Guide

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ 1η Ομαδική Συμβουλευτική Συνάντηση Σχεδίαση Λογικών Κυκλωμάτων Για τη σχεδίαση κυκλωμάτων ακολουθούνται 3 βήματα: 1. Από την εκφώνηση του προβλήματος δημιουργούμε τον πίνακα αλήθειας. 2. Από τον πίνακα αλήθειας παράγουμε την λογική έκφραση ή τις λογικές εκφράσεις του κυκλώματος (μας ενδιαφέρουν μόνο οι γραμμές του πίνακα που έχουν ως έξοδο μονάδα). 3. Με βάση την έκφραση που έχει παραχθεί σχεδιάζουμε το κύκλωμα χρησιμοποιώντας απλές πύλες ή κυκλώματα που έχουμε ήδη σχεδιάσει. Σε περίπτωση που οι εκφράσεις εξόδου είναι περισσότερες από μία τότε για καθεμία από αυτές ακολουθούμε την ίδια διαδικασία σχεδίασης και τα κυκλώματα που παράγονται τα συνδέουμε μεταξύ τους θεωρώντας τις ίδιες γραμμές εισόδου των δεδομένων. (Στην πραγματικότητα μεταξύ του 2 και του 3 παρεμβάλλεται ένα ακόμα βήμα (της απλοποίησης της λογικής έκφρασης) το οποίο, όμως, είναι αντικείμενο άλλης Θεματικής Ενότητας. Μετατροπές Αριθμητικών Συστημάτων  Μετατροπή από το Δεκαδικό σε κάποιο από τα υπόλοιπα αριθμητικά συστήματα Έστω ότι δίνεται ένας αριθμός με ακέραιο και κλασματικό μέρος. Χωρίζω το ακέραιο από το κλασματικό μέρος (που τώρα γράφετε στη μορφή 0.xxx…). Το ακέραιο μέρος του αριθμού διαιρείται συνεχώς με τη βάση του συστήματος στο οποίο θέλουμε να τον μετατρέψουμε. Η διαίρεση σταματάει όταν το πηλίκο γίνει 0. Ο νέος αριθμός προκύπτει παίρνοντας ανάποδα όλα τα υπόλοιπα των διαιρέσεων. Στη συνέχεια μετατρέπω το κλασματικό μέρος. Ο αριθμός (0.xxx…) πολλαπλασιάζεται συνεχώς με τη βάση του συστήματος στο οποίο θέλουμε να τον μετατρέψουμε. Αν κατά τον πολλαπλασιασμό παραχθεί ακέραιο μέρος διάφορο του μηδενός τότε αυτό διαχωρίζεται πάλι από το κλασματικό μέρος (με βάση την παραπάνω λογική) και η διαδικασία επαναλαμβάνεται. Ο πολλαπλασιασμός σταματάει όταν φτάσουμε το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων που θέλουμε. Ο κλασματικός αριθμός στο νέο σύστημα σχηματίζεται παίρνοντας όλα τα ακέραια μέρη όλων των πολλαπλασιασμών που κάναμε και του αρχικού αριθμού (αυτό είναι πάντα 0) μαζί με την υποδιαστολή του με φορά από τον πρώτο προς τον τελευταίο (Άρα το 0. παράγεται από τον αρχικό κλασματικό αριθμό). Το ακέραιο και το δεκαδικό μέρος προσθέτονται και παράγουν τον τελικό αριθμό στο νέο σύστημα. Αν δεν υπάρχει κλασματικό μέρος η διαδικασία απλοποιείται. Σημείωση: (μετατροπή από ένα σύστημα σε κάποιο άλλο) Γενικά για τη μετατροπή ενός αριθμού από ένα αριθμητικό σύστημα σε κάποιο από τα υπόλοιπα ακολουθούμε την ίδια διαδικασία που περιγράψαμε παραπάνω με τη διαφορά ότι ο αριθμός βάσης του συστήματος στο οποίο θέλουμε να μετατρέψουμε τον δοθέντα αριθμό γράφεται στο ίδιο σύστημα με αυτόν. Για παράδειγμα για να μετατρέψω ένα αριθμό του οκταδικού συστήματος σε δεκαδικό διαιρώ ή πολλαπλασιάζω (ακέραιο και κλασματικό μέρος αντίστοιχα) με το 12 που είναι η

βάση του δεκαδικού συστήματος (10) εκφρασμένη στο οκταδικό σύστημα. Η διαδικασία είναι γενική για όλα τα συστήματα. Εδώ διαχωρίζεται και περιγράφεται ξεχωριστά το δεκαδικό σύστημα μια και είναι το σύστημα που χρησιμοποιούμε και κατά συνέπεια είμαστε εξοικειωμένοι μαζί του. Έτσι η διαδικασία γίνεται πιο εύκολα κατανοητή. Με την ίδια λογική στη συνέχεια παρουσιάζονται τρόποι για τις μετατροπές σε συγκεκριμένα συστήματα τα οποία μας ενδιαφέρουν στο χώρο της πληροφορικής.  Μετατροπή από κάποιο σύστημα στο Δεκαδικό Πολλαπλασιάζω κάθε ψηφίο του αριθμού που δίνεται (σε κάποιο σύστημα) με τη βάση του ίδιου του συστήματος υψωμένη σε δύναμη που προσδιορίζεται από τη θέση του ψηφίου στον αριθμό. Αν ο αριθμός έχει μόνο ακέραιο μέρος ξεκινώ από το τελευταίο ψηφίο του (μονάδες) το οποίο βρίσκεται στη θέση 0 και συνεχίζω προς την αρχή του (κινούμε αριστερά) αυξάνοντας συνεχώς τον αριθμό της θέσης κατά ένα. Αν ο αριθμός έχει και κλασματικό μέρος τότε για το μέρος αυτό κινούμε δεξιά θεωρώντας ότι το πρώτο κλασματικό ψηφίο βρίσκεται στη θέση –1 και σε κάθε βήμα μειώνω κατά ένα τον αριθμό της θέσης. Άρα, ουσιαστικά, στο κλασματικό μέρος κάνω διαιρέσεις αφού για παράδειγμα στο δεκαδικό σύστημα το 10-1 = 1/10, το 10-2 = 1/100 κ.ο.κ., και στο δυαδικό σύστημα το 2-1=1/2, 2-2=1/4, κ.ο.κ.  Μετατροπή από το Οκταδικό στο Δεκαδικό μέσω του Δυαδικού συστήματος Κάθε ψηφίο του οκταδικού αριθμού μετατρέπεται αυτόνομα στο δυαδικό σύστημα (χρησιμοποιώντας 3 δυαδικά). Στη συνέχεια ο δυαδικός αριθμός που προκύπτει από την παράταξη των παραγομένων τριάδων (με την ίδια σειρά που εμφανίζονται και στον αρχικό αριθμό) μετατρέπεται σε δεκαδικό (με την κλασική διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω).  Μετατροπή από το Δεκαδικό στο Οκταδικό μέσω του Δυαδικού συστήματος Ο δεκαδικός αριθμός μετατρέπεται σε δυαδικό (ακολουθώντας την κλασική διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω). Ο δυαδικός αριθμός που προκύπτει χωρίζεται σε τριάδες ψηφίων ξεκινώντας από το τελευταίο ψηφίο του (λιγότερο σημαντικό ψηφίο). Στη συνέχεια κάθε τριάδα μετατρέπετε και πάλι στο δεκαδικό σύστημα. Ο αριθμός που προκύπτει από την παράταξη των νέων ψηφίων (με την ίδια σειρά που εμφανίζονται και στο δυαδικό αριθμό) είναι ο οκταδικός αριθμός που θέλουμε.  Μετατροπή από το Δεκαεξαδικό στο Δεκαδικό μέσω του Δυαδικού συστήματος Κάθε ψηφίο του δεκαεξαδικού αριθμού μετατρέπεται αυτόνομα στο δυαδικό σύστημα (χρησιμοποιώντας 4 δυαδικά ψηφία). Στη συνέχεια ο δυαδικός αριθμός που προκύπτει από την παράταξη των παραγομένων τετράδων (με την ίδια σειρά που εμφανίζονται και στον αρχικό αριθμό) μετατρέπεται σε δεκαδικό (με την κλασική διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω).  Μετατροπή από το Δεκαδικό στο Δεκαεξαδικό μέσω του Δυαδικού συστήματος Ο δεκαδικός αριθμός μετατρέπεται σε δυαδικό (ακολουθώντας την κλασική διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω). Ο δυαδικός αριθμός που προκύπτει χωρίζεται σε τετράδες ψηφίων ξεκινώντας από το τελευταίο ψηφίο του (λιγότερο σημαντικό ψηφίο). Στη συνέχεια κάθε τετράδα μετατρέπετε και πάλι στο δεκαδικό

σύστημα. Ο αριθμός που προκύπτει από την παράταξη των νέων ψηφίων (με την ίδια σειρά που εμφανίζονται και στο δυαδικό) είναι ο δεκαεξαδικού αριθμός που θέλουμε. Πράξεις στα Διάφορα Αριθμητικά Συστήματα Η πρόσθεση ανεξάρτητα από το αριθμητικό σύστημα γίνεται θεωρώντας το κάθε ζεύγος (μονοψήφιων) αριθμών που προστίθεται ως δεκαδικό αλλά το αποτέλεσμα της πράξης γράφεται πάντα στο σύστημα στο οποίο γίνεται η πράξη (με τη λογική του αποτελέσματος και του κρατουμένου που ισχύει και στο δεκαδικό σύστημα). Το ίδιο ισχύει και για της υπόλοιπες πράξεις που όμως δεν μας ενδιαφέρουν άμεσα μια και οι αριθμητικές πράξεις στον υπολογιστή υλοποιούνται με την πράξη της πρόσθεσης και γι’ αυτό επικεντρωνόμαστε σε αυτή., Συμπληρώματα Χρησιμοποιούνται για να εκφράσουμε και αρνητικούς αριθμούς έτσι ώστε να μπορούμε να μετατρέψουμε τις αφαιρέσεις που πρέπει να κάνει ο υπολογιστής σε προσθέσεις. Θεωρούμε ότι οι αριθμοί είναι προσημασμένοι. Έτσι το εύρος των αριθμών (με συγκεκριμένα ψηφία) χωρίζεται στη μέση και παριστάνει θετικούς και αρνητικούς αριθμούς. Εδώ πρέπει να θυμόμαστε ότι ο αριθμός των ψηφίων με τα οποία θα αναπαραστήσουμε τους αριθμούς είναι σημαντικός και παίζει ρόλο στην αναπαράσταση (στα παρακάτω συμβολίζεται ως n). 1. Το συμπλήρωμα ενός αριθμού ως προς τη (βάση–1) ενός συστήματος υπολογίζεται αν τον αφαιρέσουμε από τον μεγαλύτερο αριθμό του συστήματος με το ίδιο πλήθος ψηφίων. 2. Το συμπλήρωμα ενός αριθμού ως προς τη βάση ενός συστήματος υπολογίζεται αν στο συμπλήρωμα του αριθμού ως προς τη (βάση–1) προσθέσουμε τη μονάδα (+1).  Υπολογισμών Συμπληρωμάτων στο Δυαδικό Σύστημα (πρακτικοί τρόποι) 1. Συμπλήρωμα ως προς ένα (1): Τα μηδέν (0) του αρχικού αριθμού γίνονται ένα (1) και τα ένα (1) γίνονται μηδέν (0). 2. Συμπλήρωμα ως προς δύο (2): α) Βρίσκω το συμπλήρωμα ως προς ένα (1) και προσθέτω τη μονάδα (1), ή β) ξεκινώ από το λιγότερο σημαντικό ψηφίο του αριθμού και ξαναγράφω όλα τα ψηφία του μέχρι και την πρώτη μονάδα. Για τα υπόλοιπα ψηφία τα μηδέν (0) του αρχικού αριθμού γίνονται ένα (1) και τα ένα (1) γίνονται μηδέν (0).  Συμπλήρωμα ως προς δύο (2) Όταν δίνεται ένας δυαδικός αριθμός σε μορφή συμπληρώματος ως προς 2 τότε για να βρούμε τον αντίστοιχο δεκαδικό του ακολουθούμε την κλασική διαδικασία με που περιγράφηκε παραπάνω με τη διαφορά ότι το πρώτο (πιο σημαντικό) ψηφίο του το πολλαπλασιάζουμε με το –(2n-1) και όχι με το 2n-1 που πολλαπλασιάζουμε κανονικά. Ο αριθμός που προκύπτει είναι προσημασμένος (θετικός ή αρνητικός).  Συμπλήρωμα ως προς ένα (1) Όταν δίνεται ένας δυαδικός αριθμός σε μορφή συμπληρώματος ως προς 1 τότε για να βρούμε τον αντίστοιχο δεκαδικό του ακολουθούμε την κλασική διαδικασία με που

περιγράφηκε παραπάνω με τη διαφορά ότι το πρώτο (πιο σημαντικό) ψηφίο του το πολλαπλασιάζουμε με το –(2n-1)+1 και όχι με το 2n-1 που πολλαπλασιάζουμε κανονικά. Ο αριθμός που προκύπτει είναι προσημασμένος (θετικός ή αρνητικός) Προσθέσεις με Συμπληρώματα (μια αφαίρεση που γίνεται πρόσθεση)  Συμπλήρωμα ως προς δύο (2) Εκτελούμε κανονικά την πρόσθεση. Αν προκύψει κρατούμενο στην τελευταία βαθμίδα άθροισης τότε αυτό αγνοείται αφού δεν υπάρχουν θέσεις να αποθηκευτεί. Σε αυτή την περίπτωση αν έχουμε να προσθέσουμε 2 ετερόσημους ή να αφαιρέσουμε 2 ομόσημους αριθμούς δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα. Αν όμως πρέπει να προσθέσουμε 2 ομόσημους ή να αφαιρέσουμε 2 ετερόσημους τότε το κρατούμενο μπαίνει στη θέση n-1 δημιουργώντας λάθος.  Συμπλήρωμα ως προς ένα (1) Εκτελούμε κανονικά την πρόσθεση. Αν προκύψει κρατούμενο στην τελευταία βαθμίδα άθροισης τότε πρέπει να γίνει διόρθωση του αποτελέσματος. Έτσι το κρατούμενο δεν χάνεται αλλά προστίθεται στο τελευταίο ψηφίο του αριθμού. Αν δεν υπάρχει κρατούμενο δεν χρειάζεται διορθωτική παρέμβαση και το αποτέλεσμα είναι σωστό.