Formazione Delle Immagini
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- Words: 4,146
- Pages: 56
Introduzione
La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
Modello generale
Altri modelli
Parte 1/3: Formazione delle immagini A.A. 2008-2009 - Corso di Computer Vision
Eugenio Rustico [email protected] D.M.I. - Universit` a di Catania
Versione: 25 marzo 2009
Eugenio Rustico [email protected] Formazione delle immagini
IPlab - Universit` a di Catania
Introduzione
La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
Modello generale
Altri modelli
5-6 lezioni su Formazione dell’immagine Calibrazione della camera Stereovisione e ricostruzione Web: http://www.dmi.unict.it/~battiato/CVision0809/CVision0809.htm http://www.dmi.unict.it/~rustico
Eugenio Rustico [email protected] Formazione delle immagini
IPlab - Universit` a di Catania
Introduzione
La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
Modello generale
Altri modelli
In caso di dubbi/difficolt`a (in ordine di importanza): 1
Interagire a lezione, interrompere e domandare in qualsiasi momento
2 3
Consultare appunti, libri di testo, Wikipedia... Ricevimento (preferibilmente mercoled`ı)
4
Email: [email protected]
Eugenio Rustico [email protected] Formazione delle immagini
IPlab - Universit` a di Catania
Introduzione
La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
Modello generale
Altri modelli
La risoluzione di molte problematiche di Computer Vision parte dall’analisi del processo di formazione dell’immagine di una scena. Alcune tecniche di calibrazione e ricostruzione seguono una sorta di reverse engineering di questo processo. Come si forma l’immagine di una scena?
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Introduzione
La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
Modello generale
Altri modelli
Sommario 1 Introduzione 2 La camera pinhole
La scena Camera pinhole
3 Lenti sottili
Deviazione della luce Equazione fondamentale
4 La camera prospettica
Modello semplice Modello debole Parametri estrinseci Parametri intrinseci
5 Modello generale
Versione lineare Versione matriciale
6 Altri modelli Eugenio Rustico [email protected] Formazione delle immagini
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Introduzione
La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
Modello generale
Altri modelli
La scena
Abbiamo una fonte di luce, degli oggetti non completamente trasparenti e una superficie sensibile ai raggi di luce (pellicola, sensore digitale, r´etina, etc.). I raggi di luce vengono rifratti dagli oggetti in modo “caotico”
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La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
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La scena
Ogni punto della scena “influisce” su diversi punti del piano immagine... Eugenio Rustico [email protected] Formazione delle immagini
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Lenti sottili
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La scena
...e ogni punto del piano immagine `e colpito da raggi provenienti da punti differenti Eugenio Rustico [email protected] Formazione delle immagini
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La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
Modello generale
Altri modelli
La scena
Come facciamo a fare in modo che ogni punto della scena influisca su di un solo punto del piano immagine?
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La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
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La scena
Come facciamo a fare in modo che ogni punto della scena influisca su di un solo punto del piano immagine? Una possibilit`a `e quella di costringere tutti i raggi a passare per un foro molto piccolo...
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Introduzione
La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
Modello generale
Altri modelli
Camera pinhole
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La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
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Camera pinhole
La “scatola” dove si forma l’immagine `e una camera pinhole. Eugenio Rustico [email protected] Formazione delle immagini
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Camera pinhole
Ma la camera pinhole...
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La camera pinhole
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Camera pinhole
Ma la camera pinhole... Richiede una superficie con un range di sensibilit`a enorme
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La camera pinhole
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Camera pinhole
Ma la camera pinhole... Richiede una superficie con un range di sensibilit`a enorme Non `e molto pratica (zoomare?)
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Introduzione
La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
Modello generale
Altri modelli
Le lenti sottili sono un dispositivo ottico pi` u complesso e pi`u flessibile per mettere a fuoco l’immagine di una scena. Possiamo immaginarle come un sottile disco di vetro di un materiale trasparente in cui sono definiti un asse ottico e due fuochi, ovvero due punti particolari dell’asse ottico esterni alla lente stessa.
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La camera pinhole
Lenti sottili
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Deviazione della luce
Le lenti sono in grado di deviare la luce seguendo due regole:
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La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
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Deviazione della luce
Le lenti sono in grado di deviare la luce seguendo due regole: Ogni raggio di luce che entra da un lato della lente parallelamente all’asse ottico viene deviato verso il fuoco che si trova dall’altro lato;
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La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
Modello generale
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Deviazione della luce
Le lenti sono in grado di deviare la luce seguendo due regole: Ogni raggio di luce che entra da un lato della lente parallelamente all’asse ottico viene deviato verso il fuoco che si trova dall’altro lato; Ogni raggio di luce che entra da un lato della lente passando per il fuoco esce dall’altro lato parallelamente all’asse ottico.
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La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
Modello generale
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Deviazione della luce
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La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
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Equazione fondamentale
△
Tramite considerazioni geometriche sulle coppie di triangoli simili PQFl , △
△
△
SOFl e ROFr , TpFr , otteniamo la relazione 1 1 1 + = ˆ z ˆ f Z che `e l’equazione fondamentale delle lenti sottili. Eugenio Rustico [email protected] Formazione delle immagini
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La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
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Equazione fondamentale
1 1 1 + = ˆ z ˆ f Z Questa relazione ha una conseguenza importante: affinch´e l’immagine sia a fuoco, a parit`a di lunghezza focale (i.e. distanza del fuoco dal centro) i punti devono trovarsi alla stessa distanza dalla lente. In altre parole, una lente `e in grado di mettere a fuoco solo una sezione della scena parallela al piano immagine.
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La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
Modello generale
Altri modelli
Equazione fondamentale
1 1 1 + = ˆ z ˆ f Z Questa relazione ha una conseguenza importante: affinch´e l’immagine sia a fuoco, a parit`a di lunghezza focale (i.e. distanza del fuoco dal centro) i punti devono trovarsi alla stessa distanza dalla lente. In altre parole, una lente `e in grado di mettere a fuoco solo una sezione della scena parallela al piano immagine. ...ma cosa vuol dire mettere a fuoco, ad esempio, in una macchina digitale?
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La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
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Modello semplice
Che il nostro sistema ottico sia un pinhole o una lente sottile, l’immagine che si forma `e una proiezione della scena tridimensionale attraverso il piano di immagine π:
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La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
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Modello semplice
△
△
Procediamo nuovamente per triangoli simili: pQO `e simile a PRO, da cui deriviamo: pQ : PR = OQ : OR
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La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
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Modello semplice
ovvero:
X Z Y y= f Z che chiamiamo equazioni fondamentali della camera prospettica. x=
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f
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La camera pinhole
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Modello debole
Le equazioni fondamentali della camera prospettica non sono lineari; possiamo per`o renderle lineari al prezzo di una piccola approssimazione.
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La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
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Modello debole
Le equazioni fondamentali della camera prospettica non sono lineari; possiamo per`o renderle lineari al prezzo di una piccola approssimazione. Se i punti della scena sono abbastanza distanti dalla camera e le differenze di coordinata Z tra punti differenti sono trascurabili, possiamo approssimare i valori delle Z con una costante Z˜ . Le equazioni fondamentali allora diventano:
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La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
Modello generale
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Modello debole
Le equazioni fondamentali della camera prospettica non sono lineari; possiamo per`o renderle lineari al prezzo di una piccola approssimazione. Se i punti della scena sono abbastanza distanti dalla camera e le differenze di coordinata Z tra punti differenti sono trascurabili, possiamo approssimare i valori delle Z con una costante Z˜ . Le equazioni fondamentali allora diventano: X ˜ Z Y y= f Z˜ x=
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f
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La camera pinhole
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Modello debole
Le equazioni fondamentali della camera prospettica non sono lineari; possiamo per`o renderle lineari al prezzo di una piccola approssimazione. Se i punti della scena sono abbastanza distanti dalla camera e le differenze di coordinata Z tra punti differenti sono trascurabili, possiamo approssimare i valori delle Z con una costante Z˜ . Le equazioni fondamentali allora diventano: X ˜ Z Y y= f Z˜ x=
f
Indicativamente, tale approssimazione `e fattibile quando le differenze δZ tra i punti della scena sono inferiori ad 1/20 della distanza media da O.
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La camera pinhole
Lenti sottili
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Parametri estrinseci
Le coordinate dei punti, finora, le abbiamo considerate nel sistema di riferimento della camera stessa. Il pi` u delle volte, per` o, i punti vengono forniti nel sistema di riferimento del mondo, la cui relazione col sistema della camera `e spesso sconosciuta.
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Parametri estrinseci
Le coordinate dei punti, finora, le abbiamo considerate nel sistema di riferimento della camera stessa. Il pi` u delle volte, per` o, i punti vengono forniti nel sistema di riferimento del mondo, la cui relazione col sistema della camera `e spesso sconosciuta. Per passare da un sistema di riferimento ad un altro ci serve una rototraslazione nello spazio. Possiamo identificarla con due vettori: T racchiude gli offset di traslazione (3 valori), R la rotazione (3 gradi di libert`a): Pc = R(Pw − T ) I sei parametri che definiscono questa trasformazione, specifica per ogni camera, sono i parametri estrinseci della camera.
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Parametri intrinseci
Servono altri parametri, oltre ai sei estrinseci, per definire completamente la proiezione cui ogni punto `e sottoposto:
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La camera pinhole
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Parametri intrinseci
Servono altri parametri, oltre ai sei estrinseci, per definire completamente la proiezione cui ogni punto `e sottoposto: Conosciamo gi`a la lunghezza focale f , che nelle camere reali `e correlata allo zoom ottico
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Parametri intrinseci
Servono altri parametri, oltre ai sei estrinseci, per definire completamente la proiezione cui ogni punto `e sottoposto: Conosciamo gi`a la lunghezza focale f , che nelle camere reali `e correlata allo zoom ottico Il piano immagine ha un sistema di riferimento proprio, di solito in pixel. Ci serve conoscere l’origine del sistema: gli offset ox e oy rappresentano le coordinate in pixel del centro ottico
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La camera pinhole
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Modello generale
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Parametri intrinseci
Servono altri parametri, oltre ai sei estrinseci, per definire completamente la proiezione cui ogni punto `e sottoposto: Conosciamo gi`a la lunghezza focale f , che nelle camere reali `e correlata allo zoom ottico Il piano immagine ha un sistema di riferimento proprio, di solito in pixel. Ci serve conoscere l’origine del sistema: gli offset ox e oy rappresentano le coordinate in pixel del centro ottico L’unit`a di misura del mondo 3D `e la stessa del piano immagine? Definiamo sx ed sy come le dimensioni orizzontale e verticale di un pixel del sensore (a volte baster`a il loro rapporto α = sy /sx )
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Modello generale
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Parametri intrinseci
Servono altri parametri, oltre ai sei estrinseci, per definire completamente la proiezione cui ogni punto `e sottoposto: Conosciamo gi`a la lunghezza focale f , che nelle camere reali `e correlata allo zoom ottico Il piano immagine ha un sistema di riferimento proprio, di solito in pixel. Ci serve conoscere l’origine del sistema: gli offset ox e oy rappresentano le coordinate in pixel del centro ottico L’unit`a di misura del mondo 3D `e la stessa del piano immagine? Definiamo sx ed sy come le dimensioni orizzontale e verticale di un pixel del sensore (a volte baster`a il loro rapporto α = sy /sx ) Le lenti reali introducono nell’immagine una distorsione radiale, parametrizzabile con due parametri k1 e k2
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La camera pinhole
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Modello generale
Altri modelli
Parametri intrinseci
Servono altri parametri, oltre ai sei estrinseci, per definire completamente la proiezione cui ogni punto `e sottoposto: Conosciamo gi`a la lunghezza focale f , che nelle camere reali `e correlata allo zoom ottico Il piano immagine ha un sistema di riferimento proprio, di solito in pixel. Ci serve conoscere l’origine del sistema: gli offset ox e oy rappresentano le coordinate in pixel del centro ottico L’unit`a di misura del mondo 3D `e la stessa del piano immagine? Definiamo sx ed sy come le dimensioni orizzontale e verticale di un pixel del sensore (a volte baster`a il loro rapporto α = sy /sx ) Le lenti reali introducono nell’immagine una distorsione radiale, parametrizzabile con due parametri k1 e k2 I sette parametri f , ox , oy , sx , sy , k1 e k2 sono detti intrinseci e riguardano il modo con cui i punti del piano immagine (in coordinate della camera) vengono mappati sul piano immagine reale (e.g. un sensore di pixel) con un proprio sistema di riferimento. Eugenio Rustico [email protected] Formazione delle immagini
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Parametri intrinseci
ox , oy , sx ed sy ci permettono di descrivere direttamente la relazione il sistema di riferimento della camera e quello del piano di immagine. Se indichiamo con (xim , yim ) le coordinate in pixel del punto (x, y ), la relazione `e: x=
−(xim − ox )sx
y = −(yim − oy )sy La relazione `e un po’ pi`u complessa per la distione radiale, modellata da k1 e k2 . Se (xd , yd ) sono le coordinate distorte del punto (x, y ), possiamo scrivere: x = xd (1 + k1 r 2 + k2 r 4 ) y = yd (1 + k1 r 2 + k2 r 4 ) dove r 2 = xd 2 + yd 2 . Eugenio Rustico [email protected] Formazione delle immagini
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Introduzione
La camera pinhole
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La camera prospettica
Modello generale
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Adesso, con i parametri estrinseci della camera, siamo in grado di tradurre il sistema di riferimento del mondo in quello della camera. Per proiettare un punto della scena Pw sul piano immagine di una camera arbitrariamente orientata e calibrata non dovremo far altro che:
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La camera pinhole
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La camera prospettica
Modello generale
Altri modelli
Adesso, con i parametri estrinseci della camera, siamo in grado di tradurre il sistema di riferimento del mondo in quello della camera. Per proiettare un punto della scena Pw sul piano immagine di una camera arbitrariamente orientata e calibrata non dovremo far altro che: 1
Tradurre le coordinate di Pw nel sistema di riferimento della camera
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La camera pinhole
Lenti sottili
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Modello generale
Altri modelli
Adesso, con i parametri estrinseci della camera, siamo in grado di tradurre il sistema di riferimento del mondo in quello della camera. Per proiettare un punto della scena Pw sul piano immagine di una camera arbitrariamente orientata e calibrata non dovremo far altro che: 1
Tradurre le coordinate di Pw nel sistema di riferimento della camera (Pc = R(Pw − T ))
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Introduzione
La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
Modello generale
Altri modelli
Adesso, con i parametri estrinseci della camera, siamo in grado di tradurre il sistema di riferimento del mondo in quello della camera. Per proiettare un punto della scena Pw sul piano immagine di una camera arbitrariamente orientata e calibrata non dovremo far altro che: 1
2
Tradurre le coordinate di Pw nel sistema di riferimento della camera (Pc = R(Pw − T )) Proiettare Pc con le equazioni fondamentali della camera prospettica
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Introduzione
La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
Modello generale
Altri modelli
Adesso, con i parametri estrinseci della camera, siamo in grado di tradurre il sistema di riferimento del mondo in quello della camera. Per proiettare un punto della scena Pw sul piano immagine di una camera arbitrariamente orientata e calibrata non dovremo far altro che: 1
2 3
Tradurre le coordinate di Pw nel sistema di riferimento della camera (Pc = R(Pw − T )) Proiettare Pc con le equazioni fondamentali della camera prospettica Tradurre le coordinate del punto proiettato in pixel tramite i parametri intriseci
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Versione lineare
X Z Y y= f Z x=
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f
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Lenti sottili
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Modello generale
Altri modelli
Versione lineare
X Z Y y= f Z x=
f
−(xim − ox )sx = −(yim − oy )sy =
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X Z Y f Z f
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Modello generale
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Versione lineare
X Z Y y= f Z x=
f
−(xim − ox )sx = −(yim − oy )sy =
−(xim − ox )sx = −(yim − oy )sy =
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X Z Y f Z f
R1 (Pw R3 (Pw R2 (Pw f R3 (Pw
f
− T )T − T )T − T )T − T )T
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Modello generale
Altri modelli
Versione lineare
X Z Y y= f Z x=
f
−(xim − ox )sx = −(yim − oy )sy =
−(xim − ox )sx = −(yim − oy )sy =
X Z Y f Z f
R1 (Pw R3 (Pw R2 (Pw f R3 (Pw
f
− T )T − T )T − T )T − T )T
Versione lineare delle equazioni fondamentali di proiezione prospettica Eugenio Rustico [email protected] Formazione delle immagini
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Modello generale
Altri modelli
Versione matriciale
Vediamo di scrivere le equazioni lineari con una notazione pi`u compatta:
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Lenti sottili
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Modello generale
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Versione matriciale
Vediamo di scrivere le equazioni lineari con una notazione pi`u −f /sx 0 ox r11 r12 r13 Mint = 0 −f /sy oy Mext = r21 r22 r23 0 0 1 r31 r32 r33
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compatta: −R1 T T −R2 T T −R3 T T
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Versione matriciale
Vediamo di scrivere le equazioni lineari con una notazione pi`u −f /sx 0 ox r11 r12 r13 Mint = 0 −f /sy oy Mext = r21 r22 r23 0 0 1 r31 r32 r33 Xw x1 Yw x2 = Mint Mext Zw x3 1
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compatta: −R1 T T −R2 T T −R3 T T
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Versione matriciale
Vediamo di scrivere le equazioni lineari con una notazione pi`u −f /sx 0 ox r11 r12 r13 Mint = 0 −f /sy oy Mext = r21 r22 r23 0 0 1 r31 r32 r33 Xw x1 Yw x2 = Mint Mext Zw x3 1
compatta: −R1 T T −R2 T T −R3 T T
Versione matriciale delle equazioni fondamentali di proiezione prospettica
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A volte si compattano Mint ed Mext in una sola matrice M = Mint Mext .
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Altri modelli
A volte si compattano Mint ed Mext in una sola matrice M = Mint Mext . Con alcune assunzioni, M assume una forma non troppo complessa. Ad esempio, se poniamo ox = oy = 0 e sx = sy = 0 (ovvero, “fingiamo” sia la camera che il mondo abbiano la stessa unit`a di misura) la matrice unica M diventa:
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A volte si compattano Mint ed Mext in una sola matrice M = Mint Mext . Con alcune assunzioni, M assume una forma non troppo complessa. Ad esempio, se poniamo ox = oy = 0 e sx = sy = 0 (ovvero, “fingiamo” sia la camera che il mondo abbiano la stessa unit`a di misura) la matrice unica M diventa:
−fr11 M = −fr21 r31
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−fr12 −fr22 r32
−fr13 −fr23 r33
fR1 T T fR2 T T −R3 T T
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A volte si compattano Mint ed Mext in una sola matrice M = Mint Mext . Con alcune assunzioni, M assume una forma non troppo complessa. Ad esempio, se poniamo ox = oy = 0 e sx = sy = 0 (ovvero, “fingiamo” sia la camera che il mondo abbiano la stessa unit`a di misura) la matrice unica M diventa:
−fr11 M = −fr21 r31
−fr12 −fr22 r32
−fr13 −fr23 r33
fR1 T T fR2 T T −R3 T T
In assenza di ulteriori vincoli, M `e chiamata genericamente matrice di proiezione.
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5-6 lezioni su Formazione dell’immagine Calibrazione della camera Stereovisione e ricostruzione Web: http://www.dmi.unict.it/~battiato/CVision0809/CVision0809.htm http://www.dmi.unict.it/~rustico
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La risoluzione di molte problematiche di Computer Vision parte dall’analisi del processo di formazione dell’immagine di una scena. Alcune tecniche di calibrazione e ricostruzione seguono una sorta di reverse engineering di questo processo. Come si forma l’immagine di una scena?
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Sommario 1 Introduzione 2 La camera pinhole
La scena Camera pinhole
3 Lenti sottili
Deviazione della luce Equazione fondamentale
4 La camera prospettica
Modello semplice Modello debole Parametri estrinseci Parametri intrinseci
5 Modello generale
Versione lineare Versione matriciale
6 Altri modelli Eugenio Rustico [email protected] Formazione delle immagini
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Abbiamo una fonte di luce, degli oggetti non completamente trasparenti e una superficie sensibile ai raggi di luce (pellicola, sensore digitale, r´etina, etc.). I raggi di luce vengono rifratti dagli oggetti in modo “caotico”
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La camera pinhole
Lenti sottili
La camera prospettica
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La scena
Ogni punto della scena “influisce” su diversi punti del piano immagine... Eugenio Rustico [email protected] Formazione delle immagini
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La scena
...e ogni punto del piano immagine `e colpito da raggi provenienti da punti differenti Eugenio Rustico [email protected] Formazione delle immagini
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La scena
Come facciamo a fare in modo che ogni punto della scena influisca su di un solo punto del piano immagine?
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La scena
Come facciamo a fare in modo che ogni punto della scena influisca su di un solo punto del piano immagine? Una possibilit`a `e quella di costringere tutti i raggi a passare per un foro molto piccolo...
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Camera pinhole
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La “scatola” dove si forma l’immagine `e una camera pinhole. Eugenio Rustico [email protected] Formazione delle immagini
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Ma la camera pinhole...
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Ma la camera pinhole... Richiede una superficie con un range di sensibilit`a enorme
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Camera pinhole
Ma la camera pinhole... Richiede una superficie con un range di sensibilit`a enorme Non `e molto pratica (zoomare?)
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Le lenti sottili sono un dispositivo ottico pi` u complesso e pi`u flessibile per mettere a fuoco l’immagine di una scena. Possiamo immaginarle come un sottile disco di vetro di un materiale trasparente in cui sono definiti un asse ottico e due fuochi, ovvero due punti particolari dell’asse ottico esterni alla lente stessa.
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Deviazione della luce
Le lenti sono in grado di deviare la luce seguendo due regole:
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Deviazione della luce
Le lenti sono in grado di deviare la luce seguendo due regole: Ogni raggio di luce che entra da un lato della lente parallelamente all’asse ottico viene deviato verso il fuoco che si trova dall’altro lato;
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Deviazione della luce
Le lenti sono in grado di deviare la luce seguendo due regole: Ogni raggio di luce che entra da un lato della lente parallelamente all’asse ottico viene deviato verso il fuoco che si trova dall’altro lato; Ogni raggio di luce che entra da un lato della lente passando per il fuoco esce dall’altro lato parallelamente all’asse ottico.
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Deviazione della luce
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Equazione fondamentale
△
Tramite considerazioni geometriche sulle coppie di triangoli simili PQFl , △
△
△
SOFl e ROFr , TpFr , otteniamo la relazione 1 1 1 + = ˆ z ˆ f Z che `e l’equazione fondamentale delle lenti sottili. Eugenio Rustico [email protected] Formazione delle immagini
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Equazione fondamentale
1 1 1 + = ˆ z ˆ f Z Questa relazione ha una conseguenza importante: affinch´e l’immagine sia a fuoco, a parit`a di lunghezza focale (i.e. distanza del fuoco dal centro) i punti devono trovarsi alla stessa distanza dalla lente. In altre parole, una lente `e in grado di mettere a fuoco solo una sezione della scena parallela al piano immagine.
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Equazione fondamentale
1 1 1 + = ˆ z ˆ f Z Questa relazione ha una conseguenza importante: affinch´e l’immagine sia a fuoco, a parit`a di lunghezza focale (i.e. distanza del fuoco dal centro) i punti devono trovarsi alla stessa distanza dalla lente. In altre parole, una lente `e in grado di mettere a fuoco solo una sezione della scena parallela al piano immagine. ...ma cosa vuol dire mettere a fuoco, ad esempio, in una macchina digitale?
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Modello semplice
Che il nostro sistema ottico sia un pinhole o una lente sottile, l’immagine che si forma `e una proiezione della scena tridimensionale attraverso il piano di immagine π:
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Modello semplice
△
△
Procediamo nuovamente per triangoli simili: pQO `e simile a PRO, da cui deriviamo: pQ : PR = OQ : OR
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Modello semplice
ovvero:
X Z Y y= f Z che chiamiamo equazioni fondamentali della camera prospettica. x=
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Modello debole
Le equazioni fondamentali della camera prospettica non sono lineari; possiamo per`o renderle lineari al prezzo di una piccola approssimazione.
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Modello debole
Le equazioni fondamentali della camera prospettica non sono lineari; possiamo per`o renderle lineari al prezzo di una piccola approssimazione. Se i punti della scena sono abbastanza distanti dalla camera e le differenze di coordinata Z tra punti differenti sono trascurabili, possiamo approssimare i valori delle Z con una costante Z˜ . Le equazioni fondamentali allora diventano:
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Modello debole
Le equazioni fondamentali della camera prospettica non sono lineari; possiamo per`o renderle lineari al prezzo di una piccola approssimazione. Se i punti della scena sono abbastanza distanti dalla camera e le differenze di coordinata Z tra punti differenti sono trascurabili, possiamo approssimare i valori delle Z con una costante Z˜ . Le equazioni fondamentali allora diventano: X ˜ Z Y y= f Z˜ x=
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f
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Modello debole
Le equazioni fondamentali della camera prospettica non sono lineari; possiamo per`o renderle lineari al prezzo di una piccola approssimazione. Se i punti della scena sono abbastanza distanti dalla camera e le differenze di coordinata Z tra punti differenti sono trascurabili, possiamo approssimare i valori delle Z con una costante Z˜ . Le equazioni fondamentali allora diventano: X ˜ Z Y y= f Z˜ x=
f
Indicativamente, tale approssimazione `e fattibile quando le differenze δZ tra i punti della scena sono inferiori ad 1/20 della distanza media da O.
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Parametri estrinseci
Le coordinate dei punti, finora, le abbiamo considerate nel sistema di riferimento della camera stessa. Il pi` u delle volte, per` o, i punti vengono forniti nel sistema di riferimento del mondo, la cui relazione col sistema della camera `e spesso sconosciuta.
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Parametri estrinseci
Le coordinate dei punti, finora, le abbiamo considerate nel sistema di riferimento della camera stessa. Il pi` u delle volte, per` o, i punti vengono forniti nel sistema di riferimento del mondo, la cui relazione col sistema della camera `e spesso sconosciuta. Per passare da un sistema di riferimento ad un altro ci serve una rototraslazione nello spazio. Possiamo identificarla con due vettori: T racchiude gli offset di traslazione (3 valori), R la rotazione (3 gradi di libert`a): Pc = R(Pw − T ) I sei parametri che definiscono questa trasformazione, specifica per ogni camera, sono i parametri estrinseci della camera.
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Parametri intrinseci
Servono altri parametri, oltre ai sei estrinseci, per definire completamente la proiezione cui ogni punto `e sottoposto:
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Parametri intrinseci
Servono altri parametri, oltre ai sei estrinseci, per definire completamente la proiezione cui ogni punto `e sottoposto: Conosciamo gi`a la lunghezza focale f , che nelle camere reali `e correlata allo zoom ottico
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Parametri intrinseci
Servono altri parametri, oltre ai sei estrinseci, per definire completamente la proiezione cui ogni punto `e sottoposto: Conosciamo gi`a la lunghezza focale f , che nelle camere reali `e correlata allo zoom ottico Il piano immagine ha un sistema di riferimento proprio, di solito in pixel. Ci serve conoscere l’origine del sistema: gli offset ox e oy rappresentano le coordinate in pixel del centro ottico
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Parametri intrinseci
Servono altri parametri, oltre ai sei estrinseci, per definire completamente la proiezione cui ogni punto `e sottoposto: Conosciamo gi`a la lunghezza focale f , che nelle camere reali `e correlata allo zoom ottico Il piano immagine ha un sistema di riferimento proprio, di solito in pixel. Ci serve conoscere l’origine del sistema: gli offset ox e oy rappresentano le coordinate in pixel del centro ottico L’unit`a di misura del mondo 3D `e la stessa del piano immagine? Definiamo sx ed sy come le dimensioni orizzontale e verticale di un pixel del sensore (a volte baster`a il loro rapporto α = sy /sx )
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Parametri intrinseci
Servono altri parametri, oltre ai sei estrinseci, per definire completamente la proiezione cui ogni punto `e sottoposto: Conosciamo gi`a la lunghezza focale f , che nelle camere reali `e correlata allo zoom ottico Il piano immagine ha un sistema di riferimento proprio, di solito in pixel. Ci serve conoscere l’origine del sistema: gli offset ox e oy rappresentano le coordinate in pixel del centro ottico L’unit`a di misura del mondo 3D `e la stessa del piano immagine? Definiamo sx ed sy come le dimensioni orizzontale e verticale di un pixel del sensore (a volte baster`a il loro rapporto α = sy /sx ) Le lenti reali introducono nell’immagine una distorsione radiale, parametrizzabile con due parametri k1 e k2
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Parametri intrinseci
Servono altri parametri, oltre ai sei estrinseci, per definire completamente la proiezione cui ogni punto `e sottoposto: Conosciamo gi`a la lunghezza focale f , che nelle camere reali `e correlata allo zoom ottico Il piano immagine ha un sistema di riferimento proprio, di solito in pixel. Ci serve conoscere l’origine del sistema: gli offset ox e oy rappresentano le coordinate in pixel del centro ottico L’unit`a di misura del mondo 3D `e la stessa del piano immagine? Definiamo sx ed sy come le dimensioni orizzontale e verticale di un pixel del sensore (a volte baster`a il loro rapporto α = sy /sx ) Le lenti reali introducono nell’immagine una distorsione radiale, parametrizzabile con due parametri k1 e k2 I sette parametri f , ox , oy , sx , sy , k1 e k2 sono detti intrinseci e riguardano il modo con cui i punti del piano immagine (in coordinate della camera) vengono mappati sul piano immagine reale (e.g. un sensore di pixel) con un proprio sistema di riferimento. Eugenio Rustico [email protected] Formazione delle immagini
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Parametri intrinseci
ox , oy , sx ed sy ci permettono di descrivere direttamente la relazione il sistema di riferimento della camera e quello del piano di immagine. Se indichiamo con (xim , yim ) le coordinate in pixel del punto (x, y ), la relazione `e: x=
−(xim − ox )sx
y = −(yim − oy )sy La relazione `e un po’ pi`u complessa per la distione radiale, modellata da k1 e k2 . Se (xd , yd ) sono le coordinate distorte del punto (x, y ), possiamo scrivere: x = xd (1 + k1 r 2 + k2 r 4 ) y = yd (1 + k1 r 2 + k2 r 4 ) dove r 2 = xd 2 + yd 2 . Eugenio Rustico [email protected] Formazione delle immagini
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Adesso, con i parametri estrinseci della camera, siamo in grado di tradurre il sistema di riferimento del mondo in quello della camera. Per proiettare un punto della scena Pw sul piano immagine di una camera arbitrariamente orientata e calibrata non dovremo far altro che:
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Adesso, con i parametri estrinseci della camera, siamo in grado di tradurre il sistema di riferimento del mondo in quello della camera. Per proiettare un punto della scena Pw sul piano immagine di una camera arbitrariamente orientata e calibrata non dovremo far altro che: 1
Tradurre le coordinate di Pw nel sistema di riferimento della camera
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Adesso, con i parametri estrinseci della camera, siamo in grado di tradurre il sistema di riferimento del mondo in quello della camera. Per proiettare un punto della scena Pw sul piano immagine di una camera arbitrariamente orientata e calibrata non dovremo far altro che: 1
Tradurre le coordinate di Pw nel sistema di riferimento della camera (Pc = R(Pw − T ))
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Adesso, con i parametri estrinseci della camera, siamo in grado di tradurre il sistema di riferimento del mondo in quello della camera. Per proiettare un punto della scena Pw sul piano immagine di una camera arbitrariamente orientata e calibrata non dovremo far altro che: 1
2
Tradurre le coordinate di Pw nel sistema di riferimento della camera (Pc = R(Pw − T )) Proiettare Pc con le equazioni fondamentali della camera prospettica
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Adesso, con i parametri estrinseci della camera, siamo in grado di tradurre il sistema di riferimento del mondo in quello della camera. Per proiettare un punto della scena Pw sul piano immagine di una camera arbitrariamente orientata e calibrata non dovremo far altro che: 1
2 3
Tradurre le coordinate di Pw nel sistema di riferimento della camera (Pc = R(Pw − T )) Proiettare Pc con le equazioni fondamentali della camera prospettica Tradurre le coordinate del punto proiettato in pixel tramite i parametri intriseci
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Versione lineare
X Z Y y= f Z x=
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f
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Versione lineare
X Z Y y= f Z x=
f
−(xim − ox )sx = −(yim − oy )sy =
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X Z Y f Z f
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Versione lineare
X Z Y y= f Z x=
f
−(xim − ox )sx = −(yim − oy )sy =
−(xim − ox )sx = −(yim − oy )sy =
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X Z Y f Z f
R1 (Pw R3 (Pw R2 (Pw f R3 (Pw
f
− T )T − T )T − T )T − T )T
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Versione lineare
X Z Y y= f Z x=
f
−(xim − ox )sx = −(yim − oy )sy =
−(xim − ox )sx = −(yim − oy )sy =
X Z Y f Z f
R1 (Pw R3 (Pw R2 (Pw f R3 (Pw
f
− T )T − T )T − T )T − T )T
Versione lineare delle equazioni fondamentali di proiezione prospettica Eugenio Rustico [email protected] Formazione delle immagini
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Versione matriciale
Vediamo di scrivere le equazioni lineari con una notazione pi`u compatta:
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Versione matriciale
Vediamo di scrivere le equazioni lineari con una notazione pi`u −f /sx 0 ox r11 r12 r13 Mint = 0 −f /sy oy Mext = r21 r22 r23 0 0 1 r31 r32 r33
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compatta: −R1 T T −R2 T T −R3 T T
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Versione matriciale
Vediamo di scrivere le equazioni lineari con una notazione pi`u −f /sx 0 ox r11 r12 r13 Mint = 0 −f /sy oy Mext = r21 r22 r23 0 0 1 r31 r32 r33 Xw x1 Yw x2 = Mint Mext Zw x3 1
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compatta: −R1 T T −R2 T T −R3 T T
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Versione matriciale
Vediamo di scrivere le equazioni lineari con una notazione pi`u −f /sx 0 ox r11 r12 r13 Mint = 0 −f /sy oy Mext = r21 r22 r23 0 0 1 r31 r32 r33 Xw x1 Yw x2 = Mint Mext Zw x3 1
compatta: −R1 T T −R2 T T −R3 T T
Versione matriciale delle equazioni fondamentali di proiezione prospettica
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A volte si compattano Mint ed Mext in una sola matrice M = Mint Mext .
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A volte si compattano Mint ed Mext in una sola matrice M = Mint Mext . Con alcune assunzioni, M assume una forma non troppo complessa. Ad esempio, se poniamo ox = oy = 0 e sx = sy = 0 (ovvero, “fingiamo” sia la camera che il mondo abbiano la stessa unit`a di misura) la matrice unica M diventa:
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Altri modelli
A volte si compattano Mint ed Mext in una sola matrice M = Mint Mext . Con alcune assunzioni, M assume una forma non troppo complessa. Ad esempio, se poniamo ox = oy = 0 e sx = sy = 0 (ovvero, “fingiamo” sia la camera che il mondo abbiano la stessa unit`a di misura) la matrice unica M diventa:
−fr11 M = −fr21 r31
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−fr12 −fr22 r32
−fr13 −fr23 r33
fR1 T T fR2 T T −R3 T T
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Altri modelli
A volte si compattano Mint ed Mext in una sola matrice M = Mint Mext . Con alcune assunzioni, M assume una forma non troppo complessa. Ad esempio, se poniamo ox = oy = 0 e sx = sy = 0 (ovvero, “fingiamo” sia la camera che il mondo abbiano la stessa unit`a di misura) la matrice unica M diventa:
−fr11 M = −fr21 r31
−fr12 −fr22 r32
−fr13 −fr23 r33
fR1 T T fR2 T T −R3 T T
In assenza di ulteriori vincoli, M `e chiamata genericamente matrice di proiezione.
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