Goldbach

CONJECTURE GOLDBACH Mathieu Marchal

10/09/2008

Faut-il tous les nombres premiers pour assurer sa validité? Loin de là! Considérons la table des premiers inférieurs à 200: 3 31 71 109 163

5 37 73 113 167

7 41 79 127 173

11 43 83 131 179

13 47 89 137 181

17 53 97 139 191

19 59 101 149 193

23 61 103 151 197

29 67 107 157 199

Table 1 Les premiers imprimés en gras, à eux seuls, donnent au moins une partition pour chaque nombre pair compris entre 6 et 206. On peut le vérifier à l’aide de la Table 2, qui affiche les sommes des premiers gras inférieurs à 200:

Table 2 I

Tout en garantissant au moins une partition pour chaque nombre pair, l’ensemble des nombres premiers gras en donne beaucoup moins que tous les nombres premiers (1,41, en moyenne, contre 2,98), comme on le voit sur les diagrammes qui suivent:

Nombre de partitions pour les nombres pairs situés entre 6 et 200, - à gauche: en incluant tous les nombres premiers - à droite: en n’admettant que les nombres premiers «gras»

Mais comment arrive-t-on à choisir les «gras» parmi les nombres premiers? Avec {G1 = 3, G 2 = 5, G3 = 7} je partitionne 6, 8, 10, 12, 14. Maintenant, 16. J’essaie d’abord 16 - G1 = 13, est-ce un nombre premier? Puisque c’est le cas, je pose G4=13. Si la vérification n’avait pas confirmé la primalité de 16 - G1, j’aurais essayé avec 16 - G 2 et, si nécessaire, encore avec 16 - G3. Ainsi, avec les «gras» {G1 = 3, G 2 = 5, G3 = 7, G4 = 13}, j’arrive à partitionner les pairs jusqu’à 20. Le nombre 22 fait trouver G5 = 19. Afin de partitionner 28, il faut en plus le nombre G6 = 23.

II

En continuant ainsi, j’obtiens successivement les nombres «gras» comme suit: 3, 5, 7, 13, 19, 23, 31, 37, 43, 47, 53, 61, 79, 83, 109, 113, 101, 131, 139, 157, ...

Je constate, que la relation Gn+1 > Gn ne vaut pas absolument.

En général, dès qu’on rencontre un nombre pair N qui n’admet pas de partition à partir des «gras» {G1, G2, ..., Gn}, on trouve, en essayant avec i = 1, 2, ... toujours un autre nombre premier Gn+1 = N - Gi

(avec Gi < N/2, donc Gn+1 > N/2)

Ce n’est, bien sûr, qu’une conjecture, que j’ai vérifiée, toutefois, pour les nombres pairs inférieurs à 1’001’488 (Table 3 et programme en BASIC ci-joint) Nombre de Limite des premiers gras nombres obtenus pairs successivement admettant au moins une partition

Nombre de tous les premiers inférieurs à m

Densité moyenne. nombres premiers gras

Densité moyenne. tous nombres premiers

nG

N

nP

nG / N

nP / N

15 58 236 852 3023

112 1006 10046 100214 1001488

29 168 1233 9609 78612

0.1339 0.0577 0.0235 0.0085 0.0030

0.2589 0.1670 0.1227 0.0959 0.0785

1/

0.0945 0.0315 0.0100 0.0032 0.0010

Table 3 La densité des nombres premiers «gras» (nG / N, représentée sur le diagramme ci-dessous par la courbe B - B) diminue beaucoup plus rapidement que celle de tous les nombres premiers (courbe A - A). La fonction 1 / (courbe C - C) paraît intéressante, dans ce contexte, puisque la somme

III

donne une éstimation (de la moyenne) du nombre de partitions d’un nombre pair N - à partir d’une série de nombres impairs distribués statistiquement avec une densité 1 / - et reste supérieure à 1, quand N tend vers l’infini.

Ci-joint: Programme de vérification en Q-BASIC

IV

REM: VERIFICATION OF SGH REM: This Program produces a subset of REM: prime numbers 2*z(n)+3 (z(n)=0, 1, 2, 4, ...) REM: and determines for every value n (n=1, 2, 3, ...), up to a limit nmax, REM: the value m, so that any even number 2*j+6 (j=1, 2, ..., m) REM: can be partitioned into one (at least) pair of primes REM: included in the subset. REM: The value of zikmax must be choosen large enough, REM: in order to avoid overflow DECLARE FUNCTION IsPrime (p) REM: Set the parameters, for example: nmax = 1000 zikmax = 2000 DIM z(4000), ind(zikmax) REM: Initialisation z(0) = 0: m = 0: g = 0 CLS FOR n = 1 TO nmax FOR i = 0 TO zikmax ind(i) = 0 NEXT i REM: which even numbers >=2*m+6 AND <=2*(m+zikmax) can be partitioned into a REM: couple of prime numbers 2*z(i)+3 and 2*z(k)+3 (i,k <=n)? FOR i = 0 TO n FOR k = i TO n zik = z(i) + z(k) - m IF zik >= 0 AND zik <= zikmax THEN ind(zik) = 1 NEXT k NEXT i REM: search for i of the lowest even number, which cannot be partitioned: FOR i = 0 TO zikmax IF ind(i) = 0 THEN EXIT FOR V

NEXT i IF i = zikmax THEN PRINT "OVERFLOW; choose a larger value for zikmax and restart the program": END m=m+i REM: search for the next prime number: 2* z(n)+3 FOR i = 0 TO n p = 2 * m + 3 - 2 * z(i) IF IsPrime(p) THEN EXIT FOR IF i = n THEN PRINT "SGH has been falsified": END NEXT i z(n) = (p - 3) / 2 REM: Printing Results even = 2 * m + 6: prime1 = 2 * z(n) + 3: prime2 = even - prime1 IF prime2 > g THEN g = prime2 IF n MOD 20 = 0 THEN PRINT : PRINT "n=", "prime1 +", "prime2 =", "SGH verified", "largest prime2" IF n MOD 20 = 0 THEN PRINT , , , " up to", " so far" PRINT n, prime1, prime2, prime1 + prime2, g NEXT n FUNCTION IsPrime (p) IF p MOD 2 = 0 THEN IsPrime = 0 ELSE IsPrime = 1 FOR i = 3 TO SQR(p) STEP 2 IF p MOD i = 0 THEN IsPrime = 0: EXIT FOR NEXT END FUNCTION

VI