar un valor esperado total). Como las fluctuaciones son aleatorias y gobernadas por el principio de incertidumbre, sólo podemos hablar del valor esperado y del resultado concreto obtenido en una medición, pero no podríamos predecir con exactitud qué resultado tendremos, hacia futuro. En otras palabras, no se puede hacer qué valor energético tendrá una molécula de NH3 que no conocemos, pero sí podemos decir qué valores son posibles, y con qué probabilidad: esto quiere decir que, si tenemos un grupo de un millón de moléculas de NH3, es muy posible que SÍ podamos predecir en qué proporción se presentan los resultados de energía. Una predicción estadística.

1.3 APROXIMACIÓN AL COMPORTAMIENTO CUÁNTICO DE SEMICONDUCTORES 1.3.1 Fenomenología Eléctrica de Semiconductores Un semiconductor tiene la posibilidad de comportarse como aislante o conductor, en principio. Los límites de cuando se comporta en uno u otro caso están definido por una multitud de factores. En este capítulo se tratará de abordar la caracterización de semiconductores desde diferentes puntos de vista; una de las definiciones más exactas, dada por J. P. McKelvey, es (no se consigna textualmente): “Un semiconductor es una sustancia cristalina cuyos electrones tienen un intervalo de energía (Banda de Energía) prohibida, que no pueden ocupar, entre su región

44

energética de valencia y la región energética de conducción, siendo posible que sus electrones salten de una a otra región” En términos de teoría de bandas, se diría simplemente que existe una banda angosta prohibida entre las bandas de valencia y conducción, pero esta terminología aún no nos es familiar. Durante el desarrollo de este capítulo se hará claridad sobre esto. Un semiconductor presenta diferente comportamiento eléctrico (aislante o conductor) dependiendo de: 1. Temperatura. 2. Nivel de voltaje al que se haya sometido. 3. Cantidad de impurezas que lo conforman. 4. Tipo de impurezas que lo conforman. 5. Estructura cristalina. 6. Estructura macroscópica, si es que está conformado por un arreglo de materiales. De lo anterior, un semiconductor podría dejar de comportarse como aislante para paulatinamente conducir más y más corriente si un voltaje aplicado sobre él varía de la manera correcta, suponiendo que sus impurezas y estructura general lo han preparado para ello. Éste es una de las manipulaciones más comunes en Ingeniería. Junto con ésta, también aparece el efecto de AUMENTO de la conductividad al incrementarse la temperatura del material como un fenómeno útil en multitud de sistemas usados en Ingeniería. El por qué los semiconductores responden de las formas anteriormente descritas está directamente relacionado con la Teoría de Bandas mencionada anteriormente. En el caso de la respuesta a cambios de temperaturas, la relación directa se debe a que la temperatura es simplemente el aumento de energía cinética molecular y electrónica, por lo que una mayor temperatura trae como consecuencia una mucha mayor probabilidad de salto de electrones desde la banda de valencia a la de conducción. Entender los mecanismos físicos que permiten los efectos semiconductores requiere, como mínimo, comprender la estructura de la materia. La siguiente lección se refiere a esto.

45

1.3.2. Estructura atómica e iones INTRODUCCIÓN Los átomos, constituyentes fundamentales de la materia, están formados por un núcleo (compuesto de protones y neutrones) cubierto de un cúmulo de nubes de electrones orbitando alrededor de él en trayectorias no completamente constantes en el tiempo. Cada electrón no tiene una trayectoria definida, pero sí tiene una REGIÓN de órbitas bien definida. Cada región identifica un Nivel Energético: la única forma de que un electrón pase de una región de órbitas permitidas a otra es que cambie su energía. Adicionalmente a esto, en el modelo de la mecánica cuántica, sabemos que en presencia de un potencial, todos los niveles Energéticos de una partícula están cuantizados: esto quiere decir que los niveles posibles son múltiplos enteros de una cantidad determinada. Esto es igualmente válido para moléculas, átomos y cualquier situación microscópica en la que una o más partículas experimentan una fuerza, asociada a un potencial, si esto tiene como efecto estados ligados (estados donde la partícula no tiene completa libertad de movimiento). De aquí que exista la llamada “BANDA PROHIBIDA” (GAP). Los electrones en un átomo tienen un último nivel de suma importancia para la teoría de enlaces moleculares: los electrones ubicados en el último nivel energético son los Electrones de Valencia, y son los que son transferidos de un átomo a otro o compartidos entre los átomos, formando los enlaces que dan estructura a las moléculas. Existen dos tipos de enlaces principales: -

-

IÓNICOS: Los electrones de un átomo son totalmente atraídos y prácticamente transferidos a otro átomo, víctima de la fuerza electromagnética atractiva que ejerce sobre él ese núcleo. COVALENTES: Los electrones de un átomo son también atraídos por el otro átomo, pero en este caso no es suficiente la fuerza de atracción y se genera un estado estable orbital para ambos átomos con el mismo único electrón. El electrón se dice entonces que es compartido.

Realmente, no son sólo las fuerzas electromagnéticas las que gobiernan los enlaces y fenómenos atómicos. Como se vio en la breve conceptualización de análisis del Amoníaco, ni siquiera el potencial interatómico tiene una forma simple. Asimismo, se sabe que existe la llamada REGLA DEL OCTETO:

46

“Los enlaces entre átomos tienden a darse de tal manera que cada átomo tienda a completar 8 electrones en su nivel de valencia, o, si sólo tiene un nivel de energía, 2 electrones en su nivel de valencia”. Otro efecto bastante significativo es que un par de electrones en enlace covalente siempre tienen su espín antiparalelo al otro. El espín es uno de los números cuánticos relevantes. Esto nos lleva a la necesidad de entender ciertos aspectos sobre la Mecánica Cuántica en Átomos y Moléculas. MECÁNICA CUÁNTICA EN ÁTOMOS Para la ilustración de lo anterior, conviene estudiar el átomo de Hidrógeno: éste tiene sólo un electrón orbitando alrededor de un protón. Por tanto, no es muy difícil describir una versión simplificada del potencial, donde éste siga a la ley de Coulomb con toda exactitud y usemos como distancia R de separación entre electrón y protón el radio de un supuesta órbita circular. Este modelo es sólo aproximado debido a la existencia de ciertos efectos, de los cuales algunos son pequeños y otros no tanto: 1. Como el electrón moviéndose corresponde a una corriente eléctrica, la presencia de un campo magnético lo afecta y altera el potencial. 2. Si existiera un efecto de giro en el electrón, también habría un momento magnético que interactuaría con la corriente eléctrica conformada por el electrón girando (de hecho, esto se verá más adelante). 3. Una órbita estable puede ser elíptica: entonces R no sería constante. La aproximación comentada es suficientemente buena. Entonces el potencial del Hamiltoniano que usaremos es:

Ke 2 V (r )  r Donde “e” es el valor absoluto de la carga del electrón (o del protón, ya que su carga es igual: todo átomo natural es eléctricamente neutro) y K es una constante que ajusta unidades. Usualmente en el Sistema Internacional de Unidades se toma que K=1/(4πε0). Como este potencial no es constante, podemos intuir desde ya que la solución de la Ecuación de SCH no será tan sencilla como la de pozos y barreras. De hecho, para resolver la ecuación resultante (la letra griega Miú [μ] representa la masa reducida: una transformación de las masas de protón y electrón que hace que el término asociado represente la energía cinética total, incluyendo los posibles movimientos del protón):

47

 2 e2  Hˆ   E      2 r 

1.3.2.1

Es necesario separar de nuevo variables, pero ahora respecto a cada coordenada de análisis (el mejor método a escoger es un sistema de coordenadas esféricas, debido a que el potencial es puramente radial: depende de la distancia al centro pero no de en qué dirección esté el electrón). Antes de proseguir es necesario especificar en qué consisten los procedimientos descritos:



m1 m2 m1  m2

Es la masa reducida de la que se habló. La expresión de la energía cinética usada en el Hamiltoniano es fruto de un análisis puramente matemático y usual. Ahora, la energía potencial tiene la exacta definición que se conoce del electromagnetismo clásico. Entonces se puede suponer una solución de variables separables (ecuaciones diferenciales), identificada como n ,l ,m ( r ,  ,  ) por ser realmente una familia de soluciones (cada solución se diferencia de las otras por los valores de su tríada n, l, m):

n ,l ,m (r ,  , )  Rn ,l (r ) l , m ( ) m ( ) donde los tres factores multiplicativos corresponden a la solución partida en sus tres componentes (cada una dependiente de una coordenada). Nótese que las soluciones son infinitas: la primera es 1, 0, 0 ( r ,  ,  ) y corresponde a una forma matemática diferente a la siguiente solución. Los números n, l y m son parámetros dentro de la solución (de ahora en adelante “bautizados” como Números Cuánticos), y deben cumplir las siguientes restricciones: 1.) n es un número entero mayor que 0. 2.) l es mayor o igual a 0 pero, como máximo, igual a n-1. 3.) m es un entero cuyo valor absoluto es, como máximo, igual a l. Los tres puntos anteriores se desprenden de que, si en las fórmulas que dictan cómo se resuelve la ecuación del átomo de hidrógeno se introducen otros números que no cumplan 1.), 2.) y 3.), el resultado es una función imposible físicamente. Entonces, por ejemplo, NO podemos tener: 1,3, 2 ( r ,  ,  )

Pero SÍ podemos tener:

48

1000 ,800 , 500 ( r ,  ,  )

Sin embargo, el hecho de que estos números cumplan las restricciones no es suficiente para poder entender qué significan. Como la ecuación de Schrödinger está basada en leyes físicas, cada Número Cuántico debe tener significado físico. Analizando lo que estas funciones significaban, se entendió a qué se referían; antes de pasar a este punto, primero debemos ver explícitamente las funciones que son solución de la ecuación. Uniendo los dos factores direccionales (los que no dependen del radio), encontramos la siguiente solución general dependiente de la dirección (representada con la letra Y en mayúscula:):

con

Por lo que la solución entonces debe escribirse ψ (r,θ,φ) = R ( r ) * Y (θ,φ). Por supuesto, la forma de R y Y dependen de Números Cuánticos SIEMPRE. La parte radial de la función de onda es:

49

donde

son los polinomios de Laguerre, similares a los polinomios de Legendre mencionados anteriormente, con su símbolo Plm. Ya conociendo las funciones que conforman el conjunto de soluciones que satisfacen las leyes físicas que representa la Ecuación de Schrödinger, se procede a interpretar estos parámetros llamados Números Cuánticos. Finalmente se encuentra que: n representa el número cuántico principal, que da la contribución principal, la energía base que tiene un electrón girando alrededor del núcleo, y que por ello está relacionado con el radio de la trayectoria orbital. Se entiende que la órbita NO es estacionaria: ésta puede cambiar y existir una “región orbital” y no una órbita exacta definida. l es el número cuántico de momento angular, que representa qué tanto se puede hablar de un momento angular neto, y en qué dirección, ya que el concepto de “región orbital” hace que sea posible que, si sacamos un promedio de cómo se comporta el momento angular en un intervalo de tiempo, este sea cero. De hecho, l = 0 corresponde a un momento angular cero porque la fluctuación de la órbita es esféricamente simétrica: no hay una dirección o plano sobre el que orbite preferentemente el electrón, sino que aleatoriamente su órbita cambia de plano describiendo algo similar a lo que se ve en la figura 34.

Figura 34

m es el número cuántico de ORIENTACIÓN del momento angular con respecto al eje z (escogido como se quiera), así que corresponde a qué tanto del momento angular se concentra en una sola dirección. Pero, como la dirección de z es arbitraria, puede decirse que la información de m es relevante cuando se 50

comparan momentos angulares, pues para un solo electrón siempre puede decirse que, SI EXISTE MOMENTO ANGULAR (l ≠ 0), la dirección del vector momento angular se define como el eje Z. Por supuesto, si l = 0, entonces m = 0; no hay componente en dirección z. Lo anterior puede revelar su importancia cuando ya se sabe que la energía total disponible en el átomo (en los electrones) depende del radio de la órbita Y DEL MOMENTO ANGULAR, debido a que éste genera un campo magnético que interactúa con el núcleo. Sin embargo, la contribución a la energía que tiene que ver con el momento angular es mucho menor. Así mismo, las partículas fundamentales presentan otra propiedad asociada con un número cuántico: El spín (nombre en inglés que usaremos para ajustarnos a la literatura al respecto, que es más abundante en este idioma). Esta propiedad se refiere al hecho de que cualquier partícula cargada genera un pequeño campo magnético aún en reposo. Esto quizá pueda pensarse que se debe a que la partícula gira (si está cargada, esto genera campo magnético porque constituye un equivalente a corriente), pero la realidad es que no se puede suponer esto: cuando se calcula el momento angular intrínseco de un electrón y se tiene en cuenta su carga y su masa (ya muy conocidas), encontramos que el giro que en realidad tendría un electrón en realidad no generaría ese campo magnético. Por esto es que se asegura que el espín no representa Momento Angular Intrínseco, aunque se pueda usar la matemática de momento angular para trabajar con él. Teniendo en cuenta lo explicado, a continuación profundizamos sobre la estructura atómica y el concepto de ionización. ESTRUCTURA ATÓMICA E IONES Por lo anterior, podemos establecer un modelo de Capas del átomo. Cada capa se identifica por sus números cuánticos n y l, de tal modo que electrones con diferentes valores de número cuántico m se encuentran en la misma “capa”: si tienen el mismo número n y número l, el sector donde orbitan será el mismo, visto como una región del espacio semejante a un cascarón esférico de algún grosor bien definido y mucho menor que el radio medido desde el centro del átomo hasta la órbita. Se puede decir que las regiones identificadas por el número cuántico de momento angular l ( “L”) tienen una forma específica para cada valor que toma este número, por lo que se puede pensar en cada grupo de electrones que con un mismo l y n como pertenecientes a una subcapa. Haciendo claridad sobre esto, vemos la figura 35.

51

Figura 35. Orbitales atómicos según la información de la página de la Universidad de Huelva, www.uhu.es

Donde los orbitales serán siempre: s los de l = 0, p los de l = 1, d los de l = 2, etc. Se aprecia la aleatoriedad que exhibe el orbital s, siendo representado con un cascarón esférico que abarca las posibles trayectorias de los electrones de tal número cuántico. Para el orbital 2s (n=2, l=0), entendemos que el dibujo que lo representa es simplemente un cascarón esférico de menor tamaño. La notación px, py, pz tiene que ver con el número cuántico m, como se ve en la explicación dada en el siguiente párrafo. Adicional a lo anterior, el principio de exclusión de Pauli establece que ningún fermión puede tener los mismos números cuánticos que otro fermión idéntico en el mismo sistema. Como el electrón es un fermión, esto quiere decir que si dos electrones tienen sus números cuánticos principales idénticos, entonces la orientación del spín debe ser diferente. Para electrones, la orientación spin es ½ o -½; como sólo existen dos posibilidades, se les llama spin arriba (up) o spin abajo (down). Esta orientación se asocia con el número cuántico de orientación del spín, ms. De esta forma, en cada orbital l = 0 sólo existen electrones con m=0, por lo que sólo hay dos electrones en total (uno con spin up y otro con spin down). Análogamente, si l=1, entonces m puede ser `-1, 0 o 1: tres diferentes valores de m están contenidos en este único orbital. Como para cada valor de m puede haber un par de electrones entonces el orbital don l = 1 puede tener 2x3 = 6 electrones. Entendemos entonces el significado de px, py, pz y por qué hay como máximo dos electrones en cada uno. Una vez comprendido lo anterior, debemos hacer un breve resumen de lo visto sobre la estructura, para poder dar una simple y corta definición de iones:

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1. La mecánica cuántica gobierna el comportamiento físico de cualquier partícula, lo que incluye a los constituyentes del átomo. 2. Átomos y moléculas entonces siguen la ecuación de Schrödinger como ley a cumplir, pero la compleja estructura e interacciones existentes entre los constituyentes del átomo y entre los mismos átomos hacen frecuentemente imposible la solución exacta de la ecuación, aunque sí permiten aproximaciones suficientemente buenas como para entender la base de su comportamiento. 3. Pozos y barreras de potencial son aproximaciones a los verdaderos potenciales que la naturaleza presenta, adecuados porque pueden resolverse de manera exacta y porque lo que se puede concluir de las suposiciones ideales aplican bastante bien en la realidad. 4. El átomo de hidrógeno se resuelve de manera exacta y su familia de soluciones nos permite entender que un mismo sistema puede hallarse en sus estado base (n=1 y l=0) o estar en cualquier estado excitado de números cuánticos superiores, de manera que se tienen otras funciones solución. 5. El número n define el radio característico de la región de órbitas, su distancia desde el núcleo, mientras que el l la FORMA de la órbita. 6. En cada subcapa hay un cantidad máxima diferente de electrones que pueden existir, debido a que entre mayor sea l son más los posibles valores que puede tomar m. 7. Para cada tríada n, l, m pueden haber dos electrones: uno con espín down y otro con espín down. 8. Para cada uno de estos electrones hay una función de onda diferente que describe completamente su movimiento y energía. Si acercamos un átomo a otro, los potenciales experimentados por el electrón cambian y hay que replantear la ecuación de Schrödinger para hallar la nueva función de onda que cumple el electrón. 9. Lo mismo ocurre en átomos multielectrónicos: el potencial se deberá, por un lado, a un núcleo mayor; y por el otro, a la existencia de otros electrones que, al estar cargados, interactúan con los otros electrones, trayendo como consecuencias que la función de onda hallada para el electrón del hidrógeno no sea válida para estos átomos. De todos los puntos anteriores queda completamente claro que una molécula en la dos átomos están cercanos, fácilmente puede haber electrones cuyas órbitas pasen por ambos núcleos. A esto llamamos un ENLACE COVALENTE. Por ejemplo, veamos cómo pueden solaparse dos orbitales s:

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Figura 36. Extraída de www.textoscientificos.com

Existiendo el orbital p aún, éste puede no interferir con el s. proceso de manera más general:

Examinando el

Figura 37. Extraída de www.textoscientificos.com

Debido a que nuestro interés en la mecánica cuántica de los enlaces moleculares es puramente molecular, se dejará la explicación hasta acá, con objetivo meramente ilustrativo. Entendiendo la idea general de enlaces covalentes, resulta sencillo entender la definición de enlaces iónicos:

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En un enlace iónico un electrón de un átomo es transferido completamente a otro átomo, debido a que las fuerzas de atracción con éste último han sido mayores. Una vez es transferido, el átomo receptor queda cargado eléctricamente (con la carga eléctrica negativa que le proporciona el nuevo electrón), al igual que el donador (que al perder el electrón queda con carga positiva)…ambas cargas son siempre opuestas, por definición del proceso anterior. Por esto, ambos átomos estarán probablemente adheridos (si el enlace se rompe no estarán adheridos pero aún tendrán carga) por la fuerza electrostática que sus cargas opuestas generan. Cada átomo es llamado IÓN. Queda claro cómo funciona el sistema, y cómo éste electrón tenderá a cumplir la función de onda que le corresponde en orden en su nuevo átomo, aunque no exactamente debido a que está presente el potencial del otro átomo. A efectos prácticos, nos interesa el concepto general y el entendimiento que el proceso de IONIZACIÓN no es más que la creación de Iones….no siempre esto termina en un enlace iónico, ya que en un Gas Ionizado existen iones que se mantienen separados debido a la baja densidad del conjunto.

1.3.3 Teoría de bandas Una vez entendida —aunque en una primera aproximación conceptual— la naturaleza de la estructura molecular de la materia, se puede pasar a estudiar estadísticamente los materiales de interés. En un material cualquiera siempre existirán rutas de viaje de los electrones. Podemos esperar que un electrón se mantenga en órbita relativamente aleatoria alrededor de su núcleo o que se transfiera a otro átomo en razón a diferentes causas: 1.) Mucha energía térmica: se mueve tan rápido la molécula que en algún momento el electrón puede saltar a otro átomo. 2.) Campo eléctrico: una fuente de carga lo atrae o lo repele muy fuertemente de un momento a otro (puede ser entendido como un voltaje) 3.) Campo Magnético: igual a lo anterior, pero por causa de un imán. 4.) Energía mecánica macroscópica: un golpe macroscópico de gran impacto puede alterar la estructura interna de un sólido (por ejemplo, chocar dos metales puede sacar chispas) Entre otras. La teoría de bandas modela la manera como se distribuyen los estados electrónicos según se alteran los parámetros relevantes del sistema. Así, una banda no es más que un intervalo de energías asociadas —como es natural— 55

a un intervalo de estados posibles. Para el análisis del comportamiento electromagnético de los semiconductores lo más importante es entender lo referente a las bandas de valencia y conducción: Si analizamos el comportamiento de un electrón que se mueve a través de un sólido saltando de átomo a átomo, entenderemos que el potencial que experimenta (el potencial que “ve”) el electrón es tan periódico como la disposición de los átomos lo sea. Si tenemos una sucesión de cien átomos, el electrón experimenta un decrecimiento de fuerza eléctrica que le ejerce el átomo del que se está alejando mientras se incrementa la fuerza eléctrica ejercida por el átomo al que se está acercando. El potencial debido a cada átomo es de la misma forma (el potencial electrostático decrece como 1/ r y cada átomo funciona como un ión visto desde la perspectiva del electrón) y por esto tendríamos un potencial periódico en el caso de un material compuesto por N átomos de algún elemento específico. Gráficamente tendríamos:

Figura 38. Potencial experimentado por un electrón: la línea horizontal es donde se encuentran los átomos de interés, que el eje vertical representa la energía potencial experimentada en cada punto. Recuérdese que el máximo de energía potencial (en valor absoluto) se experimenta cuando se encuentra justo en el punto donde está la fuente del campo eléctrico.

Ahora, éste electrón viajero (como hemos visto) no debe estar muy fuertemente atado a ninguno de los átomos. Su energía cinética debe ser mayor que la magnitud de energía potencial que lo atrae a cada átomo. Es por esto que el modelo de energía potencial usado para cualquier estado en el que una partícula se encuentra de alguna manera oscilando en una zona definida (órbitas, vibraciones, etc.) es definido con SIGNO NEGATIVO. Así como la energía potencial Gravitacional que la tierra tiene al girar alrededor del sol es un número negativo, la energía potencial electromagnética del electrón alrededor de un centro de carga positiva es siempre negativa, para usar este hecho en el cálculo de la energía total y definir un criterio que especifique cuándo es posible que el 56

electrón escape de la atracción y cuando no; en éste último caso hablamos de un ESTADO LIGADO. Para entender lo anterior se consignan las ecuaciones:

Etotal  E cinética  E potencial  EC 

Q 4 0 R

Donde hablamos de la carga Q del núcleo, la distancia R y “Épsilon sub cero”, la permitividad del espacio libre. Y si recordamos que si la magnitud de energía potencial almacenada es mayor que la energía cinética entonces tenemos un estado ligado, podemos decir que un estado ligado tiene energía total menor que cero. Esto tiene sentido porque la energía potencial siempre se define arbitrariamente con respecto a un nivel de referencia, así que podemos entenderla como negativa y en ese caso la energía total puede ser también así. Es la ENERGÍA CINÉTICA la que no puede ser menor que cero. Con todo, es muy claro que si el valor absoluto (la magnitud) de la energía potencial es mayor que la energía cinética del electrón (es decir, está orbitando o en estado ligado), es cierto que la Energía total hallada como se mencionó anteriormente es menor que cero. Ahora, como el electrón ligado es muy diferente al electrón libre, se definen Bandas para Electrones Ligados y Banda para Electrón Libre. Primero enunciamos cuál es cada una e inmediatamente justificamos el porqué: BANDA DE CONDUCCIÓN: Es el intervalo que corresponde a las energías de los electrones que pueden ser los electrones libres. Estas energías deben corresponder a la última banda de energías del sistema atómico que NO ESTÉ LLENA; es decir, el intervalo de energías que no tiene electrones o no tiene el número máximo de electrones posibles para esa banda. Con la definición de Banda de Valencia se aclara la razón de esto. BANDA DE VALENCIA: Es la Banda asociada a los Electrones Ligados y es la última banda que esté llena. ¿Por qué? Porque es claro que, los electrones libres ocupan un nivel de energía en el que haya posibilidad de perder y ganar electrones. Si el electrón pasa por un sistema cuya última capa está llena (según lo que se discutió sobre el principio de exclusión de Pauli), se deduce que tomará los valores energéticos de la siguiente banda. Por otro lado, si existe una banda parcialmente llena, estos electrones pueden ser removidos fácilmente porque toda la capa es susceptible de interactuar con los electrones de conducción. De hecho, se puede decir —sin entrar en las razones exactas de esto— que las bandas llenas están “blindadas” contra la conducción. Esto tiene ciertas sutilezas que pueden constituirse en una especie de excepción, pero tal efecto lo revisaremos en el siguiente apartado, al hablar de Solapamiento de Bandas.

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1.3.4 Características térmicas y electromagnéticas generales Existe una dependencia de la temperatura y de la distancia en las gráficas de las bandas energéticas que existen en los materiales. Como se mencionó cuando se describieron inicialmente los semiconductores, las formas como existen y evolucionan las bandas en cada material definen la clasificación de éstos. A la luz de los conceptos anteriormente explicados, podemos comprender la siguiente figura esquemática:

Figura 39. Bandas de conducción y de valencia, extraído de www.wikimedia.org

Como puede verse en la figura 39, existe el solapamiento de bandas. Es decir, los estados energético pueden que estar solapados (superpuestos), de manera que, aunque la banda de valencia está llena, parte de sus energías son también parte de los intervalos de la banda de conducción, de manera que un mismo electrón en cierta forma pertenece a cualquiera de las dos bandas. Esto proviene de la resolución de las ecuaciones de Mecánica Cuántica pertinentes en cada caso, como revisamos en anteriores apartados. En la figura 39 también se aprecia que la superposición de estados del silicio (gráfica a la izquierda) ocurrirá en un punto específico del diagrama. La flecha que señala el orden A, B, C indica un proceso de compresión. La forma de la gráfica de las bandas del carbono es casi exactamente igual al del silicio, como quiera que ambos elementos tienen cuatro electrones en su última capa. Los subíndices S y P diferencian las energías de los orbitales “s” de la de los orbitales “p”, que son los asociados a cada banda. Para la correcta finalización de este curso es suficiente entender las dependencias y significado de las bandas de 58

energía correspondientes a electrones libres (conducción) y ligados (valencia), por lo que no se ahondará sobre la forma matemática exacta. Sin embargo, sí es necesario dar una definición adicional: GAP: Banda que corresponde al intervalo de energía existente entre el nivel más bajo de la banda de conducción y el nivel más alto de la banda de valencia. SU nombre proviene del inglés. La figura 40 Ilustra lo anterior.

Figura 40. Tomado de www.kalipedia.org

Ahora tenemos una comprensión y terminología acordes con la temática de los semiconductores. Examinando la figura 39 de nuevo, las gráficas de la derecha dan la definición de semiconductores, metales y aislantes, desde el punto de vista de teoría de bandas. El GAP del aislante de la figura es 6eV. Obsérvese la figura 41 como ejemplos.

Figura 41. Ejemplos de algunos GAP de energía.

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Por otro lado, las bandas de energía de un metal no siempre están superpuestas (ver figura 39): también es posible que simplemente la última banda esté parcialmente llena. Debido a que en el cero absoluto no existe energía cinética que pueda producir el salto del GAP, un semiconductor en el cero absoluto debe tener conductividad cero. A medida que aumenta su temperatura, su conductividad aumenta hasta que, en determinada temperatura característica, se comporta como un conductor. Electromagnéticamente un semiconductor es susceptible a los campos magnéticos o campos eléctricos de una manera correspondiente a la “Región de comportamiento” donde se encuentra: si por densidad o por temperatura se comporta como conductor, será influenciado por los campos electromagnéticos tal como le sucede a un conductor. Lo mismo aplica en el caso que esté en su “modo” aislante. Si un semiconductor tuviera iones portadores de cargas o un flujo específico de electrones en una u otra dirección, el cambio en las concentraciones de cargas puede verse asociado a un posible voltaje efectivo. Esto será más claro cuando se explique el comportamiento de semiconductores dopados, en la sección 1.5.

1.3.5 Cinemática del electrón en Semiconductores Para entender el movimiento del electrón hay que remitirnos a los casos más fundamentales y modelos más simples, estudiados en cualquier curso de física electromagnética. A partir de este sintético repaso se espera que sea más entendible la explicación conceptual sobre su comportamiento en semiconductores. Si existe una corriente de electrones, es natural que microscópicamente esto corresponda a un movimiento nada simple del conjunto de electrones: cada electrón sigue su trayectoria con velocidad no constante y sujeto a choques con otros electrones. También es posible incluso que algún factor externo o interno relativamente aleatorio lo haga intercambiar energía al punto de saltar el GAP y bajar a la banda de Valencia. Probablemente algún electrón de capa de Valencia hará el mismo salto en sentido contrario y se convertirá en electrón de conducción. Lo anterior lleva inmediatamente a la conclusión de que el movimiento electrónico debe estudiarse estadísticamente. Como la carga del electrón es macroscópicamente indetectable debido a que es muy pequeña, finalmente lo que nos interesa es el movimiento del grupo de electrones del sólido…piénsese que cuando se miden microamperios (una de las unidades más bajas de corriente 60

macroscópica), se está midiendo el flujo de 1x10-6 Coulombs por segundo, mientras que la carga del electrón es 1.602x10-19 Coulombs, más de diez millones de millones de veces la carga que fluye en cuando se habla del microamperio. Es por esto que fluctuaciones de un solo electrón e incluso de unos cientos de electrones, suelen ser irrelevantes; es más, aunque estos cambios de carga tuviesen importancia, suelen compensarse por su carácter aleatorio (unos suben, otros bajan) y por la velocidad con que ocurren (mucho menor a un microsegundo). Definimos la VELOCIDAD DE DERIVA como la velocidad promedio de los electrones en el material, el CAMINO LIBRE MEDIO como el promedio de la distancia que puede recorrer un electrón antes de chocar y el TIEMPO DE DERIVA como el tiempo promedio entre colisiones. La ley de Ohm se mantiene para todo material con una resistencia bien caracterizada y constante: V = IR, pero para semiconductores su carácter dinámico (a veces más conductor que otras veces) esta ley debe verificarse con cuidado. Entonces, los conceptos de Velocidad y Tiempo de Deriva, así como el Camino Libre Medio, son más exactamente relacionables con las variables macroscópicas de voltaje y corriente en CONDUCTORES.

1.4 CRISTALOGRAFÍA 1.4.1 Sólidos amorfos y cristalinos Hemos hablado ya de sucesiones de átomos, sólidos, materiales y comportamiento cuántico y electromagnético. También se ha comentado sobre la estructura atómica y molecular general; ahora introduciremos algunas ideas fundamentales sobre la forma como se dispone una multitud de átomos conformando un objeto macroscópico. Cuando los átomos se aglomeran para conformar una estructura mayor, frecuentemente presentan alguna estructura regular. Para ser exactos, existen patrones de configuración aún microscópicos que definen, caracterizan y de hecho pueden identificar inequívocamente la estructura y propiedades del sólido macroscópico que conforman en total. Se define al sólido como una estructura no fluida: un material en estado fluido (líquido, gaseoso) sólo reacciona como un todo en respuesta a fuerzas hidrostáticas o hidrodinámicas…un ejemplo es el agua contenida en un recipiente, sobre la que no podemos definir algo como “esfuerzo cortante”, a diferencia de un 61

pedazo metal, sobre el cual es claro que podemos verle reaccionar ante un objeto que ejerza presión sobre él: hablando formalmente, un sólido exhibe comportamiento elástico y es rígido. En general, se sabe que un sólido presenta una estructura u organización molecular bien definida, y en la mayoría de los casos es de tipo red cristalina. Una Red Cristalina es una conglomeración de moléculas o átomos que sigue una geometría determinada. Aquí el mejor ejemplo es un tablero de ajedrez. Si los cuadros representan una molécula que se encuentra en cada centro, entonces las moléculas negras y las moléculas blancas de este tablero siempre se encuentran espaciadas de la misma forma y con los mismos ángulos. Por supuesto, podemos pensar que esta estructura cristalina se puede complejizar imaginando que cubre las tres dimensiones. Un sólido amorfo hace parte de la minoría, y presentan un comportamiento semifluido y semisólido, respondiendo de una forma intermedia ante excitaciones varias. Las moléculas de un sólido amorfo pueden tener alguna periodicidad (alguna geometría que se repita periódicamente), pero ésta será imperfecta y en la mayor parte de los segmentos de sólido que se tomen no podrá prácticamente ser diferenciada de un conglomerado aleatorio y sin forma. Para aclarar aspectos sutiles sobre esta diferenciación, lo mejor es observar la figura 42.

Figura 42. Sólido amorfo y cristalino.

Como puede observarse, la figura 42 (izquierda) no parece tener un orden tan sólo contemplando este pequeño número de átomos. Sin embargo, aún se puede establecer algunas periodicidades parciales, y equidistancias entre algunos pares de átomos. Esto, por supuesto, no lo convierte en cristalino: es un sólido amorfo sin lugar a dudas. Más interesante es notar que el sólido de la derecha es aproximadamente cristalino si se quiere ser muy estricto en la definición, o simplemente Cristalino, si se es amplio. Como los modelos perfectamente simétricos no tienen sentido, ya que los átomos y moléculas están siempre en movimiento, las pequeñas asimetrías que son visibles en la estructura cuadriculada que aquí suponemos es la fotografía de la red cristalina que conforma algún sólido pueden deberse al movimiento natural de cada partícula o a pequeños desperfectos de la red. En general, durante el curso hemos de tener en cuenta que la perfección en las redes cristalina es relativa, y que para efectos prácticos el análisis aproximado es muy fiable.

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Por último, se le recuerda al estudiante que 1.) los sólidos a estudiar son los cristalinos, ya que los amorfos pueden modelarse prácticamente como fluidos en condiciones especiales; y 2.) Los sólidos pueden estar formados por distintas clases de átomos y moléculas, además de posibles impurezas.

1.4.2 Redes de Bravais Ahora estudiaremos las formas en que pueden existir los Cristales (por cristal entendemos una agrupación de moléculas/átomos que conforman un sólido de manera periódica). Geométricamente sólo hay 14 posibles formas de acomodar periódicamente las partículas que forman un sólido: 1. Cúbica simple, 2. Cúbica centrada en la cara, 3. Cúbica centrada en el cuerpo, 4. Tetragonal simple, 5. Tetragonal centrada en el cuerpo, 6. Ortorrómbica simple, 7. Ortorrómbica centrada en cara, 8. Ortorrómbica centrada en el cuerpo, 9. Ortorrómbica centrada en las bases, 10. Monoclínica simple, 11. Monoclínica centrada en las bases, 12. Triclínica, 13. Trigonal, 14. Hexagonal. Cuya correspondencia podemos explicar mediante la gráfica y tabla empotrada del Colegio de Bachilleres del Estado de Sinaloa, en México:

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Figura 43. Tomada de www.cobaes.edu.mx

:

Donde podemos observar la mayor parte de las diferencias geométricas visualmente. Por supuesto, varias de las redes parecen pertenecer a la misma familia por sus condiciones angulares y de aristas. Más allá de esto, es demostrable geométricamente que estas redes cumplen algunas simetrías que las clasifican en subgrupos. Las simetrías son propiedades definidas sobre cualquier objeto de estudio y que tienen que ver con invariabilidad del algún resultado a pesar de cambiar alguno de los aspectos de su operación: dicho de manera práctica: un objeto de estudio (un cuerpo físico, una función matemática, un fenómeno de la naturaleza, una figura o una partícula) se dice que cumple una simetría o TIENE una simetría bajo determinada operación cuando, al hacer esta operación sobre él, ALGO permanece igual. Previendo que el estudiante no esté familiarizado con el concepto, aquí hay algunos ejemplos: 1.) La esfera es simétrica bajo rotaciones sobre su eje: si un globo perfectamente esférico se gira, el resultado es una figura exactamente igual. 2.) El cilindro es simétrico bajo rotaciones sobre su eje 64

3.) La operación “Elevar al cuadrado” es simétrica bajo cambios de signos de la base: si cambiamos el signo de la base que se va a elevar al cuadrado, de todas maneras es resultado es igual (y positivo, dicho sea de paso) 4.) La operación “Elevar a la cuatro” es simétrica bajo cambios de signos de la base. Habiendo aclarado lo anterior, se resume que existen las 14 redes anteriores se agrupan en SIETE SISTEMAS CRISTALINOS, debido a sus propiedades de simetría: Sistema Cristalino Cúbico Tetragonal Ortorrómbico Hexagonal Trigonal (o Romboédrica) Monoclínico Triclínico

Ejes a=b=c a=b≠c a≠b≠c≠a a=b≠c a=b=c a≠b≠c≠a a≠b≠c≠a

Ángulos entre ejes α = β = γ = 90º; α = β = γ = 90º α = β = γ = 90º α = β = 90º; γ = 120º α = β = γ ≠ 90º α = γ = 90º; β ≠ 90º α ≠ β ≠ γ (Todos distintos de 90º)

Donde cada eje lo asimilamos a cada arista de la figura geométrica. Para mayor claridad:

Figura 44. Ángulos y ejes, extraído de www.wikipedia.org

1.4.3 Índices de Miller Las figuras geométricas que identifican cada red de Bravais se pueden pensar como unidades básicas. De hecho, una Celda Unitaria está definida como una región del cristal especificada por los tres vectores a, b y que corresponden a los ejes mencionados anteriormente; para ser realmente una celda unitaria, esta región debe producir cualquier otra región del cristal (aproximadamente) al trasladarse espacialmente mediante la multiplicación por un número entero.

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Los vectores a, b, c deben ser linealmente independientes y son llamados Vectores Base. Según las anteriores definiciones, es claro que pueden existir diferentes Celdas Unitarias (el sólido periódico que es la sucesión de cuadrados de un centímetro cuadrado de área también es la sucesión infinita de rombos de un centímetro cuadrado de área, o cuadrados de cuatro centímetros cuadrados de área). Por lo anterior, se define la Celda Unitaria Primitiva como la celda unitaria de menor volumen que es posible definir. Así, los Vectores Base Primitivos son los vectores linealmente independientes que la definen. La ubicación de dada átomo existente en una red se puede representar entonces de ésta forma:     rátomo  ha  kb  lc

Por supuesto, una estructura que sigue esta forma tiene tal regularidad que puede entenderse como una sucesión de planos compuestos por redes bidimensionales de átomos. La orientación de estos planos bidimensionales tiene mucha relevancia física debido a que debe estar intrínsecamente relacionada con la manera como el sólido se cohesiona y las direcciones de conducción eléctrica preferidas, entre otras muchas propiedades (la multitud de factores, sin embargo, hace que la relación entre muchas de estas propiedades físicas y los planos no sea muy directa). Se puede demostrar que la orientación de los planos queda definida de una manera muy práctica realizando ciertas operaciones simples. Al resultado se le llama Índices de Miller. Este es el procedimiento: 1.) Definir correctamente los Vectores Base 2.) Se calculan las intersecciones de éstos con un plano del sistema de manera que estos puntos estén descritos en función de múltiplos enteros de los vectores base. 3.) Se invierten estos números. La proporción entre ellos es la que debe mantenerse, así que los índices de Miller son los enteros más pequeños que guarden esa proporción. Veamos la gráfica del departamento de Cristalografía del Consejo Superior de Investigaciones Científicas de España:

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Figura 45. Plano abc que corta los vectores direccionales (el plano mayor, definido por las líneas verdes, es paralelo al plano menor)

Como se aprecia, los vectores direccionales cortan infinitos planos paralelos si son extendidos de manera infinita. Sin embargo, si se les da la longitud mínima d que los hace constituir la celda unitaria primitiva, sólo cortarán un plano adecuando correctamente la amplificación de esto (multiplicación por números enteros). Como no es de todo relevante el entendimiento profundo de Cristalografía para un curso de Física de Semiconductores dirigido a ingenieros, terminamos este capítulo con un ejemplo: 1. Un plano específico está conformado por diversos átomos. 2. Los átomos que se encuentran en dirección a los vectores mencionados anteriormente son sólo tres. 3. Si las distancias reticulares de la red son las longitudes de los vectores, es decir, a, b y c, ubicamos los tres átomos de intersección por sus distancias desde el origen que escogimos para el sistema de coordenadas. Supongamos que estas distancias son 5a, 6b y 3c. 4. Entonces los inversos son 1/5, 1/6 y 1/3. 5. Utilizando el mínimo común múltiplo, obtenemos que debemos amplificar estos números por 30 para obtener los menores enteros posibles sin perder la proporción. Entonces los Índices de Miller correspondientes son 6, 5 y 10: hkl = 6,5,10

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1.5 SEMICONDUCTORES Y DOPADO 1.5.1 Tipos de dopado y semiconductores Los semiconductores que hemos revisado brevemente son semiconductores puros, aproximadamente. Con esto queremos decir que son semiconductores naturales, sin impurezas o con una cantidad ínfima de ellas, si la comparamos con el número total de átomos. Las características intermedias entre conductores y aislantes exhibidas por ellos se refieren a su configuración de bandas general, y es también la que produce su dependencia fuerte la temperatura y su resistencia eléctrica típicamente intermedia entre la de los aislantes y la de los conductores, en general. Estos semiconductores son llamados Intrínsecos. Los semiconductores Extrínsecos son aquellos que presentan impurezas en su estructura. En otras palabras, algunos átomos de un material externo se encuentran en su estructura cristalina. En los semiconductores intrínsecos cualquier fenómeno de conductividad se debe siempre a los efectos térmicos. Por tanto, lo que hemos referido acerca de las bandas electrónicas lleva a la ineludible consecuencia de que, por cada electrón libre de conducción, hay necesariamente un hueco en bandas inferiores, y éste salto ha sido producto de la energía cinética molecular (asociada directamente con la temperatura). Este hueco es portador de carga positivo, e incrementa la conductividad. Obviamente, un semiconductor Intrínseco entonces tiene la misma cantidad de huecos que de electrones libres. El semiconductor extrínseco, en cambio, no presenta tal comportamiento porque LA IMPUREZA ALTERA LA ESTRUCTURA DE BANDAS. De hecho, la valencia (electrones en el último nivel) de las impurezas simula una partícula cargada, como se verá más adelante. Los tipos de dopado son: -

TIPO N: El átomo de impureza tiene más electrones en la capa de valencia que los átomos de material semiconductor que lo rodean. El caso típico es el de las impurezas del grupo V de la tabla periódica que se encuentran comúnmente en semiconductores de Silicio o Germanio. Como los cuatro electrones de valencia de los semiconductores se asocian con enlaces covalentes, el quinto electrón de la impureza queda como “sobrante” y no forma parte de enlace alguno. El resultado es que, aunque el átomo de impureza es neutro incluyendo a este electrón,

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-

la fuerza con la que éste se liga al átomo es bajísima (banda de conducción). TIPO P: Justo lo opuesto. Los átomos de impurezas son del grupo III, haciendo que FALTE un electrón para completar la valencia, hablando en términos de enlaces y estructura cristalina. Esto puede verse como un hueco, y en el sentido anteriormente descrito éste contribuye a la conducción eléctrica.

En ambos casos existe un aumento de conductividad. En la próxima sección veremos cómo funcionan los semiconductores extrínsecos.

1.5.2 Análisis de materiales p y n Los materiales p y n son los semiconductores utilizados comúnmente en electrónica. Mediante ellos se pueden construir diodos, transistores y otros dispositivos. La diferencia entre uno y otro en tanto la viabilidad de su construcción tiene que ver con las características atómicas de los elementos del grupo III y V, ya que son los que más fácilmente pueden “inmiscuirse” en una red semiconductora pura. Los semiconductores en general siguen la estadística de Fermi Dirac en cuanto sus portadores de carga. Esto quiere decir que, en cuanto a las concentraciones de huecos y electrones, hay una herramienta estadística que permite entender el comportamiento eléctrico total. Los semiconductores tipo p y tipo n siempre tienen una mayor concentración de huecos o electrones que un semiconductor intrínseco, por supuesto, hay que entender que los semiconductores tipo n y tipo p simplemente AÑADEN electrones o huecos a la configuración natural de los semiconductores. De esta forma, para diferenciar uno de otro, se define: Electrones o huecos térmicos: los generados naturalmente en cualquier semiconductor por efecto de que su temperatura sea mayor a la del cero absoluto, debido al salto de electrones a través del GAP. Para aclarar ésta sección y la interior, se consignan las siguientes gráficas, extraídas de www.pcaudio.com:

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Figura 46. Red de silicio, semiconductor Intrínseco

Figura 47. Red de silicio Dopado. Existe un hueco que corresponde a una ausencia de electrón. El átomo de abajo podría ser Boro, por ejemplo.

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Figura 48. Red de silicio dopado. Existe un electrón por fuera de red, así que el átomo de abajo es del grupo V, como el fósforo.

Como puede verse, las últimas dos figuras deben ser semiconductores extrínsecos. También podemos identificar que la figura 47 corresponde a un semiconductor tipo P y la figura 48 a un semiconductor tipo N. La estadística de Fermi Dirac simplemente relaciona las posibles energías de los electrones con la probabilidad de que un electrón tenga esas energías: en otras palabras, aclara cuántos electrones (o qué intervalo de número de electrones) podemos tener con ciertas características. Es claro que lo anterior se puede decir de los huecos de igual forma. Las ecuaciones de corriente y voltaje que estudiaremos más adelante sólo son posibles a través del uso de la información estadística de los portadores de carga. Las figuras ilustran la estructura electrónica de impurezas dentro de los cristales.

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Figura 49. Arsénico como impureza, de www.autocity.com

Figura 50. Boro como impureza, de www.autocity.com

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1.5.3 Unión PN y recombinación Cuando unimos un semiconductor n con uno p estamos creando una zona físicamente diferente en la juntura. Entendamos la unión de los dos materiales como la unión en una cadena tridimensional de dos diferentes estructuras. De un lado tenemos una sucesión geométrica de enlaces covalentes donde encontramos ocasionalmente impurezas con un electrón de menos sobre la red, mientras que del otro la situación es análoga, a excepción del electrón SOBRANTE en vez de FALTANTE, sobre la estructura de la red. Supondremos que la red es de silicio. Del lado izquierdo (p) imaginamos entonces concentraciones de huecos, mientras que del lado derecho (n) imaginamos concentraciones de electrones. Si los huecos y electrones fueran resultado de una simple ionización térmica (es decir, si no existieran impurezas), el número de huecos sería igual al de electrones, en cada uno de los sectores. Esta concentración intrínseca de portadores de carga (sean electrones o huecos) es: ni  BT 3 exp( EG / kT ) 2

donde T es temperatura, EG la energía del GAP, k la constante de Boltzmann, B es el parámetro del material (4.4x1031 en el caso del silicio) y ni el número de portadores. Si sabemos el número de portadores disponibles, podemos intentar calcular la corriente que éstos pueden producir. El factor que hace falta es conocer cómo se presenta el fenómeno físico de conducción en esta región. La corriente puede responder a dos procesos diferentes: -

-

Corriente por Difusión: Es la ocasionada por simple “dilución” de una impureza en un material. Lo que esto quiere decir es que simplemente los huecos se mueven hacia donde hay menor concentración de huecos y los electrones a donde hay menor concentración de electrones. Se debe a la agitación térmica y movimiento aleatorio natural del mundo microscópico. Corriente por Drift (no se usa la traducción para ajustarse mejor a la terminología internacional): Es la corriente tradicional esperada por la aplicación de un campo eléctrico. Como huecos y electrones no son completa y puramente libres, la simple ecuación de campo eléctrico no es suficiente.

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De hecho, existe la difusión porque existe un gradiente de concentración. Sin este requisito, no puede ocurrir. Cuando se da este movimiento de cargas, llega el momento en que los huecos y los electrones puedan encontrarse, en la unión pn. Este es el proceso de Recombinación, mediante el cuál se agotan los portadores disponibles porque, a la luz de lo que se ha explicado, un encuentro de un electrón y un hueco no es más que el llenado de ese hueco. La región en la que se da la recombinación es denominada Zona de Agotamiento y este proceso está estrechamente relacionado con las concentraciones de portadores que existan. En un semiconductor extrínseco estas concentraciones están relacionadas con la razón de ionización térmica: cuántos electrones saltan por intervalo de tiempo, originando el par electrón-hueco. En semiconductores extrínsecos encontramos todo lo anterior de la misma manera, entendiendo que los átomos de impureza pueden ser de dos clases: donadores y receptores. La independencia de las dos regiones a lado y lado de la unión PN puede llevar, entonces, a una manipulación de las razones de ionización y de las concentraciones; esto alterará profundamente la respuesta eléctrica del material al campo eléctrico. La concentración de impurezas equivale a concentración de electrones o huecos, y el producto de multiplicar las concentraciones de electrones por las de huecos siempre es igual a una constante, siempre y cuando se esté en equilibrio térmico…aquí el estudiante podrá notar entonces que los semiconductores dopados no tienen igual cantidad de huecos que de electrones, en ningún caso: habrá portadores mayoritarios y portadores minoritarios. Obviamente, los portadores mayoritarios de materiales tipo n son electrones y los portadores mayoritarios de materiales tipo p son huecos. En las siguientes gráficas se aclara parte de lo explicado hasta el momento con relación a la región semiconductora PN.

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Figura 51. Tomado del Departamento de Ingeniería de Harvey Mudd College. www.hmc.edu

Figura 52. Op. Cit. Muestra la carga eléctrica como función de la ubicación dentro del material pn completo. Obsérvese en el centro la región de agotamiento.

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1.6 RELACIÓN CON EL CONTEXTO 1.6.1 Descripción general de un semiconductor: casos prácticos El contexto de nuestro estudio es puramente de ingeniería; toda la física revisada, a los niveles que sea, debe enmarcarse en el objeto de la carrera que se cursa. Por tanto, a continuación tratan de vincularse los aspectos teóricos con su utilidad práctica. Para describir un semiconductor pensamos en sus propiedades físicas. ¿Qué es importante saber si se desea construir algún dispositivo para una posterior aplicación electrónica? 1.) Conductividad a una temperatura dada. Si se especifica la conductividad del semiconductor a una temperatura dada, es posible hacer proyecciones de cuál será su resistencia eléctrica en otras temperaturas. Siempre es posible realizar pruebas que especifiquen el comportamiento térmico de un semiconductor mediante curva experimental. 2.) Concentración de impurezas Actualmente, en el proceso de fabricación de un material semiconductor, es posible conocer con gran precisión la proporción con que se encuentran impurezas en un semiconductor. 3.) Defectos de red En la fabricación de cualquier cristal se presentan diversas imperfecciones. Estas son inevitables: también en la naturaleza se presentan estos fenómenos, como se mencionó en parte de lo estudiado anteriormente. Entre estos defectos están las dislocaciones: deformaciones en la estructura cristalina que se ven con ángulos alterados y que afectan sólo a una fila de átomos. 4.) Comportamiento frente al campo eléctrico Como un material semiconductor puede pertenecer a diferentes períodos de la tabla periódica, es natural que sus propiedades físicas puedan variar según el semiconductor sea de un material u otro. Particularmente, la respuesta a campos eléctricos varía y es de crucial importancia, pudiendo definirse también con el trazado de gráficas experimentales, y relacionada siempre con aspectos 76

circuitales. Es decir, la resistencia eléctrica y otros fenómenos serán cualidades que caracterizan el sistema semiconductor, recordando que en circuitos aplicar campo eléctrico equivale a aplicar voltaje. Además es importante recordar que el hecho de que el incremento de la corriente eléctrica genere también un aumento en temperatura debe considerarse en el entendimiento cualitativo y cuantitativo del comportamiento de la resistencia al paso de corriente a través del semiconductor. 5.) Características mecánicas La resistencia a la deformación y otros aspectos meramente mecánicos pueden ser útiles en multitud de situaciones, ya que algunas aplicaciones de ingeniería exigen ciertas características específicas. Cabe anotar que el uso de semiconductores en aplicaciones que no tengan que ver con optoelectrónica o transductores (como se verá en la segunda parte del curso) se remite generalmente al diseño de semiconductores a escala microscópica, en circuitos integrados, transistores o diodos.

1.6.2 Estado del arte Por primera vez hablaremos específicamente de los semiconductores. Estos son: ELEMENTO

GRUPO

Cd Al, Ga, B, In Si, Ge P, As, Sb Se, Te, S

IIB IIIA IVA VA VIA

ELECTRONES CAPA 2 3 4 5 6

ÚLTIMA

Ya hemos entendido que la clave para el comportamiento semiconductor son los enlaces covalentes, por lo que entendemos que son necesarias combinaciones que produzcan cuatro (4) electrones de valencia. Esto sabemos que ocurre naturalmente con el Silicio y el Germanio, elementos ambos del grupo IV. Si combinamos en una molécula un elemento del grupo II con otro del VI o del III con del V, obtenemos también comportamiento semiconductor. El azufre es de utilización más reciente y el Silicio es el más fácil de construir, por lo que fue el primero en utilizarse, históricamente hablando. Veamos cómo se ve una red donde la unidad principal no es un átomo sino una molécula, en éste caso correspondiente al compuesto químico GaAs, Arseniuro de Galio:

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Figura 53. Segmento de Arseniuro de galio, donde se observa que un galio se enlaza con más de un germanio. Tomado de la página de la universidad de Waterloo, www.uwaterloo.ca

1.6.3 Análisis de un posible diseño de semiconductor En esta sección el estudiante debe investigar por su cuenta con miras al trabajo colaborativo propuesto. A continuación se consignan algunos aspectos referenciales acerca de cómo enfocar sus lecturas libres. Debe entenderse que entre los aspectos importantes a definir, están los siguientes: -

Elementos químicos a usar. Tipo de impureza a emplear. Concentración de impurezas. Pureza del semiconductor, respecto a imperfecciones de la red. Características Mecánicas externas como consecuencias de los anteriores puntos. Características Eléctricas externas como consecuencias de los anteriores puntos.

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Y los dos puntos anteriores deben responder a específicos requerimientos de diseño que la aplicación electrónica final exija. Es necesario tener en cuenta que el diseño de semiconductores se refiere básicamente a crear elementos sólidos capaces de responder electromagnética y térmicamente de un modo específico. El diseño de COMPONENTES electrónicos es una etapa posterior y consiste en USAR los semiconductores ya disponibles para construir una estructura que, debido a su arquitectura, funciona como uno u otro dispositivo electrónico (diodos, transistores, etc.).

1.7 FENÓMENOS Y FORMULACIONES RELEVANTES EN TEORÍA DE SEMICONDUCTORES 1.7.1 Fonones y vibraciones En general cualquier sólido puede verse afectado por una onda mecánica. La incidencia de la onda mecánica sobre el medio se traduce microscópicamente en algún tipo de colisión entre las moléculas del medio y las del sólido. Siendo más específicos, las ondas mecánicas no son más que vibraciones que son comunicadas de una molécula a otra: es natural que tales vibraciones puedan pasar a un sólido. Como se vio anteriormente, los sólidos cristalinos tienen una estructura tan específica y geométrica, que puede esperarse que la reacción a las colisiones sea similar en toda la red. Por esto, cuando existe una excitación vibratoria en algún punto de la red, ésta puede fácilmente extenderse a los demás justo de la misma forma como se provocan ondas de sonido en el aire; recuérdese que cuando un tambor es golpeado es la vibración de su membrana la que produce la onda sonora en el aire: su periódica (rítmica, podría decirse) oscilación en uno y otro sentido comprime y descomprime el aire acompasadamente, de manera que estas diferencias de presión afectarán las moléculas contiguas del aire, haciendo que éstas últimas también presentes cambios similares de presión. Esto es el sonido. A la luz del anterior párrafo, resulta comprensible que en una red cristalina, donde los átomos están a distancias iguales de sus compañeros, cualquier cambio en el movimiento de uno de sus componentes se traduzca en un radical cambio en la fuerza que éste ejerce sobre sus compañeros, ya que las fuerzas dependen de la 79

distancia entre partículas. Estas alteraciones de fuerzas son experimentadas por los vecinos: finalmente, un proceso ondulatorio se presenta en todo el sólido. Ahora bien, no necesariamente la onda podrá verse como un fenómeno completamente simétrico. Según la organización de la red, es posible que existan ciertas direcciones preferenciales a través de las cuales la vibración se comunica óptimamente y otras en las que la vibración se atenúa con rapidez a través del sólido. Esto se vería como dos tipos de ondas: una sin atenuación medible y otra cuya amplitud va decreciendo rápidamente, exhibiendo un comportamiento que muchas veces es rotulado como “Oscilación Amortiguada”.

Figura 54 Oscilador Amortiguado, gráfica de la amplitud de oscilación de cada elemento de la red en función a la distancia a partir del punto de origen de la onda (en alguna unidad relacionada con la constante de red). En este caso la atenuación de la vibración en verde es mucho mayor que la azul.

La transmisión de la onda supone una transmisión de energía. Medir esta energía puede ser objeto de estudios interesantes; de hecho, la energía que se transmite puede verse como un “paquete” debido a que la transmisión no se da de forma continua sino discreta. En otras palabras: no se transmite cualquier cantidad de energía cuando se hace vibrar la red, sino un múltiplo entero de una cantidad mínima de energía definida por algunas condiciones físicas. Un fonón es el cuanto de energía (la mínima cantidad posible de transmitir) en la red cristalina. Entonces un fonón viajando representa la propagación de una onda en la dirección de su trayectoria de viaje.

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El tratamiento de Cuantos en física es un poco más delicado que simplemente entenderlos como representantes de ondas. El fonón es una especie de “energía viajera” que se comporta exactamente igual a una partícula cuando colisiona con otra partícula (sean fermiones u otro fonón, por ejemplo), pero que sigue las propiedades de las ondas en otras situaciones (recuérdese la dualidad ondapartícula estudiada al inicio de la unidad). A continuación se estudiará el problema de la dualidad de los cuantos con una “partícula” mucho más usada en el contexto de la ingeniería Electrónica: El Fotón.

1.7.2 Efecto fotoeléctrico y cuantización de la energía. Ciertos materiales, al recibir cierto tipo de luz, alteran su respuesta eléctrica. Microscópicamente hablando, la luz puede hacer que aumenten los electrones disponibles para conducción. De hecho, puede establecerse una corriente eléctrica espontánea si la trayectoria es cerrada (circuito cerrado). Este fenómeno es conocido como Efecto Fotoeléctrico. Su definición exacta ha variado con el transcurso de los años, los experimentos, la teorización al respecto y las investigaciones formales. Aunque existe una manera de explicarlo formalmente haciendo uso de la Mecánica Cuántica, nosotros haremos una simplificación de ésta para poder abordar sus aspectos fundamentales brevemente. A continuación se consigna separadamente el aspecto microscópico de las partículas involucradas y el aspecto macroscópico del cúmulo total que conforma el sólido. Posteriormente se encuentra el concepto global que une ambos puntos de vista. Aspecto Microscópico -

-

-

Los electrones orbitan alrededor de los núcleos debido a la fuerza electromagnética atractiva: cambios en su energía cinética pueden desencadenar que los electrones salgan de sus órbitas. La luz es una onda electromagnética. Cualquier flujo lumínico a través de un átomo o molécula es experimentado por los electrones como un campo electromagnético que los excita. La excitación electromagnética para un electrón ligado es simplemente una adición a su energía total equivalente justamente a la energía que la onda electromagnética pierda: exactamente igual a como funciona un colador, si un material (por ejemplo, un vidrio) parece “bloquear” la luz,

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-

es posible que no sea porque ésta se refleje, sino porque haya sido ABSORBIDA por él. La onda electromagnética transfiere energía en cuantos llamados FOTONES. Los fotones son la mínima cantidad de energía transferible al electrón y su valor numérico (es decir, su “tamaño”, usando una metáfora) depende de la frecuencia de la onda.

Un cuanto de luz, un fotón, tiene una energía E = hf, donde h es la constante de planck y f la frecuencia de la onda electromagnética incidente. De lo anterior, entonces: E  

Aspecto Macroscópico -

-

-

Cuando se suministra luz a diversos materiales en cortocircuito, sólo algunos establecen una corriente eléctrica. Al variar la frecuencia de la luz incidente, se observa mayor o menor efecto fotoeléctrico. Particularmente, existe una frecuencia de corte a partir de la cual se presenta el efecto Fotoeléctrico. La cantidad de electrones desprendidos por causa de la luz es proporcional a la Intensidad Luminosa (relacionada con la amplitud de la onda electromagnética), pero NO GUARDA RELACIÓN con la frecuencia. LA FRECUENCIA DE LA LUZ SÓLO DETERMINA SI SE PRESENTA O NO EL EFECTO. Con mayor detalle, se encuentra que, más allá de la frecuencia de corte hay frecuencias específicas donde, para una misma intensidad, parece haber una mejor respuesta del material.

Se modela el fenómeno comprendiendo que la luz suministra energía para dos aspectos: 1.) Que el electrón del material se libere (electrón libre). 2.) Que ése electrón libre se acelere. De donde ya podemos deducir que el efecto fotoeléctrico se presenta en SEMICONDUCTORES con gran claridad; en otros materiales algunas veces no pueden diferenciarse con tanta facilidad los electrones provenientes de este efecto (llamados fotoelectrones en argot técnico) de los libres comunes que pueda tener el material. Por supuesto, en metales este efecto se puede presentar y exhibirse mediante un Ánodo que atraiga los electrones liberados. La energía del electrón liberado es: E electrón    

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Donde “phi” (ϕ) es la energía necesaria para liberar el electrón, nombrada comúnmente como “Función Trabajo”. Como puede verse, éste es un modelo eminentemente cuántico: la energía electromagnética está cuantizada respecto a su interacción con la materia, y en general colisiona como partícula. En general un electrón absorbe energía electromagnética en múltiplos enteros de la cantidad mínima posible Ef, es decir, absorbe fotones de energía. Si la fuente de luz tiene varias frecuencias, entonces absorbe diferentes fotones. Para aclarar lo anterior se suele decir que un fotón tiene distinto color que otro: así, el fotón de la onda electromagnética de mayor frecuencia tiende a ser “más violeta”. Esto, por supuesto, no es más que notación y nemotecnia, ya que el color es una construcción cerebral sin otra realidad física que la frecuencia de oscilación de la onda; se puede decir que una onda tiene mayor o menor longitud de onda o frecuencia de oscilación, pero hablar de color no es físicamente exacto, ya que la percepción del color es relativa. En un átomo, a primer orden de aproximación, las transiciones en estados electrónicos sólo ocurren entre estados adyacentes de energía: el número cuántico “n” del nuevo estado al que evoluciona un electrón debe ser consecutivo al anterior, por defecto o por exceso; por ejemplo, si el electrón está en una órbita correspondiente a n=2, sólo puede pasar a una órbita n=1 o n=3 cuando mucho. Por esto, sólo fotones del “tamaño” (o “color”, ya que en todo caso estas son sólo metáforas) suficiente como para proveer esta energía pueden provocar estos cambios. Si el fotón es ABSORBIDO, salta a n=3; si el fotón es EMITIDO por el electrón, esto corresponde a un salto a un nivel inferior n=2. Es importante recordar que un electrón también puede emitir espontáneamente fotones, si su decaimiento a niveles inferiores es también espontáneo.

1.7.3 Introducción a la estadística de Fermi-Dirac ESTADOS ENERGÉTICOS Y ESTADÍSTICAS En general sería ideal conocer todos los aspectos físicos de un sistema para realmente poder construir un modelo de su comportamiento. Como hay miles y miles de átomos en un material, y además cada átomo es tan pequeño que es difícil medir variables sobre un único átomo, es natural que este proceso sea complicado; quizá imposible. Teniendo en cuenta que la naturaleza misma de los componentes del universo —los fermiones, bosones, átomos y moléculas— está regida por una teoría probabilística (La Mecánica Cuántica), es comprensible que el estudio de un sólido deba recurrir a herramientas estadísticas para poder vencer 83

la ineludible aleatoriedad en el comportamiento individual de cada átomo, molécula, electrón, etc. La energía de un electrón está dada principalmente por el número cuántico “n” debido a que las contribuciones a la energía provenientes de cambios en el momento angular (como se vio anteriormente) —es decir, en el número cuántico “l”— son muy pequeñas: la cantidad más importante de energía que tendrá el electrón responde a qué valor de n tiene su función de onda. La energía total también está relacionada con otros aspectos del electrón (órbita, velocidad, etc.), de modo que especificar la energía de un electrón en particular se hace decisivo a la hora de entender su estado cuántico. De hecho, en la teoría estadística que expondremos a continuación se entenderá que un estado cuántico está completamente determinado al especificar a qué energía corresponde; dicho de otro modo, hablaremos de estados cuánticos energéticos como los estados de interés para la comprensión del comportamiento de los sólidos. Específicamente, en la próxima unidad, abordaremos los temas de la física de semiconductores que realmente son relevantes para la Ingeniería Electrónica. Estos, por supuesto, son los referentes a la respuesta eléctrica, magnética y térmica de los semiconductores. ESTADÍSTICA DE FERMI-DIRAC En este contexto las estadísticas son entonces modelos matemáticos de cuán probable es que una partícula se encuentre en determinado estado energético. Básicamente, esto corresponde a especificar, en un sólido, cuál es la proporción de partículas en cada estado: usar la descripción matemática de la probabilidad para calcular cuántas hay en cada estado energético se haría sencillo. La estadística de Fermi-Dirac es una excelente aproximación al comportamiento exacto de fermiones en general, desde un punto de vista cuántico….cabe recordar que decir “un punto de vista cuántico” es equivalente a decir “desde el punto de vista real y exacto de las partículas”, pues el universo en general es cuántico. Sin embargo, para muchísimos problemas son utilizados modelos clásicos. Por ejemplo, la distribución de Maxwell-Boltzmann es aplicada para el estudio de multitud de fenómenos macroscópicos compuestos por la interacción y evolución de trillones de trillones de partículas, funcionando de una manera muy satisfactoria ¿Por qué? Porque muchos fenómenos físicos (como se discutió al inicio de esta unidad) se comportan de manera clásica en multitud de circunstancias (sea porque el número de partículas provoca este efecto, sea porque las temperaturas lo posibilitan, o sea por la razón que sea), permitiendo un análisis que no requiere utilizar principios de Mecánica Cuántica. La Estadística de Fermi-Dirac SÍ utiliza la mecánica cuántica de electrones que hemos aprendido hasta ahora. Debido a su complejidad y el poco uso que se hace en Ingeniería al proceso de estas

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demostraciones, se explicará muy brevemente y en la próxima unidad se utilizarán directamente fórmulas finales y conceptos. La distribución de Maxwell-Boltzman es, aproximada y básicamente, una exponencial decreciente. Es decir, a medida que revisamos energías superiores, encontramos que hay menos electrones con tal energía. Cualquier fermión siempre tenderá a ocupar más bien los estados de menor energía que los de mayor energía. Hablando de manera exacta, la distribución de Maxwell-Boltzman es una exponencial decreciente alterada, de forma que su máximo valor no ocurre para energía cero sino para alguna energía baja comparada con el resto de energías mayores que ella que tengan alguna probabilidad significativa. La distribución de Fermi-Dirac funciona un poco diferente: primero que nada, las suposiciones de ambas estadísticas son diferentes. En la vida real, los electrones son indistinguibles y cumplen el principio de exclusión de Pauli; estos dos aspectos son completamente ignorados en la derivación de la distribución de Maxwell-Boltzman. Si tenemos un estado identificado por la energía Ñ, podemos tratar de deducir cuántos electrones pueden ocupar ese estado, para construir una función de distribución de probabilidad según la energía de cada estado. Como deben cumplir el principio de exclusión de Pauli, lo que se hace es contar cuántos estados electrónicos contiene cada nivel de energía. Esto quiere decir que cada estado electrónico de energía de un mismo número “n” tiene muchos subestados, como lo vimos al inicio de esta unidad. Si existen 6 electrones en un nivel n1, sabemos que esos 6 electrones están cada uno en un estado cuántico diferente del resto de electrones, por el principio de exclusión de Pauli. Así, podemos revisar cuántas configuraciones diferentes corresponden al mismo estado energético n1 de esos seis electrones. Esquemáticamente podemos ver los conceptos que hemos explicado hasta ahora en las siguientes figuras.

Figura 55. Electrones en distintos estados energéticos.

En la figura 55 se aprecian 6 niveles, de manera que el último está vacío. Esta gráfica puede representar estados energéticos: de esta forma, los niveles superiores tienen energía más alta, y por lo menos existen 2 estados cuánticos 85

posibles para los dos primeros niveles: tienen que haber por lo menos dos estados diferentes para que dos electrones estén en ese nivel energético. Es posible encontrar una configuración diferente de los mismos 6 electrones:

Figura 56. De nuevo los 6 electrones de la figura anterior.

Acá es claro que éste es un estado energético de menor energía: ahora el electrón naranja se encuentra con una energía inferior (de hecho, la más baja del diagrama), y de paso esto obliga a que en realidad ése estado base debe tener mínimo tres estados cuánticos posibles. Sin embargo, es posible también que distintas configuraciones produzcan la misma energía total. Supongamos que los 5 niveles de los diagramas anteriores no son energéticos, sino de otro tipo. De hecho, pensemos que n=2: entonces l=0,1 y m = -1,0,1, mientras que los espines son ½ ó –½. Existen entonces muchas más posibilidades: L=0  m=0 L=1  m=-1,0,1

 Un solo estado  Tres estados

Así vistos, pueden haber 4 electrones en el nivel de energía 2 sin necesidad de acudir al espín. Sin embargo, como la realidad es que el espín existe, contemos: L=0  m=0 L=1  m=-1,0,1

Pero dos espines posibles Pero dos espines posibles

 Dos estados  Seis estados

Entonces grafiquemos los niveles que corresponden a Energía = E 2:

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Figura 57. Estados para n=2. En amarillo los posibles estados para l=1 y en morado los posibles estados para l=0.

Donde el concepto de “subnivel” tiene un sentido independiente de la energía en este contexto: nuestra aproximación especifica que la energía de todos los subniveles (los amarillos y el morado) es la misma, la E2. En amarillo encontramos los seis estados que corresponde a l=1, debido a los tres posibles valores de m y el spin. El último subnivel está vacío. El número de estados cuánticos correspondientes a una misma energía se llama DEGENERAMIENTO DEL NIVEL. La distribución de Fermi-Dirac responde a la siguiente descripción matemática: gi

ni 

( i   )

e

K BT

1

Donde ni es el número promedio de partículas en el estado de energía  i , gi es la degeneración del estado i-ésimo y μ es una constante que representa el estado frontera a partir del cual no se espera tener partículas; es el llamado Nivel o Energía de Fermi, Ef.

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SEGUNDA UNIDAD DIDÁCTICA SEMICONDUCTORES EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA

2.1 UNIONES 2.1.2 Aproximación conceptual a las consecuencias eléctricas de la región de agotamiento Como se comentó en las últimas secciones de la unidad anterior, una unión PN tiene una zona de recombinación de portadores en donde hay un tránsito de cargas a través de la juntura misma. La región P, con portadores positivos, tiende a atraer hacia sí los portadores negativos de la región N. De hecho, esta atracción permite que muchos portadores crucen la juntura, dirigiéndose a la zona contraria y permaneciendo ahí sin llegar a recombinarse (recuérdese que la recombinación es un proceso parcial, que requiere cierta coincidencia aleatoria entre la ubicación de los huecos y los electrones).

Figura 58. Región de agotamiento

En la figura 58 podemos observar que en la región P se acumulan portadores negativos, mientras que en la N ocurre lo contrario. Esto se puede ver como una barrera de potencial (o voltaje) ubicada cerca de la juntura, o como un campo eléctrico atravesándola. Como es evidente, el campo eléctrico va en sentido

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contrario al existente naturalmente en las zonas PN, como vemos en la figura número 59.

Figura 59. La flecha roja es el campo en la región de agotamiento y la derecha indica el sentido natural de la corriente de difusión

De este modo, este campo eléctrico debe asociarse a una barrera de potencial que entorpece la circulación de la corriente de difusión. Por supuesto, esto significa que debemos modificar cualquier modelo simple para encontrar numéricamente el valor de la corriente de difusión, incorporando el efecto de la región de agotamiento. Si polarizamos de ciertas maneras, el ancho de la región de agotamiento se ve afectado:

Figura 60. Polarización Inversa

En la figura 60 se aprecia la definición de Polarización Inversa: se coloca el terminal N más positivo que el terminal P con una fuente de voltaje. Debido a esto, la región de agotamiento se ensancha (los extremos de cada zona atraen los portadores de la zona contraria), trayendo como consecuencia una reducción de la corriente de difusión. En realidad, una mejor manera de mostrar la consecuencia eléctrica es polarizar mediante una fuente de Corriente en sentido INVERSO a la corriente de difusión (en amarillo en la gráfica); en este caso aparecería espontáneamente un voltaje a través del material PN, correspondiente exactamente a la barrera de potencial de 89

la región de agotamiento (voltaje inverso). La fuente de corriente tendría un valor también exactamente igual a IS - ID (recuérdese la notación y descripción usada en la unidad anterior). Entendiendo estos básicos efectos, es mucho más sencillo afrontar la tarea de deducir el comportamiento de los materiales de los que están hechos los dispositivos semiconductores. El anterior por ejemplo es un DIODO. Cualquier unión PN se constituye en un Diodo, cuyo comportamiento eléctrico se puede resumir en, básicamente, impedir el flujo de corriente en una dirección y permitirlo en la otra, admitiendo todo tipo de valores de corriente mientras el voltaje a través de sus terminales permanece aproximadamente fijo.

2.1.2 Semiconductores con varias uniones: generalidades Antes de emprender la tarea de entender ecuaciones relacionadas con las uniones PN, daremos un vistazo a los semiconductores en general. Como se dijo anteriormente, una unión PN constituye un diodo. Estos diodos se pueden construir con diferentes materiales y especificaciones físicas, consiguiendo que sus funcionamientos varíen bastante. Así mismo, la configuración y materiales de dispositivos de dos uniones o más hacen que su funcionamiento tenga muchas más variantes que los de los diodos. Ajustando las dimensiones del dispositivo semiconductor, en general se puede manipular la corriente típica (o la máxima o mínima posible) que puede atravesar el semiconductor. De hecho, es lógico pensar que a mayor ancho de sección transversal (que sería también el ancho de las junturas PN), habrá más corriente disponible, como quiera que la cantidad de portadores aumentará. Con varias uniones pueden construirse transistores bipolares: estos pueden ser NPN o PNP. Como puede suponerse, la polarización para lograr que estos transistores funcionen de una u otra forma será exactamente inversa, ya que la región de agotamiento de cada juntura tiene una barrera potencial de signo contrario.

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Figura 61. Semiconductor PNP

Otras características tendrán un análogo similar. De hecho, en la construcción de cualquier dispositivo electrónico basado en semiconductores siempre intervienen los mismos aspectos: -

Materiales P y N Uniones Diseño de las dimensiones para controlar las corrientes Diseño de dopado (semiconductores extrínsecos) Terminales metálicas a través de las cuales se conectan fuentes de corriente o voltaje para poner a funcionar el dispositivo Derivación de ecuaciones de corriente y voltaje que dependen de la corriente y el voltaje forzado a través de las terminales Posibilidad, para un mismo dispositivo electrónico, de diversas opciones de funcionamiento.

Existe un tipo más complicado de transistor: el MOSFET, Metal-Oxide Semiconductor Field Effect Transistor (luego se verá el significado de su sigla), para cuya construcción se usan técnicas diferentes y cuya estructura es más compleja. Si se cuentan las uniones, resultan ser muchas: en realidad parte de sus zonas P o N no cumplen exactamente la función de proveer portadores sino más bien de CATALIZAR procesos, hacer que ciertos fenómenos ocurran fácilmente. Su operación es diferente a un transistor PNP o NPN (estos últimos son llamados BJT, Bipolar Junction Transistor).

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Figura 62. Mosfet y sus partes

Un transistor puede para usarse de varias maneras: 1.) Amplificador: Es capaz de tomar una señal eléctrica y aumentar su amplitud. Para que realice esta función existen siempre varias maneras de conectar el transistor a fuentes de señal y polarización. 2.) Conmutador: Capaz de dejar o no pasar señal (esta es una definición muy simple, pero da la idea general) 3.) Fuente de corriente o voltaje: Grupos de transistores configurados correctamente pueden suministrar una corriente o voltaje estable, para dispositivos “a polarizar”. En las siguientes secciones se entenderá la operación básica de los dispositivos electrónicos.

2.1.3 Obtención de ecuaciones En esta sección se trata de explicar algunos aspectos acerca de las ecuaciones de juntura, su derivación y compresión, no con el objeto de dejar demostraciones en claro, sino con la intención de que el estudiante comprenda la mecánica general de estudio que permite comprender el SIGNIFICADO de una ecuación y las principales leyes que llevaron a su deducción o aceptación. Si el estudiante decidiera profundizar, se recomiendas los libros de la bibliografía. En una unión PN en circuito abierto no puede haber corriente. Esto es eléctricamente evidente: sin cerrar el circuito, la corriente es cero. Debido a esto, se plantea la primera y más sencilla ecuación: ID = IS, recordando que estas corrientes van en sentido contrario. 92

Algunas ecuaciones son más profundas en su demostración. Por ejemplo, la existencia del voltaje de barrera en ausencia de polarización externa TIENE que relacionarse con los portadores de carga…¿pero cómo? Esta ecuación implica formar otros conceptos adicionales, que requieren física más profunda. Usando las constantes definidas apropiadamente: DP= Difusividad de Huecos (una N significaría de electrones) μP= Mobilidad de Huecos (una N significaría de electrones) Se puede definir VT = DP / μP, el llamado Voltaje Térmico (como ejercicio el estudiante puede constatar exactamente que sus unidades son de voltaje). Este voltaje es un parámetro fundamental y entrará en multitud de ecuaciones de semiconductores. La idea de “térmico” proviene del que la difusividad y movilidad de los huecos cambia con la temperatura: si especificamos VT, habremos especificado el comportamiento de la Barrera de Potencial de la juntura. De hecho, la ecuación que se extrae (Ver el libro de Streetman) es N N V0  ln P 2 N VT  ni

   

Donde V0 es la Barrera de Potencial en la juntura y las N representan las concentraciones de dopado y ni fue definido en la unidad anterior. Esto se reduce simplemente a decir que la relación entre las concentraciones varía de manera exponencial con el voltaje de juntura. Para temperatura ambiente, el voltaje térmico está alrededor de los 25 mV y la barrera de potencial entre los 0.6 y 0.8 Volts. Esta barrera de potencial hay que recordar que NO APARECE A TRAVÉS DE LOS TERMINALES EXTERNOS, PUES ES UN EFECTO INTERNO que es compensado por el dispositivo completo. El ancho de la región de agotamiento es la suma del ancho en la región n y la región p (representaremos el ancho por letras W). Si la carga es “q” entonces: qW p N p  qWn N n

Ya que la región de agotamiento es eléctricamente simétrica respecto a la juntura. Debido a esta ecuación se deduce inmediatamente que el producto entre ancho y concentración es constante para ambos lados. De aquí se deduce que:

W  Wn  W p 

2 s  1 1   V0 q  N p N n 

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Donde  s es la permitividad eléctrica del Silicio, produciendo como consecuencia que W vaya de 0.1 a 1 micrómetro. Análogamente se pueden encontrar relaciones exponenciales similares. La concentración de portadores minoritarios (pn para la zona p y np para la zona n del semiconductor) sigue la ecuación:

pn (Wn )  pn 0e

V / VVT

Donde V es el voltaje conectado a través de los terminales de una región PN, en polarización directa. Entonces la densidad de corriente de difusión de huecos asociada (en unidades de corriente por unidad de área) es:

JP  q





DP pn 0 eV / VT  1 e   x  wn  / LP LP

Donde x es la distancia medida desde la juntura y LP es la constante que determina el decrecimiento exponencial. Es posible derivar una ecuación final de la IS mediante consideraciones similares a las anteriores y relaciones de proporcionalidad basadas en principios físicos. La ecuación de la densidad de corriente, por ejemplo, es fácilmente comprensible si se expresan las ecuaciones en términos de proporcionalidad. Por ejemplo, la segunda exponencial habla simplemente del decrecimiento exponencial de la densidad de corriente a medida que la distancia a la región de agotamiento aumenta. La primera exponencial se refiere a que la densidad es corriente aumenta si se le suministra mayor voltaje de polarización externos: ambas exponenciales representan efectos lógicos y comprensibles. La ecuación para IS es: DN  2 D I S  Aqni  P  L N   P p LN N n 

Si algún estudiante quisiera profundizar en el tema, puede referirse a los libros de la bibliografía consignada en el Protocolo Académico.

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2.2 PRINCIPALES DISPOSITIVOS USADOS EN ELECTRÓNICA

2.2.1

Usos comunes de semiconductores.

Configuraciones de diodos,

transistores y dispositivos relacionados Los semiconductores se utilizan en toda la electrónica moderna. Una lista (incompleta) de dispositivos basados en semiconductores podría ser ésta: -

Diodos rectificadores Diodos Zener Diodos Varicap Diodos Gunn Impatt Diodos supresores de tensión Diodos de corriente constante Diodos túnel Diodos Shottky Diodos Led Diodos Pin Diodos sensibles a temperatura Fotodiodos Transistores NPN y PNP simples Transistores NPN y PNP con colector unido a cubierta Transistores UJT Transistores de avalancha Transistores Shottky Transistores JFET canal n y p Transistores multiemisores Transistores Darlington Tiristores simples Tiristores de conducción inversa Triac Diac

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-

Transistores MOSFET tipo empobrecimiento o enriquecimiento Transistores MOSFET en general

Donde algunos de los listados anteriormente corresponden a aplicaciones de potencia, donde el material semiconductor tendrá que soportar altas corrientes. Muchos de estos dispositivos se usan para controlar el paso de corriente o voltaje a otras partes del circuito. Por otro lado, los fotodiodos aprovechan el efecto fotoeléctrico que se estudió anteriormente….así mismo pueden aprovecharse efectos normalmente no deseados para construir aplicaciones específicas. De hecho, la sensibilidad en temperatura normalmente indeseada es una característica que se busca reforzar en diodos sensibles a temperatura, probablemente con el objetivo que lograr que el diodo registre cambios anómalos en la operación de alguna máquina eléctrica que corra riesgo de averiarse, bajar su rendimiento u ocasionar daños si opera a temperaturas no permitidas por el fabricante. A continuación se tratará de mostrar rápidamente algunas de las más simples configuraciones de transistores, diodos y tiristores en Ingeniería Electrónica, con el fin de que el estudiante encuentre motivación para su estudio del funcionamiento físico de estos. Los diodos y transistores se representan por la siguiente simbología:

Figura 63. Diodos y transistores

Donde D2 es un diodo rectificador normal, Q4 es un TRIAC, Q1 es npn, Q2 es pnp, Q3 es un MOSFET de canal N y Q4 uno de canal P. Existen muchos otro símbolos para otros dispositivos; de hecho, puede haber varios diferentes símbolos que representan el mismo elemento, dependiendo del standard o convención que se use para nombrarlos/dibujarlos. Un diodo puede montarse en un circuito de esta forma:

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Figura 63. Diodo conduciendo

El triángulo marca la región p, mientras la raya indica la región n. De aquí se deriva que está polarizado DIRECTAMENTE. Entonces habrá una corriente a través de él apreciable y su caída de potencial será aproximadamente constante. Si el voltaje B1 cambia de sentido, la polarización es inversa y NO HAY FLUJO DE CORRIENTE HACIA la resistencia R1. Éste es uno de los usos del diodo: bloquear voltajes inversos a los esperados. Veamos otro caso muy sencillo, esta vez son transistores.

Figura 65. Transistor en modo amplificador.

La flecha hacia fuera indica que es npn: la terminal con la flecha y la opuesta a ella son de regiones n, mientras que la tercera terminal es la conexión a la región p. En la figura 65 observamos una polarización de transistor npn para modo amplificador. En realidad esta configuración no es del todo funcional, ya que las resistencias R2, R3 y R4 cumplen funciones diferentes, especialmente la R4 con respecto a las otras. Si estos valores de resistencia realmente hubiesen sido correctamente calculados y el valor de B1=10Volts fuese correcto, entonces

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cualquier pequeña señal de voltaje (es decir, una especie de onda perturbativa) que fuera introducida al circuito por la base (la terminal p) saldría amplificad un cierto valor al salir por el Colector (la terminal n superior, conectada a la R2). Cuando a un diodo rectificador se le somete a un gran voltaje inverso, su función bloqueadora de voltajes de este tipo no puede mantenerse. Inevitablemente dejarán pasar una corriente después que se les ha polarizado más allá de su límite, y de hecho resultarán averiados muy probablemente. En esta región el diodo ZENER presenta a través de sus terminales un voltaje constante aún para grandes polarizaciones, porque ha sido diseñado específicamente no para que bloquee voltajes inversos sino para mantener un voltaje constante. Como consecuencia, un Zener puede conectarse así:

Figura 66. Ejemplo de uso del zener

En este caso vemos que el diodo está conectado al revés de lo que esperaríamos, y sin embargo la corriente fluirá a través de él, desde la parte superior del diagrama hacia el nodo resaltado en verde (se colocan dos puntos para recordar que eléctricamente la línea es un solo punto, un nodo eléctrico). La mayor parte de la corriente que sale de la fuente va hacia el Zener porque su resistencia interna es baja. Más adelante se verán detalles respecto a la operación interna de estos semiconductores.

2.2.2 Diodos Rectificador y Zener Un diodo trabaja siguiendo el siguiente par de ecuaciones: I D  I S eV D / nVT ID 

VDD  VD R

Donde ID es la corriente que atraviesa el diodo en un momento dado en el que el voltaje a través de sus terminales es VD, R es una resistencia en serie con el diodo 98

(normalmente se colocan resistencias en serie o paralelo con el diodo; a veces son resistencias de carga inherentes a dispositivos conectados al diodo), VDD es el voltaje de polarización general (ver figura 67) y n es un parámetro de construcción del diodo (probando cómo cambia ID con VD en un laboratorio se puede trazar una exponencial y calcular n, fácilmente).

Figura 67. Circuito típico, correspondiente a las ecuaciones mencionadas

En la figura 67 se ve que, suponiendo un voltaje de operación típico de 0.7Volts para el diodo, todo el sistema tiene una corriente definida por la segunda de las ecuaciones mencionadas. Esta segunda ecuación sólo es válida para este tipo de circuito, ya que uno con, por ejemplo, un arreglo de resistencias corresponderá a diferentes ecuaciones, aunque también sean estas consecuencias de aplicar las leyes de Ohm y Kirchoff. La juntura PN tiene un cúmulo de ecuaciones bastante grande. Sedra y Smith, en su libro “Microelectronics Circuits” consigna la siguiente tabla:

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Figura 68. Tabla de ecuaciones de la unión PN, extraído Sedra y Smith: Microelectronics Circuits

Es importante notar que cuando especificamos que el voltaje a través del diodo está fijo en 0.7, estamos realizando una aproximación y descartando la 100

primera de las ecuaciones, que incluye una exponencial. Es decir, suponemos que la corriente y el voltaje tienen una relación mucho más simple que la exponencial. El comportamiento real de la corriente en el diodo con relación al voltaje que se presenta en él es una exponencial MUY inclinada, por lo que la primera aproximación (la más cercana a la realidad) que podemos hacer es:

Figura 69. Aproximación de líneas rectas a la corriente en el diodo como función del voltaje.

La figura 69 es muy parecida a una exponencial creciente. Esta gráfica implica que el modelo cambia para regirse por, en vez de la primera ecuación, por esta otras: 1.) Si el voltaje en el diodo es menor a cierto voltaje umbral (la inflexión de la gráfica, el punto donde la línea horizontal y la inclinada se unen), simplemente la corriente es 0. 2.) De lo contrario, el diodo funciona como una resistencia muy pequeña, con la salvedad de que sólo puede conducir corriente en un sentido determinado (polarización directa). Esto equivale a pensar en el DIODO REAL como un DIODO IDEAL y una RESISTENCIA conectados en serie.

101

Figura 70. Modelo de líneas rectas

Aún es posible modelar el diodo de una forma más simple. Si el hecho de tener 0.6Volts o 0.8Volts en el diodo no es importante (quizá porque el voltaje disponible B1 es mucho mayor y esa pequeña pérdida es insignificante), podemos pensar que simplemente se mantiene constante en 0,7Volts y la aproximación es simplemente considerar que el diodo es IDEAL. La gráfica entonces es:

Figura 71. Modelo simple de diodo ideal

Ahora bien, si el voltaje aplicado es inverso el comportamiento en el lado negativo del eje de las abcisas no es completamente simétrico con relación al eje y (es decir, la forma que la gráfica para VD positivo es diferente a la forma de la gráfica para VD negativo. Cuando se le aplica voltaje inverso pequeño el diodo real bloquea el flujo de corriente bastante bien, pero si el voltaje se incrementa su

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comportamiento empieza a alejarse de lo ideal y en un momento dado entra a la Región de Ruptura, definida como la región de la gráfica corriente-voltaje en la que el diodo ya no se comporta en absoluto de forma ideal. En la siguiente figura de la Universidad de la Frontera de Chile puede verse la explicación detallada:

Figura 72. Gráfica real de diodo

De esta gráfica podemos mencionar varios puntos: 1.) Corresponde al modelo de líneas rectas, como resulta obvio. 2.) La conducción se logra antes del voltaje de operación (sea 0.6 o 0.8), pero como no alcanza un alto nivel hasta que pasa este intervalo, se considera que la baja corriente es aproximadamente cero. 3.) Cuando se le somete a un voltaje negativo (polarización inversa) SÍ existe una corriente inversa, también aproximadamente igual a cero hasta que pasa un umbral de voltaje inverso más allá del cual el diodo conduce en sentido inverso. La región de Ruptura por Avalancha corresponde entonces al “lugar eléctrico” en el que ocurre el efecto avalancha, que se traduce en avería si estamos hablando de Diodos Semiconductores normales. El diodo Zener está construido específicamente para operar la región de ruptura por avalancha. Como puede verse en la gráfica, el Zener puede manejar muy altas corrientes sin alterar en un nivel apreciable su voltaje. Un mecanismo de ruptura usual, a nivel físico, es la simple liberación de electrones libres adicionales debido al choque de electrones libres con los enlaces de la red. Este choque es capaz de liberar un electrón enlazado sólo una vez su energía cinética —proveniente del campo eléctrico— es lo suficientemente grande como para “soltar” el enlace.

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2.2.3 Transistores BJT Ya hemos comentado varios aspectos directamente relacionados con los transistores de unión bipolar. Como se vio anteriormente, los npn y pnp son simplemente dos versiones de un mismo principio de construcción semiconductora. Como existen dos uniones, podemos definir más modos de operación. Haremos la descripción y el análisis de un transistor npn para luego establecer el paralelo con los pnp. En un transistor npn decimos que la región p es la BASE. Las dos regiones n se llamarán EMISOR y COLECTOR. Entonces disponemos de dos unones: La de Colector-base (CBJ) y la de Emisor-Base (EBJ). Los modos de operación siguen entonces la indicación de esta tabla, según la manera como se polarizan cada una de las uniones: Modo Corte Activo Saturación

EBJ Inversa Directa Inversa

CBJ Inversa Inversa Directa

ACTIVO La corriente ID es despreciada en este modo de operación. La EBJ directa trae consigo un flujo de corriente desde la Base hacia el Emisor. El flujo de corriente, por supuesto, se compone de un flujo de electrones en una dirección y un flujo de huecos en dirección contraria: esto finalmente se refiere a un flujo de carga, un cambio de estructura del campo eléctrico. De esta manera ésa es la corriente que se espera “salga” de la terminal del Emisor, Ie. Es deseable que la corriente se deba a flujo de electrones más que a flujo de huecos, por lo que se espera que el dopado n sea mucho mayor que el p. Como la corriente es Base-Emisor, entonces los electrones del emisor se dirigen hacia la base (su carga es negativa): estos portadores minoritarios siguen como distribución una línea recta decreciente (aproximadamente), siempre y cuando la base sea de un ancho suficientemente pequeño. La concentración np(0) de estos electrones en la EBJ sigue: n p (0)  n p 0ev BE / VT

Donde np0 es la concentración en la EBJ, todo suponiendo equilibrio térmico. La caída completa de la concentración (línea recta decreciente) responde a la 104

polarización suministrada a CBJ. Las siguientes son gráficas del libro de SedraSmith mencionado anteriormente:

Figura 73. Concentración de portadores en función de la distancia, gráfica extraida de SEDRASMITH, Microelectronics Circuits.

Figura 74. Flujo de corriente en el npn. Op. Cit.

La corriente de difusión desde la base al colector TIENE que depender de alguna forma de la concentración de electrones. La ecuación exacta es: in  AE qDN

dn p ( x) dx

  n p ( 0)    AE qDN   W 

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Donde AE es el área de la sección transversal de la EBJ y las otras variables fueron especificadas anteriormente. La corriente de colector sigue  A qD n  I c   E n p 0 ev BE / VT W  

Donde la cantidad entre paréntesis corresponde a IS, pero np0 = ni2/NA, así que estas corrientes pueden ponerse en términos equivalentes. La corriente de base sigue:

 A qD n 2  I B1   E n i ev BE / VT  N L  p p    A qWni I B 2   E  2 N n b

2

 v BE / VT e  

Donde la primera es la corriente debida a los huecos que fluyen de la base al emisor, mientras que la segunda se refiere a los huecos suministrados por el circuito exterior de polarización (pero recuérdese que todos los puntos se conectan formando un sistema completo, por lo que huecos y electrones del circuito exterior se relacionan con la recombinación y abundancia de portadores en el interior del semiconductor).  b es el tiempo promedio que le toma en la base a un hueco mayoritario combinarse con un electrón minoritario. Finalmente encontramos que la suma de las corrientes de base difiere de la corriente de colector en un producto y cociente de parámetros; es decir, difieren en un largo término constante. Entonces la ecuación simplificada es: I C  I B



1

 D p N nW  W 2     D N L 2 D  n p p n b   I E  IC  I B

Donde la última es una ecuación eléctrica que se extrae únicamente de la Ley de Conservación de Corriente de Kirchoff, en el nodo de confluencia de las conexiones.

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2.2.4 Transistores MOSFET Los transistores de Efecto de Campo de Metal-Óxido Semiconductor funcionan diferente a los BJT, pero los materiales que lo componen y su efecto sobre los circuitos final una vez se emplean suele ser igual. El diseño estructural es el siguiente:

Figura 75. Estructura de un MOSFET canal n, basado en el libro de SEDRA.

Otro nombre con el que es conocido el Mosfet canal N es IGFET (Isolated Gate FET), debido a que la compuerta (Gate) se encuentra aislada del sustrato P por una capa de Óxido de Silicio. VOLTAJE VGS Y CANAL N. El MOSFET de canal n requiere para operación diferente a modo de corte, es decir, modos en los que exista corriente circulante aprovechable, que la polarización sea directa entre compuerta (Gate) y fuente (Source), y esta diferencia de potencial VGS sea mayor que un voltaje de umbral igual a una constante de voltaje, Vt. Este límite está relacionado con el concepto mismo del voltaje térmico, ya que la idea de operación (lo que en el BJT llamábamos activo, saturación) está asociada a la existencia de una región con exceso de electrones 107

entre las dos regiones n y muy cerca de la capa de dióxido de silicio. Esta región es llamada canal n, ya que intercomunica las regiones n justo como un canal. Si no existe voltaje VDS entre las terminales del diodo, por supuesto no hay razón para tener una IDS, pero el canal n sí puede presentarse, tan solo asegurando que el potencial aplicado en la compuerta repele lo suficiente los huecos el sustrato p como para que se cree la región n inducida por este voltaje de compuerta. Para esto se debe superar el hecho de que naturalmente los electrones colisionan aleatoriamente entre ellos cuando se les atrae con una fuente de voltaje: estas colisiones también se pueden representar por el Voltaje Térmico V t (diferente al Voltaje Térmico de los BJT’s). Para no confundir los dos Voltajes térmicos, el del BJT es el único que es llamado de esta forma (“Voltaje Térmico”), mientras que el Voltaje Térmico del Mosfet (ya que tiene un significado eléctrico adicional como nivel mínimo de voltaje necesario para la creación de canal n) es llamado Voltaje de umbral. FLUJO DE CORRIENTE Una vez creado el canal n, los huecos que son desplazados hacia el fondo del sustrato constituyen una concentración de carga positiva aparente, o campo eléctrico positivo (como se quiera expresar). Este campo eléctrico hará que las regiones n pierdan electrones hacia la región p: estos electrones fluyentes crean la región de agotamiento característica, como se observa en la figura 76.

Figura 76. Región de agotamiento y Canal N.

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El canal n, por su parte, es un camino de electrones que provee un camino circuital que se puede cerrar externamente. De esta manera, cualquier diferencia de potencial VDS creará un flujo de corriente de Drain a Source (Drenaje a Fuente) siempre y cuando exista el canal n, como efecto de un VGS aplicado (recuérdese que decir que hay corriente positiva de drenaje a fuente es decir que los electrones van desde la fuente al drenaje). OPERACIÓN DEL MOSFET Como puede verse, el procedimiento de conducción es muy diferente al presente en el BJT. Como primera medida, observamos que no hay corriente de Compuerta, rompiendo la analogía con la Base de los transistores BJT. El hecho de no tener esta corriente de compuerta implica que la corriente de Drenaje es también la corriente de Compuerta: no hay pérdidas de potencia en la base. Esto supone una gran ventaja respecto al BJT; el único reside en la alta susceptibilidad de los Mosfet a daños por descargas electrostáticas (el comportamiento del canal n es muy sensible a cambios en las características electrostáticas del medio). Debido a que las curvas corriente-voltaje del Mosfet son muy diferentes, el nombre de las regiones también lo es: Saturación VDS  VGS  Vt . Tríodo V DS  VGS  Vt Apagado VGS  Vt

2.2.5 Montaje en Baquelita Se puede construir un circuito de muchas formas. También existen varias categorías bajo las cuales se pueden clasificas estos métodos. Todo lo que viene a continuación se referirá a diseño, construcción y montaje de, o bien semiconductores, o bien aplicaciones electrónicas basadas en componentes discretos que pueden incluso adquirirse en el mercado. Veamos los tipos de clasificaciones del proceso de uso de un semiconductor en una aplicación electrónica:

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SEGÚN EL NIVEL DE AUTOMATIZACIÓN: Artesanal: Diseñado y construido completamente por una o más personas, sin uso de dispositivos o equipos automáticos. Artesanal asistido: Construido por una o más personas, pero con la asistencia de hardware o software de ayuda en alguna de las tareas, aunque no todas. Por ejemplo, el uso de CAD para electrónica o de equipos automáticos perforadores. Semiautomático: El proceso fundamental es automático, aunque haya aspectos que se dejen a la mano de obra humana. Automático: No interviene mano de obra humana excepto en la fase de diseño, y probablemente parte del diseño lo hace un software encargado de calcular secciones transversales, valores de resistencias y otros. SEGÚN EL OBJETIVO: Industrial única: Cuando se configuran y usan las máquinas de construcción para la elaboración de un único prototipo. Industrial en serie: Cuando se configuran y usan las máquinas de construcción para la elaboración en serie de muchos dispositivos, que debió ya haber sido probado. No industrial de investigación o desarrollo: Cuando un investigador construye un circuito o dispositivo de prueba en su formato no final, sólo para constatar el funcionamiento eléctrico. No industrial en serie: Cuando un Ingeniero o Técnico construye, una por una, el número de piezas que necesita de un dispositivo que ya probó, sin usar máquinas industriales sofisticadas. SEGÚN LA TÉCNICA: Son muchas, y se distingue ampliamente la técnica para desarrollar circuitos integrados de la técnica para investigar en semiconductores, al tiempo que estas dos resultan muy diferentes de los métodos usuales (industrial y artesanalmente) de construcción de circuitos y aplicaciones electrónicas basadas en componentes discretos (los ya construidos). A continuación expondremos, sólo como ejemplo orientativo, el Montaje en Baquelita en sus rutas más usadas. Se pueden montar componentes tales como transistores, diodos, condensadores y resistencias para armar un circuito electrónico para una aplicación específica. La superficie sobre la que se monta debe tener cierta resistencia térmica y eléctrica, excepto en las rutas de conexión entre los puntos que deben estar conectados (según el diseño previo). El montaje en general se puede hacer de tres maneras básicas:

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-

Baquelitas. Material fenoplástico que puede fabricarse en diferentes formas geométricas, pero que no es modificable por segunda vez. En electrónica, Baquelita se le llama al la estructura formada por verdadera baquelita y una capa de metal (cobre) que, bajo la acción del ácido férrico, se vuelve dieléctrico. Si se imprimen los caminos de conducción eléctrica sobre la baquelita con una substancia que la proteja de la acción del ácido férrico (cloruro férrico), al final se tiene una tarjeta sobre la que se pueden soldar los dispositivos. Hay diversas técnicas para lograr la “impresión” mencionada, y otros sustratos de composición similar que sustituyen la baquelita en aplicaciones industriales (producción en fábricas)

-

Tarjeta universal: es una especie de baquelita llena de huecos, similar a una protoboard, donde se pueden colocar los elementos a soldar, sin necesidad de tener que hacer la operación de taladro y construcción de pistas que sí hace falta en el método anterior.

-

Elementos Modulares “Al aire”. Si el circuito tiene suficientemente pocos elementos, es posible fijar cada uno a las superficies disponibles dentro de la carcaza, de manera que los cables (“al aire”) se fijarán con silicona, ganchos o tornillos, para que el circuito guarde un orden comprensible. Si hay más de cinco o seis elementos en el circuito, es mejor no utilizar esta alternativa. Incluso en algunos contextos resulta del todo desaconsejable, aunque el circuito sea solo un integrado y su polarización.

Las técnicas que permiten la construcción sobre la baquelita (o, en el caso de producción en masa, de la construcción sobre el sustrato) son, en cuanto a principios físicos, básicamente iguales para construcción automatizada en gran escala y manufactura de prototipos. La técnica, sin embargo, difiere mucho. Un estudiante o técnico independiente usará seguramente un perforador si desea hacer los agujeros del circuito donde irán los componentes; una empresa utilizará una máquina que automatice el proceso, cuya entrada en computador son matrices de puntos sobre los que se ordena taladrar (la alineación de la máquina es fundamental). Así mismo, los métodos de impresión del circuito (transferencia térmica, serigráfico, fílmico y cualquier otro similar) se hacen diferentes sólo en tanto la tecnología de aplicación es diferente: mientras un estudiante aplicará el método de transferencia fílmica mediante una Impresora Láser que impregna de polvo negro una lámina de Press N-Peel (tipo de hoja de papel que reacciona convenientemente a la temperatura), este proceso en una fábrica corresponderá a la labor de una máquina especializada en impresión para circuitos integrados. Es posible que esta máquina haga las otras funciones de impresión también. 111

TIPOS DE MONTAJE EN TARJETA El montaje en tarjeta puede ser superficial o through hole. El primero es tal que en realidad no es necesario hacer huecos, ya que se suelda SOBRE la tarjeta. Este montaje es característico de circuitos integrados modernos y trae complicaciones en el proceso de soldado, aunque tiene múltiples ventajas relacionadas con peso, tamaño, automatización del proceso, etc. El segundo, el through hole, es del que hemos hablado hasta ahora: se atraviesa la tarjeta para luego soldar por detrás de ella. También es posible definir una clasificación del montaje según el número de capas utilizadas. Una capa es exactamente eso: una capa de cobre. En una misma baquelita se puede incluir varias capas intermedias, de modo que se multiplican las posibilidades de conexión.

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2.3 APLICACIONES DE POTENCIA Y APLICACIONES DE SEÑAL 2.3.1 Similitudes y diferencias entre los dispositivos usados en aplicaciones de potencia y de señal. Triac, Tiristor, Schokty. Una aplicación de Señal es aquella en la que se busca algún tipo de procesado (amplificación, filtrado en frecuencia, etc.) sobre la señal de entrada, pero que no se espera que la señal de salida sea requerida por la carga. ¿A qué se refiere “ser requerida” por la carga? Esto es “no será conectada una carga”; es decir, el procesado tiene como resultado que las dos terminales de salida exhiben un voltaje exactamente igual al que se esperaba (por ejemplo, una onda seno igual a la de la entrada pero cuya amplitud es el doble), pero que se mantiene solamente en circuito abierto. Cuando se conecta una carga existe un consumo de corriente, ya que se cierra el circuito, y eléctricamente lo normal es que el nivel de voltaje de salida caiga. Una aplicación de potencia es capaz de compensar de alguna forma este efecto, al punto de poder sostener la forma de onda de salida y su amplitud, sin una disminución apreciable del nivel de voltaje, para un determinado rango de resistencias de carga equivalentes. En cuanto a diseño electrónico cualquier etapa de potencia puede ser bastante similar a una de señal. Sólo en sistemas que añadan elementos de seguridad no semiconductores (por ejemplo fusibles o acoplamiento por transformadores) pueden verse grandes diferencias morfológicas en los circuitos, ya que la diferencia fundamental suele caer en qué semiconductores son usados. Un transistor 2n2222, por ejemplo, no puede siquiera soportar una corriente de colector más alta que 0.8 A, típicamente. En cambio, un transistor MOSFET IRFP450 puede soportar hasta 14 A y un TIP41D (npn) puede soportar hasta 6 A de corriente continua en el colector, o 10 A de amplitud pico. La diferencia en la corriente máxima que puede soportar un dispositivo se define desde su construcción. Examinemos como ejemplo tres dispositivos semiconductores utilizados en rectificación y control de señales AC (Corriente Alterna): TIRISTOR 113

Formado por cuatro regiones semiconductoras intercaladas: pnpn. Cuenta con tres terminales (ánodo, cátodo y compuerta) y equivale aproximadamente a conectar dos transistores npn y pnp por las dos regiones comunes. La compuerta controla el paso de corriente, de manera que se hace posible modular cuanta corriente pase según sea la señal de voltaje/corriente en compuerta. Una señal aplicada a la compuerta (ver figura 77), como un pulso de corriente, posibilita el paso de corriente a través del tiristor, para voltajes ánodo-cátodo bajos. Para voltajes ánodo-cátodo muy altos, se da un fenómeno de ruptura espontáneo en el tiristor. También puede darse conducción como efecto de incrementos de temperatura, efecto fotoeléctrico sobre el silicio o gradiente de voltaje demasiado alto. En realidad el dispositivo que se acaba de describir en el párrafo anterior no siempre se conoce como la definición de Tiristor, debido a que algunos autores consideran que el Triac y otros dispositivos (como el Diac) no son más que diferentes versiones de lo que debe llamarse Tiristor. De esta forma, dentro de los Tiristores ubican a estos dos y al que se acaba de explicar, que es llamado SCR (Silicon-Controlled Rectifier).

Figura 77. Tiristor.

TRIAC Toma su nombre de Triode for Altern Current. Como se mencionó, algunas veces es catalogado también como Tiristor. La razón es que su comportamiento es casi 114

exactamente igual, a excepción del hecho de poder operar en ambas direcciones; es evidente, entonces, que su estructura física es mucho más compleja, como puede verse en la figura 78 (Universidad de la Frontera, Chile).

Figura 78. Estructura física de un Triac, de http://www.inele.ufro.cl/

El TRIAC puede entenderse como dos tiristores (SCR) conectados en paralelo, en sentido contrario, y con sus compuertas cortocircuitadas. Si se analiza el funcionamiento del SCR, se entiende inmediatamente que esto permitiría el paso de corriente en ambos sentidos.

SCHOKTTY Es un diodo que en vez de tener una capa de material semiconductor p, posee una capa de metal. De hecho, la capa más bien constituye un electrodo; la inexistencia de la capa p trae como consecuencia un caída de voltaje (en la región de conducción) mucho menor a la que se tiene con diodos pn convencionales. De esta manera, un Metal-Semiconductor Diode (el Schokkty) ofrece menores

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pérdidas de potencia y alta velocidad de conmutación, pero no es capaz de soportar uso en aplicaciones de potencia (sino más bien de señal). Hay, sin embargo, ciertos Diodos Schoktty de potencia disponibles en el mercado, que sin embargo no resultan ser los indicados para una variedad de aplicaciones: la capacidad para manejo de potencia depende en gran medida del tamaño del dispositivo, así como indirectamente del número de capas que este tiene, como puede verse.

2.3.2 Análisis eléctrico detallado de transistores Eléctricamente se puede representar cualquier dispositivo electrónico en términos de resistencias internas, condensadores, inductancias y amplificadores. La razón de esto es que las transformaciones que puede sufrir una señal constituyen un grupo de categorías (es decir, están divididas en clases) que no son infinitas. Dicho de otra forma, a cualquier transformación de señal producto de la acción de un dispositivo electrónico se le puede tipificar en una categoría, y estas categorías no son infinitas. Por ejemplo, un BJT funciona de muchas maneras y puede trabajar en infinitas configuraciones, ya que siempre puede inventarse una nueva configuración añadiendo otro BJT o cambiando valores de las resistencias de configuración; pero podemos agrupar su modo de operación en Corte, Activo y Saturación. Así mismo, las configuraciones posibles (la estructura del circuito al que está conectado el BJT para que trabaje) pueden agruparse en clases; de hecho, éstas existen y son bien conocidas: Emisor Común, Colector Común, Base Común. Por todo lo anterior, resulta conveniente usar como modelo eléctrico del transistor un grupo de ecuaciones sencillo, en parte extraído de las ecuaciones eléctricamente relevantes de la sección 2.2.3. Estas ecuaciones son eléctricamente relevantes dependiendo de la aplicación en la que se usa: el modelo eléctrico para aplicaciones DC diferirá del modelo para aplicaciones AC. En particular, las ecuaciones fundamentales para DC en el caso del BJT npn (tomémoslo como ejemplo), activo o en saturación, serían: I C  I B V BE  0.7 I C  I E ,  

  1

I E  IC  I B

Mientras que las ecuaciones AC deben responder a un modelo que representa qué efecto tiene el transistor sobre la señal de entrada. Suponiendo que 116

hayamos asegurado la polarización correspondiente a modo activo en el transistor, tendremos un modo de amplificación; es decir, la señal sufrirá una transformación en su amplitud según la constante β y la configuración específica seleccionada. Para modelar cómo se comporta el transistor, podemos usar la siguiente representación del funcionamiento interno de éste:

Figura 79. Modelo Híbrido π para pequeña señal

Donde la fuente dependiente debe representar la ganancia: es natural que su valor sea βIB y que las resistencias representen el comportamiento no ideal de un transistor: que existen pérdidas inevitables. Se puede usar también otro modelo, como el modelo T, pero el estudio específico de cada uno suele realizarse en un curso de electrónica análoga, por lo que (para nuestros intereses) es suficiente con comprender dos aspectos sobre el estudio del comportamiento eléctrico de los transistores: 1.) La forma como se polariza el transistor en DC determina su operación: es decir, es necesario colocar los niveles de voltaje requeridos para estar seguros que el transistor se operará en la zona de funcionamiento deseada, durante todo el tiempo que se espera que eso ocurra (la señal a amplificar, por ejemplo, puede verse como un voltaje que varía, pero debe existir un nivel de DC en todo momento que asegure que la polarización de las uniones es la correcta). 2.) Cuando se desea diseñar un circuito basado en transistor, es necesario asegurar lo anterior con un modelo simplificado al que le suministramos parámetros como β, corriente máxima permitida, VBE mínimo, etc.; y luego diseñar el resto de condiciones requeridas con un modelo de AC (pequeña señal) sobre el que representamos con más detalle la estructura interna del semiconductor, aunque de una manera simple y práctica, de manera que aseguremos el resultado que se exige al diseñar. Otro efecto interno de los transistores en general es el comportamiento capacitivo de las junturas. Siguiendo un esquema similar al presentado anteriormente, esto puede representarse en el siguiente modelo π (en este caso para un MOSFET):

117

Figura 80. Modelo π complementado con la incorporación de los efectos capacitivos de juntura en transistor MOSFET (Sedra)

Como se estudia en cualquier curso de circuitos AC, los capacitares presentan una respuesta a las señales que varía con la frecuencia (como consecuencia de la natural imposibilidad para cargarse instantáneamente). El resultado de introducir una capacitancia en un circuito amplificador es que éste tendrá una banda de frecuencias en las que responde mejor (la amplificación es posible), mientras que otras tenderá a rechazarlas. Ajustando las conexiones externas y la configuración y valores de dispositivos como resistencias, se puede manipular la respuesta en frecuencia, al menos dentro de ciertos límites. La resistencia R0 representa el carácter no ideal del transistor: las pérdida entre drenaje y fuente.

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2.4 FÍSICA DE DISPOSITIVOS ELECTRÓNICOS ESPECIALIZADOS

2.4.1 Comportamiento eléctrico de células solares, centelladores y tubos Fotomultiplicadores En general los transductores optoelectrónicos funcionan a partir del efecto fotoeléctrico o el de Emisión Espontánea. Éste último se refiere a la emisión de energía electromagnética debido a un cambio estructural interno de un material. Para ser exactos, cada fotón es emitido por un electrón que cambia su estado cuántico a uno de menor energía. Como vimos en la primera parte del curso, esto sólo ocurre en intervalos de energía bien determinados (cuantización de los saltos energéticos). Por tanto, la INTENSIDAD (no confundir con la frecuencia o energía por fotón) de la radiación electromagnética siempre está directamente relacionada con el número de electrones causantes de la emisión espontánea. Por otro lado, la FRECUENCIA de la onda emitida está relacionada con el cambio de energía que sufren los electrones. Esto obedece a la ecuación: E  

Teniendo en cuenta lo anterior, podemos entender la Emisión Espontánea como el proceso aproximadamente inverso al efecto fotoeléctrico. Esto será básico para asociar los tres elementos mencionados bajo una misma categoría: la optoelectrónica.

CÉLULAS SOLARES Cuando el silicio recibe radiación, el efecto fotoeléctrico obliga a que cada electrón aumente su energía; sin embargo, esta energía puede no ser aprovechada en forma de corriente eléctrica sino como simple energía térmica. Si en vez de tomar silicio se usa una unión PN, el exceso de energía por electrón trabaja a favor del efecto la aparición de huecos y electrones de conducción que ya hemos revisado en secciones anteriores. De hecho, cuando luz de las longitudes de onda correctas incide sobre la región de agotamiento, los electrones 119

atraviesan la barrera de potencial característica y se produce corriente; la suficiente para asegurar un flujo permanente (salvando las pérdidas resistivas naturales de todo circuito). Para el silicio monocristalino la eficiencia teórica máxima en cuanto a la conversión de energía lumínica en energía eléctrica es del 26%, frente a la máxima alcanzada en laboratorio de un 25%. Otros materiales manejan eficiencias superiores: el Arseniuro de Galio, por ejemplo, ya en 1996 producía una eficiencia del 35% usado con concentradores (véase próximo párrafo) y en 2006 del 40.7%, usando multicapas de arseniuro de galio sobre obleas de Germanio. Es necesario diferenciar el concepto de “unión pn” a lo que comúnmente se denomina “Celda Solar”. Una Celda Solar normalmente se compone, además del material semiconductor básico, de dispositivos que optimizan el desempeño. Por ejemplo, se recubre el semiconductor de un material antireflectivo para mejorar la absorción de luz; otra solución que ya es exterior a la celda solar misma es el uso de estructuras transparentes que funcionen como lentes, concentrando los rayos solares hacia la celda, aprovechando en fenómeno de refracción. Eléctricamente la celda solar se identificará por su corriente de corto circuito, voltaje a circuito abierto, el factor de forma del diagrama de Voltaje-Corriente y un punto de éste. La eficiencia (obviamente) disminuye con la temperatura, ya que la agitación térmica estorbará el normal desarrollo del efecto fotoeléctrico en la celda solar. Esta eficiencia SIEMPRE está relacionada con el hecho de que la absorción de fotones se hace para ciertos intervalos de frecuencia de luz, que son los correspondientes a las transiciones atómicas posibles en el material. CENTELLADORES Aprovechan tanto el efecto fotoeléctrico como la emisión espontánea. Un Centellador está hecho de materiales que puedan ser excitados por el paso de particulas cargadas o radiación gamma (radiación electromagnética, o fotones, como quiera pensarse), o en otras palabras, que experimenten colisiones desde el punto de vista cuántico (recuérdese que a nivel cuántico no se espera un choque entre partículas sino una interacción entre ellas). Como consecuencia de esto, las partículas que se radian sobre el centellador pierden algo de velocidad y la radiación gamma es absorbida: los estados atómicos del centellador serán estados excitados (en cierta proporción), en razón a las colisiones partículapartícula o partícula-fotón (ésta última es una absorción). Los estados excitados presentan emisión espontánea, produciendo finalmente fotones (radiación gamma) que puede ser usada para identificar qué tipo de radiación fue la que provocó la excitación inicialmente. La respuesta del centellador a rayos gamma puede no deberse únicamente al efecto fotoeléctrico, sino también al efecto Compton, que es la dispersión de un fotón al cruzarse con un electrón, perdiendo energía en el proceso (cambiando su 120

frecuencia y alterando el estado del electrón). El funcionamiento del centellador como detector se complementa con algún material fotoeléctrico que presente una intensidad de corriente directamente proporcional a la intensidad de luz incidente. Puede verse la representación de la detección de fotones centellados en la figura 81.

Figura 81. Cuentas de fotones centellados contra una variable indicadora de su frecuencia o energía asociada (llamada aquí “canal”). La imagen proviene de http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx

Los centelladores pueden ser de diversos materiales, como compuestos de sodio o GeLi; éste último corresponde a la figura 81.

TUBOS FOTOMULTIPLICADORES Los tubos fotomultiplicadores básicamente funcionan mediante la amplificación de efecto fotoeléctrico inicial. La forma como esto se consigue se puede entender fácilmente si se separa la acción de sus componentes: -

Fotocátodo: Es el material (con baja función trabajo) que recibe la luz para generar electrones libres a su superficie 121

-

-

-

Fuente de voltaje: se encarga de suministrar la diferencia de potencial base a través de la cual se aceleran, a lo largo del tubo, los electrones emitidos. Dínodo: es un material que sirve a la vez como ánodo y cátodo, ya que los electrones que incidan sobre él producirán a su vez emisión de una mayor cantidad de electrones. Entre más dínodos haya, mayor es la amplificación de señal que realiza el fotomultiplicador. Ánodo: es la terminal final que sirve como electrodo o contacto de salida, desde donde se registra la corriente medida.

La disposición de los dínodos puede seguir diferentes geometrías que se intenta adecuar a un óptimo desempeño del tubo fotomultiplicador, mientras que los materiales escogidos para el fotocátodo presentan respuesta fotoeléctrica siempra a bandas de frecuencia específicas. Con diez dínodos se puede obtener una amplificación hasta de 105 veces lo detectado, pudiéndose lograr sensibilidades extremas.

2.4.2 Transductores láser, termoeléctricos y piezoeléctricos LÁSER Quiere decir Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, Amplificación de Luz por Emisión Estimulada de Radiación. Como su nombre lo indica, difiere de la Emisión Espontánea en que el efecto de emisión no se debe a la relajación simple de un estado excitado, sino a alguna manipulación externa. El efecto Láser se produce únicamente cuando la alguna pre-estimulación crea el estado de excitación artificial mencionado anteriormente y posteriormente se da un efecto de amplificación como consecuencia de la Emisión Estimulada y la reflexión de esta dentro de una cavidad preparada para ello (espejos). Examinemos punto a punto el proceso del láser: 1.) Se excitan los átomos mediante luz (mayores o iguales frecuencias a la del láser) o campos eléctricos adecuados (son posibles las colisiones) con objeto de incrementar su energía. Este proceso es llamado Inversión de la Población, debido a que los estados excitados se convierten prácticamente, por su abundancia estadística, en los nuevos estados base. 2.) Se bombardea con luz de la frecuencia del Láser. Einstein demostró que cuando un fotón golpea el estado excitado, se desprenden dos fotones idénticos (es decir, de la misma frecuencia) en la misma dirección: uno es el incidente y otro es el liberado.

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3.) Son usados espejos ubicados en línea recta y en la dirección de enfoque del láser. Como consecuencia de esto, los fotones que permanecen encerrados son solamente los fotones que van en esa dirección, de manera que llega el momento en que sólo estos fotones inciden sobre los electrones excitados, produciéndose solamente luz en la dirección escogida. Como consecuencia de su método de elaboración, el láser tiene las siguientes características: 1. Coherencia. La Luz emitida tendrá una única fase a nivel dirección. Esto puede verse por el hecho de que la emisión de los fotones se hace en la exacta misma dirección para cada electrón emisor, ya que la dualidad onda-partícula implicaría que la onda asociada a cada fotón es de igual fase. 2. Monocromatismo Se puede alcanzar una emisión de luz potente y bastante restringida en cuanto a intervalo de frecuencias posibles (casi de una sola frecuencia), según se haya escogido una fuente inicial de luz con espectro de frecuencias lo más acotado posible. 3. Concentración de haz Los espejos permiten escoger el ancho del haz, ya que la cantidad de fotones por unidad de área en el proceso de rebote será la que produzca el haz final proyectado a través del espejo semitransparente. Los láseres no sólo se hacen con semiconductores. Por ejemplo, el láser de HelioNeón es excitado mediante la aplicación de voltajes de alrededor de 100 volts y trabaja a una longitud de onda de 632.8 nm.

TRANSDUCTORES TERMOELÉCTRICOS Como se ha visto en diferentes momentos del curso, la energía cinética de un electrón individual (partícula) puede afectar diversas variables macroscópicas de un material específico (red): específicamente la temperatura y la corriente eléctrica. La razón de lo anterior viene de las propias definiciones de temperatura, corriente y energía cinética por átomo o electrón. En un transductor termoeléctrico la cantidad de electrones libres está directamente relacionada con la temperatura del material: esto se deduce inmediatamente si tenemos en cuenta que un semiconductor (ejemplo de posible transductor de este tipo) la resistencia disminuye con la temperatura. Por otro lado, no sólo el incremento de una corriente dada puede ser indicadora de cambios en la 123

temperatura: la termocupla en general es construida uniendo metales diferentes, o aleaciones de estos, lo que quiere decir que el efecto térmico de los semiconductores no es realmente el usualmente escogido. La termocupla o termopar en realidad aprovecha el efecto Seebeck: si un extremo de un metal se encuentra a diferente temperatura que el otro extremo, éste exhibe un cambio en el potencial eléctrico que aparece en el extremo de referencia térmico; ese cambio en el potencial es diferente según cada material, así que si se establece una misma diferencia de temperaturas ΔT entre los extremos de cada uno de los dos metales, se puede leer una diferencia de potencial entre un extremo de referencia de un material y el del otro material (los que están a la misma temperatura de referencia, que puede ser la ambiente o 0 grados Celsius, dependiendo de la aplicación). Como los materiales de las termocuplas con el Platino, Rodio, Cobre, Hierro y otros metales, no es objeto de nuestro estudio profundizar en esto.

TRANSDUCTORES PIEZOELÉCTRICOS Presentan un efecto similar al fotoeléctrico en cuanto a resultados, pero relacionado con la presión ejercida por el material, en vez de la luz. Los transductores piezoeléctricos pueden estar hechos de materiales diferentes, como el Titanato de Bario o el Dióxido de Silicio; en estos casos no se debe confundir estos compuestos con un semiconductor, ya que los oxígenos presentes cambian mucho las propiedades eléctricas del material en la red cristalina (lo convierte en un dieléctrico muy eficiente). El efecto piezoeléctrico es, fundamentalmente, la aparición de una diferencia de potencial como resultado de la creación de dipolos eléctricos bien definidos en la estructura cristalina, como efecto de la presión ejercida.

2.4.3 Estudio de caso: uso de transductores en electrónica avanzada. Los transductores en general son usados en una gran cantidad de aplicaciones. Además de las celdas solares usadas en los equipos espaciales (satélites, exploradores, etc), se pueden contar numerosas aplicaciones sofisticadas de semiconductores, en sistemas en los que típicamente la electrónica es mucho más compleja que la usual. Entre las aplicaciones fundamentales están los láseres de alta precisión, potencia, monocromatismo o coherencia y los centelladores y tubos fotomultiplicadores de 124

los detectores o aceleradores de partículas. A continuación se consigna el papel de los semiconductores en cada uno, así como su propósito.

DETECTORES Son centros creados para medir o identificar radiación cósmica: luz, positrones, muones, neutrinos y otros. Los neutrinos, por ejemplo, son partículas de casi nula masa y sin carga, por lo que no interaccionan mucho con la materia. Como consecuencia de esto su detección es indirecta, y toda detección indirecta trae lugar a mayores posibles errores; sin el uso de tubos fotomultiplicadores, las señales lumínicas detectadas (absorbidas por un transductor fotoeléctrico menos elaborado) serían demasiado débiles y confusas para ser consideradas fiables. El detector de neutrinos Super Kamiokande de Japón funciona detectando la radiación que emiten 50.000 toneladas de agua pura al interactuar con neutrinos del espacio. Para ello se ubica una capa exterior de más de 1800 fotomultiplicadores encima de una capa interior de más de 9000 fotomultiplicadores, con el objeto de discriminar mejor la señal (direcciones de incidencia, etc.). La comprensión de cómo la información de recepción de los multiplicadores puede dar información acerca del neutrino (estos tienen diferentes energías cinéticas y son de diversos tipos) requiere un nivel de conocimientos físicos mayor al de un ingeniero no especializado en ello, por lo que no se abordará. En la figura 82 se muestra cómo se observa el registro de detección en una visualización gráfica de la superficie interna del tanque de agua, tomada de la página oficial del detector. En particular, representa un Muón atravesando la masa de agua, entrando por la parte inferior del tanque y saliendo por el costado. Cada partícula deja una “huella dactilar” lumínica cuando atraviesa la masa de agua, produciendo la detección de radiación en los tubos fotomultiplicadores a diversas frecuencias. Los colores representan el tiempo, siendo el azul anterior al verde. Un neutrino muónico puede descomponerse al atravesar la masa de agua: ésta es la única forma de detectarlo efectivamente: por las partículas en las que se ha descompuesto. Particularmente, en la figura 83 observamos cómo el muón que un neutrino a producido emite cierta huella luminosa. Después que el muón a su vez decae en electrón, éste también puede ser detectado.

ACELERADORES DE PARTÍCULAS El objeto de los aceleradores de partículas es realmente colisionarlas. Cuando se colisionan un par de antipartículas, por ejemplo, éstas se aniquilan y se transforman en energía pura. Sin embargo, la energía en que se transforman es 125

demasiado alta (la suma de sus energías cinéticas más la energía de sus masas, por la relación E=mc2), así que tienen a formarse espontáneamente partículas que pueden entenderse como la “decantación” o “solidificación” de la energía liberada. Normalmente las partículas que se espera de estas colisiones son de muchos tipos, entre neutrinos, muones, electrones, positrones y otros, por lo que es necesario una física de detectores muy avanzada y precisa.

Figura 82. Huella de un muón, tomada de la página oficial del Superkamiokande

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Figura 83. Huella de un muón, tomada de la página del SuperKamiokande

El LHC (Large Hadron Collider) es un colisionador de cierto tipo de partículas (los hadrones) de 27 Km de largo dispuesto en forma de circunferencia para acelerar las partículas hasta colisionalas en el detector ATLAS (A Toroidal LHC ApparatuS), donde se encuentra la electrónica de detección requerida. El detector ATLAS se componte de varios subdetectores; cada uno con múltiples capas, como se ve en la figuras 84.

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Figura 84. Detector Atlas, LHC, CERN:

El papel de los semiconductores en este detector es muy importante: por ejemplo, el detector de pixels (Pixel Detector) usa silicio de 250 micrómetros.

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2.5 TÓPICOS AVANZADOS EN SEMICONDUCTORES 2.5.1 Técnicas para la elaboración de circuitos integrados Actualmente los circuitos integrados se fabrican por medio de procesos de crecimiento de películas delgadas basados en semiconductores como el silicio (Si), el germanio (Ge) y el arseniuro de galio (GaAs). El material más usado para la fabricación de los circuitos integrados es el silicio porque se puede encontrar fácilmente en la naturaleza, ya que es el elemento principal que compone la arena. El proceso de fabricación tradicional (estandarizado) comienza con el crecimiento de un cristal de silicio de alta pureza en forma de cilindro de 10 a 30 cm de diámetro y un metro de longitud. Este cilindro es luego cortado en láminas de 400 a 600 micrómetros de espesor; estas láminas se pulen hasta tener un acabado de espejo, mediante técnicas químicas y mecánicas de pulido (este CMP, por sus siglas en inglés, es un proceso que utiliza un compuesto acuoso abrasivo conjuntamente con una almohadilla de pulido). Las láminas se presionan contra la almohadilla y se rotan de tal manera que se eliminan todas las impurezas, dejando la lámina completamente plana y limpia. Una vez que las láminas estén preparadas, se recubren algunas zonas con dióxido de silicio ( SiO2 ), esto se lleva a cabo calentando las láminas a 1000 – 1200 ºC hasta que se genera una capa de óxido en la superficie del material. Las partes de la lámina que no están recubiertas se someten a un proceso de difusión que dopa el silicio (tipo p) con impurezas que contengan electrones creando una capa de silicio tipo n (Figura…a.). Las impurezas usadas más comunes son dopantes como el fósforo, el boro y el arsénico. El siguiente paso es definir la región activa, o la región donde los transistores serán ubicados, esto se hace usando una técnica llamada de oxidación local, en la que una capa de nitruro de silicio ( Si3 N 4 ) es depositada sobre la superficie de la lámina en patrones, de tal forma que protege las regiones con el nitruro de la oxidación (Figura…b.). Este proceso de oxidación se lleva a cabo mediante un proceso llamado oxidación húmeda que consiste en un proceso químico de oxidación con vapor de agua. Después de este proceso aparecen regiones con dióxido de silicio entre los transistores (Figura…c.). Luego se procede con la formación de una compuerta de polisilicio, esto se hace cuando una delgada capa de óxido es removida de la región activa seguida por el crecimiento de una compuerta de óxido de alta calidad (Figura…d.). La geometría de la superficie se define mediante un proceso llamado fotolitografía, que consiste en usar la luz para 129

transferir un patrón geométrico a un material sensible a la luz en el sustrato, este material es llamado fotoresistivo (Figura…e.). Cuando el material se expone a la luz a través de una placa fotográfica que contiene el patrón, las zonas fotoresistivas se ablandan imprimiendo el patrón o la máscara en la superficie del material. Una vez que se haya depositado el material fotoresistivo, se pone otra capa de polisilicio, usualmente dopado con arsénico (tipo n). El proceso re repite una vez más pero esta vez se dopa el material son boro (tipo p) (Figura…f.). Antes de que los contactos sean hechos, se deposita una delgada capa de dióxido de silicio mediante el proceso (CVD) o deposición química de vapor, que es un proceso en el cual gases reaccionan químicamente permitiendo la formación de un sólido sobre un sustrato (Figura…g.). El óxido CVD se deposita usando una máscara fotosensible, de tal manera queden hechos los orificios para los contactos metálicos. Por último, estos contactos se hacen mediante el proceso de metalización que consiste en evaporar por medio de calor una capa de aluminio que luego se deposita sobre la superficie del sustrato (Figura 85, siguiente página).

2.5.2 Control del crecimiento de semiconductores: Física de materia condensada Desde la época del inicio de la construcción de circuitos y dispositivos electrónicos a escalas nanométricas, se empezaron a desarrollar técnicas para el crecimiento de películas delgadas (láminas de varios micrómetros de espesor) de diferentes materiales, ya fueran metales, aislantes o semiconductores. Los procesos de crecimiento de materiales generalmente son de origen químico o físico, y consisten en controlar la manera como las redes cristalinas se enlazan entre sí. Estos procesos son llamados deposiciones, lo que textualmente significaría depositar una lámina delgada de algún material sobre un sustrato (material con forma no laminar). Los procesos que son de origen químico generalmente son utilizados para el crecimiento de películas metálicas, debido a que se llevan a cabo de esta forma, como —por ejemplo— los baños de plata y oro. En el caso de los materiales semiconductores se utilizan procesos físicos para el crecimiento de las películas delgadas; estos son: -

Evaporador de haz de electrones. Sputtering. Deposición por pulsos láser. Haz molecular epitaxial.

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Los procesos se diferencian en la forma como los átomos son desprendidos del material que se desea crecer; el resto del proceso suele ser muy similar, como veremos a continuación.

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Figura 85. Proceso típico de fabricación de un Mosfet Complementario (CMOS), tomado de SEDRA.

EVAPORADOR DE HAZ DE ELECTRONES

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Es una forma de deposición por vapor en el cual un objetivo es bombardeado por un haz de electrones generado a partir un filamento de tungsteno previamente calentado en una cámara de alto vacío. El haz de electrones evapora el objetivo (que contiene el material deseado), que luego se precipita sobre el sustrato, cubriéndolo en forma de película delgada.

SPUTTERING Este sistema de crecimiento de películas semiconductoras consiste en que los átomos del material que se desea crecer se disparan hacia un sustrato para que sean depositados en éste y formen la lámina delgada. Esto es logrado por las cámaras evaporadoras: emiten un gas inerte ionizado (como el argón) hacia un objetivo que contiene el material que se desea crecer, haciendo que los átomos del objetivo sean expulsados al colisionar con el gas inerte, para después depositarse sobre el sustrato. Para que esto funcione bien, es necesario que los iones sean de un tamaño comparable a los átomos del material a crecer; por lo tanto, también se utilizan otros gases inertes como el neón, el kriptón y el xenón.

DEPOSICIÓN POR PULSOS LÁSER Este sistema consiste en un pulso de luz localizado que evapora la superficie del material deseado para luego depositarse en el sustrato. Generalmente este proceso es llevado a cabo en una cámara de alto vacío.

HAZ DE MOLÉCULAS EPITAXIAL Este método consiste en un sistema que calienta materiales cono el galio o el arsénico hasta el punto de sublimación, para luego condensarse sobre el sustrato. Una de las características principales de este método es la baja tasa de deposición (aproximadamente 1000 nm/h), lo que permite que la lámina crezca epitaxialmente, es decir, se hace crecer una capa monocristalina sobre un sustrato también monocristalino, pero de otro material. Por este motivo, el proceso debe llevarse a cabo en una cámara de alto vacío donde no haya impurezas de ninguna naturaleza. De esta forma se pueden crecer películas delgadas de arseniuro de galio (GaAs) para este caso.

La física de la materia condensada estudia básicamente los problemas que se refieren a estados coloides, estados sólidos (amorfos o cristalinos), fluidos y cualquier otro estado intermedio de la materia que en el que las partículas puedan estudiarse como un conjunto estadístico. A continuación se brinda una breve

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explicación de un tópico de investigación de frontera en Materia Condensada: los puntos cuánticos.

PUNTOS CUÁNTICOS En la primera mitad de los años 80, un físico-químico de los laboratorios Bell (Louis E. Brus) descubrió que cuando existe contacto directo entre dos semiconductores crecidos epitaxialmente, se crea un confinamiento cuántico para los excitones (pares electrón - hueco) en las tres dimensiones espaciales. Este confinamiento da como resultado un espectro discreto de energías posibles que da lugar a estados ligados similares a los de los átomos; es por esto que los puntos cuánticos también son conocidos como átomos artificiales. El confinamiento cuántico de los puntos se crea cuando dos semiconductores que tienen diferentes GAP’s de energía se acoplan. Estas diferencias de energías crean pozos de potencial que confinan los electrones y los huecos espacialmente, dando como resultado el espectro discreto de energías. Los puntos cuánticos se han estudiado con gran interés desde su descubrimiento hasta la actualidad debido a sus propiedades ópticas no lineales y sus aplicaciones en el desarrollo de dispositivos tecnológicos de nanoescala, ya que el tamaño de los puntos cuánticos varía generalmente entre 10 y 50 nm. Una de las propiedades ópticas más destacadas es que puntos cuánticos del mismo material pero con diferente tamaño emiten luz de diferente color. Por esta razón, las aplicaciones más importantes son los dispositivos emisores de luz, como los láseres. En la figura 86 podemos ver cómo se registra la apariencia de estos puntos cuánticos.

2.5.3 Investigación en semiconductores y la aproximación Hartree-FockFuncional de Densidad La investigación en semiconductores es una rama de la física aplicada cuyas consecuencias en el diseño y construcción de circuitos integrados pueden ser inmediatas. El diseño de circuitos integrados, por su parte, puede darse a nivel de semiconductores o a nivel de circuito: el primero se refiere a la elaboración de nuevos materiales idóneos para aplicaciones de electrónica y el segundo se refiere al ajuste de los parámetros geométricos y eléctricos del circuito integrado (como puede ser, por ejemplo, el ancho del canal de un Mosfet).

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Figura 86. Puntos cuánticos nanocristalinos de CdSe. Emiten luz de diferente color dependiendo el tamaño de los puntos cuando se irradian con luz ultravioleta. V. I. Klimov. Nanocrystal quantum dots: From fundamental photophysics to multicolor lasing. Los Alamos Science 28 214 (2003).

Dentro del nivel más fundamental encontramos numerosos estudios tenientes a mejorar la manera como se estiman las características cuánticas de redes semiconductoras que son creadas para determinada aplicación. La importancia de conocer esta información mecano-cuántica (conocer el hamiltoniano y la función de onda del sistema de partículas) radica en que los procedimientos de construcción de circuitos integrados VLSI (Very Large Scale Integration) requieren la manipulación de una cantidad cada vez menor de átomos (nanotecnología), de manera que aproximaciones no muy exactas acerca de cómo se comportan los materiales que desprecien los aspectos cuánticos resultan inadecuadas: las predicciones de lo que debería pasar con un determinado material al aplicar determinada técnica de manipulación fallan. Es por esto que el estudio de la física de semiconductores de la forma más exacta posible hoy adquiere más importancia que en el pasado (años 50’s, por ejemplo), cuando la tecnología no podía siquiera detectar muchos de los efectos cuánticos más sorprendentes, como la condensación de Bose-Einstein (un cuarto estado de la materia que sólo se consiguió en 1996 y era predecido por cálculos combinados de Albert Einstein y Satyendra Nath Bose). Además del proceso de fabricación de circuitos integrados, una correcta estimación de las propiedades cuánticas de semiconductores (y otros compuestos inorgánicos y orgánicos) puede finalizar en el desarrollo de dispositivos de alta tecnología (de hecho, ya ha ocurrido en diferentes momentos de la historia como, por ejemplo, la invención del microscopio de efecto túnel) en campos tan disímiles como la medicina, la exploración espacial, la industria de electrónica de consumo y la informática de alto nivel.

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Una de las aproximaciones al cálculo exacto de una función de onda de muchas partículas es la Hartree-Fock. El problema del caso de muchas partículas es que la forma usual de encontrar la función de onda (usar el hamiltoniano conocido, aplicar condiciones de frontera y ver qué funciones cumplen las leyes físicas que se sabe son inherentes al sistema) se vuelve extremadamente compleja, al punto de hacerse irrealizable. Esto se debe principalmente a la interacción entre partículas: si el conjunto que se examina es, por ejemplo, diez electrones girando alrededor del núcleo, la solución completamente exacta tendría que tener un hamiltoniano que depende de todas la coordenadas relativas, ya que la energía potencial electromagnética del sistema depende de las distancias de separación entre los electrones y su posición respecto al núcleo. Ahora, si queremos escribir el hamiltoniano de un sistema de 1023 átomos (lo que es apenas unos pocos gramos), la tarea es prácticamente imposible. Aunque las aplicaciones de nanotecnología manejan unos órdenes de magnitud en la cantidad de partículas mucho menores que 1023, aún así la tarea es completamente impráctica, sobretodo si se consideran TODAS las interacciones posibles, debido a cualquiera de las cuatro fuerzas fundamentales (la gravedad, sin embargo, siempre se puede despreciar, al igual que efectos relativistas que a estas velocidades no suelen ser importantes). En el caso de materiales cristalinos, la aproximación de Hartree-Fock usa términos aproximados en el hamiltoniano y —aquí la contribución del método— la suposición que la función de onda total del sistema es igual a la combinación lineal de productos de funciones de onda orbitales. Dicho más claramente, se asume que la función de onda real del sistema es una suma de productos de funciones de ondas más simples, que a efectos prácticos terminan siendo las funciones de onda correspondientes a los orbitales atómicos, explicados en la unidad 1. La razón de que cada sumando sea un producto de varios funciones es que cada función representa el estado de cada partícula, de manera que el producto de ellas es el estado total del sistema cuando cada partícula está en el orbital atómico correspondiente. La teoría del Funcional de Densidad puede usar resultados de aproximaciones de Hartree Fock: esta teoría intenta usar un Funcional de Densidad (una especie de función de funciones) en vez de la función de onda previamente dicha. Siendo explícitos:

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Representa la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para un sistemas de N partículas (en la aproximación Bohn-Oppenheimer), donde U es la energía de interacción entre esas partículas. Aún en el caso de que sean todos electrones, esta interacción electromagnética es difícil de determinar, porque la energía electromagnética depende en realidad de las posiciones de cada par de partículas que se está analizando (y, he hecho, de su velocidad, si se quiere tener toda la energía de manera muy exacta). Inclusive esta complicada ecuación es sólo una estimación, ya que en realidad:

        Uˆ  U (r1 , r2 , r3 .....rN , v1 , v 2 , v3 ....v N ) Y la sumatoria de V(ri) también debiera depender de las velocidades, si el cálculo fuera exacto. A pesar de todo, la ecuación que asume las energías totales como sumatorias de energías parciales es una aproximación casi exacta, debido a que las energías que se calculan considerando las velocidades son las magnéticas, y normalmente estas son de una magnitud mucho menor, así que pueden ser despreciadas sin que los cálculos de energía o las funciones de onda halladas difieran mucho. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo que hemos llamado “de la aproximación Bohn Oppenheimer” (en realidad esta aproximación se refiere a considerar el núcleo como estático y las aproximaciones de energía sin dependencia de velocidad son más bien usuales a todos los métodos) podría utilizarse para, sabiendo cómo debe ser las funciones de energía —y esto se conoce en gran proporción, debido a que las leyes físicas están bien establecidas— hallar cuál es la función de onda que identifica el sistema de partículas que analizamos (por ejemplo, este sistema podrían ser un millón de átomos de silicio, sólo 106 átomos, comparados con los 1023 de los que hablamos anteriormente). El problema reside en que 106 átomos de silicio, por ejemplo, a pesar de constituir menos de una millonésima de nanogramo (una cantidad que sólo se puede manipular en laboratorio), convierten la ecuación de Schrödinger asociada en una ecuación imposible de resolver. Por esto se usa la teoría del Funcional de Densidad, que expresa la física de la Ecuación de Schrödinger en otra ecuación, que además actúa sobre una función diferente a la función de onda: la densidad de partículas, definida como sigue:

Y el valor esperado de un observable O (recordando la unidad 1) se escribe, para toda teoría de mecánica cuántica, en la notación de Dirac, que es ésta:

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Donde O[n0] es el observado para una densidad de partículas n0, es decir, del estado base. Entiéndase entonces que ni será otra densidad, de un estado i que básicamente se refiere a otra configuración, muy probablemente con observables con valores esperados completamente diferentes, incluyendo a la energía (si tiene dudas respecto al concepto de observables y cómo se calculan, refiérase a los párrafos finales de la sección 1.2.2.3). El estado base entonces tiene energía:

Y la contribución de energía que hace el potencial externo V se calculará de manera análoga, en el caso de que se trabaje la densidad de partículas en vez de la función de onda, así:

La de energía de intercambio entre los electrones se halla de manera idéntica:

Como las expresiones son más simples, se puede tratar el sistema como un todo, aunque no se pueden evitar las complicaciones matemáticas del todo.

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