Me33a_cap03.pdf

30

Cap´ıtulo 3

An´ alisis Diferencial En ´este cap´ıtulo se desarrollaran las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de un fluido real. En particular se desarrollan el principio de conservaci´on de masa y la segunda ley de movimiento de Newton o principio de conservaci´on de cantidad de movimiento lineal (F~ = m~a) para un elemento diferencial. Lo que se obtiene es un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales. Estas ecuaciones son dif´ıciles de resolver en forma anal´ıtica por lo que generalmente se recurre a soluciones num´ericas. Este es el ´ambito de estudio de la Mec´anica de Fluidos Computacional o CFD, el cual no ser´ a tratado en este curso. Sin embargo lo anterior, algunos ejemplos sencillos pueden ser resueltos en forma anal´ıtica. Se analizar´an adem´as, algunos casos particulares de flujo, para los cuales las ecuaciones se simplifican y de cuyo an´alisis se pueden obtener conclusiones importantes. En una primera parte se analizar´a la cinem´atica de una part´ıcula elemental.

3.1

Cinem´ atica

La cinem´atica estudia varios aspectos de un fluido en movimiento como velocidad, posici´on y aceleraci´on sin analizar las fuerzas necesarias para que se produzca dicho movimiento. En una primera parte describiremos el movimiento en t´erminos del movimiento de una part´ıcula fluida y posteriormente se realizar´a un an´alisis macrosc´opico para la descripci´on de un flujo. La descripci´on de cualquier propiedad del fluido puede ser descrita como una funci´on de su posici´on. En particular se utilizan coordenadas espaciales (x, y, z por ejemplo) para identificar las part´ıculas de fluido y sus propiedades. Esta representaci´on se denomina representaci´on de ~ =V ~ (x, y, z). Como la campo. As´ı por ejemplo, el campo de velocidades vendr´a dado por V representaci´ on de una part´ıcula puede ser diferente en tiempos diferentes la representaci´on debe ser tambi´en una funci´on del tiempo. Para el campo de temperaturas y velocidades por ejemplo T = T (x, y, z, t) ~ =V ~ (x, y, z, t) V ~ = u(x, y, z, t)ˆı + v(x, y, z, t)ˆ V  + w(x, y, z, t)kˆ El movimiento de una part´ıcula puede ser descrito en t´erminos de la velocidad y la aceleraci´on. Por definici´on la velocidad de una part´ıcula es la variaci´on temporal del vector posici´on ~ = d~r . V dt

31

3.1 Cinem´atica

~ |. Si las propiedades de un flujo, en todos los puntos La rapidez es el m´odulo de la velocidad |V del espacio, permanecen invariantes en el tiempo, se dice que el flujo es permanente. En caso contrario se llama no–permanente. Un campo de velocidades permanente estar´a dado por ~ =V ~ (x, y, z) . V Para el caso permanente se cumple (∂/∂t = 0). Como se mencion´o anteriormente las propiedades de un fluido y las caracter´ısticas del flujo se pueden representar como una funci´on de la posici´on y del tiempo. Se desprende de lo anterior dos formas de posibles de representaci´on: 1. La primera, utiliza el concepto de campo mencionado anteriormente. La descripci´on del flujo est´a dada por la descripci´on de las propiedades de ´este como una funci´on de la posici´ on y del tiempo. De esta manera se obtiene informaci´on del flujo en t´erminos de qu´e pasa en un punto fijo del espacio en un tiempo t cuando el flujo pasa por ´el. Este m´etodo de descripci´on se denomina descripci´on Euleriana. La velocidad queda representada por el campo de velocidades dado por ~ =V ~ (x, y, z, t) . V 2. El segundo m´etodo, denominado Lagrangiano, analiza una part´ıcula gen´erica del flujo para analizar y caracterizar el flujo. En esta representaci´on la posici´on x, y, z no son fijas sino var´ıan en el tiempo. Las coordenadas espaciales ser´an por lo tanto funciones del tiempo y de una posici´on preescrita xo , yo , zo en un instante to . Para la velocidad se tiene por lo tanto ~ =V ~ (x(t), y(t), z(t), t) . V Para representar el flujo en forma gr´afica se utiliza el concepto de l´ınea de corriente. Las l´ıneas de corriente son las envolventes de los vectores de velocidad de las part´ıculas fluidas, es decir, el vector de velocidad es siempre tangente a las l´ıneas de corriente. Si el flujo es permanente (∂/∂t = 0) las l´ıneas de corriente estar´an fijas en el tiempo y coincidir´an con la trayector´ıa de las part´ıculas. Si el flujo no es permanente (∂/∂t 6= 0) las l´ıneas de corriente ser´an solo una representaci´on instant´anea del flujo. Se llama tubo de corriente al conjunto de l´ıneas de corriente que pasan por el contorno de un ´area A, en un tiempo determinado. Dado que la velocidad es tangente a las l´ıneas de corriente, no existir´a flujo a trav´es del manto de un tubo de corriente por lo que se cumple que

V

V

V

A L´ıneas y tubo de corriente

~ × d~r = 0 , V ~ . De donde d~r es el desplazamiento diferencial de una part´ıcula fluida que tiene una velocidad V la ecuaci´on anterior resulta dy dz dx = = , u v w

(3.1)

que representan las ecuaciones para determinar las l´ıneas de corriente. C. Gherardelli

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32

3.1 Cinem´atica

3.1.1

Velocidad, Rotaci´ on y Deformaci´ on

Como se menciono en el cap´ıtulo 1 un fluido es una substancia que se deforma al aplicar sobre ´esta un esfuerzo de cizalle. Debemos esperar por lo tanto que una part´ıcula fluida se encuentre sometida a movimientos de traslaci´on, rotaci´on, deformaci´on lineal y angular como se muestra en la figura 3.1. Este tipo de movimientos esta asociado a variaciones complejas de las diferentes componentes de la velocidad (u, v, w) en todas las direcciones. Lo anterior nos indica que, en general, (∂Vi /∂xj ) 6= 0 ∀i, j. Analizaremos ahora cada uno de estos efectos por separado y su relaci´on con la variaci´on de la velocidad seg´ un los distintos ejes coordenados.

Figura 3.1: Superposici´on de movimientos de una part´ıcula fluida.

Traslaci´ on El movimiento mas sencillo al cual se puede encontrar sometida una part´ıcula fluida es el movimiento de traslaci´on. En la figura 3.2 se muestra una part´ıcula que viaja con una velocidad constante desplazandose desde su posici´on original una nueva posici´on dada por los puntos O0 A0 C 0 B 0 .

Figura 3.2: Movimiento de traslaci´on de una part´ıcula fluida.

Deformaci´ on lineal Analizaremos la deformaci´on lineal seg´ un el eje x, como se muestra en la figura 3.3. Nos interesa por lo tanto analizar la variaci´on de la velocidad seg´ un el mismo eje, es decir (∂u/∂x). Como se muestra en ´esta figura, y debido a la diferencia de velocidad existente entre las l´ıneas OB y AC el elemento de fluido se deforma en un tiempo δt. La variaci´on del volumen resulta 

δV =

∂u δx δyδzδt . ∂x

C. Gherardelli



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33

3.1 Cinem´atica

Figura 3.3: Deformaci´on lineal de una part´ıcula fluida.

El cambio de volumen por unidad de volumen es 1 d(δV ) (∂u/∂x)δt ∂u = lim = . δt→0 V δt δt ∂x 



El cambio de volumen, por unidad de volumen, seg´ un todos los ejes es la superposici´on de los cambios seg´ un cada eje y por lo tanto igual a 1 d(δV ) ∂u ∂v ∂w ~. = + + =∇·V V δt ∂x ∂y ∂z ~ , se encuentra asociada a la deformaci´on lineal Vemos como la divergencia de la velocidad, ∇ · V de la part´ıcula fluida. Como un cambio de volumen a masa constante significa una variaci´on de la densidad, se debe cumplir que ~ = 0 para un flujo incompresible y ∇·V ~ 6= 0 para un flujo compresible. ∇·V Rotaci´ on La velocidad angular de la l´ınea OA, ΩOA , de la figura 3.4 queda definida por δα . δt→0 δt

ΩOA = lim

Para ´angulos peque˜ nos se tiene que la tangente del ´angulo se puede aproximar por el valor del ´angulo. Analizando la figura y para δα peque˜ nos se tiene que tan α ≈ δα =

∂v ∂x δxδt

δx

=

∂v δt , ∂x

⇒ ΩOA =

∂v . ∂x

An´alogamente la velocidad angular de la linea OB, ΩOB , resulta ∂u δβ = . δt→0 δt ∂y

ΩOB = lim

C. Gherardelli

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34

3.1 Cinem´atica

Figura 3.4: Rotaci´on de una part´ıcula fluida.

La velocidad angular en torno al eje z, Ωz , se define como el promedio aritm´etico de ΩOA y ΩOB , es decir:

1 (ΩOA − ΩOB ) 2  1 ∂v ∂u − 2 ∂x ∂y

Ωz = =

(3.2)

Se puede observar de la ecuaci´on 3.2 que la part´ıcula fluida rotara en torno al eje z como un cuerpo r´ıgido, es decir sin deformaci´on, s´olo si ∂u/∂y = −∂v/∂x. En otro caso la rotaci´ on estar´a asociada a una deformaci´on. Se ve adem´as que cuando ∂u/∂y = ∂v/∂x la rotaci´on en torno al eje z es cero. Para los otros ejes se obtiene 1 2



∂u ∂w − ∂z ∂x



1 Ωx = 2



∂w ∂v − ∂y ∂z



Ωy =

De las ecuaciones anteriores se puede ver que: ~ = 1∇ × V ~ Ω 2 ~ = 0 se llama irrotacional y representa un tipo especial de flujo como Un flujo para el cual ∇ × V se vera m´as adelante. La vorticidad ω ~ de un flujo se define como ~ =∇×V ~ ω ~ = 2Ω Deformaci´ on angular Se ve de la figura 3.4 que las derivadas ∂u/∂y y ∂v/∂x pueden causar, adem´as de la rotaci´ on de la part´ıcula, una deformaci´on. La tasa de deformaci´on angular de una part´ıcula se mide por la rapidez de cambio del ´angulo que se forma entre las l´ıneas OA y OB. Si OA gira a un velocidad angular distinta a OB la part´ıcula se esta deformando. Para el plano xy de la figura la deformaci´on xy resulta: C. Gherardelli

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35

3.1 Cinem´atica

1 (ΩOA − ΩOB ) 2  1 ∂v ∂u + . 2 ∂x ∂y

xy = =

La deformaci´on se representa mediante un tensor de deformaci´on, ¯, cuya componente gen´erica ij est´a dada por: 1 ij = 2

∂vj ∂vi + ∂xi ∂xj

!

Las componentes de la diagonal de ´este tensor representan la deformaci´on lineal por compresi´ on y/o tracci´on en los distintos ejes vista anteriormente y esta dada por: ii =

∂vi ∂xi

Se ver´a m´as adelante c´omo este tensor de esfuerzos est´a relacionado con los esfuerzos normales y de corte. Velocidad Haciendo un desarrollo de Taylor del campo de velocidades y despreciando los t´ermino de orden 2 y superiores se obtiene vi (~x, t) = vi (~xo , t) +

∂vi ∂xj

!

∆xi ∀i, j . ~ xo

El primer t´ermino del lado derecho de la ecuaci´on anterior representa la traslaci´on por lo que el segundo debe representar la rotaci´on y la deformaci´on. En forma matricial la ecuaci´on anterior queda 















u(~x) u(~xo ) ∂u/∂x ∂u/∂y ∂u/∂z ∆x         x)  =  v(~xo )  +  ∂v/∂x ∂v/∂y ∂v/∂z   ∆y  .  v(~ w(~x) w(~xo ) ∂w/∂x ∂w/∂y ∂w/∂z ~x ∆z o





∂vi La matriz ∂x se puede dividir en dos matrices, una antisim´etrica, que representa la rotaci´on, j ~ xo y otra sim´etrica, que representa la deformaci´on, de la siguiente manera:



∂u/∂x





1 2

0



∂u ∂y

−

∂u/∂y ∂u/∂z      ∂v ∂v/∂y ∂v/∂z  =  − 12 ∂u 0 − ∂x    ∂y  ∂w/∂x ∂w/∂y ∂w/∂z ∂w − 12 ∂v − 12 ∂u ∂z − ∂x ∂z −

∂v ∂x



  ∂v/∂x

   

+ 

C. Gherardelli

∂u  ∂x 1 ∂u 2  ∂y + 1 ∂u 2 ∂z +

1 2



∂v ∂x  ∂w ∂x



∂u ∂y + ∂v  ∂y 1 ∂v 2 ∂z +

∂v ∂x

∂w ∂y

∂w ∂y





1 2 1 2



∂u  ∂z ∂v ∂z

 1 2 1 2

− −

 

∂w ∂x  ∂w ∂y

0 

∂u +  ∂z ∂v ∂z + ∂w ∂z

   

 

∂w ∂x  ∂w ∂y

   

U. de Chile

36

3.1 Cinem´atica

La velocidad queda por lo tanto para un fluido de la siguiente forma 

















u(~x) u(~xo ) 0 −Ωz Ωy ∆x ∆x          x)  =  v(~xo )  +  Ωz 0 −Ωx   ∆y  + ¯  ∆y  .  v(~ w(~x) w(~xo ) −Ωy Ωx 0 ∆z ∆z Recordando los resultados de la mec´anica del s´olido, donde s´olo se consideran movimientos de traslaci´on y rotaci´on, la velocidad esta dada por ~~x = V ~~x + Ω ~ × ~r , V o ~ es el vector de velocidad angular. En forma matricial esta ecuaci´on queda donde Ω 













u(~x) u(~xo ) 0 −Ωz Ωy ∆x        x)  =  v(~xo )  +  Ωz 0 −Ωx   ∆y  .  v(~ w(~x) w(~xo ) −Ωy Ωx 0 ∆z Vemos que este resultado es un caso particular de la ecuaci´on para un fluido donde no existe deformaci´on.

3.1.2

Aceleraci´ on

La velocidad de una part´ıcula cualquiera ser´a una funci´on de la posici´on as´ı como del tiempo ~ =V ~ (~r, t) . V La aceleraci´on ~a es la variaci´on temporal de la velocidad ~a =

d~ d~ V (~r, t) = V (x, y, z, t) . dt dt

Aplicando la regla de la cadena se obtiene ~a =

~ ∂y ∂ V ~ ∂z ∂ V ~ ~ ∂x ∂ V ∂V + + + ∂x |{z} ∂t ∂y |{z} ∂t ∂z |{z} ∂t ∂t u

~a =

v

w

~ ~ ~ ∂V ∂V ∂V u+ v+ w ∂x ∂y ∂z

!

{z

}

|

aceleraci´on convectiva

+

~ ∂V ∂t

!

(3.3)

| {z }

aceleraci´on local

Se ve que existen dos efectos superpuestos en la aceleraci´on: • Aceleraci´on local: representa la variaci´on de la velocidad de una part´ıcula en la posici´ on ocupada por esta, es decir, representa los efectos no permanentes existentes en un flujo. • Aceleraci´on convectiva: representa el hecho de que una propiedad asociada a una part´ıcula fluida puede cambiar debido al movimiento de ´esta de un punto en el espacio a otro.

C. Gherardelli

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37

3.1 Cinem´atica

Las componentes escalares de esta ecuaci´on en coordenadas cartesinas son: 

ax = 

ay =

∂u ∂u ∂u u+ v+ w + ∂x ∂y ∂z



∂v ∂v ∂v u+ v+ w + ∂x ∂y ∂z







aw =



∂w ∂w ∂w u+ v+ w + ∂x ∂y ∂z 

∂u ∂t

∂v ∂t 



,



∂w ∂t

, 

.

La ecuaci´on 3.3 puede reescribirse de la siguiente forma: ~a =



  ~ ∂V ~. ~ ·∇ V + V ∂t | {z } operador



~ · ∇ es un operador matem´atico que, en el caso de la ecuaci´on anterior, se encuentra operando V ~ . De lo anterior se puede decir que: sobre la velocidad V  ∂()  ~ + V · ∇ () ∂t

es tambi´en un operador que, para el caso de la aceleraci´on, opera sobre la velocidad. Este operador se denomina derivada material, sustancial o total y se representa por D() . Dt ⇒ ~a =

~) D(V . Dt

El concepto de derivada total es aplicable a distintos par´ametros del flujo y no solo a la aceleraci´on. Para la temperatura T (x, y, z, t), que se diferencia de la velocidad por ser un campo escalar, por ejemplo, la derivada total resulta ∂T DT ~ · ∇T = +V Dt ∂t y para la presi´on p(x, y, z, t) ∂p ~ Dp = + V · ∇p Dt ∂t donde vemos que el operador ∇ opera primero sobre el campo escalar.

C. Gherardelli

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38

3.2 Conservaci´ on de la masa / Ecuaci´ on de Continuidad

3.2

Conservaci´ on de la masa / Ecuaci´ on de Continuidad

El principio de conservaci´on de masa establece que la variaci´on temporal de la cantidad de masa contenida en un volumen m´as el flujo de masa neto que pasa a trav´es de las paredes que encierran el volumen es igual a cero. Para el desarrollo del principio de conservaci´on de masa se considera una part´ıcula diferencia como la de la figura, la cual se supone inmersa en flujo con velocidad ˆ ~ = uˆı + vˆ V  + wk. La cantidad de masa contenida en el volumen es igual a la masa por unidad de volumen, es decir la densidad, por el volumen del elemento diferencial.

L´ıneas y tubo de corriente

δm = ρ · δ∀ = ρ · δx δy δz La variaci´on temporal de δm es, por lo tanto, ∂ (δm) ∂ρ = · δx δy δz ∂t ∂t

Figura 3.5: Volumen de Control diferencial. El flujo de masa m ˙ a trav´es de una superficie cualquiera A esta dado por Z

m ˙ =

~ · dA ~ [kg/s] ρV

A

Como convenci´on para definir el signo del producto punto se define la normal a la superficie que encierra al volumen positiva hacia afuera del volumen. Lo anterior implica que para un ~ · dA ~ ser´a negativo y para un flujo que sale flujo que entra al volumen el signo del producto V del volumen ser´a positivo. El flujo neto ser´a, por lo tanto, lo que sale menos lo que entra al ~ · dA ~ representa el producto volumen considerado. Otro punto a mencionar es que el producto V escalar de la componente normal de la velocidad por el diferencial de ´area, es decir, Vn dA. La componente tangencial al ´area dA no aporta flujo m´asico a trav´es de la superficie. Para el elemento diferencial de la figura la ecuaci´on anterior se debe aplicar a cada una de las caras del elemento y se debe realizar un desarrollo de Taylor de primer orden para la variable ρV . Para la direcci´on ˆı se tiene que el flujo neto es 

∂(ρ u) δx ∂(ρ u) δx ρu + δy δz − ρu − δy δz = ∂x 2 ∂x 2

C. Gherardelli









∂(ρu) δx δy δz ∂x 

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39

3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

El flujo neto en todas las direcciones es la suma de las componentes de cada direcci´on, es decir, 

∂(ρu) ∂(ρ v) ∂(ρ w) + + δx δy δz ∂x ∂y ∂z 

∂ (δm) ∂ρ = · δx δy δz + ∂t ∂t



∂(ρu) ∂(ρ v) ∂(ρ w) + + δx δy δz = 0 ∂x ∂y ∂z 

Agrupando los t´erminos y dividiendo por el volumen se obtiene finalmente: ∂ρ ∂ (ρ u) ∂ (ρ v) ∂ (ρ w) + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z

(3.4)

Esta ecuaci´on es la forma diferencial del principio de conservaci´on de masa para un sistema de coordenadas cartesiano. En la Mec´anica de Fluidos este principio se denomina Ecuaci´ on de Continuidad. Para un sistema de coordenadas cil´ındrico la ecuaci´on de continuidad esta dada por: ∂ρ 1 ∂ (rρ ur ) 1 ∂ (ρ uθ ) ∂ (ρ uz ) + + + =0 ∂t r ∂r r ∂θ ∂z

(3.5)

En forma vectorial la ecuaci´on de continuidad queda de la siguiente forma: ∂ρ ~ =0 + ∇ · ρV ∂t

(3.6)

Desarrollando el segundo t´ermino se tiene ∂ρ ~ ~ =0 + V · ∇ρ + ρ∇ · V ∂t Se puede apreciar que los dos primeros t´erminos representan la derivada total de la densidad por lo que la ecuaci´on anterior se puede reescribir de la siguiente forma: Dρ ~ =0 + ρ∇ · V Dt

(3.7)

~ = 0 se puede considerar, por lo tanto, que el flujo se Para los flujos en que se cumple que ∇ · V comporta como un flujo incompresible.

3.3

Cantidad de Movimiento Lineal

3.3.1

Tensor de esfuerzos

Sobre un elemento diferencial de fluido act´ ua una distribuci´on de esfuerzos seg´ un todas las direcciones como se muestra en la figura 3.6. Esta distribuci´on de esfuerzos se agrupa en un ¯: tensor denominado tensor de esfuerzos σ 



σxx τxy τxz  ¯= σ  τyx σyy τyz  . τzx τzy σzz C. Gherardelli

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40

3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

z s zz

tzy

tzx

txz x

txy

sxx

tyx

tyz

syy y

Figura 3.6: Esfuerzos sobre un elemento de fluido.

El elemento gen´erico de este tensor es τi,j donde el sub´ındice i representa la normal al plano asociado con la tensi´on y el sub´ındice j representa la direcci´on de la tensi´on. Por convenci´on se adopta la siguiente convenci´on de signos: • La normal a la superficie es positiva hacia afuera del volumen que encierra la superficie. • Una componente de la tensi´on es positiva cuando tanto el vector que representa la superficie sobre la que act´ ua la tensi´on como la tensi´on misma tienen sentidos coincidentes, es decir, ambos positivos o ambos negativos. Se cumple adem´as que τi,i = σi,i que representa la componente de esfuerzos normal al plano i. Se puede demostrar que este tensor es sim´etrico, es decir τxy = τyx τxz = τzx τzy = τyz ⇒ 



σxx τxy τxz  ¯= σ  τxy σyy τyz  τxz τyz σzz Se puede demostrar tambi´en que la suma de las tensiones normales es una invariante, es decir, no depende de los ejes del sistema coordenado (x, y, z en este caso). Se define 1 σ ¯ = (σxx + σyy + σzz ) 3 como la tensi´on volum´etrica que es un escalar. Para el caso de fluidos ideales o no viscosos se tiene que σxx = σyy = σzz que se defini´o la presi´on como el negativo de la tensi´on normal, es decir σ ¯ = σxx = −p . C. Gherardelli

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41

3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

Para el caso de fluidos viscosos se define la presi´on termodin´amica como la tensi´on volum´etrica con signo cambiado, es decir σ ¯ = −p

3.3.2

Ecuaciones de movimiento / Ecuaciones de Navier-Stokes

Para determinar las ecuaciones de movimiento para un fluido viscoso se analizar´a el elemento diferencial de la figura 3.7 donde se han considerado solo las fuerzas seg´ un la direcci´on y. tzy dz z 2

(tzy+ (syy-

syy dy y 2

) dy dx

(txy-

) dx dz

dz

txy dx x 2

(syy+

) dy dz

syy dy y 2

) dx dz

z

dx

(txy+

txy dx x 2

dy

) dy dz

(tzy-

y

x

tzy dz z 2

) dy dx

Figura 3.7: Balance de fuerzas sobre un elemento de fluido.

Realizando un balance de fuerzas y desarrollando se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones para todas las direcciones:

∂τxy ∂σyy ∂τzy DVy + + =ρ ∂x ∂y ∂z Dt ∂σxx ∂τxy ∂τxz DVx ρgx + + + =ρ ∂x ∂y ∂z Dt ∂τxz ∂τyz ∂σzz DVz ρgz + + + =ρ ∂z ∂y ∂z Dt ρgy +

(3.8)

La existencia de esfuerzos de corte esta asociada a las deformaciones a que esta sometido un elemento diferencial de fluido. Debe por lo tanto existir una relaci´on entre el tensor de esfuerzos ¯ y el tensor de deformaciones ¯ analizado en el cap´ıtulo 3.1 ⇒ σ ¯ = f (¯) . σ Fluidos de Stokes Se define un fluido de Strokes al fluido que cumple con las siguientes condiciones: 1. Tensor de esfuerzos σ ¯ es una funci´on continua del tensor de velocidad de deformaci´on ¯ y del estado termodin´amico local. ¯ es independiente de la traslaci´on y rotaci´on del elemento considerado. 2. σ 3. las propiedades del fluido son independientes del sistema de referencia utilizado. 4. El fluido carece de elasticidad. 5. El fluido es homog´eneo, la funci´on f no depende explicitamente de las coordenadas. C. Gherardelli

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42

3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

6. El fluido es is´otropo, es decir, las propiedades son independientes de la direcci´on y las ¯ y¯ coinciden. direcciones principales de σ Fluido Newtoniano ¯ Se define un fluido Newtoniano como un fluido de Stokes lineal, es decir, las componentes de σ son funciones lineales de las componentes de ¯. Bajo las condiciones anteriores la relaci´on que se obtiene es la siguiente: ~ I¯¯ ¯ + pI¯¯ = 2µ¯ + λ∇ · V σ 



(3.9)

donde 1 −p = (σxx + σyy + σzz ) 3

•

• µ (viscosidad din´amica) y λ (segundo coeficiente de viscosidad) son constantes de proporcionalidad. • I¯¯ es el tensor identidad. De acuerdo a la ec. 3.9 el elemento gen´erico para los esfuerzos de corte esta dado por ∂vi ∂vj τij = µ + ∂xj ∂xi

!

.

Para un sistema cartesiano de coordenadas, las componentes escalares de la anterior resultan: ∂Vx ∂Vy + ∂y ∂x





τxz

∂Vx ∂Vz + =µ ∂z ∂x



τyz

∂Vz ∂Vy =µ + ∂z ∂y



τxy = µ 



Para un flujo con un perfil de velocidades seg´ un un solo eje (x) se obtiene: τxy = µ

∂Vx ∂y

que representa la Ley de Viscosidad de Newton vista en el cap´ıtulo 1. Para los esfuerzos normales la ecuaci´on 3.9 seg´ un x queda: σxx + p = 2µxx + λ

∂Vx ∂x

Sumando las tres componentes y recordando que σxx + σyy + σzz = −3p se obtiene 2 λ=− µ. 3 C. Gherardelli

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43

3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

Reemplazando el resultado anterior en la ec. 3.9 se obtiene finalmente 

¯ = 2µ¯ − σ

2 ~ p + µ∇ · V 3

|



{z

I¯¯

.

(3.10)

}

componente normal de la deformaci´on En notaci´on indicial la ecuaci´on anterior queda: 2 ~ σij = 2µij − p + µ∇ · V 3 



δij

(3.11)

~ = 0) o es uniforme (V ~ = cte) se recupera lo visto en el cap´ıtulo 2: Si el flujo esta en reposo (V σij = −pδij . ~ = 0) la componente normal del esfuerzo queda: Si el flujo es incompresible (∇ · V σii = 2µ

∂Vi −p. ∂xi

Reemplazando el tensor de esfuerzos obtenido (ec. 3.10) en el sistema de ecuaciones 3.8 y considerando que ∂ ∂ [%]δij = [%] , ∂xj ∂xi se obtiene ∂Vi ∂Vi ρ + Vj ∂t ∂xj

!

∂ ∂ 2 ~ = ρgi + (2µ¯) − p + µ∇ · V ∂xj ∂xi 3 



.

Como 1 ij = 2

∂vj ∂vi + ∂xi ∂xj

!

se obtiene finalmente ∂Vi ∂Vi ρ + Vj ∂t ∂xj

!

"

∂ ∂Vj ∂Vi = ρgi + µ + ∂xj ∂xi ∂xj

!#

∂ 2 ~ − p + µ∇ · V ∂xi 3 



(3.12)

Las ecuaciones anteriores (3 ecuaciones escalares) representan las ecuaciones de movimiento general para un fluido newtoniano y se denominan ecuaciones de Navier-Stokes. La ecuaci´on de continuidad, ∂ρ ~ ) = 0, + ∇ · (ρV ∂t proporciona la ecuaci´on faltante para cerrar el sistema de ecuaciones. En el caso mas general deben incluirse adem´as la ecuaci´on de estado del fluido (f (p, ρ, T ) = 0) y la dependencia de la viscosidad con la temperatura y la presi´on (µ = µ(T, p)). Estas ecuaciones no han sido resueltas salvo en casos muy particulares y simples. C. Gherardelli

U. de Chile

44

3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

3.3.3

Flujo incompresible

La ecuaci´on de continuidad para un flujo incompresible esta dada por la siguiente relaci´on ~ = 0. ∇·V Veremos a continuaci´on como se modifican las ecuaciones de Navier-Stokes bajo esta condici´on. Para esto desarrollaremos la componente x (i = x) del segundo t´ermino del lado derecho de la ec. 3.12: "

∂ ∂Vj ∂Vi µ + ∂xj ∂xi ∂xj

!#



= µ

∂ ∂x



∂Vx ∂Vx + ∂x ∂x



+

∂ ∂y



∂Vx ∂Vy + ∂y ∂x



+



∂ ∂z



∂Vx ∂Vz + ∂z ∂x





 2    ∂ Vx ∂ 2 Vx ∂ 2 Vx ∂ ∂Vx ∂Vy ∂Vz    = µ + + + + + 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂x ∂x ∂y ∂z   ∂x | {z } ~ =0 ∇·V

"

∂2V

x 2 ∂x

= µ

+

∂2V

x 2 ∂y

+

∂2V

x 2 ∂z

#

= µ∇2 Vx .

⇒ "

∂ ∂Vj ∂Vi µ + ∂xj ∂xi ∂xj

!#

= µ∇2 Vi .

Realizando un desarrollo an´alogo seg´ un los otros ejes coordenados y reemplazando en las ecuaci´on 3.12 se obtienen las siguientes ecuaciones escalares en coordenadas cartesianas: ∂u ∂u ∂u ∂u ρ +u +v +w ∂t ∂x ∂y ∂z 



∂v ∂v ∂v ∂v ρ +u +v +w ∂t ∂x ∂y ∂z 

∂w ∂w ∂w ∂w ρ +u +v +w ∂t ∂x ∂y ∂z 





∂p ∂2u ∂2u ∂2u =− + ρgx + µ + 2 + 2 ∂x ∂x2 ∂y ∂z

!

∂p ∂2v ∂2v ∂2v =− + ρgy + µ + + ∂y ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

!

∂p ∂2w ∂2w ∂2w =− + ρgz + µ + + ∂z ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

!

(3.13)

En coordenadas cil´ındricas el sistema de ecuaciones es el siguiente:

∂ur uθ ∂ur u2 ∂ur ∂ur ρ + ur + − θ + uz ∂t ∂r r ∂θ r ∂z

!

=− "

∂ +µ ∂r

1 ∂ 1 ∂ 2 ur 2 ∂uθ ∂ 2 ur [rur ] + 2 − + r ∂r r ∂θ2 r2 ∂θ ∂z 2 

#

1 ∂p + ρgθ r ∂θ " #   ∂ 1 ∂ 1 ∂ 2 uθ 2 ∂ur ∂ 2 uθ +µ [ruθ ] + 2 + 2 + ∂r r ∂r r ∂θ2 r ∂θ ∂z 2   ∂uz ∂uz uθ ∂uz ∂uz ∂p ρ + ur + + uz =− + ρgz ∂t ∂r r ∂θ ∂z ∂z # "   1 ∂ ∂uz 1 ∂ 2 uz ∂ 2 uz +µ r + 2 + (3.14) r ∂r ∂r r ∂θ2 ∂z 2 

ρ

∂uθ uθ ∂uθ ur uθ ∂uθ ∂uθ + ur + + + uz ∂t ∂r r ∂θ r ∂z



∂p + ρgr ∂r

C. Gherardelli



=−

U. de Chile

3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

45

En forma vectorial estas ecuaciones quedan de la siguiente forma:   ~ ∂V ~ ·∇ V ~ ρ + V ∂t

C. Gherardelli

!

~ = −∇p + ρ~g + µ∇2 V

(3.15)

U. de Chile

46

3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

Ejemplo Entre dos placas placas paralelas, fijas e infinitas fluye un flujo laminar, incompresible y permanente en la direcci´on x. Se pide determinar el campo de velocidades y presi´on que se estables bajo estas condiciones. Se pide adem´as que determine el caudal volum´etrico, la velocidad media del flujo y el esfuerzo de corte en la pared τw . Evaluar como cambian los resultados si la placa superior se mueve con una velocidad U en la direcci´on x.

C. Gherardelli

Flujo entre dos placas paralelas infinitas

U. de Chile

3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

47

Ejemplo Por un tubo horizontal de radio R, di´ametro D = 2R, fluye un flujo laminar, incompresible y permanente en la direcci´on z. Se pide determinar el campo de velocidades y presi´on que se establece bajo estas condiciones. Se pide adem´as determinar la velocidad media del flujo, el caudal volum´etrico, el esfuerzo de corte y el factor de fricci´on f . Evaluar como cambian los resultados si en el tubo original se introduce un tubo de radio R1 conc´entrico con el original, por lo que el fluido pasar´ıa por un espacio anular.

C. Gherardelli

U. de Chile

48

3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

3.3.4

Flujo turbulento

En esta secci´on se ver´an las ecuaciones de Navier-Stokes para un flujo turbulento. Un flujo turbulento se caracteriza por un movimiento aleatorio de las part´ıculas fluidas con un comportamiento aleatorio de las variables del flujo como la velocidad, los esfuerzos de corte, etc.. Este tipo de flujo se representa o modela por el valor medio (A) de la variable A m´as una fluctuaci´ on 0 (A ). Para la velocidad por ejemplo lo anterior queda expresado por V =V +V0 donde 1 V = T

tZ 0 +T

V (x, y, z, t)dt . t0

T es el mayor periodo de la mayor fluctuaci´on. Lo anterior se puede ver en la figura XX. Aplicando la definici´on de promedio o media a la componente fluctuante (V 0 ) se obtiene:

V0 =

=

1 T

tZ 0 +T

(V − V )dt

t0

 t +T  tZ 0 0 +T Z 1 V dt − V )dt

T

t0

t0

= V −V =0, es decir la media de las fluctuaciones es igual a cero. Se define la intensidad de la turbulencia I como

(V 0 )2 I= = V

1 T

t+T R

!1/2

(V 0 )2 dt

t

(3.16)

V

Se desarrollar´an las ecuaciones de Navier-Stokes para las medias temporales de la velocidad (ya que esta medida es f´acilmente cuantificable) y se ver´a el efecto de las fluctuaciones sobre estas. Seg´ un la coordenada x la ecuaci´on de Navier-Stokes es: ∂Vx ∂Vx ∂Vx ∂Vx ρ + Vx + Vy + Vz ∂t ∂x ∂y ∂z 



∂p ∂ 2 Vx ∂ 2 Vx ∂ 2 Vx =− + ρgx + µ + + ∂x ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

!

.

En la ecuaci´on anterior se debe reemplazar Vi = Vi + Vi0 . Por ejemplo, el t´ermino Vx (∂Vx /∂x) queda

Vx (∂Vx /∂x) =



Vx + Vx0

= Vx C. Gherardelli



"

∂(Vx + Vx0 ) ∂x

#

∂Vx ∂V 0 ∂V 0 ∂Vx + Vx0 x + Vx x + Vx0 ∂x ∂x ∂x ∂x U. de Chile

49

3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

Realizando todos los reemplazos y tomando la media temporal sobre toda la ecuaci´on (se propone hacerlo como ejercicio) y considerando un flujo permanente se obtiene: ∂Vx ∂Vx ∂Vx ρ Vx + Vy + Vz ∂x ∂y ∂z

!

∂p ∂V 0 ∂V 0 ∂V 0 = − +ρgx +µ∇2 Vx −ρ Vx0 x + Vy0 x + Vz0 x ∂x ∂x ∂y ∂z

!

.(3.17)

La ecuaci´on de continuidad para un flujo turbulento queda expresada mediante la siguiente relaci´on: 

∂ Vx + Vx0 ∂x





+

∂ Vy + Vy0





+

∂y

∂ Vz + Vz0 ∂z



=0

Desarrollando y promediando en el tiempo se obtiene ∂Vx ∂Vy ∂Vz ∂Vx0 ∂Vy0 ∂Vz0 + + + + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z Como el promedio de las perturbaciones es, por definici´on, igual a cero la ecuaci´on anterior se puede escribir en forma separada para los promedios como para las fluctuaciones de la velocidad de la siguiente manera: ∂Vx ∂Vy ∂Vz + + =0 ∂z ∂x ∂y ∂Vx0 ∂Vy0 ∂Vz0 + =0 + ∂y ∂z ∂x De lo anterior se puede demostrar que ∂V 0 ∂V 0 ∂V 0 Vx0 x + Vy0 x + Vz0 x ∂x ∂y ∂z

!





∂(Vx0 )2 ∂(Vx0 Vy0 ) ∂(Vx0 Vz0 )  = + + ∂z ∂x ∂y

Sustituyendo en la ecuaci´on 3.17 se obtiene

ρ Vx

∂Vx ∂Vx ∂Vx + Vz + Vy ∂z ∂y ∂x

!

=−

∂p +ρgx +µ∇2 Vx −ρ ∂x



∂(Vx0 )2  ∂x



∂(Vx0 Vy0 ) ∂(Vx0 Vz0 )  (3.18) + + ∂z ∂y

Comparando la ecuaci´on anterior con la ecuaci´on 3.15 se puede ver que la existencia de fluctuaciones en la velocidad genera esfuerzos en el fluido y estos afectan la velocidad media del flujo. Estos esfuerzos se denominan esfuerzos aparentes o de Reynolds. Considerando todas las direcciones se obtiene un tensor de esfuerzos denominado tensor de esfuerzos aparente: 0 0 0 (Vx0 )2 (Vx0 Vy0 ) (Vx0 Vz0 ) σxx τxy τxz     0 0 0 ¯ 0 =  τyx σyy τyz σ  =  (Vy0 Vx0 ) (Vy0 )2 (Vy0 Vz0 )  0 0 0 τzx τzy σzz (Vz0 Vx0 ) (Vz0 Vy0 ) (Vz0 )2



C. Gherardelli







U. de Chile

50

3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

Lo anterior se puede interpretar tambi´en como que el esfuerzo total en un flujo turbulento se compone de un valor medio, asociado a la viscosidad del fluido, m´as una fluctuaci´on, asociada naturalmente a la turbulencia existente en el flujo, es decir: τ = τ + τ0

(3.19)

Escribiendo las ecuaciones de Navier-Stokes en estos t´erminos en notaci´on indicial resulta:  DVi 1 ∂p 1 ∂  T =− + gi + τji + τji Dt ρ ∂xi ρ ∂xj

(3.20)

Un punto importante a considerar es que la existencia de fluctuaciones introduce nuevas inc´ognitas y por lo tanto se requiere de nuevas ecuaciones para cerrar y solucionar (num´ericamente) el sistema ecuaciones. Existen diversos modelos, llamados modelos de cierre, que proporcionan estas ecuaciones adicionales. El estudio de estos modelos queda fuera del alcance de este curso por lo que no ser´ an tratados.

3.3.5

Fluido ideal

Para un fluido ideal se cumple que µ = 0 por lo que las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a:   ~ ∂V ~ ·∇ V ~ ρ + V ∂t

!

= −∇p + ρ~g

(3.21)

Esta ecuaci´on se denomina Ecuaci´ on de Euler y representa la forma diferencial de la segunda ley de movimiento de Newton para un fluido ideal, donde no existen esfuerzos de corte. Para un flujo permanente la ecuaci´on de Euler se reduce a: 

~ ·∇ V ~ = − 1 ∇p + ~g V ρ 

El t´ermino del lado izquierdo de la ecuaci´on anterior se puede desarrollar de la siguiente forma: 

2 ~ ·∇ V ~ =∇ V V 2



!

~ × (∇ × V ~ ). −V

~ = 0, es decir que el flujo es irrotacional, la ecuaci´on de Euler queda Si se cumple que ∇ × V V2 ∇ 2

!

1 = − ∇p + ~g ρ

Realizando un producto punto entre la ecuaci´on anterior y un elemento diferencial de movimiento d~r seg´ un una direcci´on arbitraria y suponiendo que ~g = −gˆ z , se obtiene: dp V2 +d ρ 2

C. Gherardelli

!

+ gdz = 0

U. de Chile

51

3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

Para un flujo incompresible, la ecuaci´on anterior se puede integrar obteniendo finalmente: 1 p + ρgz + ρV 2 = cte. 2 La ecuaci´on anterior representa un balance de energ´ıa y se denomina ecuaci´on de Bernoulli. Se ve que la energ´ıa de un fluido esta dada por la energ´ıa asociada a la presi´on p, la energ´ıa potencial ρgz y la energ´ıa cin´etica 1/2ρV 2 . Como la direcci´on d~r del desplazamiento fue elegida en forma arbitraria, se puede concluir que la constante de integraci´on es la misma entre cualquier par de puntos del fluido. En la siguiente secci´on se ver´a m´as en profundidad este punto.

3.3.6

Din´ amica elemental

En ´esta secci´on se analizar´a la ecuaci´on de cantidad de movimiento lineal desde un sistema coordenado (ˆ s, n ˆ) coincidente con la l´ınea de corriente, donde s es la posici´on a lo largo de la l´ınea de corriente. El an´alisis se har´a para un r´egimen permanente, por lo que las l´ıneas de corriente estar´an fijas en el espacio. La velocidad de la part´ıcula elemental en ´este sistema coordenado estar´a dada por: Part´ıcula fluida sobre una l´ınea de corriente ~ =V ~ (s, t) sˆ , V dado que la velocidad es tangente a la l´ınea de corriente. El vector unitario sˆ es, sin embargo, una funci´on tanto de s como n, es decir, sˆ = sˆ(s, n). La aceleraci´on de la part´ıcula esta dada por: ~a =

~ D(V sˆ) DV Dˆ s DV = = sˆ + V . Dt Dt Dt Dt

Como ∂/∂t = 0 la ecuaci´on anterior queda ~ ∂V DV = V Dt ∂s 





sˆ + V

∂ˆ s V ∂s



.

La derivada del vector unitario sˆ resulta δˆ s n ˆ ∂ˆ s = lim = , ∂s δs→0 δs R donde n ˆ es el vector normal a sˆ y R el radio de curvatura de la l´ınea de corriente en el punto. ⇒ ~a =

V2 ∂V . n ˆ sˆ + ∂s } |R{z } | {z componente componente paralela a sˆ normal a sˆ V

C. Gherardelli

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52

3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

El t´ermino de la aceleraci´on normal a sˆ tiene su origen en el cambio de direcci´on de la velocidad de una part´ıcula al moverse sobre una trayectoria curva. Si la trayectoria es recta, es decir R → ∞, ´este t´ermino desaparace. Analizaremos a continuaci´on la ecuaci´on de cantidad de movimiento lineal (F = ma) seg´ un una direcci´on de movimiento coincidente a la l´ınea de corriente y seg´ un una direcci´on de movimiento normal a la l´ınea de corriente. Para determinar las fuerzas externas en ambas situaciones, es decir seg´ un sˆ y n ˆ , se analizar´a el elemento diferencial de la figura 3.8. Ecuaci´ on de movimiento seg´ un sˆ; Ecuaci´ on de Bernoulli La ecuaci´on de cantidad de movimiento seg´ un sˆ es 

∂p δs ∂p δs ∂V δnδy − p + δnδy − γδsδnδy sin θ = ρδsδnδyV ∂s 2 ∂s 2 ∂s 

p−





Figura 3.8: Balance de fuerzas sobre una part´ıcula fluida. ⇒ −γ sin θ −

∂p ∂V = ρV . ∂s ∂s

Se ve que para que exista movimiento debe existir un desbalance entre las fuerzas causadas por la presi´on y el peso. Analizaremos a continuaci´on la ecuaci´on anterior a lo largo de la l´ınea de corriente. El diferencial de la presi´on es 

dp =

∂p ds + ∂s 



∂p dn . ∂n 

Sobre una l´ınea de corriente se cumple que n = cte o dn = 0, por lo que ∂p dp = . ∂s ds An´alogamente se tiene que V

1 dV 2 ∂V = ∂s 2 ds

y sin θ =

∂z dz = . ∂s ds

C. Gherardelli

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3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

53

Reemplazando en la ecuaci´on de movimiento se obtiene −γ

dz dp 1 d(V 2 ) − = ρ . ds ds 2 ds

Eliminando ds obtenemos 1 −γdz − dp = ρd(V 2 ) 2 o 1 dp + ρd(V 2 ) + γdz = 0 . 2 Integrando sobre la l´ınea de corriente se obtiene Z

dp 1 2 + ρV + gz = C , ρ 2

(3.22)

donde C es una constante de integraci´on. Las ecuaciones anteriores son v´alidas s´olo sobre una l´ınea de corriente. Se ve que para poder integrar el primer t´ermino de la ecuaci´on anterior es necesario conocer la relaci´on existente entre la densidad y la presi´on. Fluido incompresible. Si la densidad es constante se obtiene 1 p + ρV 2 + ρgz = C . 2

(3.23)

La ecuaci´on anterior se denomina ecuaci´on de Bernoulli (1778) y tiene impl´ıcitas las siguientes hip´otesis • efectos viscosos despreciable, • flujo permanente, • flujo incompresible, • aplicable s´olo a una l´ınea de corriente. La u ´ltima de estas hip´otesis significa que la constante de integraci´on ser´a diferente entre una l´ınea de corriente a otra. La ecuaci´on de Bernoulli dice que para un flujo sin roce la energ´ıa total, que es la suma de la energ´ıa cin´etica, la energ´ıa potencial y la energ´ıa de presi´on, se mantiene constante. Se ve que la ecuaci´on de Bernoulli, escrita en esta forma, tiene unidades de presi´ on. La constante C de la ecuaci´on de Bernoulli se denomina presi´on total pT , es decir 1 pT = p + ρV 2 + ρgz . 2 Por lo tanto, la presi´on total se mantiene constante sobre una l´ınea de corriente en un flujo ideal (µ = 0). Vemos adem´as que la presi´on total esta compuesta por 1 2 ρV = presi´ on din´amica, 2 C. Gherardelli

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54

3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

p = presi´on est´atica y ρgz = presi´on hidroest´atica. Dividiendo por ρg se obtiene p V2 +z+ = cte . ρg 2g Se puede apreciar que la ecuaci´on de Bernoulli se puede escribir en t´erminos de longitud. El t´ermino de elevaci´on z, que esta relacionado con la energ´ıa potencial se denomina altura topogr´afica. El t´ermino (P/ρg) se denomina altura de presi´on y representa la altura de la columna de l´ıquido necesaria para producir una presi´on p. (V 2 /2g) se llama altura de velocidad y representa la altura vertical necesaria para que si el fluido cae libremente, adquiera la velocidad V. Presi´ on de estancamiento: se define como la presi´on que se obtiene al desacelerar un flujo isoentr´opicamente (s=cte; proceso ideal) hasta el reposo. De la ecuaci´on de Bernoulli se ve que la presi´on de estancamiento es igual a la presi´on total. Si el proceso de desaceleraci´on del flujo no es ideal la presi´on que se obtiene es distinta a la de estancamiento y se denomina presi´ on de estancamiento local. La presi´on de estancamiento se obtiene de la conversi´on de la energ´ıa cin´etica y potencial, o de la presi´on din´amica e hidroest´atica, en presi´on est´atica y ser´a, por lo tanto, mayor que esta. Fluido compresible Si suponemos ahora que el fluido es un gas ideal podemos utilizar la ecuaci´on de estado de los gases ideales para expresar la dependencia de la densidad con la presi´on y la temperatura. De la ecuaci´on de estado se obtiene p ρ= . RT Reemplazando en la ecuaci´on 3.22 se obtiene Z

RT

1 dp + gz + ρV 2 = C , p 2

de donde se ve que debemos explicitar la forma en que var´ıa la temperatura a lo largo de la l´ınea de corriente. Para un flujo isot´ermico, es decir T = cte., se obtiene, integrando entre dos puntos sobre una l´ınea de corriente p1 1 1 2 V1 + gz1 + RT ln = V22 + gz2 . 2 p2 2 Para un flujo isoentr´opico se cumple que p = cte. ρk Reemplazando, integrando entre dos puntos y reoordenando se obtiene 

k k−1



p1 V12 + + gz1 = ρ1 2



k k−1



p2 V22 + + gz2 . ρ2 2

Esta ecuaci´on es equivalente a la ecuaci´on para un flujo incompresible salvo por el factor (k/k−1) que multiplica la presi´on y por el hecho de que las densidades son distintas. C. Gherardelli

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3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

55

Ecuaci´ on de cantidad de movimiento seg´ un n ˆ. Haciendo un desarrollo an´alogo al realizado en el punto anterior pero ahora seg´ un n ˆ se obtiene −γ

dz ∂p ρV 2 − = . dn ∂n R

Esta ecuaci´on indica que la variaci´on en la direcci´on del flujo de la part´ıcula esta acompa˜ nada de una combinaci´on apropiada del gradiente de presi´on y el peso en la direcci´on normal a la l´ınea de corriente. Si la part´ıcula se mueve por una trayectoria recta (R → ∞) la presi´on varia en forma hidroest´atica. Si por ejemplo despreciamos la gravedad o consideramos un flujo horizontal obtenemos −

ρV 2 ∂p = , ∂n R

que nos dice que la presi´on aumenta si uno se aleja del centro de curvatura, dado que n ˆ apunta hacia adentro del centro de curvatura y el t´ermino del lado derecho de la ecuaci´on es positivo. Para un s constante se tiene que ds = 0 y por lo tanto (∂p/∂n) = dp/dn. Por lo tanto, si multiplicamos la ecuaci´on anterior por dn e integramos a trav´es de las lineas de corriente con ds = 0 se obtiene Z

dp + p

Z

V2 dn + gz = cte. normal a la l´ınea de corriente. R

Si el flujo es incompresible se tiene adem´as que Z

p+ρ

V2 dn + ρgz = C . R

Esta ecuaci´on nos dice que cuando una part´ıcula viaja sobre una l´ınea de corriente curva (R < ∞) se requiere una fuerza neta adicional con direcci´on hacia el centro de curvatura para vencer los efectos centr´ıfugos asociados a la curvatura. Esta fuerza o diferencial de fuerza adicional es proporcionada por la presi´on. La presi´on ser´a, por lo tanto, mayor en la parte externa que en la parte interna de la curvatura.

C. Gherardelli

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3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

56

Ejemplo Para el flujo ideal, incompresible y permanente de la figura describa la variaci´on de la presi´on entre los puntos (1) y (2) y (3) y (4).

C. Gherardelli

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3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

57

Aplicaciones Una de la aplicaciones importantes de las ecuaciones vistas anteriormente es la posibilidad de medir la velocidad de un flujo a trav´es de la medici´on de diferencias de presi´on. Una forma sencilla de lograr esto es la que se muestra en la figura. Se pide evaluar la velocidad de una part´ıcula que pasa por punto 1, V1 si la linea de corriente de dicha part´ıcula es horizontal y pasa por el punto 2.

C. Gherardelli

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3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

58

Ley de vaciado de un estanque Determinar la velocidad del l´ıquido a la salida del estanque suponiendo que el nivel del estanque se mantiene constante y la viscosidad del l´ıquido es despreciable. Rehaga el an´alisis para el caso en que el estanque baja de nivel.

C. Gherardelli

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3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

59

Ejemplo A trav´es del Venturi de la figura circula Kerosene (SG=0.85). El rango de flujos de Kerosene se encuentra entre 0.005 y 0.050 m3/s. Determinar la variaci´on de presiones asociada.

C. Gherardelli

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3.3 Cantidad de Movimiento Lineal

60

Ejemplo Para el sif´on de la figura determine la altura m´axima H tal que no se produzca cavitaci´on si el l´ıquido es agua y se encuentra a 60◦ F (ps=0.256 psia). Patm=14.7 psia.

C. Gherardelli

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3.4 Flujo Potencial

3.4

61

Flujo Potencial

Se analizar´a en ´este cap´ıtulo un tipo particular de flujo o escurrimiento denominado flujo potencial. Este tipo de flujo se denomina as´ı ya que es posible definir una funci´on potencial φ mediante la cual se puede representar el campo de velocidades. La condici´on necesaria para ~ = 0. Si la existencia de la funci´on potencial es que el flujo sea irrotacional, es decir, ∇ × V bien la condici´on de irrotacionalidad en un flujo es dif´ıcil de encontrar existen, en algunos flujos, zonas las cuales pueden ser tratadas como si el flujo fuese irrotacional. Para que una part´ıcula fluida, originalmente sin rotaci´on, comience a rotar se requiere de un esfuerzo de corte. Como se vio anteriormente los esfuerzos de corte τ est´an asociados a la viscosidad µ y los gradientes de velocidad en la direcci´on normal al desplazamiento (∂V /∂n). Para fluidos de viscosidad baja, como el aire por ejemplo, los esfuerzos de corte estar´an asociados principalmente a la existencia de gradientes de velocidad. En las regiones del flujo donde no existan gradientes de velocidad el flujo podr´a ser considerado como irrotacional. De particular inter´es es el estudio de flujo alrededor de cuerpos s´olidos inmersos en un flujo, como un perfil alar por ejemplo. Sobre la pared del cuerpo, y por el principio de adherencia, el fluido tendr´a una velocidad relativa al cuerpo nula. A medida que uno se separa del cuerpo la velocidad del fluido aumenta aproxim´andose a la velocidad de la corriente libre a partir de una cierta distancia, a partir de la cual pr´acticamente no existen gradientes de velocidad. La zona cercana al cuerpo es una zona de grandes gradientes de velocidad y por lo tanto una zona donde los esfuerzos de corte son importantes. Esta zona se denomina capa l´ımite y ser´a estudiada en el cap´ıtulo 7. En la zona fuera de la capa l´ımite los gradientes de velocidad desaparecen y con ellos los esfuerzos de corte, por lo que el flujo puede ser considerado como irrotacional.

Figura 3.9: Flujo irrotacional y capa l´ımite sobre un cuerpo.

Adem´as de la condici´on de irrotacional se supondr´a que el fluido es incompresible (ρ = cte), el flujo es permanente (∂/∂t = 0), y se analizar´an solamente flujos bidimensional, es decir un flujo donde las propiedades y caracter´ısticas del flujo son independientes de una de las coordenadas espaciales (2D).

3.4.1

Funci´ on potencial φ

De la condici´on de irrotacionalidad de un flujo se obtiene que ∂Vy ∂Vz = ∂y ∂z ∂Vz ∂Vx = ∂z ∂x

C. Gherardelli

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3.4 Flujo Potencial

62

∂Vy ∂Vx = ∂x ∂y Analizando ´estas relaciones se ve que las componentes de la velocidad se pueden expresar mediante una funci´on escalar φ(x, y, z) tal que Vx =

∂φ ∂x

Vy =

∂φ ∂y

Vz =

∂φ ∂z

La funci´on φ se denomina funci´on potencial de velocidades y se cumple que ~ = ∇φ V Reemplazando la relaci´on anterior en la ecuaci´on de continuidad para un flujo incompresible se obtiene ~ = ∇ · ∇φ = 0 ∇·V ∇2 φ = 0 que se conoce como ecuaci´on de Laplace. En coordenas rectangulares la ecuaci´on anterior queda ∂2φ ∂2φ ∂2φ + 2 + 2 =0 ∂x2 ∂y ∂z Una caracter´ıstica importante de la ecuaci´on de Laplace es que es una ecuaci´on en derivadas parciales lineal, lo que implica que si φ1 y φ2 son soluciones o satisfacen la ecuaci´on ∇2 φ = 0, entonces φ3 = φ1 + φ2 ser´a tambi´en soluci´on de la ecuaci´on de Laplace. Esta caracter´ıstica permite generar diferentes tipos de flujos a partir de otros conocidos superponiendo las funciones potenciales respectivas. Esto se conoce como superposici´on de flujos.

3.4.2

Funci´ on de corriente ψ

~ = 0, que en La ecuaci´on de continuidad para un flujo incompresible y permanente es ∇ · V coordenadas cartesianas y para un flujo bidimensional resulta ∂Vx ∂Vy + =0 ∂x ∂y Analizando la ecuaci´on anterior se ve que es posible definir una funci´on ψ = ψ(x, y), llamada funci´on de corriente, tal que Vx =

∂ψ ∂y

C. Gherardelli

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63

3.4 Flujo Potencial

Vy = −

∂ψ ∂x

Reemplazando en la ecuaci´on de continuidad. se obtiene ∂ ∂x



∂ψ ∂y



∂ ∂ψ + − ∂y ∂x 



=0

∂2ψ ∂2ψ − =0 ∂x∂y ∂y∂x de donde vemos que ψ satisface la ecuaci´on de continuidad. Obtenemos de ´esta manera nuevamente una reducci´on del n´ umero de funciones necesarias para representar el campo de velocidades. Se ve adem´as, de la ecuaci´on anterior, que la funci´on de corriente satisface tambi´en la ecuaci´on de Laplace ⇒ ∇2 ψ = 0 Las l´ıneas para las cuales la funci´on de corriente es constante son las l´ıneas de corriente. Diferenciando ψ se obtiene ∂ψ ∂ψ dx + dy = 0 ∂x ∂y

dψ = ⇒

−Vy dx + Vx dy = 0 Esta ecuaci´ on representa, como se vio anteriormente, la ecuaci´on para las l´ıneas de corriente. La variaci´on del valor de la funci´on de corriente, entre dos l´ıneas de corriente, esta relacionado con el caudal que pasa entre ellas. La ecuaci´on de continuidad aplicada a la figura queda dq = Vx dy − Vy dx Introduciendo la funci´on de corriente

q Vydx

y 2

Vxdy y 1

Caudal entre l´ıneas de corriente. dq =

∂ψ ∂ψ dy + dx = dψ ∂y ∂x

Integrando entre ψ1 y ψ2 se obtiene Zψ2

q=

Zψ2

dq = ψ1

dψ ψ1

⇒ q = ψ2 − ψ1 C. Gherardelli

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64

3.4 Flujo Potencial

Se ve que la diferencia del valor de la funci´on de corriente entre dos l´ıneas de corriente es igual al caudal volum´etrico, por unidad de profundidad, que pasa entre las dos l´ıneas. Para una l´ınea de corriente se tiene que 

dy dx



= ψ=cte

Vy Vx

que representa la pendiente de las l´ıneas de corriente. La pendiente de las l´ıneas equipotenciales, es decir las l´ıneas para las cuales φ = cte, resulta de igualar a cero el diferencial de φ, es decir dφ =

∂φ ∂φ dx + dy = 0 ∂x ∂y

Vx dx + Vy dy = 0 ⇒ 

dy dx



=− φ=cte

Vx Vy

Multiplicando ambas pendientes se obtiene 

dy dx



dy dx





· ψ=cte

dy dx



= −1 φ=cte

o 

dy =− dx ψ=cte 

−1 φ=cte

lo cual indica que la intersecci´on de las l´ıneas equipotenciales y las l´ıneas de corriente ocurre formando un ´angulo recto, es decir φ y ψ son perpendiculares entre si. Esta condici´on se utiliza para representar un flujo gr´aficamente mediante una malla formada por las l´ıneas de corriente y las equipotenciales.

3.4.3

Circulaci´ on

La circulaci´ on se define como la integral de l´ınea, sobre una curva cerrada, de la componente tangencial de la velocidad a lo largo de la curva, es decir, I

Γ=

ds

V

~ · d~s V

c

c

Aplicando el teorema de Stokes se obtiene adem´as que Circulaci´on. Z

Γ=

~ ) · dA ~ (∇ × V

A

~ = 0, entonces no existir´a circulaci´on. Como se ver´ Se ve que si el flujo es irrotacional, ∇ × V a mas adelante la circulaci´on posee gran importancia en la teor´ıa de la sustentaci´on. C. Gherardelli

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65

3.4 Flujo Potencial

En coordenadas cil´ındricas la ecuaci´on de Laplace para la funci´on de corriente, la ecuaci´on de continuidad y las componentes de la velocidad se expresan respectivamente por las siguientes relaciones ∇2 ψ =

1 ∂ ∂ψ r r ∂r ∂r 



+

1 ∂2ψ =0 r2 ∂θ2

1 ∂ 1 ∂Vθ (r Vr ) + =0 r ∂r r ∂θ Vr =

1 ∂ψ ∂φ = r ∂θ ∂r

Vθ = −

3.4.4

∂ψ 1 ∂φ = ∂r r ∂θ

Aplicaciones

Flujos simples Se presentar´an a continuaci´on algunos flujos bidimensionales sencillos y sus correspondientes funciones de corriente y potenciales. Flujo uniforme El flujo m´as sencillo es aquel que tiene l´ıneas de corriente rectas y paralelas y donde la magnitud de la velocidad es constante. Este tipo de flujo se llama flujo uniforme.

y

U f

1

f 2

f 3

f

y

4

y 4

y 3

y 2

y 1

U

f 1

f 2

f 3

f

y 4

4

y 3

y

y 1

a

x (a) Flujo uniforme paralelo a x

2

x (b) Flujo uniforme inclinado

Figura 3.10: Flujo uniforme

Si la velocidad del flujo (U ) es paralela al eje x se tendr´a adem´as que Vx = U y Vy = 0. De las relaciones anteriormente vistas para la funci´on potencial se obtiene que ∂φ =U ∂x

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66

3.4 Flujo Potencial

y ∂φ = 0. ∂y Integrando se obtiene φ=Ux+C, donde C es una constante de integraci´on que elegimos arbitrariamente igual a cero (C = 0) ⇒ φ=Ux. Se ve que las l´ıneas equipotenciales son paralelas al eje y. La funci´on de corriente correspondiente al flujo uniforme se obtiene a partir de ∂ψ =U ∂y y ∂ψ =0 ∂x ⇒ ψ=Uy que son l´ıneas paralelas al eje x. φ y ψ se pueden apreciar en la figura 3.10(a) para un flujo uniforme paralelo al eje x. Si el flujo forma un ´angulo α c/r al eje x se obtienen las siguientes funciones de corriente y potencial respectivamente (figura 3.10(b)) ψ = U (y cos α − x sin α) , φ = U (x cos α + y sin α) . Fuente y sumidero Consideraremos ahora un fluido que fluye en forma radial a partir de un punto y en todas las direcciones. Si q es la raz´on volum´etrica de fluido, por unidad de profundidad, que sale de la fuente, por conservaci´on de la masa se debe cumplir que 2 π r Vr = q ,

y q q

r

x

de donde se puede despejar Vr Fuente/sumidero. Vr =

q . 2πr

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67

3.4 Flujo Potencial

Como el flujo es radial se cumple adem´as que Vθ = 0. ⇒ ∂φ q = ∂r 2πr y 1 ∂φ =0 r ∂θ de donde φ=

q ln r 2π

que representa la ecuaci´on de una familia de c´ırculos conc´entricos centrados en el origen. Si q es positivo entonces el flujo es radial hacia afuera y se denomina fuente. Si q es negativo el flujo es radial hacia adentro y se denomina sumidero. El caudal q se denomina intensidad de la fuente o sumidero. La funci´on de corriente se obtiene de 1 ∂ψ q = Vr = r ∂θ 2πr y

y

=y

cte

∂ψ =0 ∂θ

f=

⇒ ψ=

cte

x

q θ 2π

que representa una familia de l´ıneas radiales. L´ıneas de corriente y equipotenciales.

V´ ortice libre o irrotacional En ´este tipo de flujo las l´ıneas de corriente son c´ırculos conc´entricos1 como se muestra en la figura. Para ´este caso se tiene que Vr = 0 y Vθ = Vθ(r) . Las funciones potencial y de corriente que se obtiene para ´este caso son φ=Kθ

y

Vq q

=y

r

f=

cte

y

x

cte

ψ = −K ln r , V´ortice libre. 1

Dado que el flujo esta representado por un potencial de velocidades el flujo debe ser irrotacional. Esto puede generar confusi´ on con el tipo de flujo. Debe recordarse que la rotacionalidad esta relacionada con el cambio de orientaci´ on de una part´ıcula fluida y no con la trayectoria seguida por la part´ıcula.

C. Gherardelli

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68

3.4 Flujo Potencial

donde K es una constante. La velocidad Vθ se obtiene de Vθ =

∂ψ 1 ∂φ =− r ∂θ ∂r

Vθ =

K . r

⇒

Se ve que la velocidad var´ıa inversamente proporcional con la distancia al centro, es decir, si r ↑ entonces Vθ ↓ y viceversa. Ejemplos que pueden ser aproximados mediante ´este tipo de flujo son el tornado y el flujo de agua saliendo por un drenaje. Se puede demostrar que K=

Γ 2π

donde Γ es la circulaci´on sobre una curva que encierra el origen. La circulaci´on ser´a distinta de cero ya que el origen representa una singuralidad dentro del flujo donde V → ∞. Sobre una curva que no encierre al origen la circulaci´on ser´a cero (Γ = 0). Se obtiene por lo tanto φ=

Γ θ 2π

y ψ=−

Γ ln r . 2π

Doblete La combinaci´on de una fuente y un sumidero, de igual intensidad, separados por una distancia infinitesimal origina lo que se denomina doblete. Para la fuente y el sumidero, separados por una distancia 2a la funci´on de corriente esta dada por

y r1

q

q ψ = − (θ1 − θ2 ) . 2π

r q

a

1

q

-q

r2 q 2

x

a

Fuente y sumidero.

Expresando la funci´on anterior en funci´on del ´angulo θ se obtiene q 2ar sin θ ψ = − tan1 2π r2 − a2 



.

Para valores peque˜ nos de a la ecuaci´on anterior queda ψ=−

qar sin θ . π(r2 − a2 )

El doblete se obtiene haciendo tender a → 0 y q → ∞ de tal forma que el producto (qa/π) sea constante. Para este caso se obtiene que r2

1 r → 2 −a r

C. Gherardelli

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69

3.4 Flujo Potencial

y=

cte

de donde ψ=−

k sin θ r

donde k = qa/π se denomina intensidad del doblete. El potencial de velocidades asociado al doblete resulta φ=

3.4.5

k cos θ . r

Lineas de corriente.

Superposici´ on de Flujos

Como se mencion´o anteriormente los flujos potenciales est´an gobernados por la ecuaci´on de Laplace. Esto significa que se pueden combinar diferentes flujo potenciales para formar otros de inter´es. Otro punto que se debe recordar es que a trav´es de una l´ınea de corriente no existe flujo por lo que puede ser considerada como una pared s´olida. Lo anterior indica que si se logran combinar distintos tipos de flujo de tal manera que una l´ınea de corriente tenga la forma de un cuerpo particular, se puede analizar anal´ıticamente el flujo que se establece alrededor del cuerpo. Este m´etodo se denomina superposici´on. A continuaci´on se ver´an algunos ejemplos simples de superposici´on. Fuente y flujo uniforme

y

U

La funci´on de corriente y la funci´on potencial para la superposici´on del flujo uniforme y la fuente esta dado por ψ = ψuniforme + ψfuente

Punto de estancamiento

q

r

q

x

b

Flujo uniforme y fuente. ⇒ ψ = U r sin θ +

q θ, 2π

φ = U r cos θ +

q ln r . 2π

En alg´ un punto del eje x (negativo) la velocidad de la fuente se anular´a con la del flujo uniforme y se formar´a, por lo tanto, un punto de estancamiento. Para la fuente se tiene que Vr = q/2πr por lo que el punto de estancamiento es tal que en x = −b, U = q/2 π r ⇒ b=

q . 2πU

(3.24)

Evaluando ψ para r = b y θ = π se obtiene ψestancamiento =

C. Gherardelli

q = πbU . 2

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70

3.4 Flujo Potencial

Graficando estos resultados vemos como ´esta combinaci´on de flujos puede ser utilizada para analizar el flujo sobre un cuerpo inmerso en un flujo uniforme. Para esta combinaci´on el cuerpo es como el que muestra la figura, el cual se encuentra abierto aguas abajo. Con la funci´on de corriente conocida se puede obtener el campo de velocidades en cualquier parte del flujo.

punto de estancamiento

L´ıneas de corriente. Vr =

1 ∂ψ q = U cos θ + r ∂θ 2πr

y Vθ = −

∂ψ = −U sin θ ∂r

de donde el cuadrado del m´odulo de la velocidad resulta 2

Vr2

2

2

V =

V =U

+

Vθ2

U q cos θ =U + + πr 2

b b2 1 + 2 cos θ + 2 r r



q 2πr

2

!

.

Conocida la velocidad es posible determinar adem´as el campo de presiones, utilizando la ecuaci´ on de Bernoulli entre dos puntos cualesquiera del flujo ya que el flujo es irrotacional. Por ejemplo, entre un punto lejano del cuerpo, o de la fuente, donde V = U y p = p0 y despreciando las variaciones de z se obtiene 1 1 p0 + ρU 2 = p + ρV 2 2 2 de donde se puede despejar la presi´on p b b2 1 p = p0 − U 2 2 cos θ + 2 2 r r

!

.

Doblete y flujo uniforme La superposici´on de un flujo uniforme con un doblete genera el flujo alrededor de un cilindro. La funci´on de corriente y la funci´on potencial son, respectivamente, las siguientes ψ = U r sin θ −

k sin θ r

φ = U r cos θ +

k cos θ , r

y

donde k es la intensidad del doblete. Para que el cuerpo que se genera con esta superposici´ on sea un cilindro se debe cumplir que ψ = cte para r = a, donde a es el radio del cilindro. Sobre la C. Gherardelli

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71

3.4 Flujo Potencial

superficie del cilindro, o sobre la l´ınea de corriente que representa el cilindro, se cumple adem´ as que Vr = 0 ∀ θ ⇒ 1 ∂ψ k Vr = = U− 2 r ∂θ r 



r cos θ = 0 ,

de donde 

U−

k r2



=0 r=a

⇒ k = U a2 . y = cte

Reemplazando en ψ y en φ se obtiene !

ψ=Ur

a2 1− 2 r

!

φ=Ur

a2 1+ 2 r

sin θ ,

cos θ . L´ıneas de corriente para un cilindro.

Se ve que para r = a, ψ = 0. En los puntos de estancamiento se cumple que Vθ = 0 ⇒ 1 ∂φ Vθ = = −U r r ∂θ

a2 1+ 2 r

!

sin θ = 0

de donde sin θ = 0 o θ = ±π. Sobre la superficie del cilindro, es decir, para r = a, se tiene que Vθ = −2U sin θ de donde las velocidades m´aximas se obtiene para θ = ±π/2 ⇒ Vθ,m´ax = Vθ (θ = ±π/2) = 2 U . La distribuci´on de presiones en la superficie del cilindro (ps ) se obtiene utilizando la ecuaci´ on de Bernoulli y resulta 1 ps = po + ρU 2 (1 − 4 sin2 θ) 2 Integrando la presi´on ps sobre el manto del cilindro se puede obtener tanto la fuerza horizontal o arrastre y la fuerza vertical o sustentaci´on a la cual est´a sometido el cilindro. Para este caso, y dada la simetr´ıa del flujo que se genera en torno al cilindro como se puede ver de la figura, ambas fuerzas tendr´an un valor cero. V´ ortice, doblete y flujo uniforme La funci´on de corriente y la funci´on potencial para esta superposici´on de flujos son a2 ψ = Ur 1 − 2 r C. Gherardelli

!

sin θ −

Γ ln r 2π U. de Chile

72

3.4 Flujo Potencial

a2 φ = Ur 1 + 2 r

!

cos θ −

Γ θ 2π

respectivamente, donde Γ es la circulaci´on. Se puede ver que para r = a, ψ = cte por lo que el cuerpo generado es, al igual que el caso anterior, un cilindro de radio a. La diferencia es que el cilindro generado por esta superposici´on se encuentra girando en el sentido de giro del v´ortice libre. La velocidad tangencial sobre la superficie (Vθ,s ) toma ahora el siguiente valor Vθ,s = −

∂ψ Γ = −2U sin θ + . ∂r 2πa

La forma que adquiere el flujo, y por lo tanto la forma que tienen las l´ıneas de corriente, dependen de la intensidad del v´ortice. La posici´on de el/los puntos de estancamiento en la superficie de cilindro se encuentran imponiendo la condici´on Vθ = 0 ⇒ sin θestanc. =

Γ 4πU a

En la figura 3.11 se muestran las diferentes posibilidades que se pueden presentar, de acuerdo al Γ Γ valor de 4πU a . Se ve que si 4πU a > 1 entonces el punto de estancamiento no se encuentra sobre el cilindro ya que sin θestanc. > 1 no tiene soluci´on.

G <1 4p Ua

G=0

punto de estancamiento

G =1 4p Ua

G >1 4p Ua

Figura 3.11: L´ıneas de corriente y puntos de estancamiento para diferentes valores de (Γ/4πU a).

La presi´on sobre la superficie se encuentra utilizando al ecuaci´on de Bernoulli y resulta 1 2Γ sin θ Γ2 ps = p0 + ρU 2 1 − 4 sin θ2 + − 2 2 2 2 πaU 4π a U C. Gherardelli

!

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3.4 Flujo Potencial

73

La fuerza por unidad de longitud que se desarrolla sobre el cilindro se obtiene integrando ps sobre el cilindro. Dada la simetr´ıa vertical del flujo sobre el cilindro el arrastre es cero. La sustentaci´on, por unidad de longitud, resulta FS = −ρ U Γ . Se puede apreciar que la fuerza de sustentaci´on apunta, para ´este caso, hacia abajo y que depende de la densidad y velocidad del flujo libre y de la circulaci´on alrededor del cilindro. Si Γ = 0 entonces se tendr´a que FS = 0. Para un cilindro girando en el sentido de giro del reloj, la fuerza de sustentaci´on apuntar´a hacia arriba.

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3.4 Flujo Potencial

74

Ejemplo Suponga que el flujo que se genera sobre un hangar de secci´on semicircular de di´ametro D = 6 m y largo L = 18 m se puede aproximar por el flujo potencial que se genera alrededor de un cilindro con θ ∈ [0, π]. Durante una tormenta el viento alcanza una velocidad U = 100km/h y la temperatura exterior es de 5◦ C. Si la presi´on dentro del hangar es igual a p0 = 720 mmHg, se pide que determine la fuerza neta sobre el hangar que trata de levantarlo de sus fundaciones.

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3.4 Flujo Potencial

75

Ejemplo Se pide determinar el campo de velocidades que se obtiene mediante la superposici´on de dos fuentes de igual intensidad q separadas por una distancia 2l. Para un plano de simetr´ıa entre las dos fuentes se pide determinar la velocidad del flujo a trav´es del plano. Dado el resultado anterior, que situaci´on real se podr´ıa representar mediante esta superposici´on? Para el plano de simetr´ıa se pide determinar el campo de velocidades y de presi´on sobre el plano.

C. Gherardelli

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3.4 Flujo Potencial

76

Ejemplo Un flujo potencial que fluye contra una placa plana se puede describir mediante la funcion de corriente Ψ = A xy donde A es una constante. Este tipo de flujo permite describir aceptablemente el flujo en la vecindad de un punto de estancamiento. Superponiendo una fuente de intensidad m en el origen O se obtiene el flujo sobre una placa plana con una protuberancia. Determine la relaci´on entre la altura h, la constante A y la intensidad de la fuente m.

C. Gherardelli

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3.4 Flujo Potencial

77

Ejemplo El flujo bidimensional de un fluido ideal e incompresible (ρ = 1000 kg/m3 ) en la vecindad de una esquina recta se puede describir mediante la funci´on de corriente Ψ = 2r2 sin(2θ), donde Ψ tiene unidades de m2 /s, r se expresa en metros. Determine la funci´on potencial correspondiente. Si la presi´on en el punto (1) de la pared es 30 kPa, cual es la presi´on en el punto (2). Asuma que el plano xy es horizontal.

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