Mae 462

MAE 462 Homework 1 J. Murray Problem 1:  1 3.2  1 3.2 1 0 A=   = − 4 2  − 4 2 0 1 .25R2 + R1 1 3.2 1 0  1.15625 R1 − R2 =  0 3.7 1 .25 1.15625 0 .15625 − .25 = 3.7 1 .25   0

1 0 .135135 − .216216 = .067568  0 1 .27027 .1351 − .2162 Inverse of A=   .2703 .0676 

1 3  2 1 2    B =  − 4 2 1  = − 4 2  7 − 1 2  7 − 1 2 1  = 0 4 0 − 4.5

0 0 7 2 1 0 − 8.5 − 3.5 0 1 R3 + 1.125 R1 3

1

0 R1 − .25 R2 4 7 2 1 0 0 − .625 − 1.25 1.125 1

2  = 0 0 2  = 0 0

1

2  = 0 0 2  = 0 0

0

1  = 0 0 −1 Inverse of B= − 3  2

3 1 0 0 1 0 1 0 R2 + 2 R1 2 0 0 1 R3 + 3.5 R1

3

1

0

0 R1 + 2 R3 4 7 2 1 0 0 − .625 − 1.25 1.125 1 0

.5

− .25

−2

2

−2

2

1.25

2 4 7 2 1 0 R2 + 11.2 R3 0 − .625 − 1.25 1.125 1  0

2  4 0 − 12 13.6 11.2 0 − .625 − 1.25 1.125 1  0

0

0 0 −1

1  1 0 − 3 3 .4 2.8  0 1 2 − 1.8 − 1.6

1  − 3.4 2.8  − 1.8 − 1.6 1

1

Problem 2: A = λI − A λ 0  7 1  = −   0 λ   2 − 4 λ − 7 − 1  =   − 2 λ + 4 Det ( A) = (λ − 7)(λ + 4) − (−1)(−2) = 0

Det ( A) = λ2 − 3λ − 30 = 30 Eigevalues = 7.1789,−4.17891

 7 1  1 0  x  0 − 7.17891      y  = 0  2 − 4 0 1          1 − .17891   x  0  =  2 − 11.1789  y  0  y =1  .98429  .176112   .984 Eigenvector =   .176  7 1  1 0    x  0  − −4.1789      =   0 1    y  0   2 − 4 1   x  0  11.1789 =  2 .17891  y  0  y =1 − .0895  1    − .089 Eigenvector =    .996 

B = λI − B Det ( B ) = (λ − −4)(λ − 1) = 0 Eigenvalues = −4,1

 − 4 2 1 0  x  0 − 4      =   0 1    y  0   0 1 0 2   x  0  0 4   y  = 0       1  Eigenvector =   0   − 4   0 − 5 0 

2 1 0  x  0 −1 =  1 0 1  y  0 2   x  0  = 0  y  0 .928 Eigenvector =   .371

Problem 3: r r a) f ( x ) = x ( Ax ) rT r rT df r = ( Ax ) x Let Ax =m dx r df r = mx dx =m r r = Ax T + AT x T r = x T ( A + AT )

b)

+ + +

df r T r r r r = x ( Ax ) Let Ax = y dx df r T r r=x y dx r = yT

d 2 f rT T r2 = x (A + A ) dx = ( A + AT )

Problem 4: v r x • y = ( x1i + x 2 j + x3k ) • ( y1i + y 2 j + y 3k )

= x1 y1 + x 2 y 2 + x3 y 3 r i r r  x ⊗ y =  x1  y1 

r k  x 2 x3  y 2 y 3  x3   x1 i− y 3   y1 r j

x3   x x3  r r x x⊗y = 2 j+ 1  k y3   y2  y1 y 3  r r x ⊗ y = ( x2 y3 − x3 y 2 )i − ( x1 y3 − x3 y1 ) j + ( x1 y 2 − x 2 y1 )k r r r i j k  x x2     x 2 x3   x1 x3  i− j+ 1    x1 x 2 x3  = det =  y k y y y y y 2 3 1 3  1 2       y1 y 2 y 3    r i   x1  y1 

r j x2 y2

r k  x3  = ( x 2 y 3 − x3 y 2 )i − ( x1 y 3 − x3 y1 ) j + ( x1 y 2 − x 2 y1 )k y3 

Problem 5:

a) right side r r r r x • ( y ⊗ z ) = x • [( y 2 z 3 − y 3 z 2 )i − ( y1 z 3 − y 3 z1 ) j + ( y1 z 2 − y 2 z1 )k ] = ( x1 y 2 z 3 − x1 y 3 z 2 )i − ( x 2 y1 z 3 − x 2 y 3 z1 ) j + ( x 3 y1 z 2 − x3 y 2 z1 )k left side  x1 y1 z1   x1 x 2 x3  x     2 y 2 z 2  =  y1 y 2 y 3   x3 y 3 z 3   z1 z 2 z 3   x1 x 2 x3  det  y1 y 2 y 3  = ( x1 y 2 z 3 − x1 y3 z 2 )i − ( x 2 y1 z 3 − x 2 y 3 z1 ) j + ( x3 y1 z 2 − x3 y 2 z1 )k  z1 z 2 z 3  b) right side j k i r r r r  x ⊗ ( y ⊗ z ) = x ⊗  y1 y 2 y 3   z1 z 2 z 3  r = x ⊗ [( y 2 z 3 − y 3 z 2 )i − ( y1 z 3 − y 3 z1 ) j + ( y1 z 2 − y 2 z1 )k ] i j k     = x1 x2 x3  ( y 2 z 3 − y 3 z 2 ) ( y1 z 3 − y 3 z1 ) ( y1 z 2 − y1 z1 ) = ( x 2 y1 z 2 − x 2 y 2 z1 + x3 y1 z 3 − x3 y 3 z1 )i + (− x1 y1 z 2 + x1 y 2 z1 + x3 y 2 z 3 − x3 y 3 z 2 ) j + (− x1 y1 z 3 + x1 y 3 z1 − x 2 y 2 z 3 + x 2 y 3 z 2 )k Left side r r r r r r r r ( x • z ) y − ( x • y ) z = ( x1 z1 + x 2 z 2 + x3 z 3 ) y − ( x1 y1 + x 2 y 2 + x3 y 3 ) z  y1   z1    = [x1 z1 x 2 z 2 x3 z 3 ] y 2  − [x1 y1 x 2 y 2 x3 y 3 ] z 2   y 3   z 3  = (( x 2 y1 z 2 + x3 y1 z 3 ) − ( x 2 y 2 z1 + x3 y3 z1 ))i + (( x1 y 2 z1 + x3 y 2 z 3 ) − ( x1 y1 z 2 + x3 y 3 z 2 ))k + (( x1 y 3 z1 + x 2 y 3 z 2 ) − ( x1 y1 z 3 + x 2 y 2 z 3 ))k