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ECUACIONES DIFERENCIALES MIREYA GARCÍA GUÍA Nª 1. TEMA: Introducción a las Ecuaciones Diferenciales CONTENIDO: • Definición de Ecuación Diferencial • Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales • Problemas de valores iniciales • Campos de Pendientes OBJETIVOS: • Interiorizar el concepto de ecuación diferencial • Identificar tipos y familia de soluciones • Comprender el significado de un campo de pendientes de una ecuación diferencial. INTRODUCCIÓN: La palabra ecuación nos hace referencia a una expresión algebraica con incógnitas el cuál el objetivo principal es determinar su valor, pero ahora ecuación acompañada de diferencial nos hace pensar en la solución de cierto tipo de ecuación que contiene derivadas, ya sea que contenga la primera derivada, la segunda, la tercera, ó por qué no la n-ésima derivada, ejemplo y” + 2y’ + y = 0 Cuya incógnita es una función y = g(x), donde el problema equivale, más o menos al conocido problema del cálculo diferencial, dada una derivada determinar la antiderivada. Además no olvidemos que en nuestro cálculo diferencial la derivada de una función es la pendiente de una recta tangente que toca a un punto de la curva y que algunas aplicaciones de la derivada corresponde por ejemplo a velocidad, aceleración, rapidez, razón de Cambio etc. DEFINICIÓN: Una ecuación que contiene las derivadas de una ó más variables dependientes con respecto a una ó más variables independientes es una Ecuación diferencial. Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo a su tipo, orden y linealidad. CLASIFICACIÓN (Según tipo) •

Ecuación Diferencial Ordinaria: Son aquellas que sólo contiene derivadas ordinarias de una ó más variables dependientes (y) con respecto a una sola variable independiente (x,t)

dy dx dy d 2 y dy + 5y = ex ; + = 2x + y ; − + 6 y = 0 dx dt dt dx 2 dx Ecuación Diferencial en derivadas parciales: Son aquellas que contienen derivadas parciales de una ó más variables dependientes respecto a dos ó más variables independientes. d 2u d 2 y d 2u d 2u du du = − dv + = 0 Ejemplo. ; 2 = 2 +2 ; 2 2 dx dx dy dt dy dx dt Ejemplo.

•

Notación Leibniz dy d 2 y d 3 y dny , 2 , 3 ,, n ds dx dx dx

Notación Prima y ' , y ' ' , y ' ' , , y ( n )

Notación Newton ds  d 2 s  = s, 2 = s dt dt

CLASIFICACIÓN (Según el orden) El orden de una ecuación diferencial (ordinaria ó en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. 3 d2y  dy  + 3  − 4 y = e x 2 Ejemplo. esta es una ecuación diferencial ordinaria de dx dx       Segundo orden

Primer orden

segundo orden. NOTA: Algunas veces las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden se escriben en la forma diferencial M ( x, y )dy + N ( x, y )dx = 0 ; donde M ( x, y ), N ( x, y ) son funciones que dependen de x, y. Ejemplo. ( y − x)dx + 4 xdy = 0 ⇒

( y − x )dx 4 xdy + = 0 ⇒ y − x + 4 xy ' = 0 ⇒ 4 xy '+ y = x dx dx

CLASIFICACIÓN (Según la Linealidad) Una ecuación diferencial de la forma F (x, y, y’, y”, . . . ,y(n)) = 0 es lineal si F es lineal en y, y’, y”, . . . ,y(n-1), esto quiere decir que una ecuación diferencial ordinaria de orden es lineal cuando la ecuación F (x, y, y’, y”, . . . ,y(n)) = 0 es dny d n −1 y dy a n n + a n −1 ( x) n −1 + .. . . . + a r ( x) + a 0 ( x) y = g ( x ) dx dx dx En está última ecuación, vemos las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales: 1. Las variables dependientes y y todas sus derivadas son de primer grado.

2. Cada coeficiente sólo depende de x, que es la variable independiente. Las ecuaciones diferenciales ordinarias, no lineal simplemente son aquellas que no es lineal, por ejemplo tér min o no lineal

(3 − y ) y +    '

 4y

= ex

Qué significa que la siguiente función sea solución de la ecuación diferencial correspondiente en el intervalo ( − ∞, ∞ ) dy = xy 1 / 2 dx

Si

⇒

y=

1 4 x 16

es solución ?

1 4 x es solución significa que al derivar a ambos lados la solución con 16 respecto a x obtenemos la ecuación diferencial. Si y =

Entonces derivando obtenemos 1 4 dy 1 x3 dy 3 x = (4 x ) = pero como = xy 1 / 2 entonces reemplazando a y por y = 16 dx 16 4 dx 1/ 2

dy x2 x3 1  Tenemos, = x x 4  = x= dx 4 4  16  solución a la ecuación diferencial dada.

⇒

dy x 3 = dx 4

por tanto y =

1 4 x es 16

Entonces podemos establecer la siguiente definición: Definición: Una función f cualquiera, definida en algún intervalo I*, es solución de una ecuación diferencial en el intervalo, si sustituida en dicha ecuación la reduce a una identidad. En otras palabras, una solución de una ecuación diferencial de la forma F (x, y, y’, y”, . . . ,y(n)) = 0 es una función y = f (x) que tiene por lo menos n derivadas y satisface la ecuación. Solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria Una ecuación diferencial ordinaria de orden n conduce en forma natural a una familia n-paramétrica de soluciones, pero cabe anotar que no siempre es posible determinar la familia nparamétricas de soluciones para toda ecuación diferencial de orden n. Además se tienen dos tipos de soluciones 1. Solución Explícita: Es una solución en que la variable dependiente se expresa tan sólo en términos de la variable independiente y una constante.

2. Solución Implícita: Se dice que una relación G(x,y) = 0 es una relación implícita de una ecuación diferencial ordinaria, siempre que exista al menos una función h que satisfaga tanto la relación como la ecuación diferencial en I. 1 4 dy x es solución explícita de = xy1/ 2 donde la solución sólo 16 dx 1 depende de la variable x y la constante que para este caso son x4 y 16 respectivamente. Por ejemplo

y=

Otro ejemplo; dada la relación x2 + y2 = 25 es una solución implícita de la dy x = − ecuación diferencial en el intervalo -5<x < 5 ya que, dx y Derivando implícitamente a ambos lados se tiene: 2 x + 2 yy ' = 0 ó reescrito como 2 x + 2 y dy x =− dx y decir

x2 +

dy = 0 ⇒ dx

2y

dy = − 2 x despejando dx

Pero la solución x2 + y2 = 25 esta dada como

y1 = h1 ( x) =

25 − x 2

y 2 = h2 ( x) = − 25 − x

2

y = ± 25 − x 2

es

esto significa que x2 + h12 = 25 y

= 25 son soluciones explícitas definidas en el intervalo dado.

Durante esta primera parte del curso se trabajaran con las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, estudiaremos como determinar su solución y además el campo de pendientes, posteriormente se trabajaran con las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior. Dada una ecuación diferencial de primer orden de la forma dy = f ( x, y ) dx sujeta a la condición inicial y(x0) = y0 , donde x0 es un número en un intervalo I y y0 es un número real arbitrario, se le llama Problema de Valor Inicial 1 4 dy x = xy1/ 2 es decir que y = cx 4 es solución de 16 dx corresponde a la familia de soluciones de la ecuación diferencial dada, por tanto si hacemos por ejemplo a x = 2 , y = 1 ( y(2) = 1) entonces reemplazando en la solución obtenemos por ejemplo

y=

y (2) = c (2) 4 = 1

Despejando obtenemos c =

1 16

por consiguiente,

y=

1 4 x 16

es una solución del problema de valor inicial. dy = f ( x, y ) surgen dos dx preguntas fundamentales: ¿Existe una solución del problema? Si es que una solución existe, ¿es única?, o bien, ¿es ésa la única solución del problema? dy = xy1/ 2 se tiene que si y(0) = 0 Pues no, ya que para la ecuación diferencial dx 1 4 y= x entonces tiene dos soluciones en el intervalo de − ∞ < x < ∞ y = 0 , 16 satisfaciendo la ecuación diferencial y tienen gráficas que pasan por el punto (0,0) Al considerarse un problema de valor inicial como

dy = y entonces y = cex es una familia de dx soluciones de la ecuación diferencial dada, con el valor inicial x = 0, y = 3; entonces reemplazando tenemos Dada otra ecuación diferencial como

y (0) = ce 0 = 3 ⇒ c= 3 en el intervalo − ∞ < x < ∞

por tanto una solución a la ecuación es y = 3ex

CAMPOS DE PENDIENTES Ó DIRECCIONALES Si evaluamos a f en forma sistemática, en una red rectangular de puntos en el plano xy, y trazamos un elemento lineal en cada punto (x,y) de la red, con pendiente f (x,y), entonces a la colección de todos esos elementos lineales se le llama campo de pendientes o campo de direcciones; cabe anotar que dada la solución y = y(x), de una ecuación diferencial de primer orden, dy/dx = f (x,y) es necesariamente una función diferenciable y continua en un intervalo I; además que la primera derivada significa geométricamente que es la pendiente de una recta tangente en un punto (x,y) a la curva es decir la curva solución. El campo de direcciones índica visualmente la apariencia o la forma de una familia de curvas soluciones de la ecuación diferencial, podemos a mano graficar el campo de direcciones de una curva solución, pero tarda bastante tiempo ya que q se deben dar valores de (x, y) en la ecuación diferencial dependiendo de la solución y conocer cuál es el signo resultante para así conocer la dirección de las rectas tangentes a la curva solución, si son positivas serán flechas crecientes, si son negativas serán decrecientes y si son nulas entonces corresponden a las horizontales, recuerden que rectas tangentes verticales no están definidas. También es conveniente utilizar programas de cómputo que realicen este gráfico; como Maple. A continuación graficaremos el campo de direcciones de la ecuación diferencial dy dy = xy1/ 2 y de = y. dx dx

La interpretación de la derivada dy/dx como una función que indica la pendiente, desempeña el papel clave en la construcción de un campo de dirección. Otra propiedad indicativa de la primera derivada se usará a continuación, a saber si dy/dx > 0 (ó si dy/dx<0) para todo x en un intervalo I, entonces una función diferenciable y = y(x) es creciente (ó decreciente) en I.

Ejercicios: 1. Describa e ilustre con ejemplos cómo resolver ecuaciones diferenciales de las formas

dy = f ( x) dx

d2y = f ( x) dx 2

2. Compruebe que la función indicada sea una solución explícita de la ecuación diferencial dada, suponga un intervalo I adecuado. 2y’ + y = 0 ;

•

y = e-x/2

dy + 20 y = 24 ; y = 6 / 5 − 6 / 5 e − 20 x dx d2y dy −4 + 4y = 0 ; y = c1e 2 x + c2 xe 2 x 2 dx dx

• •

3. Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal e indique el orden de cada ecuación.

(1 − x) y " − 4 xy ' + 5 y = cos x b. ( y 2 − 1) dx + xdy = 0 a.

4

c. d.

d3y  dy  x 3 −  + y=0 dx  dx  2 d u du + + u = cos(r + u ) 2 dr dr

4. Determine por inspección al menos dos soluciones del problema de valor inicial para las siguientes ecuaciones diferenciales. • • •

3

y' = 3y 2 y (0) = 0 ' xy = 2 y , y ( 0) = 0 2 ' 2 (4 − y ) y = x ; y (1) = 0