Kls Xi Bab 1

KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR 1.1. Posisi Partikel pada Suatu Bidang: Posisi suatu benda yang bergerak dalam bidang dinyatakan dengan persamaan : r = xi + yj 1.2. Perpindahan: Jika suatu benda mula-mula berada pada posisi r1 kemudian setelah t detik bergerak sehingga berada pada posisi r1 maka benda tersebut melakukan perpindahan ∆r : ∆r = r2 – r1 = (x2i + y2j) – ( x1i + y1j) Y = (x2 – x1) i + (y2-y1)j ∆r = ∆x i + ∆yj θ Besar atau panjang vektor ∆r r1 │∆r│= X 2 + Y 2 r2 Arah perpindahan X y tan θ = x Contoh Diketahui vektor posisi r = 4t2i – (6t2 + 2t)j. Tentukan besar dan arah perpindahan dari t = 1 s sampai dengan t = 2 s Jawab t1=1  r1 = 4i + 8j t2=2  r2 = 16i + 28j , maka ∆r = r2 – r1 = 12i -20j Besar atau panjang vektor │∆r│= √122 + 202 = √544 Arah perpindahan tan θ = y/x = -5/3 = 301o 1.3. Kecepatan

x 2 − x1 ∆x = y 2 − y1 ∆t ∆r r2 − r1 - Pada bidang r = = ∆t t 2 − t1 Kecepatan sesaat adalah limit kecepatan rata-rata jika selang waktu mendekati nol (∆t 0) x 2 − x1 v = ∆tlim →0 y − y 2 1 Kecepatan sesaat merupakan deferensial (turunan) pertama Kecepatan rata-rata: - Pada garis lurus

v=

Created by : [email protected]

fungsi posisi terhadap t, ditulis : dr dx dy v= ; vx = ; vy = dt dt dt Contoh Sebuah benda bergerak vertikal keatas dengan persamaan y = 20t - 5t2. Tentukan : a) kecepatran awal benda b) kecepatan pada saat t = 1,5 s c) tinggi maksimum Jawab Diket. Y = 20t – 5t2 Pers.kecepatan V = dy/dt = 20 – 10t a) Kec.awal (Vo), artinya t=0 V = 20 – 0 = 20 m/s b) Kec.pada saat t=1,5 adalah V = 20 – 10 (1,5) = 5 m/s c) Syarat tinggi maks V=(dy/dt)=0, 0 = 20 – 10t t = 2s, maka Y = 20(2) – 5(2)2 = 20 m 1.3. Percepatan Percepatan adalah perubahan kecepatan dalam selang waktu tertentu Percepatan rata-rata v 2 − v1 ∆v = a= t 2 − t1 ∆t Percepatan sesaat adalah kecepatan rata-rata dalam selang waktu mendekati nol (∆t 0) v 2 − v1 ∆v a = ∆tlim = ∆tlim →0 →0 t − t ∆t 2 1 Percepatan sesaat adalah deferensial (turunan) pertama fungsi kecepatan v terhadap t atau turunan kedua dari fungsi kedudukan r terhadap waktu t dv dr 2 a= atau a = 2 dt dt 1.4. Menentukan posisi dari fungsi kecepatan Apabila pada saat t0 benda berada pada posisi r0 kemudian bergerak dengan kecepatan v sehingga pada saat t posisinya berada di rt maka posisi akhir benda rt dapat ditentukan berdasarkan metode integral sebagai berikut : t

rt = r0 + ∫ vdt t0

Jika vektor posisi dan kecepatan dinyatakan dalam komponen-komponen akan diperoleh : t

xt = x0 + ∫ v x dt ; t0

t

yt = y0 + ∫ v y dt ; t0

Created by : [email protected]

t

zt = z0 + ∫ v z dt t0

1.5 Menentukan Kecepatan dari fungsi percepatan Apabila pada saat t0 kecepatan awal benda v0 dan kemudian bergerak dipercepat dengan percepatan a maka kecepatan benda setelah t detik dapat ditentukan berdasarkan metode integral sebagai berikut : t

vt = v0 + ∫ adt t0

Jika benda berada dalam ruang maka komponen-komponen vektor kecepatan dinyatakan: t

t

vxt = vxt + ∫ a x dt ; t0

vyt = vy0 + ∫ a y dt ; t0

t

vzt = vz0 + ∫ a z dt t0

Voy= Vo sinα

1.6. Gerak Parabola Gerak Parabola merupakan perpaduan 2 gerak sekaligus,yaitu GLB (Sb.X) dan GLBB (Sb.Y)

α

Y Vo

1. komponen vektor kecepatan awal ( Vo ) α X komponen Vox= Vo cosαvekor kecepatan awal pada sumbu x dan sumbu y adalah : v0x = v0 cos α v0y = v0 sin α 2. Kecepatan benda setiap saat ( v) Gerak dalam arah mendatar ( GLB ) vx = v0x= v0 cos α dalam arah sumbu y atau gerak dalam arah vertikal ( GLBB ) vy = v0y – gt = v0 sin α- gt , maka : v =

v 2x + v 2y

dengan arah terhadap sumbu x adalah θ dan θ = arc tan

vx vy

3. Posisi benda setiap saat Gerak dalam arah horisontal x = v0x t = (v0 cos α) t Gerak dalam arah vertikal y = v0y t -

1 2

1

gt 2 = (v0 sin α)t - gt 2 2

x + y2 y Arah perpindahan, θ = arc tan x 4. ketinggian maksimum ( H ) pada saat benda mencapai ketinggian maksimum, kecepatan arah vertikal sama dengan nol vy = 0 besar perpindahan r =

2

Created by : [email protected]

vy = v0 sin α- gtH 0 = v0 sin α- gtH v0 sin α = gtH v 0 sin α tH = g tH = waktu yang diperlukan untuk sampai ketinggian maksimum. 1

2 y = (v0 sin α)t - gt

2

Jika ketinggian maksimum yang dicapai adalah H maka : 1

2 H = (v0 sin α)tH - gt H

2

H = (v0 sin α)(

v 0 sin α v 0 sin α 2 1 )- g( ) g g 2

v 02 sin 2 α 1 v 20 sin 2 α g H= ( ) g 2 g2 H=

v 02 sin 2 α 1 v 20 sin 2 α ( ) g 2 g

v 20 sin 2 α 2g 5. Jarak jangkauan ( R ) Jarak dapat dihitung dengan meninjau bahwa posisi vertikal benda adalah nol. H=

1

2 y = (v0 sin α)t - gt

2 1

2 0 = (v0 sin α)t - gt

2

(v0 sin α)t = t=

2v 0 sin α g

1 2

gt 2

R = (v0 cos α) (

2v 0 sin α ) g

v 02 sin 2α R= ; R = Jarak jangkauan g Contoh : Sebuah bola ditendang dengan kecepatan 6,5 m/s dengan sudut elevasi α 12 (Sinα= ). Jika g = 10 m/s2. Hitunglah: 13 a. Waktu bola sampai kembali ke tanah b. Berapa tinggi maksimum c. Jarak terjauh Jawab a. Waktu bola sampai kembali ke tanah 2v 0 sin α tx = g

Created by : [email protected]

tx =

2.6,5 .

12 13 =1,2 s

10 b. Berapa tinggi maksimum v 2 sin 2 α H= 0 2g 12 6,52 ( ) 2 = 13 2.10 = 1,8 m c. Jarak terjauh v 02 sin 2α 12 R= ; sin α = maka sin 2α = 0,71 g 13 6,52.0,71 10 R=3m 1.7. Posisi sudut, kecepatan sudut dan Percepatan sudut Dalam gerak lurus telah dikenal tiga besaran dasarnya, yaitu posisi (x), kecepatan (v), dan percepatan (a). Analogi dengan rerak lurus pada gerakmelingkar juga terdapat tiga besaran dasar yaitu Posisi sudut (θ), kecepatan sudur (ω), dan percepatan sudut (α). 1.7.1. Posisi sudut. Posisi suatu titik dalam gerak melingkar dinyatakan dalam koordinat kartesius ( x;y ) atau oleh koordinat polar ( r,θ ),dengan r adalah jari-jari lingkaran dan θ adalah perpindahan sudut. Karena r tetap,maka yang menentukan vektor posisi partikel yang bergerakmelingkar adalah koordinat θ. Selama t sekon,posisi partikel di y (x;y) (x;y) atau (r;θ). Jika pada koordinat Q,t kartesius (x;y), maka x dan y merupakan fungsi dari waktu t, P,t = 0 ditulis θ = θ(t) jadi sudut ditempuh θ (x0;y0) selama t sekon dinyatakan θ = at2 + θ0 bt3 xdengan a dan b adalah konstanta. R=

1.7.2. Perpindahan sudut: Jika suatu benda mula-mula berada pada posisi θ0 kemudian setelah t detik bergerak melingkar sehingga berada pada posisi θ1 maka benda tersebut melakukan perpindahan sudut ∆θ : ∆θ = θ1 – θ0 1.7.3. Kecepatan Sudut. 1. Kecepatan sudut rata-rata Kecepatan sudut rata-rata ( ω ) merupakan hasil bagi perpindahan sudut (∆θ) dengan selang waktu (∆t) Kecepatan sudut rata-rata ( ω ) =

Created by : [email protected]

Perpindahan sudut (∆θ) Selang waktu (∆t)

rad s Satuan kecepatan sudut yang lain adalah derajar per sekon atau putaran per menit ( rpm) 2π rad 1 rpm = 60 s 2. Kecepatan sudut sesaat. Kecepatan sudut sesaat (ω) adalah kecepatan sudut rataratadalam selang waktu mendekati nol. Kecepatan sudut dinyatakan dalam SI adalah

Δθ ∆t →0 Δt

ω = lim

ω=

dθ dt

1.7.4 Percepatan sudut. 1. Percepatan sudut sesaat (ω) Percepatan sudut rata-rata adalah hasil bagi antara perubahan kecepatan dengan selang waktu. α= 2.

∆ω ∆t

→

α=

ω 2 − ω1 t 2 − t1

Percepatan sudut sesaat. Percepatan sudut sesaat adalah percepatan sudut rata-rata dalam selang waktu mendekati nol. Δω α = lim ∆t →0 Δt dθ α= dt

1.7.5. Menentukan kecepatan sudut dari fungsi percepatan sudut Kecepatan sudut adalah turunan pertama dari fungsi percepatan sudut terhadap waktu. dθ α= maka dθ = α dt sehingga : dt

ωt t ∫ dω = ∫ α dt ω0 0

ωt – ω0 = αt ωt = ω0 + αt

Created by : [email protected]

1.7.6. Menentukan posisi sudut dari fungsi kecepatan sudut Posisi sudut adalah merupakan turunan pertama dari fungsi kecepatan sudut terhadap waktu atau turunan kedua dari fungsi percepatan sudut terhadap waktu. dθ ω= maka dθ = ω dt sehingga : dt

θt t dθ = ∫ ∫ ω dt θ0 0

t θt – θ0 = ∫ (ω 0 + αt) dt 0 θt – θ0 = [ ω0t +

1 2 t αt ] 0 2

θt = θ0 +{[ ω0t +

1 2 αt ]- 0} 2

θt = θ0 + ω0t +

1 2 αt 2

Uji Kompetensi 1. Persamaan benda bergerak dinyatakan X=t2 – 2t2 + 3 dengan satuan SI. Berapakah kecepatan benda pada saat t = 5 sekon? 2. Posisi partikel adalah r = (15t√3)i + (15t-5t2)j m. Tentukan kelajuan partikel setelah 1,5 sekon! 3. Benda bergerak dengan persamaan kecepatan v={4i+(2t+7/3)j} m/s. Jika posisi awal benda di pusat koordinat,tentukan perpindahan selama 3 s 4. Bola dilempar mencapai tinggi maksimum 90 m dan jatuh ke tanah sejauh 180 m. Jika g=10m/s2. Berapa kecepatan awal pelemparan? 5. Sebuah peluru dengan massa 20 gram ditembakkan dengan sudut elevasi 30o dan kecepatan awal 40 m/s. Jika gesekan udara diabaikan, berapa ketinmggian maksimum peluru yang dapat dicapai? 6. Sebuah peluru ditembakkan dengan sudut elevasi α. Jarak terjauh peluru sama dengan tinggi maksimumnya. Berapa nilai tan α? 7. Posisi sudut benda berotasi dinyatakan oleh persamaan θ = 2t2 - 9t + 4 dengan satuan SI. Tentukan kecepatan sudut pada saat t = 1 s 8. Benda berotasi dengan persamaan kecepatan ω = t2 + 5 dengan satuan SI. Hitung percepatan sudut pada saat t = 1 s !

Created by : [email protected]