Lista de ejercicios No. 1
Conjuntos, espacio muestral y probabilidad
1._ De una encuesta aplicada a 60 estudiantes que asisten a la universidad, 9 habitan fuera del recinto universitario, 36 son estudiantes de licenciatura y 3 son estudiantes de licenciatura que habitan fuera del recinto. a) Encuentra el número de estudiantes que están estudiando su licenciatura, que habitan fuera del recinto o que satisfacen ambas características. b) ¿Cuántos estudiantes de licenciatura habitan en el recinto? c) ¿Cuántos estudiantes ya tienen su licenciatura y habitan en el recinto? 2._ Supón que en una familia hay dos niños de diferente edad y que nos interesa el sexo de estos niños. Se utiliza F para designar a una niña y M para un niño y un par FM para denotar que el niño con más edad es de sexo femenino y el más chico de sexo masculino. a) ¿Cuál sería el conjunto de todas las opciones en la familia? b) Si A es el conjunto de todas las posibilidades que no incluyen varones, B el subconjunto que contienen exactamente 2 varones y C el subconjunto que contiene al menos un varón. Lista los elementos de A, B, C, A∩B, AUB, A∩C, AUC, B∩C, BUC y C∩B’. 3._ Dos equipos de béisbol 1 y 2 tienen la misma capacidad y juegan el uno contra el otro una serie de 4 juegos, registrando el resultado de cada juego. a) ¿Cuáles son los resultados posibles? b) Si A es el conjunto de resultados en que el equipo 1 gana exactamente 3 veces, lista los elementos de A. 4._ Una instalación consta de dos caldera y un motor. Sea A el evento de que el motor está en buenas condiciones, mientras que los eventos Bk ,k=1, 2 son los eventos de que la k-ésima caldera esté en buenas condiciones. El evento C es que la instalación pueda funcionar. Si la instalación funciona cada vez que el motor y al menos una caldera funciona, expresa C y C’ en términos de A y de los eventos Bk. 5._ Un experimento consiste en lanzar un dado y después una moneda una vez si el número en el dado es par. Si el número en el dado es impar, la moneda se lanza dos veces. Describe el espacio muestral asociado a este experimento. a) Dibuja el diagrama de árbol asociado al experimento. b) ¿Cuál es el espacio muestral?. c) Si se definen los eventos A: Cae número par y al menos una cara. B: El número del dado es impar y la moneda cae en cara en cada lanzamiento. C: El número es impar y aparece sólo una cruz en dos lanzamientos de la moneda. Lista los elementos de cada uno de los eventos. 6._ Experimento: Seleccionar un número real. a) Identifica el espacio muestral. b) Sean los eventos A = { x | 1 ≤ x ≤ 5 } , B = { x | 3 < x ≤ 7 } , C = { x | x ≤ 0 } . Describe y grafica cada uno de los siguientes eventos: A’, AUB, ∩BC’, A’∩B’∩C’, (AUB) ∩C 7._ a) Lista los elementos de cada uno de los eventos siguientes. A={1, 3} B={x|x es un número en un dado} C= {x|x2-4x+3=0} D= {x|x es el número de caras cuando se lanzan seis monedas} b) ¿Cuáles son iguales? 8._ Sean A, B y C tres eventos asociados con un experimento. Expresar las siguientes proposiciones verbales en notación de conjuntos. a) Al menos uno de los eventos ocurre. b) Exactamente uno de los eventos ocurre. c) Exactamente dos de los eventos ocurre. 9._ Un mecanismo puede ponerse en cuatro posiciones, digamos a, b, c y d. Hay 8 de tales mecanismos en un sistema. a) ¿De cuántas maneras puede instalarse este sistema? b) Supóngase que dichos mecanismos están instalados en algún orden (lineal) preasignado. ¿De cuántas maneras posibles se instalan los mecanismos, si dos mecanismos adyacentes no están en la misma posición?
c) ¿Cuántas manera son posibles si sólo se usan las posiciones a y b con la misma frecuencia? d) ¿Cuántas maneras son posibles si sólo se usan dos posiciones diferentes y una de ellas aparece tres veces más a menudo que la otra? 10._ En una habitación 10 personas tienen insignias numeradas del 1 al 10. Se eligen tres personas al azar y se les pide que dejen la habitación simultáneamente y se anotan los números de las insignias. ¿Cuál es la probabilidad de que el número a) menor de las insignias sea 5? b) Mayor de las insignias sea 5? 11._ Diez fichas numeradas del 1 al 10 se mezclan en una palangana. Se sacan de la palangana dos fichas numeradas (X, Y) una y otra vez sin sustitución. ¿Cuál es la probabilidad de que X+Y=10? 12._ Un lote consta de 10 artículos sin defecto, 4 con pequeños defectos y 2 con defectos graves. Se elige un artículo al azar. Encontrar la probabilidad de que: a) no tenga defectos b) No tenga defecto grave. c) Que no tenga defectos 13._ Supóngase que A, B y C son eventos tales que P(A)=P (B)=P(C)=1/4, P(A∩B)=P (B∩C)=0 y P(A∩C)=1/8. Calcula la probabilidad de que al menos uno de los eventos A, B o C ocurra. 14._ Una caja contiene n esfera numeradas del 1 al n. Se escogen 2 esferas al azar. Encuentra la probabilidad de que los números sobre las esferas sean enteros consecutivos, si: a) las esferas se escogen sin sustitución. b) las esferas se escogen con sustitución. 15._ De 6 números positivos y 8 números negativos se eligen 4 números al azar sin sustitución y se multiplican. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto sea un número positivo? 16._ r números (0
24._ Supóngase que de N objetos se eligen n al azar, con sustitución. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún objeto sea elegido más de una vez? Supón que n
Respuestas a los problemas del ejercicio 1 1) a) 42, b) 33, c) 18 2) a) S={ff, fm, mf, mm} b) A={ff}, B={mm}, C={fm, mf, mm}, A∩B=Ø, AUB={ff, mm}, A∩C= Ø, AUC={ff, fm, mf}, B∩C={mm}, BUC={fm, mf, mm} , C∩B’={fm, mf} 3) a) S={(1111), (1112), (1121), (1211), (2111), (1122), (1212), (2112), (1221), (2121), (2211), (2221), (2212), (2122), (1222), (2222)} b) A={(1112), (1121), (1211), (2111)} 4)
C = A( B1 ∪ B2 )
y C ' = ( A'∪B1 ' )( A'∪B2 ' )
5) b) S= {1cc,1cx,1xc, 1xx, 2c, 2x, 3cc, 3cx, 3xc, 3xx, 4c, 4x, 5cc, 5cx, 5xc, 5xx, 6c, 6x} 3cc, 5cc}, C={1cx, 1xc, 3cx, 3xc, 5cx, 5xc} 6) a) S=R, b) A’={x | x<1, x>5}, AUB=[1, 7], B∩C’=(3, 7]=B, A’∩B’∩C’= (0, 1)U(7,
c) A={2c,4c, 6c}, B={1cc,
∞ ).
7) B={1, 2, 3, 4, 5, 6}, C={1, 3}, D={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A=C 8) a) AUBUC,
b) (A∩B’∩C’)U(A’∩B’∩C),
9) a) 48
b) 4(37)
10) a) 1/12
b) 1/20
c) 70
c) (A∩B∩C’)U(A’∩B∩C)U(A∩B’∩C)
d) (A∩B∩C)’
d) 336
11) 4/45 12) a) 5/8
b) 7/8
c) ¾
13) 5/8 14) a) 1/n
b) (n-1)/n2
15) 0.504 16) 10!/10r(10-r)! 17) 5/8 18) ¼ 19) a) 4/9
b) 7/9
20) a) 0.08
b) 0.16
c) 1/9 c) 0.14
d) 0.84
21) P(A∩B)=P(A)=0.4 si A está contenido en B
y P(A∩B)=0.1 si AUB= S
r
22) 1 – 365(364)…(365 – r + 1)/365 23) 0.24
Lista de ejercicios No. 2
Probabilidad condicional, independencia y Teorema de Bayes.
1._ Se ha observado que los hombres y las mujeres reaccionan de una manera diferente en ciertas circunstancias; 70% de las mujeres reacciona positivamente en dichas circunstancias, mientras que el porcentaje en los hombres es solamente del 40%. Se sometió a prueba un grupo de 20 personas, 15 mujeres y 5 hombres, y se les pidió llenar un cuestionario para descubrir sus reacciones. Una respuesta escogida al azar de las 20 resultó negativa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido contestada por un hombre? 2._La probabilidad de que un doctor diagnostique de manera correcta una enfermedad particular es 0.7. Dado que el Dr. Hace un diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el paciente presente una demanda es 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el Dr. haga un diagnóstico incorrecto y el paciente lo demande? 3._ Se dio a una nueva secretaria n contraseñas para la computadora, pero solamente una de ellas dará acceso a un archivo. La secretaria no sabe cuál es la contraseña correcta y por tanto, escoge una al azar y la prueba. Si la contraseña es incorrecta, la quita y selecciona aleatoriamente otra de las que quedan, continuando de esta manera hasta encontrar la contraseña correcta. a) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga la contraseña correcta en el primer intento? b) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga la contraseña correcta en el segundo intento? Y ¿en el tercero? c) Se estableció un sistema de seguridad de tal manera que si se intentan 3 contraseñas incorrectas antes de encontrar la buena se cierra el archivo y se niega el acceso. Si n=7, ¿Cuál es la probabilidad de que la secretaria tenga acceso al archivo? 4._ Un estudiante contesta una pregunta que ofrece cuatro soluciones posibles en un examen de opción múltiple. Suponga que la probabilidad de que el estudiante sepa la respuesta a la pregunta es de 0.8 y la probabilidad de que tenga que contestar al azar es 0.2. Suponga que la probabilidad de seleccionar la respuesta correcta al azar es 0.25. Si el estudiante contesta correctamente la pregunta, ¿Cuál es la probabilidad de que realmente sepa la respuesta correcta? 5._ Cuando la rueda de una ruleta se hace girar una vez, hay 38 posibles resultados: 18 rojos, 18 negros y 2 verdes (si el resultado es verde, la casa gana todo). Si una rueda se hace girar dos veces, los (38)(38) resultados son igualmente probables. Si nos dicen que en dos giros de la rueda por lo menos uno resulta verde, ¿Cuál es la probabilidad de que ambos resultados sean verdes? 6._ En una gran universidad, en la interminable búsqueda de un texto satisfactorio, el departamento de estadística ha probado un texto diferente en cada uno de tres semestres. Durante el primer semestre, 500 estudiantes emplearon el texto del profesor Media, en el segundo semestre 300 estudiantes usaron el del profesor Mediana, y en el tercer semestre 200 estudiantes usaron el del profesor Moda. Un estudio hecho al final de cada semestre demostró que 200 estuvieron satisfechos con el del profesor Media, 150 con el del profesor Mediana y 160 con el del profesor Moda. Si se selecciona al azar un estudiante que llevó estadística durante uno de estos semestres y reconoce estar satisfecho con el texto, a) ¿Qué libro es más probable que el estudiante haya empleado: el libro de Media, de Mediana o de Moda? b) ¿Quién es el autor menos probable? 7._ La urna 1 contiene x esferas blancas y y rojas. La urna 2 contiene z blancas y v rojas. Se escoge una esfera al azar de la urna 1 y se pone en la urna 2. Entonces se escoge una esfera al azar de la urna 2. ¿Cuál es la probabilidad de que esta esfera sea blanca? 8._ Se lanzan 2 dados y puesto que muestran números diferentes , ¿Cuál es la probabilidad de que una cara sea 4? 9._ Un prisionero político será enviado a Siberia o a los Urales. Las probabilidades de que lo envíen a estos dos lugares son 0.6 y 0.4 respectivamente. Se sabe además que si un residente de Siberia se elige al azar hay una probabilidad de 0.5 de que lleve un abrigo de piel, en tanto que la probabilidad para lo mismo es de 0.7 en los Urales. Al llegar al exilio, la primera persona que ve el prisionero no lleva un abrigo de piel ¿Cuál es la probabilidad de que esté en Siberia? 10._ En el último año de un grupo de 100 estudiantes de educación media superior, 42 estudiaron matemáticas, 68 sicología, 54 historia, 22 matemáticas e historia, 25 matemáticas y sicología, 7 estudiaron historia pero no estudiaron matemáticas ni sicología, 10 estudiaron las tres materias y 8 no estudiaron ninguna de las tres. Si se elige al azar a un estudiante, determina la probabilidad de que: a) Una persona inscrita en sicología estudie las tres materias. b) Una persona que no estudia sicología esté tomando tanto historia como matemáticas. 11._ Una ciudad tiene dos carros de bomberos que operan de forma independiente. La probabilidad de que un carro específico esté disponible cuando se le necesite es 0.96. ¿Cuál es la probabilidad de que a) ninguno esté disponible cuando se le necesite?
b) Un carro de bomberos esté disponible cuando se le necesite? 12._ Supóngase que A y B son eventos independientes, tales que la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos es a y la probabilidad de que ocurra B es b. Demuestra que P(A)=(1-b-a)/(1-b). 13._ Tres equipos de radar, que trabajan independientemente están disponibles para detectar cualquier avión que vuela sobre cierta área. Cada equipo tiene probabilidad de 0.02 de no detectar un avión que vuele en el área. Si un avión entra por casualidad al área, ¿Cuál es la probabilidad de que a) no sea detectado? b) Sea detectado por los tres equipos de radar? 14._ Un detector de mentiras muestra una lectura positiva (es decir, indica una mentira) en 10% de los casos cuando la persona dice la verdad y en 95% de los casos cuando la persona miente. Suponga que se sospecha de dos personas de haber cometido un delito, que fue ejecutado por una sola persona, y de hecho sólo una de ellas es la culpable. ¿Cuál es la probabilidad de que el detector a) muestre una lectura positiva para los dos sospechosos? b) Muestre una lectura positiva para el sospechoso culpable y una lectura negativa para el inocente? c) Esté completamente equivocado, es decir, que indique una lectura positiva para el inocente y una negativa para el culpable? d) Dé una lectura positiva para cualquiera de los dos o para ambos sospechosos? 15._ Una red de comunicaciones tiene un sistema incorporado de seguridad contra fallas. Si en este sistema falla la línea I, se utiliza la línea II como emergencia; si también falla la línea II, se utiliza la línea III. La probabilidad de que falle cualquiera de estas tres líneas es 0.1 y las fallas de estas líneas son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que este sistema de tres líneas no falle totalmente? 16._ La víctima de un accidente morirá a menos de que reciba en los próximos 10 minutos una cantidad de sangre tipo A, Rh positivo, que sea suministrada por un solo donante. Se tarda 2 minutos en definir el tipo de sangre de un posible donante y 2 minutos en realizar la transfusión. Hay una gran cantidad de donantes diferentes cuyo tipo de sangre se desconoce y 40% de ellos tienen el tipo de sangre A, Rh positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que sobreviva la víctima si solamente se dispone de un equipo para determinar el tipo de sangre? 17._ Un número binario está compuesto sólo de los dígitos 0 y 1 (Por ejemplo 1011, 1100, etc). Estos números tienen un papel importante en el uso de los computadores electrónicos. Supóngase que un número binario está formado por n dígitos. Supóngase que la probabilidad de que aparezca un dígito incorrecto es p y que los errores en dígitos diferentes son independientes uno de otro. ¿Cuál es la probabilidad de formar un número incorrecto? 18._ Dos personas lanzan tres monedad reglares cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que obtengan el mismo número de caras? 19._ Considera el diagrama de un sistema electrónico que muestra las probabilidades de que los componentes del sistema operan de modo apropiado. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema opere si el ensamble III y al menos uno de los componentes en los ensambles I y II deben operar para que funcione el ensamble? Supóngase que los componentes de cada ensamble operan independientemente y que la operación de cada ensamble también es independiente. I
II
III
0.8 0.8 0.9
0.99 0.9
0.9
20._ Considera el ensamble serie-paralelo que se muestra abajo. Los valores Ri (i=1,2,...,5)son las confiabilidades de los 5 componentes indicados, esto es, Ri = probabilidad de que la unidad i funcione de manera adecuada. Los componentes operan de manera mutuamente independiente y el ensamble falla sólo cuando se rompe la trayectoria de A a B. Expresa la confiabilidad del ensamble como una función de R1,...,R5.
R2 R5 R4 A
B
R1
R3
. 21._En una fábrica de tornillos, las máquinas A, B y C fabrican el 25%, 35% y 40% de la producción total respectivamente. De lo que producen, 5%, 4% y 2% respectivamente, son tornillos defectuosos. Se escoge un tornillo al azar y resulta ser defectuoso. ¿Cuáles son las probabilidades respectivas de que el tornillo provenga de la máquina A, B o C? 22._ Sean A y B dos eventos asociados con un experimento. Supóngase que P(A)=0.4, mientras que P(AUB)=0.7. Sea P(B)=p a) ¿Para que elecciones de p son A y B mutuamente excluyentes? b) ¿Para qué elecciones de p son A y B independientes? 23._ Tres componentes de un mecanismo, digamos A, B y C están colocados en serie (en una línea recta). Supóngase que esos mecanismos están agrupados en orden aleatorio. Sea R el evento {B está a la derecha de A}, y S el evento {C está a la derecha de A}. ¿Los eventos R y S son independientes? ¿Por qué? 24._ Se lanza un dado y de manera independiente se escoge al azar una carta de una baraja normal. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) el dado muestre un número par y la carta sea de un palo rojo? b) el dado muestre un número par o la carta sea de un palo rojo? 25.- El la fabricación de cierto artículo se presenta un tipo de defectos con una probabilidad de 0.1 y defectos de un segundo tipo con probabilidad de 0.05. Se supone independencia entre los tipos de defectos. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) un artículo no tenga ambas clases de defectos? b) un artículo sea defectuoso? c) suponiendo que un artículo sea defectuoso, tenga solo un tipo de defecto? 26.- Un conjunto electrónico consta de dos subsistemas, digamos A y B, a partir de una serie de pruebas previas, se presuponen las siguientes probabilidades: P(A falle)=0.20, P(sólo B falle)=0.15 y P(A y B fallen)=0.15. Calcular las siguientes probabilidades: a) P(A falle|B haya fallado) b) P(solamente falle A) 27._ Cada vez que se realiza un experimento, la ocurrencia de un evento particular A es igual a 0.2. El experimento se repite independientemente hasta que A ocurre. Calcula la probabilidad de que sea necesario ejecutar un cuarto experimento. 28.- Supóngase que un mecanismo tiene N tubos y que todos son necesarios para su funcionamiento. Para localizar el tubo que funciona mal, se reemplaza sucesivamente cada uno de ellos por uno nuevo. Calcula la probabilidad de que sea necesario verificar N tubos si la probabilidad de que un tubo esté dañado es p. 29._ a) Prueba que si A y B son independientes, entonces A y B’ también lo son.} b) Prueba que si P(A|B)>P(A) entonces P(B|A)>P(B). 30._ Un tubo al vacío puede provenir de cualquiera de tres fabricantes con probabilidades de 0.25, 0.50 y 0.25 respectivamente. Las probabilidades de que e l tubo funcione correctamente durante un período de tiempo especificado son iguales a 0.1, 0.2 y 0.4, para cada uno de los tres fabricantes. Calcula la probabilidad de que un tubo elegido al azar funcione durante el período de tiempo especificado.
31._ En cierta ciudad se publican los periódicos A, B y C. Una encuesta reciente de lectores indica lo siguiente: 20% lee A, 16% lee B, 14% lee C, 8% lee A y B, 5% lee A y C, 2% lee A, B y C, y 4% lee B y C. Para una persona elegida al azar, calcula la probabilidad de que: a) no lea ninguno de los periódicos. b) lea solamente uno de los periódicos c) lea al menos A y B si se sabe que lee al menos uno de los periódicos. 32._ Cada una de las urnas 1, 2, …,n contiene α esferas blancas y β esferas negras. Se pasa una esfera de la urna 1 a la urna 2 y luego se pasa una de la urna 2 a la urna 3, y así sucesivamente. Finalmente se escoge una esfera de la urna n. Si la primera esfera que se pasó era blanca, ¿Cuál es la probabilidad de que la última esfera elegida sea blanca? Hazlo únicamente para n=2, 3 y 4 Respuestas para los problemas del ejercicio No.2 1._ 0.4 2._ 0.27 3._ 3/7 4._ 0.9412 5._ 0.027 6._ a) Es más probable que haya empleado el libro del profesor Media con una probabilidad de 0.392. b) El libro menos probable es el del profesor Mediana con una probabilidad de 0.294. 7._
x( z + 1 ) + yz ( x + y )( z + v + 1 )
8._ 1/3 9._ 0.517 10._ a) 5/34
b) 3/8
11._a) 0.0016
b) 0.9984
1 −b −a 12._ 1 −b
13._ a) 8x10-6 b) 0.9412 14._ a) 0.095 b) 0.855 c) 0.005 d) 0.955 15._ 0.999 16._ 0.8704 17._ 1-(1-p)n 18._ 5/16 19._ 0.968 20._ R1R3+R1R2R5+R1R4R5+R1R2R3R4R5-R1R2R4R5-R1R2R3R5-R1R3R4R5 21._ 0.362, 0.406, 0.232 22._ 0.3, 0.5 24._ a) ¼ b) ¾ 25._ a) 0.995 b) 0.145 c) 0.14 26.- a) 0.5 b) 0.05 27.- 0.1024 28._ (1 – p)N – 1 p 30:- 0.225 31._ a) 0.65 b) 0.22 c) 0.2285 32._
α (α + 1) α (α + 1) 2 + α 2 β , , (α + β )(α + β + 1) (α + β )(α + β + 1) 2
Lista de Ejercicio No. 3
α (α + 1) 3 + α 2 β (α + β )(α + β + 1) 3
Función de probabilidad
1._Considera un sistema de agua que fluye a través de unas válvulas de A a B. Las válvulas 1, 2 y 3 funcionan independientemente y cada una se abre correctamente mediante una señal con una probabilidad de 0.8. Encuentra la distribución de probabilidad para Y, el número de vías abiertas de A a B después de haber enviado la señal.
1 A
B
2
3
2._ En un problema de una prueba aplicada a niños pequeños, se les pide que hagan corresponder cada uno de los tres dibujos de animales con la palabra que identifica a ese animal. Si un niño asigna aleatoriamente las tres palabras a los tres dibujos encuentra la distribución de probabilidad para Y, el número de correspondencias correctas. 3._ Cinco pelotas numeradas del 1 al 5 se encuentran en una urna. Se sacan 2 pelotas al azar y se anotan sus números. Encuentra la distribución de probabilidad para lo siguiente: a) El mayor de los dos números seleccionados. b) La suma de los dos números seleccionados. 4._ De las personas que llegan a un banco de sangre, 1 de 3 tiene tipo sanguíneo O+ , y 1 de 15 tipo O-. Considérese 3 donantes, seleccionados aleatoriamente del banco de sangre. Sea X el número de donantes con sangre tipo O + y Y el número de donantes con sangre tipo O-. Obtén las distribuciones de probabilidad para X y Y, Determina también la distribución de probabilidad para X+Y el número de donantes con sangre tipo O. 5._ ¿Cuáles de las funciones siguientes son distribuciones de probabilidad discretas?
a)
1 3 x= 0 2 fX ( x ) = x= 1 3 0 o .c
b)
5 2 x 1 5− x ( 3 ) ( 3 ) = 0 ,x1 5, 2. , 3 , 4 , fX ( x ) = x 0 o .c
6._ La demanda de un producto es –1, 0, 1, 2 por día con las probabilidades respectivas de 1/5, 1/10, 2/5, 3/10. Una demanda de – 1 implica que se regresa una unidad. Encuentra la demanda esperada y la varianza. 7._ Una v.a discreta X tiene la función de probabilidad
f X ( x ) = k ( 12 )
x
x=1, 2, 3.
a) Determina el valor de k. b) Encuentra la media y la varianza de X. c) Encuentra la función de distribución acumulada FX(x). 8._ La v.a discreta N (N=0, 1, ...) tiene probabilidades de ocurrencia de krn (0
9._ Supóngase que la v.a X tiene valores posibles 1, 2, 3,... y P( X = j ) =
1 , 2j
j = 1, 2,...
a) Calcula P(X sea par). b) Calcula P( X ≥ 5 ) . c) Calcular P(X es divisible entre 3). 10._ Sea X una v.a con resultados posibles 0, 1, 2,... Supón que P( X = j ) = ( 1 − a )a j . a) ¿Para qué valores de a es significativo el modelo anterior? b) Demuestra que para dos enteros positivos cualesquiera s y t P( X > s + t | X > t ) = P( X ≥ t ) 11._ Encuentra la distribución de probabilidad para el número de CD de jazz cuando se seleccionan cuatro CD al azar de una colección que consiste en 5 CD de jazz, dos de música clásica y tres de rock. Respuestas para los problemas del ejercicio No.3 1)
y
f X ( y)
0 1 2
0.072 0.416 0.512
x 0 1 2 3
2)
P( x ) 0.296 0.444 0.222 0.037
0 1 3
f X ( y)
z=x+ y
0 1 2 3
0.813 0.174 0.0124 0.00029
0 1 2 3
f Z ( z) 0.216 0.432 0.288 0.064
6) E ( x ) = 0.8 , V ( x ) =1.16
1 3 1 2 1 6
7)
3)
x 2 3 4 5
4)
P (Y = y )
5) Ambas.
y
a)
y
f X ( x)
1 10 2 10 3 10 4 10
b)
y 3
fY ( y) 0.1 a)
4
0.1
5
0.2
6
0.2
7 8 9
0.2 0.1 0.1
8)
8
7
;
0 4 7 b) 11 , 26 ; c) F ( x ) = X 7 49 67 1
x< 1 1≤ x < 2 2≤ x< 3 x≥ 3
1−r
9) a)
1 ; 3
b)
1 ; 16
c)
1 7
10)
a) 0 < a < 1
4
11)
x 0 1 2 3
P( x ) 0.0238 0.23809 0.47619 0.23809
0.023
Lista de Ejercicios No. 4
Distribuciones discretas famosas
1._ Un estudiante realiza un examen cierto/falso con 15 preguntas. Si él adivina en cada pregunta, ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga al menos 13 respuestas correctas? 2._ Una estudiante realiza un examen de opción múltiple con 16 preguntas. Cada pregunta tiene cinco alternativas. Si ella adivina en 12 de las 16 interrogantes, ¿Cuál es la probabilidad de que acierte en al menos 8 preguntas? 3._ Supón que eres un ávido aficionado a las carreras de caballos. Estás en el hipódromo y hay 8 carreras. Este día, los corceles y los jockeys están tan parejos que sólo el azar determinará el orden de llegada en cada carrera. Existen 10 caballos en cada carrera. Si en cada carrera tú apuestas que un corcel en particular puede llegar en primero, segundo o tercer lugar, ¿cuál es la probabilidad de que: a) ganes la apuesta en las 8 carreras? b) Ganes en al menos seis carreras? 4._ Un fabricante de válvulas admite que su control de calidad ha decaído, de modo que actualmente la probabilidad de producir una válvula defectuosa es 0.5. Si se fabrican un millón de válvulas al mes y eliges al azar entre estas válvulas 10,000 muestras cada una formada por 15 válvulas. ¿En cuántas muestras esperas encontrar a) Exactamente 13 válvulas buenas? b) Menos de 13 válvulas buenas? 5._ Un gran tazón contiene un millón de canicas. La mitad de éstas tiene pintado un signo (+) y la otra mitad un signo (-). a) Si eliges al azar 10 canicas una a la vez con reemplazo, del tazón, ¿Cuál es la probabilidad de escoger 9 canicas con un signo (+) y una con un signo (-)? b) Si obtienes 10,000 muestras aleatorias con 10 canicas cada una, una a la vez con reemplazo, ¿Cuántas muestras esperas que tengan solo canicas con signo (+)? 6._ Imagina que 15% de la población es zurda y que no hay ambidiestros. Si tú detienes a las siguientes 5 personas que encuentres, suponiendo independencia en la elección de estas personas, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) todas sean zurdas? b) Todas sean diestras? c) Dos sean zurdas? d) Al menos una sea zurda? 7._ Un puente de cuota cobra $1.00 por cada autobús de pasajeros y $2.5 por otros vehículos. Supóngase que durante las horas diurnas, el 60% de todos los vehículos son autobuses de pasajeros. Si 25 vehículos cruzan el puente durante un periodo particular diurno, ¿cuál es el ingreso resultante de cuotas esperado? 8._ Los clientes de una gasolinera seleccionan gasolina regular (R), premium (P) o diesel (D). Supón que clientes sucesivos hacen selecciones independientes con P(R) = 0.3, P(P) = 0.2 y P(D) = 0.5. Entre los siguientes 100 clientes, ¿cuáles son la media y la varianza del número que selecciona gasolina regular? 9._ La probabilidad de que una persona muera de cierta infección respiratoria es 0.002. Encuentra la probabilidad de que mueran menos de cinco de los siguientes 2000 infectados de esta forma. 10._ En promedio una persona en 1000 comete un error numérico al preparar su declaración de impuestos. Si se seleccionan 10,000 formas al azar y se examinan, ¿cuál es la probabilidad de que 6, 7 u 8 de las formas contengan un error? 11._ Se sabe que la probabilidad de que un estudiante de una preparatoria local presente escoliosis (curvatura de la espina dorsal) es 0.004. De los siguiente 1875 estudiantes que se revisan en búsqueda de escoliosis; encuentra la probabilidad de que a) menos de cinco presenten el problema b) 8, 9 o 10 presenten el problema. 12._ Se sabe que el proceso de producción de luces de un tablero de automóvil de indicador giratorio produce uno por ciento de luces defectuosas. Si este valor permanece invariable, y se selecciona al azar una muestra de 100 luces, encuentre ˆ es la fracción de defectos de la muestra. ˆ ≤ 0.03 ) , donde p P( p 13._Dada una distribución binomial con un valor fijo de n ¿existen valores de p para los cuales
σ 2 =0? Explique. 11
14._Dada una distribución binomial con un valor fijo de n, ¿cuál es el valor de p en el que el valor de σ Explique.
2
es mayor?
15._Si b(x; n, p) denota la probabilidad de x éxitos para un experimento binomial con n intentos y P(E)=p, demuestre que: 16._Una venta en particular involucra 4 artículos seleccionados al azar de un gran lote que contiene 10% de defectuosos. Sea Y el numero de defectuosos entre los 4 artículos vendidos. El comprador de los artículos regresara los defectuosos para ser reparados, y el costo de reparación esta dado por C = 3 Y 2 +Y+2 encuentre el costo esperado de reparación. 17._Suponga que hemos obtenido una distribución binomial con n intentos y probabilidad de éxito p. Ahora considere una distribución binomial con n intentos en la cual la probabilidad de éxitos es 1-p. a) ¿Cómo se comparan las medias de las distribuciones binomiales? b) ¿Cómo se compraran las desviaciones estándar? 18._Un fabricante sabe que en promedio 20% de los tostadores eléctricos que fabrica requerirán de reparaciones dentro de un año después de su venta. Cuando se seleccionan al azar 20 tostadores, encuentra los números x y y apropiados tales que a) La probabilidad de que al menos x de ellos requieran reparaciones sea menor que 0.5. b) La probabilidad de que al menos y de ellos no requieran reparaciones sea mayor de 0.8. 19._La probabilidad de que José acierte a una claraboya con su rifle es 68%; si dispara en rondas de diez tiros, encuentra la media y la desviación estándar del número de aciertos por ronda. 20._Una región que requiere la instalación de un detector de humo en todas las casas prefabricadas, ha estado en vigor en una ciudad durante un año. El departamento de bomberos está preocupado porque muchas casas siguen sin detectores. Sea p = la verdadera proporción de casas que tienen detectores y supongamos que se inspecciona al azar una muestra de 25 casas. Si la muestra indica que menos del 80% tienen detector, el departamento de bomberos hará una campaña para que el programa de instalaciones sea obligatorio. Pero debido a lo costoso del programa, el departamento no pedirá tales inspecciones a menos que la evidencia muestral apoye con argumentos sólidos esta necesidad. Sea X el número de casas con defectos entre las 25 de la muestra. Considera rechazar la afirmación de que p≥ 0.8 si X ≤ 15, donde x es el valor observado de X. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la petición sea rechazada cuando el valor real de p es 0.8? b) ¿Cuál es la probabilidad de no rechazar la petición cuando p = 0.7?¿Cuándo p = 0.6? 21._La limusina perteneciente a un aeropuerto tiene espacio para cuatro pasajeros en cualquier viaje. La compañía aceptará un máximo de seis reservaciones por viaje y un pasajero debe tener una reservación. Por registros anteriores, 20% de quienes hacen reservaciones no se presentan para el viaje. Si se hacen seis reservaciones, ¿Cuál es la probabilidad de que, por lo menos, un individuo con reservación no tenga espacio para el viaje? 22._Un agente de bienes raíces estima que la probabilidad de vender una casa es 0.1. El día de hoy tiene que ver 4 clientes. Si tiene éxito en las primeras tres visitas ¿cuál es la probabilidad de que su cuarta visita no sea exitosa? 23._ La probabilidad de que un submarino hunda un barco enemigo con un disparo de sus torpedos es 0.8. Si los disparos son independientes, determina la probabilidad de un hundimiento dentro de los primeros 2 disparos y dentro de los primeros tres. 24._ En la ESCOM la probabilidad de que ocurra una tormenta en cualquier día durante la primavera es 0.05. Suponiendo independencia ¿cuál es la probabilidad de que la primera tormenta ocurra el 5 de abril? Suponiendo que la primavera comienza el primero de marzo. 25._ En tiempo ocupado un conmutador telefónico está muy cerca de su capacidad, por lo que los usuarios tienen dificultad al hacer sus llamadas. Puede ser de interés conocer el número de intentos necesarios a fin de conseguir un enlace telefónico. Supón que la probabilidad de conseguir un enlace durante el tiempo ocupado es 0.05. Nos interesa conocer la probabilidad de que se necesiten cinco intentos para una llamada exitosa. 26._Tres personas lanzan una moneda y el disparejo paga los cafés. Si todas las monedas tienen el mismo resultado, se lanzan de nuevo. Encuentra la probabilidad de que se necesiten menos de 4 lanzamientos. 27._ La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para una licencia de piloto privado es 0.7. Encuentra la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen a) en el tercer intento. b) antes del cuarto intento.
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28._La probabilidad de que un cliente acuda al mostrador de una tienda de abarrotes en cualquier periodo de dos segundos, es igual a 0.1. Supón que los clientes llegan de manera aleatoria y por lo tanto las llegadas en cada intervalo de un segundo son independientes. a) Encuentra la probabilidad de que la primera llegada ocurra durante el tercer intervalo de un segundo. b) Encuentra la probabilidad de que la primera llegada no ocurra hasta al menos el tercer intervalo de un segundo. 29._Al responder una pregunta con respecto a un tema controversial (como”¿alguna vez ha fumado marihuana?”), muchas veces la gente no quiere contestar afirmativamente. Obtén la distribución de probabilidad para Y, el número de personas que se necesitaría entrevistar hasta obtener una sola respuesta afirmativa, sabiendo que el 80% de la población contestaría verídicamente “no” a la pregunta y que del 20% que deberían contestar verídicamente “sí”, un 70% miente. 30._¿Cuántas veces esperas que haya que lanzar una moneda perfecta hasta obtener la primera cara? 31._Un explorador de petróleo perfora una serie de pozos en cierta área para encontrar un pozo productivo. La probabilidad de que tenga éxito en una prueba es 0.2. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer pozo productivo sea el tercer pozo perforado? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el explorador no vaya a encontrar un pozo productivo si solamente puede perforar a lo más 10 pozos? 32._Supóngase que el costo de efectuar un experimento es $1000. Si el experimento falla, se incurre en un costo adicional de $300 debido a ciertos cambios que deben efectuarse antes de que se intente un nuevo experimento. Si la probabilidad de éxitos en cualquiera de los ensayos es 0.2, si los ensayos aislados son independientes y si los experimentos continúan hasta que se obtiene el primer resultado exitoso, ¿cuál es el costo esperado del procedimiento completo?
33_Si la probabilidad de que cierto examen dé una reacción “positiva” es igual a 0.4, ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran menos de 5 reacciones “negativas” antes de la primera positiva? Haciendo que Y sea el número de reacciones negativas antes de la primera positiva. 34._ Un lote de 25 cinescopios se somete a un procedimiento de pruebas de aceptación. El procedimiento consiste en extraer 5 tubos al azar, sin reemplazo, y probarlos. Si dos o menos tubos fallan, los restantes se aceptan. De otro modo el lote se rechaza. Si el lote contiene 4 tubos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que el lote se acepte? 35._ El dueño de una casa planta seis bulbos seleccionados al azar de una caja que contiene 5 bulbos de tulipán y 4 de narciso. ¿Cuál es la probabilidad de que plante dos bulbos de narciso y 4 de tulipán? 36._ Estudios de biología y el ambiente a menudo etiquetan y sueltan a sujetos a fin de estimar el tamaño y el grado de ciertas características en la población. Se capturan 10 animales de cierta población que se piensa extinta o cerca de la extinción, se etiquetan y se liberan en cierta región. Después de un período se selecciona en la región una m.a de 15 animales del tipo. ¿Cuál es la probabilidad de que cinco de estos seleccionados sean animales etiquetados si hay 25 animales de este tipo en la región? 37._ Una fuerza de tarea gubernamental sospecha que algunas fábricas violan los reglamentos contra la contaminación ambiental con respecto a la descarga de cierto tipo de producto, 20 empresas están bajo sospecha pero no todas se pueden inspeccionar. Supón que tres de las empresas violan los reglamentos. ¿Cuál es la probabilidad de que a) en la inspección de 5 empresas no se encuentre ninguna violación? b) el plan anterior encuentre 2 que violan el reglamento? 38._ Para evitar la detección en la aduana un viajero coloca 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 de las tabletas al azar para su análisis, ¿cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión ilegal de narcóticos? 39._Supón que X tiene una distribución de Poisson. Si P(X = 2) =(2/3)P(X = 1). Calcula P(X = 0) y P(X = 3). 40._ Una fuente radiactiva se observa durante 7 intervalos cada uno de 10 segundos de duración y se cuenta el número de partículas emitidas durante cada periodo. Supón que el número de partículas emitidas, digamos X, durante cada periodo observado tiene una distribución de Poisson con parámetro 5. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) en cada uno de los 7 intervalos de tiempo, se emitan 4 o más partículas? b) Al menos en uno de los 7 intervalos de tiempo se emitan 4 o más partículas? 41._ El número de partículas emitidas por una fuente radioactiva durante un periodo específico es una v.a con distribución de Poisson. Si la probabilidad de ninguna emisión es igual a 1/3. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran 2 o mas emisiones?
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42._ Una secretaria comete dos errores por página en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que en la siguiente página cometa a) 4 o más errores? b) Ningún error? 43.- Un estacionamiento tiene dos entradas. Los coches llegan a la entrada 1 de acuerdo con una distribución de Poisson con una media de tres por hora, y a la entrada 2 de acuerdo con una distribución de Poisson con una media de 4 por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que tres coches lleguen al estacionamiento durante una hora dada? 44._ Según la Administración de incendios, 185 personas murieron en 12,438 incendios en hoteles y moteles en 1979, es decir aproximadamente 1.5 muertos por cada 100 incendios. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de muertos exceda de ocho, si en una región ocurrieron 200 incendios en hoteles y moteles? b) Al ocurrir 200 incendios en hoteles y moteles en cierta región y al exceder el número de muertos de ocho, ¿sospechas que la razón promedio de muertos en la región es más alta que la media nacional? 45._ El chef de un restaurante prepara una ensalada revuelta que contiene, en promedio, cinco vegetales. Encuentra la probabilidad de que la ensalada contenga más de 5 vegetales a) en un día dado b) en tres de los siguientes 4 días c) por primera vez en abril el día 5. 46._ Supón que aviones pequeños llegan a cierto aeropuerto según un proceso de Poisson, con tasa de 8 aviones por hora, de modo que el número de llegadas durante un periodo de t horas es una v.a de Poisson con parámetro λ =8t. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 aviones pequeños lleguen durante un período de una hora? ¿Por lo menos 5? ¿Por lo menos 10? b) ¿Cuál es el valor esperado y la desviación estándar del número de aviones pequeños que lleguen durante un periodo de 90 minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 20 aviones pequeños lleguen durante un periodo de 2 ½ hrs.? ¿De que a lo sumo lleguen 10 durante este periodo? 47._ Supón que un libro con n páginas contiene, en promedio λ erratas por página. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos haya m páginas que contengan más de k erratas? 48._ La probabilidad de que un ratón inoculado con un suero contraiga cierta enfermedad es 0.2. Encuentra la probabilidad de que a lo más tres de 30 ratones inoculados contraigan la enfermedad, utilizando una aproximación de Poisson. 49._ El dueño de una tienda tiene existencias de cierto artículo y decide utilizar la siguiente promoción para disminuir la existencia. El artículo tiene un precio de $100. El dueño reducirá el precio a la mitad por cada cliente que compre el artículo durante un día en particular. Así el primer cliente pagará $50 por el artículo, el segundo pagará $25, y así sucesivamente. Supón que el número de clientes que compra el artículo durante el día tiene una distribución de Poisson con media 2. Encuentra el costo esperado del artículo al final de día. 50._De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la Universidad de Massachussets, cerca de dos tercios de los 20 millones de personas que en este país consumen Valium son mujeres. Supóngase que esta cifra es una estimación válida, encuentre la probabilidad de que en un día dado la quinta prescripción de Valium que escribe un doctor es la primera que prescribe Valium para una mujer; 51._ El número promedio de ratas de campo por acre en un campo de cinco acres de trigo se estima en 12. Encuentre la probabilidad de que se encuentren menos de siete ratas de campo. a) En un acre dado b) En dos de los siguientes tres acres que se inspeccionan.
Respuestas a los ejercicios de la lista No. 4 3.69 ×10 −3 2) 6 ×10 −4 3) a) 6.56 ×10 −5 1)
4) a) 32
b) 0.0113 b) 9963
14
5) a) 9.7 ×10 −3 6) a) 7.5 ×10 −5 40 21 0.6282 0.2657 11) a) 0.1321 12) 0.981
b) 9.76 ≈10 b) 0.4437
c)
0.1382
d) 0.5563
7) 8) 9) 10)
14)
1
b) 0.3376
2
16) 3.96 18) a) 5 b) 15 19) 6.8, 1.4751 20) a) 0.017 b) 0.811, 21) 0.6553 22) 9 ×10 −4 23) 0.96, 0.992 24) 8.3 ×10 −3 25) 0.041 26)
63
64
27) 0.063, 0.973 28) a) 0.081 29) 0.94 y −1 , 30) 2 31) a) 0.128 32) 6200 33) 0.9222 34) 0.98 35)
0.425
b) 0.81 y =1, 2, 3, b) 0.1073
5 14
36) 0.2315
37) a) 0.3991
b) 0.1315
38) 0.815 39) 0.264,
0.104
40) a) 0.1158 41)
b) 0.999
2 − ln ( 3) 3
42) a) 0.1429
b) 0.1353
43) 0.0521 44) a) 4 ×10 −3 , 0.0038 45) a) 0.385
b) 0.140
46) a) 0.091, 0.9, 0.283
c) 0.055 b) 3.464, 0.011
48) 0.151
15
49) 100 e −1 50)
2
243
= 8.23x10 −3
51) a) 0.0458
b) 6 ×10 −3
Lista de ejercicios No. 5
Distribuciones continuas famosas.
1._ Si un paracaidista cae en un sitio aleatorio de la línea recta entre los marcadores A y B, a) encuentre la probabilidad de que esté más cerca de A que de B. b) Calcula la probabilidad de que la distancia con respecto a A sea más de tres veces la distancia con respecto a B. c) Si tres paracaidistas actúan independientemente, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente uno de los tres caiga después del punto medio entre A y B? Sol. a) 0.5 b) 0.25 c) 3/8 2._ La variación en la profundidad de un río de un día al otro, medida (en pies) en un sitio específico, es una variable aleatoria Y con la siguiente función de densidad
fY ( y ) = k
-2 ≤ y ≤ 2
a) Determina el valor de k. b) Encuentra la función de probabilidad acumulada para la v.a Y. Sol. a) 0.25 3._ El tiempo de un viaje (ida y vuelta) de los camiones que transportan concreto hacia una obra de construcción en una carretera, está distribuido uniformemente en un intervalo de 50 a 70 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 65 minutos si se sabe que la duración del viaje es mayor a 55 minutos? Sol. 1/3 4._ Para determinar el alcance sónico de una fuente acústica mediante el método de triangulación, hay que medir con precisión el tiempo de llegada del frente de onda esférica a un receptor. Según Perruzzi y Hilliand, se pueden modelar los errores de medición de estos tiempos mediante una distribución uniforme de –0.05 a +0.05 microsegundos µs . a) ¿Cuál es la probabilidad de que un tiempo de llegada en partículas tenga un error menor que 0.01 µs ? b) Calcula la media y la varianza de los errores de medición. Sol. a) 0.6 b) 0, 0.00083 5._ Según Y. Zimmels, los tamaños de partículas que se utilizan en experimentos de sedimentación tienen a menudo una distribución uniforme. En sedimentaciones con mezclas de partículas de diferente tamaño, las partículas mayores obstruyen los movimientos de las más pequeñas. Así que es importante estudiar la media y la varianza de los tamaños de partículas. Supón que partículas esféricas tienen diámetros con una distribución uniforme entre 0.01 y 0.05 cm. Determina la media y la varianza de los volúmenes de estas partículas. [Recuerda que el volumen de una esfera está dador por ( 4 / 3 )πr 3 ] Sol. ( 6.5 x10
−6
)π y ( 7.749 x10
−11
)π2
6._ La v.a X se distribuye uniformemente en el intervalo [0, 2]. Obtén la distribución de la v.a Y=5+2X. Sol. Y~U(5, 9). 7._ Un corredor de bienes raíces carga comisión fija de $50 más el 6% a las ganancias de los propietarios. Si la ganancia se distribuye de modo uniforme entre $0 y $2000, obtén la distribución de probabilidad de las remuneraciones totales del corredor. Sol. R~U(50,170) 8._ Supóngase que cinco estudiantes van a realizar un examen independientemente unos de otros y que el número de minutos que cualquier estudiante necesita para terminar el examen tienen una distribución exponencial con media 80. Supóngase que el examen empieza a las nueve de la mañana, determina la probabilidad de que al menos uno de los estudiantes termine el examen antes de las diez menos veinte de la mañana.
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Sol. 0.9179 9._ El tiempo requerido para que un individuo sea atendido en una cafetería es una v.a que tiene una distribución exponencial con una media de cuatro minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida a) en menos de 3 minutos? b) en menos de 3 minutos al menos cuatro de los siguientes 6 días? Sol. a) 0.527 b) 0.395 10._ La distribución exponencial se aplica con frecuencia a los tiempos de espera entre éxitos en un proceso de Poisson. Si el número de llamadas que se reciben por hora en un servicio de contestación telefónica es una v.a de Poisson con parámetro 6, se sabe que el tiempo, en horas, entre llamadas sucesivas tiene una distribución exponencial con parámetro 1/6. ¿Cuál es la probabilidad de esperar más de 15 minutos entre cualesquiera dos llamadas sucesivas? Sol 0.082 11._ El tiempo X, en segundos, que tarda un bibliotecario para localizar una ficha de un archivo de registros sobre libros prestados tienen una distribución exponencial con tiempo esperado de 20 segundos. a) Calcula las probabilidades P(X<30), P(20<X), P(20<X<30) b) ¿Para qué valor de t es P(X0.0513Z se recomienda el proceso I. 14._ Un fabricante de un monitor de televisión comercial garantiza el cinescopio o tubo de imagen por un año (8679 hrs.). Los monitores se utilizan en terminales de aeropuerto para programas de vuelo, y están encendidos en uso continuo. La vida media de los tubos es de 20,000 hrs., y siguen una densidad de tiempo exponencial. El costo de fabricación, venta y entrega para el fabricante es de $300 y el monitor se vende en el mercado en $400. Cuesta $150 reemplazar el tubo fallado, incluyendo materiales y mano de obra. El fabricante no tiene obligación de sustituir el tubo si ya ha habido una primera sustitución. ¿Cuál es la utilidad esperada del fabricante? Sol. 47.19 15._ El tiempo Y que tarda en realizarse cierta tarea clave en la construcción de una casa es una v.a que tiene una distribución exponencial con una media de 10 hrs. El costo C para completar esa tarea está relacionado con el cuadrado del tiempo que tarda en completarse mediante la fórmula C =100 + 40 Y + 3Y 2 Encuentra el valor esperado C. Sol. 1100 16._ Si la v.a X~exp(x; β ), encuentra la expresión para el n-ésimo momento al origen. 17._ Se encontró que los intervalos de tiempo transcurridos entre dos accidentes de aviación, en el caso de todos los accidentes con víctimas ocurridos en vuelos de pasajeros en el interior de Estados Unidos entre 1949 y 1961, tienen aproximadamente una distribución exponencial con media de 44 días. a) Si uno de los accidentes ocurrió el 1 de julio, ¿Cuál es la probabilidad de que otro accidente ocurra en el mismo mes? b) Cuál es la varianza de los intervalos de tiempo entre dos accidentes para los años mencionados? Sol. a) 0.4943 b) 1936 18._ En cierta cuidad el consumo diario de agua (en millones de litros) sigue aproximadamente una distribución gamma con α = 2 y β =1/3 . Si la capacidad diaria de dicha ciudad es 9 millones de litros de agua, a) ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier día dado el suministro de agua sea inadecuado? b) Encuentra la media y la varianza del consumo diario de agua. Sol. a)0.1991 b) 6, 18.
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19._ Se sabe que la duración de cierto tipo de transistor sigue una distribución gamma con media de 10 semanas y desviación estándar de 50 semanas. ¿Cuál es la probabilidad de que el transistor a) dure a lo más 50 semanas? b) No sobreviva las primeras 10 semanas? Sol. a) 0.9995 b)0.0175 20._ El tiempo de respuesta en segundos de una computadora se distribuye exponencialmente con media de 3 segundos. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta exceda 5 segundos? Sol. 0.1889 21._ Supón que el tiempo empleado por un estudiante seleccionado al azar que utiliza una terminal conectada a un centro local de cómputo de tiempo compartido, tienen una distribución gamma con media de 20 minutos y varianza de 80 minutos2. a) ¿Cuáles son los valores de α y β ? b) Cuál es la probabilidad de que un estudiante utilice la terminal por lo menos 24 minutos? Sol. a) α = 5 y β =1 / 4 b) 0.2851 22._ Supón que cuando un transistor de cierto tipo se somete a una prueba acelerada de vida útil, la duración X (en semanas) tiene una distribución gamma con media de 24 semanas y desviación estándar de 12 semanas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un transistor dure entre 12 y 24 semanas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un transistor dure a lo sumo 24 semanas? c) Si la prueba en realidad termina después de t semanas. ¿Qué valor de t es tal que sólo la mitad de 1% de todos los transistores estarán todavía funcionando al terminar la prueba? Sol. a) 0.4236 b) 0.5665 c) 66 23._ Los tiempos de respuesta en una terminal en línea para cierta computadora, tienen aproximadamente una distribución gamma, con media de 4 segundos y varianza de 8 s 2. Obtén la función de densidad de probabilidad para los tiempos de respuesta. 24._ Los ingresos anuales de los jefes de familia en cierta sección de una ciudad tienen aproximadamente una distribución gamma con α =1,000 y β =1/2 a) Determina la media y la varianza de estos ingresos. b) ¿Esperarías encontrar muchos ingresos superiores a 40, 000 dólares en esta área de la ciudad? Sol. a) 2,000 y 4,000
Lista de ejercicios No. 6
Distribución Normal
1._ El gerente de personal de una gran compañía requiere que los solicitantes a un puesto efectúen cierta prueba y alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media de 485 y desviación estándar de 30, ¿Qué porcentaje de los solicitantes pasará la prueba? Sol. 30.85%
2._ Supóngase que la resistencia a la ruptura de una cuerda, en libras, se distribuye normalmente con media de 100 y varianza 16. Cada 100 pies de alambre para cuerda produce una utilidad de $25 si la resistencia a la ruptura es mayor de 95. Si la resistencia es menor o igual a 95, la cuerda puede utilizarse con un propósito diferente y se obtienen una utilidad de $10 por alambre. Encuentra la utilidad esperada por alambre. Sol. $23.4116
3._ Se especifica que el diámetro exterior de un árbol de transmisión (flecha), llamémoslo D, debe ser de 4 pulgadas. Supóngase que D es una variable aleatoria distribuida normalmente con media de 4 pulgadas y varianza 0.01 pulgadas cuadradas. Si el diámetro real se diferencia del valor especificado por mas de 0.05 pulgadas, pero en menos de 0.08 pulgadas, la perdida del fabricante es de $0.5, si el diámetro real se diferencia del diámetro especificado en más de 0.08 pulgadas, la perdida es de $1.00. La perdida L, es una variable aleatoria, encuentra la distribución de probabilidad de L y calcula el valor esperado de la perdida. Sol. P(L=0.5)=0.1432, P(L=1)=0.4238, E(L)=$0.5204
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4._ a) Una fábrica produce determinados artículos de tal manera que el 2% resulta defectuoso. Un gran número de tales artículos, digamos n, se inspecciona y se anota la frecuencia relativa de los defectuosos digamos f D . ¿Cuán grande debería ser n a fin de que la probabilidad sea al menos 0.98 de que f D difiera de 0.02 en menos de 0.05? b) Contesta a) si 0.02 f D la probabilidad de obtener un artículo defectuoso se sustituye por p que se supone desconocida. 5._ Supóngase que X tiene una distribución normal con media µ y varianza σ 2 . Determina c, como coeficiente y como función de la media y la varianza, tal que P( X ≤ c ) = 2 P( X > c ) . Sol. c= 0.43 σ + µ
6._ El diámetro de un cable eléctrico esta distribuido normalmente con media 0.8 y varianza 0.0004. El cable se considera defectuosos si el diámetro se diferencia de su promedio en más de 0.025 ¿Cuál es la probabilidad de obtener un cable defectuoso? Sol. 0.2112
7._ Considera solo la magnitud de X digamos Y=|X|. Si X~N(0, 1) determina la f.d.p de Y y calcula E(Y) y V(Y). Sol.
fY ( y ) =
2e
− 12 y 2
2π
, E( Y ) =
2 π
8._ El dispositivo automático de apertura de un paracaídas militar de carga se ha diseñado para abrir el paracaídas cuando éste se encuentre a 200m de altura sobre el suelo. Supongamos que la altitud de apertura en realidad tienen una distribución normal con valor medio de 200m y desviación estándar de 30m. Habrá daño al equipo si el paracaídas se abre a una altitud de menos de 100m ¿Cuál es la probabilidad de que haya daño a la carga en al menos uno de cinco paracaídas lanzado independientemente? Sol. 0.00214162
9._ Un tipo particular de tanque de gasolina para un automóvil compacto está diseñado para contener 15 galones. Supón que la capacidad real X de un tanque escogido al azar de este tipo esté normalmente distribuido con media de 15 galones y desviación estándar de 0.2 galones. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un tanque seleccionado al azar contenga entre 14.7 y 15.1 galones? b) Si el automóvil en el que se instala un tanque seleccionado al azar recorre exactamente 25 millas por galón, ¿Cuál es la probabilidad de que el automóvil pueda recorrer 370 millas sin reabastecerse? Sol. a) 0.62465
b) 0.8414
10._ La distribución de peso de paquetes enviados de cierto modo es normal con valor medio de 10 libras y desviación estándar de 2 libras. El servicio de paquetería desea establecer un valor de peso c, mas allá del cual habrá cargo extra. ¿Cuál es el valor de c tal que 99% de todos los paquetes pesen por lo menos 1 libra abajo del peso con cargo extra? Sol. c=15.66
11._ Se sabe que es normal la distribución de resistencia para resistores de cierto tipo, 10% de todos los resistores tiene una resistencia que excede 10.256Ω y 5% tienen una resistencia menor de 9.671Ω . ¿Cuáles son el valor de la media y de la desviación estándar de la distribución de la resistencia? Sol. 10 y 0.2
12._ Represente por X el número de páginas de texto, de una tesis de doctorado en matemáticas seleccionado al azar. Aún cuando X puede tomar solo valores enteros positivos, suponga que está distribuida normalmente en forma aproximada con valor esperado de 90 y desviación estándar de 15. ¿Cuál es la probabilidad de que una tesis seleccionada al azar contenga a) a lo sumo 100 páginas (empleando la corrección de continuidad)? b) Entre 80 y 110 páginas (e empleando la corrección de continuidad)? Sol. a) 0.76832
b) 0.68756
13._ No hay una buena fórmula para obtener la función de distribución de probabilidad acumulada normal estándar, sino que han aparecido buenas aproximaciones entre artículos científicos publicados. La siguiente proviene de “Approximations for hand calculators using small integer coefficients” (Mathematics of computation, 1997, pp 214-222). Para 0 ≤ Z ≤ 5.5
( 83 z + 351 )z + 562 P( Z ≥ z ) = 1 − Φ ( z ) = 0.5 exp − 703 / z + 165
19
El error relativo de esta aproximación es menor al 0.42%. Utilice esto para calcular aproximaciones a las siguientes probabilidades y compara siempre que sea posible con las probabilidades obtenidas en la tabla de la distribución acumulada normal estándar. P( Z ≥1 ), P( Z > −3 ), P( −4 < Z < 4 ) 14._ Al final de cierto periodo escolar, Carol presentó cuatro exámenes finales. La media y la desviación estándar para cada examen, junto con las calificaciones de Carol en cada prueba, aparecen a continuación. Suponga que las calificaciones de cada examen tiene una distribución normal. Examen Media Desviación Calificación estándar de Carol Francés 75.4 6.3 78.2 Historia 85.6 4.1 83.4 Psicología 88.2 3.5 89.2 Estadística 70.4 8.6 82.5 a) ¿En cuál prueba le fue menor a Carol, con respecto a los demás estudiantes que presentaron el examen? b) ¿Cuál fue su rango percentil en ese examen? Sol. a) En estadística
b) 92.07%
15._ Si una población de datos crudos posee una distribución normal, con media de 80 y una desviación estándar de 8, determina la media y la desviación estándar de la distribución muestral de la media para los siguientes tamaños de muestra; n=16, n=35 y n=50. ¿Qué pasa cuando n crece? 16._ Dado el conjunto de datos poblacionales 3, 4, 5, 6, 7 haga lo que se pide: a) Determina la distribución muestral de la media para muestras de tamaño 2. Supón que el muestreo es de uno a la vez, con reemplazo. b) Demuestra que µ x = µ y que σ x = σ / n . 17._ Un ensamble consta de 3 componentes colocados uno a lado de otro. La longitud de cada componente se distribuye normalmente con media de 2 pulgadas y desviación estándar 0.2 pulgadas. Las especificaciones requieren que todos los ensambles estén entre 5.7 y 6.3 pulgadas de longitud. ¿Cuántos ensambles cumplirán con estos requerimientos? Sol. 6102%
Lista de ejercicios No. 7
Distribución conjunta
1._ Supón que la v.a bidimensional ( X ,Y ) tienen f.d.p conjunta dada por
f X ,Y ( x , y ) = kx ( x − y ) a) Encuentra el valor de k.
0 < x <2
y −x < y < x
b) Encuentra las f.d.p marginales.
Sol. a) k=1/8
1 y y3 − + c o0
2._ Para que valores de k es f X ,Y ( x , y ) = ke −( x +y ) una f.d.p conjunta de ( X ,Y ) en la región 0<x<1, 0
1 ( 1 − e −1 ) 2
3._ Supón que la v.a bidimensional ( X ,Y ) está distribuida uniformemente en el cuadrado cuyos vértices son (1,0), (0,1), (-1,0) y (0,-1). Encuentra las marginales f X ( x ) y f Y ( y ) . Sol. k=1/2 y f X ( x ) = 1− | x | para −1 < x < 1
y
f Y ( y ) = 1− | y |
para
- 1 < y <1 .
20
4._ Supón que la f.d.p conjunta de ( X ,Y ) está dada por f X ,Y ( x , y ) =e −y para a) Las marginales para X y para Y.
x > 0 , y > x . Encuentra:
b) P( X > 2 | Y < 4 )
Sol. a) f X ( x ) = e −x
con x > 0 y f Y ( y ) = ye −y para
y >0
b) ( e −2 −3e −4 ) /( 1 −5e −4 ) .
5._ Cuando un automóvil es detenido por una patrulla, se revisa el desgaste de cada neumático y cada faro delantero se verifica para ver si está correctamente alineado. Denotemos por X el número de faros delanteros que necesitan ajuste y por Y el número de neumáticos defectuosos. a) Si X y Y son independientes con f X (0) = 0.5, f X (1) = 0.1, f X ( 2) = 0.4, y f Y ( 0 ) = 0.6 , f Y ( 1 ) = 0.1,
f Y ( 2 ) = f Y ( 3 ) = 0.05 ,
f Y (4) = 0.2 . Escribe la función de probabilidad conjunta de la v.a bidimensional ( X ,Y )
mediante una tabla. b) Calcula P( X ≤1,Y ≤1 ) y verifica que es igual al producto P( X ≤1 )P( Y ≤1 ) . c) ¿Cuál es la probabilidad de no violaciones [ P( X +Y = 0 ) ]? 6._ Un maestro acaba de entregar un largo artículo a una mecanógrafa y otro, un poco más corto a otra. Sea X el número de errores de mecanografía del primer artículo y Y el número de errores de mecanografía del segundo artículo. Supón que X tiene una distribución de Poisson con parámetro λ y Y tiene una distribución de Poisson con parámetro µ y que X y Y son independientes. a) ¿Cuál es la función de probabilidad conjunta para la v.a bidimensional (X,Y)? b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo se cometa un error en ambos artículos combinados? c) Obtén una expresión general para la probabilidad de que el número total de errores de los dos artículos sea m, donde m es un entero no negativo. [Sugerencia: A={(x,y)|x+y=m}={(m,0), (m-1,1),...,(1,m-1),(0,m)}, ahora suma la f.d.p conjunta sobre (x,y)∈A y utiliza el Teorema del binomio que dice que
∑
m
m k m− k m ab (a+= b) k=0 k
para cualquier a, b.
Sol. a) e −( λ+µ )
λx µ y x! y!
b) e −( λ+µ ) ( 1 + λ + µ )
Lista de ejercicios No. 8
c) e −( λ +µ )
( λ + µ )m . m!
Estimadores
1._ Supóngase que E( θˆ1 ) = E( θˆ 2 ) = θ y que V ( θˆ1 ) = σ12 y V ( θˆ 2 ) = σ 22 . Si θˆ 3 = aθˆ1 + ( 1 − a )θˆ 2
ˆ 2 son independientes. ˆ 3 ? Supón que θ ˆ1 y θ a) ¿Cómo debe ser la constante a para minimizar la varianza de θ Sol. a =
ˆ 3 si b) ¿Cómo debe se la constante a para minimizar la varianza de θ
ˆ1 θ
σ 22 σ 12 + σ 22
ˆ 2 no son independientes pero y θ
Cov ( θˆ1 ,θˆ 2 ) = c ≠ 0
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Sol. a =
σ 22 − c σ 12 + σ 22 − 2c
ˆ 2 es un estimador insesgado de 2._ Sean Y1 ,Y2 , ,Yn una m.a de una población con media 3. Supóngase que θ
ˆ 3 un estimador insesgado de E( Y 3 ) . Obtén un estimador insesgado para el tercer momento central de la E( Y 2 ) y θ distribución en cuestión. Sol. θˆ 3 − 9θˆ 2 + 54 3._ La lectura de un voltímetro conectado a un circuito de prueba tienen una distribución uniforme en el intervalo ( θ,θ +1 ) en donde θ es el verdadero pero desconocido voltaje del circuito. Supón que Y1 ,Y2 , ,Yn es una m.a de tales lecturas: a) Demuestra que Y es un estimador insesgado de θ . b) Encuentra una función de Y que sea un estimador insesgado de θ . c) Calcula el ECM ( Y ) . 1 1 1 + Sol. a) Y − c) 12n 4 2 4._ Si
Y ~ b( y; n , p ) , Y / n es un estimador insesgado de p. Para obtener la varianza de Y utilizamos en general
Y Y 1 − = θ n n a) Demuestra que θ es un estimador sesgado para V ( Y ) . b) Modifica θ levemente para obtener un estimador insesgado de V ( Y ) . n
Sol.
n2 Y Y 1 − . n −1 n n
5._ Sea X una v.a con media µ y varianza σ 2 y X 1 , X 2 , , X n una m.a de tamaño n. Demuestra que el estimador G =k
n −1
∑( x
i +1
− xi ) 2 es insesgado para una elección apropiada de k. Determina este valor apropiado de k.
i =1
Sol. k =
µ 2
2σ ( n −1 )
6._ Determina el estimador de λ en la distribución de Poisson por el método de momentos, basado en una muestra aleatoria de tamaño n. ˆ =x Sol. λ 7._ Encuentra el estimador de β en la distribución exponencial por el método de momentos, con base en una muestra aleatoria de tamaño n.
ˆ = Sol. β
1 x
8._ Determina los estimadores por momentos para los parámetros α, β de la distribución gamma, en base a una m.a de tamaño n. x x2 βˆ = αˆ = n n 1 Sol. 1 xi2 − x 2 xi2 − x 2 n i =1 n
∑ i =1
∑
9._ Sea Y1 ,Y2 , ,Yn una m.a de una población con f.d.p
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(θ + 1 y)θ 0 < y < 1 ,θ > - 1 fY ( y,θ ) = 0 o . c ˆ es consistente. Obtén un estimador por el método de los momentos para θ y demuestra que θ Sol. 10._ Sea Y1 ,Y2 , ,Yn
1 −2 1 −Y
una m.a de una distribución uniforme con función de densidad de probabilidad
1 0 ≤ y ≤ 2θ + 1 . fY ( y ) = 2θ + 1
Encuentra el estimador máximo verosímil para θ . Sol. θˆ =
1 ( Y( n ) − 1 ) 2
11._ Cierto tipo de componente electrónico tiene una duración Y en horas, con f.d.p
f Y ( y ;θ ) =
1
θ2
ye − y / θ con y > 0 . Sea θ ˆ el estimador máximo verosímil de θ . Supón que tres componentes al
probarlos de manera independiente presentan duración de 120, 130 y 128 hrs. a) ¿Cuál es la estimación máximo verosímil de θ ? b) ¿Cuánto valen la esperanza y la varianza del estimador? b) θ y θ 2 / 2n
Sol. a) 63 12._ Sea Y1 ,Y2 , ,Yn una m.a de una f.d.p dada por f Y ( y ;α,θ ) = a) Encuentra el estimador máximo verosímil para θ si b) Encuentra la esperanza y la varianza del estimador. c) ¿Es consistente el estimador?
α
1
Γ ( α )θ α
y α−1e −y / θ con y > 0 .
es conocida.
Sol. a) θ = Y / α
b) θ y θ 2 / αn
c) Sí.
13._ a) Sea X una v.a binomial con parámetros n conocido y p. Estima p usando el método de momentos en base a una m.a de tamaño N. b) Sea X una v.a binomial con parámetros n y p desconocidos. Estima n y p usando el método de momentos en base a una m.a de tamaño N
x Sol. a) ~ p= N n
N
b)
~ p = (1 − x N ) −
n~ =
∑x
2 i
i =1
Nx N
Nx N2 Nx N ( 1 − x N ) −
N
∑x
2 i
i =1
14._ En una m.a de 100 votantes seleccionados de una gran población se observa que 30 están a favor de A, 38 a favor de B y 32 a favor de C. Obtén las estimaciones máximo verosímiles para las proporciones de votantes en la población a favor de A B y C. Sol. 0.30, 0.38, 0.32.
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15.: Se sabe que la probabilidad p de obtener cara al lanzar una moneda irregular es 1/4 o 3/4. Se tira la moneda 2 veces y se observa el valor de Y (número de caras). Para cada valor posible de Y ¿Cuál de los dos valores 1/4 o 3/4 maximiza la P( Y = y ) ? Sol. y=0 ˆp = 1/4, y=1 ˆp = 1/4 o ˆp = 3/4, y=2 ˆp = 3/4
Lista de ejercicios No. 9
Intervalos de confianza
1._ Cuando X 1 , X 2 , , X n son variables de Poisson independientes, cada una con parámetro λ y cuando n es relativamente grande, la media de la muestra, x , es aproximadamente normal con media λ y varianza λ /n. a) ¿Cuál es la distribución de la estadística
x −λ
λ/n
?
b) Emplea los resultados de a) para encontrar un intervalo de confianza de ( 1 − α )100 % para λ . 2._ Un ingeniero civil analiza la resistencia a la compresión de concreto. Ésta se distribuye aproximadamente en forma normal con varianza de 1000 psi al cuadrado. Una m.a de 12 especimenes tiene una resistencia media a la compresión de 3250 psi. a) Construye un intervalo de confianza de dos lados al 95% para la resistencia media a la compresión. b) Construye un I.C de dos lados al 99% para la resistencia media a la compresión. c) Se desea estimar la resistencia a la compresión con un error que sea menor que 15 psi ¿Qué tamaño de muestra se requiere? Sol. a) (3232.11, 3267.89) b) (3226.49, 3273.51) c) n=18. 3._ Un ingeniero industrial está interesado en estimar el tiempo medio requerido para ensamblar una tarjeta de circuito impreso. ¿Qué tan grande debe ser la muestra si el ingeniero desea tener una confianza del 95% de que el error en la estimación de la media es menor que 0.25 minutos? La desviación estándar del tiempo de ensamble es 0.45 minutos. Sol. 13 4._ Se tomaron muestras aleatorias de tamaño 20 de dos poblaciones normales independientes. Las medias y las desviaciones estándar de las muestras fueron x1 =22, S1 =1.8, x 2 =21.5 y S 2 =1.5. Suponiendo que las varianzas poblacionales son iguales obtén un I.C de dos lados para µ1 − µ2 con una confianza del 95%. Sol (-0.527, 1.527) 5._ Se extraen muestras aleatorias de tamaños n1 = 15 y n2 = 10 de dos poblaciones normales independientes. Las medias y varianzas de las muestras son x1 =300, S1 =16, x 2 =325 y S 2 =49. Suponiendo que las varianzas poblacionales son diferentes construye un I.C para µ1 − µ2 . Sol. (-30.178, -19.821) 6._ En una m.a de 100 bombillas eléctricas se encontró que la desviación estándar muestral de la vida de las mismas era de 12.6 hrs. Construye un I.C superior al 90% para la varianza de la vida de las bombillas. Sol. U=193.09 hrs.
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