Grundlagen Der Regelungstechnik

GRUNDLAGEN DER REGELUNGSTECHNIK Regelungstechnik 1 Kapitel 4 Anwendung der Laplace-Transformation in der Regelungstechnik

Gunter Reinig E-Mail [email protected] Telefon: 32-24060 IB 3 / 153

Grundzüge der Regelungstechnik

4. LaplaceTransformation

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4. Anwendung der Laplace-Transformation in der Regelungstechnik 0. Motivation / Allgemeines Hoher Rechenaufwand bei Verwendung des Exponential-Ansatzes zur Lösung der Modellgleichungen (auf bei Anfangsbedingungen gleich Null) wegen „nachträglicher“ Berücksichtigung der Anfangsbedingungen Schwierige Verrechnung von Blockschaltbildern, wenn Integrations- oder Differenzierungs-Operatoren auftreten Alternativer Zugang: Transformation aus dem Originalbereich (Zeitbereich) in einen „geeigneten Bildbereich“ Verrechnung, Manipulation im Bildbereich, ggf. Analyse im Bildbereich Rücktransformation in den Originalbereich Grundzüge der Regelungstechnik 4. LaplaceTransformation

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4. Anwendung der Laplace-Transformation in der Regelungstechnik 4.1 Funktionaltransformationen / Integraltransformationen Funktion f(s) bewirkt Abbildung einer Zahl aus der s-Ebene auf die f(s)-Ebene

Funktionaltransformation bewirkt Abbildung einer Funktion aus dem Originalbereich (Zeitbereich) in einen Bildbereich

Unabhängige Variable: Zeit t

Unabhängige Variable: s = δ + i ω Grundzüge der Regelungstechnik 4. LaplaceTransformation

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4.1 Funktionaltransformationen / Integraltransformationen

Integraltransformation – eine Funktionaltransformationen für stetige Funktionen Allgemein:

Originalfunktion

Kernfunktion der Transformation

Laplace-Transformation: definiert für t ≥ 0

Originalfunktion Kernfunktion t1 = 0

t2 = ∞

Laplace-Integral: Anwendbar für Funktionen, für die das Integral existiert

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4.1 Funktionaltransformationen / Integraltransformationen

Laplace-Integral:

Symbole:

Λ [x(t)] = X(s) = [

Korrespondenz:

x ( t ) o l•

X(s)

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4.1 Funktionaltransformationen / Integraltransformationen

Beispiel Rampenfunktion

Korrespondenztabellen für wichtigste Funktionen verfügbar

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4. LaplaceTransformation

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4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL

Beispiel DGL 1. Ordnung

Nutzung von Überlagerungs- und Verstärkungsprinzip:

bzw:

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4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL

Für Systeme n-ter Ordnung:

Dringend benötigt: Lösung für Teilausdrücke:

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4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL

Partielle Integration:

aus der Voraussetzung der Existenz des Integrals

Damit ergibt sich: bzw. Bei x(0) handelt es sich definitionsgemäß um einen rechtsseitigen Grenzwert: Grundzüge der Regelungstechnik 4. LaplaceTransformation

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4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL

Die Laplace-Transformierten höherer Zeitableitungen ergeben sich analog:

Differenziationssatz der Laplace-Transformation Für eine DGL 1. Ordnung wird damit:

bzw. Umgestellt nach xa Grundzüge der Regelungstechnik 4. LaplaceTransformation

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4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL

Anwendung des Differenziationssatzes auf DGL n-ter Ordnung:

ergibt:

bzw. unter Weglassen der Ausdrücke mit den Anfangswerten

Dabei wird verlangt, dass :

und

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4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL

„Umgang“ mit den Anfangsbedingungen: Die rechtsseitigen Anfangswerte

sind nicht bekannt.

Für die hier betrachteten Anwendungen wird angenommen: =

Weitere vereinfachende Annahme: System befindet sich für t < 0 im Ruhezustand

Î „verschwindende Anfangsbedingungen“ Grundzüge der Regelungstechnik 4. LaplaceTransformation

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4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL

Dann ergibt sich z. B. für eine DGL 3. Ordnung:

Laplace-Transformation und Ausklammern von Ausklammern von Xe(s) und Xa(s) Xe(s)

Xa(a)=

Damit ergibt die Lösung für Xa(s) (zunächst im Bildbereich!): Xa(s)

Xe(s)

Übertragungsfunktion:

Xe(s)

Xa(a)

Xe(s)

Verhältnis von

Xe(s)

Xa(s) zu Xe(s)

bei verschwindenden Anfangsbedingungen Grundzüge der Regelungstechnik 4. LaplaceTransformation

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4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL

Schritte bei der Lösung einer linearen DGL in der linearen Regelungstechnik 1. Aufstellen der Übertragungsfunktion (unmittelbar aus der DGL unter Nutzung der Differenziationssatzes) 2. Laplace-Transformation der Eingangsgrößen Λ [xe(t)] = Xe(s) (ggf. unter Nutzung von Korrespondenztabellen) 3. Ermittlung von Xa(s) = G(s) Xe(s)

] s

4. Rücktransformation der Bildfunktion Xa(s) in eine Zeitfunktion xa(t)

︵ ︶ x a (t) = L [X a −1

Benötigte Ressourcen: Korrespondenztabellen Rechenregeln (Sätze der Laplace-Transformation Grundzüge der Regelungstechnik 4. LaplaceTransformation

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4.3 Berechnung einiger Laplace-Integrale

1.) Einheitssprung σ(τ)

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4.3 Berechnung einiger Laplace-Integrale

2.) Exponentialfunktion

x(t) = ea t a - beliebige reelle oder komplexe Zahl

Für a = 0:

ea t = e 0 = 1 =

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4.3 Berechnung einiger Laplace-Integrale

3.) sinus

x(t) = sin ω t

Trick zur Vermeidung der Integration: n=2

Umstellen:

t s i

x(t)=sinω t •• Einsetzen von x( t ) Für

•

••

x(t) = ω cosω t und x( t ) = −ω 2 sinω t

ergibt:

Umstellen: Grundzüge der Regelungstechnik 4. LaplaceTransformation

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4.3 Berechnung einiger Laplace-Integrale

KorrespondenzenTabelle

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4.4 Die wichtigsten Sätze der Laplace-Transformation

1. Differenziationssatz

Für verschwindende Anfangsbedingungen:

2. Zeitverschiebungssatz Übertragungsglied mit (Transport-) Totzeit T bewirkt „Zeitversatz“ der Ausgangsgröße xa(t) = xe(t-T) Mit x( t-T ) = 0 für t
wird:

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4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL 2. Zeitverschiebungssatz (Fortsetzung)

Für t > T kann τ durch t ersetzt werden

Zeitverschiebung im Originalbereich entspricht Multiplikation mit e-sT im Bildbereich Grundzüge der Regelungstechnik 4. LaplaceTransformation

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4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL 2. Zeitverschiebungssatz (Fortsetzung)

Beispiele für Anwendungen des Zeitverschiebungssatzes a) Übertragungsfunktion eines Totzeit-Übertragungsgliedes (Transport-Totzeit) G(s) =e-sT b) Laplace Transformierte einer abschnittsweise definierten Funktion

Nachbildung durch die Überlagerung von zwei Sprungfunktionen

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4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL 2. Zeitverschiebungssatz (Fortsetzung)

Laplace-Transformation

Grenzübergang τ Î 0 führt zur Bildfunktion des Dirac-Impulses

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4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL

3. Faltungssatz (2) Produkt von Originalfunktionen wird für lineare DGL nicht benötigt (u. nicht besprochen) Wichtig jedoch das Produkt von Bildfunktionen (insbesondere für Rücktransformationen):

oder mit dem Faltungs-Symbol *

mit den Eigenschaften:

Nützlich für den nicht seltenen Fall, dass die Bildfunktion als Produkt von von Bildfunktionen mit bekannten Rücktransformation darstellbar ist (Beispiele folgen). Grundzüge der Regelungstechnik 4. LaplaceTransformation

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4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL 3. Faltungssatz (3) Beispiel für Zeitverschiebungssatz und Faltungssatz Abschnittsweise definiertes Eingangssignal und DGL

Übertragungsglied mit DGL

Eingangssignal als Summe zweier Rampen:

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4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL Beispiel für Zeitverschiebungssatz und Faltungssatz (2)

Aus Korrespondenz-Tabelle: Für xe2(t) Nutzung des Zeitverschiebungssatzes:

Summares Eingangssignal:

Ausgangssignal: G(s)

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4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL Beispiel für Zeitverschiebungssatz und Faltungssatz (3)

Rücktransformation Aus Tabelle: folgt mit Faltungssatz:

T t 0

Für

T t

≤ ≤

Für

≥

:

:

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4.2 Laplace - Transformation zur Lösung von linearen DGL

4. Anfangswertsatz Bestimmung des Funktionswertes von x(t) für t = 0+ direkt aus der Bildfunktion (Ohne Herleitung)

5. Endwertsatz Bestimmung des Funktionswertes von x(t) für t = Î direkt aus der Bildfunktion (Ohne Herleitung)

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4.5 Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung Oft liegt Xa(s) als gebrochen rationale Funktion vor, z.B.: X a( s ) = H( s ) =

G( s ) Q( s ) = s sR( s )

R( s ) = ( s − s1 )( s − s 2 )

. . .

Nach dem Gauß‘schen Fundamentalsatz der Algebra kann jedes Polynom als Produkt der Linearfaktoren geschrieben werden; für R(s) ergibt das: n

( s − s k )... ( s − s n −1 )( s − s n ) = ∏ ( s − s k ) k =1

und H(s) kann in Partialbrüche zerlegt werden:

mit der Partialbruchzerlegung: Grundzüge der Regelungstechnik 4. LaplaceTransformation

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4.5 Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung Einfache Rücktransformation der Teilausdrücke (s. Tabelle):

Für eine Sprungantwort / Übergangsfunktion mit x(t) = 1 und Xe(s) = 1/s :

Bestimmung der Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich (Beispiel folgt)

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4.5 Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung Beispiel für Rücktransformation mittels Partialbruchzerlegung Übertragungsglied mit DGL

Übertragungsfunktion

Bildfunktion der Sprungantwort / Übergangsfunktion

Partialbruchzerlegung

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4.5 Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung Beispiel für Rücktransformation mittels Partialbruchzerlegung (2) Partialbruchzerlegung

Ursprüngliche Bildfunktion

Koeffizientenvergleich

Korrespondenzen:

Lösung / Übergangsfunktion im Zeitbereich Grundzüge der Regelungstechnik 4. LaplaceTransformation

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