Math05.-deret.pptx

05. D E R E T MATEMATIKA EKONOMI

1

PTE 4109, Agribisnis UB

MATERI YANG DIPERLAJARI Deret Hitung - Suku ke-n dari DH - Jumlah n suku  Deret Ukur - Suku ke-n dari DU - Jumlah n suku Dan penerapannya dalam dunia ekonomi 

2

PTE 4109, Agribisnis UB

DEFINISI  Deret

: Rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu.  Suku : Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk deret.  Macam-macam deret : - Deret Hitung - Deret Ukur - Deret Harmoni 3

PTE 4109, Agribisnis UB

1. DERET HITUNG Deret hitung : deret yang perubahan sukusukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung dinamakan pembeda (simbol=b), yang tak lain adalah selisih antara nilai dua suku yang berurutan. Contoh : 5, 10, 15, 20, 25, 30 (pembeda 5) 90, 80, 70, 60, 50, 40 (pembeda -10)

4

PTE 4109, Agribisnis UB

SUKU

KE-N DARI

DERET HITUNG

5, 10, 15, 20, 25, 30 S1, S2, S3, S4, S5, S6 S1 = 5 = a S2 = 10 = a + b = a + (2 - 1)b S3 = 15 = a + 2b = a + (3 - 1)b S4 = 20 = a + 3b = a + (4 - 1)b S5 = 25 = a + 4b = a + (5 - 1)b S6 = 30 = a + 5b = a + (6 - 1)b

Sn = a + (n - 1)b a = suku pertama / s1 b = pembeda n = indeks suku

5

PTE 4109, Agribisnis UB

CONTOH DERET HITUNG S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8, S9, S10  4, 7, 10, 13 16, 19, 22, 25, 28, 31 Tentukan 1. S7 = …. 2. S6 = …. 3. S50 =… Jawab Sn= a+(n-1)b b=3 1. S6 = 4+ (6-1) 3 = 4+ (5x3) = 4+ 15 = 19 

6

PTE 4109, Agribisnis UB

JUMLAH N SUKU  Jumlah

sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tidak lain adalah jumlah nilai suku-sukunya. n

J n   S i  S 1  S 2  ...........  S n i 1 4

J 4   S i  S1  S 2  S 3  S 4 i 1 5

J 5   S i  S1  S 2  S 3  S 4  S 5 i 1 6

J 6   S i  S1  S 2  S 3  S 4  S 5  S 6 i 1

7

PTE 4109, Agribisnis UB

Berdasarkan rumus suku ke-n  Sn = a + (n - 1)b, maka dapat diuraikan J4 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) = 4a + 6b J5 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) = 5a + 10b J6 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b) = 6a + 15b

8

PTE 4109, Agribisnis UB

Masing-masing Ji dapat ditulis

4  J 4  4a  6b  4a  (4  1)b  2  5 n  J 5  5a  10b  5a  (5  1)b  J n  na  (n  1)b 2 2  6  J 6  6a  15b  6a  (6  1)b 2  n atau J n  2a  (n  1)b 2

n  a  a  (n  1)b 2 n  (a  S n ) 2

Sn 9

PTE 4109, Agribisnis UB

CONTOH JUMLAH SUKU KE-N S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8, S9, S10  4, 7, 10, 13 16, 19, 22, 25, 28, 31 - Dari deret hitung diatas tentukan 1. J8 = …. 2. J3 = …. 3. J14 = …. 

10

PTE 4109, Agribisnis UB

Jika diketahui - S6 = 74 - S10 = 90 Hitunglah suku pertamanya dan pembedanya dan berapa suku15 Jawab: Dik S6 =74 S10 = 90 Dit S1= a = …. b = …. S15 = …. 11

PTE 4109, Agribisnis UB

TUGAS

Perusahaan ABC berproduksi pada bulan ke 6 sebanyak 190 unit. Jumlah produksi hingga bulan ke enam sebanyak 840 unit. Hitunglah nilai produksi pada bulan pertama dan pada bulan ke 8 Jawab Dik S6 =190 J6 = 840 Dit S1 =… S8 =… 12

PTE 4109, Agribisnis UB

DERET UKUR  Deret

ukur : deret yang perubahan sukusukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu.  Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda. (simbolnya = p) Contoh 5, 10, 20, 40, 80, 160 (pengganda 2) 512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda 0,5) 13

PTE 4109, Agribisnis UB

SUKU KE-N DARI DERET UKUR S1  5  a

 2 1  S 2  10  ap  ap  S 3  20  app  ap 2  ap 31   n-1 S  ap 3 4 1  n S 4  40  appp  ap  ap  4 5 1  S 5  80  apppp  ap  ap  S 6  160  appppp  ap 5  ap 6 1   a  suku pertama p  pengganda 14 n  indeks suku PTE 4109, Agribisnis UB

CONTOH S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8,…  4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,… Dari deret ukur diatas, tentukan: 1. S4 = …. 2. S6 = …. 3. S11 = …. 

15

PTE 4109, Agribisnis UB

JUMLAH N SUKU n

J n   Si  S1  S 2  S3  S 4 ...........  S n i 1

berdasarka n rumus S n  ap n-1 maka : J n  a  ap  ap 2  ap 3  .......  ap n 1

(1)

jika dikalikan dengan bilangan pengganda p, maka : pJ n  ap  ap  ap  ap  .......  ap 2

3

4

n 1

selisih antara persamaan (1) dan persamaan (2)

 ap

n

(2) 16

PTE 4109, Agribisnis UB

selisih antara persamaan (1) dan persamaan (2)

J n  pJ n  a  ap

n

J n (1  p)  a(1  p ) n

a(1  p ) a( p  1) Jn  atau J n  1 p p 1 n

p 1

n

p 1 17

PTE 4109, Agribisnis UB

SOAL Pengganda sebuah deret ukur diketahui sebesar 5. Jika suku ke enamnya adalah 6.250, hitunglah:  S1= ….  S8= ….  J3= ….  J5= …. 

18

PTE 4109, Agribisnis UB

MODEL PERKEMBANGAN USAHA 

Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha, misalnya : produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja dll. Memiliki pola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat diterapkan dalam menganalisis perkembangan vaiabel tersebut.

• Pelajari Kasus 1 dan 2

19

PTE 4109, Agribisnis UB

MODEL BUNGA MAJEMUK 

Modal pokok P dibungakan secara majemuk, suku bunga pertahun i, maka jumlah akumulatif modal F setelah n tahun adalah: setelah 1 tahun : F1  P  P.i  P (1  i ) setelah 2 tahun : F2  P (1  i )  P (1  i )i  P(1  i ) 2 setelah 3 tahun : F3  P (1  i ) 2  P (1  i ) 2 i  P (1  i ) 3 setelah n tahun : Fn  (.........)  (..........)  P (1  i ) n

• Jumlah di masa datang dari jumlah sekarang :

Fn  P(1  i ) n

S n  ap n-1

Bunga dibayar 1x setahun 20 PTE 4109, Agribisnis UB

 Bila

bunga dibayar lebih sekali dalam setahun, misal m kali, maka : i mn Fn  P (1  ) m

m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun

Suku (1+i) dan (1 + i/m) disebut “faktor bunga majemuk” (compounding interest factor), yaitu suatu bilangan yang lebih besar dari 1, yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa mendatang dari suatu jumlah sekarang. 21

PTE 4109, Agribisnis UB

 Dengan

manipulasi matematis, bisa diketahui nilai sekarang (present value) :

1 P F n (1  i)

1 atau P  F mn (1  i / m)

Suku 1/(1+i)n dan 1/(1+i/m)mn dinamakan “faktor diskonto” (discount factor), yaitu suatu bilangan lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa datang.

22

PTE 4109, Agribisnis UB

MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUK Pt = P1 R t-1 Dimana R =1+r P1 = jumlah pada tahun pertama (basis) Pt = jumlah pada tahun ke-t r = persentase pertumbuhan per-tahun t = indeks waktu (tahun)

23

PTE 4109, Agribisnis UB

TERIMAKASIH Selamat Belajar

24

PTE 4109, Agribisnis UB