a) Definición de derivada de una función en un punto. b) Interpretación geométrica. c) ¿En qué punto la tangente a la parábola y = x2-7x + 3 es paralela a la recta y = 3 - 5x?. Justificar las respuestas.
II. Análisis
• Sol.: c) (1,–3)
II.1 (1989) a) Definir máximos y mínimos absolutos y relativos de una función. b) Sea la función y = 3x + 7. Calcular los máximos y mínimos absolutos y relativos en el intervalo [–2, 4]. • Sol.: b) Mín. (-2,1), Máx. (4,19)
II.2 (1989) Una ventana de forma rectangular está rematada en la parte superior por un triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es igual a P. ¿Cuál debe ser la base del rectángulo para que la ventana tenga la mayor superficie posible? Justificar la respuesta. • Sol.:
2 2 − 4 − P 3
II.3 (1989) Durante la realización de un examen de matemáticas, a Pepito se le agotaron las pilas de la calculadora y necesitaba conocer el valor de log 7. a) Pepito sabía que log 2 = 0,3 y que log 10 = 1. A partir de estos datos, ¿qué valor puede asignar a log 7? b) Posteriormente, Pepito recordó que podía calcular el log 4 a partir del log 2. Con este nuevo dato, ¿qué valor pudo obtener del log 7? Justificar la respuesta y comprobar ambos casos. • Sol.: a) 0.7375; b) 0.8002
II.4 (1989) a) Enunciar la regla de Barrow para calcular áreas. b) Por aplicación de la regla de Barrow, calcular el área del triángulo cuyos vértices son (0, 0), (2, 1) y (3, 3). • Sol.: b) 3/2
II.5 (1989) Hallar un polinomio de segundo grado P(x), tal que P(0) = P(1) = 0; y además sea tal
II.9 (1990) a) Definir los conceptos de continuidad y continuidad lateral de una función en un punto. Interpretar gráficamente dichos conceptos. b) Obtener la expresión y dibujar la gráfica de una función y = f(x) continua que cumpla las siguientes condiciones: - pasa por el punto (0,2); - en el intervalo [0,5], cada vez que x aumenta su valor en una unidad, y aumenta su valor en una cantidad constante c; - para x = 5, y vale 12; - en el intervalo [5,10], cada vez que x aumenta su valor en dos unidades, y disminuye el suyo en tres. Razonar todos los pasos realizados. 2x + 2 39 • Sol.: b) f ( x )= 3 − x+ 2 2
0≤x≤5
si 5 < x ≤ 10
II.10 (1990) a) Obtener la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto, siendo y = f(x) la función que la define y suponiendo f derivable en dicho punto. b) ¿En qué punto de la curva y = ln x, la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (1,0) y (e,1)? (ln x = logaritmo neperiano de x). • Sol.: b) [e–1,ln(e-1)]
II.11 (1990) a) Expresar las ecuaciones de la recta definida por dos puntos y de la recta en la forma punto-pendiente, explicando en esta última los elementos que en ella aparecen. b) Hallar, por integración, el área del triángulo rectángulo de catetos a y b. II.12 (1990) a) Definir función creciente y decreciente en un intervalo. b) Si la función es derivable en un intervalo, ¿cómo puedes reconocer si es creciente o decreciente en dicho intervalo?. c) ¿Para qué valores de k la función f(x) = 7x + k sen 2x es siempre creciente? • Sol.: c) −
1
⌠ que: P( x ) dx = 1 . ⌡0 • Sol.:P(x) = –6x2 + 6x
II.6 (1989) a) Definir composición de funciones. La función f(x) está definida en el intervalo [0,1]. ¿Cuál es el dominio de la función f(2x + 3)? Justificar la respuesta. b) Definir función inversa de una dada. Calcular la inversa de la función y = k/x, con k≠0. Interpretar geométricamente el resultado. • Sol.: a) Dominio: [0, 1] ; b) y = x/k
II.7 (1989) Hallar una curva de segundo grado que pase por los puntos (0,6), (–2,4) y (1,8). Hallar su máximo o mínimo. Representarla gráficamente y calcular el área limitada por dicha curva y el eje OX. • Sol.: y =
1 2 5 5 47 x + x + 6 ; Mín.: − , ; No hay área limitada por la curva y el eje OX 3 3 2 12
7 7
II.13 (1990) Una empresa productora de motocicletas pretende construir una nueva fabrica. Expertos en técnicas de ventas estiman que la función f(x) que expresa la producción de motocicletas en función del tiempo, debe ser tal que su función derivada (es decir el ritmo de crecimiento de la producción), venga dada por: 2x si 0 ≤ x ≤ 5 f ′( x) = 10 si x ≥ 5 expresada en miles de motocicletas/año. a) Representar f´(x) e interpretar su significado en términos del enunciado del problema. b) ¿Qué cantidad de motocicletas se habrán producido en los tres primeros años? ¿Y entre el segundo y el octavo? c) ¿Durante cuántos años deberá mantener su actividad la fábrica hasta producir 75.000 motocicletas? • Sol.: b) 14 000 y 189 000 motos respectivamente; c) 5 años y pico
II.14 (1990)
II.8 (1989) 27
si
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28
Para realizar el transporte público entre dos puntos de una ciudad, una compañía ofrece sus servicios en las siguientes condiciones: -Si el número de viajeros es menor o igual a 20, el billete valdrá 40 pts. por persona. -Si el número de viajeros es mayor que 20, cada uno deducirá de las 40 pts. tantas como viajeros superen las 20 plazas. a) Obtener y representar gráficamente la función ingresos de la compañía según el número de viajeros; ¿admite función inversa? ¿Por qué?. b) Encontrar el número de viajeros que proporciona el mayor beneficio a la compañía. c) Si la compañía estima que en cada viaje debe ingresar al menos 875 pts., determinar el número mínimo y máximo de pasajeros que deben utilizar el transporte. 40 si x ≤ 20 ; b) 30 viajeros; c) Entre 25 y 35 viajeros (a.i.) 60 − x si 20 < x
• Sol.: a) y =
II.15 (1990) En una cierta región, un río tiene la forma de la curva: 1 y = x3 − x2 + x 4 y es cortado por un camino dirigido según el eje OX. a) Dibuja la posición del río y el camino, calculando para la curva: dominio de definición, asíntotas no oblicuas, corte con los ejes coordenados, intervalos de crecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y puntos de inflexión. b) Tomando como unidad el kilómetro y sabiendo que el precio del terreno es de 300.000 ptas. por hectárea, calcular el valor de la porción del terreno comprendido entre el río y el camino. • Sol.: b) 107 ptas.
II.16 (1990) Una empresa editorial ofrece dos tipos de contrato a sus técnicos en ventas, de la forma siguiente: Primer tipo de contrato: 5.000 pts. diarias más 100 pts. de comisión por cada ejemplar vendido. Segundo tipo de contrato: 4.000 pts. diarias más 200 pts. de comisión por cada ejemplar vendido. a) Determinar, en función del número de ejemplares vendidos, cuál de los dos tipos de contrato es más ventajoso para el vendedor durante el primer mes de trabajo (20 días laborables). b) Calcular el número de ejemplares que ha de vender para que los dos tipos de contrato le proporcionen los mismos ingresos. c) Interpretar gráficamente los resultados anteriores (solución gráfica del ejercicio). • Sol.: b) 200 libros
II.17 (1991) Se ha comprobado empíricamente que las ganancias que proporciona cierto juego dependen del tiempo que se esté jugando a través de la expresión: G(x) = 100x/(x2 + 400) (donde x representa el tiempo de juego expresado en minutos). Se pide: a) ¿Cuanto más tiempo se permanezca jugando es mayor la ganancia que se obtiene? Justificar la respuesta. b) Determinar el tiempo de juego que proporciona la mayor ganancia. c) ¿Puede ocurrir que si se sobrepasa cierto tiempo, el juego dé pérdidas (ganancia negativa)? ¿Por qué? • Sol.: b) 20 min; c) no
II.18 (1991) a) Definir el concepto de función primitiva. Sea: 29
f ( x) = x cos( 2x) + 4 encontrar una función F(x) tal que F ′( x) ≡ f ( x) . b) Proponer otra función distinta de F(x) que sea también primitiva de f(x). c) Enunciar la regla de Barrow y aplicarla para calcular la siguiente integral: π/ 2
⌠ f ( x ) dx ⌡0 • Sol.: a)
x sen 2x cos 2x x sen 2x cos 2x 1 + + 4x ; b) + + 4x + 1 c) 2π − 2 4 2 4 2
II.19 (1991) El consumo mensual de naranjas (expresado en kg) de cierta familia se relaciona con el precio de dicho producto (representado por la variable x en pts./kg) según la función: 500 x + 45 si 0 < x < 100 x2 −7 x + 3100 f ( x) = si 100 ≤ x ≤ 400 60 300 si 400 < x x − 250 a) Estudiar la continuidad de f(x) en (0,+∞). b) Deducir razonadamente que el consumo de naranjas es siempre decreciente con el precio. c) Hallar: lím+ f ( x) y lím f ( x) . x→ 0
x→+∞
d) Basándose en los apartados anteriores, representar gráficamente la curva de consumo. • Sol.: a) Presenta dos discontinuidades inevitables de salto finito: en x = 100 (salto: 34.9955) y x = 400 (salto: 3); c) +∞ y 0 respectivamente
II.20 (1991) El gasto mensual en alimentación de las familias de cierta ciudad depende de su renta monetaria según la relación siguiente: 0,6 x + 10 si 0 ≤ x ≤ 100 G( x) = 100 x si 100 < x x + 24 donde la renta y el gasto vienen expresados en miles de pts. a) Basándose en la continuidad, el crecimiento y la existencia de asíntota no oblicua, representar gráficamente G(x). b) Sin hacer ningún calculo, contestar razonadamente si hay alguna familia cuyo gasto mensual en alimentación sea de 66.666 pts.; ¿y de 75.000 pts? c) ¿Hay alguna familia con un gasto mensual en alimentación de 105.000 pts.? ¿Por qué? (NOTA.- Si se precisa trabajar con 100/124, tomar la aproximación 0,80). • Sol.: b) sí, no; c) no
II.21 (1991) Los datos de población registrados en Asturias en los años 1976, 1981 y 1986 fueron los siguientes: Años Habitantes(miles) 76 1143 81 1129 86 1112
Además se sabe que el 70% de la población tenia más de 18 años. Si en el año 1987 hubo elecciones autonómicas, calcular a partir de los datos anteriores el número de electores (personas con más de 18 años). • Sol.: 775 720 electores
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30
II.22 (1991) Un agricultor tiene una parcela de terreno, uno de cuyos límites es la curva f(x) dada por: (0,9 x + 27 )1/ 3 si x ≤ 20 f ( x) = 144 , x + 78 si x > 20 30 Otro límite está situado sobre el eje de abscisas a partir del punto de corte de f(x) y tiene una longitud de 80 m. en sentido positivo. El tercer límite de la parcela está sobre la recta que une los puntos (50,0) y (50,5). a) Representar gráficamente la parcela. b) Si se divide el terreno en dos partes trazando la perpendicular al eje de abscisas en el punto (20,0), para dedicar la más grande a cultivar cereales y la otra patatas; hallar por medio del cálculo integral la superficie que dedica a cada cultivo. c) Enunciar la regla de Barrow. (NOTA: si se precisa calcular (45)1/3 tomar la aproximación 3,56).
suales más otros variables, que estima en 700 pts. por cada enciclopedia vendida. Se pide: a) Obtener la función que recoge el sueldo mensual del vendedor. b) Determinar la función de gastos. c) Obtener la función de beneficios (sueldo menos gastos) del vendedor. d) ¿Cuántas enciclopedias debe vender para obtener el máximo beneficio mensual? Calcular dicho beneficio. 3
3
• Sol.: a) –0.25 x + 1000 x + 50 000; b) 700 x + 10000; c) –0.25 x + 300 x + 40000; d) 20 enciclopedias, 44 000 ptas.
II.27 (1992) Sea f(x) = 2x4 + sen x + 5. Se pide: a) Calcular la función de la cual f(x) es primitiva. b) Enunciar la regla de Barrow. c) Sea g(x) = 8x3 + cos x. Basándose en los apartados anteriores, calcular la integral de g(x) en el intervalo [0,π/2]. 4
• Sol.: a) 8x3 + cos x; c)
8
• Sol.: b) 133.4 u.s. a cereales y 128.4 a patatas
II.23 (1991) La tasa de rendimiento de cierto tipo de inversión depende de la cantidad invertida (representada por la variable x en miles de pts.) según la siguiente ley: 2x 2 2 si 0 ≤ x ≤ 100 r ( x) = x + 1200 100 si 100 < x x + 1 a) Estudiar la continuidad de la función r(x). ¿Si la cantidad invertida es "ligeramente" superior a 100.000 pts., la tasa de rendimiento que se obtiene es "ligeramente" diferente de 1,785? Razonar la respuesta. b) Determinar, si es posible, una asíntota no oblicua de r(x). ¿Hay alguna cantidad a partir de la cual no interesa invertir porque se obtendría una tasa de rendimiento negativa?. Razonar la respuesta. • Sol.: a) no ;b) y = 0, no
II.24 (1991) Una parcela de terreno está limitada por la función f(x) = (x + 2)2, por la función g(x) = (490 – 49x)/5 y el eje de abscisas en el intervalo [–2,10]. a) Representar gráficamente la parcela. b) Se parte el terreno siguiendo la recta que pasa por los puntos (5,0) y (5,49). El trozo con un limite curvilíneo se sembrará de trigo con un coste de 500 pts. por m de siembra; el otro se sembrará de centeno con un coste de 300 pts./m . Determinar, utilizando el cálculo integral, el coste total de la siembra.
π +8
II.28 (1992) El consumo de bebidas alcohólicas está gravado con cierto impuesto. Empíricamente se ha obtenido que el impuesto pagado, T(x) pts., depende de la cantidad de bebida (x en litros) según la relación siguiente: T(x) = 1000x/(x + 100) Se pide: a) Deducir razonadamente que el impuesto pagado es creciente con el consumo de bebida. b) Comprobar que la segunda derivada de la función T(x) tiene signo negativo. c) Calcular lím T(x) . ¿Puede ocurrir que se paguen 3000 pts. de impuesto? x→∞
d) Teniendo en cuenta los apartados anteriores, representar gráficamente T(x). • Sol.: c) 1000 ptas., no
II.29 (1992) Las ganancias (pts.) que se obtienen en cada momento del tiempo con cierto juego vienen dadas por: 10 t si 0 ≤ t ≤ 30 g( t ) = ( 10 / 3 ) t + 200 si 30 < t donde t representa el tiempo (minutos). Se pide: a) Representar gráficamente g(t). b) Calcular el total ganado en los 30 primeros minutos de juego. c) Si se juega durante una hora, ¿cuál es la ganancia total que se consigue? • Sol.: b) 4500 ptas.; c) 15000 ptas.
• Sol.: b) 93 900 ptas.
II.25 (1992) Dada la función f(x) = 4x3 + 10x + 8, se pide: a) Calcular una primitiva, F(x), que cumpla la condición F(1) = 20. b) Aplicar la regla de Barrow para calcular la integral de la función del enunciado, f(x), en el intervalo [1,2]. • Sol.: a) x4 + 5x2 + 8x + 6; b) 38
II.30 (1992) Para resolver un problema de Estadística, el estudiante Gandolfo necesita calcular el valor de la función de distribución en el punto 1,645. Cuando consulta las tablas, encuentra en ellas la siguiente información: F(1,64) = 0.9495 ; F(1,65) = 0.9505 ¿Cómo plantea y resuelve Gandolfo su problema? • Sol.: F(1.645) = 0.95
II.26 (1992) Un vendedor de enciclopedias recibe como sueldo mensual una cantidad fija de 50.000 pts. más una comisión que depende del número de enciclopedias que venda según la expresión 1000x – 0,25x3 (donde x representa el número de enciclopedias). El vendedor debe correr con sus propios gastos, y tiene unos fijos de 10.000 pts. men31
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II.31 (1992) Un fabricante de ordenadores estima que el precio al que puede vender cada unidad viene dado (en pts) por la expresión 100000 – 0,1x2 , donde x representa el número de ordenadores vendidos mensualmente. Además, el fabricante tiene unos costes fijos de Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales
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3100000 pts y otros variables, que ascienden a 73000 pts por unidad fabricada. Suponiendo que puede vender todas las unidades que fabrica, se pide: a) Obtener la función de ingresos del fabricante. b) Calcular la función de costes. c) Obtener la función de beneficios (ingresos menos costes). d) Determinar el número de unidades que debe fabricar para hacer máximo su beneficio mensual y calcular este beneficio. ¿Cuál es el precio de venta de cada una de las unidades? 5
2
5
3
3
3
5
6
• Sol.: a) (10 – 0.1 x ) x; b) 31·10 + 73·10 x; c) –(1/10) x + 27·10 x – 31·10 ; d) 300 ordenadores, 2.3·10 ptas, 91·103 ptas
II.32 (1992) El gasto mensual en alimentación (expresado en miles de pts.) de cierto conjunto de familias se relaciona con sus ingresos mensuales (representados por la variable x en miles de pts.) según la función siguiente: si 0 ≤ x < 100 0,5 x + 20 G( x ) = 0,4 x + 35 si 100 ≤ x ≤ 250 0,25 x + 32,5 + (10000 / x ) si 250 < x
Se pide: a) Estudiar la continuidad de G(x). b) Explicar razonadamente si el gasto es siempre creciente con los ingresos. c) Hallar lím G(x).
b) Suponiendo que vende todo lo que fabrica, obtener la función que recoge sus ganancias. c) ¿Qué cantidad de galletas le interesa producir para maximizar las ganancias? d) En la situación óptima, ¿cuál es el precio de venta? ¿qué ganancia obtiene? 3
• Sol.: b) –(1/400) x + 30 x – 10; c) 63.2 kg; d) 190 ptas., 1254.9 ptas.
II.36 (1993) a) Explicar el concepto de función primitiva. b) Relacionar dicho concepto con la regla de Barrow. c) Sea f(x) = 3x2 + cos x, ¿cuál de las siguientes funciones es primitiva de f(x): F(x) = 3x3 – sen x; G(x) = x3 + sen x + 2? Razonar la respuesta. d) Aplicar los resultados anteriores para calcular la integral de f(x) en el intervalo [0,π]. • Sol.: c) G(x); d) π3
II.37 (1993) La paga mensual que un padre da a su hijo (P(x) en ptas.) depende de su sueldo (x en miles de ptas.), de acuerdo con la siguiente expresión: 10000 x P( x) = 2 x + 50 a) Justificar que la paga del hijo aumenta a medida que lo hace el sueldo del padre. b) Calcular lím P( x) . ¿En algún caso la paga superará las 5000 ptas.? x→∞
c) Calcular la segunda derivada de P(x). Teniendo en cuenta toda la información anterior, representar gráficamente dicha función. • Sol.: b) 5·103 ptas., no
x→∞
d) Basándose en los apartados anteriores, representar gráficamente la función de gasto. • Sol.: c) ∞
II.33 (1992) El consumo de agua (litros) de cierta fabrica en cada momento del día viene dado por: 10 + 0,5 t si 0 ≤ t ≤ 6 C( t) = 6 + (7 / 6 )t si 6 < t ≤ 12 si 12 < t ≤ 24 30 − ( 5 / 6 ) t donde t representa el tiempo (horas). Se pide: a) Representar gráficamente C(t). b) Calcular el consumo total de agua que se realiza entre las 8 y las 12 horas. c) Obtener el consumo de agua entre las 12 y las 20 horas. d) ¿Cuál es el consumo total correspondiente al periodo comprendido entre las 8 y las 20 horas? • Sol.: b) 70.7 l; c) 133.3 l, d) 204 l
II.34 (1992) El horario de los grandes almacenes "Par de dos" es desde las 10 hasta las 22 horas; la caja registra al cierre unos ingresos de 2500000 pts. ¿Cuál sería el volumen de ingresos registrados a las 16,2 horas? Justifíquese la respuesta. • Sol.: 1 291 667 ptas.
II.35 (1993) Los costes de fabricación (C(x) en ptas.) de cierta variedad de galletas dependen de la cantidad elaborada (x en kg) de acuerdo con la siguiente expresión: C(x) = 10 + 170x El fabricante estima que el precio de venta de cada kg de galletas viene dado por: 25 x 2 p( x) = 200 − en pts 10000 a) ¿El precio de venta disminuye con la cantidad? 33
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II.38 (1993) Un camión tarda habitualmente 8 horas en llevar cierta mercancía desde la ciudad A hasta la ciudad B, estando ambas ciudades unidas por una carretera de 850 km. En el próximo viaje, el camión tiene que servir parte de la mercancía a un cliente de otra ciudad C situada entre aquéllas y que dista de A 425 km. por la misma carretera. Se quiere determinar aproximadamente la hora a la que el cliente de C recibirá su mercancía, si el camión sale de A las 6 de la mañana. a) ¿Qué herramienta de cálculo podemos aplicar para resolver el problema? b) Representar gráficamente la solución. c) Calcular dicha hora. • Sol.: c) 10 a.m.
II.39 (1994) El rendimiento que se obtiene con cierta inversión -R(x) expresado en miles de ptas.depende de la cantidad de dinero invertida (x en miles de pesetas) según la función siguiente: x / 100 si 0 ≤ x ≤ 100 R( x) = 0,12 x − 10 si 100 < x ≤ 500 10 x / ( 0,01x + 95 ) si 500 < x a) Estudiar los puntos de discontinuidad de R(x). b) Justificar que el rendimiento aumenta a medida que lo hace la cantidad invertida. • Sol.: a) En x = 100: discontinuidad inevitable de salto finito (1)
II.40 (1994) En cierto colectivo de familias, el gasto mensual en ocio, G(x) en miles de pta., está relacionado con sus ingresos mensuales, x en miles de pta., a través de la siguiente expresión: 0,02 x − 1 si 0 ≤ x ≤ 100 30 x G( x) = si 100 < x 2 x + 2.300 Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales
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a) Estudiar la discontinuidad del gasto. ¿El gasto en ocio de una familia es sensiblemente distinto si sus ingresos son "ligeramente" inferiores o superiores a las 100.000 pta.? b) Justificar que el gasto en ocio es siempre creciente con los ingresos. c) Justificar que ninguna familia realiza un gasto en ocio superior a las 15.000 pta. • Sol.: a) En x = 100 discontinuidad inevitable de salto finito (0.2), si
II.41 (1994) Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, R(x) en miles de pta., viene dada en función de la cantidad que se invierta, x en miles de pta., por medio de la expresión siguiente: R(x) = –0,001x2 + 0,5x + 2,5 a) Deducir razonadamente qué cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente en dicho plan. b) ¿Qué rentabilidad obtendría? • Sol.: a) 250 000 ptas.; b) 65 000 ptas.
II.42 (1994) La puntuación obtenida por un estudiante en un examen depende del tiempo que haya dedicado a su preparación (x expresado en horas) en los siguientes términos: x si 0 ≤ x ≤ 15 3 P( x) = 2 x si 15 < x 0,2 x + 3 a) Estudiar el crecimiento de la función. Si un estudiante ha dedicado menos de 15 horas a preparar un examen, justificar que no aprobará, esto es, que obtendrá menos de 5 puntos. b) Justificar que la puntuación nunca puede ser superior a 10 puntos. II.43 (1994) Sea f(x) una función continua en un cierto intervalo [a, b]. a) Explicar el enunciado de la regla de Barrow y su aplicación. b) Sea f(x) = 3x2 – 6x, justificar cuál de las siguientes funciones: U(x) = 3x3 + 3x2 ; V(x) = x3 – 3x2 es primitiva de la anterior. 4
⌠ c) Calcular ( 3x 2 − 6x ) dx . ⌡0
II.46 (1995) El tipo de interés anual -I(t) en %- ofrecido por una entidad financiera depende del tiempo -t en años- que se esté dispuesto a mantener la inversión a través de la siguiente expresión: 90 t I( t ) = 2 t +9 a) Calcular razonadamente cuántos años le conviene pactar a un inversor que trate de optimizar el tipo de interés. b) Si una inversión se mantiene a muy largo plazo, ¿el tipo de interés podría llegar a ser negativo? Justificar la respuesta. • Sol.: a) 3 años; b) no
II.47 (1995) a) Explicar el concepto de función primitiva. b) Sea f(x) = e2x – 2x2 + 8, justificar si es primitiva de alguna de las siguientes funciones: g(x) = e2x – 4x + 8 h(x) = 2e2x – 4x c) Enunciar la regla de Barrow y aplicarla para calcular: 1
⌠ 2x (2e − 4 x ) dx ⌡0 • Sol.: b) sí, de h(x); c) e2 – 3
II.48 (1996) En un colectivo se ha observado que el gasto en cierto producto -G(x) en miles de ptas.- está relacionado con el salario -x en miles de ptas.- por medio de la siguiente expresión: 20 x G( x) = 2 x +1 a) Calcular razonadamente la cuantía del salario a la que corresponde el mayor gasto. b) ¿Cómo se comporta el gasto cuando el salario es suficientemente alto? Razonar la respuesta. • Sol.: a) 1000 ptas.; b) tiende a anularse
II.49 (1996) Dada la función f(x) = (x + 1)(3x – 2): a) Calcular una primitiva de f(x). b) Justificar que la función F(x) = x3 + 2x2 + 2 no es primitiva de f(x). 1
• Sol.: b) V(x); c) 16
II.44 (1995) La producción de cierta hortaliza en un invernadero -Q(x) en kg.- depende de la temperatura -x en ºC- según la expresión: Q(x) = (x + 1)2/(32 – x). a) Calcular razonadamente cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero. b) ¿Qué producción de hortaliza se obtendría? • Sol.: a) 32 oC; b) ∞
II.45 (1995) a) Enunciar la regla de Barrow y comentar su aplicación. b) Sea F(x) = x4 + ax3 + bx; calcular a y b sabiendo que: 1) el punto (1,2) pertenece a la gráfica de F(x); y 2) F(x) es función primitiva de cierta función f(x) cuya integral en el intervalo [1,2] es igual a 10. • Sol.: a = –1, b = 2
⌠ c) Enunciar la regla de Barrow y calcular ( x + 1)(3 x − 2) dx . ⌡2 3
2
• Sol.: a) x + (x /2) – 2x + C; c) –13/2
II.50 (1996) Un taller artesanal está especializado en la producción de cierto tipo de juguetes. Los costes de fabricación -C(x) en ptas.- están relacionados con el número de juguetes fabricados -x- a través de la siguiente expresión: C(x) = 10x2 + 2.000x + 250.000 El precio de venta de cada juguete es 8.000 ptas. a) Plantear la función de ingresos que obtiene el taller con la venta de los juguetes producidos. b) Plantear la función de beneficios, entendidos como diferencia entre ingresos y costes de fabricación. c) ¿Cuántos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios?; ¿a cuánto ascenderán estos beneficios? 2
• Sol.: a) 8 000 x; b) –10 x + 6 000 x – 250 000; c) 300 juguetes, 650 000 ptas.
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Una parábola corta a la recta x = 4 en el punto A(4,3), a la recta x = 6 en B(6,3) y atraviesa el eje de ordenadas a la altura 27. a) Hallar la ecuación de dicha parábola. b) ¿El punto (5,8) pertenece a esa curva?
II.51 (1996) Dada la función f(x) = 2xe2x + 1: a) Calcular una primitiva de f(x). b) Justificar que la función F(x) = xe2x + 1 no es primitiva de f(x).
2
• Sol.: a) y = x – 10 x + 27; b) no
0
⌠ c) Calcular 2xe 2 x +1 dx . ⌡−1/ 2 −e + 2 1 • Sol.: a) e 2 x +1 x − + C ; c) 2 2
II.52 (1997) propuesto en la PAU de COU Una recta se corta con la ecuación x = 2 en el punto A(2,8) y su ordenada en el origen es -1. a) Determinar la ecuación de dicha recta. b) Calcular el valor de k para que el punto (k,-10) esté situado sobre la misma. • Sol.: y = (9/2) x – 1; b) k = –2
II.53 (1997) En cierto colectivo de hogares se ha observado empíricamente que el gasto mensual en alquiler de películas de vídeo -G(t) en miles de ptas.- depende del tiempo dedicado mensualmente a ver TV -t, en horas- en los siguientes términos: 0 ≤ t < 20 0 G( t) = 0,1t 20 ≤ t ≤ 100 40 t − 1000 . 100
II.54 (1997) a) Explicar el concepto de función primitiva. b) Dada la función f(x) = ax3 + bx + c; calcular los valores de a, b y c sabiendo que: i) F(x) = x4-2x2 + cx es una primitiva de f(x); y ii) la integral de f(x) en el intervalo [ 0,1] es igual a 1.
II.57 (1997) propuesto en la PAU de COU Dada la función f(x) = 2x cos x: a) Calcular una primitiva de f(x). b) Enunciar la regla de Barrow y aplicarla para obtener la integral de f(x) en el intervalo [0,π/2]. • Sol.: a) 2 (x sen x + cos x); b) π – 2
II.58 (1998) Cierta empresa de material fotográfico oferta una máquina que es capaz de revelar y pasar a papel 15,5 fotografías por minuto. Sin embargo, sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma que el número de fotografías por minuto será función de la antigüedad de la máquina de acuerdo a la siguiente expresión (F(x) representa el número de fotografías por minuto cuando la máquina tiene x años): 15,5 − 11 , x 0≤ x≤5 F( x) = 5 x + 45 x>5 x + 2 (a) Estudiar la continuidad de la función F. (b) Comprobar que el número de fotografías por minuto decrece con la antigüedad de la máquina. Justificar que si tiene más de 5 años revelará menos de 10 fotocopias por minuto. (c) Justificar que por muy vieja que sea la máquina no revelará menos de 5 fotografías por minuto. • Sol.: a) es continua en todo su dominio
II.59 (1998) a , donde a es una constante, x3 (a) Encontrar una primitiva de f. (b) Si F es una primitiva de f, ¿puede serlo también G( x ) = F( x ) + 2 x ?
Dada la función f ( x ) = x +
2
⌠ (c) Encontrar a sabiendo que f ( x ) dx = 1.5 . ⌡1 • Sol.: a)
• Sol.: b) a = 4, b = –4, c = 2
II.55 (1997) En una empresa, la relación entre la producción (x, expresada en miles de toneladas) y los costes medios de fabricación (C(x), expresados en miles de ptas.) es del tipo C( x ) = ax 2 + bx + c . a) Sabiendo que dichos costes ascienden a 43.000 ptas. si la producción es de 1.000 tm, que son 36.000 ptas. si se producen 2.000 tm, y que la derivada segunda de dicha función es igual a 2, determinar la función de costes medios. b) Obtener razonadamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento de C(x). c) A la vista de los resultados del apartado anterior, calcular razonadamente la producción óptima de la empresa y sus costes medios. • Sol.: a) C( x ) = x 2 − 10 x + 52 ; b) Creciente: (5, ∞), decreciente: [ 0, 5 ) ; c) 5 000 Tm, 27 000 ptas. II.56 (1997) 37
propuesto en la PAU de COU Equipo Técnico de Matemáticas – Colegio Los Robles
x2 a − ; b) No; c) a = 0 2 2x 2
II.60 (1998) propuesto en la PAU de COU Dada la función f(x) = (x + a) cos x, donde a es una constante, (a) Encontrar una primitiva de f. (b) Si F es una primitiva de f ¿puede serlo también G(x) = F(x) + 2x? π ⌠π / 2 (c) Encontrar a sabiendo que f ( x) dx = − 1. ⌡0 2 • Sol.: a) (x + a) sen x + cos x; b) No; c) a = 0
II.61 (1998) Se ha construido una presa de almacenamiento de agua cuyos costes de mantenimiento diarios son una función de la cantidad de agua que la misma tiene almacenada. Tales costes (en ptas.) vienen dados por la siguiente expresión (C(x) representa el coste si el volumen de agua (en millones de metros cúbicos) es x): C(x) = x3 + x2 – 8x + 73 Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales
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(a) Encontrar el volumen diario de agua óptimo que debe mantenerse para minimizar costes. (b) Calcular el coste mínimo diario que supone el mantenimiento de la instalación. Si un día la presa tiene almacenados 3 millones de metros cúbicos de agua ¿cuánto se ha gastado de más respecto del coste mínimo? • Sol.: a) 4/3 millones m3; b) 66.48 ptas.; 18.52 ptas.
F( x ) = ( x − 2)2 (1 − 2x ) + 252 x + 116 0 ≤ x ≤ 10 (a) Determinar los intervalos de tiempo en que el valor de la cartera creció y aquéllos en que decreció. (b) El individuo retira sus ingresos transcurridos los 10 años. ¿Cuál hubiera sido realmente el mejor momento para haberlo hecho? ¿Cuánto pierde por no haberlo retirado en el momento óptimo? • Sol.: a) Creció los 8 primeros años, y decreció los 2 siguientes; b) A los 8 años; 172 000 ptas.
II.62 (1998) Dada la función f ( x ) = 4e 4 x + a , donde a es una constante, (a) Justificar si las siguientes funciones son o no primitivas de f: F1 ( x ) = 4e 4 x + ax ; F2 ( x ) = e 4 x + ax .
II.67 (1999) Dada la función f ( x ) = x e x / 2 , (a) Calcular una primitiva de f.
1
2
⌠ (b) Encontrar a sabiendo que f ( x ) dx = e 4 . ⌡0
(b) Calcular • Sol.: a) F1( x) : No; F2 ( x ) : Si ; b) a = 1.
II.63 (1998) propuesto en la PAU de COU Dada la función f(x) = sen (2x) + x sen x, (a) Encontrar una primitiva de f. ¿Existe otra distinta a ella? (b) Justificar que sen x – x cos x – cos (2x) no es primitiva de f. ⌠π / 2 (c) Encontrar f ( x) dx . ⌡o • Sol.: a) (–1/2) cos 2x – x cos x + sen x; c) 2
II.64 (1999) Se ha investigado el tiempo (T, en minutos) que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en función del tiempo de entrenamiento de los deportistas (x, en días), obteniéndose que: 300 0 ≤ x ≤ 30 T( x ) = x + 30 1 125 +2 x > 30 ( x − 5)( x − 15 ) (a) Justificar que la función T es continua en todo su dominio. (b) ¿Se puede afirmar que cuanto más se entrene un deportista menor será el tiempo en realizar la prueba? ¿Algún deportista tardará más de 10 minutos en finalizar la prueba? (c) Por mucho que se entrene un deportista, ¿será capaz de hacer la prueba en menos de 1 minuto? ¿Y en menos de 2?
⌠ f ( x ) dx . ⌡0
(c) Si F y G son dos primitivas de f, y H = F – G, ¿es posible que la derivada de H sea la función x2? • Sol.: a) 2 e
x/2
(x – 2); b) 4; c) No
II.68 (2000) propuesto en la PAU de COU El saldo (positivo o negativo) que ha tenido durante los últimos meses una de las cuentas bancarias que posee cierto individuo, viene dado por la expresión (el tiempo, x, en meses; el saldo, f(x), en miles de ptas.): f ( x ) = 2x 3 − 27 x 2 + 84 x + 10 0≤x≤9 a) Encuentra el intervalo o intervalos de tiempo en que el saldo creció, y aquél o aquéllos en que decreció. b) ¿En qué momentos se obtuvieron el saldo más alto y el más bajo? ¿Cuáles fueron esos saldos? c) ¿Tiene la función de saldo algún punto de inflexión? Esboza un dibujo de dicha función sin detallar el valor exacto de los puntos de corte con el eje de abscisas. • Sol.: a) Creció: [0,2) y (7,9] , decreció: (2,7); b) Más alto: al cabo de 2 meses, 86 000 ptas.; Más bajo: a los 7 meses, • 9 47
Sol.: a) creciente: [0, 2) y (7, 9]; decreciente: (2, 7); b) 2 meses: 86 000 ptas.; 7 meses: 39 000 ptas.; c) Sí: , 2 2
II.69 (2000) propuesto en la PAU de COU Sea f(x) = ax cos(x2) + b, donde a y b son constantes. Encontrar a y b sabiendo que la derivada de f en el 0 vale 1, y que: π
⌠ 2 f ( x ) dx = 1 . 2 ⌡0
• Sol.: b) Si, No; c) No, No
• Sol.: a = 1 y b = 0
II.65 (1999) II.70 (2000) Enuncie la regla de Barrow y aplíquela a la función f ( x ) = e x (x + 1) en el intervalo [ 0, 1 ] .
1 ( x ≠ 0) , donde a es una constante, x2 (a) Calcular ∫12 f ( x ) dx en función de a. (b) Se sabe que F es una primitiva de f. Calcular a si F(1) = 0 y F(2) = 1/2
Dada la función f ( x ) = a e x / 3 +
• Sol.: e
• Sol.: a) 3a 3 e 2 − 3 e +
1 ; b) a = 0 2
II.66 (1999) Un individuo ha invertido en acciones de cierta compañía durante los últimos 10 años. El valor de su cartera a lo largo del tiempo (dinero invertido más beneficios obtenidos, en miles) viene dado por la siguiente expresión (x en años): 39
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II.71 (2000) si x ≤ 1 x + 1 Dada la función F( x ) = responda razonadamente las siguientes 2 si x > 1 3 − ax cuestiones: a) ¿Para qué valores de a, la función F(x) es continua en x = 1?
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• Sol.: a) creciente en [0, 1); decreciente en (1, ∞). b) En x = 1; 10. c) No
b) Si F(x) es continua cuando x → x 0 entonces no existe lím F( x ) , ¿es cierto? x→ x 0
• Sol.: a) a = 1; b) No
II.72 (2000) Determine la función primitiva y el área bajo la curva en el intervalo [ 1, e ] , de la función f(x) = Ln(x). • Sol.: x [Ln(x ) − 1] + c ; 1
II.77 (2001) Sea f ( x ) = x 2 + bx donde b es una constante. (a) Encuentra b sabiendo que hay una primitiva F de f con F(0) = 2 y F(3) = 20. Encuentra también la expresión de F. (b) Dibuja la curva f(x) cuando b = –1 y halla el área delimitada por dicha curva y el eje de abscisas entre los puntos de abscisa x = 0 y x = 2.
II.73 (2000) Determine e identifique los valores óptimos de la función f(x) = 3 x 2 e −4 x .
• Sol.: a) b = 2; F( x ) =
1 3 • Sol.: Máximo: , 2 ; mínimo: (0, 0) 2 4e
II.74 (2000)
Dada la función f ( x ) = a x e
x2 3
+ b , donde a y b son constantes, 5 a) Encuentra a y b sabiendo que la derivada de f en el 1 vale e1 3 , y que además: 3 1 ⌠ f ( x ) dx = 3 e1 3 − 1 . ⌡0 2 b) Encuentra, si existen, dos primitivas de f tales que su diferencia valga 7.
(
)
• Sol.: a) a = 1; b = 0. b) F1( x ) =
3 x2 e 2
3
y F2 ( x ) =
3 x2 3 e +7 2
II.75 (2000) Una empresa de muebles dispone de un modelo de escritorio de lujo cuya producción es completamente artesanal. El precio de venta de cada escritorio es (en miles de ptas.) de 365. Por otra parte, los gatos de fabricación mensuales dependen del número de escritorios producidos por la empresa según la siguiente expresión (G(x) representa los gastos mensuales en miles de ptas. si se producen x escritorios): G( x ) = x 3 + 2x + 10 Cada mes la empresa vende todos los escritorios que produce. a) Obtén la expresión de los beneficios mensuales como función del número de escritorios producidos, es decir, los ingresos obtenidos por las ventas menos los gastos de fabricación. b) Encuentra el número óptimo de escritorios que la empresa debería producir mensualmente para maximizar beneficios. c) Calcula el máximo beneficio mensual que la empresa puede obtener. Si un mes produce 12 escritorios, ¿cuánto dinero ha dejado de ganar con respecto a un mes en que maximiza beneficios? • Sol.: a) B( x ) = − x 3 + 363 x − 10 . b) 11; c) 2 652 000 ptas. y 34 000 ptas.
II.76 (2001) El rendimiento (medido de 0 a 10) de cierto producto en función del tiempo de uso (x, en años) viene dado por la siguiente expresión: 3x f ( x ) = 8,5 + x≥0 1+ x 2 (a) ¿Hay intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece? ¿Y en que decrece? ¿Cuáles son? (b) ¿En qué punto se alcanza el rendimiento máximo? ¿Cuánto vale? (c) Por mucho que pase el tiempo ¿puede llegar a ser el rendimiento inferior al que el producto tenía cuando era nuevo? 41
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x3 b 2 + ⋅ x + C . b) 1 u.s. 3 2
II.78 (2001) La cotización en pesetas de cierta moneda en los últimos 5 años y medio se ajusta bastante bien a la siguiente función (C(t) indica la cotización en el tiempo t medido en años): C( t ) = − t 2 + 1 (t − 9 ) − 16 t + 59 0 ≤ t ≤ 5,5 (a) Encuentra el intervalo o intervalos de tiempo en que la cotización creció, y aquél o aquéllos en que decreció. (b) ¿En qué momentos hubo una cotización más baja y más alta? ¿Cuáles fueron esas cotizaciones? (c) ¿Tiene la función C(t) algún punto de inflexión? Esboza un dibujo de dicha función.
(
)
• Sol.: a) creció: (1, 5); decreció: [0, 1) y (5, 5.5]. b) 1 año: 43 ptas.; 5 años: 75 ptas. c) Sí: (3, 59)
II.79 (2001) x +1
Dada la función f ( x ) = (x + a ) e 2 (a) Encuentra una primitiva de f.
, donde a es una constante,
2
⌠ (b) Calcula a sabiendo que f ( x ) dx = 8 . Justificar que, para ese valor de a, ⌡−2 x +1
2xe 2
no es primitiva de f. x
• Sol.: a) 2e 2
+1
(x + a − 2) . b) a = 0
II.80 (2002) El porcentaje de ocupación de una cafetería entre las 13 y las 21 horas se explica bastante bien por la siguiente función (P(x) representa el porcentaje de ocupación a las x horas): P( x ) = x 2 − 55 x (x + 1) + 1015 x − 5542 13 ≤ x ≤ 21 (a) Indica los intervalos de tiempo en que la ocupación crece y aquéllos en que decrece. (b) Dibuja la función. ¿Cuándo se alcanza el porcentaje de ocupación más alto? ¿Y el más bajo? ¿Cuánto valen? (c) ¿La función tiene algún máximo o mínimo relativo que no sea absoluto? • Sol.: a) Crece: [13, 16 ) ∪ (20, 21] , decrece: (16, 20); b) Máximo a las 16 h (90%), mínimo a las 13 h (9%); c) mínimo
(
)
relativo en (20, 58) y máximo relativo en (21, 65)
II.81 (2002) Dada la función f ( x ) = 3ax 2 +
2a
+ 5 (x>0), donde a es una constante, x3 (a) Encuentra el valor de a sabiendo que cierta función F es una primitiva de f y verifica que F(1) = 6 y F(2) = 42.
Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales
42
(b) Dibuja la función f para el valor de a obtenido en el apartado anterior y encuentra también en ese caso el área limitada por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 2. • Sol.: a) a = 4; b) 36
II.82 (2002) Según cierta teoría médica el peligro de un virus se mide en función del tiempo que lleva en el organismo mediante la siguiente expresión (P(t) es el peligro para un tiempo de t minutos): t 2 0≤t≤5 P( t ) = 50t − 62´5 t > 5 0´5t + 5 (a) Estudia la continuidad del peligro como función del tiempo. (b) El peligro del virus ¿crece a medida que permanece más tiempo en el organismo? (c) Por mucho tiempo que lleve en el organismo, ¿puede superar el virus una peligrosidad de 95? ¿Y de 100? • Sol.: a) es continua; b) Sí; c) Sí, no
II.83 (2002) 2 Dada la función f ( x ) = x 3 − 27 + a x e x , donde a es una constante, (a) Encuentra una primitiva de f. (b) Si a = 0, dibuja la función f para x ≥ 0 y encuentra el área limitada por la curva y el eje X entre x = 2 y x = 4. • Sol.: a)
x4 a 2 55 − 27 x + e x ; b) 4 2 2
II.84 (2003) El peso que una plancha de cierto material es capaz de soportar depende de la edad de la misma según la siguiente función (el peso P en toneladas; t representa la edad en años de la plancha): 50 − t 2 0≤t≤3 20t P( t ) = 56 − t >3 t +1 (a) ¿Es el peso una función continua de la edad? Según vaya pasando el tiempo ¿la plancha cada vez aguantará menos peso? (b) Dicen que por mucho tiempo que transcurra, la plancha siempre aguantará más de 40 toneladas. ¿Estás de acuerdo? (c) Esboza un dibujo de la gráfica de P(t) cuidando la concavidad y convexidad de la función. • Sol.: a) Sí, sí; b) No
II.85 (2003) a ( x ≠ 0) , donde a es una constante, encuentra x2 una primitiva de f. Posteriormente, encuentra a para que si f ′ es la derivada de f, entonces f ′(1) = −2 .
La gráfica de velocidad de un autobús en los 6 minutos previos a un accidente quedó recogida en el tacómetro, y se ajusta bastante bien a la siguiente función. V(t) es la velocidad en el tiempo t (t en minutos, de 0 a 6): V( t ) = 24t − 15t 2 + 2t 3 + 100 0 ≤ t ≤ 6 (a) Especifica los intervalos de tiempo en que la velocidad aumentó y aquéllos en que disminuyó. (b) Dibuja la gráfica de velocidad, especificando, si los hay, los puntos de inflexión. ¿En qué momentos se alcanza la mayor y menor velocidad? (c) Especifica (si los hay) los máximos y los mínimos relativos y absolutos. • Sol.: a) Aumentó en: (0, 1) y (4, 6); disminuyó en: (1, 4); b) punto de inflexión: (5/2, 195/2); mayor velocidad: t = 6; menor: t = 4; c) máximo absoluto: en t = 6, relativo: t = 1; mínimo absoluto: t = 4, relativo: t = 0
II.87 (2003) x
(a) Encuentra la primitiva de la función f ( x ) = x − 15´5. (b) Dibuja la función f ( x ) = x −
27 ( x > 0) y encuentra el área limitada por la curva y el x2
eje X entre x = 1 y x = 5. x
• Sol.: a)
(b) Dibuja la función f ( x ) = 25 − x , y halla el área limitada por la curva y el eje de abscisas entre los puntos de abscisa x = 1 y x = 6. • Sol.: a) 25 x −
x3 a − , a = 0; b) 64 u.s. 3 x
II.86 (2003)
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+1 x 2 27 + + 2e 2 − 2e 2 ; b) 92/5 u.s. 2 x
II.88 (2004) El servicio de traumatología de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera. Se prevé que a partir de ahora la siguiente función indicará en cada momento (t, en meses) el porcentaje de pacientes que podrá ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera: 2 t − 8 t + 50 0 ≤ t ≤ 10 P( t ) = 38 t − 100 t > 10 0´4t (a) ¿A partir de qué momento crecerá este porcentaje? Por mucho tiempo que pase, ¿a qué porcentaje no llegará nunca? (b) Haz un esbozo de la gráfica de la función P a lo largo del tiempo. • Sol.: a) 4° mes; 95%
II.89 (2004) (a) Encuentra la primitiva de la función f ( x ) = 27 − x 3 + 3e 2 x −1 que en el 1 valga 26´75. (b) Dibuja la función f ( x ) = 27 − x 3 y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = −3 y x = 5 .
(a) Dada la función f ( x ) = 25 − x 2 +
2
+1 27 + e 2 ( x > 0) que en el 2 valga 2 x
• Sol.: a) 27 x −
x 4 3 2 x −1 3 + e − e ; b) 244 u.s. 4 2 2
II.90 (2004) Una cadena de televisión ha presentado un nuevo programa para la franja horaria de las 11 a las 15 horas. El share o porcentaje de audiencia de la primera emisión vino dado por la siguiente función, donde S(t) representa el share en el tiempo t, en horas: 11 ≤ t ≤ 15 S( t ) = − t 3 + 36 t 2 − 420 t + 1596 Para que el programa siga emitiéndose el share ha tenido que alcanzar en algún momento el 30%.
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(a) Indica cuándo creció el share y cuándo decreció. ¿El programa seguirá emitiéndose? (b) Dibuja la gráfica del share. • Sol.: (a) Creció: [11, 14 ) , decreció: (14, 15 ] , no
4 + 8 x − x 2 − 12 ( x ≠ 0) x2 (b) Dibuja la función f ( x ) = 8 x − x 2 − 12 y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = −1 y x = 2 . f ( x) =
• Sol.: a) f ′(2) = 3 ; b) 43 u.s.
II.91 (2004) a (a) Dada la función f ( x ) = + 3 x 2 − x 3 , encuentra a para que si f ′ es la derivada x de f, entonces f ′( −1) = −10 .
(b) Dibuja la función f ( x ) = 3 x 2 − x 3 . Encuentra el área limitada por la curva y el eje X entre x = -1 y x = 2. • Sol.: a) a = 1; b) 21/4 u.s.
II.92 (2005) Cada mes, una empresa decide el gasto en publicidad en base a los beneficios que espera obtener dicho mes. Para ello usa la siguiente función, donde G es el gasto en publicidad (en cientos de euros) y x los beneficios esperados (en miles de euros): x2 0≤x≤9 6 + 2x − 6 G( x ) = 75 x + 5400 x>9 3 + 10 x 2 (a) ¿Es el gasto en publicidad una función continua del beneficio? (b) Indica cuándo crece y cuándo decrece el gasto. (c) Por muchos beneficios que espere ¿el gasto llegará a ser inferior a 4 (cientos de euros)? • Sol.: a) Si; b) Crece: (0, 6), decrece: (6, ∞); c) Si
II.96 (2006) Un ayuntamiento está realizando un estudio sobre el nivel de contaminación acústica en la ciudad. Un primer plan de choque afectará a aquellos lugares donde se llegue a los 65 decibelios en horario diurno. En un barrio de la ciudad se han realizado mediciones del nivel de ruido en la franja horaria más conflictiva, modelándose el nivel de ruido mediante la siguiente función (R indica el ruido en decibelios y x el tiempo entre las 9 y las 14 horas de un día laborable): R( x ) = 2943 − 780 x + 69 x 2 − 2x 3 9 ≤ x ≤ 14 (a) Indica cuándo crece el nivel de ruido y cuándo decrece. (b) Dibuja la gráfica de la función. ¿Se debería iniciar un plan de choque en ese barrio? (c) Puesto que para x = 11.5 la segunda derivada de R vale 0, ¿qué le sucede a la gráfica en x = 11.5? • Sol.: a) crece de 10 a 11 y decrece de 9 a 10 y de 13 a 14; b) si; c) tiene un P.I.
II.97 (2006) (a) Si f ′ es la derivada de la función dada por f ( x ) = x 2 +
1 − 53 x + 150 ( x ≠ 0) , x2
calcula f ′( −0.5) . (b) Dibuja la función f ( x ) = x 2 − 53 x + 150 y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 2 y x = 4. • Sol.: a) f ′(−0.5) = −38 ; b) 47 u.s.
II.93 (2005) 4 (x>0), x2 (a) Encuentra la primitiva de f que en el 2 valga 5. (b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje de abscisas entre los puntos de abscisa x = 1 y x = 4.
Dada la función f ( x ) = x +
• Sol.: a)
x2 4 − + 5 ; b) 21/2 u.s. 2 x
II.94 (2005) Un dirigente de cierto partido político afirma que dimitirá si el porcentaje de votantes del partido no alcanza el 20%. Se estima que el porcentaje de participación en la consulta será al menos del 40% y que el porcentaje de votantes al partido dependerá del porcentaje de participación según esta función (P indica el porcentaje de votantes al partido y x el de participación):
P( x ) = −0´00025 x 3 + 0´045 x 2 − 2´4 x + 50
40 ≤ x ≤ 100
(a) Indica cuándo crece el porcentaje de votantes al partido y cuándo decrece. Según la función, ¿es posible que el dirigente no tenga que dimitir? (b) Dibuja la gráfica de la función. • Sol.: a) Crece en (40, 80) y decrece en (80, 100], No; b)
II.95 (2005) (a) Encuentra f ′(2) donde f ′ es la derivada de la función f dada por:
II.98 (2006) Un inversor utiliza la siguiente función para reinvertir en Bolsa parte del capital que obtiene mensualmente. R(x) representa la cantidad reinvertida cuando el capital obtenido es x (tanto la cantidad como el capital en euros): 0 0 ≤ x < 600 R( x ) = 400 + 56 x 40 + x ≥ 600 1640 + 0´1x (a) ¿Es la cantidad reinvertida una función continua del capital obtenido? (b) ¿Decrece alguna vez la cantidad reinvertida al aumentar el capital obtenido? Por muy grande que sea el capital obtenido ¿puede la cantidad reinvertida superar los 1000 euros? (c) Dibuja la gráfica de la función. • Sol.: a) No (discontinuidad de salto finito en x = 600 ); b) No, no
II.99 (2006) Dada la función f ( x ) = x 3 − 81x 2 , (a) Si f ′ representa la derivada de f, encontrar una primitiva de f verificando que F( 4) = f ′(54 ) . (b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje X entre x = -4 y x = 4. • Sol.: a) F( x ) =
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Problemas de la PAU – Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales
x4 − 27 x 3 + 1664 ; b) 3456 u.s. 4
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II.100 (2007) La profundidad de la capa de arena en una playa se verá afectada por la construcción de un dique. En una zona de la playa, esa profundidad vendrá dada por la siguiente función (P es la profundidad en metros y t el tiempo en años desde el inicio de la construcción). Si la profundidad llegara a superar los 4 metros, se debería elevar la altura del paseo marítimo. 2 + t 2 0 ≤ t ≤1 P( t ) = 8 t 2 − t − 1 t >1 2t 2 (a) ¿Es la profundidad una función continua del tiempo? (b) ¿Disminuirá alguna vez la profundidad? Por mucho tiempo que pase ¿será necesario elevar la altura del paseo por causa de la profundidad de la capa de arena? (c) Dibuja la gráfica de la función. • Sol.: (a) Si; (b) No, No.
II.101 (2007) (a) Encuentra
f ′( −2) donde f′ es la derivada de la función dada por 2 f ( x ) = 4x − x 2 + 3 ( x ≠ 0) . x (b) Dibuja la función f ( x ) = 4 x − x 2 y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 3 y x = 5. • Sol.: (a) 61/8; (b) 4 u.s.
II.102 (2007) La cantidad que ingresa mensualmente una empresa en una entidad bancaria depende del saldo que presente su cuenta a fin de mes, y la calcula de acuerdo a la siguiente función. I(x) es el ingreso cuando el saldo es x (ambas cantidades en miles de euros): 4 − 0´025 x 0 ≤ x ≤ 60 I( x ) = 750 + 3 x x > 60 20 + 10 x (a) ¿Es la cantidad ingresada una función continua del saldo a fin de mes? (b) ¿Decrece alguna vez la cantidad ingresada al aumentar el saldo a fin de mes? Aunque el saldo a fin de mes crezca mucho. ¿ingresará alguna vez la empresa menos de 100 euros? ¿Y menos de 400? (c) Dibuja la gráfica de la función. • Sol.: (a) No, presenta una discontinuidad inevitable, de salto finito, en x = 60; (b) Sí, siempre; No; Sí.
II.103 (2007) Sea la función f ( x ) = − x 2 + 7 x − 12 . Si f ′ representa su derivada, (a) Encontrar una primitiva F de f verificando que F( 6) = f ′(6) . (b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje X entre x = 3 y x = 4´5. • Sol.: (a) F( x) = −
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x3 7 2 + x − 12 x + 13 ; (b) 1/3 u.s. 3 2
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