Hid Rodina Mika

BAB I METODE BEDA HINGGA 1.1 Formulasi Beda Hingga Deferensial dari peubah tak bebas di dalam persamaan diferensial harus kita dekati dengan suatu pendekatan dengan bantuan computer. Ada dua cara pendekatan dari deferensial suatu fungsi yaitu : 1. menggunakan uraian taylor 2. menggunakan polynomial derajat n

dalam pembahasan berikut kita hanya akan menggunakan pendekatan pertama yaitu menggunakan uraian taylor. Uraian Deret Taylor Uraian Taylor dari f(x+∇x) disekitar x adalah : fX+∆X=fX+∆X1!∂f∂X+(∆X)22!∂2f∂X2+(∆X)33!∂3f∂X3+…

(1.1)

=fX+n=1∞(∆X)nn!∂nf∂Xn ∂f∂X=fX+∆X-fX∆X-∆X2!∂2f∂X2-(∆X)23!∂3f∂X3+…

(1.2) 0∆X→orde ∆X

(1.3)

∂f∂X=fX+∆X-fX∆X+0∆X

Ini adalah pendekatan turunan pertama dari fungsi f terhadap X. aturan pendekatan ini disebut pendekatan beda maju. Pendekatan

beda

maju

pada

hakikatnya

menyatakan slop fungsi f di B menggunakan titik C di titik B. Jika kita menggunakan indeks I untuk menyatakan titik-titik diskrit dalam arah X, maka persamaan (1.3) dapat dituliskan sebagai berikut : ∂f∂Xi=fi+1-f∆X+0(∆X)

Makin kecil ∆X makin baik pendekatan numeric yang kita lakukan. Sekarang tinjau Uraian Taylor dari f(X-∆X) disekitar X fX-∆X=fX-∆X∂f∂X+∆X22!∂2f∂X2-∆X33!∂3f∂X3+…

(1.4)

(1.5)

=fX+n=1∞±(∆X)nn!∂nf∂Xn

+ untuk n genap - untuk n ganjil Dari persamaan (1.5) kita peroleh ∂f∂X=fX-fX+∆X∆X+0(∆X)

Atau (1.6)

∂f∂Xi=fi-fi-1∆X+0∆X

Ini adalah pendekatan beda mundur dari ∂f∂X yang pada hakikatnya menyatakan slope fungsi f dititik B menggunakan harga fungsi di titik A dan B

Sekarang kita tinjau kembali uraian taylor persamaan (1.1) dan persamaan (1.5) fX+∆X=fX+∆X∂f∂X+(∆X)22!∂2f∂X2+(∆X)33!∂3f∂X3+…

(1.7)

fX-∆X=fX-∆X∂f∂X+∆X22!∂2f∂X2-∆X33!∂3f∂X3+… (1.8)

Kurangkan persamaan (1.7) dan (1.8) hasilnya : fX+∆X-fX-∆X=2∆X∂f∂X+2∆X33!∂3f∂X3+…

(1.9)

Dari persamaan (1.9) kita peroleh : ∂f∂X=fX+∆X-fX-∆X2∆X+0(∆X)2

Atau ∂f∂Xi=fi+1-fi-1∆X+0(∆X)2

(1.10) Ini adalah pendekatan beda pusat dari ∂f∂X yang pada hakikatnya menyatakan slope fungsi f di titik B menggunakan harga fungsi di titik A dan C

Ringkasan : ∂f∂Xi=fi+1-f∆X+0(∆X)

Forward Difference (Beda Maju)

∂f∂Xi=fi-fi-1∆X+0(∆X)

Backward

Difference

(Beda

Mundur) ∂f∂Xi=fi+1-fi-1∆X+0(∆X)2

Central Difference (Beda Pusat)

Sekarang kita ingin melakukan pendekatan dari differensial dengan orde yang lebih tinggi. Tinjau kembali uraian taylor : fX+∆X=fX+∆X∂f∂X+(∆X)22!∂2f∂X2+(∆X)33!∂3f∂X3+…

(1.11)

Selanjutnya kita cari uraian Taylor dari fungsi f(X+2∆X) disekitar X fX+2∆X=

fX+∆X∂f∂X+(∆X)22!∂2f∂X2+(∆X)33!∂3f∂X3+…

(1.12) Kalikan persamaan (1.11) dengan 2 dan ambil selisihnya dengan persamaan (1.12), hasilnya : -2fX+∆X-fX-2∆X=-fX+(∆X)2∂2f∂X2-(∆X)3∂3f∂X3+… (1.13)

Dari persamaan (2.13) kitadapat menukarkan ∂2f∂X2 ∂2f∂X2=fX-2∆X-2fX+∆X+fX∆X2+0∆X

Atau ∂2f∂X2i=fi+2-2fi+1+f(X)(∆X)2+0(∆X)

(1.14) Ini adalah pendekatan beda maju dari ∂2f∂X2 dengan tingkat kesalahan O(∆X). Dengan cara yang sama kita dapat menentukan pendekatan beda mundur dari ∂2f∂X2 sebagai berikut : ∂2f∂X2i=fi-2-2fi-1+fi-2(∆X)2+0(∆X)

(1.15)

Untuk mendapatkan pendekatan bedapusat dari

∂2f∂X2 adalah dengan cara

menjumlahkan persamaan (1.7) dan persamaan (1.8) (1.7)

fX+∆X=fX+∆X∂f∂X+∆X22!∂2f∂X2+∆X33!∂3f∂X3+… fX-∆X=fX-∆X∂f∂X+∆X22!∂2f∂X2-∆X33!∂3f∂X3+…

+

(1.8)

fX+∆X+fX-∆X=2fX+∆X2∂2f∂X2+… ∂2f∂X2=fX+∆X-2fX+fX-∆X(∆X)2+0(∆X)2

Atau ∂2f∂X2i=fi+1-2fi+fi-1(∆X)2+0(∆X)2

(1.16) Pendekatan untuk diferensial dengan orde yang lebih tinggi seperti ∂3f∂X3, ∂4f∂X4 dst. Dapat kita lakukan denga prosedur yang sama seperti halnya dalam mencari ∂2f∂X2. Pada hakikatnya kita harus menggunakan uraian Taylor dari fX+∆X, fX+2∆X, fX+3∆X, fX+4∆X, dst. Tatapi ada cara lain yang lebih sederhana. Untuk

kemudahan kita defenisikan : Beda maju fi+1-fi sebagai ∆fi Beda mundur fi-fi-1 sebagai ∇fi Beberapa operator untuk pendekatan beda pusat diberikan oleh rumusan-rumusan berikut : δfi =fi+1-fi-1=∆fi+∇f δfi =fi+12-fi-12 δ2fi=δ(δfi) =δfi+12-fi-12 =fi+1-fi-fi-fi-1 =fi+1-2fi+fi-1 =∆fi-∇fi=∆∇fi

Dengan menggunakan operator yang dideferensialkan di atas, pendekatan dari deferensial orde yang lebih tinggi dengan pendekatan beda maju, beda mundur, dan beda pusat dapat dinyatakan sebagai berikut :

∂2f∂Xni=∆nfi(∆X)n+0∆X

beda maju

(1.17)

∂2f∂Xni=∇nfi(∆X)n+0∆X

beda mundur

(1.18)

∂2f∂Xni=∆nfi-n2+∇nfi+n22(∆X)n+0(∆X)2

genap)

(beda pusat untuk n

(1.19) ∂2f∂Xni=∆nfi-n-12+∇nfi+n-122(∆X)n+0(∆X)2 (beda pusat untuk n

ganjil)

(1.20)

Kita letahmembahas pendekatan beda maju ∂f∂X dengan tingkat kesalahan O(∆X). Caranya kita mulai dari uraian Taylor fX+∆X di sekitar X. fX+∆X=fX+∆X∂f∂X-∆X22!∂2f∂X2-∆X33!∂3f∂X3+…

(1.21)

Dari persamaan (1.21) kita dapatkan ∂f∂X ∂f∂X=fX+∆X-fX∆X-∆X2!∂2f∂X2-∆X23!∂3f∂X3+…

(1.22) Kita dapat melakukan pendekatan beda maju dengan tingkat ketelitian lebih tinggi (tingkat kesalahan O(∆X)2) dengan mensubtitusikan pendekatan beda maju dari ∂2f∂X2 ∂2f∂X2=fX-2fX+∆X+2fX+2∆X(2∆X)2+O(∆X)

Ke dalam persamaan (1.22) hasilnya : ∂f∂X=fX+∆X-fX∆X-∆X2fX-2fX+∆X+2fX+2∆X(2∆X)2+O∆X∆X26∂3f∂X3+… ∂f∂X=-2fX+∆X+4fX+2∆X-3fX2∆X+O(∆X)

Ini disebut pendekatan beda maju ∂f∂X orde kedua. Dengan cara yang sama kita dapat menentukan pendekatan beda maju, beda mundur, dan beda pusat dari dengan orde yang lebih tinggi (orde ketiga, keempat, dst) dengan cara mensubtitusi pendekatan untuk ∂3f∂x3 , ∂4f∂x4 , dst kedalam uraian taylor. Dalam praktek umumnya dilakukan pendekatan sampai orde kedua saja, karena makin tinggi ketelitian yang kita inginkan makin lama waktu komputasinya. 1.2 Persamaan Beda Hingga

Kita telah menggunakan pendekatan beda hingga yang digunakan untuk mengganti turunan di dalam suatu persamaan diferensial parsial. Sekarang kita ingin menerapkan persamaan beda hingga dalam persamaan diferensial parsial. Tinjau suatu fungsi f=fx,y,t. Persamaan diferensial pengaturnya diberika oleh : ∂f∂t=α∂2f∂x2+∂2f∂y2 , α adalah suatu konstanta

(1.23)

gunakan indeks i dan j untuk menyatakan koordinat Cartesian x dan y, dan indeks n untuk menyatakan waktu t. Δx dan Δy untuk menyatakan spasi dari grid dalam arah x dan y dan Δt untuk menyatakan langkah waktu. Sistem grid di perlihatkan oleh gambar berikut : Level yL i-1, i, Δ evel tj+1 jj-1j waktu n+1 n

kita terapkan pendekatan beda maju dalam waktu dan pendekatan beda pusat dalam ruang. Dari persamaan (1.4) : ∂f∂t=fijn+1-fijn∆t+O(∆x)

dari persamaan (2.16) ∂2f∂x2=fi+1,jn-2fijn+fi-1,jn(∆x)2+O∆x2

dan ∂2f∂y2=fi,j+1n-2fijn+fi,j-1n(∆y)2+O∆y2

Jadi persamaan beda hingga dari persamaan (1.23) dapat ditulis sebagai : fijn+1-fijn∆t=αfi+1,jn-2fijn+fi-1,jn(∆x)2+fi,j+1n-2fijn+fi,j1n(∆y)2+O∆t,(∆x)2,(∆y)2 (1.24a)

Terlihat disini turunan kedua dari f terhadap x dan y kita nyatakan pada langkah waktu n, artinya nilai dari fungsi diketahui besarnya, hanya ada satu besaran yang tidak diketahui dari persamaan (1.24a) yaitu fijn+1. Jadi dengan mudah kita dapat langsung menentukan fijn+1 dari persamaan (1.24a). pendekatan ini dikenal dengan pendekatan ekxplisit. Pendekatan ini sederhana dan mudah pengerjaannya, tetapi harus memenuhi kriteria stabilitas. Kita dapat menyatakan ∂2f∂x2 dan ∂2f∂y2 pada langkah waktu n+1, persamaannya diberikan oleh : fijn+1-fijn∆t=αfi+1,jn+1-2fijn+1+fi-1,jn+1(∆x)2+fi,j+1n+1-2fijn+1+fi,j1n+1(∆y)2+O∆t,(∆x)2,(∆y)2

(1.24b)

dari persamaan (1.24b) terlihat bahwa ada 5 besaran yang belum diketahui yaitu : fi,j-1n+1, fi-1,jn+1, fi,j+1n+1, fi+1,jn+1, fijn+1 yang harganya tidak dapat

ditentukan secara langsung dari persamaan (1.24b). persamaan (1.24b) diterapkan di semua titik grid dari domain yang dimodelkan sehingga di peroleh n persamaan dan n besaran yang tidak diketahui dan sistem persamaan tersebut diselesaikan secara simultan. Pendekatan ini disebut pendekatan secara implisit. Pendekatan ini lebih stabil dari pendekatan eksplisit. Selanjutnya kita dapat merubah bentuk persamaan (1.24a) menjadi fijn+1-fijn∆t-αfi+1,jn+1-2fijn+1+fi-1,jn+1(∆x)2+fi,j+1n+1-2fijn+1+fi,j1n+1(∆y)2=O∆t,(∆x)2,(∆y)2

(1.25)

ruas kanan menyatakan kesalahan memutus (truncating error). Karena orde terendah diruas kanan adalah orde satu,maka pendekatan beda hingga diatas disebut pendekatan beda hingga dengan derajat ketelitian orde 1. Bila misalnya ruas kanan berbentuk (∆t)2,(∆x)2,(∆y)2, maka pendekatan ini disebut pendekatan dengan ketelitian orde 2. Contoh penerapan : 1. Tentukan pendekatan beda maju dari ∂4f∂x4

Solusi : terapkan persamaan (1.17) ∂nf∂xni=∆nfi∆xn+O∆x

untuk n = 4, kita peroleh : ∂4f∂x4i=∆4fi∆x4+O∆x ∆4fi=∆3∆fi=∆3fi+1-fi=∆2∆fi+1-∆fi =∆2fi+2-fi+1-fi+1-fi =∆2fi+2-2fi+1-fi =∆∆fi+2-2∆fi+1+∆fi=∆[fi+3-fi+2-2fi+2-fi+1)+(fi+1-fi =∆fi+3-3fi+2+3fi+1-fi =∆fi+3-3∆fi+2+3∆fi+1-∆fi =fi+4-fi+3-3(fi+3-fi+2)+3fi+2-fi+1-(fi+1-fi+1) =fi+4-4fi+3+6fi+2-4fi+1+fi

jadi kita peroleh : ∂4f∂x4i=[fi+4-4fi+3+6fi+2-4fi+1+fi]∆x4 2. Tentukan pendekatan beda maju dari ∂3f∂x3 dengan orde kesalahan ∆x untuk

spasi grid yang sama (lihat gambar). y

fi+2

fi+3

fi+1 fi x

x

x

a. Dengan cara uraian Taylor xi

xi+1

xi+2

xi+3

b. Dengan menggunakan beda maju yang berulang Solusi : a. uraian Taylor dari f(x+∆x), f(x+2∆x) dan f(x+3∆x) disekitar x adalah : fx+∆x=fx+∆x∂f∂x+(∆x)22!∂2f∂x2+(∆x)33!∂3f∂x3+O(∆x)4

(1)

fx+2∆x=fx+2∆x∂f∂x+(2∆x)22!∂2f∂x2+(2∆x)33!∂3f∂x3+O(2∆x)4 (2) fx+3∆x=fx+3∆x∂f∂x+(3∆x)22!∂2f∂x2+(3∆x)33!∂3f∂x3+O(3∆x)4 (3) ∂3f∂x3 ditentukan dari ke-3 persamaan di atas, dari pers. (1) dan (3) didapat : 3fi+1-fi+3=2fi-3(∆x)2∂2f∂x2+3(∆x)3∂3f∂x3+O(∆x)4

(4)

Dan dari persamaan (1) dan (2) diperoleh : fi+2-fi+1=-fi-(∆x)2∂2f∂x2+(∆x)3∂3f∂x3+O(∆x4)

(5)

Dari persamaan (5) dan (4_ diperoleh rumusan untuk ∂3f∂x3 yaitu : ∂3f∂x3=fi+3-3fi+2+3fi+1-fi(∆x)3+O(∆x)

c. Cara yang termudah adalah dengan menggunakan persamaan (1.17) ∂3f∂x3=∆3fi(∆x)3+O(∆x)

Dimana : ∆3fi=∆2∆fi=∆2fi+1-fi=∆∆fi+1-∆fi =∆fi+2-fi+1-fi+1-fi=∆fi+2-2fi+1+fi =∆fi+2-2∆fi+1+∆fi =fi+3-fi+2-2fi+2-fi+1+fi+1-fi =fi+3-3fi+2+3fi+1-fi

Jadi, ∂3f∂x3=fi+3-3fi+2+3fi+1-fi(∆x)3+O(∆x) 3. Diberikan fx=14x2 hitung turunan pertama dari f pada x = 2 menggunakan

pendekatan beda maju dan beda mundur dengan orde kesalahan O(∆x). bandingkan hasilnya dengan menggunakan pendekatan beda pusat dengan orde O(∆x)2 dan dengan solusi eksaknya. Gunakan ∆x = 0.1 dan ∆x = 0.4. Solusi : untuk ∆x = 0.1 didapat Beda maju

∂f∂x=fi+1-fi∆x+O∆x ∂f∂xi=2=f(2.1)-f(2.0)0.1+O0.1 =14-4.1-14-40.1+O0.1 =1.025+O0.1

Beda mundur ∂f∂x=fi-fi-1∆x+O∆x ∂f∂xi=2=f(2.0)-f(1.9)0.1+O0.1 =14-4-14-3.610.1+O0.1 =0.975+O0.1

Beda pusat

∂f∂x=fi+1-fi-1∆x2+O∆x2 ∂f∂xi=2=f(2.1)-f(1.9)0.1+O0.1 =14-4.1-14-3.610.1+O0.1 =1+O0.1

Solusi eksak ∂f∂x=14x →∂f2∂x=1 Menggunakan ∆x = 0.4 didapat : Beda maju

∂f∂xi=2=f(2.4)-f(2.0)0.4+O0.41 =1.2+O0.4

Beda mundur ∂f∂xi=2=f(2.0)-f(1.6)0.4+O0.4 =0.9+O0.4

Beda pusat

∂f∂xi=2=f(2.4)-f(1.6)0.8+O0.16 =1.1+O0.16

Dari hasil diatas dapat kita lihat bahwa untuk ∆x yang besar pendekatan beda maju dan mundur lebih menyimpang harganya dari solusi eksaknya, sedangkan pendekatan beda pusat tidak. Pemilihan ukuran grid sangat penting dalam analisis numerik. 4. Tentukan pendekatan beda mundur dari ∂f∂x dengan orde kesalahan (∆x)3.

Solusi : uraian Taylor fx-∆x=fx+∆x∂f∂x+(∆x)22!∂2f∂x2+(∆x)33!∂3f∂x3+O(∆x)4

Dari persamaan ini diperoleh : ∆x∂f∂x=fx-fx-+∆x+(∆x)22!∂2f∂x2+(∆x)33!∂3f∂x3+O(∆x)4

Untuk mendapatkan pendekatan beda mundur dengan orde (∆x)3 kita harus mensubtitusikan pendekatan beda mundur dari ∂2f∂x2 dan ∂3f∂x3 dalam persamaan diatas. Tetapi kita harus hati-hati dalam menentukan pendekatan beda mundur untuk ∂2f∂x2 dengan orde kesalahan (∆x)2 dan pendekatan beda mundur untuk ∂3f∂x3

dengan orde kesalahan (∆x). persamaan beda mundurnya adalah : ∂2f∂x2=-fi-3-4fi-2+5fi-1-fi(∆x)2+O(∆x)2 ∂3f∂x3=-fi-3-2fi-2+3fi-1-fi(∆x)3+O(∆x)

Setelah disubtitusikan ke dalam persamaan di atas, diperoleh,

∆x∂f∂x=fi-fi-1+∆x22!-fi-3+4fi-2-5fi-1+fi∆x2+O(∆x)2 ∆x33!fi+3+3fi+2-3fi+1+fi∆x3+O(∆x)+O(∆x)4

atau 6∆x∂f∂x=-2fi-3+9fi-2-18fi-1+11fi+O∆x4 ∂f∂x=-2fi-3+9fi-2-18fi-1+11fi6(∆x)3+O∆x4

BAB II MODEL HIDRODINAMIKA 2.1 Persamaan Hidrodinamika Sederhana untuk Kasus 1 Demensi Persamaan hidrodinamika sederhana satu dimensi yang lengkap adalah : ut+uux+gζx =disipasi+gaya luar (Hu)x+ζt =0

(2.1) (2.2)

Sistem persamaan (2.1) dan (2.2) adalah persamaan yang diintegrasikan terhadap kedalaman jadi kecepatan u adalah kecepatan yang dirata-ratakan terhadap kedalaman. u=1H-Dζuzdz

(2.3) Kedalaman total H diberikan oleh H=ζ+D

(2.4) D : still water level (permukaan air dalam keadaan tenang) ζ : elevasi terhadap D

Sistem persamaan (2.1) dan (2.2) dapat disederhanakan menjadi persamaan gerak ut+gζx=0 Persamaan kontinuita ζt+Hux=0s Pada persamaan gerak, suku non linier, gaya disipasi dan gaya luar kita abaikan. Pada persamaan kontinuitas HX << uX perubahan kedalaman terhadap x jauh lebih kecil dari pada perubahan u terhadap x. untuk mendapatkan solusi eksak dari sistem persamaan (2.5) dan (2.6) maka sistem persamaan tersebut perlu diubah bentuknya menjadi persamaan gelombang : Ftt = c2 Fxx Diferensiasikan I terhadap (2.5) dan (2.6) terhadap x kemudian jumlahnya menjadi, utt+gζxt =0gζxt+gHuxx=0utt-gHutt=0 atau utt=gHuxx-

Ini adalah persamaan gelombang dalam u. Untuk membentuk persamaan gelombang dalam ζ kita diferensiasikan (2.5) terhadap x dan (2.6) terhadap t kemudian jumlahkan menjadi: -Huxt-gζxx=0ζtt+Huxt=0ζtt-gHζtt=0 atau ζtt=gHζxx+

Dalam persamaan kedua kecepatan gelombang adalah, c2=gH atau c=gH

2.2 Pengerjaan Eksplisit dari persamaan Hidrodinamika Satu Dimensi Tinjau kembali persamaan (2.5) dan (2.6) :

I.

ut+gζx=0

II. ζt+HUx=0

Pemecahana numerik dari sistem persamaan ini dilakukan dengan mengambil pendekatan selisih pusat terhadap ruang dan selisih maju terhadap waktu. (catatan : kalau kita perhatikan, bentuk persamaan (I) dan (II) adalah sama dengan persamaan adveksi Ft + cFx =0 ). Kita telah melihat bila kita lakukan pendekatan selisih pusat terhadap ruang dan selisih maju terhadap waktu pada persamaan adveksi maka pemecahan numeriknya tidak stabil. Untuk menghindari ketidakstabilan ini disusun suatu kasa (grid) yang terletaknya dipindah baik terhadap waktu maupun terhadap ruang (kasa Richardson 1967, Hasen 1956, Sundermann 1966). Kasa Richardson dapat di gambarkan sbb :

Persamaan selisih dari I dan II diberikan oleh : I.

ujn+1/2-ujn-1/2+gΔtΔxζj+1n-ζjn=0

II. ujn+1/2-ujn-1/2+gΔtΔxζj+1n-ζjn=0

Dimana Hjn=D+ζjn Penyelesaian eksplisit ini adalah stabil bersyarat Kriterium stabilitas Untuk menentukan kriteria kestabilan sistem persamaan (I) dan (II) a. Kita tulis I dan II adalah bentuk matriks. Ingat bahwa titik tumpu ζ Letaknya berjarak ∆x/2 dari titik u, H dianggap konstan. b. Tentukan matriks amplifikasi dari sistem persamaan yang digabungkan.

c. Kita tentukan nilai eigen dari matriks amplifikasi, A.

Peramaan selisih dari I dan II diberikan oleh : I.

ujn+1/2-ujn-1/2+gΔtΔxζj+1n-ζjn=0

II. ζjn+1-ζjn+HjnΔtΔxujn+1/2-uj-1n+1/2=0

dimana Hjn=D+ζjn Persamaan II dapat dituliskan dengan n

n-1 :

Dalam rumus u=ueikx;ζ=ζ0eikx Kita dapat menuliskan : I.

ζjn=ζjn-1-HnΔtΔxujn-1/2eik∆x2-e-ik∆x2

Ingat uj terletak+Δx/2 dari ζj uj-1 terletak+Δx/2 dari ζj I.

ζjn=ζjn-1-HnΔtΔx2isin(kΔx2)ujn-1/2

dalam bentuk matriks persamaan ini ditulis I.

ζjnujn-1/2=-2iHnΔtΔxsinkΔx2110ujn-1/2ζjn-1

Dengan cara yang sama kita juga dapat menulis I dalam bentuk matriks sbb: I.

ujn+1/2ζjn=-2igΔtΔxsinkΔx2110ζjn-1ujn-1/2

Bila I dan II digabung menjadi : ujn+1/2ζjn=-2igΔtΔxsinkΔx2110-2iHnΔtΔxsinkΔx2110ujn-1/2ζjn-1

Matriks amplifikasi A adalah : A=-4HngΔt2Δx2.sin2kΔx2+1-2igΔtΔxsinkΔx2-2iHnΔtΔxsinkΔx21

d. Menentukan nilai eigen dari matriks A Det |A-λI|=0 -4HgΔt2Δx2.sin2kΔx2+1-λ-2igΔtΔxsinkΔx2-2iHΔtΔxsinkΔx21-λ=0 -4HgΔt2Δx2.sin2kΔx2+1-λ1-λ+4HgΔt2Δx2.sin2kΔx2=0

Dengan menuliskan β=2ΔtΔxgHsinkΔx2 maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut : 1-λ1-λ-β2+β2atau λ2-λ2-β2+1=0

nilai eigen : λ1.2=2-β22±1/2(2-β2)2-4

Tinjauan beberapa kasus dari harga (2-β2)2-4 1. Akar imajiner λλ=Re+ImRe-Im=Re2-Im2 λ =kompleks konyugasi λλ=1/4[(2-β2)2((2-β2)2-4)]=1 λλ=λ=1

2. Akarnya sama dengan nol (2-β2)2-4=0;β=0 atau β2=4→β=±2 β=2ΔtΔxgHnsinkΔx2 βmax2=4=4Δt2Δx2gHn→ Δt=ΔxgHn

3. Bila akarnya real (2-β2)2-4≥0→β2≥4

Jadi dari 2) dan 3). Dapat disimpulkan bahwa kriteria stabilitas penyelesaian eksplisit dari persamaan hidrodinamika satu dimensi yaitu : Δt≤ΔxgHn Criteria stabilitas Counrant-Friederichs_Lewy (CFL), yaitu λ≤1 2.3

Pengerjaan Implisit (Crank_Nicholson) Kembali perhatikan persamaan (2.5) dan (2.6) : ut+gζx=0

(2.5)

ζt+HUx=0

(2.6)

Persamaan selisih dari persamaan (2.5) dan (2.6) diselesaikan secara implicit adalah : I.

ujn+1-ujn+gΔt2Δxζj+1n+1-ζjn+1+ζj+1n-ζjn=0

II. ζjn+1-ζjn+HjnΔt2Δxujn+1-uj-1n+1+ujn-uj-1n=0

Gambar susunan letak titik u dan ζ dari penjelasan implicit (crank_nicholson) dengan kasa Richardson adalah seperti gambar berikut :

Untuk menyelesaikan system persamaan I dan II diatas,tentukan ujn+1-uj-1n+1 dari I : ujn+1=ujn-gΔt2Δxζj+1n+1-ζjn+1+ζj+1n-ζjn uj-1n+1=uj-1n-gΔt2Δxζjn+1-ζj-1n+1+ζjn-ζj-1n

Kemudian harga uj-1n+1 dan ujn+1 ini disubstitusikan ke dalam II tuliskan wjn=gHjnΔt2Δx2 Hasilnya kita peroleh sbb: II. -wjζj-1n+1+1+2wjζjn+1-wjζj+1n+1=wjζj_1n+12wjζjn+wjζj+1n+HjnΔtΔxuj-1n-ujn

Dengan persamaan ini kita dapat menghitung ζn+1 Hasil perhitungan ini kita subtitusikan ke dalam I untuk memperoleh un+1 2.4

Pemodelan Hidrodinamika di Saluran 1 Dimensi dengan Topografi yang Bervariasi.

Dengan memakai persamaan (2.5) dan (2.6) serta menggantikan parameter kecepatan dengan transport (volume) yang didefenisikan sebagai U = uH, maka diperoleh persamaan hidrodinamika dalam bentuk transport sbb : I.

ut+gζx=0

II. ζt+Ux=0 atau Ht+Ux=0

dimana Hin=D+ζin a. Pengertian Eksplisit dari Persamaan I dan II adalah I.

ujn+1/2-ujn1/2+gΔt2Δx12Dj+ζjn+Dj+1-ζj+1n)(ζj+1n-ζjn=0

II. ζjn+1-ζjn+ΔtΔxujn+1/2-uj-1/2n+1/2=0

Atau dapat juga dituliskan dalam bentuk lain sbb: I.

ujn+1/2-ujn1/2+gΔtΔx 12Hj+1n+Hjn)(Hj+1n-Dj+1-Hjn+Dj=0

II. Hjn+1-Hjn+ΔtΔxujn+1/2-uj-1/2n+1/2=0

b. Pengerjaan implisit dari persamaan hidrodinamika dalam bentuk transport adalah : I.

ujn-ujn+gΔtΔxHjn 12ζj+1n+1+ζjn+1+ζj+1n-ζjn=0

II. ζjn+1-ζjn+ΔtΔx 12ujn+1-uj-1n+1+Ujn-Uj-1n =0 III. -wjζj-1n+1+1+wj-1+wjζjn+1-wjζj+1n+1=wj-1ζj_1n+1-wj1ζjn+wjζj+1n+ΔtΔxUj-1n-Uj-1n

dimana wj=gΔt24Δx2Hjn Hn=1/2(Dj+Dj+1+ζjn+ζj+1n)

Persamaan (III) dapat diselesaikan dengan metode gauss ataumetode interatif yang lain. 2.5

Pemodelan Hidrodinamika di dalam Kanal Satu Dimensi dengan Memperhatikan Gesekan Dasar dan Stress Angin.

a). Pengerjaan Eksplisit Persamaan model yang dipakai adalah persamaan Hidrodinamika dalam kecepatan (persamaan 5 dan 6 + gesekan). I.

ut+gζx=(τs-τb)/H

II. ζt+Hux=0

dimana τs=stress angin τs=ρLCDw|w| ρLCD=λ=koefisien gesekan angin

= 3.2 x 10-6 yang merupakan bilangan tak berdimensi w= kecepatan angin τb=gesekan dasar

Ada dua bentuk gesekan dasar yang digunakan : a. Bentuk linier : τb=αu

dimensi dari α adalah [T-1] dimensi dari u adalah [MT-1] b. Bentuk kuadratif : τb=ru|u|

dimana r = koefisien gesekan dasar yang merupakan bilangan tak berdimensi = 3.0x 10-3. Untuk pendiskritan suku gesekan dasar, kita tinjau persamaan gerak yang disederhanakan : ut+τbH=0 atau dengan menggunakan rumus gesekan kuadratis maka persamaan

tersebut dapat ditulis : ut+ru|u|H=0

Pendiskritan cara pertama adalah : u|u|=un.|un| Subtitusikan ke dalam persamaan di atas : un+1-un+Δt.rununH=0 atau un+1=un-Δt.rununH

Pendiskritan cara kedua adalah : u|u|=un+1.|un| Subtitusikan ke dalam persamaan hidrodinamika yang disederhanakan sehingga diperoleh : un+1-un+rΔtunHun=0 atau un+1=un(1+rΔtH|un|

Untuk melihat kelebihan dan kekurangan dari kedua cara pendiskritan di atas kita tinjau dua kasus berikut : a) H besar, maka (rΔt|un|/H adalah kecil sehingga un+1 = un. untuk kedua

pendikritan di atas. b) H kecil, maka harga (rΔt|un|/H adalah besar yang biasa saja lebih besar dari

satu. Bila terjadi maka cara pertama akan menghasilkan un+1 = -un yangsecara

fisis gesekan akan merubah arah arus, hal ini tidak kita inginkan. Kondisi ini tidak akan kita temui bila digunakan cara kedua. Bila (rΔt|un|)/H=1 maka pendiskritan cara pertama akan menghasilkan un+1=0, artinya energy kinetik dihilangkan hanya oleh gesekan dasar. Hal ini tidak terjadi pada pendiskritan cara kedua. Kelemahan pendiskritan cara pertama juga berlaku bila kita menggunakan persamaan hidrodinamika dalam bentuk transport (volume) : I.

ut+gHζx=τs-τb

II. ζt+Ux=0

dimana τs=ρLCDw|w| =λw|w| λ=3.2x10-6 τb=ru|u|H2

R = 3 x10-3 Bentuk penyelesaian eksplisit dari persamaan hidro dalam bentuk transport dan menggunakan pendiskritan cara pertama untuk gesekan dasar adalah : Ujn+1/2=Ujn1/2.1-r∆t|Un-12|Hj2+∆tλww-gΔtΔxHjn(Hj+1n-Hjn-Dj+1+Dj)

Dengan menggunakan pendiskritan cara kedua diperoleh Ujn+1/2=Ujn-1/2.Ujn+1/2+∆tλww-gΔtΔxHjn(Hj+1n-Hjn-Dj+1+Dj)1-r∆t| Un-12|Hj2

dimana Hjn=Hjn+Hj+1n2 b). Pengerjaan Implicit Pengerjaan implisit dari persamaan hidrodinamika dalam bentuk transport (volume) yang menghitung stress angin dan gesekan dasar adalah sbb : I.

Ujn+1=Ujn+∆tλww-gΔtΔxHjn12ζj+1n+1+ζjn+1+ζj+1n-ζjnRj

dengan Rj=11+r∆t|ujn|Hjn2 I.

ζjn+1-ζjn+Δt2ΔxUjn+1-ζj-1n+1+ζjn-ζj+1n=0

Penggabungan persamaan I dan II adalah :

II. -Hj-1ζj-1n+1+1+Hj*+Hj-1*ζj+1n-Hj*.ζj-1n+1=Hj-1*ζj+1n+1Hj*+Hj-1*ζjn+Hj*ζj+1n+Δt2ΔxUj-1n-Ujn-RjUjn+wj*+Rj-1Uj-1n+wj1*

dimana : wj*=∆t.λ.wjwj Hj*=α.RjHjn

dimana : α=g-Δt24Δx2 Hj*=12αRjζjn+ζj+1n+Dj+Dj+1

2.6 Model Hidrodinamika di Kanal Satu Dimensi dengan Memperhatikan Gesekan Dasar, Stress Angin, Suku Non Linier, dan Penampang Melintang yang Bervariasi Persamaan model yang dipakai adalah persamaan dalam bentuk transport, sbb : I.

Ut+UU/Hx+rUU/H2+gHξx=λW|W|

II. ξx+Ux=0

Sistem persamaan I dan II ini kita transformasikan dalam bentuk persamaan debit (Q), dimana : Q = kecepatan x penampang yang dialiri =uxA = u x H x B; B : lebar kanal Q = UB atau U = Q/B Subtitusikan harga U ini kedalam sistem persamaan I dan II diperoleh : I.

1BQt-2QBHξx+r(BH)2QQ+gHξx=λW|W|

II. ξx+1BQx=0

Perubahan dalam ruang dari leber diabaikan terhadap variasi ruang dari Q dan ξ Persamaan selisih dari sistem persamaan dalam bentuk debit di atas diberikan oleh : I.

Qjn+1-Qjn-QjnHjξj+1n+1-ξj+1n+ξjn+1-ξjn+rΔtBjHj2Qjn+1|Qjn| +gBjHjΔtΔxξj+1n+1-ξjn+1=Bj∆t.λ.wjwj

II.

Atau

ξjn+1-ξjn+ΔtBjΔxQjn+1-Qj-1n+1=0

I.

ξj+1n+1gBjHjΔtΔx-QjnHjQjnHj+Qjn+11+rΔtBjHj2Qjn=

ξjn+1gBjHjΔtΔx-

Qjn+Bj Δtλ WjWj-QjnHjξjn-QjnHjξj+1n II.

ξjn+1+ΔtBjΔxQjn+1-Qj-1n+1=ξjn

Sistem persamaan di atas dapat disederhanakan dalam bentuk: I. II.

αj ξj+1n+1-βj ξjn+1+γj Qjn+1= δj ξjn+1+εjQjn+1-Qj-1n+1=ηj

Sistem persamaaan ini dapat diubah bentuknya sesuai dengan kondisi kanal yang akan dimodelkan. Kasus a. Kedua Ujung Kanal Terbuka Sebagai syarat batas pada kedua ujung yang terbuka diberikan harga ξ. Untuk kondisi kanal seperti itu kita bentuk satu persamaan dalam ξ dengan jalan mensubtitusikan persamaan I kedalam persamaan II. Dengan kata lain kita sunstitusikan harga Qjn+1 dan harga Qj-1n+1 yang diperoleh dari persamaan I kedalam persamaan II. Hasilnya adalah: ξjn+1+εjγjδj-αj 1n+1=ηj

ξj+1n+1+βj.

ξjn+1-εjγj-1δj-1-αj

ξj+1n+1+βj-1.

ξj-

Kasus b. Kedua Ujung Kanal Tertutup Untuk kasus ini kita ubah sistem persamaan I dan II menjadi stu persamaan dalam Q. dengan caramensubtitusikan persamaan II ke dalam persamaan I atau dapat kita lakukan dengan subtitusi harga dan dari persamaan II ke dalam persamaan I. hasilnya adalah: αjηj+1-εj+1Qj+1n+1-Qjn+1-βjηj-εjQjn+1-Qj-1n+1+γjQjn+1=δj

Persamaan-persamaan IIIa dan IIIb dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss atau metoda iteratif yang untuk menghitung ξ dan Q yang hasilnya digunakan untuk menghitung Q (dari persamaan I) dan ξ dari persamaan II.

2.7. Model Hidrodinamika Dua Dimensi dengan Memperhatikan Gesekan Dasar dan Stress Angin Persamaan hidrodinamika dalam bentuk transpor diberikan oleh: I.

Ut+rUU2+V2/ H2+gHξx=λWxW(x)2+W(y)2

II. III.

Vt+rVU2+V2/ H2+gHξx=λWxW(x)2+W(y)2 ξt+Ux+Vy=0

Pemecahan persamaan hidrodinamika diatas dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu metoda eksplisit dan metoda implisit. Penyelesaian dengan metoda eksplisit Persamaan selisih untuk pengerjaan eksplisit diberikan: I.

Uj,kn+12=Uj,kn+12-gΔtΔxH*ξj,k+1nξj,kn+ΔtλWxW(x)2+W(y)2.Rx

Dengan

II.

III.

H*=(ξj,k+1n-ξj,kn+Dj,k+1n+Dj,kn)/2 Rx=1(1+rΔtUj,kn2+V*2/H*2) V*=Vj,kn+Vj,k+1n+Vj-1,kn+Vj-1,k+1n/4 Vj,kn+12=Vj,kn+12-gΔtΔyH*ξj,knξj+1,kn+ΔtλWyW(x)2+W(y)2.Ry Dengan H*=(ξj,kn-ξj+1,kn+Dj,kn+Dj+1,kn)/2 Ry=1(1+rΔtVj,kn2+U*2/H*2) U*=Uj,kn+Uj,k-1n+Vj+1,kn+Vj+1,k-1n/4 ξj,kn+1=ξj,kn-ΔtUj,k+Uj,k-1Δx+Vj-1,k+Vj,kΔxn+1/2

Syarat stabilitas: Δt≤ Δl2 g Hmax ; Δl=minΔx,Δy, Hmax=max⁡(D+ξ)

Bila kasa berupa daratan maka H = D+ξ = 0 Pemecahan persamaan hidrodinamika diatas memerlukan syarat awal dan syarat batas. Syarat Awal : t = 0 ξ=u=v=0 Di sini dianggap pada awal simulasi, laut dianggap diam. Kalu kita mempunyai data pengamatan lapangan baik untuk ξ maupun dibeberapa lokasi di daerah model, maka kita dapat memberikan harga awal dari u, v, ξ diseluruh grid, sebagai interpolasi harga pengamatan lapangan, pemberian syarat awal ξ= u = v = 0 atau harga lain yang tidak mendekati harga sebenarnya, maka pada awal-awal simulasi akan terjadi fluktuasi ξ yang ekstrim terhadap waktu. Pemberian syarat awal u = v = 0

y

Gambar fluktuasi pada awal-awal simulasi

x

Fluktuasi yang ekstrim ini akan hilang setelah berlangsung interaksi nx perioda pasut ( umumnya 2-5x perioda pasut) dan setelah itu keadaan seimbang akan tercapai. Syarat Batas 1. Syarat batas tertutup a. Tidak ada aliran tegak lurus batas: – Bila batas sejajar sumbu x maka v = 0 – Bila batas sejajar sumbu y maka u = 0 b. Tidak ada aliran sejajar batas atau ‘no slip’ – Bila batas sejajar sumbu x maka v = 0 dan u = 0 – Bila batas sejajar sumbu y maka u = 0 dan v = 0 2. Syarat harga terbuka dapat berupa harga pengamatan lapangan atau harga yang diperoleh dari pengamatan numeric. Contoh penspesifikasikan syarat batas terbuka: Laut terbuka : ξ = ξ (t) dari pengamatan pasang surut.

Sisi barat: U1,j=2U2,j-U3,j V1,j=2V2,j-V3,j ξ1,j=2ξ2,j-ξ3,j

Gambar susunan letak titik u, v, dan ξ dengan kasa Richardson adalah seperti gambar berikut:

Kriteria stabilitas untuk model dua dimensi: Δt≤ Δl2 g Hmax ; Δl=minΔx,Δy, Hmax=max⁡(D+ξ)

Definisi darat, pantai : H= D+ξ = 0 2.8. Model Hidrodinamika 2 Dimensi dengan Suku Coriolis dan Suku Gesekan

Eddy dalam Bentuk Transpor I. II.

Ut-fV=(AH Ux)x+(AH Uy)y=AH(Uxx+Uyy) Vt-fU=AH(Vxx+Vyy)

Dimana : AH : suku gesekan eddy horizontal (m²/sec) £ = 2w sin φ ; ω=2πTT = 86.164 sec Φ : lintang setempat Pengerjaan eksplisit dari persamaan diatas memberikan: I. Uj,kn+12=Uj,kn+12+ΔtfV*n-1/2+AHUj+1,k-2Uj,k+Uj-1,kΔx2+Uj,k+12Uj,k+Uj,k-1Δy2n+1/2 II. Vj,kn+12=Vj,kn+12+ΔtfU*n-1/2+AHVj+1,k-2Vj,k+Vj-1,kΔx2+Vj,k+12Vj,k+Vj,k-1Δy2n+1/2

U* dan V* di atas sama dengan U* dan V* pada pembahasan sebelumnya. Bila Δx = Δy, maka persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi: I.

Uj,kn+12=Uj,kn-12+∆tfV*n-12+∆tAH∆x2Uj+1,k-4Uj,k+Uj-1,k+Uj,k+1

II.

Uj,kn+12=Vj,kn-12+∆tfU*n-12+∆tAH∆x2Vj+1,k-4Vj,k+Vj-1,k+Vj,k+1

Karena suku gesekan eddy adanya adalah orde 2 maka kita harus memperhatikan syarat batas tambahan. Bila j = M dan k = N maka diperlukan UM+1, k, Vj, N+1. Syarat batas tersebut adalah : – Sisi terbuka

: turunan normal transpor ∂V∂n=0

– Sisi tertutup

: berbagai kemungkinan, yang bergantung dari syarat ketertutupan.

Untuk suku gesekan eddy berlaku kriteria stabilitas seperti tipe persamaan difusi : ∆x2≥2AH∆t

atau ∆t≤∆x22AH Untuk suku coriolis, kriteria stabilitasnya adalah 1+f2∆t2<1

2. 9 Metoda Arah Berganti Metoda ini adalah pengerjaan semi implisit untuk penyelesaian persamaan hidrodinamika dua dimensi. Metoda ini tidak dibatasi oleh kriteria stabilitas CFL. Pada prinsipnya metoda ini adalah penerapan pengerjaan semi implisit secara silang, dimana setiap kali koordinat lain ditampilkan oleh pengerjaan eksplisit. Pemilihan ∆t yang melebihi 4 – 5 kali ∆t yang diizinkan oleh kriteria stabilitas CFL tidak disarankan. Tinjau persamaan hidrodinamika 2 dimensi dalam bentuk transpor : I. Ut + gHζx = X II. Vt + gHζy = Y III. ζΖt + Ux + Vt = 0 X, Y adalah gaya – gaya lain di dalam persamaan gerak. Bentuk persamaan numerik dari persamaan di atas mengginakan indeks relatif diberikan oleh : 1. Un+1 = Un+ - gH∆t ( ζE – ζW ) n+1 / ∆x + ∆t . Xn 2. Vn+1 = Vn - gH∆t ( ζN – ζS ) n+1 / ∆y + ∆t . Yn 3. ζn+1 = ζn - ∆t ( UE – UW ) n+1 / ∆x - ∆t . ( Vn – VS ) n / ∆y 4. ζn+1 = ζn - ∆t ( UE – UW ) n / ∆x - ∆t. ( VN – VS ) n+1 / ∆y

Disini kita lihat formulasi numeriknya tidak menggunakan perata – rataan terhadap waktu ( n+1 ) dan ( n ) dari suku gradien tekanan dan suku divergensi. Perlu diingat bahwa tidak dilakukannya perata – rataan terhadap waktu dari suku gradien tekanan dan suku divergensi akan berakibat pada peredaman numerik. Penyelesaian persamaan hidrodinamika I – III menggunakan persamaan 1 – 4 dilakukan dengan urutan sebagai berikut : a >. ( 1, 3 ) I ; 2 E ; semi implisit dalam arah zonal b >. ( 2, 4 ) I ; 1 E ; semi implisit dalam arah meridional I : menyatakan pengerjaan secara implisit E : menyatakan pengerjaan secara eksplisit Pengerjaan implisit dapat dilakukan dengan metoda Eliminasi Gauss atau metoda iterasi. 2. 10 Interasi Gauss Seidel dan Konsep Relaksasi Misalkan kita mempumyai 3 persamaan : C11X1 + C12X2 + C13X3 = r1 C21X1 + C22X2 + C23X3 = r2 C31X1 + C32X2 + C33X3 = r3 X1 = ?

X2 = ?

X3 = ?

Persamaan diatas dapat diubah menjadi : x1=r1-c12x2-c13x3c11 x2=r2-c21x1-c23x3c22 x3=r3-c31x1-c32x2c33

Taksiran awal diperlukan untuk harga X1 , X2 , dan X3. Misalkan harga awal dari X1 , X2 , dan X3 diberikan oleh : x10,x20dan x30

Dengan demikian harga X1, X2, dan X3 pada iterasi pertama adalah : x11=r1-c12x20-c13x30c11 x21=r1-c21x10-c23x30c22 x31=r1-c31x10-c32x20c33

Iterasi terus dilakukan sampai suatu konvergensi dari harga X1, X2, dan X3 dicapai. Syarat konvergensi diberikan oleh :

x1(1+1)-x1(1)≤ξ

Dimana ξ adalah suatu harga yang kecil ; misalnya 10-4. Untuk mempercepat konvergensi diperkenalkan suatu metoda interasi lain yang merupakan modifikasi dari metoda Gauss – Seidel dan disebut metoda relaksasi. x1(1+1)=x1(1)+ωx1(1+1)*-x1(1)

0 < ω < 2 yang disebut faktor relaksasi ( parameter relaksasi ). X1 (1+1)* adalah harga X1 (1+1) yang ditentukan dengan metode Gauss-Seidel. Untuk 1 < ω < 2

metode ini disebut over relaxation.

untuk0 < ω < 1

metoda ini disebut under relaxation.

2.11. Model Hidrodinamika 2 Dimensi Semi Implisit (Penyelesaian dengan metode SOR) Persamaan hidrodinamika dalam bentuk transpor diberikan oleh : Ut=gHζx=τbx+X Vt=gHζy=τby+Y ζt+Ux+Vy=0

Persamaan selisih dalam bentuk semi-implisit dari persamaan diatas diberikan oleh : I.

Un+1=RxnUn+∆tXn-gH-n2∆xζrn+1+ζ1n-ζrn-ζ1n

II.

Vn+1 = R y nVn+∆t(Yn-gH-n2∆yζon+1+ζun+1+ζon-ζun)

τbx = rUn+1H2 (Un)2+(V)2 τbx = rVn+1H2 (U)2+(Vn)2 Rxn = 11+r∆tH2 Un2+V*2 Ryn = 11+r∆tH2 U*2+Vn2

Xn, Yn adalah suku lain dalam persamaan gerak. III.

ζn+1-ζn+∆tUrn+1-U1n+1+Urn-Ur12∆x+Von+1-Vun+1+VonVu12∆y=0

Subtitusi harga Urn+1, U1n+1, Von+1 dan Vun+1 dari persamaan ke dalam persamaan III diperoleh persamaan untuk ζn+1 C1ζ1n+1-Coζon+1+1+Cr+C1+Co+Cuζn+1-Crζrn+1-Cuζun+1=Dn C1ζ1n+Coζon+1-Cr+C1+Co+Cuζn-Crζrn-Cuζun+∆tU11+Rx1+∆tRx1X1Ur1+Rxr+∆tRxrXr2∆x+∆tUu1+Ryu+∆tRyuXu-Uo1+Ryo+∆tRyoXo2∆yC1ζ1n+1-Coζon+1+1+Cr+C1+Co+Cuζn+1-Crζrn+1-Cuζun+1=Dn

Koefisien C didefinisikan di titik-titik U dan V kasa Richadson. + ζ o Coo +ζ1oco

oζ

+ζrocr

o cu + ζu Disini I, u, r dan o adalah indeks relative, dimana koefisien system persamaan diberikan oleh : C=g∆t2∆x,y2Rx,ynH-n

Contoh : Cr2=g∆t2∆x2RxrnH-n

Sistem persamaan diatas dapat diselesaikan dengan cara interasi; disini misalnya menggunakan metode Succesive Over Relaxation (SOR) ζn+1=1-wζn+w*D+C1ζ1n+Coζon+Crζrn+1+Cuζun+1

Dimana

w*=w1+Cr+C1+Co+Cu

w adalah parameter relaksasi 0 < w < 2

n = indeks interasi

Hasil intersai memberikan harga ζ diketahui untuk langkah waktu yang baru (n+1). Hasilnya disubstitusikan kedalam persamaan I & II untuk menghitung Un+1 & Vn+1 dan seluruh persamaan gerak dapat diselesaikan.

グフラン

MODEL HIDRODINAMIKA

Oleh : Dr. Dadang K. Mihardja Dr. Safwan Hadi

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 1999