Lamina

ANALISI DELLA LAMINA ORTOTROPA E TEORIA CLASSICA DEI LAMINATI (APPUNTI PREPARATI DALL’ING. PHD ROSARIO PECORA) INDICE

1. ANALISI DELLA LAMINA ORTOTROPA ................................................................................................................... 2 1.1. INTRODUZIONE ...................................................................................................................................................... 2 1.2. LEGGE DI HOOKE................................................................................................................................................... 3 1.3. RELAZIONI TRA COSTANTI ELASTICHE E TERMINI DELLE MATRICI DI ELASTICITÀ DIRETTA E INVERSA ............................................................................................................................................. 5 1.4. MATRICI DI ELASTICITÀ DIRETTA E INVERSA IN UN RIFERIMENTO CARTESIANO ARBITRARIO............................................................................................................................................................ 8 2. TEORIA CLASSICA DEI LAMINATI .......................................................................................................................... 15 2.1. INTRODUZIONE .................................................................................................................................................... 15 2.2 FORMULAZIONE DELLA TEORIA CLASSICA DEI LAMINATI.................................................................... 15 2.3 MATRICI DI RIGIDEZZA DEL LAMINATO....................................................................................................... 18 2.4 MATRICI DI RIGIDEZZA DI LAMINATI PARTICOLARI ................................................................................ 22 2.4.1. LAMINATI SIMMETRICI ([B]=0) ................................................................................................................ 22 2.4.2. LAMINATI SIMMETRICI CON A13=A23=0 (LAMINATI ORTOTROPI) ................................................. 23 2.4.3 LAMINATI CON D13 ≈ D23 ≈ 0 ....................................................................................................................... 24 2.4.4 LAMINATI QUASI ISOTROPI....................................................................................................................... 24 2.5 CALCOLO DI TENSIONI E DEFORMAZIONI.................................................................................................... 26 2.6 TENSIONI TERMICHE ........................................................................................................................................... 28 APPENDICE - LA REGOLA DELLE MISTURE PER IL CALCOLO DELLE COSTANTI ELASTICHE DI UNA LAMINA............................................................................................................... 32

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1. ANALISI DELLA LAMINA ORTOTROPA 1.1. INTRODUZIONE

Una lamina di composito con rinforzo unidirezionale o bi-direzionale è un elemento di spessore generalmente compreso tra 0.1 e 5 mm circa. Essa è usata per la costruzione di laminati le cui caratteristiche (spessore, numero lamine, orientamento ecc.) sono determinate sulla base di specifiche esigenze di progetto. L’analisi di un laminato presuppone pertanto la conoscenza del comportamento meccanico della singola lamina ed in particolare delle sue equazioni costitutive. Una lamina di composito è un elemento microscopicamente eterogeneo essendo la sua composizione praticamente variabile da punto a punto. Dal punto di vista macroscopico, cioè considerando una scala grande rispetto alla dimensione delle fibre, essa può però considerarsi omogenea. In questa scala, inoltre, essa esibisce un comportamento meccanico anisotropo, in particolare ortotropo. Si ricordi che un materiale si dice anisotropo quando le sue caratteristiche variano continuamente con la direzione considerata. In particolare se il materiale ammette tre piani di simmetria mutuamente ortogonali , esso dicesi ortotropo ed i piani di simmetria sono anche detti piani di ortotropia. In una lamina di composito tali piani sono individuati dal piano medio della lamina e dai piani a questo ortogonali paralleli alle due direzioni principali (direzione delle fibre e direzione ortogonale per rinforzo unidirezionale, direzioni delle fibre per rinforzo bi-direzionale). Per comprendere meglio la differenza tra materiale anisotropo generico ed uno ortotropo è utile osservare -per esempio- che l’applicazione di un carico di trazione ad un elemento di forma prismatica in materiale anisotropo, produce deformazioni e scorrimenti variabili lungo tutti i lati dell’elemento. Ciò si verifica indipendentemente dalla particolare direzione di applicazione del carico. Se in vece il materiale anisotropo è in particolare ortotropo, allora esistono tre direzioni mutuamente ortogonali tali che l’applicazione di uno sforzo di trazione in tali direzioni produce, come per un isotropo, una deformazione costante senza distorsioni nei piani da queste individuate (Figura 1).

Figura 1 – Deformazione tipica di un materiale isotropo (a) ed ortotropo (b) soggetto a sforzo normale secondo una direzione principale.

Tali tre direzioni vengono denominate direzioni principali del materiale o anche direzioni di simmetria o assi naturali del materiale. Considerando piuttosto che un cubetto di materiale, una lamina composita, si ha che se la direzione di applicazione del carico coincide con una direzione principale (Figura 2(a)) allora ad uno sforzo normale semplice corrisponde uno stato di deformazione uniforme senza scorrimenti, mentre se la -Pagina 2 di 35Appunti del corso di Strutture Aeronautiche – Prof. Ing. Leonardo Lecce

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direzione del carico è deviata rispetto alle direzioni principali il carico produce anche scorrimenti nel piano (Figura 2(b)).

Figura 2 – Deformazione di una lamina ortotropa con carico secondo una direzione principale (a) e deviato (b).

Vediamo ora quali sono le relazioni costitutive di una lamina composita ortotropa nella usuale ipotesi di comportamento elastico lineare e piccole deformazioni.

1.2. LEGGE DI HOOKE

Come è noto dalla teoria dell’elasticità, lo stato di tensione presente in un generico materiale nell’intorno del punto è univocamente descritto da 9 componenti di tensione σij (i,j=1,2,3). Lo stesso dicasi per lo stato di deformazione, descritto dalle nove componenti εkl (k,l=1,2,3). Conseguentemente, nell’ipotesi di comportamento elastico lineare, la relazione più generale tra tensioni e deformazioni (legge di Hooke generalizzata) si scrive come:

σ ij = ∑ Eijkl ε kl

(1)

k ,l

Nel caso di materiale completamente anisotropo, pertanto, il legame tensioni-deformazioni, coinvolge ben 9x9=81 costanti elastiche Eijkl (i,j,k,l=1,2,3). In realtà poiché i tensori σij e εkl sono simmetrici, cioè solo 6 componenti sono indipendenti, le costanti elastiche indipendenti che descrivono il comportamento di un materiale anisotropo sono 6x6=36. Considerazioni di natura termodinamica, inoltre, consentono di ridurre ulteriormente tali costanti a sole 21. Detto U il potenziale elastico,si ha infatti che è:

∂U = σ ij = ∑ Eijkl ε kl ∂ε ij k ,l

(2)

Derivando pertanto questa rispetto alla generica componente di deformazione εkl si ottiene:

∂  ∂U ∂ε kl  ∂ε ij

  = Eijkl  

(3)

Invertendo quindi l’ordine di derivazione e tenendo conto della continuità di U rispetto alle funzioni di deformazione, si ottiene quindi (teorema di Shwartz):

Eklij=Eijkl -Pagina 3 di 35Appunti del corso di Strutture Aeronautiche – Prof. Ing. Leonardo Lecce

(4)

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Le (4) costituiscono un sistema di 15 equazioni indipendenti che consente appunto di ridurre le costanti da 36 a 21. Se il materiale anisotropo è in particolare ortotropo, cioè ammette tre piani di simmetria mutuamente ortogonali, allora è facile mostrare che le relative leggi costitutive coinvolgono solo 9 costanti elastiche indipendenti. Indicando infatti con 1,2,3 i tre assi principali del materiale, poiché, come osservato in precedenza, l’applicazione di una tensione σii (i=1,2,3) non produce distorsioni εli (i ≠ j) deve essere:

Eijk l = 0 se k ≠ l

(5)

La (5) rappresenta un sistema di nove equazioni che consente di ridurre le costanti da 21 a 12. Inoltre per la simmetria rispetto ai piani 1-2,1-3,2-3, l’applicazione di uno sforzo di taglio σij (i,j=1,2,3 e i≠j) non produce distorsioni εkl (k ≠ l) negli altri piani (ij ≠ kl), cioè deve essere anche:

Eijkl=0 se i ≠j, k ≠ l e ij ≠ kl

(6)

Per il principio di reciprocità delle tensioni tangenziali (σij = σji ) la 6 rappresenta semplicemente un sistema di 3 equazioni che consente di ridurre ulteriormente le costanti elastiche da 12 a sole 9. Le costanti elastiche di un materiale ortotropo possono essere vantaggiosamente ordinate in una matrice simmetrica 6x6 (matrice di elasticità) che consente di scrivere la legge di Hooke in forma matriciale come: σ 11   E1111 σ   E  22   1122 σ 33   E1133  = σ 12   0 σ 13   0    σ 23   0

E1122 E 2222 E 2233 0 0 0

E1133 E 2233 E3333 0 0 0

0 0 0 E1212 0 0

0 0 0 0 E1313 0

  ε 11   ε    22   ε 33     ε 12   ε 13    E 2323  ε 23  0 0 0 0 0

(7)

Nel caso di stato piano di tensione (σ33 = σ13 = σ23 = 0) tale relazione può essere vantaggiosamente semplificata come: σ 1   E11 σ  =  E  2   12 τ 12   0

E12 E 22 0

0  ε1  0   ε 2  E33  γ 12 

(8)

A partire dalla (8) è possibile, mediante semplice inversione della matrice di elasticità, ottenere la relazione tra deformazioni e tensioni:  ε1  σ 1   S11  ε  = [S ]σ  =  S  2  2   12 γ 12  τ 12   0

S12 S 22 0

0  σ 1  0  σ 2  S 33  τ 12 

La matrice [S] prende il nome di matrice di elasticità inversa. -Pagina 4 di 35Appunti del corso di Strutture Aeronautiche – Prof. Ing. Leonardo Lecce

(9)

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I termini significativi di [S] sono legati ai termini della matrice di elasticità dalle relazioni di inversione: E11 =

S 22 S11 S 22 − S12

2

; E 22 =

S11 S11 S 22 − S12

2

; E12 =

S12 S11 S 22 − S12

2

; E33 =

1 . S 33

(10)

In conclusione si può affermare che le equazioni costitutive di un materiale anisotropo coinvolgono 21 costanti elastiche (ovvero matrici 6x6 piene simmetriche), quelle di un materiale ortotropo 9 costanti elastiche (matrici 6x6 sparse, vedi eq. (7)) che nel caso piano si riducono a sole 4 (matrici 3x3 sparse, vedi eq. (7-8)). In ogni caso si ha una maggiore complessità rispetto al caso dei materiali isotropi che coinvolgono, per stati bidimensionali e tridimensionali, solo 2 costanti elastiche (Ε,ν).

1.3. RELAZIONI TRA COSTANTI ELASTICHE E TERMINI DELLE MATRICI DI ELASTICITÀ DIRETTA E INVERSA

In presenza di uno stato tensionale biassiale, il comportamento meccanico di una lamina ortotropa (Figura 3) è definito univocamente dalle 4 costanti EL, ET, GLT, νLT, (si ricordi che νLT non è un parametro indipendente).

Figura 3 – Schema di lamina ortotropa caricata.

I legami tra tali costanti elastiche ed i termini della matrice di elasticità si ottiene considerando la lamina soggetta ad uno stato monoassiale di tensione diretto secondo le direzioni principali ed ad uno stato di taglio puro. Per una tensione monoassiale lungo la direzione longitudinale si ha:

σ L = E11ε L + E12 ε T σ T = E12 ε L + E 22 ε T

(11-12)

che risolte rispetto alle deformazioni forniscono:

εL =

E 22 E11 E 22 − E12

εT = −

2

σL (13-14)

E12 E11 E 22 − E12

2

σL

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Tenendo quindi conto della definizione di modulo di Young e di coefficiente di Poisson, dalle precedenti equazioni si ottiene:

σ L E11 E 22 − E12 2 = E 22 εL ε E = − T = 12 ε L E 22

EL =

ν LT

(15-16)

Considerando invece una tensione monoassiale in direzione trasversale, con analogo procedimento si ottiene:

σ T E11 E 22 − E12 2 = E11 εT ε E = − L = 12 ε T E11

ET =

ν TL

(17-18)

Considerando infine una sollecitazione di taglio puro, si ha:

τ LT = E33γ LT

(19)

da cui si ottiene immediatamente: G LT =

τ LT = E33 γ LT

(20)

Dalle relazioni (15-18) e (20) si ha quindi:

E11 = E 22 = E12 =

EL

1 − ν LTν TL ET

1 − ν LTν TL

(21-24)

ν LT ET ν TL E L = 1 − ν LTν TL 1 − ν LTν TL

E33 = G LT Si ricordi che in accordo alla (23), i due coefficienti di Poisson principali (major e minor) sono in pratica legati ai moduli di Young dalla relazione:

ν LT E L = ν TL ET

(25)

cosicché delle 5 costanti elastiche presenti a secondo membro delle (21-24) solo 4 sono indipendenti. -Pagina 6 di 35Appunti del corso di Strutture Aeronautiche – Prof. Ing. Leonardo Lecce

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Utilizzando le (21-24) e tenendo conto della relazione (10) si ottengono immediatamente le relazioni tra i termini della matrice di elasticità inversa e le costanti elastiche: S11 =

1 EL

S 22 =

1 ET

S12 = − S 33 =

ν LT EL

=−

(26-29)

ν TL ET

1 G LT

In definitiva, nel caso piano le matrici di elasticità diretta e inversa assumono la forma:

 EL 1 − ν ν LT TL  ν LT ET  [E ] =  1 − ν LTν TL  0  

ν LT ET 1 − ν LTν TL ET

1 − ν LTν TL 0

 0   0 ;  G LT   

 1  E  L [S ] = − ν LT EL   0 

−

ν LT EL 1 ET 0

 0   0   1   G LT 

(30)

Per una lamina ortotropa, essendo questa in particolare anche trasversalmente isotropa (isotropa nel piano ortogonale alla direzione longitudinale), nel caso tridimensionale le costanti elastiche indipendenti non sono 9 come per un generico ortotropo, bensì soltanto 5. Indicando infatti con T’ la direzione ortogonale al piano LT, è facile comprendere che risulta: ET ' = ET ; G LT ' = G LT ; ν LT ' = ν LT

(31)

L’unica costante nuova è quindi νTT’ visto che per l’isotropia trasversale GTT’ è legato al coefficiente di Poisson νTT’ ed al modulo di Young ET da una relazione identica a quella valida per gli isotropi: GTT ' =

ET 2(1 + ν TT ' )

(32)

In presenza di stati tridimensionali pertanto, l’analisi della lamina isotropa necessita della conoscenza di 5 costanti elastiche indipendenti. Le costanti elastiche della lamina possono ottenersi o mediante prove sperimentali o a partire dalle costanti elastiche di fibra e matrice mediante la regola delle misture (v. Appendice).

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ANALISI DELLA LAMINA ORTOTROPA E TEORIA CLASSICA DEI LAMINATI (APPUNTI PREPARATI DALL’ING. PHD ROSARIO PECORA) 1.4. MATRICI DI ELASTICITÀ DIRETTA E INVERSA IN UN RIFERIMENTO CARTESIANO ARBITRARIO

Le matrici di elasticità e elasticità inversa individuate al paragrafo precedente permettono di scrivere le relazioni tensioni-deformazioni (e viceversa) nel riferimento principale L-T della lamina. Se si considera un riferimento cartesiano arbitrario le relazioni tra tensioni e deformazioni divengono più complesse: le matrici di elasticità sono ora matrici piene, cioè con elementi tutti diversi da zero. Le matrici di elasticità e di elasticità inversa in un generico riferimento cartesiano formante col riferimento principale un angolo generico θ, si possono ottenere considerando le equazioni di trasformazione dello stato di tensione e di deformazione nell’intorno del punto, note dalla Scienza delle Costruzioni.

Figura 4 – Lamina ortotropa con riferimento cartesiano generico.

Tali relazioni infatti, essendo derivate da semplici considerazioni di equilibrio (le prime) e geometriche (le seconde) sono valide tanto per materiali isotropi che per materiali anisotropi. Dalle relazioni generali per tensioni e deformazioni:

(σ L + σ T ) + (σ L − σ T ) cos 2θ + τ sin 2θ = σ cos 2 θ + σ sin 2 θ + 2τ sin θ cos θ  LT L T LT σ θ = 2 2 (33)  τ = − (σ L − σ T ) sin 2θ + τ cos 2θ = −σ sin θ cos θ + σ sin θ cos θ + τ cos 2 θ − sin 2 θ θ LT L T LT 2 

(

)

(ε L + ε T ) + (ε L − ε T ) cos 2θ + γ LT sin 2θ = ε cos 2 θ + ε sin 2 θ + γ sin θ cosθ  L T LT ε θ = 2 2 2 (34)   γ θ = − (ε L − ε T ) sin 2θ + γ LT cos 2θ = −ε sin θ cos θ + ε sin θ cos θ + γ LT cos 2 θ − sin 2 θ L T  2 2 2 2

(

con riferimento alla Figura 4 si ha in particolare: σ x = σ L cos 2 θ + σ T sin 2 θ + 2τ LT sin θ cos θ  2 2 σ y = σ L sin θ + σ T cos θ − 2τ LT sin θ cos θ  2 2 τ xy = −σ L sin θ cos θ + σ T sin θ cos θ + τ LT cos θ − sin θ

(

)

)

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(35)

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 ε = ε cos 2 θ + ε sin 2 θ + γ sin θ cos θ L T LT  x 2 2 = + − ε ε sin θ ε cos θ γ  y L T LT sin θ cos θ   γ xy = −ε sin θ cos θ + ε sin θ cos θ + γ LT cos 2 θ − sin 2 θ L T  2 2

(

(36)

)

che in forma matriciale possono essere scritte come: σ x  σ L      σ y  = [T ]  σ T ; τ xy  τ LT   

 ε   ε   x   L   ε y  = [T ]  ε T ; γ  γ LT   LT 2   2 

(37-38)

avendo indicato con [T] la nota matrice di rotazione data da:

 cos 2 θ  [T ] =  sin 2 θ − sin θ cos θ 

sin 2 θ cos 2 θ sin θ cos θ

2 sin θ cos θ   − 2 sin θ cos θ  . cos 2 θ − sin 2 θ 

(39)

Utilizzando le (37-38) è infine possibile scrivere a partire dalle (9-10) le corrispondenti relazioni valide in un generico riferimento cartesiano. Per la matrice di elasticità si ha: σ x   εx  σ L  εL   εL     −1        σ y  = [T ] σ T  = [T ][E ] ε T  = [T ] E  ε T  = [T ] E [T ]  ε y  τ xy  γ xy / 2 τ LT  γ LT  γ LT / 2    

[]

[]

(40)

avendo indicato con [E ] la matrice che si ottiene dalla matrice [E] (riferita agli assi naturali del materiale) semplicemente sostituendo il termine GLT con 2 GLT. Dividendo per due i termini della terza colonna della matrice [T]-1 ed indicando con T la matrice così ottenuta, la (40) si scrive in forma compatta come:

[]

σ x  ε x  ~   ~  σ y  = E  ε y  con E = [T ] E T τ xy  γ xy     

[]

[]

[ ][ ]

−1

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(41)

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essendo in pratica: ~ E11 = E11 cos 4 θ + E 22 sin 4 θ + 2(E12 + 2 E33 )sin 2 θ cos 2 θ ~ E12 = (E11 + E 22 − 4 E33 )sin 2 θ cos 2 θ + E12 sin 4 θ + cos 4 θ ~ E 22 = E11 sin 4 θ + E 22 cos 4 θ + 2(E12 + 2 E33 )sin 2 θ cos 2 θ ~ E13 = (E11 − E12 − 2 E33 )sin θ cos 3 θ − (E 22 − E12 − 2 E33 )sin 3 θ cos θ ~ E 23 = (E11 − E12 − 2 E33 )sin 3 θ cos θ − (E 22 − E12 − 2 E33 ) cos 3 θ sin θ ~ E33 = (E11 + E 22 − 2 E12 − 2 E33 )sin 2 θ cos 2 θ + E33 sin 4 θ + cos 4 θ

(

)

(

(42-47)

)

Invertendo la (41) si ottiene immediatamente la relazione generale tra deformazioni e tensioni coinvolgente la matrice di elasticità inversa nel riferimento cartesiano generico: σ x  ε x  ~ ~   ~   ε y  = S σ y  con S = E τ xy  γ xy     

[]

[] []

−1

[]

= [T ] S [T ]

−1

(48)

con: ~ S11 = S11 cos 4 θ + S 22 sin 4 θ + 2(S12 + S 33 )sin 2 θ cos 2 θ ~ S12 = (S11 + S 22 − S 33 )sin 2 θ cos 2 θ + S12 sin 4 θ + cos 4 θ ~ S 22 = S11 sin 4 θ + S 22 cos 4 θ + (2 S12 + S 33 )sin 2 θ cos 2 θ ~ S13 = 2(2S11 − 2 S12 − S 33 )sin θ cos 3 θ − 2(2 S 22 − 2 S12 − S 33 )sin 3 θ cos θ ~ S 23 = 2(2 S11 − 2 S12 − S 33 )sin 3 θ cos θ − 2(2 S 22 − 2 S12 − S 33 ) cos 3 θ sin θ ~ S 33 = 2(2 S11 + S 22 − 4 S12 − S 33 )sin 2 θ cos 2 θ + S 33 sin 4 θ + cos 4 θ

(

)

(

(42-47 bis)

)

Svolgendo i prodotti matriciali indicati a destra delle (41) e (48) è facile verificare che le matrici di elasticità e di elasticità inversa nel riferimento generico sono matrici piene. Ciò rende in pratica più complessa l’applicazione della legge di Hooke per passare dalle tensioni alle deformazioni o viceversa. Per questo nella pratica la legge di Hooke viene solitamente applicata previa riduzione di deformazioni e tensioni nel riferimento principale del materiale utilizzando le relazioni generali di trasformazione dello stato tensionale e di deformazione nell’intorno del punto (eq. 35-26). Un esempio è utile a chiarire il concetto.

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Esempio Una lamina composita unidirezionale fibra di vetro–resina epossidica, è soggetta ad uno stato tensionale monoassiale σx=100MPa, formante un angolo di 30° con la direzione longitudinale, come indicato in Figura 5.

Figura 5 – Lamina ortotropa soggetta a stato monoassiale.

Si calcolino le componenti di deformazione nel riferimento cartesiano x-y essendo note le 4 costanti elastiche indipendenti: EL= 42 GPa, ET=14 GPa, GLT=7 GPa e νLT=0.25. Si ha anzitutto in virtù della (25):

ν TL = ν LT

ET 14 = 0.25 = 0.08 EL 42

(49)

Le componenti di tensione nel riferimento principale si ottengono mediante la relazione generale di rotazione, essendo l’angolo θ che interviene nella matrice di rotazione (dal vecchio riferimento al nuovo) pari a -30°, cioè: cos 2 (−30°) sin 2 (−30°) 2 sin( −30°) cos(−30°)  σ x  σ L      σ  = 2 2 sin ( 30 ) cos ( 30 ) 2 sin( 30 ) cos( 30 ) − ° − ° − − ° − ° T  σ y  (50)    2 2 τ LT  − sin( −30°) cos(−30°) sin( −30°) cos(−30°) cos (−30°) − sin (−30°) τ xy  cioè:

1/ 4 − 3 / 2 100 75 σ L   3 / 4   σ  =  1 / 4 3/ 4 3 / 2   0  MPa = 25 MPa  T   43 τ LT   3 / 4 − 3 / 4 1 / 2   0  

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(51)

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A questo punto è facile ottenere le componenti di deformazione mediante la matrice di elasticità inversa:  1   ε L   EL  ε  = − ν LT  T   E L γ LT    0 

−

ν LT EL 1 ET

0

  1 0   42  σ L   0.25 0   σ T  = 10 −3 −   42    0 1  τ LT    G LT 

−

0.25 42 1 14 0

 0 75 0.0016       0  25 = 0.0013  1   43 0.0062 7 

(52)

e da queste passare alle componenti di deformazione sul piano cartesiano x-y:

 εx   cos 2 (30°) sin 2 (30°) 2 sin(30°) cos(30°)   ε L      2 2 sin (30°) cos (30°) − 2 sin(30°) cos(30°)   ε T   εy  =  γ xy / 2 − sin(30°) cos(30°) sin(30°) cos(30°) cos 2 (30°) − sin 2 (30°) γ LT / 2    

(53)

cioè:  ε x   3/ 4     ε y  =  1/ 4 γ xy / 2 − 3 / 4   

3 / 2  0.0016  0.0042  3 / 4 − 3 / 2 0.0013 =  − 0.0013 3/4 1 / 2   0.0031  0.0014

1/ 4

(54)

La (54) mostra come l’applicazione di un carico monoassiale in una generica direzione diversa dalle direzioni principali del materiale produce anche uno scorrimento nel piano della lamina. Dai risultati ottenuti è possibile calcolare il modulo di Young esibito dal materiale in direzione x nonché il coefficiente di Poisson νxy. Si ha:

σx 100 = MPa = 23.58 GPa ε x 0.0042 ε y 0.0013 =− = = 0.30 ε x 0.0042

Ex =

ν xy

(55-56)

Si noti che il modulo di Young è compreso tra i due moduli principali mentre il coefficiente di Poisson è esterno al range definito dai due coefficienti di Poisson principali. È questo un risultato piuttosto generale: il modulo di Young di una lamina composita varia generalmente tra i due estremi costituiti dai moduli nelle due direzioni principali, mentre il coefficiente di Poisson può assumere valori esterni all’intervallo individuato dai due coefficienti principali. Inoltre, a differenza di quanto accade per i materiali isotropi, per gli anisotropi il coefficiente di Poisson può essere anche superiore a 0.5. A titolo d’esempio in Figura 6 è rappresentato l’andamento del modulo di Young, del modulo trasversale e del coefficiente di Poisson al variare della direzione θ considerata per una lamina unidirezionale in fibra di vetro-resina epossidica.

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ANALISI DELLA LAMINA ORTOTROPA E TEORIA CLASSICA DEI LAMINATI (APPUNTI PREPARATI DALL’ING. PHD ROSARIO PECORA)

Si vede come il modulo di Young subisce un rapido abbassamento per piccoli disallineamenti carico-materiale: tale situazione, quindi, va tenuta debitamente sotto controllo in esercizio e/o nella produzione dei manufatti.

Figura 6 – Andamento delle costanti elastiche con la direzione per lamina glass-epoxy.

Nella Figura 6 è pure riportato l’andamento dei rapporti mx e my tra lo scorrimento γxy e le deformazioni longitudinali (σx/EL) e trasversale (σy/EL) prodotte dallo stesso carico σ allineato con la direzione longitudinale e trasversale rispettivamente: mx = −

γ xy

  

γ xy

  

  E E E E = sin 2θ ν LT + L − L − cos 2 θ 1 + 2ν LT + L − L (σ x / E L ) ET 2G LT ET G LT  

  E E E E = sin 2θ ν LT + L − L − sin 2 θ 1 + 2ν LT + L − L my = − (σ y / E L ) ET 2G LT ET G LT  

(57-58)

Tali rapporti si annullano in corrispondenza delle direzioni principali del materiale. Tutte le formule sopra esposte sono valide per qualunque lamina ortotropa e quindi esse sono applicabili non solo a lamine con rinforzo unidirezionale ma anche a lamine bidirezionali aventi fibre disposte secondo due direzioni ortogonali (direzioni principali). Una lamina bidirezionale di pratico interesse è quella che presenta la stessa percentuale di fibre in entrambe le direzioni e, conseguentemente, le stesse caratteristiche elastiche nelle due direzioni principali (EL=ET, νLT=νTL). Una tale lamina, detta lamina ortotropa bilanciata presenta ovviamente un comportamento simmetrico anche rispetto agli assi disposti a ±45°, cioè anche gli assi a ±45° sono assi principali -Pagina 13 di 35Appunti del corso di Strutture Aeronautiche – Prof. Ing. Leonardo Lecce

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come mostra la seguente figura riportante l’andamento delle costanti elastiche al variare della direzione per una lamina ortotropa bilanciata in fibra di vetro-resina epossidica. I due rapporti mx e my si annullano infatti oltre che in corrispondenza delle direzioni delle fibre, anche in corrispondenza delle direzioni a ±45°.

Figura 7 – Andamento delle costanti elastiche con la direzione per lamina ortotropa bilanciata glass-epoxy.

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2. TEORIA CLASSICA DEI LAMINATI 2.1. INTRODUZIONE

L’uso di semplici lamine con rinforzo unidirezionale risulta insoddisfacente nella maggior parte delle applicazioni ingegneristiche a causa della bassissima resistenza e rigidezza in direzione trasversale. La resistenza e la rigidezza trasversale di una lamina unidirezionale, infatti, strettamente dominate da resistenza e rigidezza della matrice, risultano in genere insufficienti ad assicurare, anche in presenza di limitati (trascurabili) carichi trasversali, l’assenza di fenomeni di danneggiamento, la stabilità di forma e l’integrità dei manufatti. Questo inconveniente è superato ricorrendo ai laminati compositi costituiti da n lamine con rinforzo unidirezionale orientate in modo da soddisfare le varie esigenze di progetto quali, in particolare, resistenza e rigidezza. Per la corretta progettazione di un laminato composito è necessario conoscere le relazioni che intercorrono, per dato tipo di lamine e sequenza di impacchettamento, tra le caratteristiche meccaniche delle lamine e quelle del laminato ottenuto. Sotto alcune ipotesi semplificative, tali relazioni sono individuate dalla cosiddetta Teoria classica dei laminati.

2.2 FORMULAZIONE DELLA TEORIA CLASSICA DEI LAMINATI

L’andamento delle deformazioni e delle tensioni in un laminato composito può essere facilmente ottenuto se sono soddisfatte alcune ipotesi semplificative quali: 1. le lamine costituenti il laminato siano perfettamente incollate cosicché nessuno scorrimento reciproco si può verificare sotto l’azione di carichi applicati (continuità di spostamenti e deformazioni all’interfaccia tra due lamine adiacenti); 2. il generico segmento rettilineo ortogonale al piano medio del laminato (vedi Figura 8) rimane rettilineo e ortogonale al piano medio anche a deformazione avvenuta, cioè γxz=γyz=0; 3. la deformazione εz sia piccola e trascurabile rispetto alle altre deformazioni εx ed εy; 4. lo spessore del laminato sia piccolo rispetto alle altre dimensioni.

Figura 8 – Sezione non deformata e deformata di laminato di piccolo spessore: notazione generale.

L’ipotesi è generalmente ben soddisfatta dai laminati compositi commerciali essendo lo spessore dell’adesivo utilizzato molto piccolo rispetto alle dimensioni delle lamine. Inoltre, in un laminato di spessore piccolo rispetto alle altre dimensioni,le ipotesi 2 e 3 sono soddisfatte nelle zone lontane dai carichi applicati e dai bordi. Sotto queste ipotesi, considerando un generico segmento rettilineo ortogonale al piano medio ed indicando con u0, v0 ed w0 le componenti lungo x,y, e z dello spostamento subito dal punto -Pagina 15 di 35Appunti del corso di Strutture Aeronautiche – Prof. Ing. Leonardo Lecce

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appartenente al piano medio del laminato (Figura 8), si ha allora che lo spostamento u lungo x subito dal generico punto del segmento distante z dal piano medio è dato da: u ( z ) = u 0 − αz

(59)

essendo α la rotazione subita dal segmentino considerato. Tenendo conto delle ipotesi fatte, tale rotazione è legata allo spostamento lungo z dalla relazione:

α ( z) =

∂w ∂w0 = ∂x ∂x

(60)

∂w0 ∂x

(61)

sostituendo la (60) nella (59) si ha pertanto: u( z) = u0 − z

Con analogo procedimento, considerando la deformazione in direzione y si ottiene anche: v( z ) = v0 − z

∂w0 ∂y

(62)

Utilizzando le equazioni di congruenza, per le deformazioni nel piano x-y si ottengono le seguenti espressioni:  ∂2w ∂u ∂u 0 z ε − = ε x0 + zk x = =  x 2 ∂x ∂x ∂x   ∂v ∂v0 ∂2w z ε = = − = ε y0 + zk y  y 2 ∂y ∂y ∂y   ∂u ∂v ∂u 0 ∂v0 ∂2w + = + − 2z = γ xy0 + zk xy γ xy =  ∂y ∂x ∂y ∂x ∂x∂y

(63-65)

avendo indicato con kx, ky e kxy, le curvature del piano medio del laminato nel piano x-z,y-z e x-y. Le (63-65) possono essere scritte in forma matriciale come:  ε x   ε x0   kx     0   ε y  = ε y  + z k y  γ xy  γ xy0  k xy       

(66)

con ovvio significato dei simboli. La (66) mostra che le componenti di deformazione significative variano tutte linearmente nello spessore z del laminato. Se le deformazioni variano linearmente lungo z, non così avviene solitamente per le tensioni. In ciascuna lamina del laminato esse infatti sono legate alle deformazioni dalle relazioni tensionideformazioni viste al capitolo precedente. -Pagina 16 di 35Appunti del corso di Strutture Aeronautiche – Prof. Ing. Leonardo Lecce

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Per la k-esima lamina:  ε x0  σ x  ε x  ~ ~ ~  0     σ y  = E k  ε y  = E k  ε y  + z E γ xy0  τ xy  γ xy       

[]

[]

 kx    k ky  k xy   

[]

[]

(67)

~ Tenuto conto che la matrice E k varia da una lamina all’altra dipendendo oltre che dalle peculiari caratteristiche della lamina anche dal relativo orientamento, in virtù delle (67) si ha che a differenza delle deformazioni le tensioni hanno un andamento lineare nella generica sezione del laminato, ma presentano in genere dei salti passando da una lamina all’altra. L’andamento è invece lineare all’interno di ciascuna lamina. A titolo d’esempio la figura seguente mostra l’andamento qualitativo di una possibile distribuzione delle tensioni in un laminato costituito da tre lamine sovrapposte.

Figura 9 – Tipico andamento di deformazioni e tensioni in laminato composito.

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ANALISI DELLA LAMINA ORTOTROPA E TEORIA CLASSICA DEI LAMINATI (APPUNTI PREPARATI DALL’ING. PHD ROSARIO PECORA) 2.3 MATRICI DI RIGIDEZZA DEL LAMINATO

Le relazioni (67) legano le tensioni presenti su ciascuna lamina con le corrispondenti deformazioni e curvature del piano medio del laminato. A partire da queste è possibile individuare (in forma matriciale) il legame esistente tra le caratteristiche di sollecitazione del laminato (sforzo normale, momento torcente e flettente) per unità di larghezza del laminato e le componenti di deformazione del piano medio. Si consideri il caso generale di un laminato costituito da n lamine, ed avente spessore complessivo h (vedi Figura 10).

Figura 10 – Geometria di laminato con n lamine e notazione generale

Da ovvie considerazioni di equilibrio, per le componenti cartesiane dello sforzo normale (per unità di larghezza) si ha: h/2

Nx =

∫σ

x

dz

−h / 2

(68-69)

h/2

Ny =

∫σ

y

dz

xy

dz

−h / 2

Per il taglio nel piano x-y del laminato si ha invece: h/2

Txy =

∫τ

−h / 2

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(70)

ANALISI DELLA LAMINA ORTOTROPA E TEORIA CLASSICA DEI LAMINATI (APPUNTI PREPARATI DALL’ING. PHD ROSARIO PECORA)

Per le componenti del momento flettente: h/2

Mx =

∫σ

x

zdz

−h / 2

(71-72)

h/2

My =

∫σ

y

zdz

−h / 2

e per il momento torcente infine: h/2

M xy =

∫τ

xy

(73)

zdz

−h / 2

Sostituendo nelle (68-73) la relazione generale (67) è possibile legare le caratteristiche di sollecitazione alle componenti di deformazione del piano medio del laminato. Tenendo conto delle proprietà dell’integrale per lo sforzo normale ed il taglio si ottiene:   ε x0   N x  h / 2 σ x  σ x  n hk  n hk ~  0 ~        N y  = ∫ σ y dz = ∑ ∫ σ y dz = ∑ ∫  E k  ε y  + z E k =1 hk −1  k =1 hk −1 γ xy0  Txy  − h / 2 τ xy  τ xy           

[]

[]

ε 0  k    x0   n ~ hk  x   ε +  ∑ E k zdz  k = k ∫ dz ∫  y    0y   k =1 hk −1 hk −1  γ    k   xy   xy  0 ε x   kx    0   n ~  hk2 − hk2−1     ~   k y . E k (hk − hk −1 )  ε y  + ∑ E k   2   0   k =1   k   γ xy  xy   

 n ~ = ∑ E  k =1 

[]

 n = ∑  k =1

 kx    k  k y   dz = k xy    

[]

hk

[]

(74)

[]

Ponendo quindi:

[A] = ∑ [E~ ]k (hk − hk −1 ) =∑ [E~ ]k s k n

n

k =1

k =1

[B] = ∑ [ n

k =1

]

~ h −h E k  2  2 k

2 k −1

[]

[]

n  n ~ h + hk −1 ~  =∑ E k s k k = E k sk z k ∑  2 k =1  k =1

(75-76)

si ha così:  ε x0   kx  N x   0      N y  = [A]  ε y  + [B ] k y  γ xy0  k xy  Txy        -Pagina 19 di 35Appunti del corso di Strutture Aeronautiche – Prof. Ing. Leonardo Lecce

(77)

ANALISI DELLA LAMINA ORTOTROPA E TEORIA CLASSICA DEI LAMINATI (APPUNTI PREPARATI DALL’ING. PHD ROSARIO PECORA)

essendo gli elementi delle matrici [A ] e [B] dati rispettivamente da:

( ) (h

n ~ Aij = ∑ Eij k =1 n

Bij = ∑ k =1

k

k

( )

n ~ − hk −1 ) =∑ Eij k s k k =1

(78-79)

2 2 ~  h − hk −1  n ~  =∑ Eij k s k z k Eij k  k 2  k =1 

( )

( )

Per i momenti flettenti e torcente si ha invece ordinatamente:  σ x   M x  h / 2 σ x  n hk n hk  ~        M y  = ∫ σ y zdz = ∑ ∫ σ y zdz = ∑ ∫  z E k =1 hk −1 k =1 hk −1  τ xy   M xy  − h / 2 τ xy          0 ε  k   n ~ hk   x0   n ~ hk 2   x      = ∑ E k ∫ zdz  ε y  + ∑ E k ∫ z dz  k y  =    k =1  0 hk −1 hk −1  k    γ   k =1  xy   xy 

 ε x0   kx  ~  0   2 z E ε + k y  k  k y   dz = 0 γ xy  k xy      

[]

[]

[]

 ~ h −h =  ∑ E k   k =1 2   n

[]

[]

2 k

2 k −1

(80)

 ε x0   kx     0   n ~  hk3 − hk3−1        k y .  ε y  + ∑ E k      k =1 3   k     γ 0    xy   xy 

[]

Ponendo quindi:

[D] = ∑ [E~ ]k  hk n



k =1



3

− hk3−1    3 

(81)

si ha così:  ε x0   kx  Mx   0      M y  = [B ]  ε y  + [D ] k y  γ xy0  k xy   M xy       

(82)

essendo gli elementi della matrice [D] dati da : n ~  h 3 − hk3−1   Dij = ∑ Eij k  k 3 k =1  

( )

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(83)

ANALISI DELLA LAMINA ORTOTROPA E TEORIA CLASSICA DEI LAMINATI (APPUNTI PREPARATI DALL’ING. PHD ROSARIO PECORA)

La (77) e la (82) possono infine essere riunite nell’unica espressione matriciale:  [ N ]  [ A] [ B ]  [ε 0 ]  [ M ] = [ B ] [ D]       [k ] 

(84)

con  ε x0   kx  Mx  N x   0       0 [ N ] =  N y ; [ M ] =  M y ; [ε ] =  ε y ; [k ] =  k y ; γ xy0  k xy   M xy  Txy         

che rappresenta l’equazione costitutiva del laminato. Le matrici [A], [B] e [D] prendono il nome di matrice di rigidezza estensionale, di accoppiamento e di rigidezza flessionale. La (77) mostra che, similmente a quanto accade in una singola lamina unidirezionale in cui uno sforzo normale semplice produce in genere oltre che una deformazione normale anche uno scorrimento e viceversa uno sforzo di taglio produce oltre che uno scorrimento anche una deformazione normale, in un laminato uno sforzo normale o un taglio producono in genere oltre che una deformazione nel piano anche una curvatura flessionale e/o torsionale del piano medio. Analogamente la (82) mostra che un momento flettente o torcente produce oltre che una corrispondente curvatura, anche deformazioni e scorrimenti nel piano medio del laminato. Si osservi che tale accoppiamento è legato esclusivamente alle diverse caratteristiche meccaniche delle varie lamine ed alla sequenza di impacchettamento e non alla anisotropia di queste. La matrice di accoppiamento [B] infatti è non nulla anche in presenza di lamine in materiale isotropo come si verifica ad esempio nelle strisce bimetalliche solitamente usate come dispositivi di controllo della temperatura. ~ Si osservi infine che le matrici [A],[B] e [D] sono, come le matrici E k da cui dipendono, legate al particolare riferimento cartesiano considerato. Conseguentemente, così come l’accoppiamento tra deformazioni normali e scorrimenti per una lamina varia con la direzione, per un laminato l’accoppiamento tra deformazioni normali e curvature varia con la direzione del carico. In altre parole in uno stesso laminato possono esistere riferimenti in cui la matrice [B] risulta identicamente nulla.

[]

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ANALISI DELLA LAMINA ORTOTROPA E TEORIA CLASSICA DEI LAMINATI (APPUNTI PREPARATI DALL’ING. PHD ROSARIO PECORA) 2.4 MATRICI DI RIGIDEZZA DI LAMINATI PARTICOLARI 2.4.1. LAMINATI SIMMETRICI ([B]=0)

Una particolare classe di laminati è costituita da quelli in cui l’accoppiamento tra flessione e sforzo normale è eliminata. In questi laminati l’applicazione di uno sforzo normale non produce flessione del piano medio né l’applicazione di un momento flettente produce deformazioni (estensione/contrazione) del piano medio. Tale caratteristica è molto importante al fine di evitare che l’applicazione di sollecitazioni nel piano del laminato produca deformazioni fuori dal piano (ingobbamenti). Inoltre, l’assenza di accoppiamento permette di evitare che il raffreddamento del laminato dopo la cura dia luogo a fastidiose distorsioni dello stesso. Tenendo conto delle equazioni costitutive trovate al paragrafo precedente, si vede che un tale comportamento del laminato corrisponde alla condizione per cui la matrice di accoppiamento [B] risulta identicamente nulla. Tenendo conto che il generico termine della matrice [B] è dato dalla ~ sommatoria -estesa alle lamine- degli omologhi termini della matrice E k moltiplicati per lo spessore della lamina e per la distanza media dal piano medio (s k z k ) , si ha che tali termini possono essere resi nulli se ad ogni lamina posta al di sopra (al di sotto) del piano medio corrisponde una lamina eguale e con identico orientamento disposta simmetricamente rispetto al piano medio. Un tale laminato dicesi perciò simmetrico. In letteratura un laminato simmetrico è indicato con un codice che riporta sinteticamente entro parentesi quadre l’orientamento delle lamine di metà laminato nella effettiva sequenza di impacchettamento, con il pedice S (simmetrico) fuori parentesi. L’orientamento delle lamine è indicato per semplicità omettendo il simbolo di gradi (°). Nel caso di lamine consecutive aventi lo stesso orientamento, il numero di lamine è indicato con un pedice. Per esempio il laminato simmetrico costituito complessivamente da 8 lamine così orientate:

[]

0°\0°\+45°\-45°\-45°\+45°\0°\0° è sinteticamente indicato con il codice: [02/±45]s. Nel caso in cui il laminato è ottenuto ripetendo m volte una sequenza di n lamine, allora la sua indicazione può essere semplificata indicando tra parentesi tonde la sequenza e mettendo m come pedice. Per esempio un laminato costituito da una sequenza di 5 lamine : 0°\0°\+45°\-45°\90° ripetuta 20 volte (laminato simmetrico) si indica sinteticamente con : [(02/±45/90)10]s.

-Pagina 22 di 35Appunti del corso di Strutture Aeronautiche – Prof. Ing. Leonardo Lecce

ANALISI DELLA LAMINA ORTOTROPA E TEORIA CLASSICA DEI LAMINATI (APPUNTI PREPARATI DALL’ING. PHD ROSARIO PECORA) 2.4.2. LAMINATI SIMMETRICI CON A13=A23=0 (LAMINATI ORTOTROPI)

Un’altra classe di laminati importante è quella che presenta disaccoppiamento tra sforzo normale e scorrimenti ovvero tra taglio e deformazioni normali. Considerando l’equazione costitutiva (77) è facile osservare che tale condizione si realizza se i termini A13 ed A23 della matrice [A] risultano nulli. Tenendo conto che tali termini risultano dalla sommatoria estesa alle lamine dei termini ~ omologhi della matrice E k per lo spessore della lamina (costante per lamine uguali), e ~ ~ considerando che i termini E13 ed E 23 sono funzioni dispari di θ (v. eq. (45-46) paragrafo 1.4), si ha che i termini A13 ed A23 della matrice [A] possono essere annullati se e solo se il laminato è costituito in modo che ad una lamina con orientamento θ corrisponda, indipendentemente dalla sequenza di impacchettamento una lamina con orientamento opposto - θ. Risulta infatti:

[]

~ ~ E13 (θ ) = (E11 − E12 − 2 E 33 )sin θ cos 3 θ − (E 22 − E12 − 2 E 33 )sin 3 θ cos θ = − E13 (− θ ) ~ ~ E23 (θ ) = (E11 − E12 − 2 E33 )sin 3 θ cos θ − (E22 − E12 − 2 E33 ) cos 3 θ sin θ = − E23 (− θ )

(85) (86)

Ovviamente è possibile costruire un laminato che presenta disaccoppiamento tra sforzo normale e scorrimento e sia al tempo stesso simmetrico (disaccoppiamento tra sforzi normali o taglio e curvature). Basta a tal fine disporre le lamine in modo tale che la metà superiore (inferiore) del laminato sia costituita da lamine che soddisfano da sole la condizione A13=A23=0, cioè ad una lamina con orientamento θ corrisponda una lamina con orientamento -θ , e che la parte del piano inferiore (superiore) del laminato sia simmetrica di quella superiore (inferiore) rispetto al piano medio. È importante osservare che, similmente a quanto succede in una lamina ortotropa, il disaccoppiamento tra deformazioni normali e scorrimenti (A13=A23=0) dipende dalla direzione di applicazione del carico, cioè dal riferimento considerato. Così come per la lamina unidirezionale, per la quale il disaccoppiamento si verifica solo se il carico agisce lungo gli assi principali, per il laminato ciò si verifica solo se il carico agisce lungo gli assi x-y per cui risulta A13=A23=0. In altre parole gli assi x-y per cui risulta A13=A23=0 costituiscono in pratica gli assi principali del laminato. ~ ~ Con riferimento alla espressione analitica dei termini E13 ed E 23 , considerando un nuovo riferimento cartesiano x’-y’ ruotato di un angolo α (diverso da 0° e 90°) rispetto al riferimento principale x-y, si ha infatti: ~ ~ E13 (θ − α ) ≠ − E13 (− θ − α ) ~ ~ E 23 (θ − α ) ≠ − E 23 (− θ − α )

(87) (88)

A titolo di esempio il laminato simmetrico citato al punto precedente costituito da 8 lamine tutte uguali orientate secondo lo schema [02/±45]s è un laminato per cui risulta anche A13=A23=0. La sequenza di impacchettamento, come osservato, non ha alcuna importanza e pertanto, fermo restando l’orientamento di ogni lamina, essa può essere variata per il soddisfacimento di ulteriori esigenze di processo o di produzione. Laminati simmetrici con A13=A23=0 sono detti comunemente laminati ortotropi in quanto ammettono, come la lamina ortotropa, tre piani (x-y-z) di simmetria mutamente ortogonali.

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ANALISI DELLA LAMINA ORTOTROPA E TEORIA CLASSICA DEI LAMINATI (APPUNTI PREPARATI DALL’ING. PHD ROSARIO PECORA) 2.4.3 LAMINATI CON D13 ≈ D23 ≈ 0

Un’altra classe di laminati notevoli è quella che realizza il disaccoppiamento tra sollecitazioni flettenti e curvatura torsionale e viceversa tra momento torcente e curvature flessionali. In tali laminati un momento flettente produce solo una curvatura del laminato nel proprio piano essendo nulla quella nel piano ortogonale. Osservando la (82) si vede che tale condizione si realizza se e solo se risulta D13= D23=0. Tenendo conto che i termini della matrice [D] sono legati al ~ prodotto dei termini della matrice E k per la differenza dei cubi delle distanze degli estremi della ~ ~ lamina dal piano medio , e che in particolare come già osservato i termini E13 ed E 23 sono funzioni dispari di θ (v. eq. (85-86)), si ha anzitutto che per un laminato simmetrico certamente non risulta soddisfatta la condizione D13= D23=0. In questo caso infatti per una coppia di lamine simmetriche i ~ ~ termini E13 ed E 23 sono uguali ed uguali sono anche le differenze dei cubi delle distanze degli estremi delle lamine rispetto al piano medio. Per annullare tali termini è necessario invece disporre sopra e sotto il piano medio lamine con orientamento opposto. Ma tale situazione non è vantaggiosa essendo il disaccoppiamento tra sforzo normale e flessione sempre desiderato (laminati simmetrici) . Si osserva comunque che se si dispongono le lamine successive con orientamento opposto, si ottiene una matrice con elementi D13 e D23 molto piccoli (essendo opposti gli omologhi termini della matrice di rigidezza e pressoché eguali i coefficienti legati ai cubi delle distanze), cosicché flessione e torsione sono pressoché disaccoppiati. Come per il caso precedente, e per gli stessi motivi, la condizione di disaccoppiamento è strettamente legata all’orientamento. Tenuto conto di quanto visto ai due paragrafi precedenti, si ha che un laminato simmetrico ottenuto impacchettando coppie di lamine successive con orientamento opposto è un laminato che realizza il disaccoppiamento tra sforzo normale e flessione ([B]=0), il disaccoppiamento tra sforzo normale e scorrimento (A13=A23=0) nonché il disaccoppiamento tra momento flettente e curvatura fuori dal piano di sollecitazione (torsione). A titolo d’esempio il laminato di cui al paragrafo precedente [02/±45]s realizza in pratica tutte e tre le condizioni. Tale è pure il laminato [02/±45/902]s .

[]

2.4.4 LAMINATI QUASI ISOTROPI

Una quarta classe di laminati particolari è costituita dai cosiddetti laminati quasi isotropi. Un laminato si dice quasi isotropo se in pratica la sua rigidezza estensionale è indipendente dal particolare orientamento considerato, in altre parole la matrice [A] risulta isotropa. Tenendo conto che i termini della matrice [A] sono dati dalla sommatoria -estesa alle lamine- del ~ prodotto dei termini omologhi delle matrici E k per lo spessore delle lamine, se le lamine hanno eguale spessore, affinché ciò si verifichi è necessario che la sommatoria dei termini omologhi sia invariante rispetto ad una rotazione del riferimento. In altri termini devono essere verificate le seguenti condizioni: 1. il numero totale n di lamine sia maggiore o uguale a 3; 2. le lamine abbiano stessa costituzione e spessore; 3. l’angolo ∆θ tra due lamine sia costante, cioè ∆θ=360°/n (lamine angolarmente equispaziate); La denominazione di laminato quasi isotropo non è legata al fatto che tali laminati possono avere piccole (trascurabili) variazioni della rigidezza estensionale con la direzione, ma piuttosto al fatto che essi hanno comportamento isotropo solo rispetto alla trazione-compressione e non rispetto a flessione e torsione essendo in generale le altre matrici [B] e [D] non isotrope.

[]

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ANALISI DELLA LAMINA ORTOTROPA E TEORIA CLASSICA DEI LAMINATI (APPUNTI PREPARATI DALL’ING. PHD ROSARIO PECORA)

Con opportuno orientamento delle lamine si può ottenere un laminato simmetrico quasi isotropo che rispetti pure le condizioni di disaccoppiamento viste ai capitoli precedenti. Per esempio è tale un laminato simmetrico costituito da 12 lamine disposte secondo lo schema [(±30/±90/±30)6]s. La metà del laminato è infatti costituita da 6 lamine angolarmente equispaziate di 60° ed inoltre le lamine adiacenti hanno -a coppia- orientamento opposto cosicché soddisfano anche le altre sopra esposte condizioni di disaccoppiamento (A13=A23=0, D13=D23=0). Laminati [0/±60] e [0/±45/90] sono laminati anche essi quasi isotropi; il primo non è simmetrico mentre il secondo lo è ma non rispetta le altre condizioni di disaccoppiamento. Nella pratica costruttiva i laminati quasi isotropi non sono molto utilizzati in quanto, come più volte osservato, lo sfruttamento ottimale dei compositi si basa proprio sullo sfruttamento della anisotropia di questi che consente di orientare opportunamente le lamine in modo da avere la massima resistenza nella direzione delle massime sollecitazioni. Il concetto di laminato quasi isotropo è comunque utile per la previsione delle proprietà caratteristiche (rigidezza e resistenza) di compositi a fibra corta con orientamento random. Le proprietà di tali compositi possono per esempio essere bene approssimate considerando il semplice laminato [0°/±60].

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ANALISI DELLA LAMINA ORTOTROPA E TEORIA CLASSICA DEI LAMINATI (APPUNTI PREPARATI DALL’ING. PHD ROSARIO PECORA) 2.5 CALCOLO DI TENSIONI E DEFORMAZIONI

Determinate le tre matrici che intervengono nella equazione costitutiva di un laminato composito, la determinazione delle deformazioni e delle tensioni presenti su ciascuna lamina può essere eseguita manipolando tali relazioni al fine di esplicitare le variabili di interesse. Nella teoria classica dei laminati deformazioni e tensioni di ciascuna lamina sono messe, come visto, in relazione con le componenti di deformazione del piano medio del laminato. Nella procedura di calcolo di deformazioni e tensioni è pertanto conveniente valutare prima le componenti di deformazione del piano medio e successivamente passare alla valutazione delle variabili locali per ciascuna lamina. Le componenti di deformazione del piano medio possono essere in linea di principio calcolate direttamente dalle caratteristiche di sollecitazione invertendo la (84). Ciò comporta però l’inversione di una matrice 6x6, cosa che può essere evitata mediante una procedura alternativa che consiste nel considerare separatamente le eq. (77) e (82):  ε x0   kx  N x   0      N y  = [A]  ε y  + [B ] k y  γ xy0  k xy  Txy       

(77)

 ε x0   kx  Mx   0      M y  = [B ]  ε y  + [D ] k y  γ xy0  k xy   M xy       

(82)

Risolvendo la prima rispetto alle deformazioni nel piano e la seconda rispetto alle curvature si ha:  ε x0   kx  N x   0    −1  −1  ε y  = [A]  N y  − [A] [B ] k y  γ xy0  k xy  Txy       

(89)

 ε x0  Mx   kx   0    −1  −1  k y  = [D ]  M y  − [D ] [B ]  ε y . γ xy0   M xy  k xy       

(90)

Sostituendo allora la (89) nella (90) si ottiene: Mx   kx     −1  −1 -1  k y  = [D ]  M y  − [D ] [B ][A]  M xy  k xy     

 kx  N x      −1 -1  N y  + [D ] [B ][A] [B ] k y . k xy  Txy     

(91)

risolvendo la (91) rispetto alle curvature e indicando con :

[F ] = {[I ] − [D]−1 [B ][A]−1 [B]} {− [D]−1 [B ][A]−1 } −1 [G ] = {[I ] − [D]−1 [B][A]−1 [B]} [D]−1 −1

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(92)

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si ha: Mx  N x   kx         k y  = [F ]  N y  + [G ] M y .  M xy  Txy  k xy       

(93)

Sostituendo a questo punto la (93) nella (89) si ottiene:  ε x0  Mx  N x   0     −1 −1  ε y  = [A] {[I ] − [B ][G ]} N y  − [A] [B ][F ] M y  γ xy0   M xy  Txy       

(94)

la quale ponendo:

[H ] = [A]−1 {[I ] + [B ][F ]} [L] = −[A]−1 [B ][G ]

(95)

si scrive anche come:  ε x0  Mx  N x   0      ε y  = [H ] N y  + [L ] M y  . γ xy0   M xy  Txy       

(96)

Riunendo infine la (93) e la (96) in un'unica relazione si ha: [ε 0 ] [ H ] [ L]   [ N ]   =    [k ]  [ F ] [G ] [ M ]

(97)

con:  ε x0   kx  Mx  N x   0       0 [ N ] =  N y ; [ M ] =  M y ; [ε ] =  ε y ; [k ] =  k y ; γ xy0  k xy   M xy  Txy         

Con questa procedura è possibile calcolare le 6 componenti di deformazione mediante semplice manipolazione (inversione e moltiplicazione) di matrici di ordine 3x3. In ogni caso, sia si inverta direttamente la (84) sia che si usi la (97), per il calcolo delle componenti di deformazione del piano medio del laminato è conveniente far uso di uno strumento automatico. Calcolate le componenti di deformazione del piano medio del laminato, è possibile calcolare le deformazioni e le tensioni (nel riferimento cartesiano x-y) in ogni punto delle singole lamine mediante le eq. (8) e (9). Per ciascuna lamina, le deformazioni e le tensioni nel riferimento locale principale possono essere infine calcolate (come è necessario nella verifica di resistenza) mediante successiva rotazione delle deformazioni e tensioni cartesiane eseguita utilizzando l’opportuna matrice di rotazione. In particolare, se si è interessati solo al calcolo delle tensioni nel riferimento locale principale della generica lamina, allora è più conveniente valutare per ciascuna lamina le sole deformazioni nel -Pagina 27 di 35Appunti del corso di Strutture Aeronautiche – Prof. Ing. Leonardo Lecce

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riferimento cartesiano mediante la (8), quindi ruotare queste nel riferimento principale della lamina mediante la matrice di rotazione e calcolare infine le tensioni nel riferimento principale della lamina mediante le equazioni costitutive della lamina ortotropa (eq. (8) del paragrafo 1.2).

2.6 TENSIONI TERMICHE

Come è noto, una variazione di temperatura induce in genere in un materiale una deformazione εt proporzionale al coefficiente di dilatazione α ed alla variazione di temperatura ∆t, cioè:

ε t = α ∆t

(98)

Per un materiale anisotropo, in particolare, la deformazione subita varia con la direzione essendo il coefficiente di dilatazione, come le altre caratteristiche termo-meccaniche, variabile con la direzione. Per un materiale ortotropo, come una lamina composita con rinforzo unidirezionale, si hanno due coefficienti di dilatazione termica lineare, αL e αT rispettivamente in direzione longitudinale e trasversale. Tenendo conto che, per ovvie considerazioni di simmetria, una variazione di temperatura non produce distorsioni nel riferimento principale, le deformazioni principali conseguenti ad una variazione di temperatura sono date da:  (ε L )t = α L ∆t   (ε T )t = α T ∆t ⇒ (γ ) = 0  LT t

 εL  α L   ε  = ∆t α   T   T γ LT  t  0 

(99)

Come per le deformazioni meccaniche, le deformazioni termiche in un generico riferimento cartesiano si ottengono da quelle principali mediante semplice rotazione. Si ha:  εx  α L   εL         ε y  = [T ] ε T  = ∆t [T ]α T  γ xy / 2  0  γ LT / 2 t t 

(100)

Dividendo entrambe i membri per ∆t e definendo αxy=γxy/∆t dalla (100) si ricava:  αx  α L       α y  = [T ]α T  α xy / 2  0   

(101)

α x  ε x       ε y  = ∆t  α y  α xy  γ xy     t

(102)

Si può scrivere pertanto in generale:

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essendo per la (101), tenuto conto della espressione della matrice di rotazione:  α x = α L cos 2 θ + α T sin 2 θ  2 2  α y = α L sin θ + α T cos θ α = 2(α − α )sin θ cos θ L T  xy

(103-105)

Dalla (105) si vede come, contrariamente a quanto avviene in un isotropo, in un anisotropo una variazione di temperatura produce in un qualunque riferimento cartesiano diverso da quello principale (θ=0°, θ=90°) oltre che dilatazioni anche scorrimenti. Noti i due coefficienti di dilatazione termica lineare αL e αT, la (102) permette di valutare le deformazioni che una lamina libera subirebbe a seguito di una variazione di temperatura ∆t. A tali deformazioni (dilatazioni) non corrispondono in scala macroscopica tensioni termiche se la lamina è libera di deformarsi . Si hanno soltanto tensioni interne dovute alla diversa dilatazione di fibra e matrice. Se la lamina invece appartiene ad un laminato allora questa non è completamente libera di deformarsi essendo le deformazioni termiche parzialmente impedite dalle altre lamine del laminato che presentano nella stessa direzione caratteristiche termo-meccaniche diverse a causa del diverso orientamento. In altre parole la presenza delle altre lamine induce nella generica lamina una deformazione meccanica εm pari alla differenza fra la deformazione effettiva ε e la deformazione termica εt. Tenendo conto della teoria classica de laminati si ha quindi:  ε x0  α x   kx  ε x  ε x  ε x   0            ε y  =  ε y  −  ε y  =  ε y  + z  k y  − ∆t  α y   0 α xy  k xy      γ xy        m γ xy  γ xy  t γ xy 

(106)

Alle deformazioni meccaniche della lamina sono associate, tramite le equazioni costitutive, le corrispondenti tensioni termiche:  ε x0  α x   kx  ε x  σ x  ~  ~ 0 ~  ~    σ y  = E  ε y  = E  ε y  + z E  k y  − ∆t E  α y  γ xy0  α xy  k xy  γ xy  τ xy       m  t  

[]

[]

[]

[]

(107)

Per calcolare quindi le tensioni termiche è necessario valutare le componenti di deformazione del piano medio del laminato. Queste possono essere valutate tenendo conto che le tensioni termiche, in assenza di carichi esterni applicati al laminato costituiscono un sistema autoequilibrato con risultante e momento risultante nullo. Risulteranno pertanto nulle le caratteristiche di sollecitazione (o sforzi per unità di larghezza del laminato). Dalla definizione di queste ultime nonché delle matrici [A],[B] e [D], utilizzando la (107) risulta:  ε x0   kx   Φ x  0   N x  h / 2 σ x   0            N y  = ∫ σ y  dz = [A] ε y  + [B ] k y  − ∆t  Φ y  = 0 γ xy0  k xy  Φ xy  0 Txy  − h / 2 τ xy   t        t

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(108)

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 ε x0   M x  h / 2 σ x   kx   Ω x  0   0            M y  = ∫ σ y  zdz = [B ] ε y  + [D ] k y  − ∆t  Ω y  = 0 γ xy0   M xy  − h / 2 τ xy  k xy  Ω xy  0          

(109)

t

t

avendo posto: α x  Φx    n ~    Φ y  = ∑ E k  α y s k α  Φ xy  k =1  xy    α x   Ωx   n ~     Ω y  = ∑ E k  α y s k z k α  Ω xy  k =1  xy   

[]

(110)

[]

(111)

Le (108) e (109) permettono, insieme alle (110-111) di definire delle caratteristiche di sollecitazione termiche apparenti, dette anche forze e momenti termici, che consentono di valutare le deformazioni termiche del piano medio con formule analoghe a quelle già viste per le sollecitazioni meccaniche. Si ha:  ε x0   kx  Φx  N x   0        N y  = ∆t  Φ y  = [A] ε y  + [B ] k y  γ xy0  k xy  Φ xy  Txy          t

ε  Ωx  Mx        M y  = ∆t  Ω y  = [B ] ε γ Ω xy   M xy    t  

t

0 x 0 y 0 xy

(112) t

  kx      + [D ] k y   k xy   t t

(113)

Le (112-113) mostrano come una variazione di temperatura ∆t induca in un laminato generico sia sollecitazioni normali che flettenti ovvero, in termini di deformazioni, sia dilatazioni che curvature e distorsioni. Le curvature del piano medio sono nulle se e solo se il laminato ha [B]=0, cioè se il laminato è simmetrico. In un laminato non simmetrico pertanto le inevitabili variazioni di temperatura che si hanno durante il raffreddamento della temperatura di cura (sovente superiori a 100° C) alla temperatura ambiente producono fastidiose distorsioni. La simmetria elimina le distorsioni ma non le tensioni residue termiche, calcolabili utilizzando l’equazione generale (4) e quindi l’equazione costitutiva (8). Le tensioni termiche residue si sommano alle tensioni di esercizio influenzando la resistenza e la stabilità del laminato. Per una corretta ed accurata progettazione è necessario pertanto tener conto delle tensioni residue presenti nel laminato. A rigore, alle tensioni termiche sopra calcolate, dovute essenzialmente al fatto che le dilatazioni termiche di ciascuna lamina sono parzialmente impedite dalle altre lamine, è necessario aggiungere le tensioni termiche residue interne che pure si hanno in una lamina libera a causa del diverso coefficiente di dilatazione termica lineare fra fibra e matrice. A tal proposito si osserva che, essendo sempre il coefficiente di dilatazione della matrice più grande di quello delle fibre, il raffreddamento del laminato produce nella matrice una tensione di trazione -Pagina 30 di 35Appunti del corso di Strutture Aeronautiche – Prof. Ing. Leonardo Lecce

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parallela alle fibre ed una tensione di compressione ortogonale alle fibre. Si hanno in pratica per fibra (f) e matrice (mx) le seguenti tensioni iniziali medie:

σ f = (α L − α f )∆t σ mx = (α L − α mx )∆t

(114) (115)

In un piano ortogonale alle fibre infatti la matrice tende a contrarsi più delle fibre sottoponendo queste a compressione (la matrice ingloba le fibre e quindi contraendosi le comprime). Tale tensione di compressione all’interfaccia produce benefici effetti sulla resistenza del laminato in quanto assicura una buona trasmissione degli sforzi tra fibra e matrice anche in assenza di un buon incollaggio a causa della presenza di benefiche forze di attrito all’interfaccia fibra-matrice.

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APPENDICE - LA REGOLA DELLE MISTURE PER IL CALCOLO DELLE COSTANTI ELASTICHE DI UNA LAMINA

Si consideri un elemento fondamentale di volume della lamina come in Figura A1. Il composito è sottoposto a deformazione εL nella direzione delle fibre. La fibra sarà sollecitata con una tensione:

σ f = EfεL mentre la matrice sarà soggetta ad una tensione:

σ m = Emε L dove Ef e Em indicano rispettivamente i moduli di elasticità normale delle fibre e della matrice.

Figura A1 – Volume elementare di lamina caricato secondo la direzione delle fibre (L)

La sezione di area A del composito (ortogonale al piano di disegno della Figura A1) è soggetta ad una tensione globale σL tale che: P = σ L A = σ f A f + σ m Am .

Essendo:

σ L = E Lε L

si ha: EL =

Af A σL = Ef + E m m = E f V f + E mVm = V f (E f − E m ) + E m . εL A A

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Questa formulazione del modulo di Young è nota come regola delle misture e rappresenta una variazione lineare del modulo di Young EL, dal valore Em al valore Ef ,quando Vf passa da 0 a 1 (Figura A2).

Figura A2 – Andamento del modulo di Young EL al variare della percentuale in volume delle fibre

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Il modulo di Young nella direzione T si può valutare considerando lo stesso elemento fondamentale di volume della lamina, caricato con una sollecitazione σΤ (Figura A3).

Figura A3 – Volume elementare di lamina caricato in direzione ortogonale alle fibre (T)

La deformazione nella direzione T cui è soggetta la matrice vale:

εm =

σT Em

,

mentre le fibre sono soggette ad una deformazione

εf =

σT Ef

.

La dimensione trasversale su cui agisce la εf è approssimativamente VfW mentre la εm agisce su una porzione VmW. La deformazione trasversale totale vale:

ε T W = V f Wε f + VmWε m ovvero:

ε T = V f ε f + Vm ε m -Pagina 34 di 35Appunti del corso di Strutture Aeronautiche – Prof. Ing. Leonardo Lecce

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e sostituendo:

εT = Vf

σT Ef

+ Vm

σT Em

.

Essendo:



σT



Ef

σ T = ET ε T = ET V f

+ Vm

σ T  E m 

si ottiene il valore del modulo di Young nella direzione T : ET =

σT

V f E m + Vm E f E f Em

=

σT

E f Em V f E m + Vm E f

=

E f Em

V f (E m − E f ) + E f

Figura A4 - Andamento del modulo di Young ET al variare della percentuale in volume delle fibre

Con considerazioni simili si possono ricavare i valori dei coefficienti di Poisson e del modulo tangenziale:

ν LT = V f ν f + Vmν m

;

G LT =

Gm G f V f G m + Vm G f

.

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