Ky Thuat Su Dung Bdt Cauchy

KĨ THUẬT SỬ DỤNG CAUCHY I Bất đẳng thức Cauchy x, y , z  0 ta có :

x y  xy . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y 2

x yz 3  xyz .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  z 3 + Chú ý:trong thực tế ta thường dùng dưới dạng x  y  2 xy ; x  y  z  3 3 xyz II Các kĩ thuật sử dụng 1.Kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân x y  xy hoặc x  y  2 xy Sử dụng dạng : 2 x yz  xyz hoặc x  y  z  3 3 xyz 3 Ví dụ 1: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng  a  b   b  c   c  a   8abc Giải Ta có a  b  2 ab . Đẳng thức xảy ra khi a  b b  c  2 bc . Đẳng thức xảy ra khi b  c c  a  2 ca .Đẳng thức xảy ra khi c  a Suy ra:  a  b   b  c   c  a   8 ab . bc . ca  8abc Đẳng thức xảy ra khi a  b  c hay tan giác đó đều. Ví dụ 2: Cho x  0 . Tìm GTNN của hàm số y  x 

1 x

Giải 1 1 1 2  2 x.  2 . Đẳng thức xảy ra khi x   x  1  x  1 vì  x  0  x x x y  2 khi x  1 Vậy Min x 0

Ta có x  0 thì x 

Ví dụ 3: Tìm GTNN của hàm số y  3x 1  32 x Giải x 1 2 x x thì 3 ,3 đều dương nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có y  3x 1  32 x  2 3x 1.32 x  2 33  6 3 x 1 2 x Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3  3  x  1  2  x  x 

Vậy Miny  6 3 khi x 

1 2

1 . 2

Ví dụ 4: Tìm GTNN của hàm số y  2 x 

1 với x  0 x2

Giải 1 1 1 3 Ta có y  x  x  2  3 3 x.x. 2  3 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  2  x  1  x  1 x x x

y  3 khi x  1 Vậy Min x 0 Ví dụ 5: Cho o  b  a . Chứng minh rằng a 

1 3  a  b b

Giải 1 1 1   a  b  b   3 3  a  b  b. 3 Ta có a   a  b b  a  b b  a  b b  a  2b 1  a  2b  a2    3  1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  b   a  b b  b  b 1  b 1  a  b b   Đọc xong Ví dụ 4, Ví dụ 5 bạn có suy nghĩ gì và có rút ra một kinh nghiệm nào không? + Lưu ý : kĩ thuật này áp dung trong các trường hợp: 1. Chứng minh BĐT dạng  . 2. Trong bài toán tìm GTNN. 3. Tách thành các số hạng sao cho sau khi sử dung BĐT thì các biểu thức khử nhau chỉ còn lại hằng số

BÀI TẬP 1 1 4   x y x y 1 1 1 9    x y z x yz

1. x, y , z  0 . Chứng minh rằng

2. Chứng minh rằng

a2  2 a2  1

 2 . Đẳng thức xảy ra khi nào?

 1   1   1   1  1  1  8 .  a   b   c  4. Cho a, b, c  0 và a  b  c  abc . Chứng minh rằng a  b  c  3 3 . 5. cho x, y thỏa mãn 3 y  x  2  log 4 3 . Tìm GTNN của T  4 x  y 1  3.42 y 1 . 3. Cho a, b, c  0 và a  b  c  1. Chứng minh rằng 

2

2

6. Tìm GTNN của hàm số y  4sin x  4cos x . 1  1  7. Cho a, b  0 và a  b  1 . Chứng minh rằng  1   1    9 . a  b 



8. Chứng minh rằng  1  a   1  b   1  c   1  3 abc



3

a, b, c  0 . Đẳng thức xảy ra khi nào?.

9. Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng  2a  b  c   a  2b  c   a  b  2c   8  a  b   b  c   c  a  . 10. Cho a, b, c  0 và a  b  c  1 .Chứng minh rằng  1  a   1  b   1  c   8  1  a   1  b   1  c  .



11. Chứng minh rằng  1  a   1  b   1  ab



2

a, b  0

12. Cho x, y , z  0 thỏa mãn xyz  1 và n là số nguyên dương . Chứng minh n

n

n

 1 x   1 y   1 z        3  2   2   2  2. Kĩ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng

x y x yz ; 3 xyz  2 3 Ví dụ 1:Cho x, y , z  0 .Chứng minh rằng xy  yz  zx  x  y  z Giải x y yz zx    x yz Ta có xy  yz  zx  2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi x  y  z xy 

Sử dụng dạng

Ví dụ 2. Cho a, b, c  0 . Chứng mnh rằng 1  3 abc 

3

 1  a   1  b   1  c   *

Giải Ta có

 * 

1 3

 1 a  1 b  1 c

1 3

 1 a  1 b  1 c



3



3 3

abc

 1 a  1 b  1 c

1

1 1 1 1 1 1 1  . .      1 a 1 b 1 c 3  1 a 1 b 1 c 

1 1 1   abc 1 a 1 b 1 c 3 abc a b c 1 a b c  3 . .      3 1 a 1 b 1 c       1 a 1 b 1 c 3  1 a 1 b 1 c  Đẳng thức xảy ra khi

Đẳng thức xảy ra khi a  b  c 3 1 abc 1 1 1 1 a b c          Do đó 3  1  1 a  1 b  1 c 3  1 a  1 b  1 c 3  1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c  Đẳng thức xảy ra khi a  b  c Vậy 1  abc  3  1  a   1  b   1  c  3

Ví dụ 3: Tìm GTLN của hàm số y  3x 2  2 x 3 với 0  x  

Ta có y  3x 2  2 x 3  x.x.  3  2 x    

3 2

Giải 2 x  x  3  2x   1 3  3

x yz  x yz  xyz   ) 3 3   Đẳng thức xảy ra khi x  x  3  2 x  x  1 Maxy  1 khi x  1 Vậy  3 ( Chú ý : ta có

3

xyz 

 0; 2   

Ví dụ 4: Tìm GTLN của hàm số y  2 x 2  x 3 với 0  x  2 Giải 3 1 1  x  x  4  2x  32 2 Ta có y  x  2  x   x.x.  4  2 x    3  2 2 3  4 Đẳng thức xảy ra khi x  x  4  2 x  x  3 32 4 Vậy Max y  khi x  3  0;2 3

1 x.x.  4  2 x  ?) 2 Tóm lược: Thường sử dụng kĩ thuật này trong Chứng minh bất đẳng thức dạng  Tìm GTLN

2 ( Tại sao ta lại phân tích x  2  x  

1. Chứng minh rằng

c  a  c 

BÀI TẬP c  b  c   ab

a  c  0, b  c  0.

2. Cho a, b, c  0 và a  b  c  1 . Chứng minh rằng 16abc  a  b . 3.Cho a, b, c  o và a  b  c  1 . Chứng minh rằng: abc  a  b   b  c   c  a  

8 . 729

4. Cho a, b, c là 3 số thực dương chứng minh rằng : bc ca ab 3    i)  a  b  a  c  b  c  b  a  c  a  c  b 2 ii)

a

 a  b  a  c



b

 b  c  b  a



c

 c  a  c  b



3 2

3. Kỹ thuật ghép đối xứng: Để ý : 2  x  y  z    x  y    y  z    z  x  x y yz zx   2 2 2 2 2 2 x y z   xy   yz   zx  x yz 

xyz  xy yz zx

x, y, z  0

1 Ví dụ 1: Trong ABC chứng minh rằng  p  a   p  b   p  c   abc 8 Giải Trong tam giác thì p  a, p  b, p  c  0 nên ta có : p a  pb c  . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi p  a  p  b  a  b  p  a  p  b  2 2 a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b  c  p  b  p  c  2 b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c  a  p  c  p  a  2 1 Suy ra  p  a   p  b   p  c   abc . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c hay tam giác ABC đều. 8 2 2   2    * Ví dụ 2: Chứng minh rằng  a  b  c     9 a, b, c  0  ab bc ca  Giải 1 1 1     Ta có  *  2  a  b  c    9  ab bc ca  1 1   1    a  b    b  c    c  a       9  ab bc ca  Phần chứng minh còn lại dành cho bạn .

Ví dụ 3: Chứng minh rằng

bc ca ab    abc a b c Giải

a, b, c  0

bc ca   2c . Đẳng thức xảy ra khi a  b a b ca ab   2a . Đẳng thức xảy ra khi b  c b c ab bc   2b . Đẳng thức xảy ra khi c  a c a bc ca ab  bc ca ab     2  a  b  c      a  b  c . Đẳng thức xảy ra khi a  b  c Suy ra 2  c  a b c  a b BÀI TẬP a b c 1 1 1      a, b, c  0 1. Chứng minh rằng bc ca ab a b c a 2 b2 c2 a c b 2. Chứng minh rằng 2  2  2    a, b, c  0 b c a c b a 1 1 1 abc a, b, c  0 3. Chứng minh rằng 2  2  2  a b c abc 4. Kỹ thuật đổi biến: ab bc ca   6 a, b, c  0 Ví dụ mở đầu : Chứng minh rằng c a b Giải ab bc ca a b b c c a  a c   c b  b a                    2  2  2  6 Ta có c a b c c a a b b  c a  b c  a b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c ab a b   bây giờ ngược lại nếu trong bất đẳng thức Nhận xét: trong Ví dụ trên ta sử dụng tính chất c c c c cần chứng minh có dạng thì liệu chúng ta có còn sử dụng được tính chất nêu trên nữa không? ab a b c 3    a, b, c  0 Ví dụ 1: Chứng minh rằng bc ca ab 2 Giải Để vận dụng được tính chất nêu trên thì ta phải gói gọn mẫu thành 1 biểu thức (1 chữ cái) còn tử là tổng hoặc hiệu của những biểu thức tính theo mẫu . Để làm việc này ta chỉ cần đặt như sau  bc  x  Đặt  c  a  y và bây giờ ta tính a, b, c theo x, y , z . Dễ thấy x  y  z  2  a  b  c  .  ab  z  Ta có

x yz x yz yzx   b  c  x . Tương tự ta tính được 2 2 2 zx y x yz b ,c  . Như vậy bất đẳng thức đã cho có thể viết lại 2 2 yzx zx y x yz 3 y z z x x y      1   1  1  3 2x 2y 2z 2 x x y y z z y z z x x y        6 . Bất đẳng thức này vừa được chứng minh xong ! x x y y z z

Khi đó a 

a2 b2 c2    abc b c a c  a b a bc Giải yz   a 2  zx   z y z  abc   b  . Bất đẳng thức đã cho được viết lại : 2  x y   c 2 

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng

 bca  x ,x 0  Đặt  c  a  b  y , y  0  abc  z ,z  0 

 y  z

2

 z  x 

2

 x  y 

2

 x yz 4y 4z y 2 z 2 z 2 x 2 x 2 y 2 2 yz 2 zx 2 xy           4  x  y  z  . Đến đây không khó để chứng minh x x y y z z x y z 2 xy 2 yz 2 zx y 2 z 2 z 2 x 2 x 2 y 2 2 yz 2 zx 2 xy    2  x  y  z  và         . Từ đó suy ra điều z x y x x y y z z x y z phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi x  y  z  a  b  c Ngoài cách phân tích như trên ta có thể chứng minh như sau: 2  y  z   yz   4x x 2 2 2 2  z  x   zx    y  z    z  x    x  y   yz  zx  xy  x  y  z  4y y  4x 4y 4z x y z 2  x  y   xy  4z z  1 1 1 3  2  2  Ví dụ 3: Chứng minh rằng a, b, c  0 và abc  1 ta có 2 a  b  c b  c  a c  a  b 2 Giải 3 Trong Ví dụ này với cách đặt như 2 ví dụ trên có lẽ không còn phù hợp. Tuy nhiên để ý số ta có liên 2 1 1 1 hệ gì với bất đẳng thức ở Ví dụ 1 không ? Trong Ví dụ 1 bằng cách đặt a  , b  , c  và quy đồng biến x y z yz zx xy 3    vì bất đẳng thức này đúng với mọi x, y , z  0 nên ta đổi rút gọn ta được : x  x  y  y  z  x z  x  y 2 xyz yzx zxy 3  2  2  hay có thể ràng buộc thêm xyz  1 để phát biểu thành bài toán mới 2 x  x  y  y  z  x z  x  y 2 1 1 1 3  2  2  . 2 x  x  y  y  z  x z  x  y 2 1 1 1 Vậy để giải quyết bài toán trong Ví dụ 3 đầu tiên ta đổi biến a  , b  , c  trong đó x, y , z  0 . Khi đó x y z 2 2 2 1 1 1 3 x yz y zx z xy 3 x y z 3  2  2          vì xyz  1 . Cách 2 a  b  c b  c  a c  a  b 2 yz zx x y 2 yz zx x y 2 chứng minh bất đẳng thức cuối đã có ở Ví dụ 1. BÀI TẬP 4x

3a 4b 5c   với a, b, c  0 bc ca ab a b c d 4     2. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, d ta có bcd cd a d ab abc 3 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a2 b2 c2 abc 3. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta có    bc ca ab 2 a , b , c  0 4. Cho thỏa mãn điều kiện abc  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 P 3  3  3 a  b  c b  c  a c  a  b a b c   3 5. Cho tam giác ABC chứng minh rằng : b c a c  a b a bc 4a 9b 16c   6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh b c a c  a b a b c của một tam giác. ab bc ca    4 p trong đó p là nửa chu vi. 7. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có: pc pa pb 5. Kỹ thuật cân bằng hệ số: Ví dụ 1: Cho a, b, c  0 thỏa mãn a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 P  abc   a b c Giải 1 1 1 Ta có a   2, b   2, c   2 . Suy ra P  6 . Vậy Min P  6 a b c Trong cách giải trên ta đã mắc sai lầm ở chỗ đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 và do đó a  b  c  3 mâu thuẫn với giả thiết a  b  c  1 . Cách giải đúng là : 1 1 1 Ta có 9a   6 . Đẳng thức xảy ra khi 9a   a  a a 3 1 1 1 9b   6 . Đẳng thức xảy ra khi 9b   b  b b 3 1 1 1 9c   6 . Đẳng thức xảy ra khi 9c   c  c c 3 1 1 1 1 1 1 Suy ra 9  a  b  c      18  a  b  c     18  8  a  b  c   10 . Đẳng thức a b c a b c 1 1 xảy ra khi a  b  c  . Vậy Min P  10 khi a  b  c  3 3 Đến đây ta có thắc mắc làm thế nào tìm ra số 9 và áp dụng như trên? Để trả lời câu hỏi này ta có 1 nhận xét: Vai trò của a, b, c trong bài toán là như nhau nên dự đoán Min P xảy ra khi a  b  c  . Bây 3

giờ ta tiếp tục tìm hệ số 9 bằng cách sử dụng ma 

1  2 m trong đó m là số dương sao cho đẳng thức a



1 ma   a m9 xảy ra khi  1  a  3 Ví dụ 2: Cho a, b, c  0 , a  b  c  3 . Chứng minh 4a  1  4b  1  4c  1  3 5 Giải 1 1 4a  1  m x y  4a  1 m  . Phân tích ta sẽ sử dụng dạng: xy  . Như vậy 4a  1  . Vấn 2 m m 2 đề là m bằng bao nhiêu thì phù hợp? Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 . Do đó ta sẽ tìm m sao cho 4a  1  m và a  1 , dễ thấy m  5 là giá trị cần tìm. Ta giải bài toán như sau: 1 1 4a  1  5 2a  3 4a  1    4a  1 5  . Ta có . Đẳng thức xảy ra khi a  1 2 5 5 5 2b  3 4b  1  . Đẳng thức xảy ra khi b  1 5 2c  3 4c  1  . Đẳng thức xảy ra khi c  1 5 2a  3 2b  3 2c  3   3 5 . Suy ra 4a  1  4b  1  4c  1  5 5 5 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu xy  yz  zx  5 thì 3 x 2  3 y 2  z 2  10 Giải 2 2  x   y  2 xy . Đẳng thức xảy ra khi x  y Phân tích:

 x 2   z 2  2  xz . Đẳng thức xảy ra khi  x 2   z 2  y 2   z 2  2  yz . Đẳng thức xảy ra khi  y 2   z 2    3  1 Bây giờ ta cần chọn  ,  ,  thỏa mãn  2  1 . Giải hệ này ta được   1;   2;   . Ta 2      trình bày lại cách giải : Ta có: x 2  y 2  2 xy . Đẳng thức xảy ra khi x  y 1 2 1 z  2 xz . Đẳng thức xảy ra khi 2 x 2  z 2 2 2 1 1 2 y 2  z 2  2 yz . Đẳng thức xảy ra khi 2 y 2  z 2 2 2 2 2 2 Suy ra 3 x  3 y  z  2  xy  xz  yz   10 . Đẳng thức xảy ra khi x  y  1; z  2 47 Ví dụ 4: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  y  z  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 12 thức P  3 x 2  4 y 2  5 z 2 Giải 2 Phân tích : Để sử dụng giả thiết ta ghép 3 x  m  2 3mx trong đó m  0 . Tương tự 4 y 2  n  2 4n y ; 5 z 2  p  2 5 pz  n, p  0  . 2 x2 

2 2 2 Suy ra 3 x  4 y  5 z  2 3mx  2 4n y  2 5 pz   m  n  p  . Đến đây ta cần tìm m, n, p sao cho

 m  3x 2 

2  n  4 y 3m  4n  5 p và để ý đẳng thức xảy ra khi  p  5 z 2 . Như thế ta tìm m, n, p bằng cách giải hệ:   x  y  z  47  12



 3m  4n  5 p



5 5 m  p; n  p; p  5 z 2  2 5 5 3 4    m  3x z  1; y  ; x   5 5    4 3 2   x  z; y  z  .  n  4y 3 4  p  5z 2   m  25 ; n  25 ; p  5 47   3 4    x  y  z  12 47   x yz   12 25 25 235 235  25 25    5   10  x  y  z    Khi đó 3 x 2  4 y 2  5 z 2  2 3. x  2 4. y  2 5.5 z   3 4 4 12 12  3  Việc trình bày lại lời giải dành cho bạn !!! BÀI TẬP  1 1 1 1. Cho x, y , z  0 , x  y  z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  2  x  y  z   3      x y z 

2. Tìm giá trị lớn nhất của y  2 x  3  5  2 x 3. Cho x, y , z  0, xy  yz  zx  1 . Chứng minh rằng 10 x 2  10 y 2  z 2  4 4. Cho a  1, b  1 . Chứng minh rằng a b  1  b a  1  ab 5. Cho a, b, c  0, a  b  c  1 . Chứng minh rằng a  b  b  c  c  a  6 6. Kỹ thuật ghép nhóm: Trong phần này bạn phải nắm vững một số bất đẳng thức cơ bản thường gặp và phải sử dụng được kỹ thuật cân bằng hệ số . a 2 b2 c2 Ví dụ 1: Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng    abc b c a Giải 2 a Ta có  b  2a . Đẳng thức xảy ra khi a  b b b2  c  2b . Đẳng thức xảy ra khi b  c c c2  a  2c . Đẳng thức xảy ra khi c  a a a 2 b2 c2 a 2 b2 c 2 Suy ra    a  b  c  2a  2b  2c     a  b  c . Đẳng thức xảy ra khi a  b  c b c a b c a 3 a b3 c3 1 a , b , c  0 Ví dụ 2: Cho . Chứng minh rằng     a 2  b2  c 2  a  2b b  2c c  2a 3 Giải 3 1 a 1 2 Ta có  .a  a  2b   a 2 ( Hãy suy nghĩ vì sao có số ? ) 9 a  2b 9 3

b3 1 2  .b  b  2c   b 2 b  2c 9 3 3 c 1 2  c  c  2a   c 2 c  2a 9 3 3 3 3 a b c 2 1 Suy ra     a 2  b 2  c 2    a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca   a  2b b  2c c  2a 3 9 1 2 2   a  b 2  c 2    a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca  3 9 2 2 2 Đến đây không khó để chứng tỏ a  b  c  ab  bc  ca . Do đó ta có điều cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a  b  c a3 b3 c3 1     a  b  c Ví dụ 3: Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng b  c  a c  a  b a  b  c 2 Giải 3 a a3 3  mb  n c  a  3 mna  mb  n  c  a  mà ta   Ta có . Đẳng thức xảy ra khi b c  a b  c  a 

1 m  a  2  ma  n  a  a    dự đoán trong bài toán trên đẳng thức xảy ra khi a  b  c nên a  a  a  n1  4 3 a 1 1 3  b   c  a  a Do đó b c  a 2 4 2 3

b3 1 1 3  c   a  b  b c  a  b 2 4 2 c3 1 1 3  a   b  c  c a  b  c 2 4 2 a3 b3 c3 3 1 1 1     a  b  c    a  b  c    2a  2b  2c    a  b  c  b  c  a c  a  b a  b  c 2 2 4 2 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c BÀI TẬP a 5 b5 c5 1. Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng    a 3  b3  c3 bc ca ab a 3 b3 c 3 2. Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng    a 2  b2  c2 b c a a 3 b3 c 3 a , b , c  0 3. Cho . Chứng minh rằng    ab  bc  ca b c a a 5 b5 c 5 a 3 b3 c 3 4. Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng 3  3  3    . b c a b c a 3 3 a b c3 1     a  b  c 5. Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng 2 2 2  b  c  c  a   a  b 4 Suy ra

6. Cho a, b, c  0 .Chứng minh rằng

a3 b3 c3 1     a  b  c  a  b  b  c  b  c  c  a  c  a  a  b 4

a 3 b3 c 3    abc c2 a 2 b2 a2 b2 c2 abc 8. Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng    bc ca ab 2 7. Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng

 ax  by 

Dạng 1:

2

BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIAKOVSKI   a 2  b 2   x 2  y 2  . Đẳng thức xảy ra khi ay  bx

 ax  by  cz 

2

  a 2  b 2  c 2   x 2  y 2  z 2  . Đẳng thức xảy ra khi

a b c   x y z



a2 b2 c2      bc ca ab

Ví dụ 1: Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng a  b  c  2  Giải Ta có a  c  c  Do đó

 a  b  c

2

a b c . bc  . ca  . bc bc ca ab  a2 b2 c      2a  2b  2c   bc ca ab 

a2 b2 c2     . Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  bc ca ab Dạng 1 này có thể rìm thấy nhiều trong các sách tham khảo . 2 a b a 2 b2  a  b  Dạng 2: với x, y  0 còn a, b tùy ý. Đẳng thức xảy ra khi    x y x y x y  a  b  c  2

a 2 b2 c2  a  b  c  Ví dụ 1: chứng minh rằng với x, y , z  0    x y z x yz Giải 2 2 a b c a 2 b2 c2  a  b  c2  a  b  c  Ta có . Đẳng thức xảy ra khi        x y z x y z x y z x yz 2 2 2 a b c abc Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta có    bc ca ab 2 Giải 2 a  b  c  a2 b2 c2 abc     Ta có . Đẳng thức xảy ra khi a  b  c b  c c  a a  b 2 a  b  c 2 1 1 1 9 x, y , z  0 . Ví dụ 3: Chứng minh rằng    x y z x yz Giải 2 1 1 1 12 12 12  1  1  1 9 Ta có . Đẳng thức xảy ra khi a  b  c        x y z x y z x yz x yz a b c 3    a, b, c  0 Ví dụ 4: Chứng minh rằng bc ca ab 2 Giải 2

 a  b  c a b c a2 b2 c2       b  c c  a a  b ab  ca bc  ab ca  bc 2  ab  bc  ca  2

Ta có

Mặt khác  a  b  c   3  ab  bc  ca  . Từ đó suy ra điều phải chứng minh 2

Ví dụ 5: Cho a, b, c  0 chứng minh rằng

1 1 1 1    a  2b b  2a 3a 3b Giải

1 1  1  1  1 1  12 12 12  1  1 2   .         a  2b 9 a  b  b 9  a b b  9  a b  2

Ta có

1 1  1  1  1 1  12 12 12  1  1 2   .         b  2a 9 a  b  b 9  b a a  9  b a  Công các bất đẳng thức lại ta được điều cần chứng minh. BÀI TẬP 2 2 2 a b c a, b, c  0 . Chứng minh    abc b c a 3 a b3 c 3 a, b, c  0 . Chứng minh    a 2  b2  c2 b c a a3 b3 c3 a 2  b2  c 2 a, b, c  0 . Chứng minh    bc ca ab 2 1 1 1 1 1 1 a, b, c  0 . Chứng minh      a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 6a 6b 6c 2

1. Cho 2. Cho 3. Cho 4. Cho

Trên đây là những kỹ thuật thường gặp trong những bài toán đơn giản hy vọng rằng trong thời gian ngắn các em làm quen và áp dụng được vào các bài toán . ( Chú ý một điều là đẳng thức xảy ra khi nào ? ) Chúc các em có một kỳ thi như ý !!! Vì thời gian rất gấp nên tài liệu chắc chắn có nhiều chỗ không chính xác vì vậy các em lưu hành nội bộ không nên phổ biến rộng . Có gì thắc mắc các em liên hệ qua YM : pkl_py