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Impedancia linea bifiliar

La impedancia (Z) es una medida de oposición que presenta un circuito a una corriente cuando se aplica una tensión. La impedancia extiende el concepto de resistencia a los circuitos de corriente alterna (CA), y posee tanto magnitud como fase, a diferencia de la resistencia, que sólo tiene magnitud. Cuando un circuito es alimentado con corriente continua (CC), su impedancia es igual a la resistencia, lo que puede ser interpretado como la impedancia con ángulo de fase cero. Por definición, la impedancia es la relación (cociente) entre el fasor tensión y el fasor intensidad de corriente:

Donde es la impedancia, intensidad.

es el fasor tensión e

corresponde al fasor

El concepto de impedancia tiene especial importancia si la corriente varía en el tiempo, en cuyo caso las magnitudes se describen con números complejos o funciones del análisis armónico. Su módulo (a veces inadecuadamente llamado impedancia) establece la relación entre los valores máximos o los valores eficaces de la tensión y de la corriente. La parte real de la impedancia es la resistencia y su parte imaginaria es la reactancia. El concepto de impedancia permite generalizar la ley de Ohm en el estudio de circuitos en corriente alterna (CA), dando lugar a la llamada ley de Ohm de corriente alterna que indica:

El término fue acuñado por Oliver Heaviside en 1886. En general, la solución para las corrientes y las tensiones de un circuito formado por resistencias, condensadores e inductancias y sin ningún componente de comportamiento no lineal, son soluciones de ecuaciones diferenciales. Pero, cuando todos los generadores de tensión y de corriente tienen la misma frecuencia constante y sus amplitudes son constantes, las soluciones en estado estacionario (cuando todos los fenómenos transitorios han desaparecido) son sinusoidales y todas las tensiones y corrientes tienen la misma frecuencia que los generadores y amplitud constante. La fase, sin embargo, se verá afectada por la parte imaginaria (reactancia) de la impedancia.

Índice 

1Formalismo matemático



 

 

o 1.1Definición o 1.2Representación binómica o 1.3Admitancia o 1.4Representación gráfica 2Cálculo de circuitos con las impedancias o 2.1Generadores de tensión o de corriente desfasadas o 2.2Leyes de Kirchhoff o 2.3Generalización de la ley de Ohm o 2.4Impedancias en serie o en paralelo o 2.5Interpretación de los resultados o 2.6Generalización 3Origen de las impedancias 4Ejemplos o 4.1Impedancia en elementos básicos o 4.2Un generador único o 4.3Dos generadores desfasados 5Véase también 6Bibliografía

Formalismo matemático[editar] Definición[editar] Sea un componente eléctrico o electrónico o un circuito alimentado por una corriente sinusoidal

. Si la tensión entre sus extremos es

componente se define como un número complejo un módulo igual al cociente

, la impedancia del circuito o del ; que expresado en forma polar tiene

y un argumento que es

:

o sea . Como se indicó anteriormente, la impedancia también se define por el cociente entre los fasores de tensión y corriente, representando la oposición total (Resistencia, Reactancia inductiva, Reactancia capacitiva) sobre la corriente. Como la tensión y las corrientes son sinusoidales, se pueden utilizar los valores pico (amplitudes), los valores eficaces, los valores pico a pico o los valores medios. Pero hay que cuidar de tratarlos uniformemente y no mezclar los tipos. El resultado de los cálculos será del mismo tipo que el utilizado para los generadores de tensión o de corriente.

Representación binómica[editar] La impedancia puede representarse en forma binómica como la suma de una parte real y una parte imaginaria:

es la parte resistiva o real de la impedancia y es la parte reactiva o imaginaria de la impedancia. Básicamente hay dos clases o tipos de reactancias:



Reactancia inductiva o



Reactancia capacitiva o

: Debida a la existencia de inductores. : Debida a la existencia de capacitores.

Admitancia[editar] Véase también: Admitancia

La admitancia es la inversa de la impedancia:

La conductancia

es la parte real de la admitancia y

la susceptancia

la parte imaginaria de la admitancia.

La unidad de la admitancia, la conductancia y la susceptancia es el siemens (símbolo S). Un siemens es el recíproco de un ohmio.

Representación gráfica[editar]

Ejemplo de fasores. Véanse también: Corriente Alterna y Fasor.

Se pueden representar las tensiones de los generadores de tensión y las tensiones entre los extremos de los componentes como vectores giratorios en un plano complejo. La magnitud (longitud) de los vectores es el módulo de la tensión y el ángulo que hacen con en eje real es igual al ángulo de desfase con respecto al generador de referencia. Este tipo de diagrama también se llama diagrama de Fresnel. Con un poco de costumbre y un mínimo de conocimientos de geometría, esas representaciones son mucho más explícitas que los valores o las fórmulas. Por supuesto, esos dibujos no son, en nuestra época, un método gráfico de

cálculo de circuitos. Son una manera de "ver" como las tensiones se suman. Esos dibujos pueden facilitar la escritura de las fórmulas finales, utilizando las propiedades geométricas. Encontrarán ejemplos de la representación gráfica en los ejemplos de abajo.

Cálculo de circuitos con las impedancias[editar] El formalismo de las impedancias consiste en unas pocas reglas que permiten calcular circuitos que contienen elementos resistivos, inductivos o capacitivos de manera similar al cálculo de circuitos resistivos en corriente continua. Esas reglas sólo son válidas en los casos siguientes: 



En régimen permanente con corriente alterna sinusoidal. Es decir, que todos los generadores de tensión y de corriente son sinusoidales y de la misma frecuencia, y que todos los fenómenos transitorios (conexiones y desconexiones bruscas, fallas de aislación repentinas, etc.) se han atenuado y desaparecido completamente. Si todos los componentes son lineales. Es decir, componentes o circuitos en los cuales la amplitud (o el valor eficaz) de la corriente es estrictamente proporcional a la tensión aplicada. Se excluyen los componentes no lineales como los diodos, bobinas con núcleos de hierro y otros. Por ello, si el circuito contiene inductancias o transformadores con núcleo ferromagnético (que no son lineales), los resultados de los cálculos sólo podrán ser aproximados y eso, a condición de respetar la zona de trabajo de las inductancias.

Generadores de tensión o de corriente desfasadas[editar] Si en un circuito se encuentran varios generadores de tensión o de corriente, se elige uno de ellos como generador de referencia de fase. Si la verdadera tensión del generador de referencia es impedancias escribiremos su tensión como generador tiene un avance de fase de referencia y su corriente es

, para el cálculo con las . Si la tensión de otro con respecto al generador de

, para el cálculo con las impedancias

escribiremos su corriente como . El argumento de las tensiones y corrientes calculadas será el desfase de esas tensiones o corrientes con respecto al generador tomado como referencia.

Leyes de Kirchhoff[editar] Las leyes de Kirchhoff se aplican de la misma manera: "la suma de las corrientes que llegan a un nodo es cero" y "la suma de todas las tensiones alrededor de una malla es cero". Esta vez, tanto las corrientes como las tensiones, son, en general, complejas.

Generalización de la ley de Ohm[editar] La tensión entre las extremidades de una impedancia es igual al producto de la corriente por la impedancia:

Tanto la impedancia, como la corriente y la tensión son, en general, complejas.

Impedancias en serie o en paralelo[editar] Las impedancias se tratan como las resistencias con la ley de Ohm. La impedancia de varias impedancias conectadas en serie es igual a su suma: Serie La impedancia de varias impedancias conectadas en paralelo es igual al recíproco de la suma de sus recíprocos: Paralelo

Interpretación de los resultados[editar] El resultado de corriente es, generalmente, un número complejo. Ese número complejo se interpreta de manera siguiente: 



El módulo indica el valor de la tensión o de la corriente calculada. Si los valores utilizados para los generadores eran los valores pico, el resultado también será un valor pico. Si los valores eran valores eficaces, el resultado también será un valor eficaz. El argumento de ese número complejo da el desfase con respecto al generador utilizado como referencia de fase. Si el argumento es positivo la tensión o la corriente calculadas estarán en avance de fase.

Generalización[editar] Cuando todos los generadores no tienen la misma frecuencia o si las señales no son sinusoidales, el formalismo de las impedancias no puede aplicarse directamente. Se tiene que descomponer el cálculo en varias etapas en cada una de las cuales se puede utilizar el formalismo de impedancias. En el caso de tenerse elementos lineales, se puede utilizar el teorema de superposición: se hace un cálculo separado para cada una de las frecuencias (remplazando en cada uno de los cálculos todos los generadores de tensión de frecuencia diferente por un cortocircuito y todos los generadores de corriente de frecuencia diferente por un circuito abierto). Cada una de las tensiones y corrientes totales del circuito será la suma de cada una de las tensiones o corrientes obtenidas à cada una de las frecuencias. Por supuesto, para hacer estas últimas sumas hay que escribir cada una de las tensiones en la forma real, con la dependencia del tiempo y el desfase: para las tensiones y las fórmulas similares para las corrientes.

Si las señales no son sinusoidales, pero son periódicas y continuas, se pueden descomponer las señales en serie de Fouriery utilizar el teorema de superposición para separar el cálculo en un cálculo para cada una de las frecuencias. El resultado final será la suma de los resultados para cada una de las frecuencias de la descomposición en serie.

Origen de las impedancias[editar] Vamos a tratar de ilustrar el sentido físico de la parte imaginaria j (donde se utiliza esta letra en vez de i para evitar confusiones con la intensidad) de las impedancias calculando, sin utilizar estas, la corriente que circula por un circuito formado por una resistencia, un inductor y un condensador en serie. El circuito está alimentado con una tensión sinusoidal y hemos esperado suficientemente para que todos los fenómenos transitorios hayan desaparecido. Tenemos un régimen permanente. Como el sistema es lineal, la corriente del régimen permanente será también sinusoidal y tendrá la misma frecuencia que la de la fuente original. Lo único que no sabemos sobre la corriente es su amplitud y el desfase que puede tener con respecto a la tensión de alimentación. Así, si la tensión de alimentación es

la corriente será de la forma

,

donde es el desfase que no conocemos. La ecuación a resolver será:

donde , y son las tensiones entre las extremidades de la resistencia, la inductancia y el condensador. Aplicando la ley de Ohm a la resistencia. resulta: = La definición de inductancia nos dice que:

Si L es constante, queda: . La definición de capacitancia nos dice que:

Si C es constante:

Haciendo la derivada, se puede comprobar que: . Así, la ecuación que hay que resolver es:

Tenemos que encontrar los valores de y de que hagan que esta ecuación sea satisfecha para todos los valores de

.

Para encontrarlos, imaginemos que alimentamos otro circuito idéntico con otra fuente de tensión sinusoidal cuya única diferencia es que comienza con un cuarto de periodo de retraso. Es decir, que la tensión será . De la misma manera, la solución también tendrá el mismo retraso y la corriente será: . La ecuación de este segundo circuito retardado será:

Hay signos que han cambiado porque el coseno retardado se transforma en seno, pero el seno retardado se transforma en coseno. Ahora vamos a sumar las dos ecuaciones después de haber multiplicado la segunda por j. La idea es de poder transformar las expresiones de la forma

en

,

utilizando las fórmulas de Euler. El resultado es:

Como es diferente de cero, se puede dividir toda la ecuación por ese factor:

se deduce:

A la izquierda tenemos las dos cosas que queríamos calcular: la amplitud de la corriente y su desfase. La amplitud será igual al módulo del número complejo de la derecha y el desfase será igual al argumento del número complejo de la derecha. Y el término de la derecha es el resultado del cálculo habitual utilizando el formalismo de impedancias en el cual se tratan las impedancias de las resistencias, condensadores e inductancias de la misma manera que las resistencias con la ley de Ohm.

Vale la pena repetir que cuando escribimos:

admitimos que la persona que lee esa fórmula sabe interpretarla y no va a creer que la corriente pueda ser compleja o imaginaria. La misma suposición existe cuando encontramo s expresiones como "alimentam os con una tensión " o "la corriente es compleja". Como las señales son sinusoidales , los factores entre los valores eficaces, máximos, pico a pico o medios son fijos. Así que, en el formalismo de impedancia s, si los

valores de entrada son pico, los resultados también vendrán en pico. Igual para eficaz u otros. Pero no hay que mezclarlos.

Ejempl os[editar] Impedan cia en elemento s básicos[e ditar] La impedancia de una resistencia ideal, solo contiene una componente real:

En este caso, la tensión y la corrient e son proporci onales y están en fase. La impeda ncia en un inductor ideal o en un

conden sador ideal tiene una compon ente purame nte imagina ria: La impeda ncia en un inductor se increme nta con la frecuen cia;

La imp eda ncia de un con den sad or dec rec e cua ndo la frec uen cia cre ce;

U n

g e n e r a d o r ú n i c o [ e d i t a r ]

E n e l d i a g r a m a

d e l a d e r e c h a t e n e m o s u n g e n e r a d o r s i n u s o i d a l

d e

1 0 v o l t i o s d e a m p l i t u d y d e u n a f r e c u e n c i a d e 1 0 k H z .

E n s e r i e h a y u n a i n d u c t a n c i a d e 1 0 m H y u n a r e s i s t e n

c i a d e 1 , 2 k . C a l c u l e m o s l a c o r r i e n t e

q u e c i r c u l a

e n e l c i r c u i t o :

E s n e c e s a r i a l a a p l i c a c i ó n d e l c

á l c u l o c o n n ú m e r o s c o m p l e j o s s i s e u t i l i z a e s t a n o t a c

i ó n . E l m ó d u l o d e l a c o r r i e n t e e s :

C o m o e l v a l o r d e

l a t e n s i ó n d e l g e n e r a d o r q u e t o m a m o s f u e u n v a l o r p i c

o ( a m p l i t u d ) , e l v a l o r d e l a c o r r i e n t e o b t e n i d o t a m b i

é n e s u n v a l o r p i c o . L a c o r r i e n t e e f i c a z e s :

L a f a s

e d e l a c o r r i e n t e e s e l a r g u m e n t o d e l n ú m e r o c o m p l e j o

: . L a c o r r i e n t e e s t á e n r e t a r d o d e f a s e c o n r e s p e c

t o a l a f a s e d e l g e n e r a d o r . E s o e s l ó g i c o , y a q u e e l

c i r c u i t o e s i n d u c t i v o .

S o l o l a r e s i s t e n c i a

d i s i p a p o t e n c i a :

L a f r a c c i ó n

a p a r e c e p o r q u e e l

v a l o r d e l a c o r r i e n t e e s e l v a l o r p i c o . L a t e n s i ó n e n t

r e l o s

e x t r e m o s d e l a r e s i s t e n c i a e s

L a t e n s i ó n e f i

c a z q u e s e l e e r í a c o n u n

v o l t í m e t r o s e r í a e l

m ó d u l o d

e e s t a t e n s i ó n d i v i d o p o r

:

L a t e n s i ó n e n t r e l a s

e x t r e m i d a d e s d e l a i n d u c t a n c i a e s

L a t e n s i ó n e f i c a z

l e í d a c o n e l

v o l t í m e t r o s e r í a ,

i g u a l m e n t e :

C o n s t a t

a m o s q u e l a

s u m a d e l a s d o s t e n s i o n e s

" c o m p l e j a s " d a

( t e n i e n d o e n c u e n t a l o s r e d o n d e o s ) l a t e n s i ó n d e l g e n

e r a d o r . E n

c a m b i o , l a

s u m a d e l a s d o s t e n s i o n e s l e í d a

s c o n u n

v o l t í m e t r o e s

m á s g r a n d e q u e l a d e l g e n e r a d o

r ( ) . E s e r e s u l t a d o e s t í p i c o d e l a s

m e d i d a s h e c h a s

c o n u n

v o l t í m e t r o e n c i r c u i t o s e n l o s c u a l e s l a s t e n

s i o n e s n o e s t á n e n f a s e . U n

v o l t í m e t r o n o s

m i d e

m ó d u l

o s e n v a l o r e f i c a z , l o s c u a l e s n o

p o d e m o s

s u m a r d i r e c

t a m e n t e y a q u e

e s t a m o s t r a t a n d o c o n f a s o r e s c o n s u s d

i s t i n t a s o r i e n t a c i o n e s .

D o s g e n e r a d o r e s d e s f a s a d o

s [ e d i t a r ]

E n e l c i r c u i t o d e l a d e r e c h a , u n

c o n d e n s a d o r d e

y u n a r e s i s t e n c i a d e

e n s e r i e , e

s t á n c o n e c t a d o s e n t r e d o s g e n e r a d o r e s s i n u s o i d a l e s . T

o m a m o s

c o m o g e n e r a d o r e s d o s f a s e s d e l

s u m i n i s t r o t r i f

á s i c o . E l g e n e r a d o r d e i z q u i e r d a s e r á n u e s t r o g e n e r a d

o r d e r e f e r e n c i a

. E l g e n e r a d o r d e d e r e c h a e s t á e n

a v a n c e d e f a s e d e

. E s d e c i r ,

. C o n e l

f o r m a l i s m o

d e

i m p e d a n c i a s , e l g e n e r a d o r d e i z q u i e r d a s e r á

y

e l d e d e r e c h a

.

C o m e n c e m o s c a l c u l a n d o l a d i f e r e n c i a

d e t e n s i ó n e n t r e l o s d o s g e n e r a d o r e s :