HCL30784.blogspot.com
C¸c bµi to¸n ¸p dông tÝnh liªn tôc, tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè vµ ®Þnh lÝ Largrange. A. KiÕn thøc cÇn nhí. I. TÝnh liªn tôc cña hµm sè 1. §Þnh nghÜa: Cho hµm sè y = f (x) x¸c ®Þnh trªn tËp D vµ x0 ∈ D. Hµm sè f ®−îc gäi lµ liªn tôc t¹i x0 nÕu lim f (x) = f (x0 )
x→x0
Hµm sè f ®−îc gäi lµ liªn tôc trªn D nÕu nã liªn tôc t¹i mäi ®iÓm x0 ∈ D. NhËn xÐt: NÕu hµm sè u = u(x) liªn tôc t¹i x0 vµ hµm sè y = f (u) liªn tôc t¹i u0 = u(x0 ) th× ta cã lim f (u(x)) = f ( lim u(x)) = f (u(x0 )) x→x0
x→x0
2. C¸c ®Þnh lÝ vµ hÖ qu¶. §Þnh lÝ NÕu hµm sè y = f (x) liªn tôc trªn [a, b] th× nã ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt trªn [a, b] vµ nhËn mäi gi¸ trÞ trung gian gi÷a GTNN, GTLN. NghÜa lµ Tån t¹i x1 ∈ [a, b] sao cho f (x1 ) = m = min f (x) [a,b]
Tån t¹i
x2 ∈ [a, b]
sao cho
f (x2 ) = M = max f (x) [a,b]
vµ nÕu λ lµ sè n»m gi÷a m vµ M th× tån t¹i x0 ∈ [a, b] sao cho λ = f (x0 ) HÖ qu¶ NÕu hµm sè y = f (x) liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] vµ f (a)f (b) < 0 th× tån t¹i sè c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0, nghÜa lµ ph−¬ng tr×nh f (x) = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm c ∈ (a, b) II. §Þnh lÝ Largrange §Þnh lÝ (Largrange) NÕu hµm sè y = f (x) liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] vµ cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a, b) th× tån t¹i sè c ∈ (a, b) sao cho f (b) − f (a) f 0 (c) = b−a
3
HCL30784.blogspot.com HÖ qu¶ 1 (§Þnh lÝ Rolle) NÕu hµm sè y = f (x) liªn tôc trªn ®o¹n [a, b], cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a, b) vµ f (a) = f (b) th× tån t¹i sè c ∈ (a, b) sao cho f 0 (c) = 0, hay nãi c¸ch kh¸c ph−¬ng tr×nh f 0 (x) = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc (a, b). HÖ qu¶ 2 Cho hµm sè y = f (x) cã ®¹o hµm trªn [a, b]. Khi ®ã nÕu ph−¬ng tr×nh f 0 (x) = 0 cã duy nhÊt nghiÖm trªn ®o¹n [a, b] th× ph−¬ng tr×nh f (x) = 0 kh«ng thÓ cã qu¸ hai nghiÖm ph©n biÖt trªn [a, b]. Chøng minh: Gi¶ sö ng−îc l¹i, ph−¬ng tr×nh f (x) = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 , x3 ∈ [a, b]. Kh«ng mÊt tæng qu¸t, cã thÓ gi¶ sö x1 < x2 < x3 . Khi ®ã theo ®Þnh lÝ Rolle, ph−¬ng tr×nh f 0 (x) = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm α ∈ (x1 , x2 ) vµ cã Ýt nhÊt mét nghiÖm β ∈ (x2 , x3 ). Ta suy ra ph−¬ng tr×nh f 0 (x) = 0 cã Ýt nhÊt hai nghiÖm ph©n biÖt trªn (a, b), ®iÒu nµy m©u thuÈn víi gi¶ thiÕt.
III. TÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè 1. §Þnh nghÜa Cho hµm sè y = f (x) x¸c ®Þnh trªn tËp K. Hµm sè f ®−îc gäi lµ ®ång biÕn (hay t¨ng) trªn K nÕu ∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) Hµm sè f ®−îc gäi lµ nghÞch biÕn (hay gi¶m) trªn K nÕu ∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) 2. §Þnh lÝ Cho hµm sè y = f (x) cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a, b). a) NÕu f 0 (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b) vµ dÊu ®¼ng thøc chØ x¶y ra t¹i mét sè h÷u h¹n ®iÓm trªn (a, b) th× hµm sè y = f (x) t¨ng trªn (a, b). b) NÕu f 0 (x) < 0 ∀x ∈ (a, b) vµ dÊu ®¼ng thøc chØ x¶y ra t¹i mét sè h÷u h¹n ®iÓm trªn (a, b) th× hµm sè y = f (x) gi¶m trªn (a, b). c) NÕu f 0 (x) = 0 ∀x ∈ (a, b) th× f lµ hµm h»ng trªn (a, b). 3. NhËn xÐt • NÕu hµm sè y = f (x) t¨ng (t.− gi¶m) trªn kho¶ng (a, b) vµ liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] th× hµm sè f còng t¨ng (t.− gi¶m) trªn ®o¹n [a, b] • NÕu hµm sè y = f (x) t¨ng (hoÆc gi¶m) trªn kho¶ng (a, b) th× víi mäi u, v ∈ (a, b) ta cã f (u) > f (v) ⇔ u > v 4
HCL30784.blogspot.com f (u) < f (v) ⇔ u < v f (u) = f (v) ⇔ u = v
B. C¸c vÝ dô minh häa VÝ dô 1 Cho hµm sè y = f (x) lµ hµm liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] sao cho a ≤ f (x) ≤ b, ∀x ∈ [a, b] Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh f (x) = x cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc ®o¹n [a, b]. Bµi gi¶i XÐt hµm sè g(x) = f (x) − x. V× hiÖu cña hai hµm liªn tôc lµ mét hµm liªn tôc nªn g(x) lµ hµm sè liªn tôc trªn ®o¹n [a, b]. Ta cã g(a) = f (a) − a ≥ 0 ⇒ g(a)g(b) ≤ 0 g(b) = f (b) − b ≤ 0 Cã hai kh¶ n¨ng x¶y ra + NÕu g(a)g(b) = 0 th× suy ra
g(a) = 0 ⇒ g(b) = 0
f (a) = a f (b) = b
Nh− vËy trong tr−êng hîp nµy, hoÆc a, hoÆc b lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh f (x) = x. + NÕu g(a)g(b) < 0 th× do g lµ hµm liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] nªn tån t¹i x0 ∈ (a, b) sao cho g(x0 ) = 0, suy ra f (x0 ) = x0 . VËy x0 lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh f (x) = x. VÝ dô 2 Cho f (x) lµ hµm liªn tôc trªn ®o¹n [0, 1] vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn f (0) = f (1). Cho n lµ sè tù nhiªn tïy ý. Chøng minh r»ng tån t¹i x0 ∈ [0, 1] sao cho ta cã hÖ thøc 1 f (x0 ) = f x0 + n Bµi gi¶i XÐt hµm sè g(x) = f x + n1 − f (x). n−1 Khi ®ã g(x) lµ hµm x¸c ®Þnh vµ liªn tôc trªn ®o¹n [0; ]. n Ta cã g(0) = f n1 − f (0) 1 2 g = f − 1 n n n g n2 = f n3 − n2 ... g n−1 = f (1) − f n−1 n
5
n
HCL30784.blogspot.com Céng vÕ theo vÕ n ®¼ng thøc trªn ta cã g(0) + g
1 n
+g
2 n
+ ... + g
n − 1 n
= f (1) − f (0) = 0.
Tõ ®ã suy ra tån t¹i i, j ∈ {0, 1, 2, ..., n − 1} sao cho g
i n
≥0
vµ
g
j n
≤0
Kh«ng mÊt tæng qu¸t, gi¶ sö i < j, khi ®ã theo tÝnh chÊt liªn tôc cña hµm sè g(x), tån hi ji t¹i x0 ∈ ; ⊂ [0, 1] sao cho n n 1 1 g(x0 ) = 0 ⇒ f x0 + − f (x0 ) = 0 ⇒ f x0 + = f (x0 ). n n VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. VÝ dô 3 Cho f (x) vµ g(x) lµ c¸c hµm sè liªn tôc trªn [a, b], tháa m·n ®iÒu kiÖn 0 < f (x) < g(x), ∀x ∈ [a, b]. Chøng minh r»ng tån t¹i sè λ > 0 sao cho (1 + λ)g(x) < f (x), ∀x ∈ [a, b] Bµi gi¶i XÐt hµm sè h(x) =
f (x) trªn ®o¹n [a, b] g(x)
Theo gi¶ thiÕt ta suy ra h(x) lµ hµm sè liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] vµ h(x) > 1, ∀x ∈ [a, b]. Do h(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] nªn nã ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt trªn [a, b], tøc lµ tån t¹i x0 ∈ [a, b] sao cho h(x0 ) = µ = min h(x) [a,b]
V× h(x) > 1, ∀x ∈ [a, b] nªn ta cã µ = h(x0 ) > 1. Suy ra cã sè λ > 0 sao cho µ = 1 + 2λ. V× µ lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè h(x) trªn ®o¹n [a, b] nªn ta cã h(x) ≥ µ, ∀x ∈ [a, b] ⇒ h(x) ≥ 1 + 2λ > 1 + λ, ∀x ∈ [a, b] ⇒
f (x) > 1 + λ, ∀x ∈ [a, b] g(x)
⇒ f (x) > (1 + λ)g(x), ∀x ∈ [a, b] VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. 6
HCL30784.blogspot.com VÝ dô 4 Cho ®a thøc P (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 ,
(an 6= 0)
Gi¶ sö P (x0 ) ≥ 0 vµ P (i) (x0 ) ≥ 0, ∀i = 1, 2, ..., n. Gäi α lµ mét nghiÖm tïy ý cña ph−¬ng tr×nh P (x) = 0. Chøng minh r»ng α ≤ x0 . ¸p dông chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh x5 − 5x4 + 15x3 − x2 + 3x − 7 = 0 cã nghiÖm duy nhÊt. Bµi gi¶i Ta cã: P (n) (x) = an n! víi mäi x ∈ R. Theo gi¶ thiÕt P (n) (x0 ) ≥ 0 nªn suy ra P (n) (x) = an n! > 0, ∀x ∈ R. ⇒ P (n−1) (x) lµ hµm ®ång biÕn trªn [x0 , +∞) ⇒ P (n−1) (x) > P (n−1) (x0 ) ≥ 0, ∀x > x0 ⇒ P (n−2) (x) lµ hµm ®ång biÕn trªn [x0 , +∞) ⇒ P (n−2) (x) > P (n−2) (x0 ) ≥ 0, ∀x > x0 ...... LËp luËn t−¬ng tù, ta ®i ®Õn P (x) lµ hµm ®ång biÕn trªn [x0 , +∞) Suy ra P (x) > P (x0 ) ≥ 0, ∀x > x0
(*)
Tõ (*) suy ra víi mäi x > x0 ®Òu kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh P (x) = 0, suy ra α ≤ x0 . VËy ta cã ®pcm. ¸p dông: §Æt P (x) = x5 − 5x4 + 15x3 − x2 + 3x − 7 Ta cã P 0 (x) = 5x4 − 20x3 + 45x2 − 2x + 3 P 00 (x) = 20x3 − 60x2 + 90x − 2 P 000 (x) = 60x2 − 120x + 90 P (4) (x) = 120x − 120 P (5) (x) = 120 Ta cã P (1), P 0 (1), P 00 (1), P 000 (1), P (4) (1), P (5) (1) ®Òu lín h¬n hoÆc b»ng 0, vËy theo chøng minh trªn ta suy ra mäi x > 1 ®Òu kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh P (x) = 0. 7
HCL30784.blogspot.com MÆt kh¸c nhËn xÐt r»ng, ®a thøc P (x) cã c¸c hÖ sè bËc ch½n ©m, c¸c hÖ sè bËc lÏ d−¬ng nªn nÕu x < 0 th× P (x) < 0, vËy mäi x < 0 còng kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh P (x) = 0. Ta chØ cßn ph¶i xÐt tr−êng hîp 0 ≤ x ≤ 1 Ta cã P (x) liªn tôc trªn ®o¹n [0, 1] vµ P (0) = −7 < 0, P (1) = 6 > 0 nªn ph−¬ng tr×nh P (x) = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm α ∈ (0, 1). MÆt kh¸c v× P 0 (x) = 5x4 + 20(x2 − x3 ) + 25x2 + 2(1 − x) + 1 > 0, ∀x ∈ [0, 1], nªn P (x) lµ hµm ®ång biÕn trªn [0, 1]. Suy ra α lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph−¬ng tr×nh P (x) = 0. VÝ dô 5 Cho f (x) liªn tôc trªn [0, 1], cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (0, 1) sao cho f (0) = f (1) = 0 Chøng minh r»ng tån t¹i c ∈ (0, 1) sao cho f 0 (c) = f (c). Bµi gi¶i XÐt hµm sè g(x) = f (x)e−x trªn ®o¹n [0, 1]. Ta cã g 0 (x) = f 0 (x)e−x − f (x)e−x = f 0 (x) − f (x) e−x , ∀x ∈ [0, 1] Theo gi¶ thiÕt f (0) = f (1) = 0 nªn ta còng cã g(0) = g(1) = 0. V× vËy theo ®Þnh lÝ Rolle, tån t¹i sè c ∈ (0, 1) sao cho g 0 (c) = 0 Suy ra f 0 (c) − f (c) e−c = 0 ⇔ f 0 (c) = f (c) VËy ta cã ®pcm. VÝ dô 6 Cho m lµ sè nguyªn d−¬ng cßn a, b, c lµ ba sè thùc sao cho a b c + + =0 m+2 m+1 m Chøng minh r»ng khi ®ã ph−¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm trong kho¶ng (0, 1). Bµi gi¶i XÐt hµm sè f (x) =
a b c xm+2 + xm+1 + xm m+2 m+1 m
Ta cã 0
f (x) = ax
m+1
m
+ bx + cx
8
m−1
=x
m−1
2
ax + bx + c
HCL30784.blogspot.com Theo gi¶ thiÕt ta cã
f (0) = 0 a f (1) = m+2 +
b m+1
+
c m
=0
⇒ f (0) = f (1) = 0
¸p dông ®Þnh lÝ Rolle, tån t¹i α ∈ (0, 1) sao cho f 0 (α) = 0, hay αm−1 aα2 + bα + c = 0 ⇔ aα2 + bα + c = 0, (v×
α > 0)
Suy ra ph−¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm α ∈ (0, 1). §ã lµ ®pcm. VÝ dô 7 Cho 0 < x < 1; 0 < y < 1; x 6= y. Chøng minh r»ng y x 1 ln − ln >4 y−x 1−y 1−x Bµi gi¶i V× x 6= y nªn kh«ng mÊt tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö y > x. Khi ®ã bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t−¬ng ®−¬ng víi ln XÐt hµm sè f (t) = ln Ta cã
y x − 4y > ln − 4x 1−y 1−x
t − 4t víi t ∈ (0, 1) 1−t f 0 (t) =
(2t − 1)2 ≥ 0, ∀t ∈ (0, 1) t(1 − t)
Suy ra f (t) lµ hµm ®ång biÕn trªn (0, 1). Do 0 < x < y < 1 nªn ta cã f (y) > f (x) ln
y x − 4y > ln − 4x 1−y 1−x
VËy (*) ®óng, suy ra ®pcm. VÝ dô 8 Cho x > 0 vµ x 6= 1. Chøng minh r»ng ln x 1 <√ x−1 x Bµi gi¶i
9
(*)
HCL30784.blogspot.com XÐt hai tr−¬ng hîp sau + NÕu x > 1, khi ®ã bÊt ®¼ng thøc ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi x−1 ln x − √ < 0 x XÐt hµm sè
Ta cã
t−1 f (t) = ln t − √ t √
1 f 0 (t) = − t
t− t
t−1 √ 2 t
víi
(1)
t ∈ [1, +∞)
√ 1 t+1 ( t − 1)2 √ = − √ =− < 0, ∀x ∈ (1, +∞) t 2t t 2t t
Suy ra f (t) lµ hµm nghÞch biÕn trªn [1, ∞). V× x > 1 nªn suy ra f (x) < f (1) = 0, vËy (1) ®óng. + NÕu 0 < x < 1 th×
1 > 1 nªn ¸p dông tr−êng hîp võa chøng minh ta cã x 1 f ( ) < f (1) = 0 x ⇔ ln
1 −1 1 1−x − xq < 0 ⇔ − ln x − √ < 0 x x 1 x
x−1 ln x 1 ⇔ ln x > √ ⇔ <√ x−1 x x VËy ta cã ®pcm. VÝ dô 9 Cho 0 < a < b. Chøng minh r»ng b b−a b−a < ln < b a a Bµi gi¶i BÊt ®¼ng thøc cµn chøng minh t−¬ng ®−¬ng víi 1 ln b − ln a 1 < < b b−a a
(1)
XÐt hµm sè f (x) = ln x trªn ®o¹n [a, b]. V× hµm f tháa m·n ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lÝ Largrange trªn [a, b] nªn tån t¹i sè c ∈ (a, b) sao cho f 0 (c) =
f (b) − f (a) b−a
1 ln b − ln a = c b−a V× a < c < b nªn tõ (1) vµ (2) ta suy ra ®pcm. ⇔
10
(2)
HCL30784.blogspot.com
C. Bµi tËp tù rÌn luyÖn. Bµi 1 Cho f (x) lµ hµm sè liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] vµ α, β lµ hai sè thùc d−¬ng. Chøng minh r»ng tån t¹i c ∈ [a, b] sao cho αf (a) + βf (b) = (α + β)f (c) Bµi 2 Cho hai hµm sè f (x), g(x) liªn tôc trªn [0; 1] vµ tháa m·n f (0) = g(1) = 0 f (1) = g(0) = 1 Chøng minh r»ng víi mäi λ > 0, tån t¹i x0 ∈ [0, 1] sao cho f (x0 ) = λg(x0 ) Bµi 3 Cho f (x) lµ hµm liªn tôc trªn ®o¹n [a, b]. Chøng minh r»ng víi mäi x1 , x2 , ..., xn thuéc kho¶ng (a, b), tån t¹i sè c ∈ (a, b) sao cho n
1X f (c) = f (xi ) n i=1 Bµi 4 Chøng minh r»ng nÕu hµm sè y = f (x) x¸c ®Þnh trªn R vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn |f (x) − f (y)| ≤ (x − y)2 , ∀x 6= y ∈ R th× f (x) lµ h»ng sè trªn R. Bµi 5 Cho hµm sè f (x) x¸c ®Þnh trªn R vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn f (x + y) = f (x) + f (y) + 2xy, ∀x, y ∈ R vµ cã ®¹o hµm khi x = 0. Chøng minh r»ng f (x) cã ®¹o hµm trªn R. Bµi 6 Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d−¬ng n, ®a thøc 1 + x + x2 + ... + xn kh«ng ph¶i lµ b×nh ph−¬ng cña mét ®a thøc kh¸c. Bµi 7 Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc a, b, c th× ph−¬ng tr×nh a cos 3x + b cos 2x + c cos x + sinx = 0 lu«n cã nghiÖm trong kho¶ng (0, 2π). 11
HCL30784.blogspot.com Bµi 8 Cho f (x) lµ hµm sè liªn tôc vµ cã ®¹o hµm trªn ®o¹n [0, 1]. Gi¶ sö f (0) = 0 vµ f (1) = 1. Chøng minh r»ng tån t¹i hai sè α, β : 0 < α < β < 1 sao cho f 0 (α)f 0 (β) = 1 Bµi 9 Cho sè thùc α > 0. Chøng minh r»ng a) eα > α + 1 b) α > ln(α + 1) π . Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: 2 α a) sin α > α − 6 2α b) sin α > π
Bµi 10 Cho 0 < α <
c) α sin α + cos α > 1 d) 2sin α + 2tan α > 2α+1 e) sin 2α <
2 3α − α3
α3 2 π Bµi 11 Cho 0 < β < α < . Chøng minh r»ng 2 f) tan α − sin α >
α−β α−β < tan α − tan β < 2 cos β cos2 α Bµi 12 Cho t > 0. Chøng minh r»ng 1+
1 t+1 1 t > 1+ t+1 t
Bµi 13 Cho x > y > 0. Chøng minh r»ng x+y x−y > 2 ln x − ln y Bµi 14 Chøng minh r»ng víi mäi x > 0 ta cã 1 √ 2 ln 1 + 1 + x < + ln x x 12
HCL30784.blogspot.com Bµi 15 Chøng minh r»ng víi mäi α ta cã √ √ √ √ √ 17 ≤ cos2 α + 4 cos α + 6 + cos2 α − 2 cos α + 3 ≤ 2 + 11 Bµi 16 Cho 0 < x < 1; 0 < y < 1 vµ x + y = 1. Chøng minh r»ng √ xx + y y ≥ 2 Bµi 17 Cho hµm sè y = f (x) cã ®¹o hµm trªn R vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn f 0 (x) = f (x), ∀x ∈ R Chøng minh r»ng tån t¹i sè C ∈ R sao cho f (x) = Cex , ∀x ∈ R Bµi 18 Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh sin
π π π − cos = 0 x x x
cã v« sè nghiÖm trªn (0, 1). Bµi 19 Cho hµm sè y = f (x) liªn tôc trªn ®o¹n [0, 1], cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (0, 1) vµ tháa m·n f (0) = f (1). Chøng minh r»ng tån t¹i c ∈ (0, 1) sao cho 1 f (0) − f (c) = cf 0 (c) 2
13