Javi Metodos.docx

S.E.P. TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TUXTEPEC

INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES NOMBRE DEL DOCENTE:

GASPAR SANCHEZ GARCIA NOMBRE DE LA ASIGNATURA:

MÉTODOS NUMÉRICOS DAMENTOS DE

Unidad 3 “Métodos de solución de sistemas de ecuaciones”.

NOMBRE DEL TRABAJO:

PRESENTA (N):

Francisco Javier Corro Hernández SEMESTRE:

4TO SEMESTRE

GRUPO:

4A

METODO DE GAUSS-SEIDEL

El Método de Gauss-Seidel consiste en hacer iteraciones, a partir de un vector inicial, para encontrar los valores de las incógnitas hasta llegar a una tolerancia deseada, la diferencia radica en que cada vez que se desee encontrar un nuevo valor de una xi, además de usar los valores anteriores de las x, también utiliza valores actuales de las x encontradas antes (desde x0 hasta xi-1). La ecuación es la siguiente:

El método de Gauss-Seidel surgio como una modificación del método de Jacobi que acelera la convergencia de éste. El método de Gauss-Seidel recorta sustancialmente el número de iteraciones a realizar para obtener una cierta precisión en la solución. Evidentemente los criterios de convergencia son similares a los de Jacobi. Este criterio no solo se aplica a las ecuaciones lineales que se resuelven con el método de Gauss-Seidel sino también para el método iterativo del punto fijo y el método de jacobi. Por tanto, al aplicar este criterio sobre las ecuaciones de Gauss-Seidel y evaluando con respecto a cada una de las incógnitas, obtenemos la expresión siguiente:

ALGORITMO

CODIFICACION

METODO DE GAUSS-JORDAN

Este método debe su nombre a Carl Friedrich Gauss y a Wilhelm jordan. Se trata de una serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los resultados de un sistema de ecuaciones lineales y así hallar matrices e inversas. El sistema de Gauss se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones y obtener las soluciones por medio de la reducción del sistema dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las ecuaciones tendrá una incógnita menos que la anterior. La matriz que resulta de este proceso lleva el nombre que se conoce como forma escalonada.

Este método, permite resolver hasta 20 ecuaciones simultáneas. Lo que lo diferencia del método Gaussiano es que cuando es eliminada una incógnita, se eliminará de todas las ecuaciones restantes, o sea, las que anteceden a la ecuación principal así como de las que la siguen a continuación. De esta manera el paso de eliminación forma una matriz identidad en vez de una matriz triangular. No es necesario entonces utilizar la sustitución hacia atrás para conseguir la solución.

ALGORTMO 1. Ir a la columna no cero extrema izquierda 2. Si la primera fila tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otra que no lo tenga. 3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él. 4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en forma escalonada). 5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes.

CODIFICACION

METODO DE JACOBI

Un método iterativo con el cual se resuelve el sistema lineal Ax = b comienza con una aproximación inicial x (0)a la solución x y genera una sucesión de vectores x (k) que converge a x. Los métodos iterativos traen consigo un proceso que convierte el sistema Ax = b en otro equivalente de la forma x = Tx + c para alguna matriz fija T y un vector c. Luego de seleccionar el vector inicial x(0) la sucesión de los vectores de la solución aproximada se genera calculando: x(k) = Tx(k-1) + c para cada k = 1,2,3,.... El método se escribe en la forma x(k) = Tx(k-1) + c separando A en sus partes diagonal D y fuera de la diagonal. Sea D la matriz diagonal cuya diagonal es la misma que A, sea -L la parte estrictamente triangular inferior de la parte A y sea -U la parte estrictamente triangular superior de A. Con esta notación A = D-L-U, entonces transformamos la ecuación Ax = b, o (D-L-U)x = b, en Dx = (L+U)x + b y, si D-1 existe, es decir, si ai,i es distinto de cero para cada i, entonces x = D-1(L+U)x + D-1b. Esto da origen a la forma matricial del método iterativo de Jacobi: x(k) = D-1(L+U)x(k-1) + D-1b, k = 1,2,... Al introducir la notación Tj= D-1(L+U) y cj, esta técnica tiene la forma x(k) = Tx(k-1) + c Es de mencionar el siguiente teorema: " Si A es estrictamente diagonal dominante, entonces con cualquier elección de la aproximación inicial, el método de Jacobi da una sucesión que converge a la solución única de Ax = b" Una vista a la ecuación:

del método de jacobi, sugiere algunas mejoras al algoritmo; en el sentido de que cuando queremos calcular x (k) utilicemos las componentes de x(k-1) y las recién calculadas de x(k) pues estas probablemente sean una mejor aproximación a la solución. Así la nueva ecuación es:

Es de mencionar el siguiente teorema: " Si A es estrictamente diagonal dominante, entonces con cualquier elección de la aproximación inicial, el método de Jacobi da una sucesión que converge a la solución única de Ax = b”.

ALGORITMO

CODIFICACION

CONCLUSIÓN El Método de Gauss-Seidel Es una técnica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método es similar al método de Jacobi. Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. 

ventajas: mas exacto y rapido, acepta las fracciones



desventajas: muy largo y tedioso, no siempre converge a la solucion, repetitivo.

Puedo determinar que a pesar de estas desventajas el sistema más eficiente es el Seidel ya que por el uso de decimales provoca una mayor exactitud y precisión y en comparación con Gauss-Jordan en lo cual gana por que dicho método es mas estricto en cuanto a convergencia lo cual lo hace más ineficiente.

REFERENCIAS Jacobi Method, marzo 2004. (http:/www.netlib2.cs.utk.edu/linalg/html_templates/node12.html) (https://www.uv.es/~diaz/mn/node30.html). The Gauss_Seidel Method, marzo 2004. (http:/www.netlib2.cs.utk.edu/linalg/html_templates/node14.html) Método Jordan, abril 2010. (https://matematica.laguia2000.com/general/metodo-de-gauss-jordan)