Funciones Multilineales Y Determinante

FUNCIONES MULTILINEALES Y DETERMINANTES En esta secci´on, veremos una perspectiva adecuada para estudiar los determinantes. Estudiaremos funciones multilineales alternadas sobre un cuerpo K. Para nuestros prop´ositos, usaremos K = R o bien K = C. ´ 1: Sea V un espacio vectorial sobre K. Diremos que la funci´on DEFINICION M :V | ×V × {z· · · × V} → K m veces

es una forma m-lineal o multilineal de grado m sobre V ssi M (a1 , a2 , . . . , ai , . . . , am ) es lineal como funci´on de cada ai , i = 1, 2, . . . , m, cuando los otros aj , j 6= i, se dejan fijos; esto es, si para cada i M (a1 , a2 , . . . , ai + α˜ ai , . . . , am ) = M (a1 , a2 , . . . , ai , . . . , am ) + αM (a1 , a2 , . . . , a ˜ i , . . . , am ) , donde α ∈ K. Ejemplo: Sea M : R3 × R3 → R definida por     x1 y1 M (~x, ~y ) = ~x • ~y , ~x =  x2  , ~y =  y2  , ∈ R3 , x3 y3 donde • es el producto punto en R3 . Entonces, M es una forma 2-lineal ( o bilineal). En efecto, fijamos ~y y consideramos ~x, ~x˜ ∈ R3 y α ∈ R. Entonces M (~x + α~x˜, ~y ) = (~x + α~x˜) • ~y = ~x • ~y + α(~x˜ • ~y ) = M (~x, ~y ) + αM (~x˜, ~y ) . Por otro lado, si fijamos ~x y consideramos ~y , ~y˜ ∈ R3 y α ∈ R, entonces M (~x, ~y + α~y˜) = ~x • (~y + α~y˜) = ~x • ~y + α(~x • ~y˜) = M (~x, ~y ) + αM (~x, ~y˜) . 2 En general, sea M un forma bilineal en R3 y consideremos ~x, ~y ∈ R3 escritos como combinaci´on lineal de la base can´onica, o sea, ~x = x1 · ~e1 + x2 · ~e2 + x3 · ~e3 , ~y = y1 · ~e1 + y2 · ~e2 + y3 · ~e3 , Ã 3 ! 3 3 X 3 X X X entonces M (~x, ~y ) = M xi~ei , yj ~ej = xi yj M (~ei , ~ej ). i=1

j=1

i=1 j=1

El an´alisis anterior es v´alido para cualquier e.v. con dimensi´on finita. De esta manera, si dim(V ) = n ∈ N y {v1 , v2 , . . . , vn } es una base de V , tenemos que para j = 1, 2, . . . , m, existen escalares αij tales que n X aj = αij · vi . i=1

1

Luego, M (a1 , a2 , . . . , am ) = M

à n X

αi1 · vi ,

i=1

n X

αi2 · vi , . . . ,

i=1

n X

! αim · vi .

i=1

Para evitar confusi´on con los ´ındices, utilizaremos i1 como el ´ındice para la primera sumatoria, i2 para la segunda sumatoria y as´ı sucesivamente. As´ı, Ã n ! n n X X X M (a1 , a2 , . . . , am ) = M αi1 1 · vi1 , αi2 2 · vi2 , . . . , αim m · vim . i1 =1

i2 =1

im =1

Como M es multilineal, tenemos M (a1 , a2 , . . . , am ) =

n X n X i1 =1 i2 =1

···

n X

αi1 1 · αi2 2 · · · αim m M (vi1 , vi2 , . . . , vim ) .

im =1

De esta manera, obtenemos el siguiente resultado: Proposici´ on 1 : Sea V un espacio vectorial sobre K, con dim(V ) = n ∈ N y sea {v1 , v2 , . . . , vn } base de V . Entonces, dados zi1 ,i2 ,...,im ∈ K, i1 , i2 , . . . , im ∈ {1, 2, . . . , n}, existe una u ´nica funci´on multilineal de grado m tal que M (vi1 , vi2 , . . . , vim ) = zi1 ,i2 ,...,im , i1 , i2 , . . . , im ∈ {1, 2, . . . , n} . M´as a´ un, si se escribe cada aj como combinaci´on lineal de la base, aj =

n X i=1

M est´a dada por la expresi´on M (a1 , a2 , . . . , am ) =

αij · vi , entonces

n X n X i1 =1 i2 =1

···

n X

αi1 1 · αi2 2 · · · αim m · zi1 ,i2 ,...,im .

im =1

Dem: An´aloga al teorema fundamental de las transformaciones lineales. 2 Ejemplo: Encontrar la funci´on trilineal M : R2 × R2 × R2 → R tal que M (e~1 , e~1 , e~1 ) = 1 , M (e~1 , e~1 , e~2 ) = 0 , M (e~1 , e~2 , e~1 ) = 1 , M (e~1 , e~2 , e~2 ) = 3, M (e~2 , e~1 , e~1 ) = −1 , M (e~2 , e~1 , e~2 ) = 1 , M (e~2 , e~2 , e~1 ) = 3 , M (e~2 , e~2 , e~2 ) = 4, µ ¶ µ ¶ 1 0 donde ~e1 = , ~e2 = . 0 1 Soluci´ on: Dados a1 , a2 , a3 ∈ R2 , los escribimos en funci´on de la base que se est´a usando, en este caso, la can´onica. a1 =

2 X

αi1 1~ei1 = α11~e1 + α21~e2 , a2 =

i1 =1

2 X i2 =1

2

αi2 2~ei2 = α12~e1 + α22~e2

a3 =

2 X

αi3 3~ei3 = α13~e1 + α23~e2 .

i3 =1

Por otro lado z1,1,1 = 1 , z1,1,2 = 0 , z1,2,1 = 1 , z1,2,2 = 0 , z2,1,1 = −1 , z2,1,2 = 1 , z2,2,1 = 3 , z2,2,2 = 4 . Luego, M (a1 , a2 , a3 ) =

2 X 2 X 2 X

αi1 1 · αi2 2 · αi3 3 · zi1 ,i2 ,i3 . Desarrollando esta suma queda

i1 =1 i2 =1 i3 =1

M (a1 , a2 , a3 ) =

2 X

à αi1 1 ·

i1 =1

= α11 ·

2 X 2 X

! αi2 2 · αi3 3 · zi1 ,i2 ,i3

i2 =1 i3 =1 2 X 2 X

αi2 2 · αi3 3 · z1,i2 ,i3 + α21 ·

i2 =1 i3 =1

2 X 2 X

αi2 2 · αi3 3 · z2,i2 ,i3

i2 =1 i3 =1

= α11 α12 α13 z1,1,1 + α11 α12 α23 z1,1,2 + α11 α22 α13 z1,2,1 + α11 α22 α23 z1,2,2 + = α21 α12 α13 z2,1,1 + α21 α12 α23 z2,1,2 + α21 α22 α13 z2,2,1 + α21 α22 α23 z2,2,2 . Reemplazando los valores, se obtiene µµ ¶ µ ¶ µ ¶¶ α11 α12 α13 M , , = α11 α12 α13 + α11 α22 α13 − α21 α12 α13 + α21 α22 α23 α21 α12 α23 + 3α21 α22 α13 + 4α21 α22 α23 . 2 Finalmente, en el conjunto de las funciones multilineales sobre V , se definen las operaciones de suma y ponderaci´on por escalar como ˜ )(a1 , a2 , .., am ) := M (a1 , a2 , .., am ) + M ˜ (a1 , a2 , .., am ) (M + M (λ · M )(a1 , a2 , .., am ) := λ · M (a1 , a2 , .., am ) , λ ∈ K . Con estas operaciones, el conjunto de las funciones multilineales sobre V es un espacio vectorial sobre K. 2

3

FUNCIONES MULTILINEALES ALTERNADAS. n n Sea M : K × · · · × Kn} → K una forma n-lineal sobre Kn . Diremos que M es | × K {z n veces

alternada ssi satisface

M (~a1 , ~a2 , . . . , ~ai , . . . , ~aj , . . . , ~an ) = 0 cada vez que dos vectores ~ai , ~aj , i 6= j, sean iguales . Ejemplo : En R2 la funci´on M : R2 × R2 → R definida por µµ ¶ µ ¶¶ α1 β1 M , = 2(α2 β1 − α1 β2 ) α2 β2 es multilineal(bilineal) alternada.

µ

α1 α2

¶

µ ,α ~˜ =

α ˜1 α ˜2

¶

En efecto, veamos primero que es bilineal. Sean α ~= ∈ R2 , ρ ∈ R y µ ¶ β 1 ~ = M (~ ~ + ρM (α ~ β~ = ∈ R2 fijo. Por demostrar que M (~ α + ρα ~˜ , β) α, β) ~˜ , β). β2 ~ = 2((α2 + ρ˜ Por definici´on, tenemos que M (~ α + ρα ~˜ , β) α2 )β1 − (α1 + ρ˜ α1 )β2 ). Luego, ~ = 2(α2 β1 − α1 β2 ) + 2ρ(˜ ~ + ρM (α ~ M (~ α + ρα ~˜ , β) α2 β1 − α ˜ 1 β2 ) = M (~ α, β) ~˜ , β). ~ β~˜ ∈ R2 y ρ ∈ R, An´alogamente, se demuestra para α ~ ∈ R2 fijo, β, ~˜ = M (~ ~ + ρM (~ ~˜ . M (~ α, β~ + ρβ) α, β) α, β) Por lo tanto, M es bilineal. Ahora veamos que es alternada. Para ello se calcula M (~ α, α ~) = 2 2(α2 α1 − α1 α2 ) = 0, ∀ α ~ ∈R . 2 Propiedades Sea M una funci´on multilineal alternada sobre Kn . Entonces (i) M (~a1 , ~a2 , .., ~ai , .., ~aj , .., ~an ) = −M (~a1 , ~a2 , .., ~aj , .., ~ai , .., ~an ) para todo ~a1 , ~a2 , . . . , ~an ∈ |{z} |{z} j

i

Kn , i 6= j.

Dem: En efecto, de la definici´on de multilineal alternada se obtiene M (~a1 , ~a2 , .., ~ai + ~aj , .., ~aj + ~ai , .., ~an ) = 0 . | {z } | {z } i

j

4

Pero M (~a1 , ~a2 , .., ~ai + ~aj , .., ~aj + ~ai , .., ~an ) = M (~a1 , ~a2 , .., ~ai , .., ~ai , .., ~an )+ |{z} |{z} | {z } | {z } i

i

j

j

M (~a1 , ~a2 , .., ~ai , .., ~aj , .., ~an )+ |{z} |{z} i

j

M (~a1 , ~a2 , .., ~aj , .., ~ai , .., ~an )+ |{z} |{z} i

j

M (~a1 , ~a2 , .., ~aj , .., ~aj , .., ~an ) . |{z} |{z} i

j

Como M es alternada, M (~a1 , ~a2 , .., ~ai , .., ~ai , .., ~an ) = M (~a1 , ~a2 , .., ~aj , .., ~aj , .., ~an ) = 0. Por lo tanto, M (~a1 , ~a2 , .., ~ai , .., ~aj , .., ~an ) + M (~a1 , ~a2 , .., ~aj , .., ~ai , .., ~an ) = 0 de donde se obtiene el resultado. 2 (ii) M (~a1 , ~a2 , .., α~u + β~v , .., ~an ) = αM (~a1 , ~a2 , .., |{z} ~u , .., ~an )+βM (~a1 , ~a2 , .., |{z} ~v , .., ~an ), para | {z } i

i

i

todo ~aj ∈ Kn , j 6= i, i = 1, 2, . . . , n, ~u, ~v ∈ Kn y α, β ∈ K. Dem: Directa dado que M es multilineal. En particular, si α = β = 0, se obtiene ~0 , .., ~an ) = 0 . M (~a1 , ~a2 , .., |{z} i

Adem´as, cabe notar que si ~v = ~aj , entonces M (~a1 , ~a2 , .., α~u + β a~j , .., ~an ) = αM (~a1 , ~a2 , .., |{z} ~u , .., ~an ) . | {z } i

i

2 (iii) Si el conjunto {~a1 , ~a2 , . . . , ~an } es l.d., entonces M (~a1 , ~a2 , ..., ~an ) = 0. Dem: Como el conjunto es l.d., uno de los vectores, digamos ar , r ∈ 1, 2, ..., n, es n X combinaci´on lineal de los dem´as. Esto es, ~ar = ρj · ~aj , ρj ∈ K. j=1 j6=r

Por lo tanto, M (~a1 , ~a2 , .., ~ar , .., ~an ) =

n X j=1 j6=r

5

ρj · M (~a1 , ~a2 , .., ~aj , .., ~an ) = 0 . | {z } 0

2 Supongamos ahora que M : K2 × K2 → K es una funci´on multilineal alternada. Entonces escribiendo α ~ , β~ ∈ K2 , como combinaci´on lineal de la base can´onica, es decir, α ~ = α1~e1 +α2~e2 , β~ = β1~e1 + β2~e2 , se obtiene ~ = M (α1~e1 + α2~e2 , β1~e1 + β2~e2 ) M (~ α, β) = α1 β1 M (e~1 , e~1 ) + α1 β2 M (e~1 , e~2 ) + α2 β1 M (e~2 , e~1 ) + α2 β2 M (e~2 , e~2 ) . Adem´as, de la propiedad (i) se obtiene que M (e~1 , e~1 ) = M (e~2 , e~2 ) = 0 ; M (e~1 , e~2 ) = −M (e~2 , e~1 ) ; por lo tanto,

~ = (α1 β2 − α2 β1 ) · M (e~1 , e~2 ) . M (~ α, β)

O sea, se ha demostrado que dada cualquier funci´on multilineal alternada sobre K2 , entonces ~ = c · (α1 β2 − α2 β1 ). M´as a´ existe una constante c ∈ K tal que M (~ α, β) un, c = M (e~1 , e~2 ). Denotaremos por D2 , D2 : K2 × K2 → K, a la funci´on multilineal alternada definida por µµ ¶ µ ¶¶ α1 β1 ~ D2 (~ α, β) := D2 , := α1 β2 − α2 β1 . α2 β2 De acuerdo a lo anterior, D2 es la funci´on multilineal alternada que satisface D2 (e~1 , e~2 ) = 1. Estudiemos ahora el caso de funciones multilineales alternadas en K3 . Usaremos la siguiente notaci´on       α1 β1 γ1 α ~ =  α2  , β~ =  β2  , ~γ =  γ2  ∈ K3 . α3 β3 γ3 Por lo tanto, escribiendo estos vectores como combinaci´on de la base can´onica de K3 , se llega a α ~ = α1~e1 + α2~e2 + α3~e3 ; β~ = β1~e1 + β2~e2 + β3~e3 ; ~γ = γ1~e1 + γ2~e2 + γ3~e3 . Luego, dada una funci´on multilineal alternada M sobre K3 , se obtiene ~ ~γ ) = M (α1~e1 + α2~e2 + α3~e3 , β1~e1 + β2~e2 + β3~e3 , γ1~e1 + γ2~e2 + γ3~e3 ) M (~ α, β, ~ ~γ ) + α2 M (e~2 , β, ~ ~γ ) + α3 M (e~3 , β, ~ ~γ ) = α1 M (e~1 , β, = α1 (β2 M (e~1 , e~2 , ~γ ) + β3 M (e~1 , e~3 , ~γ )) + α2 (β1 M (e~2 , e~1 , ~γ ) + β3 M (e~2 , e~3 , ~γ ))+ α3 (β1 M (e~3 , e~1 , ~γ ) + β2 M (e~3 , e~2 , ~γ )) = α1 (β2 γ3 − β3 γ2 )M (e~1 , e~2 , e~3 ) + α2 (−β1 γ3 + β3 γ1 )M (e~1 , e~2 , e~3 )+ α3 (β1 γ2 − β2 γ1 )M (e~1 , e~2 , e~3 ) . 6

 u1 Ahora, dado ~u =  u2  ∈ K3 , se define ~u(i) ∈ K2 como el vector que se obtiene de ~u, u3 µ ¶ u2 (1) sacando la i-´esima, componente. Esto es, por ejemplo, ~u = , etc ... u3 

Con la incorporaci´on de esta notaci´on, tenemos que ³ ´ (1) (1) (2) (2) (3) (3) ~ ~ ~ ~ M (~ α, β, ~γ ) = α1 D2 (β , ~γ ) − α2 D2 (β , ~γ ) + α3 D2 (β , ~γ ) M (e~1 , e~2 , e~3 ) . Si definimos la funci´on D3 : K3 × K3 × K3 → K, como ~ ~γ ) = α1 D2 (β~ (1) , ~γ (1) ) − α2 D2 (β~ (2) , ~γ (2) ) + α3 D2 (β~ (3) , ~γ (3) ) , D3 (~ α, β, entonces tenemos que dada cualquier funci´on multilineal alternada M sobre K3 , existe una constante c ∈ K tal que M = cD3 . Adem´ as, c = M (e~1 , e~2 , e~3 ). Es inmediato que ~ ~γ ) = −(β1 D2 (~ (∗) D3 (~ α, β, α(1) , ~γ (1) ) − β2 D2 (~ α(2) , ~γ (2) ) + β3 D2 (~ α(3) , ~γ (3) )) . Falta ver que D3 es multilineal alternada. Como ya sabemos que D2 es multilineal alternada en K2 , si fijamos α ~ y β~ o α ~ y ~γ , tenemos la linealidad asociada a la componente β~ y a la componente ~γ .     α1 α˜1 ~ ~γ ∈ K3 fijos y ρ ∈ K. Por demostrar que Sean α ~ =  α2  , α ~˜ =  α˜2  ∈ K3 , β, α3 α˜3 ~ ~γ ) = D3 (~ ~ ~γ ) + ρD3 (α ~ ~γ ) . D3 (~ α + ρα ~˜ , β, α, β, ~˜ , β, Por definici´on, se tiene ~ ~γ ) = (α1 +ρ˜ D3 (~ α+ρα ~˜ , β, α1 )D2 (, β~ (1) , ~γ (1) )−(α2 +ρ˜ α2 )D2 (, β~ (2) , ~γ (2) )+(α3 +ρ˜ α3 )D2 (, β~ (3) , ~γ (3) ) . Agrupando t´erminos, se obtiene ~ ~γ ) = D3 (~ ~ ~γ ) + ρD3 (α ~ ~γ ) . D3 (~ α + ρα ~˜ , β, α, β, ~˜ , β, Por lo tanto, D3 es multilineal. Para demostrar que es alternada basta ver que D3 (~ α, α ~ , ~γ ) = 0. Esto se debe a que D3 est´a definida a partir de D2 y por lo tanto, es inmediato que ~ β) ~ = 0 y que D3 (~ ~ α ~ D3 (~ α, β, α, β, ~ ) = −D3 (~ α, α ~ , β). Entonces, nuevamente de la definici´on de D3 y (∗), se obtiene D3 (~ α, α ~ , ~γ ) = α1 D2 (~ α(1) , ~γ (1) ) − α2 D2 (~ α(2) , ~γ (2) ) + α3 D2 (~ α(3) , ~γ (3) ) = −(α1 D2 (~ α(1) , ~γ (1) ) − α2 D2 (~ α(2) , ~γ (2) ) + α3 D2 (~ α(3) , ~γ (3) )) . Luego, D3 (~ α, α ~ , ~γ ) = 0. Adem´as, es directo de la definici´on que D3 (~e1 , ~e2 , ~e3 ) = 1. Por lo tanto, D3 es la funci´on multilineal alternada sobre K3 que satisface D3 (~e1 , ~e2 , ~e3 ) = 1. 7

2 DEFINICION 2: Sea M : |Kn × Kn {z × · · · × Kn} → K una funci´on multilineal. Diremos que n veces

M es una funci´on determinante ssi M es alternada y M (~e1 , ~e2 , .., ~en ) = 1, donde {~e1 , ~e2 , .., ~en } es la base can´onica ordenada. En lo anterior, D2 y D3 son las funciones determinantes en K2 y K3 , respectivamente. En lo que sigue, veremos como definir una funci´on determinante para n ≥ 4, n ∈ N. Usaremos la siguiente notaci´on. Sean ~a1 , ~a2 , .., ~an ∈ Kn . Para cada j ∈ {1, 2, .., n}, escribiremos     [~aj ]1 α1j n  α2j   [~aj ]  X    2  αij · e~i ~aj :=  ..  :=  ..  =  .   .  i=1 [~aj ]n αnj donde {~e1 , ~e2 , .., ~en } es la base can´onica ordenada de Kn . Por otro lado, si n ≥ 2, n ∈ N, dado ~u ∈ Kn , se define ~u(r) ∈ Kn−1 , r ∈ 1, 2, .., n, como el vector que se obtiene de ~u, sacando r-´esima componente. Es claro que £ ¤ £ ¤ (¦) ~u(r) j = [~u]j , j < r ; ~u(r) j = [~u]j+1 , r < j , r ∈ {1, 2, .., n} , j ∈ {1, 2, .., n − 1} . ¡ ¢(s) Adem´as, si n ≥ 3, n ∈ N, dado ~u ∈ Kn , se define ~u(r) ∈ Kn−2 , r ∈ {1, 2, .., n}, s ∈ {1, 2, .., n − 1}, como el vector que se obtiene de ~u(r) sacando la s-´esima componente.   u1  u2    5  Un ejemplo en K , ponemos ~u =   u3 , entonces  u4  u5 

~u(2)

   u1 u1  u3  (2) (4)   u3  . =  u4  y por lo tanto, (~u ) = u4 u5

Es directo de la defici´on que : (a) (~u(r) )(s) = (~u(s) )(r−1) , s < r; r ∈ {1, 2, .., n}, s ∈ {1, 2, .., n − 1}, (b) (~u(r) )(s) = (~u(s) )(r) , r = s; r ∈ {1, 2, .., n − 1}, y (c) (~u(r) )(s) = (~u(s+1) )(r) , r < s; r, s ∈ {1, 2, .., n − 1}.

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n n De esta manera, se define para n ∈ N la funci´on Dn : K × · · · × Kn} → K, como : | × K {z n veces

D1 (a) := a , a ∈ K n ´ ³ X (i) Dn (~a1 , ~a2 , .., ~an ) := (−1)i+1 αi1 Dn−1 ~a2 , .., ~a(i) , n ≥ 2, n ∈ N . n i=1

Cabe destacar que para n = 2 y n = 3 esta definici´on coincide con lo que ya tenemos. De manera que, demostraremos por inducci´on que Dn es la funci´on determinante en Kn . • Dn es multilineal. Ya sabemos que para n = 1, 2, 3, la propiedad es cierta. Supongamos que la propiedad se cumple para n. Por demostrar que tambi´en se tiene para n + 1. ˜1 ∈ Por hip´otesis de inducci´on, Dn es multilineal en Kn ; luego, basta probar que para ~a1 , ~a n+1 n+1 K , ρ ∈ K y ~a2 , , .., ~an+1 ∈ K , fijos, se tiene ˜1 , ~a2 , .., ~an+1 ) = Dn+1 (~a1 , ~a2 , .., ~an+1 ) + ρDn+1 (~a ˜1 , ~a2 , .., ~an+1 ) . Dn+1 (~a1 + ρ~a Por definici´on, ˜1 , ~a2 , .., ~an+1 ) = Dn+1 (~a1 + ρ~a

n+1 X

³ ´ (i) (i) (−1)i+1 (αi1 + ρ˜ αi1 )Dn ~a2 , .., ~an+1

i=1

=

n+1 X

i+1

(−1)

³ ´ (i) (i) αi1 Dn ~a2 , .., ~an+1 +

i=1

ρ

n+1 X

³ ´ (i) (i) (−1)i+1 α˜i1 Dn ~a2 , .., ~an+1

i=1

˜1 , ~a2 , .., ~an+1 ) . = Dn+1 (~a1 , ~a2 , .., ~an+1 ) + ρDn+1 (~a Como n es arbitrario, entonces la propiedad se cumple para todo n ∈ N. De esta manera concluimos que Dn es multilineal. X • Dn es alternada. Para probar que es alternada, primero vamos a demostrar que Dn satisface la siguiente igualdad: Ã n ! ´ ³ X (i) (i) (I1) Dn (~a1 , ~a2 , .., ~an ) = − (−1)i+1 αi2 Dn−1 ~a1 , ~a3 .., ~a(i) , n ≥ 2, n ∈ N . n i=1

9

En efecto, como Dn es multilineal, tenemos que à ! n n X X Dn (~a1 , ~a2 , .., ~an ) = Dn ~a1 , αi2~ei , .., ~an = αi2 Dn (~a1 , ~ei , .., ~an ) . i=1

i=1

De la definci´on de Dn , se tiene para cada i, (∗∗) Dn (~a1 , ~ei , .., ~an ) =

n ³ ´ X (r) (r) (−1)r+1 αr1 Dn−1 ~ei , ~a3 .., ~a(r) . n r=1

Separaremos en dos casos. Supongamos que i = 1,  1  0  (1) (r) ~e1 = ~0 ∈ Kn−1 y ~e1 =  ..  . 0

entonces     ∈ Kn−1 , 2 ≤ r ≤ n . 

De esta manera, tenemos que ´ ³ (1) (1) (1) = 0 Dn−1 ~e1 , ~a3 .., ~an µ³ ´ ´ ³ ´(1) ¶ ³ (1) (r) (r) (r) (r) (r) = Dn−2 ~a3 , .., ~an , 2≤r≤n. Dn−1 ~e1 , ~a3 .., ~an ³ ´(1) ³ ´(r−1) (r) (1) Pero ~aj = ~aj para todo j = 3, 4, .., n. As´ı, Dn (~a1 , ~e1 , .., ~an ) =

n X

(−1)

r+1

¶ µ³ ´ (r−1) ¡ (1) ¢(r−1) (1) αr1 Dn−2 ~a3 , .., ~an .

r=2

Haciendo el cambio de variable en el ´ındice de la sumatoria k = j − 1, obtenemos n X

r+1

(−1)

µ³ µ³ ´(r−1) ³ ´(r−1) ¶ n−1 ´(k) ³ ´(k) ¶ X (1) (1) (1) k (1) αr1 Dn−2 ~a3 , .., ~an = (−1) α(k+1)1 Dn−2 ~a3 , .., ~an

r=2

k=1

(1)

Finalmente como α(k+1)1 = [~a1 ]k , se concluye que ¶ µ³ ´ n−1 ´ ³ X (k) ¡ (1) ¢(k) (1) (1) k . = −Dn−1 a~1 (1) , ~a3 , .., ~a(1) , .., ~an (−1) α(k+1)1 Dn−2 ~a3 n k=1

³ ´ (1) (1) (1) Por lo tanto Dn (~a1 , ~e1 , .., ~an ) = −Dn−1 a~1 , ~a3 , .., ~an .

10

Supongamos ahora que 2 ≤ i ≤ n. Entonces   0  0   .   .   .  (r) n−1 ~ ~e(r) = 0 ∈ K , 2 ≤ r ≤ n ; ~ e =   ∈ Kn−1 , el 1 en la posici´on i − 1 , r < i , r i  1   .   ..  0 y



(r)

~ei

    =   

0 0 .. . 1 .. .

      ∈ Kn−1 , el 1 en la posici´on i , i < r , 2 ≤ r ≤ n .   

0 Luego, Dn (~a1 , ~ei , .., ~an ) =

i−1 n ³ ´ ³ ´ X X (r) (r) (r) (r) (−1)r+1 αr1 Dn−1 ~ei , ~a3 .., ~a(r) + (−1)r+1 αr1 Dn−1 ~ei , ~a3 .., ~a(r) . n n r=1

r=i+1

Para r < i, tenemos µ³ ´ ´ ³ ´(i−1) ¶ ³ (i−1) (r) (r) (r) (r) (r) (i−1)+1 = (−1) Dn−2 ~a3 .., ~an Dn−1 ~ei , ~a3 .., ~an µ³ ´ ³ ´(r) ¶ (r) (i) (i) = (−1) Dn−2 ~a3 .., ~an . i

Para i < r, se tiene µ³ ´ ´ ³ ³ ´(i) ¶ (i) (r) (r) (r) (r) (r) Dn−1 ~ei , ~a3 .., ~an = (−1)i+1 Dn−2 ~a3 , .., ~an = (−1)

i+1

µ³ ´ ³ ´(r−1) ¶ (r−1) (i) (i) , .., ~an . Dn−2 ~a3

Luego, ¶ µ³ ´ i−1 X (r) ¡ (i) ¢(r) (i) r+i+1 + .., ~an Dn (~a1 , ~ei , .., ~an ) = (−1) αr1 Dn−2 ~a3 r=1 n X

(−1)

r+i

¶ µ³ ´ (r−1) ¡ (i) ¢(r−1) (i) . , .., ~an αr1 Dn−2 ~a3

r=i+1

11

En la segunda sumatoria, hacemos el cambio k = r − 1 y obtenemos Dn (~a1 , ~ei , .., ~an ) =

i−1 X

µ³ ´ ¶ (r) ¡ (i) ¢(r) (i) αr1 Dn−2 ~a3 .., ~an +

(−1)

r+i+1

(−1)

k+1+i

r=1 n−1 X

µ³ ´ ¶ (k) ¡ (i) ¢(k) (i) α(k+1)1 Dn−2 ~a3 , .., ~an .

k=i

Renombrando los ´ındices y usando (¦), se llega a µ³ ´ ¶ n−1 X (j) ¡ (i) ¢(j) (i) j+1 (i) Dn (~a1 , ~ei , .., ~an ) = (−1) (−1) [~a1 ]j Dn−2 ~a3 .., ~an i

j=1

´ ³ (i) (i) . = (−1)i Dn−1 ~a1 , ~a3 , .., ~a(i) n Ahora reemplazamos el valor de Dn (~a1 , ~ei , .., ~an ) y llegamos a Dn (~a1 , ~a2 , .., ~an ) =

n X

³ ´ (i) (i) (i) αi2 (−1) Dn−1 ~a1 , ~a3 , .., ~an i

i=1

= −

n X

(−1)

i+1

´ ³ (i) (i) (i) αi2 Dn−1 ~a1 , ~a3 , .., ~an .

i=1

2 Veamos ahora que Dn es alternada, esto es, si dos vectores ~ai = ~aj , i 6= j, entonces Dn (~a1 , ~a2 , .., ~an ) = 0 . Por inducci´on. Para n = 2 y n = 3 ya sabemos que es verdadero. Supongamos la propiedad v´alida para n. Por demostrar que tambi´en se cumple para n + 1. De la defici´on de Dn+1 , vemos de inmediato que si ~ai = ~aj , i 6= j con i y j mayores o iguales que 2, entonces Dn+1 (~a1 , ~a2 , .., ~an+1 ) = 0, ya que n+1 ´ ³ X (i) (i) Dn (~a1 , ~a2 , .., ~an+1 ) = (−1)i+1 αi1 Dn ~a2 , .., ~an+1 i=1

y

´ ³ (i) (i) (i) Dn ~a2 , ~a3 , .., ~an+1 = 0, ∀ i ∈ {2, 3, .., n + 1} . Luego, s´olo falta ver que si ~a1 = ~aj , j ∈ {2, 3, .., n + 1}, entonces Dn+1 (~a1 , ~a2 , .., ~aj , .., ~an+1 ) = 0 . 12

De la definici´on de Dn+1 a partir de Dn , se tiene que Dn+1 (~a1 , ~a2 , .., ~aj , .., ~an+1 ) = −Dn+1 (~a1 , ~aj , .., ~a2 , .., ~an+1 ) , 3 ≤ j ≤ n + 1 . |{z} |{z} 2

j

   Por lo tanto, basta demostrar que Dn+1 (~a, ~a, ~a3 , .., ~an+1 ) = 0, donde ~a =  

a1 a2 .. .

   . 

an+1 De la defici´on de Dn+1 y (I1), se obtiene Dn+1 (~a, ~a, .., ~an+1 ) =

n+1 ³ ´ X (i) (−1)i+1 ai Dn ~a, .., ~an+1 i=1

à n+1 ! ³ ´ X (i) (i) = − (−1)i+1 ai Dn ~a, ~a3 .., ~an+1 , i=1

de donde se obtiene el resultado. De esta manera, se ha demostrado que Dn es una funci´on multilineal y alternada sobre Kn . Adem´as, de esto u ´ltimo se concluye la igualdad generalizada de (I1), esto es,   (IG) Dn (~a1 , ~a2 , .., ~an ) =

n X  (i) (i)  (i)  (−1)i+j αij Dn−1   ~|a1 , ~a2{z, .., ~an}  , j = 1, 2, .., n . i=1 sin el vector ~aj

Adem´as, es f´acil ver de la defici´on que Dn (~e1 , ~e2 , .., ~en ) = 1 y por lo tanto, Dn es una funci´on determinante. Finalmente, veremos que esta es la funci´on determinante. Para este fin, probaremos primero lo siguiente Proposici´ on 2: Sea m ∈ N fijo y sea M una funci´on multilineal alternada sobre Km+1 , m+1 M : |K × Km+1{z× · · · × Km+1} → K. m+1 veces

˜ i : Km × Km × · · · × Km → K, definida Sea i ∈ {1, 2, .., m + 1} fijo y considere la funci´on M | {z } m veces

(i?) ˜ i (~x1 , ~x2 , .., ~xm ) := M (~ei , ~x1(i?) , ~x(i?) por M xm ), donde ~ei es el i-´esimo vector de la base 2 , .., ~ can´onica de Km+1 y   [~x]1  ..   .     [~x]i−1    ~x(i?) =  0  ∈ Km+1 , ~x ∈ Km ,    [~x]i   .   ..  [~x]m

13

entendiendo que para i = 1 cada uno de los vectores comienza con 0 y para i = m + 1, los vectores tienen como u ´ltima componente el 0. ˜ i es una funci´on multilineal alternada en Km y satisface Entonces, M ˜ i (~e˜1 , ~e˜2 , .., ~e˜m ) = (−1)i−1 M (~e1 , ~e2 , ~e3 , .., ~em+1 ), M donde {~e˜1 , ~e˜2 , .., ~e˜m } denota la base can´onica ordenada en Km y {~e1 , ~e2 , ~e3 , .., ~em+1 } denota la base can´onica ordenada en Km+1 . Dem: En efecto, sea p ∈ {1, 2, .., m} fijo y consideremos ~xp , ~x˜p ∈ Km , ρ ∈ K. Por demostrar que ˜ i (~x1 , ~x2 , .., ~xp + ρ~x˜p , .., ~xm ) = M ˜ i (~x1 , ~x2 , .., ~xp , .., ~xm ) + ρM ˜ i (~x1 , ~x2 , .., ~x˜p , .., ~xm ) , M cuando se fijan los otros vectores ~xj , j 6= p. Primero, es claro que (~xp + ρ~x˜p )(i?) = (~xp )(i?) + ρ(~x˜p )(i?) . Luego, ³ ´ (i?) (i?) (i?) (i?) ˜ ˜ i (~x1 , ~x2 , .., ~xp + ρ~x˜p , .., ~xm ) = M ~ei , ~x(i?) M , ~ x , .., (~ x ) + ρ( ~ x ) , .., ~ x . p p 1 2 m Como M es multilineal en Km+1 , se tiene ´ ³ (i?) (i?) (i?) ˜ i (~x1 , ~x2 , .., ~xp + ρ~x˜p , .., ~xm ) = M ~ei , ~x(i?) + M , ~ x , .., (~ x ) , .., ~ x m p 1 2 ´ ³ (i?) (i?) (i?) ρM ~ei , ~x1 , ~x2 , .., (~x˜p )(i?) , .., ~xm . ˜ i (~x1 , ~x2 , .., ~xp , .., ~xm ) + ρM ˜ i (~x1 , ~x2 , .., ~x˜p , .., ~xm ). = M X (1?) ((m+1)?) Para lo segundo, observemos que ~e˜j = ~ej+1 , j = 1, 2, .., m; ~e˜j = ~ej , j = 1, 2, .., m (i?) (i?) y ~e˜j = ~ej+1 , i ≤ j , j = 1, 2, .., m, ~e˜j = ~ej , j < i , j = 1, 2, .., m.

Luego,

´ ³ (i?) (i?) ˜(i?) (i?) ˜(i?) ˜(i?) ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ Mi (~e1 , ~e2 , .., ~em ) = M ~ei , ~e1 , ~e2 , .., ~ei−1 , ~ei , ~ei+1 , .., ~em = M (~ei , ~e1 , ~e2 , .., ~ei−1 , ~ei+1 , ~ei+2 , .., ~em+1 ) = (−1)i−1 M (~e1 , ~e2 , ~e3 , .., ~em+1 ).

En lo anterior, entendemos que para i = 1, los vectores del grupo de 1 hasta i − 1 no aparecen, mientras que para i = m + 1, no aparece el grupo el grupo de vectores de i a m + 1. X

14

Con esto podemos demostrar el siguiente teorema Teorema: Sea M una funci´on multilineal alternada en Kn . Entonces existe una constante c ∈ K, tal que M (~a1 , ~a2 , .., ~an ) = c · Dn (~a1 , ~a2 , .., ~an ) . Dem: Si lo anterior es cierto, es inmediato que c = M (~e1 , ~e2 , .., ~en ). Demostraremos el resultado por inducci´on. Para n = 1 es claro y para n = 2, n = 3 ya vimos que es cierto. Supongamos cierta la propiedad para n, veamos que tambi´en es v´alida para n + 1. n+1 X Como M es multilineal, M (~a1 , ~a2 , .., ~an+1 ) = [~a1 ]i M (~ei , ~a2 , .., ~an+1 ). Adem´as, de la i=1

propiedad (ii), se obtiene para cada i:

(i?)

M (~ei , ~a2 , .., ~an+1 ) = M (~ei , ~a2 − [~a2 ]i~ei , .., ~an+1 ) = M (~ei , ~a2 , .., ~an+1 ). Aplicando lo anterior sucesivamente, llegamos a ˜ i (~a2 , .., ~an+1 ) . M (~ei , ~a2 , .., ~an+1 ) = M (~ei , ~a2 , .., ~an+1 ) = M (i?)

(i?)

(i)

(i)

˜ i es multilineal en Kn , entonces por hip´otesis de inducci´on y la proposici´on 2, Pero M tenemos (i) (i) (i) ˜ i (~a(i) ˜ i (~e˜1 , ~e˜2 , .., ~e˜n ) M an+1 ) = Dn (~a2 , .., ~an+1 ) · M 2 , .., ~ (i)

(i)

= (−1)i−1 Dn (~a2 , .., ~an+1 ) · M (~e1 , ~e2 , ~e3 , .., ~en+1 ) . Luego, M (~a1 , ~a2 , .., ~an+1 ) =

n+1 X

(i)

(i)

[~a1 ]i (−1)i−1 Dn (~a2 , .., ~an+1 ) · M (~e1 , ~e2 , ~e3 , .., ~en )

i=1

=

à n+1 X

! (i)

(i)

[~a1 ]i (−1)i+1 Dn (~a2 , .., ~an+1 ) M (~e1 , ~e2 , ~e3 , .., ~en+1 )

i=1

= Dn+1 (~a1 , ~a2 , .., ~an+1 ) · M (~e1 , ~e2 , ~e3 , .., ~en+1 ) . X De lo teorema anterior, obtenemos que la funci´on determinante es u ´nica. 2

15

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ Sea A ∈ Mn (K) una matriz y denotemos por aij , i, j = 1, 2, .., n sus coeficientes. Para j ∈ {1, 2, .., n}, consideraremos la j-´esima columna de A como un vector de Kn y la denotaremos por ~aj . As´ı   a1j  a2j    ~aj =  ..  .  .  anj   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a21    y por lo tanto, A =  .. .. . . ..  = (~a1 ~a2 · · · ~aj · · · ~an ).  . . .  . an1 an2 . . . ann Con esta notaci´on, definimos el determinante de A como det(A) := Dn (~a1 , ~a2 , .., ~an ) . De la definici´on de Dn , se tiene que det(a) = a , n = 1 ; det(A) =

n X

i+1

(−1)

³ ´ (i) (i) ai1 Dn−1 ~a2 , .., ~an , n ≥ 2, n ∈ N .

i=1

M´as a´ un, de la propiedad (IG), obtenemos que para todo j ∈ {2, .., n} n ´ ³ X (i) (i) (i) , n ≥ 2, n ∈ N . det(a) = a , n = 1 ; det(A) = (−1)i+j aij Dn−1 ~a1 , .., ~aj−1 , ~aj+1 , .., ~a(i) n i=1

Ejemplo : Sea In la matriz identidad. De la definici´on tenemos que ³ ´ (1) (1) (1) det(In ) = 1 · Dn−1 ~e2 , ~e3 , .., ~en = 1 . X En lo que sigue se introducir´a una nueva notaci´on. Para, n ≥ 2, definimos la submatriz A ∈ Mn−1 (K) como la matriz que se obtiene de A, sacando la fila i y la columna j.       2 2 0 3 2 2 0 3 −1 1 2  1 −1 1 2    , entonces A11 =  1 -1 1 2  =  3 4 1 , Ejemplo: Si A =   5  5 3 4 1  3 4 1  2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1     2 2 0 3 2 2 3  1 -1 1 2    1 −1 2  , etc ... A43 =   5 3 4 1 = 5 3 1 1 2 2 1 ij

16

X Usando la definici´on de la submatriz Aij , se obtiene para todo j = 1, 2, .., n ~ det(a) = a , n = 1 ; det(A) =

n X

(−1)i+j aij det(Aij ) , n ≥ 2, n ∈ N .

i=1

La f´ormula anterior corresponde al desarrollo del determinante por la columna j.   2 2 0 3  1 −1 1 2  . Ejemplo: Calcular el determinante de la matriz A =   5 3 4 1  1 2 2 1 Soluci´ on: Desarrollemos por la columna 1. O sea, ponemos j = 1 en la f´ormula (~) det(A) =

4 X (−1)i+1 ai1 det(Ai1 ) = a11 det(A11 ) − a21 det(A21 ) + a31 det(A31 ) − a41 det(A41 ) . i=1

Reemplazando los valores correspondientes queda     2 0 3 −1 1 2 det(A) = 2det  3 4 1  − 1det  3 4 1  + 2 2 1 2 2 1 

   2 0 3 2 0 3 5det  −1 1 2  − 1det  −1 1 2  . 2 2 1 3 4 1 Ahora se calcula el determinante de cada una de las submatrices de 3 ×3. S´olo calcularemos uno para mostrar el proceso   ¶¶ µµ ¶¶ µµ ¶¶ µµ −1 1 2 1 2 1 2 4 1     3 4 1 − 3det + 2det = −1det det 2 1 2 1 4 1 2 2 1 = −(4 − 2) − 3(1 − 4) + 2(1 − 8) = −7 . De la misma forma se obtiene que 

2 det  3 2

0 4 2

  3 2 0 1  = −2 , det  −1 1 1 2 2

  3 2 2  = −18 , det  −1 1 3

0 1 4

 3 2  = −35 . 1

y por lo tanto, det(A) = 2(−7) − (−2) + 5(−18) − (−35) = −67. X 17

Tambi´en es posible desarrollar por otra columna, por ejemplo j = 3. Este c´alculo tiene la cualidad que tiene una componente cero y por lo tanto, los c´alculos se reducen.       2 2 3 2 2 3 2 2 3 det(A) = −det  5 3 1  + 4det  1 −1 2  − 2det  1 −1 2  . 1 2 1 1 2 1 5 3 1 2 PROPIEDADES. (1) Sea A ∈ Mn (K) y denotemos por A0 la matriz que se obtiene de A permutando un par de columnas. Entonces, det(A) = −det(A0 ). Dem: Como A = (~a1 ~a2 · · · ~aj · · · ~an ), entonces  A0 = ~a1 ~a2



~aj · · · ~ai · · · ~an  , |{z} |{z} j

i

con i 6= j. Por defici´on, det(A0 ) = Dn (~a1 , ~a2 , .., ~aj , .., ~ai , .., ~an ) y como Dn es multilineal alter|{z} |{z} j

i

nada, entonces

Dn (~a1 , ~a2 , .., ~aj , .., ~ai , .., ~an ) = −Dn (~a1 , ~a2 , .., ~ai , .., ~aj , .., ~an ) = −det(A) . |{z} |{z} i

j

X (2) Sea A ∈ Mn (K). Supongamos que A tiene la forma 



A = ~a1 ~a2 · · · α~u + β~v · · · ~an  , | {z } i

donde a~j ∈ Kn , ~u, ~v ∈ Kn y α, β ∈ K. Entonces, ! Ã det(A) = αdet ~a1 ~a2 · · · |{z} ~u · · · ~an

!

Ã

+ βdet ~a1 ~a2 · · · |{z} ~v · · · ~an

.

i

i

Dem: En efecto, por definici´on det(A) = Dn (~a1 , ~a2 , .., α~u + β~v , .., ~an ). Como Dn es | {z } i

multilineal, por la propiedad (ii), se obtiene el resultado. En particular, si α = β = 0, entonces det(A) = 0. O sea, si alguna columna es nula, el determinante es cero. 18

Por otro lado, si tomamos ~v = a~j y α = 1, entonces det(A) = det (~a1 ~a2 · · · ~u · · · ~an ) , ya que en el segundo t´ermino se repite una columna y como Dn es alternada, entonces este t´ermino se anula. Estas dos propiedades nos dicen que si reducimos una matriz por columnas(con matrices de permutaci´on y matrices elementales con unos en la diagonal), entonces el determinante no cambia.   2 2 0 3  1 −1 1 2  . Ejemplo: Apliquemos esto a la matriz A =   5 3 4 1  1 2 2 1 Soluci´ on: Multiplicamos la primera columna por -1 y la sumamos a la segunda y se obtiene     2 2 0 3 2 0 0 3  1 −1 1 2     = det  1 −2 1 2  . det   5  5 −2 4 1  3 4 1  1 2 2 1 1 1 2 1 Ahora multiplicamos la primera columna (de la nueva a la u ´ltima columna y se llega a  2 0     2 0 0 3  1 −2  1 −2 1 2    = det  det    5 −2 4 1   5 −2  1 1 2 1  1 1

matriz) por − 23 y la sumamos 0

0

1

1 2

4 − 13 2 2

      .    

− 21

As´ı podemos seguir sucesivamente hasta llegar a una matriz triangular inferior. (3) Sea A ∈ Mn (K). Si las columnas de A son l.d. , entonces det(A) = 0. Dem: Por definici´on, det(A) = Dn (~a1 , ~a2 , .., ~an ). Como el conjunto {~a1 , ~a2 , .., ~an } es l.d., por propiedad (iii), se tiene el resultado. X (4) Sea A ∈ Mn (K) una matriz triangular superior. Entonces, det(A) =   a11 a12 . . . a1n n  0 a22 . . . a21  Y   aii . det(A) =  .. .. . . . =  . . ..  i=1 . 0 0 . . . ann 19

Qn i=1

aii . Esto es,

Dem: Por inducci´on. Para n = 2 tenemos µ ¶ a11 a12 det(A) = = a11 a22 − 0a12 = a11 a22 . 0 a22 Supongamos ahora que la propiedad se cumple para n y probemosla para n + 1. Tenemos n n X X i+1 1j 11 det(A) = (−1) ai1 det(A ) = a11 det(A ) + (−1)i+1 ai1 det(A1j ) . i=1

i=2

Como A es triangular superior, ai1 = 0 para todo i = 2, 3, .., n. Adem´as, A11 ∈ Mn (K) es una matriz triangular superior cuyos elementos de la diagonal son {a22 , a33 , .., a(n+1)(n+1) }. Por lo tanto, de lo anterior y usando la hip´otesis de inducci´on se obtiene 11

det(A) = a11 det(A ) = a11 ·

n+1 Y

aii =

i=2

n+1 Y

aii .

i=1

El mismo resultado es v´alido si A es triangular inferior. X (5) Sean Ipq y Epq (λ, 1), ∈ Mn (K) matrices de permutaci´on y elemental, respectivamente. Entonces, det(Ipq ) = −1 ; det(Epq (λ, 1)) = 1 .. Dem: En efecto, recordemos que (Ipq )pq = (Ipq )qp = 1 ; (Ipq )ii = 1, i 6= p, i 6= q, ; (Ipq )pp = (Ipq )qq = 0 y (Ipq )ij = 0 para el resto de los casos. Luego, las matrices de permutaci´on son sim´etricas y al intercambiar la columna p con la q se obtiene la matriz In . Por lo tanto, por (1) det(Ipq ) = −det(In ) = −1. Por otro lado, Epq (λ, 1), ∈ Mn (K) es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y λ en la posici´on q, p. Por (4), det(Epq (λ, 1)) = 1. X (6) Sean A, B ∈ Mn (K), entonces det(A · B) = det(A) · det(B). n n Dem: En efecto. Para esto, definimos la funci´on M : K × · · · × Kn} → K por | × K {z n veces

M (~x1 , ~x2 , .., ~xn ) := Dn (A~x1 , A~x2 , .., A~xn ) . Es claro que, M es multilineal alternada y adem´as M (~b1 , ~b2 , .., ~bn ) = Dn (A~b1 , A~b2 , .., A~bn ) = det(AB) , 20

M (~e1 , ~e2 , .., ~en ) = Dn (A~e1 , A~e2 , .., A~en ) = det(A) . Por el teorema, tenemos que M (~x1 , ~x2 , .., ~xn ) = Dn (~x1 , ~x2 , .., ~xn ) · M (~e1 , ~e2 , .., ~en ), luego, det(B)det(A) = Dn (~b1 , ~b2 , .., ~bn ) · M (~e1 , ~e2 , .., ~en ) = M (~b1 , ~b2 , .., ~bn ) = Dn (A~b1 , A~b2 , .., A~bn ) = det(AB) . X (7) Sea A ∈ Mn (K). Entonces, det(A) = det(At ). Dem: Del algoritmo de Gauss, sabemos existe una matriz E, que es un producto finito entre matrices de permutaci´on y elementales, tal que A˜ = E · A, con A˜ una matriz ˜ triangular superior. De (6), tenemos que det(E)det(A) = det(EA) = det(A). Por otro lado, por (5) y (6), se tiene que det(E) = (−1)# donde # denota el n´ umero de matrices de permutaci´on. Adem´as, A˜t = At E t . Por lo tanto, det(A˜t ) = det(At )det(E t ). Como la transpuesta de cada matriz elemental es una matriz triangular superior con unos en la diagonal y cada matriz de permutaci´on es sim´etrica, se concluye que det(E t ) = det(E). Finalmente, observemos que A˜t es una matriz triangular inferior y los elementos de ˜ luego por (4) tenemos que det(A˜t ) = la diagonal son exactamente los mismos que A, ˜ Por lo tanto, se obtiene det(A) = det(At ). det(A). ´ OBSERVACION: Este resultado nos dice que el determinante tambi´en se puede desarrollar por filas, esto es, para todo i = 1, 2, .., n det(a) = a , n = 1 ; det(A) =

n X

(−1)i+j aij det(Aij ) , n ≥ 2, n ∈ N .

j=1

Por lo tanto, el determinante no cambia si se reduce la matriz por filas. Luego, para calcular el determinante es posible mezclar operaciones elementales (adecuadamente) de manera de formar una matriz triangular o para obtener la mayor cantidad de ceros posible por filas o columnas para hacer los c´aluculos m´as sencillos. Ejemplo: En el ejemplo anterior 

2

0 0

0

1

1 2

− 21

   2 2 0 3 1  1 −2 1 2   1 −1 1 2   = det  det    5 3 4 1   5 −2 4 − 13 2  1 2 2 1  

21

      .    

Desarrollamos el determinante por la  2 0 0 0   1  1 −2 1 2  det    5 −2 4 − 13 2   1 1 2 − 21

primera fila y se    −2       = 2det  −2       1

obtiene 1

1 2

4

− 13 2

2

− 12

    .  

Para continuar, se puede permutar la primera y u ´ltima fila para pivotear nuevamente. Por lo tanto,   2 0 0 0     1 1   1 2 − 1 2 − 2 2   1    1 −2 1    2        = −2det  −2 4 − 13  = −2det  0 8 − 15  . det  2  2       5 −2 4 − 13      2   1 1   −2 1 0 5 −2 2 1 1 1 2 −2 X (8) Sea A ∈ Kn . det(A) = 0 ssi las columnas de A forman un conjunto l.d. en Kn . Dem: Ya se demostr´o que si las columnas eran l.d. en Kn (observe que se consider´o Kn como espacio vectorial sobre K), entonces det(A) = 0. Veamos la implicancia rec´ıproca. Supongamos que det(A) = 0. Entonces, la matriz escalonada de A tambi´en tiene determinante cero. Como la matriz escalonada es triangular superior, entonces por (4) su determinante es el producto de los elementos de la diagonal y por lo tanto, al menos uno de los elementos de la diagonal tiene que ser nulo. Luego, el sistema A~x = ~0 tiene m´as de una soluci´on. O sea, existe    ~x =  

x1 x2 .. .

   ~  6= 0 , 

xn tal que A~x = ~0. Entonces, usando la notaci´on por columnas de A, se tiene que A~x =

n X

xi~ai = ~0

i=1

y NO todos los coeficientes son nulos, luego el conjunto de las columnas es l.d. . 22

X (9) Sea A ∈ Mn (K). Entonces, A es invertible ssi det(A) 6= 0. Dem: De (8) tenemos que det(A) 6= 0 ssi las columnas de A son l.i. (y por lo tanto una base de Kn ) y esto es ssi A es invertible. X (10) Sea A ∈ Mn (K) una matriz invertible. Entonces det(A−1 ) =

1 . det(A)

Dem: En efecto, como A invertible, entonces existe A−1 tal que AA−1 = In , luego det(AA−1 ) = det(A)det(A−1 ) = det(In ) = 1, de donde se obtiene el resultado. 2 ´ GEOMETRICA ´ INTERPRETACION DEL DETERMINANTE EN R2 Y R3 . µ

¶ µ ¶ a1 b1 ~ Sean ~a = , b= ∈ R2 y consideremos la matriz A ∈ M2 (R) cuyas columnas a2 b2 son los vectores definidos anteriormente, es decir, A = (~a ~b). Entonces, si estos vectores son l.i., |det(A)| corresponde al ´area del paralel´ogramo definido por los vectores ~a y ~b.

23

En efecto, sabemos que el ´area de un paralel´ogramo es el largo de la base por la respectiva altura. Siguiendo la figura, tomamos como base el vector ~a. De esta manera el ´area A = ||~a|| · ||~h|| . Para obtener ~h, primero se calcula la proyecci´on de ~b sobre el vector ~a(o sobre la recta con vector director ~a). Este vector lo denotamos por p~ y al hacer los c´alculos se obtiene à ! ~ ~a • b p~ = ~a , ||~a||2 donde • denota el producto punto usual en R2 . As´ı, ~h = ~b − p~ y haciendo los reemplazos 1 b2 | respectivos, se llega a ||~h|| = |a2 b1||~−a . Por lo tanto, a|| A = ||~a|| · ||~h|| = |a2 b1 − a1 b2 | = |det(A)| . X 

   a1 b1 Veamos el caso de R3 . Ahora, se consideran vectores ~a =  a2  , ~b =  b2 , a3 b3   c1 ~c =  c2  ∈ R3 y la matriz A ∈ M3 (R) cuyas columnas son los vectores definidos anterior c3 mente, es decir, A = (~a ~b ~c). Entonces, si estos vectores son l.i., |det(A)| corresponde al volumen del paralelep´ıpedo regular definido por los vectores ~a, ~b y ~c.

24

En efecto, sabemos que el volumen de un paralelep´ıpedo regular es el ´area basal por la respectiva altura. Siguiendo la figura, tomamos como cara basal la formada por los vectores ~a y ~b. De esta manera el volumen se calcula como V = A~a~b · ||~h|| , donde A~a~b es el ´area de la cara que generan los vectores ~a y ~b. Como ~h es perpendicular al plano generado por ~a y ~b, entonces ´este se obtiene como la proyecci´on de ~c sobre la recta de vector director ~a × ~b (este producto cruz no es ~0 ∈ R3 , ya que los vectores son l.i.). Luego, ! à ~b) ~ c • (~ a × ~h = · (~a × ~b) , ||~a × ~b||2 donde • denota el producto punto usual en R3 . Por otro lado, de las propiedades del producto cruz se tiene que A~a~b = ||~a × ~b||. Luego, haciendo los reemplazos respectivos, se llega a ¯¯Ã ¯¯ ! ¯¯ ~c · (~a × ~b) ¯¯ ¯ ¯ ¯¯ ~ ~ V = ||~a × b|| · ¯¯ ~a × b¯¯ = |~c · (~a × ~b)| . ¯¯ ||~a × ~b||2 ¯¯ Si se aplica la definici´on del determinante a la matriz A y se desarrolla por la tercera columna, esto es por ~c, se obtiene que det(A) = ~c · (~a × ~b). Por lo tanto, V = det(A). 2 LA MATRIZ DE COFACTORES Y LA REGLA DE CRAMER. Sea A ∈ Mn (K). De lo anterior, tenemos que para cada j = 1, 2, .., n det(A) =

n X

(−1)i+j aij det(Aij ) .

i=1

El coeficiente (−1)i+j det(Aij ) se denomina cofactor i, j de A. Usaremos la notaci´on cij := (−1)i+j det(Aij ) . De esta manera, se define la matriz de cofactores, como (cof (A))rs := crs , r, s ∈ {1, 2, .., n}. P As´ı, det(A) = ni=1 aij cij para todo j = 1, 2, .., n. Ahora, si k 6= j, entonces

n X

aik cij = 0 .

i=1

25

En efecto, sea B la matriz que se obtiene de A sacando la columna j y poniendo en su lugar, la columna k. Entonces, B tiene dos columnas iguales, luego det(B) = 0. Adem´as, es claro que B ij = Aij . De esto concluimos que 0 = det(B) = = =

Pn

i+j (B)ij det(B ij ) i=1 (−1)

Pn

i+j aik det(Aij ) i=1 (−1)

Pn i=1

aik cij .

De esta manera hemos demostrado que n X

  det(A) , j = k aik cij =

i=1



0

, j 6= k

y por lo tanto, (cof (A))t · A = det(A)In . Luego, si A es invertible, entonces A−1 =

1 (cof (A))t . det(A)

Observaci´ on: cof (At ) = (cof (A))t . Ejemplo 1 : Obtener la expresi´on general de la inversa para una matriz A ∈ M2 (R). ¶ µ a b ∈ M2 (R). Luego, (cof (A))11 = d, (cof (A))12 = −c, (cof (A))21 = Soluci´ on: Sea A = c d −b, (cof (A))22 = a. As´ı µ ¶ d −c cof (A) = . −b a Observemos que A es invertible ssi det(A) = ad − bc 6= 0, por lo tanto, µ ¶ 1 1 d −b −1 t A = (cof (A)) = . a ad − bc ad − bc −c Ejemplo 2 : Usar la matriz de cofactores para  1 A= 0 −1

encontrar la inversa de la matriz  1 0 1 1  . 1 −1

Soluci´ on: Primero calculamos su determinante. En este caso, det(A) = −3. Por lo tanto, A 26

es invertible. Calculemos la matriz de cofactores.  (−1)1+1 det(A11 ) (−1)1+2 det(A12 ) (−1)1+3 det(A13 )    c11 c12 c13  2+1 21 2+2 22 2+3 23 cof (A) =  c21 c22 c23  =   (−1) det(A ) (−1) det(A ) (−1) det(A )  c31 c32 c33 (−1)3+1 det(A31 ) (−1)3+2 det(A32 ) (−1)3+3 det(A33 )

    .  

Por lo tanto, µ



1 1 1 −1

¶

µ

0 1 −1 −1

¶

µ

0 1 −1 1

¶ 

−det det   det      µ ¶ µ ¶ µ ¶    1 0 1 0 1 1  , −det det −det cof (A) =    1 −1 −1 −1 −1 1      µ ¶ µ ¶ µ ¶    1 0 1 0 1 1 det −det det 1 1 0 1 0 1 

   −2 −1 1 −2 1 1 cof (A) =  1 −1 −2  , cof (A)t =  −1 −1 −1  . 1 −1 1 1 −2 1 Luego,



A−1

 −2 1 1 1 = −  −1 −1 −1  . 3 1 −2 1 2

Finalmente, apliquemos lo anterior para resolver un sistema A~x = ~b, donde A ∈ Mn (K) es una matriz invertible y ~b ∈ Kn . Premultiplicando por (cof (A))t , tenemos (cof (A))t · A~x = (cof (A))t~b . Como A invertible, entonces det(A) 6= 0. Luego ~x =

1 (cof (A))t~b. det(A)

Entonces, si calculamos la componente i del vector ~x tenemos n X ¡ ¢ 1 · (cof (A))t ik bk , [~x]i = det(A) k=1

donde bk denota la componente k del vector ~b. n n X X 1 1 · cki bk = · (−1)k+i det(Aki )bk . [~x]i = det(A) k=1 det(A) k=1

27

P La expresi´on nk=1 (−1)k+i bk det(Aki ) corresponde precisamente al determinante de la matriz Bi , la cual se obtiene de A sacando la columna i y reemplaz´andola por el vector ~b. Luego, det(Bi ) , i = 1, 2, .., n. [~x]i = det(A) Esta forma de obtener la soluci´on de un sistema se conoce como LA REGLA DE CRAMER. Ejemplo: Calcular la soluci´on del sistema      1 0 1 x1 1  −1 −1 1   x2  =  3  . 1 2 0 x3 4 Soluci´ on : Primero vemos que det(A) = −3, luego A es invertible. As´ı, tenemos      1 0 1 1 1 1 1 0 det  −1 3 1  det  −1 −1 det  3 −1 1  1 4 0 1 2 4 2 0 , x2 = , x3 = x1 = det(A) det(A) det(A)

que  1 3  4

. 2

28