Keplerian Orbits

สมการว งโ คจรข องดาวเครา ะห์ ภายใ ต้แร งดึ งดูดร ะหว ่าง มวล การศึกษาวงโคจรของดาวเคระห์ในระบบสุริยะของเรา - ที่มา ปัญหาการหาวงโคจรของดาวเคราะห์ในระบบสุริยะจักรวาลของเรานั้น มีมาตั้งแต่สมัยโบราณนับ ตั้งแต่เริ่มมีการสังเกตและบันทึกตำาแหน่งของดาวเคราะห์ที่มองเห็นได้ด้วยตาเปล่า ได้แก่ ดาวพุธ ดาวศุกร์ ดาวอังคาร ดาวพฤหัสบดี และดาวเสาร์ คำา ว่าดาวเคราะห์ในภาษาอังกฤษคือ planet นั้นมีรากศัพท์ใน ความหมายว่า “นักเดินทาง” คือมีการเปลี่ยนตำาแหน่งเมื่อเทียบกับดาวอื่นๆ ทีไ่ กลออกไป (fixed stars) ใน สมัยโบราณเชื่อกันตาม Ptolemy ว่าดาวเคราะห์ทั้งหมด รวมถึงดาวอาทิตย์และดวงจันทร์ต่างก็โคจรรอบ โลกเป็นรูปวงกลม แต่ทฤษฎีนี้ไม่สามารถอธิบายลักษณะการเคลื่อนที่ย้อนกลับ (retrograde motion) ของ ดาวเคราะห์บางดวง เช่น ดาวอังคาร ดาวพฤหัสบดี และ ดาวเสาร์ได้ และยังไม่สามารถอธิบายว่าเหตุใดจึง ไม่เกิดเหตุการณ์นี้กับดาวพุธและดาวศุกร์ ในช่วงกลางคริสตศตวรรษที่ 14 – 15 ในช่วงฟื้นฟูศิลปวิทยาการ (Renaissance) ได้เกิดทฤษฎี ใหม่ขึ้นโดย Nicolas Copernicus โดยกล่าวว่า ดาวเคราะห์ทั้งหลายรวมถึงโลกนั้นโคจรรอบดวงอาทิตย์ ไม่ใช่ในทางกลับกัน แต่ก็ยังเชื่อว่าวงโคจรเป็นวงกลมอยู่ (ชาวตะวันตกในสมัยนั้นยังเชื่อว่าเทหวัตถุเหล่านี้ อยู่ในสวรรค์ คือเป็น heavenly bodies ดังนั้นวงโคจรที่เป็นรูปวงกลมซึ่งเชื่อกันว่ามีความสมบูรณ์มากที่สุด จึงเหมาะสม ทั้งหมดนี้เป็นความเชื่อที่ผิดดังที่จะได้เห็นจากหลักฐานในสมัยหลังๆ และ การคำานวณที่เรา กำาลังจะศึกษาในโครงงานนี้) ความก้าวหน้าอย่างแท้จริงมาถึงเมื่อ Tyco Brahe นักดาราศาสตร์ และ Johannes Kepler นัก คณิตศาสตร์ ได้ทำา การศึก ษาการเคลื่ อนที่ ของ “นั กเดินทาง” เหล่านี้ โดย Tyco Brahe ได้ลงทุนสร้าง อุปกรณ์ทางดาราศาสตร์ขนาดใหญ่โตเทียบกับที่ใช้กันมา (Quadrant ขนาดรัศมี 6 เมตรซึ่งมีความผิด พลาดไม่เกินความกว้างของเข็มเย็บผ้าเมื่อมองจากระยะสุดแขน ) ทำาให้ได้ข้อมูลที่ถูกต้อง และ Tyco ได้ทิ้ง ข้อมูลเหล่านี้ไว้ให้ Kepler วิเคราะห์ ผลจากการศึกษาทำาให้สรุปกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ได้ 3 ข้อ โดยใช้เฉพาะข้อมูลเท่านั้น แต่ยังไม่มีเหตุผลว่าทำาไมจึงเป็นเช่นนี้ กฎทั้งสามคือ 1. กฎแห่งวงรี วงโคจรของดาวเคราะห์เป็นวงรีที่มีดวงอาทิตย์เป็นจุดโฟกัสจุดหนึ่ง 2. กฎแห่งพื้นที่ เส้นตรงที่ต่อระหว่างดวงอาทิตย์กับดาวเคราะห์จะกวาดพื้นที่ได้เท่ากันในเวลาเท่ากัน กฎนี้แสดงว่าเมื่อดาวเคราะห์อยู่ใกล้ดวงอาทิตย์ มันจะโคจรเร็วกว่าเมื่ออยู่ไกลจากดวงอาทิตย์ 3. กฎฮาร์โมนิก กำาลังสองของคาบของการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำาลังสามของ กึ่งแกนยาว (รัศมีเฉลี่ย) ของวงโคจร การให้เหตุผลว่าทำาไมดาวเคราะห์เหล่านี้จึงโคจรโดยมีระเบียบแบบแผนดังกล่าวกำากับนั้น ได้รับ การอธิบายโดย Sir Isaac Newton ในเวลาต่อมา (โดยการรบเร้าของ Edmund Halley ผู้ค้นพบดาวหาง

ที่ได้รับขนานนามตามชื่อของเขา เพื่อนเป็นส่วนหนึ่งของหนังสือ Principia ของ Newton ที่เป็นต้นแบบ ของฟิสิกส์เชิงทฤษฎีมาอีกกว่า 300 ปี) เนื้อหาที่เราจะทำาการศึกษาก็คือ การหาวงโคจรของดาวเคราะห์โดยวิธีการทางคณิตศาสตร์ ซึ่งจะ ได้ผลลัพธ์เดียวกับ Newton แต่ว่าเราจะพิจารณาวิธีอื่นๆ ที่พัฒนาขึ้นภายหลัง เพื่อเป็นการเปิดโลกทัศน์ใน การแก้ปัญหา และนำาวิธีการไปประยุกต์ใช้กับปัญหาอืน่ ๆ อย่างไรก็ดี จะกล่าวถึงประวัตติ ่ออีกเล็กน้อยก่อน ที่จะเริ่มเนื้อหาส่วนที่เป็นคณิตศาสตร์ หลังจากเวลา 300 ปีผ่านไป ได้มีแบบจำา ลองใหม่โ ดย Albert Einstein ซึ่งให้ภาพลัก ษณ์ ของ แรงดึงดูดว่าเป็นการบิดเบี้ยวของกาล -อวกาศ (space-time) และวัตถุใดๆ จะพยายามไปตามเส้นทางที่สั้น ที่สุดในกาล-อวกาศนั้น เรียกเส้นทางสั้นสุดนั้นว่า geodesic ซึ่งในกรณีที่พื้นเรียบนั้น geodesic ก็จะเป็น เส้นตรงอย่างที่คาดกันไว้ แต่ว่าหากกาล-อวกาศมีการยุบตัวลงเนื่องจากการมีอยู่ของมวล ก็จะทำา ให้เส้น geodesic ดังกล่าวกลายเป็นเส้นโค้ง เช่น วงกลม วงรี พาราโบลา หรือ ไฮเปอร์โบลา ทำาให้เห็นเป็นวงโคจร นอกจากนี้ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปยังทำานายการส่ายควงของตัววงโคจรทำาให้วงโคจรแทนที่จะกลับมาปิด ที่เดิม ก็กลายเป็นค่อยๆ หมุนไปเป็นรูปกลีบดอกไม้แทน นอกจากนี้ ผลจากการศึกษาทางควอนตัมฟิสิกส์ได้แสดงได้ให้เห็นว่า จริงๆ แล้ว จักรวาลของเรามี ลักษณะเป็นขั้นๆ ไม่ต่อเนื่อง (discreteness) ในหลายๆ ลักษณะ ซึ่งผลตามมาอย่างหนึ่งก็คือ จริงๆ แล้ววง โคจรของดาวเคราะห์นั้นไม่ได้มีได้ทุกระยะห่างจากดวงอาทิตย์ แต่ว่าจะมีวงโคจรที่เสถียร เช่นเดียวกับ อิเล็กตรอนในอะตอม (แนวคิดของ allowed orbit นี้ก็มาจากภายในอะตอมนี้เอง) แต่ว่าเนื่องจากขนาด อันใหญ่โตของวงโคจร ทำาให้แต่ละขั้นที่เป็นไปได้นั้นห่างกันมากจนบอกได้ยากมาก แลเหมือนกับว่ามีความ ต่อเนื่อง สิ่งที่น่าตกใจที่สุดเกี่ยวกับวงโคจรของดาวเคราะห์นั้นปรากฎขึ้นในครึ่งหลังของคริสศตวรรษที่ 20 นี้เอง โดยการศึกษาโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยคำานวณอย่างละเอียด ชี้ให้เห็นว่าระบบของวัตถุที่เคลื่อนที่ภาย ใต้แรงดึงดูดระหว่างมวลนี้ มีลักษณะยุ่งเหยิง (chaotic) ในแง่ที่ว่าไม่สามารถทำานายได้อย่างชัดเจนว่าจะ เกิดอะไรขึ้น หรือว่า อยู่ดีๆ ดาวเคราะห์จ ะบังเอิ ญใกล้กันเข้ามาชนพุ่งเข้าหากันในที่สุดได้หรือไม่ การ เปลี่ยนตำา แหน่งเพียงเล็กน้อยของดาวเคราะห์ดวงหนึ่งอาจส่งผลให้ทั้งระบบเข้าสู่สภาพเสียสมดุลย์ก็ได้ เรียกปรากฎการณ์นี้ว่า butterfly effect (จากความเชื่อที่ว่าการที่ผีเสื้อกระพือปีกในซีกโลกหนึ่ง ก็อาจจะ ทำา ให้เกิดพายุในอีกซีกโลกได้ เนื่องจากลักษณะภูมิอากาศของโลกเองก็มีลักษณะยุ่งเหยิงเช่นเดียวกัน) นอกจากนี้ ก่อนหน้านี้เมื่อร้อยหรือสองร้อยปีก่อนยังมีการพิสูจน์ไปแล้วว่าปัญหาการเคลื่อนของแรงดึงดูด ระหว่างมวลของระบบวัตถุ 3 ชิ้น (Three-body problem) ก็ทำาให้เกิดลักษณะยุ่งเหยิงแล้วในกรณีทั่วๆ ไป นั่นคือต่อให้มีเครื่องคอมพิวเตอร์ที่ดีแค่ไหน แต่ในทางทฤษฎีเราก็ถูกจำากัดการทำานายของเราจากขีดจำากัด ของความแม่นยำาในการวัดของเราเอง (ทั้งคุณภาพของเครื่องมือ และ จากหลักความไม่แน่นอนของไฮเซน เบิร์ก) ทำาให้ไม่สามารถทำานายได้ 100% อีกต่อไปถึงสภาพของระบบสุริยะในอนาคต

จะเห็นว่าจากความพยายามที่จะเข้าใจการเคลื่อนที่ของเทหวัตถุที่เรารู้จักมาแต่โบราณเหล่านี้ ทำาให้เราได้เปิดโลกทัศน์และพัฒนาความเข้าใจในโลกรอบตัวของเราในระดับรากฐานขึ้นอย่างมากมาย กฎการเคลื่อนที่ของ Newton ตามที่เราทราบกันแล้ว Newton ได้เสนอกฎการเคลื่อนที่ไว้สามข้อ สรุปได้ง่ายๆ ดังนี้ 1. วัตถุที่อยู่นิ่ง ถ้าไม่มีแรงกระทำาก็จะอยู่นิ่งต่อไป 2. วัตถุที่อยู่นิ่ง ถ้ามีแรงมากระทำา จะทำาให้เกิดความเร่งแปรผันตรงกับ “มวล” ของวัตถุนั้น 3. ทุกๆ แรงกระทำา จะมีแรงกระทำาในทิศตรงข้ามกลับมาโดยมีขนาดเท่ากัน กฎที่จะมีความสำาคัญกับเราในการศึกษาครั้งนี้ก็คือกฎข้อที่สอง ซึ่งสามารถเขียนในทางคณิตศาสตร์ได้ว่า F  ma

โดยที่

a m

2

dv d x  dt dt 2

คือความเร่งของวัตถุ

คือมวลของวัตถุ (ถือว่าคงที่ เนื่องจากพิจารณาความเร็ว v = c )

การวิเคราะห์โดยใช้เวกเตอร์ การพิจารณาการเคลื่อนที่แบบดังกล่าว เป็นการสะดวกที่จะกำาหนดเวกเตอร์ฐานที่เราจะทำา งาน ด้วยเป็นเวกเตอร์ออกจากศูนย์กลาง และ เวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์แรก ซึ่งจะเรียกว่า uˆr และ uˆ ตาม ลำาดับ มีสมการดังนี้ uˆr  iˆ cos t  ˆj sin t uˆ  iˆ sin t  ˆj cos t

เมื่อ iˆ, ˆj เป็นเวคเตอร์ในแนวแกน x และ y ตามลำาดับ

สังเกตว่า d d uˆr  uˆ , uˆ  uˆr dt dt 2 d d2 2 ˆ ˆ u    u , uˆ   2uˆ r 2 r 2  dt dt กลับมาพิจารณาการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์อีกครั้ง ให้ rr  ruˆ

ดาวเคราะห์หนึ่งๆ จะได้

เป็นเวคเตอร์บอกตำา แหน่งของ

r  d   d  ˆ v  r uˆr  r   u  dt   dt  2 2 r  d 2r  d   ˆ  d   dr   d   ˆ a   2 r u  r  2   r    u 2  dt    dt   dt    dt  dt สังเกตว่าแรงดึงดูดที่ดวงอาทิตย์ (มวล M) กระทำาต่อดาวเคราะห์ (มวล m) นี้ก็คือ r GMm r f   2 uˆr  ma r

ดังนั้นจะได้สมการ 2 2  d 2r GM  d   ˆ  d   dr   d   ˆ  2 r   ur   r 2  2    u   2 uˆr r  dt    dt   dt    dt  dt

นั่นคือ

2  d 2r GM  d   r      2 ..........  * 2 r  dt  dt   2  r d   2  dr   d   0......... **       dt 2  dt   dt 

ก่อนอื่นสมการ (**) สามารถเขียนเป็น

1 d  d  2 dr 0    d  dt  dt  r dt    dt  d   d   d 2 ln     ln r   0  dt   dt   dt

นั่ น คื อ

r2

d dt

d   2 d   ln  r  0 dt   dt  

เป็ น ค่ า คงที่ โดยทั่ ว ไปแล้ ว เราจะพิ จ ารณาว่ า

C  mr 2

d dt

เป็ น ค่ า คงที่ ซึ่ ง เรี ย กว่ า “

โมเมนตัมเชิงมุม” และการที่ค่าโมเมนตัมเชิงมุมนี้คงที่เรียกว่า หลักการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม ซึ่งเป็นจริง สำาหรับทุกๆ แรงเข้าศูนย์กลาง (central force) เมื่อแทนค่า

d C  dt mr 2

ลงใน (*) จะได้ว่า

d 2r C 2 GM  2 3   2 ....  *** 2 dt mr r จะเห็นว่าการแก้สมการหา r ในรูปของ t ของโดยตรงค่อนข้างจะยากและยังไม่ได้

เมื่อมาถึงจุดนี้แล้ว ประโยชน์อีกด้วย เนื่องจากสมการในรูปเชิงขั้วทั่วไปมักจะเขียน r ในรูป θ มากกว่า จึงเป็นการดีที่เราจะ เขียนสมการนี้ใหม่โดยพิจารณา

d2  1   ดังนี้ d 2  r 

 1  dr   2 d 1 r dt   d  1 m dr r  dt     d  r  d dt C dt  C  1    2   m  r  d  d  1  d  m dr  m d 2r        2 dt  d  r   d  d  1  m2 r 2 d 2r dt  C dt  C dt    2    d C C d  d  r   C dt 2  2 2 dt mr mr แทนลงในสมการ (***) 

C2 d 2  1  C2 GM   2  2 2 2  2 3 m r d  r  m r r d 2  1   1  GMm 2      d 2  r   r  C2  1 GMm 2  d 2  1 GMm 2          d 2  r C2  C2   r 1 GMm 2   A cos    B  r C2

เมื่อ A และ B เป็นค่าคงที่ซึ่งเหมาะสม r

เมื่อ T 

C2 GMm 2

1 2

GMm  A cos    B  C2



T 1  TA cos    B 

และ A, B เป็นค่าคงที่

สมการนี้สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นสมการของภาคตัดกรวยทั้ง 4 อย่างคือ วงกลม วงรี พาราโบลา และ ไฮ เปอร์โบลา การวิเคราะห์โดยใช้พิกัดเชิงสี่เหลี่ยมมุมฉาก (Cartesian coordinates) การแก้ปัญหาเดียวกันนี้สามารถพิจารณาโดยใช้มุมมองจากพิกัดเชิงสี่เหลี่ยมมุมฉาก (Cartesian coordinates) แทนการใช้ รู ป เชิ ง ขั้ ว ก็ ไ ด้ และในหลายกรณี ทำา งานได้ ง่ า ยกว่ า เนื่ อ งจากมี ค วามคุ้ น เคย r มากกว่า ในกรณีนี้ให้ P  t    x  t  , y  t   แทนตำาแหน่งของดาวเคราะห์เมื่อเวลาเป็น t

เมื่อ

r P  t    r  t  cos   t  , r  t  sin   t  

r  t

แทนระยะห่างระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์ที่เวลา t   t  แทนมุมที่เส้นลากเชื่อมดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์ทำากับแกนเอกของวงโคจร วัดทวนเข็ม

จะได้ว่า

r v  t   r&sin   r&cos  , r&cos   r&sin 





dr & d และจะได้ ,  dt dt r & 2r& & 2r& & r&2 sin   r& a t  & r& r&2 cos   r& & sin  , r& & cos 

ในที่นี้เพื่อความสะดวก เราใช้สัญลักษณ์





r&















2 r & & d  ,  dt 2 dt 2

d เมื่อ & r&

2

(เหตุผลที่เลือกใช้สัญลักษณ์ต่า งกันในสองวิ ธีก็เพื่อให้ผู้อ่า นเกิดความคุ้นเคยกับสัญลักษณ์ทั้งสองแบบ

โดยแบบแรกเป็นของ Leibnitz ส่วนแบบหลังนี้เป็นของ Newton ซึ่งมีความสะดวกในการทำางานต่างกัน) แต่จากกฎของ Newton จะได้ว่า ar  

GM GM  cos  ,  2 sin   2 r r   ดังนั้นจากการเทียบ x-component และ y-component จะได้ว่า 



GM & 2r& r& r&2 cos   r& & sin    2 cos  .....  1  & r 









GM & 2r&  & r& r&2 sin   r& & cos    2 sin  .....  2   r GM & r& r&2   2  1 cos    2  sin  ; r & 2r& r& & 0  2  cos    1 sin  ;









สังเกตว่าสองสมการสุดท้ายนี้ก็คือชุดเดียวกับที่สามารถหาได้จากการวิเคราะห์ด้วยเวคเตอร์นี้เอง การใช้ vector analysis ระดับสูงมาช่วยหาวงโคจร กลั บ มาที่ ก ารใช้ เ วกเตอร์ อี ก ครั้ ง แต่ ค ราวนี้ เ ราจะพิ จ ารณาวิ ธี ใ ช้ เ วกเตอร์ แ บบที่ ไ ม่ ต้ อ งแจง component ออกมาเลย แรกสุด เช่นเดียวกับวิธีอื่นๆ เราจะพิสูจน์ก่อนว่าค่าโมเมนตัมเชิงมุม mr 2

ค่าคงที่ในสนามของแรงเข้าสู่ศูนย์กลาง (central force field) พิจารณาโมเมนตัมเชิงมุม r r r Lrp

หาอนุพันธ์เทียบกับเวลาจะได้ว่า

r r r dL r dr r dp  p  r  dt dt dt

d dt

มี

r r r dr r r dr r dp r r แต่ว่า p  m ดังนั้น p P ทำาให้พจน์แรกเป็น 0 ส่วน r   r  F  0 เนื่องจากแรงเป็นแรงเข้า dt dt dt r r สู่ศูนย์กลาง ( rr PF ) ดังนั้นจะได้ว่า dL  0 สำา หรับทุกๆ แรงที่เป็นแรงเข้าสู่ศูนย์กลาง นั่นคือ Lr คงที่ dt นอกจากนี้ การที่เวกเตอร์นี้คงที่ยังทำา ให้ได้ว่าวงโคจรทั้งหมดอยู่ในระนาบเดียวในปริภูมิสามมิติ (threedimensional space) อีกด้วย

คราวนี้เราพิจารณาแรงเข้าสู่ศูนย์กลางที่มีลักษณะพิเศษแต่พบได้ทั่วไป คือ แรงที่ขนาดแปรผกผัน กับกำาลังสองของระยะทาง (inverse-square force) อันได้แก่แรงดึงดูดระหว่าง (ที่เรากำาลังพิจารณา ) และ แรงคูลอมป์ (หรือแรงแม่เหล็กไฟฟ้า) สำาหรับแรงเหล่านี้ กฎข้อที่สองของ Newton จะมีลักษณะเป็น เมื่อ

r r r n r

r dv k r m  2 n dt r

เป็นเวกเตอร์หน่วยในทิศทาง rr และ k เป็นค่าคงที่

สังเกตว่า

r r dn r dr d r dr r v   rn   n  r dt dt dt dt

ดังนั้น ต่อไป เราพบว่า

r r r r r  r  dr r dn   dn  r r 2 L  r  p   rn    mv   mr  n   n  r   mr  n   dt   dt   dt  

r r r r r d r r  dv r   r dL  dv r k r r  r  dn r  dn r r  vL   L   v    L  n  L  k  n  n   n n   dt dt  dt mr 2  dt     dt  dt  r r r r r r r r r โดยกฎข้อที่สองของนิวตัน และสองสมการก่อนหน้านี้กับเอกลักษณ์ x   y  z   y  x z   z  x y  r dn r r r เนื่องจาก n n  1 เราจะได้จากการหาอนุพันธ์เทียบเวลาว่า n  0 ดังนั้น dt r r d r dn vL  k dt dt













อินทิเกรตทั้งสมการ จะได้ว่า

r r r r v  L  kn  C r r r r r C เป็นเวกเตอร์คงที่ เราจะเห็นภายหลังว่า C  v  L  kn

เมื่อ ของวงโคจร ขั้นต่อไป พิจารณา

เมื่อ θ คือมุมที่วัดจาก

นี้จะเป็นตัวกำาหนดทิศทางของแกนเอก

r r r r r r L2  L  r  mv   mr  v  L  mr  k  C cos   r r C ไปสู่ r , สมการนี้ทำาให้เราแก้หา r ได้เป็น



r



L2 km A  1   C k  cos  1   cos 

ซึ่งเหมือนกับในกรณีอื่นๆ ก่อนหน้านี้ สมการนี้คือสมการของภาคตัดกรวยที่มีโฟกัสอยู่ที่จุดกำาเนิด วิธีอื่นๆ ในการหาวงโคจร นอกจากวิธีที่ใช้การวิเคราะห์โดยตรงแล้ว ยังมีอีกหลายวิธีที่สามารถทำาให้เราสรุปได้ว่าวงโคจรของ ดาวเคราะห์ภายใต้แรงดึงดูดที่แปรผกผันกับระยะทางกำา ลังสองนั้นจะเป็นรูปภาคตัดกรวย เช่น การแก้ สมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้วิธีการพิจารณาพลังงานหรือศักย์เป็นหลัก [Classical Mechanics 3rd ed. – Goldstein, Poole & Safko] และ วิธีเรขาคณิตที่ไม่ต้องใช้คณิตศาสตร์ขั้นสูงเลยแต่การอธิบายค่อนข้าง ยาว จึงไม่ได้นำา มาใส่ไว้ ณ ที่นี้ [Feynman’s Lost lecture: The motion of planets around the sun David L. Goodstein, Judith R. Goodstein]

หนังสืออ้างอิง พรชัย พัชรินทร์ตนะกุล. ดาราศาสตร์และดาราฟิสิกส์เบื้องต้น. กรุงเทพฯ : จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2528.

วุทธิพันธุ์ ปรัชญพฤทธิ์. ฟิสิกส์ (กลศาสตร์ : หน่วยของการวัด กฎของการเคลื่อนที่ การเคลื่อนที่ภายใต้ อิทธิพลของแรง ทฤษฎีสัมพัทธภาพ). กรุงเทพฯ : สอวน.. 2547. มงคล ทองสงคราม. เรขาคณิตวิเคราะห์ Analytic Geometry. กรุงเทพฯ : วี. เจ. พริ้นติ้ง, 2543. Frederick W. Byron, Jr. and Robert W. Fuller. Mathematics of classical and quantum physics. United States of America : Dover, 1992. Leon Lederman. The god particle. United States of America : Mariner books, 2006. David L. Goodstein and Judith R. Goodstein. Feynman’s lost lectures : The motion of planets around the sun. United States of America : California Institute of Technology, 1996.