Formulario Probabilidad Y Estadistica.pdf

Unidad I

Departamento de Estadística, UAA

1 Estadística descriptiva

2 Teoría de eventos

Dada una muestra {x1 , x2 , . . . , xn }, se definen Frecuencias absolutas

ni

absolutas acumuladas

ni n pi = fi × 100 X nk Ni =

relativas acumuladas

Fi =

relativas

fi =

porcentajes

k≤i

n X

Media x ¯=

r X

xi

i=1

n impar

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A∩B =B∩A

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Leyes de Morgan

Asociatividad

(A ∪ B)c = Ac ∩ B c c

c

(A ∩ B) = A ∪ B

c

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Complementario A ∩ Ac = ∅

∅c = Ω

c

A∪A =Ω

(Ac )c = A

Ωc = ∅

A − B = A ∩ Bc

Axiomas de Kolmogorov

n par

2

• P (A) ≥ 0 • P (Ω) = 1

n X

r X

i=1

= n n X (xi − x ¯ )2

k=1

i=1

=

(xi − x ¯ )2

Sn2 =

A∪B =B∪A

3 Probabilidad

n

  x( n+1 ) 2 Mediana x e= n n  x( 2 ) + x( 2 +1) Varianza

Distributividad

xk nk

k=1

=

n

Ni n

Conmutatividad

2 Sn−1 =

n−1

• Si A y B son excluyentes

(xk − x ¯)2 nk

r X

n (xk − x ¯)2 nk

k=1

n−1

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) Probabilidad condicional P (A ∩ B) , si P (B) > 0 P (A|B) = P (B) Regla del producto P (A ∩ B) = P (A|B)P (B)

Rango R = x(n) − x(1)

Leyes de suma

Cuantiles Cp , 0 ≤ p ≤ 1 Cp = (1 − 4 r)x( rx( r) + 4 r +1)

• P (Ac ) = 1 − P (A)

donde r = p(n − 1) + 1,

• P (A − B) = P (A) − P (A ∩ B)

4 r=parte decimal,  r=parte entera • Cuartiles Qk = C k , k = 1, 2, 3

• P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) Probabilidad total

4

• Deciles Dk = C k , k = 1, 2, . . . , 9

• P (B) = P (B|A)P (A) + P (B|Ac )P (Ac )

• Percentiles Pk = C

• P (B) =

10

k 100

, k = 1, 2, . . . , 99

k X

P (B|Ai )P (Ai ) donde {A1 , A2 , . . . , Ak }

i=1

forman una partición de Ω Rango intercuartilico RIQ = Q3 − Q1 Regla de Bayes Coeficiente de simetría α3 = con M3 =

1 n

n X

P (B|A)P (A) P (B) P (B|A)P (A) • P (A|B) = P (B|A)P (A) + P (B|Ac )P (Ac ) P (B|Ai )P (Ai ) • P (Ai |B) = Pk j=1 P (B|Aj )P (Aj ) • P (A|B) =

(xi − x ¯ )3

i=1

Coeficiente de curtosis α4 = con M4 =

M3 Sn3

n 1X (xi − x ¯ )4 n i=1

M4 Sn4

Independencia A y B son independientes sí y sólo si • P (A|B) = P (A)

Diagrama de caja y brazos CIi =, Q1 − 1.5 × RIQ

• P (B|A) = P (B)

CIs = Q3 + 1.5 × RIQ

• P (A ∩ B) = P (A)P (B) © 2016 JAGDL

Unidad II

Departamento de Estadística, UAA

1 Distribuciones discretas En las propiedades, X ∼ f = fX y Y ∼ fy y c ∈ R Función de distribución f (x) ≥ 0 X f (x) = 1 x

Si X ∼ f , P (X = x) = f (x) Función de distribución acumulada X F (x) = P (X ≤ x) = f (y) y≤x

• 0 ≤ F (x) ≤ 1 • Si x ≤ y entonces F (x) ≤ F (y) Valor esperado X xf (x) E[X] = x

• E[c] = c • E[cX] = cE[X] • E[X + c] = E[X] + c • E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] X g(x)f (x) E[g(X)] = x

Varianza V [X]

= =

E[(X − E[X])2 ] X (x − E[X])2 f (x) x

• V [c] = 0 • V [cX] = c2 V [X] • V [X + c] = V [X] • Si X y Y son independientes, V [X +Y ] = V [X]+V [Y ] p SD[X] = V [X] Momentos mr = E[X r ] =

X

xr f (x)

x

• m1 = E[X] • m2 = V [X] + E[X]2 • V [X] = m2 − m21 Función generadora de momentos X tx e f (x) MX (t) = E[etX ] = x

dk M (t) • mk = dtk

t=0

• Si Y = cX, MY (t) = MX (ct) • Si Y = X + c, MY (t) = ect MX (t) n X • Si Y = Xi , i=1

MY (t) = MX1 (t) · · · MXn (t) • Si X y Y son dos variables tales que MX (t) = MY (t), entonces fX (x) = fY (x)

© 2016 JAGDL

Unidad III

Departamento de Estadística, UAA Momentos

1 Distribuciones continuas

mk = E[X k ] = En las propiedades, X ∼ f = fX , Y ∼ fy y c ∈ R

xk f (x)dx

• m1 = E[X]

Función de densidad

• m2 = V [X] + E[X]2

fZ (x) ≥ 0 f (x)dx = 1

• V [X] = m2 − m21 Z

Función generadora deZ momentos

b

f (x)dx

P (a < X < b) =

MX (t) = E[etX ] =

a

Función de distribución Zacumulada x F (x) = P (X ≤ x) =

f (y)dy

etx f (x)dx

dk M (t) dtk t=0

• mk =

−∞

• Si Y = cX, MY (t) = MX (ct)

• 0 ≤ F (x) ≤ 1

• Si Y = X + c, MY (t) = ect MX (t)

• Si x ≤ y entonces F (x) ≤ F (y)

• Si Y =

• F 0 (x) = f (x)

n X

Xi ,

i=1

MY (t) = MX1 (t) · · · MXn (t)

Valor esperado Z E[X] =

Z

• Si MX (t) = MY (t), entonces fX (x) = fY (x)

f (x)dx

• E[c] = c

2 Distribucions conjuntas

• E[cX] = cE[X] Propiedades

• E[X + c] = E[X] + c

• fX,Y (x, y) ≥ 0 Z Z • fX,Y (x, y)dydx = 1

• E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] Z E[g(X)] = g(x)f (x)dx Varianza V [X]

Valor esperado 2

E[(X − E[X]) ] Z (x − E[X])2 f (x)dx

= =

• E[g(X, Y )] = Acumulada

• V [c] = 0

Z

b −∞

Marginales

• V [X + c] = V [X] • Si X y Y son independientes, V [X +Y ] = V [X]+V [Y ] V [X]

Covarianza

f (x, y)dydx −∞

• V [cX] = c V [X]

p

Z

g(X, Y )fX,Y (x, y)dydx

F (a, b) = 2

SD[X] =

a

Z Z

• fX (x) =

Z

• fY (y) =

Z

fX,Y (x, y)dy fX,Y (x, y)dx

Condicionales

Cov[X, Y ] = E[(X − E[X])(Y − E[Y ])] • Cov[X, Y ] = E[XY ] − E[X]E[Y ] • V [X + Y ] = V [X] + V [Y ] + 2Cov[X, Y ] Función gamma • Γ(x) = (x − 1)Γ(x − 1) • Γ(n) = (n − 1)! si n ∈ N √ 1 1 1 • Γ( ) = π, Γ( ) = 2.6789, Γ( ) = 3.6256 2 3 4 Estandarización X −µ ∼ N (0, 1), σ p donde µ = E[X] y σ = V [X] • Z=

© 2016 JAGDL

• fX|Y =y (x) =

fX,Y (x, y) fY (y)

• fY |X=x (y) =

fX,Y (x, y) fX (x)