Lab-fis-1

Guia de Laboratório de Física Mecânica Silvio Cesar Garcia Granja e Colaboradores 4 de março de 2009

Sumário

I

Conceitos e Fundamentos

6

1

O Relatório 1.1 Objetivos . . . . . . . 1.2 Introdução . . . . . . 1.3 Características Gerais 1.4 Elaboração . . . . . . 1.4.1 Observações . Referências Bibliográficas

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7 7 7 7 8 9 9

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10 10 10 10 10 11 11 11 12 12 13 14 14 14 15 15 15 15 17

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Precisão e Exatidão de Medidas I 2.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Erros Grosseiros . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Erros Sistemáticos . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Erros Aleatórios ou Acidentais . . . . . . 2.4 Instrumentos de Medição . . . . . . . . . . . . . 2.5 Precisão e Exatidão . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Trucamentos e Arredondamentos . . . . 2.6.2 Operações com Algarismos Significativos 2.6.2.1 Adição e Subtração . . . . . . . 2.6.2.2 Multiplicação e Divisão . . . . . 2.7 Incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Incerteza Absoluta . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Incerteza Relativa . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 Incerteza Relativa Percentual . . . . . . . Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . 1

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Precisão e Exatidão de Medidas II 3.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Valor médio e desvio padrão . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Valor médio amostral . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Desvio padrão amostral . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Incerteza instrumental versus incerteza da média 3.4 Cálculo da propagação de incertezas . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Operações aritméticas: incerteza limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Método geral: incerteza média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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II

Roteiros de Ensaios Laboratoriais

25

4

Roteiro do Experimento: Densidade de Uma Esfera Sólida Regular 4.1 Objetivos Gerais . . . . . . . . . . . . . 4.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Material Necessário . . . . . . . . . . . 4.4 Procedimento Experimental . . . . . . Referências Bibliográficas . . . . . . . . . .

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26 26 26 26 27 27

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Roteiro do Experimento: Movimento Retilíneo e Uniforme (MRU) 5.1 Objetivos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Material Necessário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Procedimento Experimental . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Deslocamentos Iguais . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Deslocamentos Diferentes . . . . . . . . . . . 5.5 Apresentação, Análise dos Resultados e Conclusões Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Roteiro do Experimento: Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MUV) !!! Não está pronto ainda !!! !!! Ver procedimento experimental para a determinação da velocidade inicial, ou como fazê-la nula no sensor 1!!! 32 6.1 Objetivos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6.2 Material Necessário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Avenida dos Ingás, 3001 – Centro – CEP: 78.550-000 – Sinop – MT. Tel./FAX: (66) 3511 2125 – Cx. Postal: 680 E-mail: [email protected]

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6.3 6.4

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Procedimento Experimental . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Deslocamentos Iguais . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Deslocamentos Diferentes . . . . . . . . . . . Apresentação, Análise dos Resultados e Conclusões

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Roteiro do Experimento: Queda Livre 7.1 Objetivos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Material Necessário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Procedimento Experimental . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Apresentação, Análise dos Resultados e Conclusões Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6.5 7

8

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Roteiro do Experimento: Modelagem Matemática da Lei de Hooke !!! Não está pronto ainda !!! 8.1 Objetivos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Material Necessário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Procedimento Experimental . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Deslocamentos Iguais . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Deslocamentos Diferentes . . . . . . . . . . . 8.5 Apresentação, Análise dos Resultados e Conclusões

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40 40 40 40 41 41 42 42

Roteiro do Experimento: Pêndulo Simples 9.1 Objetivos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Material Necessário . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Procedimento Experimental . . . . . . . . . . . . . 9.5 Apresentação, análise dos resultados e conclusões Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . .

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10 verificação da soma de forças

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Lista de Figuras 2.1

Precisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1 3.2 3.3 3.4

Gráfico indicando que a incerteza em w é simplesmente a projeção da incerteza em x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soma de dois segmentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Subtração de dois segmentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cilindro do qual foram medidos o raio (R) e a altura (L). . . . . . . . . . . . . .

5.1 5.2

Disposição dos sensores: espaços iguais entre os sensores de passagem. . . . . . 30 Disposição dos sensores: espaços diferentes entre os sensores de passagem. . . . 30

6.1 6.2

Disposição dos sensores: espaços iguais entre os sensores de passagem. . . . . . 34 Disposição dos sensores: espaços diferentes entre os sensores de passagem. . . . 34

7.1

Arranjo experimental de queda livre. A parte a) é a régua e suporte metálico dos cinco fotosensores e coletor do corpo de prova na parte inferior; b) desenho esquemático do sistema de liberação do corpo de prova e a sua detecção pelo fotosensor; c) cronômetro digital dos fotosensores. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

9.1

Pêndulo simples, segundo seu comprimento L e massa oscilante m. . . . . . . . . 43

4

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22 22 22 23

Lista de Tabelas 2.1

Comparação entre procedimento de truncamento e arredondamento feitos em alguns números. Os algarismos menos significativos estão marcados com uma sublinha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1 3.2 3.3

Valores de medidas do comprimento de uma haste. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Desvios e quadrados dos desvios das medidas de uma haste. . . . . . . . . . . . . 20 Resumo das incertezas absolutas e relativas para as quatro operações aritméticas, aceitável quando as incertezas de cada grandeza são estimadas subjetivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5

Parte I Conceitos e Fundamentos

6

1

O Relatório 1.1

Objetivos

algum tipo de informação.

Fornecer orientações básicas para elaboração dos relatórios sobre os ensaios ou 1.3 Características Gerais experimentos realizados nas disciplinas de Cada pessoa possui um estilo próprio de eslaboratório ou que necessitem de relatos crever e por isso não há uma forma única de quanto a procedimentos experimentais e seus elaboração de relatórios. Mas, a despeito da resultados[1]. forma, algumas características são comuns a todos os bons relatórios. São elas:

1.2

Introdução

1. Todo bom relatório estabelece com clareza qual o evento que foi estudado e que tipo de pergunta se o procura responder sobre o evento.

A elaboração de relatórios é um dos objetivos das disciplinas de laboratório que merece destaque. Esta exigência deve-se a duas razões: uma intrínseca ao trabalho científico que exige a comunicação entre os pesquisadores, normalmente feita através de artigos em revistas especializadas; e outra que diz respeito ao caráter social da e a descoberta científica, pois a sociedade têm o direito de saber o que está sendo produzido nos organismos e projetos financiados por ela. Assim, a confecção de relatórios é um treinamento para a atividade profissional que você desempenhará no futuro: a elaboração de artigos, textos para seus alunos, etc. Mas além disto ele também é um treinamento na confecção de qualquer documento que exija objetividade, clareza e precisão na comunicação de

2. Os bons relatórios deixam claro, para quem os lê, quais foram os equipamentos utilizados, qual foi a o e montagem dos mesmos (isto pode ser feito esquematicamente) e o modo pelo qual estes equipamentos foram utilizados (procedimento experimental). 3. Um bom relatórios ainda explicita claramente qual (ou quais) foi (ou foram) os resultados obtidos (conclusões ou respostas à questão básica feita no Item 1 bem como as possíveis fontes de erro que não puderam a ser eliminadas. Pode trazer ainda sugestões para futuros experimentos. 7

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4. Os bons relatórios possuem uma boa apresentação gráfica, seus dados são apresentados em tabelas convenientes e de fácil leitura e os gráficos são feitos em papel milimetrado ou computador. Tanto gráficos como tabelas podem vir no corpo do relatórios ou em apêndices.

1.4

Elaboração

confundir Fundamentação Teórica com as Conclusões. A Fundamentação Teórica diz respeito aos conhecimentos específicos necessários à análise daquele experimento. Não adianta escrever que a água ferve a 100 °C a uma pressão de 1 atm se o experimento é sobre queda livre. A afirmação é correta porém irrelevante. No caso do exemplo do parágrafo anterior, a Fundamentação Teórica seria a descrição dos tipos de movimentos possíveis na situação descrita.

Os relatórios podem, de acordo com a necessidade, serem divididos nas partes descritas a seguir: MATERIAIS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL - Deve-se apresentar sucintamente, mas completamente, que materiais você usou INTRODUÇÃO - Deve estabelecer sem dú(citando a marca, e o modelo se possível), vidas (para você e para quem vai ler!) a montagem dos mesmos (através de qual foi a questão sobre este evento que figuras e esquemas) e o seu procedivocê pretende responder. Por exemplo: mento: o que foi medido e como, quantas todo corpo solto perto da superfície da medições foram e feitas, fatores externos terra se movimenta em direção a ela. Este que influenciaram no seu experimento, é o evento estudado. Sobre ele podeetc. mos elaborar uma série de perguntas, por exemplo: qual é a relação matemática entre a posição relativa da superfície e RESULTADOS - Apresentar os dados obtidos de forma organizada, sendo sempre o tempo transcorrido desde o início do que possível em tabelas. Incluir comentámovimento? Esta seria uma questão bários quando necessários. Indicar sempre a sica do nosso experimento. Veja que, soprecisão das medidas e suas unidades. bre um evento são possíveis várias questões. (Tente imaginar outra questão sobre ANALISE DOS DADOS - Os dados deverão o evento). ser analisados através de gráficos, quando FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA - Diz resfor necessário, e/ou processamento dos peito àqueles conhecimento sem os quais valores medidos, de acordo com uma preo experimento não poderia ser analivisão de um modelo físico. Os parâmesado. Veja bem, um conjunto de dados tros determinados experimentalmente sesó começa a ter sentido se os dados forão confrontados com a previsão teórica. rem o manipulados de uma forma préestabelecida na mente do experimenta- CONCLUSÕES - As conclusões são a alma dor. Sem os conceitos que permitem e esta do relatórios. Nesta parte a resposta da manipulação os dados apresentados não questão básica formulada na introdução levarão a conclusões alguma e o experideve ser apresentada a partir dos dados obtidos durante o experimento. Aqui mento terá sido inútil. Agora não se deve Avenida dos Ingás, 3001 – Centro – CEP: 78.550-000 – Sinop – MT. Tel./FAX: (66) 3511 2125 – Cx. Postal: 680 E-mail: [email protected]

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cabe uma ressalva: não existe experimento de laboratório que dê resultado errado. Não discuta com seus dados. Discuta com seu procedimento experimental. As conclusões não podem apontar em direção diferente aos dados que você obteve. Camuflar experimentos mal feitos é uma desonestidade com você e não com o professor. Faz parte das conclusões também as possíveis fontes de erro do experimento. As vezes é a mais importante parte do relatórios.

Quanto mais você esperar, pior será confeccionar o o e a relatórios. 4. Não consulte relatórios de seus colegas de anos anteriores. Você deve se acostumar a pensar com sua a o e própria cabeça. Caso contrário você estará adquirindo todos os vícios de seus colegas mais antigos, o que será prejudicial para você. 5. Tabelas, citações, etc. . . , devem seguir as normas da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT).

APÊNDICES Os Apêndices (opcionais) contém tabelas, gráficos, demonstrações maReferências Bibliográficas temáticas mais elaboradas, etc. Tudo que não for indispensável à leitura do relató[1] Departamento de Física. Roteiro de Laborios pode ser colocado ali. Novamente ratório. Campo Grande, MS: UNIVERSIuse de seu bom senso para discernir o que DADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO deve vir como apêndice do restante SUL, 1995. BIBLIOGRAFIA - Todas as obras e artigos consultados e citados devem ser listados. Não liste o que não citou. Não cite o que não listar.

1.4.1

Observações

1. Os relatórios obrigatoriamente deverão ser impressos. Porém, em casos especiais quando os mesmos forem entregues manuscritos, deverão ser apresentados de forma legível e organizados conforme os itens anteriores. 2. O prazo máximo para entrega dos relatórios não deverá ultrapassar uma semana após a realização do mesmo. Casos especiais ficarão a critério do professor. 3. Nunca deixe para a última hora a confecção de relatórios. Se possível faça-os no mesmo dia do experimento, enquanto este ainda encontra-se em sua memória. Avenida dos Ingás, 3001 – Centro – CEP: 78.550-000 – Sinop – MT. Tel./FAX: (66) 3511 2125 – Cx. Postal: 680 E-mail: [email protected]

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Precisão e Exatidão de Medidas I 2.1

Objetivos

Aqui neste capítulo o aprendiz deve se ater aos detalhes referentes ao ato de medir1 , resultados de uma medição mal feita e suas causas. Assim como saber lidar matematicamente com resultados de uma medição, a forma correta de expressar estes valores e a interpretação de um resultado obtido quanto a sua qualidade numérica. Mais claramente o aprendiz apenderá a efetuar medições e registrar medidas considerando os erros ou desvios e incertezas envolvidas no processo de medição. Saberá avaliar as precisões e exatidões dos instrumentos de medição diante dos dados apresentados pelo fabricante ou através das características dos intrumentos de trabalho.

2.2

os erros ou desvios são uma presença constante e o bom experimentador deve aprender a conviver com eles, identificá-los e minimizar suas influências nos resultados de uma medição. Ao se fazer a medição de uma grandeza física, o valor encontrado não coincide com o valor real da mesma. Quando este resultado for aplicado, é necessário saber com que certeza a grandeza física é representada pelo número obtido. Deve-se, então, poder expressar a incerteza de uma medição em termos que sejam compreensíveis a outras pessoas e para isto usa-se uma linguagem padronizada e métodos adequados para combinar incertezas dos diversos fatores que influenciam no resultado.

2.3

Introdução

Erros

Os erros são classificados em três grandes Apesar de se afirmar que a Física é uma ci- grupos: grosseiros, sistemáticos e aleatórios ência exata, não existe uma única medida em [1, 2]. toda a Física que esteja isenta de algum erro ou desvio do valor real da medida. Por mais que sejam sofisticados os equipamentos utilizados, 2.3.1 Erros Grosseiros 1

O ato de medir é denominado medição e o resultado de uma medição é uma medida.

São aqueles que ocorrem por inabilidade do experimentador e são provenientes de enga-

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nos, uso inadequado de instrumentos, técnicas imprecisão dos instrumentos utilizados como padrões secundários será estimada pela incerdeficientes, etc. teza instrumental, e caracteriza uma faixa de valores dentro da qual se encontra o valor ver2.3.2 Erros Sistemáticos dadeiro da grandeza medida. Dentre as características dos instrumentos São aqueles que ocorrem sempre do mesmo jeito e são provenientes de: erros de calibração que determinam sua precisão podem-se desde instrumentos, erros do observador na lei- tacar: tura do instrumento, instrumentos utilizados em condições inadequadas, etc. Os erros siste- Resolução: expressão quantitativa da aptidão máticos podem ser eliminados ou compensade um instrumento em distinguir valores dos. muito próximos da grandeza medir. Esta é composta de diversas marcas e a diferença entre os valores de duas marcas su2.3.3 Erros Aleatórios ou Acidentais cessivas, valor de uma divisão, caracteriza a resolução do instrumento. A indiOcorrem quando, em uma série de medição, cação, valor de uma grandeza medida forora obtem-se um valor ora outro de forma imnecida pelo instrumento, pode, em muiprevisível. Com este tipo de erro é mais difícil tos casos, ser feita com interpolação da esde lidar e pode-se apenas obter uma minimicala de medida. zação de seus efeitos. Ele nunca é totalmente eliminado. Geralmente estes errors são devidos a condições que flutuam como por exem- Limiar: menor variação de um estímulo que provoca a variação perceptível na resplo, variações na rede de energia elétrica, vaposta de um instrumento de medir. Ele riações verificadas no comprimento de um obpode depender de diversos fatores como jeto por irregularidades da superfície, etc. o ruído, o atrito, o amortecimento ou a inércia.

2.4

Instrumentos de Medição

Exemplo 2.1. Exemplo: se uma balança só acusa variação na sua indicação com a adição de 0,1 g ou mais na massa medida, seu limiar de mobilidade é de 0,1 g.

Para se determinar o valor de uma grandeza física é necessário uma comparação com um padrão previamente estabelecido. Logo a qualidade da medição dependerá do padrão utilizado. Os padrões de grande precisão (primá- Estabilidade: aptidão de um instrumento de rios) são definidos de maneira bastante commedir em conservar constantes seus paplexa e necessitam de tecnologia avançada râmetros metrológicos. O mais comum para serem reproduzidos. Em geral os paé considerar a estabilidade em função do drões primários são regulados em institutos tempo, embora também possa estar relade pesos e medidas, mantidos para este fim. cionada a outros parâmetros como temDesta forma utilizam-se padrões mais simperatura e umidade. Nesses casos é preples (secundários) aferidos a partir dos paciso especificar a grandeza a qual a estadrões primários, porém menos precisos. A bilidade está relacionada. Avenida dos Ingás, 3001 – Centro – CEP: 78.550-000 – Sinop – MT. Tel./FAX: (66) 3511 2125 – Cx. Postal: 680 E-mail: [email protected]

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Justeza: aptidão de um instrumento de medir seja, um comprimento L deve ser lido na para dar indicações isentas de erros siste- forma L = 12,3 mm. máticos. No caso de não se saber qual é a incerteza da medida, esta dever ser assumida como Fidelidade: aptidão de um instrumento de medir para dar, sob condições de utili- sendo igual a metade do menor intervalo de zação definidas, respostas próximas para medida do instrumento. Uma régua milimeaplicações repetidas de um mesmo es- trada deve, em princípio, garantir a leitura do tímulo. Além disso é necessário ainda milímetro e, por convenção, permitir mais um satisfazer às condições de referência, ou algarismo sobre o qual incide a incerteza insseja, condições de utilização de um ins- trumental de ±0,5 mm. trumento prescritas para assegurar a vali- Exemplo 2.3. O valor 514,0 mm indica que se dade na comparação de resultados de me- pode observar o milímetro e que há uma dúdições. vida sobre o algarismo correspondente ao décimo de milímetro. Caso fosse possível observar este algarismo através de um instrumento 2.5 Precisão e Exatidão mais exato, e este fosse zero, a medida seria escrita na forma 514,00 mm, na qual o algarismo correspondente ao centésimo de milímetro teria sido estimado. O número de algarismos significativos em um resultado inclui todos aqueles lidos diretamente mais o estimado, quando for o caso. Esse número é definido por: Figura 2.1: Precisão

1. O algarismo mais a esquerda não-nulo é o algarismo mais significativo. Exemplo: 0,051 40 m;

2.6

Algarismos Significativos

2. O algarismo mais a direita é o menos significativo, mesmo sendo zero.

A exatidão de uma experiência deve ser eviExemplo: 51,40 mm; denciada na forma pela qual o resultado é es3. Todos os algarismos entre o mais significrito. O primeiro cuidado a ser tomado, no recativo e o menos significativo são contagistro de uma medição, é com relação ao sigdos como significativos. nificado dos algarismos que aparecem no registro. A leitura do valor da medição deve se Exemplo 2.4. Reescrevendo a mesma medida: prolongar até o algarismo correspondente ao 0,051 40 m = 5,140 cm da incerteza e ao instrumental[3]. = 51,40 mm = 5,140 × 104 µm Exemplo 2.2. Se a incerteza na medida feita com um paquímetro é de ±0,1 mm, a leitura todos com 4 algarismos significativos e expresdeve registrar até o décimo do milímetro, ou sando a mesma medida de um comprimento. Avenida dos Ingás, 3001 – Centro – CEP: 78.550-000 – Sinop – MT. Tel./FAX: (66) 3511 2125 – Cx. Postal: 680 E-mail: [email protected]

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A quantidade de algarismos significativos de uma medida não se altera mediante uma transformação de unidades, como pode se ver nos exemplos acima. Mas, precisa-se ter cuidado ao efetuarem-se mudanças de unidade.

de algarismos significativos: o truncamento e o arredondamento do número. Freqüentemente ocorre que números devem ser truncados ou arredondados. Ao se processarem os resultados de medições, deve-se tomar o cuidado de se fazerem truncamentos Exemplo 2.5. Errando quando escrevendo ou arredondamentos na apresentação do reuma medida: sultado final, para que não sejam introduzi3,50 m = 350 cm dos erros cumulativos durante as aproximações intermediárias. e Tanto o truncamento como o arredonda? 3,5 m = 350 cm. mento podem ser aplicados para eliminaNeste caso o procedimento correto é usar a no- ção de algarismos significativos excedentes ou tação de potência de dez (x × 10n ) e escrever- para eliminação de algarismos não significatimos: vos. 3,5 m = 3,5 × 102 cm. Alguns autores estabelecem que, nos ca- Truncamento é simplesmente ignorar os algarismos que estão à direita de uma sos em que não há vírgula decimal, o algadeterminada posição no número e usar rismo menos significativo é o não-nulo mais somente os algarismos que estão à esa direita. Por exemplo, quando dizemos que, querda desta posição, inclusive. Se quereno curso de Física, existem 1000 alunos mamos truncar o número expresso na forma triculados, estamos apenas informando o dí(a, bcdeXf gh... × 10m ), cuja posição de gito 1. Os três zeros aparecem apenas para truncamento é definida pelo algarismo X, e indicar a ordem de grandeza. Essa forma teremos simplesmente (a, bcdeX × 10m ). de escrever é muito utilizada em textos nãocientíficos. Se quiséssemos aplicar o critério Arredondamento é um procedimento mais definido nos três itens anteriores, deveríamos complexo e feito via comparação. escrever 1 × 103 alunos, o que sobrecarregaria Ao abandonarmos algarismos em um núa redação. Por isso, para se evitar ambigüimero, o ultimo algarismo mantido será dade, nos casos em que se deseja dar signifiacrescido de uma unidade ou não concado a todos os algarismos, deve-se escrever o forme as regras a seguir (X significa o a valor na forma algarismo a ser arredondado): 1000 alunos = 1,000 × 103 alunos. Nestes, todos os quatro algarismos são significativos.

2.6.1

Trucamentos mentos

e

Arredonda-

Há pelo menos duas formas de se reescrever um número de forma a diminuir a quantidade

• de (X000 . . .) a (X499 . . .), os algarismos excedentes são a simplesmente eliminados (arredondamento para baixo); • de (X500 . . . 1) a (X999 . . .), os algarismos excedentes são a eliminados e o algarismo X aumenta de 1 (arredondamento para cima);

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• No caso (X5000000 . . .), então o ar- medições diretas feitas apresentam sempre alredondamento a deve ser tal que o guma incerteza. algarismo X depois do arredondaOs algarismos significativos obtidos por mento deve ser par. operações aritméticas podem ser determinados através de algue e mas regras elementares de operação com algarismos significativos. Número Original Truncamento Arredondamento 2.6.2.1 Adição e Subtração 2,43 2,4 2,4 3,688 3,68 3,69 Para que o resultado da adição ou subtra5,6499 5,6 5,6 ção contenha apenas algarismos significativos, 5,6501 5,6 5,7 você? deverá, inicialmente, observar se todas das parcelas estão expressas a na mesma po5,6500 5,6 5,6 tência de dez e qual das parcelas possui o e 5,7500 5,7 5,8 menor número de casas decimais, pois, o re9,475 9,47 9,48 sultado deu verá ser expresso com o mesmo 3,325 3,32 3,32 número de casas decimais desta parcela. Os Tabela 2.1: Comparação entre procedimento algarismos excedentes que porventura existide truncamento e arredondamento feitos em rem no resultado devem ser abandonados por alguns números. Os algarismos menos signifi- arredondamento, isto também poderá ser feito cativos estão marcados com uma sublinha nas parcelas antes de se efetuar a operação. Numericamente o arredondamento insere Exemplo 2.6. Adição e subtração com númemenos erros do que o truncamento e é forte- ros: mente indicado que sejam feitos somente os • 12,784 cm − 5,48 cm = 7,30 cm arredondamentos quando for necessário expressar uma medida. • 0,0128 m + 18,02 m = 18,03 m

2.6.2

Operações com Significativos

Algarismos

Já estamos conscientes que o resultado de uma medição direta possui uma incerteza. Todavia, em todos os trabalhos experiemtais, inúmeras vezes não pode-se medir diretamente a grandeza de interesse. Somos então forçados a obter esse valor através de outros, ou seja, necessitamos e realizar uma medição indireta. Por exemplo, ao determinar a velocidade média de um móvel, necessitamos e o medir o tempo e o espaço percorrido. Aqui se coloca o problema de como expressar o resultado desta medição indireta, pois as

• (12,784 − 5,48 )cm = 7,30 cm • (0,0128 + 18,02 )m = 18,03 m 2.6.2.2

Multiplicação e Divisão

Prevalece o número de algarismos significativos da parcela de menor número de algarismos. Exemplo 2.7. Multiplicação e divisão com números: • 12,13 N × 0,021 m = 0,25 N · m • 1,0 cm ÷ 24,375 s = 0,041 cm/s

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2.7

Incerteza

A importância do registro correto de uma medição é porque, através dele, é possível informar tanto o valor da medição quanto a incerteza instrumental utilizada. Esta pode ser expressa de duas formas: incerteza absoluta e incerteza relativa. A palavra erro é muitas vezes empregada no lugar da incerteza. Essa palavra, quando associada a incerteza da medida, não significa que a medida está errada do valor erro, mas que a ela a está associado um erro provável de até o valor erro.

2.7.1

Incerteza Absoluta

Representa diretamente a incerteza medida.

Uma medida com uma incerteza absoluta de 0,1 m pode parecer muito menos exata que uma outra com uma incerteza absoluta de 0,1 mm. Entretanto, se a primeira incerteza for associada à medida da altura de uma montanha, por exemplo, o pico de Itatiaia com h = (2787,4 ± 0,1) m e a segunda, à largura de uma caneta, L = (8,3 ± 0,1)mm, a opinião seria outra sobre a qualidade dessas medidas. Por isso, é importante associar uma incerteza ao valor que está sendo medido, ou seja, informar a incerteza relativa a uma medida. A melhor forma de expressar esta relação é dividir a incerteza pelo valor medido, quociente esse denominado de incerteza relativa: ir =

δM M

em que M é o valor medido e δM é a incerteza Exemplo 2.8. Assim se o comprimento de uma da medida. barra for medido como sendo No caso da medição do pico de Itatiaia, a incerteza relativa é de L = 1,32 m ir = 3,6 × 10−5 , com uma incerteza absoluta enquanto que, na largura da caneta, é de δL = 0,01 m, ir = 1,2 × 10−2 . o registro dessa medição deve ser feito na forma 2.7.3 Incerteza Relativa Percentual L = (1,32 ± 0,01) m. É a incerteza relativa multiplicada por 100 Atenção, Deve-se observar que é sobre o al- acrescida do símbolo % (porcento) garismo menos significativo do valor meδM dido para L que recai a incerteza. irp = × 100. M Em uma medição direta não há sentido em se registrar outros algarismos além do A vantagem de se escrever a incerteza relativa na forma percentual é que se evita escrever núdeterminado pela incerteza. meros muito pequenos.

2.7.2

Incerteza Relativa

É uma forma mais significativa de se expressar a qualidade de uma medição.

Exemplo 2.9. A incerteza relativa associada a largura da caneta é expressa como irp = 1,2 × 10−2 × 100 = 1,2%.

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Isso significa que a incerteza na medida da largura da caneta é 1,2% do valor da largura, ou seja, estamos errando em medir esta largura em 1,2%. Mesmo assim, para algumas medidas, as incertezas relativas são tão pequenas, que mesmo escritas na forma percentual, ficam com números muito pequenos. É o caso da altura do pico de Itatiaia. Exemplo 2.10. A incerteza percentual da altura do pico de Itatiaia é de irp = 0,000 036 × 100 = 0,003 6%. Isso significa que a incerteza na medida da largura da caneta é 0,003 6% do valor da largura, ou seja, estamos errando em medir esta largura em 0,003 6%, que é um valor de erro percentual muito pequeno. Neste casos, utilizam-se outras relações como

sua resposta com base nos erros que podem ocorrer no procedimento e nas características dos instrumentos de medição. 2. Quantos algarismos significativos existem em cada um dos valores a seguir? (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

135,5 cm 0,010 kg 1,01 × 103 s 4,123 g 11,342 g/cm3 2002,0 cm/s 978,7 cm/s2

(h) 6,02 × 1023 mol−1 (i) 3,141 59 rad (j) 3 × 108 mol (k) 60 × 104 kg (l) 3500 cm (m) 0,0065 kg

3. Faça as mudanças de unidades: (a) 20 m = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm (b) 2005,4 m = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . km (c) 44,5 × 103 g = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kg (d) 44,5 µg = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g

• partes por milhão (ppm ≡ 1 × 10−6 ),

(e) 44,5 µg = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kg

• partes por bilhão (ppb ≡ 1 × 10−9 ),

(f) 0,0068 m = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mm

• parte por trilhão (ppt ≡ 1 × 10−12 ), Exemplo 2.11. Nosso Exemplo 2.10 reescrito ficaria irp

36 = 0,000 036 = 1 000 000 = 36 × 10−6 = 36 ppm.

Questionário 1. Efetua-se uma medição de comprimento com uma régua de plástico e repete-se a mesma medição com uma trena metálica. Em qual das duas situações a o grau de confiança da medida é maior? Justifique

(g) 1000 L = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m3 (h) 2,0 mL = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m3 (i) 2,0 mL = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm3 (j) 3,141 59 rad = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ° (k) 11,342 g/cm3 = . . . . . . . . . . . . . . . kg/m3 4. Arredonde os valores abaixo, para apenas dois algarismos significativos: (a) 34,48 µK

(f) 0,0225 N

(b) 1,281 m/s

(g) 2787 min

(c) 8,563 × 103 s

(h) 0,040 95 km

(d) 4,35 cm3

(i) 143 768 900 horas

(e) 9,97 × 106 g

(j) 2,54 mol

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5. Escreva os resultados das operações matemática a a seguir, respeitando o uso de algarismos significativos: (a) 1,02 × 105 kg ÷ 3,1 m3 (b) 345 J + 23,3 J + 1,053 J (c) 390,5 g ÷ 22,4 cm3 (d) 1,89 × 102 mg − 2,32 kg (e) 10,0 m ÷ 0,01 s 6. Um copo e seu conteúdo pesam (630,4 ± 0,6)gf. O copo sozinho pesa (148,0±0,4)gf. Qual o peso do conteúdo? 7. O raio de uma esfera de metal mede (4,3± 0,5)cm. Determine o seu volume.

Referências Bibliográficas [1] BARTHEM, B. R. Tratamento e Análise de Dados em Física Experimental. Rio de Janeiro, RJ: Editora da UFRJ, 1996. [2] VUOLO, J. H. Fundamentos da Teoria de Erros. 2. ed. São Paulo, SP: Editora Edgar Blücher, 1992. [3] CEPA — Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada. Algarismos significativos e desvios. USP, 2003. Disponível em: .

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3

Precisão e Exatidão de Medidas II 3.1

Objetivos

Introduzir as ferramentas matemáticas necessárias para analisar e manilpular os dados numéricos oriundos de medições segundo a Teoria dos Erros. Determinar estatisticamente as grandezas que descrevem de forma mais significativa as medidas físicas diretas e indiretas, como o valor esperado de uma medida, os devios (ou erros), a sua incerteza e aplicar a propagação de incertezas para medidas indiretas[1, 2, 3, 4].

3.2

Estas fontes de erros aleatórios podem ser tratadas por processos estatísticos. Muitas medidas também não podem ser realizadas diretamente e precisamos obtê-las através de outras medidas, isto produz um outro problema que é o de determinar como os erros das medidas intermediárias influenciam o resultado final. E como expressar os resultados finais através dos resultados parciais. A área do conhecimento que fundamenta todos os procedimentos aqui contidos é a estatística descritiva.

3.3

Introdução

Ao efetuarmos uma medida, o instrumento utilizado introduz um erro no processo. Mas o erro instrumental não é o único que surge no processo de medição, existe também o erro do experimentador e do próprio procedimento experimental. Aqui esta-se referindo aos erros aleatórios e não aos sistemáticos, muito menos aos grosseiros. Pois supõe-se que este dois últimos podem ser evitados através de treinamento, habilidade e calibração dos equipamentos de medição. Portanto, somente os erros aleatórios serão considerados neste trabalho.

Valor médio e desvio padrão

Para tentarmos reduzirmos os erros aleatórios, produzidos pelo experimentador e pelo procedimento experimental, empregamos o recurso de se efetuar a mesma medida diversas vezes. O objetivo deste procedimento é tratar a informação obtida estatisticamente e tentarmos com isto nos aproximar o mais possível do valor verdadeiro da grandeza física medida. Uma quantidade que pode ser obtida a partir de uma série de medidas é o seu valor médio ou valor esperado, que é examente o que

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a palavra esperado quer expressar: O valor esperado da medida de uma grandeza será descrita pela sua média. A variabilidade de cada medida é dada pelo desvio padrão e a variabilidade da média será dada pelo desvio padrão da média. Estas duas quantidades descrevem o quanto o conjunto de medidas está mais agrupado ou mais disperso com relação ao valor esperado da medida. O problema é que para o valor mais provável a partir de médias, or desvio padrão e o desvio padrão de médias exige que se façam infinitas medidas1 . Vamos, portanto, estimar o valor esperado, o desvio padrão e o desvio padrão da média para um conjunto pequeno de medidas.

3.3.1

Valor médio amostral

É a média aritmética de uma série de medidas realizadas nas mesmas condições. Quando as incertezas são devidas a erros aleatórios, quanto maior for o número de medidas, mais preciso será o valor médio, isto é, mais próximo do valor verdadeiro. Assim, se obtemos as medidas descritas pelas quantidades temos: x1 , x2 , . . . e xn , o valor médio x¯ (x barra) será x¯ =

x1 + x2 + ... + xn n

1

Desvio padrão amostral

A variância para um pequeno número de medidas pode ser definida como: n 1 X (xi − x)2 VAR(x) = s = n − 1 i=0 2

(3.3)

e o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, s= =

q

(3.4)

VAR(x)

√ s2 =

v u u t

n 1 X (xi − x)2 n − 1 i=0

(3.5)

O desvio padrão indicado em (3.4) é adotado para caracterizar a incerteza de cada uma das medidas. A incerteza associada ao valor médio das medidas, x¯, é o desvio padrão da média, sm , ou incerteza da média e vale: s sm = √ = n

s

VAR(x) n

(3.6)

Isto nos proporciona uma probabilidade de ≈ 68% do valor procurado se encontrar no intervalo (¯ x ± sm ). E a medida fica expressa na forma x = x¯ ± sm . (3.7)

Exemplo 3.1. Deseja-se conhecer o comprimento de uma haste, efetuando-se, para isto, (3.1) dez medidas e obtendo-se os seguintes valores:

sinteticamente podemos escrever n 1X x= xi . n i=1

3.3.2

(3.2)

A definição de tomarem-se infinitas medidas de uma grandeza é um procedimento não executável. Por isso existe uma outra abordagem sobre como definir uma média ou pelo menos se estimar uma média de medidas reais.

i 1 2 3 4 5

xi /cm 15,01 15,08 15,06 15,09 15,00

i 6 7 8 9 10

xi /cm 15,07 15,02 14,98 15,00 15,00

Tabela 3.1: Valores de medidas do comprimento de uma haste.

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O valor médio da haste é: x¯ =

10 1 X 150,31 cm = 15,031 cm. xi = 10 i=1 10

Para cada medida, os desvios e o quadrado dos desvios são dados na tabela (3.2). (xi − x¯) /cm i 1 −0,0210 2 0,0490 3 0,0290 4 0,0590 5 −0,0310 6 0,0390 7 −0,0110 8 −0,0510 9 −0,0310 10 −0,0310 Soma 0,0000

(xi − x¯)2 /cm2 0,000 441 0,002 401 0,000 841 0,003 481 0,000 961 0,001 521 0,000 121 0,002 601 0,000 961 0,000 961 0,014 290

Tabela 3.2: Desvios e quadrados dos desvios das medidas de uma haste. O desvio padrão é: s =

v u u t

10 1 X (xi − x¯)2 n − 1 i=1

s

0,014 29 √ = 0,001 588 9 = 3,99 × 102 cm

=

0,012 cm, que descreve tal incerteza. Portanto, o resultdo final torna-se sm = 0,012 cm. O resultado final é: x = x¯ ± sm x = (15,031 ± 0,012) cm

3.3.3

Incerteza instrumental versus incerteza da média

O resultado desta seção permite a determinação da incerteza do valor médio de um conjunto de medidas. Deste modo agora temos duas incertezas no processo de medida, a incerteza instrumental e a incerteza da média. Sendo • sm a incerteza da média; • δ a incerteza instrumental, que define a resolução do instrumento. Para decidirmos qual incerteza utilizar podemos observar o seguinte: se a resolução no processo de medida é dada por δ, e a largura de uma distribuição de medida, ou seja, o desvio padrão é caracterizado por s e o desvio padrão da média é sm , tem-se: (

(incerteza da medida) =

O desvio padrão do valor médio é: s 3,99 × 10−2 √ sm = √ = n 10 −2 = 1,24 × 10 cm

3.4

δ, sm ,

se δ > sm se δ < sm (3.8)

Cálculo da propagação de incertezas

Muitas vezes, para determinar uma outra Aqui o valor do desvio padrão do valor médio deve descrever a incerteza da medida to- grandeza qualquer, o valor que foi medido mada, assim não usaremos 0,0124 cm e sim será usado como argumento numa equação, Avenida dos Ingás, 3001 – Centro – CEP: 78.550-000 – Sinop – MT. Tel./FAX: (66) 3511 2125 – Cx. Postal: 680 E-mail: [email protected]

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ou em uma seqüência de procedimentos algébricos. O que fazer com a incerteza associada? Para o os valores medidos (as medidas) temos associados as incertezas do processo de medida, enquanto que para grandezas determinadas através de expressões matemáticas cujos argumentos são as medidas (junto com suas incertezas) temos a incerteza propagada.

3.4.1

Operação

Incerteza Absoluta

Incerteza Relativa

A¯ = a ¯ + ¯b

δA = δa + δb

δA δa + δb = ¯ A a ¯ + ¯b

S¯ = a ¯ − ¯b

δS = δa + δb

δS δa + δb = ¯ S a ¯ − ¯b

¯ =a M ¯ × ¯b

δM = ¯b δa + a ¯ δb

δM δa δb = + ¯ ¯b a ¯ M

¯ =a D ¯ ÷ ¯b

δD =

¯b δa + a ¯ δb 2 ¯b

δD δa δb = + ¯ ¯b a ¯ D

Operações aritméticas: incerteza limite

Muitas vezes necessitamos estimar a incerteza propagada em operações aritméticas com valores de medidas buscando uma faixa de acerto de 100%. Isto pode ocorrer pelo fato das incertezas associadas às medidas representarem limites para o valor medido ou quando não estamos preocupados com o resultado estatístico do erro previsto. Para estes casos empregaremos as regras simples de propagação de incertezas elencadas na tabela 3.3, para as quatro operações aritméticas. Quando na multiplicação temos mais de dois fatores, podemos calcular a incerteza relativa através da soma das incertezas relativas de cada fator e depois podemos obter a incerteza absoluta. Atenção, A aplicação das regras indicadas na tabela (3.3) só é aceitável quando as incertezas de cada grandeza são estimadas subjetivamente, não dispondo, assim, de um significado estatístico, e se deseja apenas fazer um cálculo rápido, para avaliar a incerteza propagada. Ou, então, quando se deseja realmente conhecer o maior erro possível para se ter uma certeza próxima de 100%.

Tabela 3.3: Resumo das incertezas absolutas e relativas para as quatro operações aritméticas, aceitável quando as incertezas de cada grandeza são estimadas subjetivamente.

3.4.2

Método geral: incerteza média

Quando temos ao menos uma estimativa grosseira do desvio padrão, é preferível estimar a repetibilidade do resultado pela incerteza média propagadada que pela incerteza limite. O problema pode ser posto da seguinte maneira: dada uma função w = w(x, y, z) onde sx , sy , sz são grandezas experimentais com incertezas dadas por x, y, z e independentes entre si, quanto vale w ? A independência entre x, y, z é necessária para a validade das fórmulas a seguir, mas não será discutida aqui. Para simplificar suponha w apenas função de x. No gráfico abaixo está representando w(x).

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Figura 3.2: Soma de dois segmentos. A incerteza no segmento soma pode ser calculada aplicando a equação (3.10): !2

s2L

Figura 3.1: Gráfico indicando que a incerteza em w é simplesmente a projeção da incerteza em x.

= = = =

∂L ∂L s2a + ∂a ∂b 2 2 2 2 (1) sa + (1) sb (1)2 22 + (1)2 0, 52 4 + 0, 25 = 4,25

!2

s2b

assim, q

4,25 = 2,06 cm. A incerteza de w, na Figura 3.1, pode ser obtida pela simples projeção da incerteza de x. Logo: L = (20,0 ± 2,1)cm Para pequenos intervalos no eixo x, temos em primeira ordem, a derivada ordinária de w em Exemplo 3.3. Considere a subtração de dois relação a x: segmentos indicados na Figura 3.3 idênticos aos que foram somados na Figura 3.2. dw sw = sx (3.9) dx sL =

Para mais de uma variável independentes entre si, podemos escrever uma fórmula geral (visualize uma soma de catetos em n dimensões):

s2w =

∂w ∂x1

!2

∂w + ∂x2

!2

∂w ... + ∂xn

!2

s2x1

s2x2 + s2xn

Figura 3.3: Subtração de dois segmentos.

O resultado do desvio absoluto seria o mesmo pois aplicamos a equação (3.10) exatamente da mesma forma. O que você pode (3.10) afirmar a respeito do desvio relativo? Exemplo 3.4. Cálculo do volume do cilindro. Se seu volume é

Exemplo 3.2. Considere a soma de dois segmentos conforme mostrado na Figura 3.2

V = V (R, π, L) = πR2 L

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e √ sV = 0, 2525 → sV = 0,5025 × 125,6 V sV = 63,114 cm3 . Portanto o valor do volume, junto com a propagação de incertezas é V = (123 ± 63) cm3 ou ainda Figura 3.4: Cilindro do qual foram medidos o raio (R) e a altura (L).

V = (12 ± 6) × 101 cm3

Com os valores dados na Figura 3.4

Questionário

• R = (2,0 ± 0,5) cm; – L = (10,0 ± 0,5) cm. Propaguemos a incerteza em todos os termos do produto: R, π, L s2V



=

∂V ∂R

2

s2R



+

∂V ∂π

2

s2π

2



= (2πRL)2 s2R + R2 L



+

∂V ∂L

2



s2π + πR2

s2L

2

s2L

1. Um aluno quis determinar a altura média dos alunos em uma determinada escola. Como o número total de alunos da escola era muito grande (≈ 2000) ele escolheu cinquenta (n = 50) que se encontravam casualmente no pátio e anotou a altura de cada um. O resultado obtido foi o seguinte:

Dividindo-se todos os termos por V 2 , temos: s2V V2



= 

= 

=

2πRL V

2

2πRL πR2 L

2

2sR R

2

s2R s2R 

+

!2

+

R2 L V

+

R2 L πR2 L

sπ π

2



+

s2π

πR2 V

+

!2

sL L

s2π

+

πR2 πR2 L

2

!2

 2

0,5 + 10,0

s2L !2

s2L

n/alunos 2 8 11 15 9 4 1

(a) Estime a altura média hm dos alunos da escola.

Substituindo-se pelos valores medidos, temos, para o desvio relativo: s2V 20,5 0 = + 2 V 2,0 π = 0, 2525

!2

h/m 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95

!2

(b) Qual é o desvio padrão da distribuição de alturas na escola? 2. Os comprimentos de duas tábuas de madeira, bem cortadas, foram medidos com uma incerteza δL = 0,1 cm. Os valores obtidos foram L1 = 50,0 cm e L2 = 10,0 cm.

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(a) Qual é a incerteza limite da quanti- [2] CEPA — Centro de Ensino e Pesdade (L1 + L2 ) ? E de (L1 − L2 )? quisa Aplicada. Algarismos significativos e desvios. USP, 2003. Disponível (b) Qual é a incerteza relativa limite de em: . medido com uma incerteza relativa de 1%. Qual é a incerteza limite relativa da [3] Departamento de Física. Roteiro de Laboratório. Campo Grande, MS: UNIVERSIárea da mesa deduzida a partir dessa meDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO dida? SUL, 1995. 4. As medidas das dimensões de um cilindro reto são: raio R = (1,72 ± 0,02) cm e [4] VUOLO, J. H. Fundamentos da Teoria de Erros. 2. ed. São Paulo, SP: Editora Edgar Blüaltura h = (2,55 ± 0,05) cm. O volume do 2 cher, 1992. cilindro é dado por V = πR h e a área das 2 paredes do cilindro é A = 2πRh + 2πR . (a) Calcule o volume V e a área A com os respectivos erros propagados limites. Expresse esses erros na forma relativa. (b) Se fosse necessário melhorar a incerteza, na medida do volume, refazendo-se apenas uma das duas medidas, qual é a que deveria ser refeita com uma incerteza menor? E no caso da área? 5. O período de um pêndulo simples é dado por s L . T = 2π g Mostre que a incerteza média relativa do período é v u

1 u δL δT = t 2 L

!2

δg + g

!2

.

Referências Bibliográficas [1] BARTHEM, B. R. Tratamento e Análise de Dados em Física Experimental. Rio de Janeiro, RJ: Editora da UFRJ, 1996. Avenida dos Ingás, 3001 – Centro – CEP: 78.550-000 – Sinop – MT. Tel./FAX: (66) 3511 2125 – Cx. Postal: 680 E-mail: [email protected]

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Parte II Roteiros de Ensaios Laboratoriais

25

4

Roteiro do Experimento: Densidade de Uma Esfera Sólida Regular 4.1

Objetivos Gerais

Quando dizemos, por exemplo, que a densidade da água é de

Ao término desta atividade o aprendiz deρa´gua = 1,00 kg/L = 1,00 × 103 kg/m3 , verá ser capaz de determinar e expressar numericamente, usando a notação de valor méisto significa que, num litro de água, encondio e desvio padrão da média, traremos uma quantidade de água cuja massa • a massa de uma esfera sólida regular com é de 1,00 kg, ou em um metro cúbico teremos uma balança; 1,00 × 103 kg = 1,00 t de água. Neste experimento iremos determinar a • o diâmetro de uma esfera sólida regular densidade de uma esfera sólida. Os sólidos, com um paquímetro; diferentemente dos fluidos possuem um vo• a densidade de uma esfera sólida regular lume fixado pela sua própria estrutura. Assim o volume da esfera é dado por: aplicando a Teoria de Erros[1, 2, 3, 4, 5]; 1 4 V = πR3 = πD3 3 6

• organizar e manipular os dados experimentais, na forma de tabelas e gráficos.

4.2

em que π é uma constante, R o raio da esfera e D = 2R é o diâmetro da esfera.

Introdução

A densidade (ρ) é uma propriedade importante dos materiais, especialmente para os fluidos. Ela é obtida como o quociente entre a quantidade de massa m e o volume V que essa quantidade ocupa. Assim: ρ=

(4.2)

m V

4.3

(4.1) 26

Material Necessário

• Paquímetro; • Balança; • Esfera de aço, sólida e regular;

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4.4

Procedimento Experimental

1. Obtenha as resoluções de cada instrumento de medição: do paquímetro e da balança

a propagação e verifique que ele é dado por: δρ = ρ

v u u t

δm m

!2

δD + 3 D

!2

onde D é o diâmetro da esfera.

2. Meça o diâmetro da esfera metálica, com auxílio paquímetro, 5 (cinco) vezes cada aluno, variando quando possível a posi- Referências Bibliográficas ção do paquímetro sobre os vários diâme[1] BARTHEM, B. R. Tratamento e Análise de tros do corpo de prova. Dados em Física Experimental. Rio de Janeiro, 3. Meça a massa da esfera metálica, com RJ: Editora da UFRJ, 1996. auxílio da balança, 5 (cinco) vezes cada [2] Departamento de Física. Roteiro de Laboaluno. ratório. Campo Grande, MS: UNIVERSI4. Calcule o diâmetro médio da esfera, o DADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO desvio padrão das medidas dos diâmetros SUL, 1995. e o desvio padrão das médias das medidas. Organize uma tabela com os dados. [3] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. v. 2. 6. ed. Rio de 5. Calcule a medida média da massa da esJaneiro, RJ: Livros Técnicos e Científicos, fera, o desvio padrão das medidas das 2006. massas e o desvio padrão das médias das medidas. Organize uma tabela com os da- [4] NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica. v. 2. 4. ed. São Paulo, SP: Edgard Blüdos. cher, 2002. 6. Calcule os erros relativos e percentuais do [5] TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para Cidiâmetro médio e da massa da esfera. entistas e Engenheiros. v. 2. 5. ed. Rio de 7. Determine a densidade da esfera com seu Janeiro, RJ: Livros Técnicos e Científicos, respectivo erro médio, utilizando a teoria 2006. 596 p. de erros. Calcule o erro médio relativo e percentual da densidade.

Questões 1. Podemos dizer que a medida da densidade possui uma boa precisão? Justifique sua resposta. 2. Obtenha o desvio médio para a densidade da esfera a partir do método geral para Avenida dos Ingás, 3001 – Centro – CEP: 78.550-000 – Sinop – MT. Tel./FAX: (66) 3511 2125 – Cx. Postal: 680 E-mail: [email protected]

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5

Roteiro do Experimento: Movimento Retilíneo e Uniforme (MRU) 5.1

Objetivos Gerais

5.2

Ao final deste experimento o aprendiz deverá ser capaz de

• Trilho de colchão de ar; • Carro de massa m adequada ao experimento;

• Estudar as características físicas do movimento retilíneo uniforme (MRU) e de suas equações matemáticas;

• Régua ou trena;

• Compreender o funcionamento de um trilho de colchão de ar;

• Cronômetro ou similar; • Papel milimetrado (e papel log-log, se necessário).

• Observar e caracterizar o movimento retilíneo uniforme em um objeto móvel; • Determinar distâncias e tempos através de régua e cronômetro;

Material Necessário

5.3

Introdução

Pela 2ª lei de Newton [1, 2, 3], a força F~ re• Determinação da velocidade média de um móvel através de medições de deslo- sultante que atua sobre um corpo com massa camentos e intervalos de tempo; m cuja aceleração é nula ~a = 0ˆı + 0ˆ  + 0kˆ ≡ ~0 será • Verificar que a velocidade média para d~p d~v F~ = =m = m~0 (5.1) deslocamentos iguais é igual à velocidade dt dt média para deslocamentos não iguais, ou para um móvel com movimento retilíneo dvx dvy dvz = 0, = 0, = 0. (5.2) e uniforme. dt dt dt 28

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Cuja solução é a família de soluções a um parâmetro ∆x ∆t ∆y = vy (0) = ∆t ∆z = vz (0) = ∆t

vx (t) = vx0 = vx (0) =

(5.3)

vy (t) = vy0

(5.4)

vz (t) = vz0

(5.5)

em que vx0 , vy0 e vz0 são velocidades constantes1 . Assim a equação horária das posições fica

utilizado neste experimento, ou seja, o trilho de colchão de ar e o cronômetro digital. Somente após esta etapa comece a realização do experimento. 2. Verifique se o trilho de colchão de ar está convenientemente na posição horizontal, de forma que, se colocarmos o carro inicialmente em repouso sobre ele, este deve permanecer em repouso e não com aceleração em algum sentido.

(5.6) 5.4.1 Deslocamentos Iguais (5.7) 1. Coloque o carro do trilho colchão de ar (5.8) em movimento, imprimindo-lhe um impulso inicial (v0 6= 0 m/s e de valor indena qual x0 , y0 e z0 é a posição inicial do móvel terminado), verifique o comportamento no instante t = 0 s. do mesmo com relação ao atrito entre o Estas são as equações de movimento que mesmo e o trilho. descrevem um objeto cobrindo distâncias x (t) = x0 + vx0 t y (t) = y0 + vy0 t z (t) = z0 + vz0 t

iguais em tempos iguais, ou mais genericamente, distâncias proporcionais em tempos proporcionais. Num movimento unidimensional usaremos a notação s(t) indicando as posições ao longo de um caminho (retilíneo) em função dos instantes que o móvel passa por esses pontos, tal que s (t) = s0 + v0 t (5.9) com v (t) = v0 .

5.4

(5.10)

Procedimento Experimental

1. Inicialmente, entenda, de uma maneira geral, o funcionamento do equipamento 1

O termo constante se refere à invariância temporal, enquanto o termo uniforme se refere a valores iguais em todos os pontos do espaço considerados, a invariância espacial.

2. Distribua os sensores do cronômetro como na Figura (6.1), adotando s0 = 0 mm e t0 = 0 s. Meça e ajuste cada deslocamento ∆si = si − si−1 , com i = 1, 2, . . . , n, de forma uniforme ao longo do trilho de ar, ou seja, ∆si = ∆sj para i 6= j. 3. Ligue o cronômetro e coloque o carro em movimento retilíneo, através de um impulso inicial, assim temos e v0 6= 0 m/s, mas de valor indeterminado. 4. Meça o tempo que o carro leva para se deslocar entre os pontos definidos pelas posições si como na Figura (6.1), ou seja, meça os ∆ti = ti − ti−1 para os respectivos ∆si . 5. Verifique se o carro percorre ∆si iguais em ∆ti iguais, ou seja, se a sua velocidade v = v0 = vméd em cada ∆si . 6. Coloque o carro em movimento algumas vezes, variando a intensidade do impulso

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trecho se mantém constante e neste caso igual a velocidade inicial v0 . 5. Efetue todas as medições dos deslocamentos ∆si e dos intervalos de tempo ∆ti com seus respectivos incertezas/erros ou precisões instrumentais. Figura 5.1: Disposição dos sensores: espaços iguais entre os sensores de passagem.

5.5

Apresentação, Análise dos Resultados e Conclusões

1. Elabore uma tabela apresentando os intervalos de tempo ∆ti = ti − ti−1 e os deslocamentos ∆si = si − si−1 ; Figura 5.2: Disposição dos sensores: espaços diferentes entre os sensores de passagem. inicial e entenda como isto se relaciona com a mudança dos valores de ∆ti .

5.4.2 Deslocamentos Diferentes 1. Redistribua os sensores do cronômetro como na Figura (6.2), adotando novamente s0 = 0 mm e t0 = 0 s. Porém não sendo necessário a distribuição uniforme entre os deslocamentos ∆si . 2. Coloque o carro em movimento através de um impulso inicial (v0 6= 0 m/s e de valor indeterminado). 3. Meça os intervalos de tempo ∆ti para os respectivos deslocamentos ∆si . 4. Observe que agora o carro percorre ∆si diferentes em ∆ti diferentes, porém, verifique se a velocidade média de cada

2. Calcule a velocidade média para cada intervalo ∆ti e a sua respectiva incerteza associada. Isso deve ser feito para cada lançamento do carrinho. 3. Faça uma tabela das posições si ≡ s (ti ), instantes ti e das velocidades médias vméd,i nos intervalos medidos. 4. Trace dois gráficos com auxílio desta tabela, um de s em função de t e outro de v em função de t, em papel milimetrado. Aplique o Método dos Mínimos Quadrados para o traçado da melhor reta nos gráficos, encontrando, deste modo, os valores do coeficiente linear e angular da reta, além da equação da reta para cada gráfico. Verifique quais são as grandezas físicas que correspondem ao coeficiente angular e ao coeficiente linear no gráfico de s × t. 5. Faça todo o desenvolvimento do item anterior para as duas etapas citadas no Procedimento Experimental, Seção (8.4). Comente e conclua acerca da dependência

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de s em função de t, da equação que determina os valores de s para um dado t, e também da dependência da velocidade instantânea v com o tempo.

Questões O experimentador deve reunir indícios experimentais para elaborar uma discussão madura dos resultados e suas conclusões. Os itens a seguir devem ser respondidos: 1. É razoável desprezar a resistência do ar? 2. Os parâmetros da equação são suficientes para caracterizar o movimento estudado nessa experiência? 3. O entre o objeto móvel e o trilho de ar é importante?

Referências Bibliográficas [1] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. v. 1. 6. ed. Rio de Janeiro, RJ: Livros Técnicos e Científicos, 2006. [2] NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica. v. 1. 4. ed. São Paulo, SP: Edgard Blücher, 2002. [3] TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. v. 1. 5. ed. Rio de Janeiro, RJ: Livros Técnicos e Científicos, 2006. 840 p.

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Roteiro do Experimento: Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MUV) !!! Não está pronto ainda !!! !!! Ver procedimento experimental para a determinação da velocidade inicial, ou como fazê-la nula no sensor 1!!! 6.1

Objetivos Gerais

• Determinação da velocidade média de um móvel através de medições de deslocamentos e intervalos de tempo;

• Ao final deste experimento o aprendiz deverá ser capaz de

• Verificar que a velocidade média para deslocamentos iguais não é constante para um móvel com movimento retilíneo uniformemente variado;

• Estudar as características físicas do movimento retilíneo uniformemente variado (MUV) e de suas equações matemáticas;

• Verificar que o móvel percorre distâncias iguais em tempos diferentes.

• Compreender o funcionamento de um trilho de colchão de ar; • Observar e caracterizar o movimento retilíneo uniformemente variado em um objeto móvel;

6.2

• Determinar distâncias e tempos através de régua e cronômetro; 32

Material Necessário

• Trilho de colchão de ar; • Carro de massa m adequada ao experimento;

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• Régua ou trena;

Num movimento unidimensional usaremos a notação s(t) indicando as posições ao longo • Cronômetro ou similar; de um caminho (retilíneo) em função dos ins• Papel milimetrado (e papel log-log, se ne- tantes que o móvel passa por esses pontos, tal que cessário). a (6.9) s (t) = s0 + v0 t + t2 2

6.3

Introdução

com

Pela 2ª lei de Newton [?, ?, ?], a força F~ resultante que atua sobre um corpo com massa m cuja aceleração é constante ~a = axˆı+ay ˆ+az kˆ ≡ ~0, com ax , ay e az constantes, será d~p d~v F~ = =m = m~a dt dt

(6.1)

ou dvy dvz dvx = ax , = ay , = az . dt dt dt

(6.2)

Cuja solução é a família de soluções a um parâmetro vx (t) = vx0 + ax t vy (t) = vy0 + ay t vz (t) = vz0 + az t

(6.3) (6.4) (6.5)

em que vx0 , vy0 e vz0 são as velocidades no instnate t = 0 s. Assim a equação horária das posições fica ax 2 t 2 ay y (t) = y0 + vy0 t + t2 2 az 2 z (t) = z0 + vz0 t + t 2

x (t) = x0 + vx0 t +

(6.6) (6.7) (6.8)

na qual x0 , y0 e z0 é a posição inicial do móvel no instante t = 0 s. Estas são as equações de movimento que descrevem um objeto cobrindo distâncias iguais em tempos iguais, ou mais genericamente, distâncias proporcionais em tempos proporcionais.

v (t) = v0 + at.

6.4

(6.10)

Procedimento Experimental

1. Inicialmente, entenda, de uma maneira geral, o funcionamento do equipamento utilizado neste experimento, ou seja, o trilho de colchão de ar e o cronômetro digital. Somente após esta etapa comece a realização do experimento. 2. Diferentemente do movimento uniforme, em que o trilho de colchão de ar está na posição horizontal, o trilho deve ficar estabilisado com um ângulo de inclinação referente ao nível horizontal, de forma que, se colocarmos o carro inicialmente em repouso sobre ele, este deve apresentar aceleração em algum sentido. 3. Para isso, nivele horizontalmente o trilho e ajuste o transferidor acoplado ao trilho de forma que o fio de prumo marque 0°. Feito isso qualquer inclinação do trilho de ar poderá ser medida com o auxílio do transferidor acoplado a ele. 4. Altere a inclinação do trilho de ar para um valor diferente de 0°, meça esse valor e o anote no caderno de laboratório.

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Figura 6.1: Disposição dos sensores: espaços Figura 6.2: Disposição dos sensores: espaços iguais entre os sensores de passagem. diferentes entre os sensores de passagem.

6.4.1 Deslocamentos Iguais

6.4.2

Deslocamentos Diferentes

1. Coloque o carro do trilho colchão em repouso sobre o trilho de ar, sem nenhum impulso inicial (v0 = 0 m/s), verifique o comportamento do mesmo com relação ao atrito entre o mesmo e o trilho.

1. Redistribua os sensores do cronômetro como na Figura (6.2), adotando novamente s0 = 0 mm e t0 = 0 s. Porém não sendo necessário a distribuição uniforme entre os deslocamentos ∆si .

2. Distribua os sensores do cronômetro como na Figura (6.1), adotando s0 = 0 mm e t0 = 0 s. Meça e ajuste cada deslocamento ∆si = si − si−1 , com i = 1, 2, . . . , n, de forma uniforme ao longo do trilho de ar, ou seja, ∆si = ∆sj para i 6= j.

2. Coloque o carro em repouso sem um impulso inicial (v0 6= 0 m/s e de valor indeterminado). 3. Meça os intervalos de tempo ∆ti para os respectivos deslocamentos ∆si .

3. Ligue o cronômetro e coloque o carro em repouso em qulaquer posição antes do primeiro sensor do cronômetro, sem um impulso inicial, assim temos e v0 = 0 m/s.

4. Observe que agora o carro percorre ∆si diferentes em ∆ti diferentes, porém, verifique se a velocidade média de cada trecho se mantém constante e neste caso igual a velocidade inicial v0 .

4. Meça o tempo que o carro leva para se deslocar entre os pontos definidos pelas posições si como na Figura (6.1), ou seja, meça os ∆ti = ti − ti−1 para os respectivos ∆si .

5. Efetue todas as medições dos deslocamentos ∆si e dos intervalos de tempo ∆ti com seus respectivos incertezas/erros ou precisões instrumentais.

5. Verifique se o carro percorre ∆si iguais em ∆ti iguais, ou seja, se a sua velocidade v = v0 = vméd em cada ∆si . 6. Coloque o carro em movimento algumas vezes, variando a intensidade do impulso inicial e entenda como isto se relaciona com a mudança dos valores de ∆ti .

6.5

Apresentação, Análise dos Resultados e Conclusões

1. Elabore uma tabela apresentando os intervalos de tempo ∆ti = ti − ti−1 e os deslo-

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camentos ∆si = si − si−1 ; 2. Calcule a velocidade média para cada intervalo ∆ti e a sua respectiva incerteza associada. Isso deve ser feito para cada lançamento do carrinho.

2. Os parâmetros da equação são suficientes para caracterizar o movimento estudado nessa experiência? 3. O entre o objeto móvel e o trilho de ar é importante?

3. Faça uma tabela das posições si ≡ s (ti ), instantes ti e das velocidades médias vméd,i nos intervalos medidos. 4. Trace dois gráficos com auxílio desta tabela, um de s em função de t e outro de v em função de t, em papel milimetrado. Aplique o Método dos Mínimos Quadrados para o traçado da melhor reta nos gráficos, encontrando, deste modo, os valores do coeficiente linear e angular da reta, além da equação da reta para cada gráfico. Verifique quais são as grandezas físicas que correspondem ao coeficiente angular e ao coeficiente linear no gráfico de s × t. 5. Faça todo o desenvolvimento do item anterior para as duas etapas citadas no Procedimento Experimental, Seção (8.4). Comente e conclua acerca da dependência de s em função de t, da equação que determina os valores de s para um dado t, e também da dependência da velocidade instantânea v com o tempo.

Questões O experimentador deve reunir indícios experimentais para elaborar uma discussão madura dos resultados e suas conclusões. Os itens a seguir devem ser respondidos: 1. É razoável desprezar a resistência do ar? Avenida dos Ingás, 3001 – Centro – CEP: 78.550-000 – Sinop – MT. Tel./FAX: (66) 3511 2125 – Cx. Postal: 680 E-mail: [email protected]

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Roteiro do Experimento: Queda Livre 7.1

Objetivos Gerais

• Régua ou trena; • Balança;

Ao final deste experimento o aprendiz deverá ser capaz de • Observação do movimento de queda livre e caracterização do movimento retilíneo uniformemente acelerado sob a influência de um campo gravitacional. • Determinação da aceleração da gravidade de um corpo próximo à superfície terrestre.

• Cronômetro ou similar; • Papel milimetrado e papel log-log.

7.3

Introdução

Pela 2ª lei de Newton [1, 2, 3], a força F~ resultante que atua sobre um corpo com massa • Determinação das equações que regem o m será d~v d~p movimento de um corpo em queda livre; =m = m~a (7.1) F~ = dt dt • Caracterização da influência da massa no No caso de uma única força, isto é, a processo de queda livre força peso F~g = m~g , atuando sobre o corpo (desprezando-se a resistência do ar) a equação torna-se 7.2 Material Necessário d~v (7.2) m~g = m . dt • Arranjo para queda livre com sensores Que em uma dimensão torna-se apenas ópticos; • Corpo de massa m adequada ao experimento;

− mg = m

dv . dt

(7.3)

• Suporte para ajuste e apoio do fio e massa; com g o valor absoluto da aceleração local. 36

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A solução da equação para a velocidade (v) e a posição (s) será v (t) = v0 − gt

7.4

Procedimento Experimental

(7.4)

g Nesse experimento utilizaremos o arranjo s (t) = s0 + v0 t − t2 (7.5) experimental mostrado na Figura (7.1), em 2 A posição inicial e velocidade inicial são que o corpo de prova é uma esfera metálica. O funcionamento do dispositivo é relativas0 ≡ s(0) e v0 ≡ v (0), respectivamente. mente simples: No caso mais geral as forças resultantes devem levar em consideração a força de atrito viscoso do ar sobre o corpo em queda devido • A passagem de uma corrente2 pelo eleà resistência do ar troímã faz que este prenda a esfera metálica ligeiramente antes do primeiro senF~ar = −b~v (7.6) sor; em que b é a constante de força viscosa1 e o • e a interrupção da corrente libera a esfera. sinal negativo evidencia a característica de F~ar sempre se opor ao sentido do movimento do corpo no meio viscoso. Portanto, escrevemos a equação com o termo dissipativo incluso m~g − b~v = m

d~v , dt

(7.7)

cuja família de soluções é  mg  v (t) = v0 e−bt/m − 1 − e−bt/m . (7.8) b A expansão da função ex em séries de potências é a seguinte expansão ex = 1 + x +

xj x2 x3 + + ... + + ... 2! 3! j!

(7.9)

E se x = −bt/m e nas condições de pequena resistência do ar b  m, mas não desprezível a equação anterior simplifica-se

Figura 7.1: Arranjo experimental de queda li(7.10) vre. A parte a) é a régua e suporte metálico dos O que retorna à dependência linear da velo- cinco fotosensores e coletor do corpo de prova na parte inferior; b) desenho esquemático do ciadade com o tempo. Para pequenos tempos comparados com a sistema de liberação do corpo de prova e a sua relação m/b a aproximação acima também é detecção pelo fotosensor; c) cronômetro digital dos fotosensores. válida. v (t) ≈ v0 − gt.

1

A constante depende dos parâmetros da geometria do corpo e das características do fluido.

2

O eletroímã não deve ficar ligado mais que 30 s para não danificar o sistema.

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• Após a passagem da esfera pelo primeiro sensor o cronômetro, Figura (7.1), começa a contagem do tempo de passagem em cada sensor seqüente. É aconselhável ao experimentador a escolha de cinco posições para a fixação dos sensores na régua metálica do sistema de queda livre. O primeiro sensor deve estar o mais próximo possível do corpo de porova para que s (0) = s0 = 0 m

(7.11)

t (0) = t0 = 0 s,

(7.12)

e portanto o modelo teórico será g s (t) = t2 2

(7.13)

que descreve as posições em que o corpo de prova estará a medida que o tempo é contado. Execute um processo de queda de um corpo, medindo o deslocamento espacial ∆s e o tempo ∆t necessário para que tal corpo percorra este deslocamento, através do seguinte procedimento. 1. Para cada processo de queda o experimentador deve repetir o processo pelo menos 5 vezes para cada corpo de prova e no mínimo três massas diferentes. 2. Primeiramente, ajuste os sensores do cronômetro digital nas seguintes posições da régua: 0 mm, 150 mm, 300 mm, 550 mm e 600 mm; tomando o cuidado para que o primeiro sensor fique o mais próximo possível da posição inicial do corpo (s0 ). Isto é necessário para podermos considerar v0 e t0 iguais a zero, ou seja, executar uma aproximação de que o corpo parte do repouso, pois o cronômetro digital só medirá a variação do tempo entre dois de seus sensores.

3. Faça as medições dos ∆s com seus respectivos erros ou precisão instrumental. 4. Execute o processo de queda de um corpo, medindo antes sua massa com sua respectiva precisão instrumental. 5. No processo de queda meça os ∆t relacionados com os ∆s medidos anteriormente, tomando o cuidado de repetir as medidas dos ∆t pelo menos 5 vezes, isto é, o corpo deve ser colocado em queda pelo e menos 5 vezes, no mínimo. 6. Troque o corpo por outro, meça novamente a massa do mesmo e execute a queda deste novo corpo, seguindo o mesmo procedimento anterior para a medida dos ∆t.

7.5

Apresentação, Análise dos Resultados e Conclusões

• Elabore uma tabela com os ∆t medidos com seus valores médios e seus desvios padrões para os dois corpos e o utilizados, expresse os valores finais de ∆t com seus respectivos erros, instrumental ou estatísticos. • Calcule os valores das posições s1 , s2 , s3 , s4 , dos tempos t1 , t2 , t3 , t4 e das velocidades instantâneas v1 , v2 , v3 , v4 . • Com o auxílio dos resultados obtidos, monte tabelas da posição s e da velocidade instantânea v em função do tempo t. • Através destas tabelas construa, respectivamente, dois gráficos, um de s em função de t em papel log-log e outro de s em

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função de t em papel milimetrado. Construa também um gráfico de v em função de t em papel milimetrado. • Aplique o Método dos Mínimos Quadrados[4]3 para o traçado da melhor reta nos gráficos[5, 6] que possuem uma dependência linear, encontrando, deste modo, os valores do coeficiente linear e angular, e além da equação da reta para cada gráfico. • Analisando os gráficos anteriores com suas respectivas equação da reta, determine o valor experimental da aceleração da gravidade local. Compare e discuta com o valor teórico g = (9787 ± 1)mm/s2 .

1. É razoável desprezar a resistência do ar e o empuxo? 2. Os parâmetros iniciais que caracterizam o movimento do corpo de prova são razoáveis para a escolha do modelo apresentado na equação? 3. O valor encontrado da aceleração da gravidade está de acordo com os valores encontrado pelo pêndulo simples? E os valores tabelados para Sinop-MT? 4. Se o corpo tivesse outra forma como seriam os resultados?

Referências Bibliográficas

[1] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. v. 1. 6. ed. Rio de Janeiro, RJ: Livros Técnicos e Científicos, 1. Explique as aproximações realizadas para 2006. a simplificação de um sistema de queda real de um corpo em um sistema de queda [2] NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Bálivre. sica. v. 1. 4. ed. São Paulo, SP: Edgard Blü-

Questões

cher, 2002. 2. Descreva detalhadamente as condições físicas envolvidas em um corpo em queda [3] TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para Cilivre, utilizando-se de um esquema detaentistas e Engenheiros. v. 1. 5. ed. Rio de lhado da principal força que atua sobre o Janeiro, RJ: Livros Técnicos e Científicos, sistema. 2006. 840 p. 3. Equacione a força envolvida e desenvolva [4] MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. as equações matemáticas que regem o Estatística Aplicada e Probabilidade para Engecomportamento de um corpo em queda linheiros. 2. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2003. vre. [5] VUOLO, J. H. Fundamentos da Teoria de ErO experimentador deve reunir indícios experiros. 2. ed. São Paulo, SP: Editora Edgar Blümentais para elaborar uma discussão madura cher, 1992. dos resultados e suas conclusões. Os itens a [6] BARTHEM, B. R. Tratamento e Análise de seguir devem ser respondidos: Dados em Física Experimental. Rio de Janeiro, 3 O nosso modelo é algo do tipo s (t) = Ktβ . LineaRJ: Editora da UFRJ, 1996.

rizando a ultima equação temos: Y = A + BX, em que Y = ln (s (t)), A = ln (K), b = β e X = ln (t).

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8

Roteiro do Experimento: Modelagem Matemática da Lei de Hooke !!! Não está pronto ainda !!! 8.1

Objetivos Gerais

8.2

• Suporte para argolas ou similar;

Ao final deste experimento o aprendiz deverá ser capaz de

• Conjunto de argolas maciças metálicas; • Régua ou trena;

• Estudar as características físicas do comportamento de uma mola helicoidal quando esticada;

• Balança; • Papel milimetrado (e papel log-log, se necessário).

• Modelar matematicamente a lei de Hooke para uma mola helicoidal; • Observar e caracterizar os limites de validade da modelagem matemática da lei de Hooke para cada mola usada;

Material Necessário

8.3

Introdução

Qualquer função analítica em um ponto x = a pode ser representada por uma série de po• Determinar as constantes elásticas das tências, de forma que seu cálculo seja feito molas utilisadas utilizando régua e ba- através de máquinas computaionais. Uma função então pode ser expressa como a espanlança; são ∞ • Comparar a modelagem utilizada para X (x) f = ai x i uma mola metálica com a de um segi=0 mento de material elástico polimérico (ar= a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + aj x j + · · · , gola de borracha) para verificar se ocorre (8.1) histerese nos casos citados. 40

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que podem ser obtidas por seéries de Taylor suspensão de carros, portas automáticas, relóou Maclaurin (ou mesmo usando outra base gios mecânicos — etc. de funções adequada à espansão desejada). Tal espansão pode ser aproximada por um polinômio de grau n com uma determinada 8.4 Procedimento Experimenerro de truncamento da série anterior, ou seja, f (x) ∼ =

n X

tal

ai x i

i=0

= a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn . (8.2)

Inicialmente, entenda, de uma maneira geral, o funcionamento do equipamento utilizado neste experimento, ou seja, o trilho de colchão de ar e o cronômetro digital. Somente após esta etapa comece a realização do experimento.

A lei de Hooke trata exatamente de uma aproximação de um comportamento linear para a força que uma mola faz quando deformada a partir de seu estado nãodeformado. Considere uma mola helicoidal não-deformada e um ponto de suas extremi- 8.4.1 Deslocamentos Iguais dades como referência. Este ponto de referên1. Coloque o carro do trilho colchão de ar cia terá um deslocamento x a partir de x = 0 em movimento, imprimindo-lhe um impara cada estado de equilíbrio que a mola enpulso inicial, verifique o comportamento contrar quando uma força externa for aplido mesmo com relação ao atrito entre o cada. mesmo e o trilho. A dependência deste deslocamento do ponto de referência com a força que a mola faz 2. Distribua os sensores do cronômetro para compensar a força externa é do tipo como na Figura (6.1), adotando s0 = 0 mm e t0 = 0 s. Meça e ajuste cada deslocaF (x) = −kx, (8.3) mento ∆si = si − si−1 , com i = 1, 2, . . . , n, para pequenas deformações, com F (x) sendo de forma uniforme ao longo do trilho de a força de restituição da mola, k a constante esar, ou seja, ∆si = ∆sj para i 6= j. lástica da mola e x a elongação desta a partir de seu ponto não-deformado. Assim a equa3. Ligue o cronômetro e coloque o carro em ção (8.3) é uma aproximação, ou força efetiva movimento retilíneo, através de um impara pequenas deformações, relativa às forças pulso inicial, assim temos e v0 6= 0 m/s, intermoleculares na mola, sendo a aproximamas de valor indeterminado. ção de primeira ordem em x que pode-se fazer 4. Meça o tempo que o carro leva para se na espansão (8.2). deslocar entre os pontos definidos pelas A constante elástica pode ser obtida da posições si como na Figura (6.1), ou seja, equação (8.3) via meça os ∆ti = ti − ti−1 para os respectivos F (x) ∆si . . (8.4) k=− x E esta caracteriza o comportamento de cada 5. Verifique se o carro percorre ∆si iguais em uma das molas que são usadas em laborató∆ti iguais, ou seja, se a sua velocidade v = rios, dispositivos de restituição mecânica — v0 = vméd em cada ∆si . Avenida dos Ingás, 3001 – Centro – CEP: 78.550-000 – Sinop – MT. Tel./FAX: (66) 3511 2125 – Cx. Postal: 680 E-mail: [email protected]

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6. Coloque o carro em movimento algumas vezes, variando a intensidade do impulso inicial e entenda como isto se relaciona com a mudança dos valores de ∆ti .

8.4.2

Deslocamentos Diferentes

1. Redistribua os sensores do cronômetro como na Figura (6.2), adotando novamente s0 = 0 mm e t0 = 0 s. Porém não sendo necessário a distribuição uniforme entre os deslocamentos ∆si . 2. Coloque o carro em movimento através de um impulso inicial (v0 6= 0 m/s e de valor indeterminado). 3. Meça os intervalos de tempo ∆ti para os respectivos deslocamentos ∆si . 4. Observe que agora o carro percorre ∆si diferentes em ∆ti diferentes, porém, verifique se a velocidade média de cada trecho se mantém constante e neste caso igual a velocidade inicial v0 . 5. Efetue todas as medições dos deslocamentos ∆si e dos intervalos de tempo ∆ti com seus respectivos incertezas/erros ou precisões instrumentais.

8.5

Apresentação, Análise dos Resultados e Conclusões

1. Elabore uma tabela apresentando os intervalos de tempo ∆ti = ti − ti−1 e os deslocamentos ∆si = si − si−1 ; 2. Calcule a velocidade média para cada intervalo ∆ti e a sua respectiva incerteza associada. Isso deve ser feito para cada lançamento do carrinho.

3. Faça uma tabela das posições si ≡ s (ti ), instantes ti e das velocidades médias vméd,i nos intervalos medidos. 4. Trace dois gráficos com auxílio desta tabela, um de s em função de t e outro de v em função de t, em papel milimetrado. Aplique o Método dos Mínimos Quadrados para o traçado da melhor reta nos gráficos, encontrando, deste modo, os valores do coeficiente linear e angular da reta, além da equação da reta para cada gráfico. Verifique quais são as grandezas físicas que correspondem ao coeficiente angular e ao coeficiente linear no gráfico de s × t. 5. Faça todo o desenvolvimento do item anterior para as duas etapas citadas no Procedimento Experimental, Seção (8.4). Comente e conclua acerca da dependência de s em função de t, da equação que determina os valores de s para um dado t, e também da dependência da velocidade instantânea v com o tempo.

Questões O experimentador deve reunir indícios experimentais para elaborar uma discussão madura dos resultados e suas conclusões. Os itens a seguir devem ser respondidos: 1. É razoável desprezar a resistência do ar? 2. Os parâmetros da equação são suficientes para caracterizar o movimento estudado nessa experiência? 3. O entre o objeto móvel e o trilho de ar é importante?

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Roteiro do Experimento: Pêndulo Simples 9.1

Objetivos Gerais

cando todas as aproximações necessárias para o desenvolvimentos das equações matemátiAo final deste experimento o aprendiz de- cas que regem o comportamento do pêndulo, verá ser capaz de (veja as referências [1, 2]) principalmente o período (T ) em função do comprimento (L) do • aproximar as funções seno e co-seno para fio que determina o pêndulo simples. pequenos ângulos; • determinar a aceleração da gravidade; • observar a influência da massa do corpo e da variação do comprimento do pêndulo no período de oscilação.

9.2

Introdução

O pêndulo simples [1, 2] é constituído por um corpo suspenso em um fio leve não extensível. Quando afastado de sua posição de equilíbrio estável e solto, o pêndulo oscila no plano vertical, em torno do ponto de fixação do fio, devido a ação da força da gravidade. Descreva detalhadamente as condições físicas envolvidas em um pêndulo simples, utilizando-se de um esquema detalhado das principais forças que atuam sobre o pên- Figura 9.1: Pêndulo simples, segundo seu dulo. Equacione as forças envolvidas justifi- comprimento L e massa oscilante m. 43

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Na Figura (9.1) podemos observar que as componentes da força peso, p~ = m~g , (px ortogonal do fio, py paralela ao fio) são dadas por px = mg sin (θ0 ) , py = mg cos (θ0 ) ,

(9.1) (9.2)

em que m é a massa do corpo oscilante, g a aceleração da gravidade local e θ0 o ângulo de abertura máximo de oscilação do pêndulo. Pode-se expandir o seno e o co-seno em série de potências em torno de θ0

• Suporte para ajuste e apoio do fio e massa; • Régua ou trena; • Balança; • Cronômetro ou similar; • Papel milimetrado.

9.4

Procedimento Experimental

(−1)n θ02n+1 θ03 + ... + + ... sin (θ0 ) = θ0 − (2n + 1)! 3! (−1)n θ02n θ02 cos (θ0 ) = 1 − + ... + + ... (2n)! 2!

1. Ajuste o comprimento L do pêndulo e coloque o mesmo em oscilação, tomando o cuidado de não ultrapassar o ângulo máximo de ≈ 15° na oscilação.

Para pequenos ângulos θ0  1, podemos aproximar o sin (θ0 ) ≈ θ0 e o cos (θ0 ) ≈ 1 de forma que

2. Meça o tempo de 10 oscilações e determine o período de uma oscilação (T ) através de:

px ≈ mgθ0 py ≈ mg

T =

(9.3) (9.4)

Execute este processo 5 vezes e determine o valor mais provável do período de oscilação (T ) do pêndulo para o comprimento l (utilize toda a teoria de erros já estuda anteriormente).

O período do movimento do pêndulo, para pequenos ângulos, será dado por s

T = 2π

L , g

(9.5)

em que L é o comprimento do pêndulo, g é a aceleração da gravidade local. O que nos permite determinar a aceleração da gravidade apenas pela determinação do período T e do comprimento L do fio.

9.3

Material Necessário

• Fio com comprimento variado; • Corpo de massa m adequada ao experimento;

(tempo de 10 oscilações) 10

3. Repita toda a etapa anterior para 5 valores distintos do comprimento L do pêndulo simples. 4. Repita toda as etapa anteriores para 3 valores distintos da massa m do pêndulo simples.

9.5

Apresentação, análise dos resultados e conclusões

1. Calcule os erros limites absoluto, relativo e percentual e os erros médios abso-

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luto, relativo e percentual da medida do período.[3, 4] 2. Em seguida, determine através da propagação do erro na medida do período os erros limites absoluto, relativo e percentual e os erros médios absoluto, relativo e percentual da gravidade local. Determine os valores mais prováveis da gravidade por este método. 3. Com o auxílio dos resultados obtidos, monte tabelas e construa dois gráficos para cada valor de massa m.

oscilação do pêndulo simples. 2. Por que motivo o período de oscilação varia sutilmente em cada uma das 5 medições feitas? Argumente com base nos desvios experimentais existentes: erro grosseiro, erro sistemático, erro aleatório. 3. Por que no Procedimento Experimental é indicado que seja limitado o ângulo máximo de oscilação do pêndulo?

Referências Bibliográficas

(a) O primeiro com o período de oscila- [1] NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica. v. 1. 4. ed. São Paulo, SP: Edgard Blüção ao quadrado em função do comcher, 2002. primento do fio do pêndulo simples. (b) O segundo com o período de oscila- [2] TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para Cição em função do comprimento do entistas e Engenheiros. v. 1. 5. ed. Rio de pêndulo. Explique o tipo de curva Janeiro, RJ: Livros Técnicos e Científicos, de cada gráfico, determine e comente 2006. 840 p. a forma de variação do período do pêndulo em função do comprimento [3] VUOLO, J. H. Fundamentos da Teoria de Erdo mesmo. Em ambos, determine ros. 2. ed. São Paulo, SP: Editora Edgar Blügraficamente o valor da aceleração cher, 1992. da gravidade local (g). [4] BARTHEM, B. R. Tratamento e Análise de Dados em Física Experimental. Rio de Janeiro, 4. Compare e discuta o valor obtido graficaRJ: Editora da UFRJ, 1996. mente da gravidade local com o valor teó2 rico (g = 978,7 cm/s ) e os valores obtidos pela propagação direta do erro nas medidas dos períodos do pêndulo para cada valor e de l utilizado, explicando as possíveis discrepâncias entre os valores. 5. Comente a exatidão e precisão dos resultados obtidos.

Questões 1. Por que usamos 10 oscilações e não apenas 1 oscilação para medir o período de Avenida dos Ingás, 3001 – Centro – CEP: 78.550-000 – Sinop – MT. Tel./FAX: (66) 3511 2125 – Cx. Postal: 680 E-mail: [email protected]

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verificação da soma de forças

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