Filtros
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Filtros
Filtros 19.1. INTRODUCCIÓN Un filtro se puede definir como un dispositivo que se coloca entre las terminales de un circuito eléctrico para modificar los componentes de frecuencia de una señal. Los filtros se pueden diseñar para que funcionen a partir de corriente continua hasta más allá de 10 000 MHz. Se clasifican según la forma de respuesta en frecuencia, el tipo de filtro (como LC, cristal o activo) y la gama de frecuencias.
19.2.FORMAS DE RESPUESTA Los filtros se pueden clasificar en las cuatro categorías que siguen, sobre la base de la respuesta en frecuencia: 1.Los filtros pasa baja permiten el paso a los componentes de baja frecuencia (por lo común, a partir de la corriente continua) hasta una frecuencia de corte especificada y presentan una alta atenuación por encima de ese punto de corte. 2.Los filtros pasa alta rechazan las frecuencias que van desde la corriente continua hasta una frecuencia de corte y dejan pasar los componentes por encima de ese punto de corte. 3.Los filtros pasa banda dejan pasar las frecuencias que se encuentran dentro de una banda dada y rechazan los componentes de fuera de esa banda. 4.Los filtros de rechazo de banda suprimen las frecuencias que están dentro de una banda dada y dejan pasar los componentes de fuera de dicha banda. Hasta cierto punto, estas descripciones son ideales puesto que en los filtros reales hay una región de transición entre la banda de paso y la región de alta atenuación (banda de rechazo). En la figura 1 se muestran las curvas típicas de los filtros para cada una de las cuatro categorías.
19.3.DEFINICIONES DE LOS PARÁMETROS BÁSICOS Además de las formas básicas de filtros, los técnicos o los ingenieros se deben familiarizar con la terminología que sigue y que se usa para describir o designar filtros. Frecuencia de corte (Fc) La frecuencia de corte define el límite de la banda de paso, y por lo común corresponde a 3 dB de atenuación. Mientras que los filtros pasa baja y pasa alta tienen sólo una frecuencia de corte, los filtros pasa banda y de rechazo de banda tienen dos frecuencias de corte. Frecuencia central (F0) Los filtros pasa banda son geométricamente simétricos, o sea, simétricos en torno a una frecuencia central cuando se traza en papel para gráficas lineales logarítmicas con la frecuencia en el eje logarítmico. La frecuencia central se puede calcular por medio de:
F0 = F1 F2
(19.1)
en donde F1 es el corte inferior y F2 la frecuencia de corte superior, como se muestra en la figura 19-1. Para filtros estrechos, en donde la razón de F2 a F1 es menor que 1.1, la forma de respuesta se acerca a la simetría aritmética. A continuación, se puede calcular F0 mediante el promedio de las frecuencias de corte:
F0 =
F1 + F2 2
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(19-2)
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Filtros
Frecuencia de corte de supresión de banda (Fs) La banda de paso y la de rechazo están separadas por una zona de transición. Fs es la frecuencia a la que se especifica la atenuación mínima que se requiere. Factor de selectividad (Q) Q0 es la razón de la frecuencia central de un filtro pasa banda al ancho de banda de 3 dB. Si F1 y F2 corresponden al punto inferior y superior de 3 dB, el factor de selectividad se podrá expresar como sigue:
Q0 =
F0 F2 − F1
(19-3)
NORMALIZACIÓN DE LAS ESPECIFICACIONES DE LOS FILTROS Se pueden escoger funciones de transferencia de conformidad con ciertas reglas matemáticas, de modo que las curvas correspondientes de filtros pasa baja tienen un punto 3dB en 1 rad = 1). Cada curva representa un conjunto de valores de elementos para un filtro LC o activo. Se dice que ese filtro y su respuesta se “normalizan” a 1 rad. La técnica general para el diseño de filtros consiste en convertir primeramente las especificaciones del filtro en especificaciones de pasa banda normalizadas. A continuación se podrán comparar las especificaciones resultantes con las curvas normalizadas de respuesta en frecuencia y escoger un filtro pasa baja satisfactorio. A continuación, se desnormalizan los valores correspondientes del elemento pasa baja a la gama requerida de frecuencias. Si se desea un filtro pasa alta, pasa banda o de rechazo de banda, se deberán hacer también transformaciones en los circuitos.
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Filtros Normalización de filtros pasa baja problema 19.1 Se necesita un filtro pasa baja con un corte de 3dB a 600 Hz y una atenuación mínima de 50 dB a 1800 Hz. Normalícese esas especificaciones a 1 rad. A continuación hágase una comparación con una familia de curvas normalizadas de pasa baja y escójase un filtro apropiado. teoría Para normalizar las especificaciones de un filtro pasa baja para 3 dB a 1 rad, se calcula primeramente el factor de pendiente del filtro A, que es la razón de la frecuencia de corte de supresión de banda, Fs a la frecuencia de corte de 3 dB, Fc.
As =
Fs Fc
(19-4)
A continuación, será posible trazar las curvas normalizadas y escogerse un diseño que satisfaga la atenuación mínima requerida de la banda de rechazo en As rad. solución Calcúlese el factor de pendiente del filtro pasa baja, mediante la ecuación 19-4:
As =
Fs 1800 Hz = =3 Fc 600 Hz
(19-4)
Con la muestra de familia de curvas de la figura 19-4, determínese qué filtro tiene una atenuación mínima de 50dB a 3 rad. Evidentemente, este requisito lo satisface un filtro normalizado que tiene una complejidad mínima de n = 5 (filtro de quinto orden). Normalización de filtros pasa alta problema 19.2 Se requiere un filtro pasa alta con un corte de 3dB de 900 Hz y una atenuación mínima de 50dB a 300 Hz. Normalícese esta especificación a 1 rad y determinase la complejidad mínima del filtro que se requiere, uti1izando la familia de curvas dada en la figura 19-4. teoría Todos los filtros pasa baja normalizados se pueden transformar en filtros pasa alta normalizada. que tengan también un corte de 3dB de 1 rad. En la figura 19-5 se muestra la relación entre un filtro pasa baja normalizado y el filtro pasa alta transformado correspondiente. Los dos filtros tienen la misma atenuación a frecuencias reciprocas; por ejemplo, los puntos de 12 dB están en 2 rad para el filtro pasa baja y 0.5 rad para el filtro pasa alta transformado. Debido a esta relación entre filtros pasa alta y pasa baja, se puede definir un factor de pendiente de pasa alta que es reciproco del factor de pendiente de pasa baja. Para un filtro pasa alta:
As =
Fc Fs
(19-5)
A continuación, se puede utilizar directamente las curvas normalizadas pasa baja para escoger un diseño con la atenuación requerida a As rad.
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solución Calcúlese el factor de pendiente del filtro pasa alta con la ecuación (19-5):
As =
Fc 900 Hz = =3 Fs 300 HZ
(19-5)
Mediante las curvas de la figura 19-4. escójase filtro que tenga una atenuación mínima de 50 dB a 3 rad. Un filtro de quinto orden satisface este requisito. En el procedimiento real de diseño, el filtro pasa baja normalizado asociado se debe transformar en un filtro pasa alta. Normalización de filtros pasa banda problema 19.3 Se necesita un filtro pasa banda con puntos 3dB en 150 y 300 Hz, y un mínimo de atenuación de 50dB a 50 y 900 Hz, Normalícese esos requisitos y escójase el filtro apropiado a partir de las curvas do la figura 19-4. teoría Los filtros pasa banda se clasifican, en general, en dos categorías: de banda estrecha y banda ancha. La regla empírica dice que si la razón de la frecuencia superior de corte a la frecuencia inferior de corte es de más de 1.5, el filtro será de banda ancha. Se puede separar una especificación de filtro de banda ancha en requisitos individuales pasa baja y pasa alta. A continuación, estos últimos se normalizan por separado y se escoge un diseño pasa baja y pasa alta satisfactorio. Los filtros resultantes deberán ponerse en cascada para satisfacerlas especificaciones generales. solución Frecuencia_superior_de_corte = 300 Hz = 2 Frecuencia inferior de corte 150 Hz
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(19-6)
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Filtros El filtro es de banda ancha que se puede separar en un requisito pasa baja y otro pasa alta, como sigue: Pasa baja:
3dB a 300 Hz 50 dB mínimo a 900 Hz
Pasa alta:
3 dB a 150 Hz 50 dB mínimo a 50 Hz
Al calcular los factores de pendiente, se tiene: Factor de pendiente de pasa alta: As = 900_Hz = 3 300 Hz Factor de pendiente de pasa baja As = 150_Hz = 3 50 Hz Mediante el uso de las curvas normalizadas de la figura 19-4, se pueden satisfacer los requisitos de atenuación tanto de los filtros pasa baja como de los pasa alta mediante un diserto de n = 5. problema 19.4 Se especifica un filtro pasa banda con puntos 3 dli en 900 y 1100 Hz y una atenuación mínima de 50 di a 700 y 1300 Hz. Normalícese este filtro a una especificación de pasa baja y escójase un filtro normalizado satisfactorio a partir de las curvas de la figura 19.4. teoría En los filtros pasa banda estrecha, la razón de la frecuencia superior de corte a la frecuencia inferior de corte es de menos de 1.5. Esos filtros no se pueden diseñar como pasa baja y pasa alta separados. Ya se vio antes cómo se puede transformar un filtro pasa baja en otro pasa alta. Esta relación permite diseñar un filtro pasa alta, convirtiendo directamente la especificación pasa alta en otra pasa baja normalizada, escogiendo un filtro pasa baja y transformándolo en el filtro pasa alta que se desea. Existe también una relación especifica entre los filtros pasa baja y los pasa banda. La respuesta en frecuencia del filtro pasa baja se transforma en el ancho de banda del filtro pasa banda con atenuación idéntica. En la figura 19-6 se muestra el modo en que se relaciona una respuesta típica de filtro pasa banda a un filtro pasa baja. Obsérvese que Los puntos de 10 y 15 Hz de ancho de banda del filtro pasa banda tienen la misma atenuación que tas frecuencias de corte de 10 y 15 Hz del filtro pasa baja. La relación nos permite diseñar filtros pasa banda de banda angosta, convirtiendo el requisito de pasa banda en una especificación de pasa baja, y utilizando, a continuación, curvas normalizadas de pasa baja. La conversión de pasa banda a pasa baja se realiza como sigue. Calcúlese la frecuencia central geométrica, Fo mediante la ecuación (19-l) o la (19-2). En puntos de igual atenuación a los dos lados de Fo, las dos frecuencias deben estar relacionadas geométricamente, de modo que tienen que satisfacer la relación que sigue: Fa Fb = F0
(19-7)
en donde Fa y Fb, se encuentran, respectivamente, por debajo y por encima de Fo y tienen la misma atenuación. Modifíquense las especificaciones de filtro pasa banda, calculando la frecuencia geométrica correspondiente para cada frecuencia de banda de rechazo especificada mediante la ecuación (19-7). Para cada par de frecuencias de banda de rechazo obtendrán dos pares nuevos. Escójase el par con la separación menor que represente el requisito más severo. Si la razón de Fa a Fb es menor que 1.1 el cálculo que incluye la ecuación l9-9 no se requiere si Fa y Fb tienen la misma separación de Fo(Fo - Fa = Fb - Fo )
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Filtros Calcúlese un factor de pendiente de pasa banda como sigue: As
=
Ancho de banda de rechazo Ancho de banda
(19-8)
El ancho de banda de rechazo es la separación calculada antes. Únase las curvas normalizadas de pasa baja y escójase un filtro que tenga la atenuación requerida de banda de rechazo en As rad.
solución a)Calcúlese La frecuencia geométrica central
F0 = 900 ⋅1100 = 995 Hz b)Calcúlense dos pares de frecuencias de rechazo de banda geométrica relacionadas: Con Fa =700Hz
Fb = (995)2 = 1414 Hz 700
Fb – Fa = 714 Hz Con Fb = 1300Hz
Fb = (995)2 = 762 Hz 1300
Fb – Fa = 538 Hz Evidentemente, el segundo par de frecuencias representa el requisito más importante. c)Calcúlese el factor de pendiente de pasa banda: As = 538 Hz = 2,69 200 Hz d)Escójase un filtro pasa baja normalizado. Si se usan las curvas normalizadas de la figura 19-4 y n = 6, el diseño proporciona más de 50dB de atenuación a 2.69 rad. El filtro pasa baja normalizado escogido se debe transformar en el filtro pasa banda que se requiere.
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Filtros Normalización de filtros de rechazo de banda
problema 19.5 Se requiere un filtro de rechazo de banda que tenga puntos 3 dB en 900 y 1100 Hz, y una atenuación mínima de 50 dB en 970 y 1030 Hz. Normalícese este filtro a una especificación de pasa baja y escójase un filtro normalizado a partir de las curvas de la figura 19-4. teoría La sección anterior sobre filtros pasa banda estrechos demostró el modo en que se puede escoger el diseño de un filtro pasa banda mediante la utilización de curvas normalizadas para el paso de frecuencias bajas. Se puede usar un método similar para diseñar filtros de rechazo de banda. Estos últimos se relacionan directamente a los pasa alta. La respuesta en frecuencia del filtro pasa alta se transforma en el ancho de banda del filtro derechazo de banda, con atenuación idéntica. En la figura 19-7 se muestra la relación entre pasa alta y rechazo de banda de un filtro típico. Obsérvese el modo en que el ancho de banda de 10 y 15 Hz del filtro de rechazo de banda tiene una atenuación idéntica a la del filtro pasa alta en Las frecuencias de corte de 10 y 15 Hz. Esta relación permite diseñar un filtro de rechazo de banda, convirtiendo primeramente el requisito de rechazo de banda en un factor de pendiente y, a continuación, mediante el uso directo de las curvas de pasa baja normalizadas, como se hizo para los filtros pasa alta. El método de diseño es como sigue: 1.Calcúlese la frecuencia central geométrica F0 de los puntos 3 dB, mediante las ecuaciones (19- 1) o (19-2). 2.Las frecuencias de banda de supresión deben estar relacionadas geométricamente de conformidad con la ecuación (19-7), como en el caso de los filtros pasa banda. Modifíquese la especificación de banda de supresión mediante esta relación, y calcúlense dos pares de frecuencias de banda de supresión para cada frecuencia especificada. Escójase el par con la mayor separación que represente el requisito más importante (filtro más pronunciado). 3.Calcúlese un factor de pendiente de rechazo de banda: As= Ancho de banda de pasa banda (19-9) Ancho de banda de supresión 4. Trácense las curvas de filtros pasa baja normalizados y escójase un filtro que tenga la atenuación necesaria de banda de supresión en As rad. 5.En el diseño normal, el circuito pasa baja normalizado se debe transformar en un filtro pasa alta y, a continuación, convenirse en el filtro apropiado de rechazo de banda. solución a)Calcúlese la frecuencia central geométrica F0: a)Calcúlese La frecuencia geométrica central
F0 = 900 ⋅1100 = 995 Hz b)Calcúlense dos pares de frecuencias de supresión de banda geométrica relacionadas: Con Fa =970Hz
Fb= (995)2 = 1021 Hz 970
Fb – Fa = 51 Hz Con Fb = 1030Hz
Fb= (995)2 = 961 Hz 1030
Fb – Fa = 69 Hz . El segundo par de frecuencias es el requisito más importante c)Calcúlese el factor de pendiente de rechazo de banda: As = 200 Hz = 2,9 69 Hz d)Escójase un filtro pasa baja normalizado: si se emplean las corvas normalizadas de la figura 19-4, un diseño de n = 6 ofrece una atenuación de más de 50dB a 2.9 rad. El filtro escogido se deberá transformar en pasa alta y, a continuación, convertirse en filtro de rechazo de banda, como se indicó en la figura 19.3.5.
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19.6 FUNCIONES DE RESPUESTA En la sección anterior se mostró el uso de curvas normalizadas de filtros pasa baja. Esas curvas representan funciones de transferencia. Mediante un cambio de los valores y la complejidad de esas funciones, la respuesta de pasa baja puede adoptar distintas formas, En esta sección se analizan esas formas y se presentan curvas de respuesta en frecuencia normalizadas de filtros pasa baja. Respuesta Butterworth Los filtros pasa baja Butterworth son probablemente los más utilizados. La respuesta en frecuencia es muy plana a la mitad de la banda de paso, y un poco redondeada en las cercanías del corte. Más allá del punto de 3 dB, el índice de atenuación aumenta y llega finalmente a n por 6 dB por octava. Por ejemplo, un filtro pasa baja de n = 3, haría aumentar su atenuación en 18 dB en la banda de supresión cada vez que se duplicara la frecuencia. Los filtros Butterworth son fáciles de construir porque los valores resultantes de los componentes son más prácticos que la mayoría de los otros tipos, y estos filtros menos críticos a las variaciones de los componentes. En la figura 19-8 se proporciona una familia de curvas normalizadas de atenuación hasta n = 10. Las curvas dobles presentan características extendidas de la banda de paso, así como también de la atenuación de la banda de rechazo. Filtros Chebyshev En La figura 19-9a se muestra un filtro pasa baja normalizado ideal. No tiene atenuación sobre la gama de corrientes continuas hasta 1 rad, y su atenuación es infinita por encima de 1 rad, La aproximación de Butterworth a un filtro pasa baja ideal aparece en la figura 19-9b. La aproximación es buena a frecuencias alejadas de 1 rad, y pobre cerca del punto de corte. La curva de Chebyshev de la figura 19-9c es una mejor aproximación a un filtro ideal. La respuesta en la región de corte es más rectangular, y el índice de descenso a la banda de supresión, más abrupto. Esas características se obtienen a expensas de permitir variaciones en la respuesta de la banda de paso, lo que se denomine rizo de la banda de paso. Los filtros Chebyshev son más críticos en lo que se refiere a su construcción que los de la familia Butterworth, y más sensibles a las tolerancias de los componentes. Cuanto mayor sea el rizo, tanto más abrupto será el filtro para un orden dado n, pero tanto más crítico se hará el circuito. Durante la primera octava, la atenuación sobrepasa n = 6 dB por octava. En las figuras 19-10 y 19-11 se presentan curvas normalizadas de atenuación para filtros Chebyshev con rizos de 0.1 y 0.5 dB.
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Filtros Retardo máximamente plano Los filtros Butterworth y Chebyshev presentan diferentes retardos para las señales de frecuencias distintas La variación del retardo sobre la banda de paso se denomine distorsión de retardo. Esta distorsión aumenta con los filtros de orden superior y los rizos mayores. Si la señal de entrada consiste en formas de onda de frecuencias múltiples, tales como pulsos o modulación, la señal de salida se distorsionará puesto que los diferentes componentes de frecuencia tienen distintos desplazamientos en el tiempo. La familia de filtros pasa baja de retardo máximamente plano tienen un retardo constante sobre la banda de paso: sin embargo, la pendiente de la atenuación en la reglón cercana al corte es muy pobre en comparación con la respuesta de-Butterworth o Chebyshev. Incluso una o dos octavas más allá del corte, la atenuación es un poco menor que en el caso de otros tipos. Por consiguiente, estos filtros son útiles, sobre todo cuando la fidelidad de la reproducción de la señal es más importante que las características de atenuación. Las propiedades de retardo constante no se conservan cuando el filtro pasa baja se transforma en la configuración para altas de pasa banda o rechazo de banda. En la figura 19-12 se muestran las características normalizadas de atenuación para este tipo de filtros.
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Filtros 19.8 DISEÑO DE FILTROS ACTIVOS Los filtros activos se componen de circuitos que contienen amplificadores operacionales, resistores y capacitores. Puesto que eliminan completamente los inductores, permiten reducciones de tamaño y ahorro de costos, sobre todo en las frecuencias bajas, en donde los inductores pueden llegar a ser extremadamente grandes y costosos. CAMBIOS DE ESCALA DE FRECUENCIA E IMPEDANCIA
La respuesta en frecuencia de un filtro activo se puede cambiar a una gama de frecuencias diferente. dividiendo los valores de los resistores o de los capacitores por el FSF. El FSF es la razón de una frecuencia dada de referencia a la respuesta era escala que se requiere a la frecuencia correspondiente del filtro actual: FSF = frecuencia de referencia de la respuesta escalada frecuencia de referencia de la respuesta actual
(19-10)
Figura 19-21 a) Filtro pasa baja normalizado; b) filtro escalado a escala 10 kHz; c) filtro final
En la figura 19-21a se muestra un filtro activo pasa bajo normalizado y su respuesta asociada. Cuando se ajusta en escala el punto 3 dB de 1 rad a 10 kHz, se obtiene como resultado un FSF de 62 800 en el circuito de la figura 19-21b. Aunque el circuito de la figura 19-21b tiene la respuesta que se desea, los valores no son prácticos. Si los resistores se multiplican por un factor Z y los capacitores se dividen por ese mismo factor, el circuito se podrá ajustar en la escala de impedancias sin modificar la respuesta en frecuencia. Mediante el uso de un valor de Z de 10 000, se obtiene el circuito final de la figura l9-21c. El cambio de escalas de frecuencias e impedancias se puede combinar para obtener las fórmulas que siguen: C = C_normalizada (19-11) Z x FSF R = R normalizada x Z
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19-12)
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Filtros DISEÑO DE FILTROS PASA BAJA
Al diseñar un filtro pasa baja activo, es preciso normalizar primeramente las especificaciones. A continuación se escoge una función de respuesta apropiada a partir de la sección 19.5. Las tablas 19-5 a 198 contienen valores de filtros pasa baja activos normalizados, correspondiente a cada función de respuesta. De modo similar al utilizado para los filtros LC, el filtro pasa baja normalizado se ajusta en la escala de frecuencias e impedancias a la frecuencia de corte que se requiere y a un nivel conveniente de impedancia. TABLA 19-5 Valores para los filtros Butterworth activos
normalizados tipo pasa baja Orden N
C1
C2
2 3 4
1.414 3.546 1.082 2.613 1.753 3.235 1.035 1.414 3.863 1.531 1.604 4.493 1.020 1.202 1.800 5.125 1.455 1.305 2.000 5.758 1.012 1.122 1.414 2.202 6.390
0.7071 1,392 0.9241 0.3825 1.354 0.3090 0.9660 0.7071 0.2588 1.336 0.6235 0.2225 0.9809 0.8313 0.5557 0.1950 1.327 0.7661 0.5000 0.1736 0.9874 0.8908 0.7071 0.4540 0.1563
5 6 7 8
9
10
C3 0.2024
0.4214
0.4885
0.5170
Filtros sin ceros Los filtros pasa baja normalizados sin ceros consisten en combinaciones de secciones de dos y tres polos, como las que aparecen en la figura 19-22. Si el orden n del filtro es un número par, se utilizarán n/2 secciones de dos polos. Si n es impar, se necesitarán (n-3)/2 secciones de dos polos y una sola sección de tres.
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Filtros TABLA 19-6 Valores para los filtros Chebyshev activos normalizados pesa baja, con rizo de 0.1 dB Orden N
C1
C2
2 3 4
1.638 6.653 1.900 4.592 4.446 6.810 2.553 3.487 9.531 5.175 4.546 12.73 3,27 3.857 5.773 16.44 6.194 4.678 7.170 20.64 4.011 4.447 5.603 &727 25.32
0.6955 1.825 1.241 0.2410 2.520 0.1580 1.776 0.4917 0.1110 3.322 0.3331 0.08194 2.323 0.6890 0.2396 0.06292 4.161 0.4655 0.1812 0.04980 2.877 0.8756 0 0.1419 0.04037
6
7
8
10
C3 0.1345 0.3804
0.5693
0.7483
Cada sección individual tiene una ganancia unitaria en corriente continua y puede poseer una respuesta de pico agudo en la banda de paso. La respuesta compuesta de todas las secciones da la función de respuesta que se requiere. El amplificador operacional tiene una impedancia de salida casi nula, por lo que las secciones se pueden poner directamente en cascada. problema 19.11 Se requiere un filtro pasa baja activo con un corte de 3 dB de 100 Hz y un rechazo mínimo de 55 dB a 300 Hz. teoría Se debe seguir el procedimiento que se da a continuación para el diseño de filtros pasa baja activos: 1.Normalícese la especificación pasa baja mediante el cálculo de A. 2.Escójase una función satisfactoria de respuesta y un filtro correspondiente. 3.Ajústese en las escalas de frecuencia e impedancia el diseño normalizado al corte que se desea y a n nivel de impedancia conveniente. solución a)Calcúlese el factor de pendiente As: As = 300 Hz = 3 100 Hz b) Esc6jase una función de respuesta y normalícese el diseño. Según las curvas norma1izadas de la sección 19.11 un filtro Chebyshev de n = 5 y de 0.5 dB tiene un rechazo de más de 55dB a3 rad. El diseño normalizado de la tabla 19-9 aparece en la figura 19-23a. c)Ajústese el filtro normalizado en la escala de frecuencia e impedancia. Calcúlese FSF = 2 π100 = 628 Escójase Z = 10000. Por consiguiente, C = C normalizada Z x FSF R = R normalizada x Z
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Filtros El filtro resultante aparece en la figura 19-23b. TABLA 19-7 Valores para loa filtros Chebyshev activos normalizados tipo pasa baja, con rizo de 0.5 dB Orden N
C1
C2
2 3 4
1.950 11.23 2.582 6.233 6.842 9.462 3.592 4.907 13.40 7.973 6.446 1807 4.665 5.502 8.237 23.45 9.563 6.697 10.26 29.54 5.760 6.383 8.048 12.53 36.36
0.6533 2.250 1.300 0.1802 3.317 0.1144 1.921 0.3743 0.07902 4.483 0.2429 0.05778 2.547 0.5303 0.1714 0.04409 5.680 0.3419 0.1279 0.03475 3.175 0.6773 0.2406 0.09952 0.02810
5 6 7 8
9
10
C3 0.0895
0.3033
0.4700
0.6260
DISEÑO DE FILTROS PASA ALTA
Los filtros pasa alta activos se diseñan directamente a partir del circuito pasa baja normalizado, de modo similar a como se hace para los filtros pasa alta LC. Después de transformar el filtro pasa baja normalizado en un filtro pasa alta normalizado, el circuito se escala en frecuencia e impedancia.
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TABLA 19-8 Valores para los filtros activos normalizados pasa baja de tipo retardo máximamente plano Orden N
C1
C2
2 3 4
0.9066 1 423 0.7351 1.012 1.010 1.041 0.6352 0.7225 1.073 0.8532 0.7250 1.100 0.5673 0.6090 0.7257 1.116 0.7564 0.6048 0.7307 1.137 0.5172 0.5412 0.6000 0.7326 1.151
0.6800 0.9880 0.6746 0.3900 0.8712 0.3100 0.6100 0.4835 0.2561 0.7792 0.4151 0.2164 0.5540 0.4861 0.3590 0.1857 0.7070 0.4352 0.3157 0.1628 0.5092 0.4682 0.3896 0.2792 0.1437
5 6 7 8
9
10
C3 0.2538
0.3095
0.3027
0.2851
problema 19.12 Se requiere un filtro pasa baja que tenga menos de 3 dB de atenuación a 1000 Hz y más de 45 dB a 350 Hz. teoría 1.Normalícese primeramente la especificación pasa alta calculando el factor de pendiente pasa a1ta As. 2.A continuación, escójase una función de respuesta satisfactoria y el filtro pasa baja activo apropiado de las tablas 19-5 a 19-8. 3.Seguidamente. transfórmese el circuito pasa baja normalizado en un filtro pasa alta normalizado. Esto se realiza reemplazando cada resistor R con un capacitor de 1/R F. Cada capacitor C se reemplaza con un resistor de 1/C ohms. 4.Finalmente, el filtro pasa alta normalizado se ajusta en las escalas de frecuencia y de impedancia a la frecuencia de corte que se desea y para el nivel de impedancias conveniente.
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Filtros
solución a)Calcúlese el factor de pendiente pasa alta As: As = 1000 Hz = 2.86 350 Hz b)Escójase una función de respuesta y un filtro pasa baja normalizado. Como lo indican las curvas normalizadas de las páginas 19-9 a 19-11, un filtro Butterworth de n = 5 proporciona más de 40dB a 2.86 rad. En la figura 19-24a aparece el filtro pasa baja normalizado de la tabla 19-5. c) Transfórmese el filtro pasa baja normalizado en un filtro pasa alta normalizado, reemplazando cada resistor R con un capacitor de 1/R farads, y cada capacitor C con un resistor de 1/C ohms. El filtro pasa alta normalizado resultante aparece en la figura 19-24b. d)Ajústese el filtro normalizado en las escalas de frecuencia e impedancia: Calcúlese FSF = 2 π1000 = 6280 Escójase Z = 10000. Entonces, C = C normalizada Z x FSF R = R normalizada x Z El filtro resultante se muestra en la figura l9-24c.
19
drs/vcm
Filtros DISEÑO DE FILTROS PASA BANDA
Los filtros pasa banda activos se clasifican como de banda ancha o angosta. Si la razón de la frecuencia de 3 dB superior a la inferior sobrepasa 1.5, el filtro cae en la categoría de banda ancha. Filtros pasa banda de banda ancha Para diseñar el filtro como de banda ancha, sepárese la especificación en las de pasa alta y pasa baja. A continuación, se puede diseñar un filtro pasa baja y otro pasa alta separados y ponerse en cascada sin interacción. problema 19.13 Diséñese un filtro pasa banda que tenga los puntos 3 dE en 1000 y 3000 Hz, y una atenuación de más de 25 dE en 300 y 9000 Hz. teoría Puesto que la razón del punto dE superior al inferior sobrepasa 1.5, el filtro se debe diseñar como de banda ancha. solución a)Sepárense las especificaciones de pasa banda en las individuales de pasa alta y pasa baja. Filtro pasa baja:
3 dE a 3000 Hz 25 dE mínimo a 9000 Hz Filtro pasa alta: 3 dE a 1000 Hz 25 dB mínimo a 300 Hz b)Calcúlese el factor de pendiente As para las especificaciones de bajas y altas: Pasa baja: As = 9000 =3 3000 Pasa alta: As = 1000 =3.33 300 c) Escójanse diseños normalizados que satisfagan los requisitos para bajas y altas: según las curvas de la figura 19-8, un diseño de Butterworth de n = 3 proporciona más de 25 dB para valores de As = 3 y As=3.33. d)En la figura 19-25a aparecen los filtros pasa baja y pasa alta normalizados. El filtro pasa alta normalizado se derivó de un filtro pasa baja Butterworth normalizado de n = 3, reemplazando cada resistor con un capacitor de un valor de 1/R y cada capacitor con un resistor de 1/C. e)Escálese el filtro pasa baja y el pasa alta a los cortes que se requieren y para los niveles deseados de impedancia. Calcúlese FSF: Pasa baja: FSF = 2 π3000 = 18,850 Pasa alta: FSF = 2 π1000 = 6280 Con una Z de 10000, multiplíquense todos los resistores por Z y divídanse todos los capacitores por Z x FSF, utilizando el FSF apropiado para los filtros pasa alta y los pasa baja. En la figura 19-25b se muestra el filtro pasa banda resultante. Filtros pasa banda de banda angosta Cuando la razón del corte superior de 3dB al inferior es de menos de 1.5, se requiere un diseño de banda angosta. problema 19.14 Diséñese un filtro pasa banda con una frecuencia central de 1000 Hz y un ancho de banda de 3 dB de 50 Hz. Determínese la atenuación en un ancho de bande de 200 Hz. teoría El circuito de la figura 19.26 proporciona una respuesta pasa banda estrecha hasta un valor Q del circuito de 20. La ganancia del filtro a la frecuencia central es la unidad.
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drs/vcm
Filtros
La respuesta a cualquier ancho de banda BW. se puede calcular por medio de:
BW x dB = 10 log 1 + BW 3 dB
2
(19-13)
en donde BW3dB es F0 / Q. La ecuación 19-13 corresponde a n = 1 en la figura 19-8. en donde Q corresponde a BWx / BW3dB.
Las
cuaciones de diseño para el circuito de la figura 19-26 son: R1 = R2 =
Q____ 2 πF0 C R1 ____ 2Q2 -1
R3= 2 R1
(19-14) (19-15)
(19-16)
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drs/vcm
Filtros
solución Escójase C =0.01 uF. Entonces. R1 = 318 k Ω R2 = 398 Ω R3 = 636 k Ω En la figura 19-27 se muestra el filtro resultante. El resistor R2 se hizo ajustable con el fin de sintonizar el circuito.
FILTROS DE RECHAZO DE BANDA
Los filtros de rechazo de banda de banda ancha tienen una razón de frecuencia 3 dB superior a inferior de 1.5 o más, y se diseñan mediante la combinación de un filtro pasa alta y otro pasa baja, utilizando un amplificador operacional adicional. Se emplean redes de ranura para generar una característica de respuesta tipo filtro supresor de banda angosta. Filtros de rechazo de banda de banda ancha Para diseñar un filtro de rechazo de banda de banda ancha, se separan primeramente las especificaciones, individuales pasa baja y pasa alta. A continuación, se diseñan filtros pasa alta y pasa baja, y se combinan mediante un amplificador operacional, como se muestra en la figura 19-28.
problema 19.15 Se requiere un filtro supresor de banda con puntos 3dB en 300 y 3000 Hz, y un rechazo de más de 12 dB entre 600 y 1500 Hz. teoría Puesto que la razón 3dB superior a la inferior sobrepasa 1.5, se necesita un diseño de banda ancha.
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drs/vcm
Filtros
solución Sepárese la especificación en especificaciones individuales pasa baja y pasa alta. Filtro pasa baja: 3 dB a 300 Hz 12dB mínimo a 600 Hz Filtro pasa alta: 3dB a 3000 Hz 12dB mínimo a 1500 Hz Calcúlese el factor de pendiente As para los dos tipos de filtros: Pasa baja: As = 600 = 2 300 Pasa alta: As = 3000 = 2 1500
En la figura 19-8 se indica que un diseño Butterworth de n = 2 proporciona 12 dB a ω = 2. Este filtro normalizado satisface tanto los requisitos pasa bajas como pasa altas. Los filtros pasa alta y pasa baja resultantes se combinan utilizando el circuito de la figura 19-28. El filtro final aparece en la figura 19-29.
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drs/vcm
Filtros 19.1. INTRODUCCIÓN Un filtro se puede definir como un dispositivo que se coloca entre las terminales de un circuito eléctrico para modificar los componentes de frecuencia de una señal. Los filtros se pueden diseñar para que funcionen a partir de corriente continua hasta más allá de 10 000 MHz. Se clasifican según la forma de respuesta en frecuencia, el tipo de filtro (como LC, cristal o activo) y la gama de frecuencias.
19.2.FORMAS DE RESPUESTA Los filtros se pueden clasificar en las cuatro categorías que siguen, sobre la base de la respuesta en frecuencia: 1.Los filtros pasa baja permiten el paso a los componentes de baja frecuencia (por lo común, a partir de la corriente continua) hasta una frecuencia de corte especificada y presentan una alta atenuación por encima de ese punto de corte. 2.Los filtros pasa alta rechazan las frecuencias que van desde la corriente continua hasta una frecuencia de corte y dejan pasar los componentes por encima de ese punto de corte. 3.Los filtros pasa banda dejan pasar las frecuencias que se encuentran dentro de una banda dada y rechazan los componentes de fuera de esa banda. 4.Los filtros de rechazo de banda suprimen las frecuencias que están dentro de una banda dada y dejan pasar los componentes de fuera de dicha banda. Hasta cierto punto, estas descripciones son ideales puesto que en los filtros reales hay una región de transición entre la banda de paso y la región de alta atenuación (banda de rechazo). En la figura 1 se muestran las curvas típicas de los filtros para cada una de las cuatro categorías.
19.3.DEFINICIONES DE LOS PARÁMETROS BÁSICOS Además de las formas básicas de filtros, los técnicos o los ingenieros se deben familiarizar con la terminología que sigue y que se usa para describir o designar filtros. Frecuencia de corte (Fc) La frecuencia de corte define el límite de la banda de paso, y por lo común corresponde a 3 dB de atenuación. Mientras que los filtros pasa baja y pasa alta tienen sólo una frecuencia de corte, los filtros pasa banda y de rechazo de banda tienen dos frecuencias de corte. Frecuencia central (F0) Los filtros pasa banda son geométricamente simétricos, o sea, simétricos en torno a una frecuencia central cuando se traza en papel para gráficas lineales logarítmicas con la frecuencia en el eje logarítmico. La frecuencia central se puede calcular por medio de:
F0 = F1 F2
(19.1)
en donde F1 es el corte inferior y F2 la frecuencia de corte superior, como se muestra en la figura 19-1. Para filtros estrechos, en donde la razón de F2 a F1 es menor que 1.1, la forma de respuesta se acerca a la simetría aritmética. A continuación, se puede calcular F0 mediante el promedio de las frecuencias de corte:
F0 =
F1 + F2 2
1
(19-2)
drs/vcm
Filtros
Frecuencia de corte de supresión de banda (Fs) La banda de paso y la de rechazo están separadas por una zona de transición. Fs es la frecuencia a la que se especifica la atenuación mínima que se requiere. Factor de selectividad (Q) Q0 es la razón de la frecuencia central de un filtro pasa banda al ancho de banda de 3 dB. Si F1 y F2 corresponden al punto inferior y superior de 3 dB, el factor de selectividad se podrá expresar como sigue:
Q0 =
F0 F2 − F1
(19-3)
NORMALIZACIÓN DE LAS ESPECIFICACIONES DE LOS FILTROS Se pueden escoger funciones de transferencia de conformidad con ciertas reglas matemáticas, de modo que las curvas correspondientes de filtros pasa baja tienen un punto 3dB en 1 rad = 1). Cada curva representa un conjunto de valores de elementos para un filtro LC o activo. Se dice que ese filtro y su respuesta se “normalizan” a 1 rad. La técnica general para el diseño de filtros consiste en convertir primeramente las especificaciones del filtro en especificaciones de pasa banda normalizadas. A continuación se podrán comparar las especificaciones resultantes con las curvas normalizadas de respuesta en frecuencia y escoger un filtro pasa baja satisfactorio. A continuación, se desnormalizan los valores correspondientes del elemento pasa baja a la gama requerida de frecuencias. Si se desea un filtro pasa alta, pasa banda o de rechazo de banda, se deberán hacer también transformaciones en los circuitos.
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drs/vcm
Filtros Normalización de filtros pasa baja problema 19.1 Se necesita un filtro pasa baja con un corte de 3dB a 600 Hz y una atenuación mínima de 50 dB a 1800 Hz. Normalícese esas especificaciones a 1 rad. A continuación hágase una comparación con una familia de curvas normalizadas de pasa baja y escójase un filtro apropiado. teoría Para normalizar las especificaciones de un filtro pasa baja para 3 dB a 1 rad, se calcula primeramente el factor de pendiente del filtro A, que es la razón de la frecuencia de corte de supresión de banda, Fs a la frecuencia de corte de 3 dB, Fc.
As =
Fs Fc
(19-4)
A continuación, será posible trazar las curvas normalizadas y escogerse un diseño que satisfaga la atenuación mínima requerida de la banda de rechazo en As rad. solución Calcúlese el factor de pendiente del filtro pasa baja, mediante la ecuación 19-4:
As =
Fs 1800 Hz = =3 Fc 600 Hz
(19-4)
Con la muestra de familia de curvas de la figura 19-4, determínese qué filtro tiene una atenuación mínima de 50dB a 3 rad. Evidentemente, este requisito lo satisface un filtro normalizado que tiene una complejidad mínima de n = 5 (filtro de quinto orden). Normalización de filtros pasa alta problema 19.2 Se requiere un filtro pasa alta con un corte de 3dB de 900 Hz y una atenuación mínima de 50dB a 300 Hz. Normalícese esta especificación a 1 rad y determinase la complejidad mínima del filtro que se requiere, uti1izando la familia de curvas dada en la figura 19-4. teoría Todos los filtros pasa baja normalizados se pueden transformar en filtros pasa alta normalizada. que tengan también un corte de 3dB de 1 rad. En la figura 19-5 se muestra la relación entre un filtro pasa baja normalizado y el filtro pasa alta transformado correspondiente. Los dos filtros tienen la misma atenuación a frecuencias reciprocas; por ejemplo, los puntos de 12 dB están en 2 rad para el filtro pasa baja y 0.5 rad para el filtro pasa alta transformado. Debido a esta relación entre filtros pasa alta y pasa baja, se puede definir un factor de pendiente de pasa alta que es reciproco del factor de pendiente de pasa baja. Para un filtro pasa alta:
As =
Fc Fs
(19-5)
A continuación, se puede utilizar directamente las curvas normalizadas pasa baja para escoger un diseño con la atenuación requerida a As rad.
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drs/vcm
Filtros
solución Calcúlese el factor de pendiente del filtro pasa alta con la ecuación (19-5):
As =
Fc 900 Hz = =3 Fs 300 HZ
(19-5)
Mediante las curvas de la figura 19-4. escójase filtro que tenga una atenuación mínima de 50 dB a 3 rad. Un filtro de quinto orden satisface este requisito. En el procedimiento real de diseño, el filtro pasa baja normalizado asociado se debe transformar en un filtro pasa alta. Normalización de filtros pasa banda problema 19.3 Se necesita un filtro pasa banda con puntos 3dB en 150 y 300 Hz, y un mínimo de atenuación de 50dB a 50 y 900 Hz, Normalícese esos requisitos y escójase el filtro apropiado a partir de las curvas do la figura 19-4. teoría Los filtros pasa banda se clasifican, en general, en dos categorías: de banda estrecha y banda ancha. La regla empírica dice que si la razón de la frecuencia superior de corte a la frecuencia inferior de corte es de más de 1.5, el filtro será de banda ancha. Se puede separar una especificación de filtro de banda ancha en requisitos individuales pasa baja y pasa alta. A continuación, estos últimos se normalizan por separado y se escoge un diseño pasa baja y pasa alta satisfactorio. Los filtros resultantes deberán ponerse en cascada para satisfacerlas especificaciones generales. solución Frecuencia_superior_de_corte = 300 Hz = 2 Frecuencia inferior de corte 150 Hz
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(19-6)
drs/vcm
Filtros El filtro es de banda ancha que se puede separar en un requisito pasa baja y otro pasa alta, como sigue: Pasa baja:
3dB a 300 Hz 50 dB mínimo a 900 Hz
Pasa alta:
3 dB a 150 Hz 50 dB mínimo a 50 Hz
Al calcular los factores de pendiente, se tiene: Factor de pendiente de pasa alta: As = 900_Hz = 3 300 Hz Factor de pendiente de pasa baja As = 150_Hz = 3 50 Hz Mediante el uso de las curvas normalizadas de la figura 19-4, se pueden satisfacer los requisitos de atenuación tanto de los filtros pasa baja como de los pasa alta mediante un diserto de n = 5. problema 19.4 Se especifica un filtro pasa banda con puntos 3 dli en 900 y 1100 Hz y una atenuación mínima de 50 di a 700 y 1300 Hz. Normalícese este filtro a una especificación de pasa baja y escójase un filtro normalizado satisfactorio a partir de las curvas de la figura 19.4. teoría En los filtros pasa banda estrecha, la razón de la frecuencia superior de corte a la frecuencia inferior de corte es de menos de 1.5. Esos filtros no se pueden diseñar como pasa baja y pasa alta separados. Ya se vio antes cómo se puede transformar un filtro pasa baja en otro pasa alta. Esta relación permite diseñar un filtro pasa alta, convirtiendo directamente la especificación pasa alta en otra pasa baja normalizada, escogiendo un filtro pasa baja y transformándolo en el filtro pasa alta que se desea. Existe también una relación especifica entre los filtros pasa baja y los pasa banda. La respuesta en frecuencia del filtro pasa baja se transforma en el ancho de banda del filtro pasa banda con atenuación idéntica. En la figura 19-6 se muestra el modo en que se relaciona una respuesta típica de filtro pasa banda a un filtro pasa baja. Obsérvese que Los puntos de 10 y 15 Hz de ancho de banda del filtro pasa banda tienen la misma atenuación que tas frecuencias de corte de 10 y 15 Hz del filtro pasa baja. La relación nos permite diseñar filtros pasa banda de banda angosta, convirtiendo el requisito de pasa banda en una especificación de pasa baja, y utilizando, a continuación, curvas normalizadas de pasa baja. La conversión de pasa banda a pasa baja se realiza como sigue. Calcúlese la frecuencia central geométrica, Fo mediante la ecuación (19-l) o la (19-2). En puntos de igual atenuación a los dos lados de Fo, las dos frecuencias deben estar relacionadas geométricamente, de modo que tienen que satisfacer la relación que sigue: Fa Fb = F0
(19-7)
en donde Fa y Fb, se encuentran, respectivamente, por debajo y por encima de Fo y tienen la misma atenuación. Modifíquense las especificaciones de filtro pasa banda, calculando la frecuencia geométrica correspondiente para cada frecuencia de banda de rechazo especificada mediante la ecuación (19-7). Para cada par de frecuencias de banda de rechazo obtendrán dos pares nuevos. Escójase el par con la separación menor que represente el requisito más severo. Si la razón de Fa a Fb es menor que 1.1 el cálculo que incluye la ecuación l9-9 no se requiere si Fa y Fb tienen la misma separación de Fo(Fo - Fa = Fb - Fo )
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Filtros Calcúlese un factor de pendiente de pasa banda como sigue: As
=
Ancho de banda de rechazo Ancho de banda
(19-8)
El ancho de banda de rechazo es la separación calculada antes. Únase las curvas normalizadas de pasa baja y escójase un filtro que tenga la atenuación requerida de banda de rechazo en As rad.
solución a)Calcúlese La frecuencia geométrica central
F0 = 900 ⋅1100 = 995 Hz b)Calcúlense dos pares de frecuencias de rechazo de banda geométrica relacionadas: Con Fa =700Hz
Fb = (995)2 = 1414 Hz 700
Fb – Fa = 714 Hz Con Fb = 1300Hz
Fb = (995)2 = 762 Hz 1300
Fb – Fa = 538 Hz Evidentemente, el segundo par de frecuencias representa el requisito más importante. c)Calcúlese el factor de pendiente de pasa banda: As = 538 Hz = 2,69 200 Hz d)Escójase un filtro pasa baja normalizado. Si se usan las curvas normalizadas de la figura 19-4 y n = 6, el diseño proporciona más de 50dB de atenuación a 2.69 rad. El filtro pasa baja normalizado escogido se debe transformar en el filtro pasa banda que se requiere.
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Filtros Normalización de filtros de rechazo de banda
problema 19.5 Se requiere un filtro de rechazo de banda que tenga puntos 3 dB en 900 y 1100 Hz, y una atenuación mínima de 50 dB en 970 y 1030 Hz. Normalícese este filtro a una especificación de pasa baja y escójase un filtro normalizado a partir de las curvas de la figura 19-4. teoría La sección anterior sobre filtros pasa banda estrechos demostró el modo en que se puede escoger el diseño de un filtro pasa banda mediante la utilización de curvas normalizadas para el paso de frecuencias bajas. Se puede usar un método similar para diseñar filtros de rechazo de banda. Estos últimos se relacionan directamente a los pasa alta. La respuesta en frecuencia del filtro pasa alta se transforma en el ancho de banda del filtro derechazo de banda, con atenuación idéntica. En la figura 19-7 se muestra la relación entre pasa alta y rechazo de banda de un filtro típico. Obsérvese el modo en que el ancho de banda de 10 y 15 Hz del filtro de rechazo de banda tiene una atenuación idéntica a la del filtro pasa alta en Las frecuencias de corte de 10 y 15 Hz. Esta relación permite diseñar un filtro de rechazo de banda, convirtiendo primeramente el requisito de rechazo de banda en un factor de pendiente y, a continuación, mediante el uso directo de las curvas de pasa baja normalizadas, como se hizo para los filtros pasa alta. El método de diseño es como sigue: 1.Calcúlese la frecuencia central geométrica F0 de los puntos 3 dB, mediante las ecuaciones (19- 1) o (19-2). 2.Las frecuencias de banda de supresión deben estar relacionadas geométricamente de conformidad con la ecuación (19-7), como en el caso de los filtros pasa banda. Modifíquese la especificación de banda de supresión mediante esta relación, y calcúlense dos pares de frecuencias de banda de supresión para cada frecuencia especificada. Escójase el par con la mayor separación que represente el requisito más importante (filtro más pronunciado). 3.Calcúlese un factor de pendiente de rechazo de banda: As= Ancho de banda de pasa banda (19-9) Ancho de banda de supresión 4. Trácense las curvas de filtros pasa baja normalizados y escójase un filtro que tenga la atenuación necesaria de banda de supresión en As rad. 5.En el diseño normal, el circuito pasa baja normalizado se debe transformar en un filtro pasa alta y, a continuación, convenirse en el filtro apropiado de rechazo de banda. solución a)Calcúlese la frecuencia central geométrica F0: a)Calcúlese La frecuencia geométrica central
F0 = 900 ⋅1100 = 995 Hz b)Calcúlense dos pares de frecuencias de supresión de banda geométrica relacionadas: Con Fa =970Hz
Fb= (995)2 = 1021 Hz 970
Fb – Fa = 51 Hz Con Fb = 1030Hz
Fb= (995)2 = 961 Hz 1030
Fb – Fa = 69 Hz . El segundo par de frecuencias es el requisito más importante c)Calcúlese el factor de pendiente de rechazo de banda: As = 200 Hz = 2,9 69 Hz d)Escójase un filtro pasa baja normalizado: si se emplean las corvas normalizadas de la figura 19-4, un diseño de n = 6 ofrece una atenuación de más de 50dB a 2.9 rad. El filtro escogido se deberá transformar en pasa alta y, a continuación, convertirse en filtro de rechazo de banda, como se indicó en la figura 19.3.5.
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Filtros
19.6 FUNCIONES DE RESPUESTA En la sección anterior se mostró el uso de curvas normalizadas de filtros pasa baja. Esas curvas representan funciones de transferencia. Mediante un cambio de los valores y la complejidad de esas funciones, la respuesta de pasa baja puede adoptar distintas formas, En esta sección se analizan esas formas y se presentan curvas de respuesta en frecuencia normalizadas de filtros pasa baja. Respuesta Butterworth Los filtros pasa baja Butterworth son probablemente los más utilizados. La respuesta en frecuencia es muy plana a la mitad de la banda de paso, y un poco redondeada en las cercanías del corte. Más allá del punto de 3 dB, el índice de atenuación aumenta y llega finalmente a n por 6 dB por octava. Por ejemplo, un filtro pasa baja de n = 3, haría aumentar su atenuación en 18 dB en la banda de supresión cada vez que se duplicara la frecuencia. Los filtros Butterworth son fáciles de construir porque los valores resultantes de los componentes son más prácticos que la mayoría de los otros tipos, y estos filtros menos críticos a las variaciones de los componentes. En la figura 19-8 se proporciona una familia de curvas normalizadas de atenuación hasta n = 10. Las curvas dobles presentan características extendidas de la banda de paso, así como también de la atenuación de la banda de rechazo. Filtros Chebyshev En La figura 19-9a se muestra un filtro pasa baja normalizado ideal. No tiene atenuación sobre la gama de corrientes continuas hasta 1 rad, y su atenuación es infinita por encima de 1 rad, La aproximación de Butterworth a un filtro pasa baja ideal aparece en la figura 19-9b. La aproximación es buena a frecuencias alejadas de 1 rad, y pobre cerca del punto de corte. La curva de Chebyshev de la figura 19-9c es una mejor aproximación a un filtro ideal. La respuesta en la región de corte es más rectangular, y el índice de descenso a la banda de supresión, más abrupto. Esas características se obtienen a expensas de permitir variaciones en la respuesta de la banda de paso, lo que se denomine rizo de la banda de paso. Los filtros Chebyshev son más críticos en lo que se refiere a su construcción que los de la familia Butterworth, y más sensibles a las tolerancias de los componentes. Cuanto mayor sea el rizo, tanto más abrupto será el filtro para un orden dado n, pero tanto más crítico se hará el circuito. Durante la primera octava, la atenuación sobrepasa n = 6 dB por octava. En las figuras 19-10 y 19-11 se presentan curvas normalizadas de atenuación para filtros Chebyshev con rizos de 0.1 y 0.5 dB.
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Filtros
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Filtros Retardo máximamente plano Los filtros Butterworth y Chebyshev presentan diferentes retardos para las señales de frecuencias distintas La variación del retardo sobre la banda de paso se denomine distorsión de retardo. Esta distorsión aumenta con los filtros de orden superior y los rizos mayores. Si la señal de entrada consiste en formas de onda de frecuencias múltiples, tales como pulsos o modulación, la señal de salida se distorsionará puesto que los diferentes componentes de frecuencia tienen distintos desplazamientos en el tiempo. La familia de filtros pasa baja de retardo máximamente plano tienen un retardo constante sobre la banda de paso: sin embargo, la pendiente de la atenuación en la reglón cercana al corte es muy pobre en comparación con la respuesta de-Butterworth o Chebyshev. Incluso una o dos octavas más allá del corte, la atenuación es un poco menor que en el caso de otros tipos. Por consiguiente, estos filtros son útiles, sobre todo cuando la fidelidad de la reproducción de la señal es más importante que las características de atenuación. Las propiedades de retardo constante no se conservan cuando el filtro pasa baja se transforma en la configuración para altas de pasa banda o rechazo de banda. En la figura 19-12 se muestran las características normalizadas de atenuación para este tipo de filtros.
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Filtros 19.8 DISEÑO DE FILTROS ACTIVOS Los filtros activos se componen de circuitos que contienen amplificadores operacionales, resistores y capacitores. Puesto que eliminan completamente los inductores, permiten reducciones de tamaño y ahorro de costos, sobre todo en las frecuencias bajas, en donde los inductores pueden llegar a ser extremadamente grandes y costosos. CAMBIOS DE ESCALA DE FRECUENCIA E IMPEDANCIA
La respuesta en frecuencia de un filtro activo se puede cambiar a una gama de frecuencias diferente. dividiendo los valores de los resistores o de los capacitores por el FSF. El FSF es la razón de una frecuencia dada de referencia a la respuesta era escala que se requiere a la frecuencia correspondiente del filtro actual: FSF = frecuencia de referencia de la respuesta escalada frecuencia de referencia de la respuesta actual
(19-10)
Figura 19-21 a) Filtro pasa baja normalizado; b) filtro escalado a escala 10 kHz; c) filtro final
En la figura 19-21a se muestra un filtro activo pasa bajo normalizado y su respuesta asociada. Cuando se ajusta en escala el punto 3 dB de 1 rad a 10 kHz, se obtiene como resultado un FSF de 62 800 en el circuito de la figura 19-21b. Aunque el circuito de la figura 19-21b tiene la respuesta que se desea, los valores no son prácticos. Si los resistores se multiplican por un factor Z y los capacitores se dividen por ese mismo factor, el circuito se podrá ajustar en la escala de impedancias sin modificar la respuesta en frecuencia. Mediante el uso de un valor de Z de 10 000, se obtiene el circuito final de la figura l9-21c. El cambio de escalas de frecuencias e impedancias se puede combinar para obtener las fórmulas que siguen: C = C_normalizada (19-11) Z x FSF R = R normalizada x Z
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Filtros DISEÑO DE FILTROS PASA BAJA
Al diseñar un filtro pasa baja activo, es preciso normalizar primeramente las especificaciones. A continuación se escoge una función de respuesta apropiada a partir de la sección 19.5. Las tablas 19-5 a 198 contienen valores de filtros pasa baja activos normalizados, correspondiente a cada función de respuesta. De modo similar al utilizado para los filtros LC, el filtro pasa baja normalizado se ajusta en la escala de frecuencias e impedancias a la frecuencia de corte que se requiere y a un nivel conveniente de impedancia. TABLA 19-5 Valores para los filtros Butterworth activos
normalizados tipo pasa baja Orden N
C1
C2
2 3 4
1.414 3.546 1.082 2.613 1.753 3.235 1.035 1.414 3.863 1.531 1.604 4.493 1.020 1.202 1.800 5.125 1.455 1.305 2.000 5.758 1.012 1.122 1.414 2.202 6.390
0.7071 1,392 0.9241 0.3825 1.354 0.3090 0.9660 0.7071 0.2588 1.336 0.6235 0.2225 0.9809 0.8313 0.5557 0.1950 1.327 0.7661 0.5000 0.1736 0.9874 0.8908 0.7071 0.4540 0.1563
5 6 7 8
9
10
C3 0.2024
0.4214
0.4885
0.5170
Filtros sin ceros Los filtros pasa baja normalizados sin ceros consisten en combinaciones de secciones de dos y tres polos, como las que aparecen en la figura 19-22. Si el orden n del filtro es un número par, se utilizarán n/2 secciones de dos polos. Si n es impar, se necesitarán (n-3)/2 secciones de dos polos y una sola sección de tres.
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Filtros TABLA 19-6 Valores para los filtros Chebyshev activos normalizados pesa baja, con rizo de 0.1 dB Orden N
C1
C2
2 3 4
1.638 6.653 1.900 4.592 4.446 6.810 2.553 3.487 9.531 5.175 4.546 12.73 3,27 3.857 5.773 16.44 6.194 4.678 7.170 20.64 4.011 4.447 5.603 &727 25.32
0.6955 1.825 1.241 0.2410 2.520 0.1580 1.776 0.4917 0.1110 3.322 0.3331 0.08194 2.323 0.6890 0.2396 0.06292 4.161 0.4655 0.1812 0.04980 2.877 0.8756 0 0.1419 0.04037
6
7
8
10
C3 0.1345 0.3804
0.5693
0.7483
Cada sección individual tiene una ganancia unitaria en corriente continua y puede poseer una respuesta de pico agudo en la banda de paso. La respuesta compuesta de todas las secciones da la función de respuesta que se requiere. El amplificador operacional tiene una impedancia de salida casi nula, por lo que las secciones se pueden poner directamente en cascada. problema 19.11 Se requiere un filtro pasa baja activo con un corte de 3 dB de 100 Hz y un rechazo mínimo de 55 dB a 300 Hz. teoría Se debe seguir el procedimiento que se da a continuación para el diseño de filtros pasa baja activos: 1.Normalícese la especificación pasa baja mediante el cálculo de A. 2.Escójase una función satisfactoria de respuesta y un filtro correspondiente. 3.Ajústese en las escalas de frecuencia e impedancia el diseño normalizado al corte que se desea y a n nivel de impedancia conveniente. solución a)Calcúlese el factor de pendiente As: As = 300 Hz = 3 100 Hz b) Esc6jase una función de respuesta y normalícese el diseño. Según las curvas norma1izadas de la sección 19.11 un filtro Chebyshev de n = 5 y de 0.5 dB tiene un rechazo de más de 55dB a3 rad. El diseño normalizado de la tabla 19-9 aparece en la figura 19-23a. c)Ajústese el filtro normalizado en la escala de frecuencia e impedancia. Calcúlese FSF = 2 π100 = 628 Escójase Z = 10000. Por consiguiente, C = C normalizada Z x FSF R = R normalizada x Z
16
drs/vcm
Filtros El filtro resultante aparece en la figura 19-23b. TABLA 19-7 Valores para loa filtros Chebyshev activos normalizados tipo pasa baja, con rizo de 0.5 dB Orden N
C1
C2
2 3 4
1.950 11.23 2.582 6.233 6.842 9.462 3.592 4.907 13.40 7.973 6.446 1807 4.665 5.502 8.237 23.45 9.563 6.697 10.26 29.54 5.760 6.383 8.048 12.53 36.36
0.6533 2.250 1.300 0.1802 3.317 0.1144 1.921 0.3743 0.07902 4.483 0.2429 0.05778 2.547 0.5303 0.1714 0.04409 5.680 0.3419 0.1279 0.03475 3.175 0.6773 0.2406 0.09952 0.02810
5 6 7 8
9
10
C3 0.0895
0.3033
0.4700
0.6260
DISEÑO DE FILTROS PASA ALTA
Los filtros pasa alta activos se diseñan directamente a partir del circuito pasa baja normalizado, de modo similar a como se hace para los filtros pasa alta LC. Después de transformar el filtro pasa baja normalizado en un filtro pasa alta normalizado, el circuito se escala en frecuencia e impedancia.
17
drs/vcm
Filtros
TABLA 19-8 Valores para los filtros activos normalizados pasa baja de tipo retardo máximamente plano Orden N
C1
C2
2 3 4
0.9066 1 423 0.7351 1.012 1.010 1.041 0.6352 0.7225 1.073 0.8532 0.7250 1.100 0.5673 0.6090 0.7257 1.116 0.7564 0.6048 0.7307 1.137 0.5172 0.5412 0.6000 0.7326 1.151
0.6800 0.9880 0.6746 0.3900 0.8712 0.3100 0.6100 0.4835 0.2561 0.7792 0.4151 0.2164 0.5540 0.4861 0.3590 0.1857 0.7070 0.4352 0.3157 0.1628 0.5092 0.4682 0.3896 0.2792 0.1437
5 6 7 8
9
10
C3 0.2538
0.3095
0.3027
0.2851
problema 19.12 Se requiere un filtro pasa baja que tenga menos de 3 dB de atenuación a 1000 Hz y más de 45 dB a 350 Hz. teoría 1.Normalícese primeramente la especificación pasa alta calculando el factor de pendiente pasa a1ta As. 2.A continuación, escójase una función de respuesta satisfactoria y el filtro pasa baja activo apropiado de las tablas 19-5 a 19-8. 3.Seguidamente. transfórmese el circuito pasa baja normalizado en un filtro pasa alta normalizado. Esto se realiza reemplazando cada resistor R con un capacitor de 1/R F. Cada capacitor C se reemplaza con un resistor de 1/C ohms. 4.Finalmente, el filtro pasa alta normalizado se ajusta en las escalas de frecuencia y de impedancia a la frecuencia de corte que se desea y para el nivel de impedancias conveniente.
18
drs/vcm
Filtros
solución a)Calcúlese el factor de pendiente pasa alta As: As = 1000 Hz = 2.86 350 Hz b)Escójase una función de respuesta y un filtro pasa baja normalizado. Como lo indican las curvas normalizadas de las páginas 19-9 a 19-11, un filtro Butterworth de n = 5 proporciona más de 40dB a 2.86 rad. En la figura 19-24a aparece el filtro pasa baja normalizado de la tabla 19-5. c) Transfórmese el filtro pasa baja normalizado en un filtro pasa alta normalizado, reemplazando cada resistor R con un capacitor de 1/R farads, y cada capacitor C con un resistor de 1/C ohms. El filtro pasa alta normalizado resultante aparece en la figura 19-24b. d)Ajústese el filtro normalizado en las escalas de frecuencia e impedancia: Calcúlese FSF = 2 π1000 = 6280 Escójase Z = 10000. Entonces, C = C normalizada Z x FSF R = R normalizada x Z El filtro resultante se muestra en la figura l9-24c.
19
drs/vcm
Filtros DISEÑO DE FILTROS PASA BANDA
Los filtros pasa banda activos se clasifican como de banda ancha o angosta. Si la razón de la frecuencia de 3 dB superior a la inferior sobrepasa 1.5, el filtro cae en la categoría de banda ancha. Filtros pasa banda de banda ancha Para diseñar el filtro como de banda ancha, sepárese la especificación en las de pasa alta y pasa baja. A continuación, se puede diseñar un filtro pasa baja y otro pasa alta separados y ponerse en cascada sin interacción. problema 19.13 Diséñese un filtro pasa banda que tenga los puntos 3 dE en 1000 y 3000 Hz, y una atenuación de más de 25 dE en 300 y 9000 Hz. teoría Puesto que la razón del punto dE superior al inferior sobrepasa 1.5, el filtro se debe diseñar como de banda ancha. solución a)Sepárense las especificaciones de pasa banda en las individuales de pasa alta y pasa baja. Filtro pasa baja:
3 dE a 3000 Hz 25 dE mínimo a 9000 Hz Filtro pasa alta: 3 dE a 1000 Hz 25 dB mínimo a 300 Hz b)Calcúlese el factor de pendiente As para las especificaciones de bajas y altas: Pasa baja: As = 9000 =3 3000 Pasa alta: As = 1000 =3.33 300 c) Escójanse diseños normalizados que satisfagan los requisitos para bajas y altas: según las curvas de la figura 19-8, un diseño de Butterworth de n = 3 proporciona más de 25 dB para valores de As = 3 y As=3.33. d)En la figura 19-25a aparecen los filtros pasa baja y pasa alta normalizados. El filtro pasa alta normalizado se derivó de un filtro pasa baja Butterworth normalizado de n = 3, reemplazando cada resistor con un capacitor de un valor de 1/R y cada capacitor con un resistor de 1/C. e)Escálese el filtro pasa baja y el pasa alta a los cortes que se requieren y para los niveles deseados de impedancia. Calcúlese FSF: Pasa baja: FSF = 2 π3000 = 18,850 Pasa alta: FSF = 2 π1000 = 6280 Con una Z de 10000, multiplíquense todos los resistores por Z y divídanse todos los capacitores por Z x FSF, utilizando el FSF apropiado para los filtros pasa alta y los pasa baja. En la figura 19-25b se muestra el filtro pasa banda resultante. Filtros pasa banda de banda angosta Cuando la razón del corte superior de 3dB al inferior es de menos de 1.5, se requiere un diseño de banda angosta. problema 19.14 Diséñese un filtro pasa banda con una frecuencia central de 1000 Hz y un ancho de banda de 3 dB de 50 Hz. Determínese la atenuación en un ancho de bande de 200 Hz. teoría El circuito de la figura 19.26 proporciona una respuesta pasa banda estrecha hasta un valor Q del circuito de 20. La ganancia del filtro a la frecuencia central es la unidad.
20
drs/vcm
Filtros
La respuesta a cualquier ancho de banda BW. se puede calcular por medio de:
BW x dB = 10 log 1 + BW 3 dB
2
(19-13)
en donde BW3dB es F0 / Q. La ecuación 19-13 corresponde a n = 1 en la figura 19-8. en donde Q corresponde a BWx / BW3dB.
Las
cuaciones de diseño para el circuito de la figura 19-26 son: R1 = R2 =
Q____ 2 πF0 C R1 ____ 2Q2 -1
R3= 2 R1
(19-14) (19-15)
(19-16)
21
drs/vcm
Filtros
solución Escójase C =0.01 uF. Entonces. R1 = 318 k Ω R2 = 398 Ω R3 = 636 k Ω En la figura 19-27 se muestra el filtro resultante. El resistor R2 se hizo ajustable con el fin de sintonizar el circuito.
FILTROS DE RECHAZO DE BANDA
Los filtros de rechazo de banda de banda ancha tienen una razón de frecuencia 3 dB superior a inferior de 1.5 o más, y se diseñan mediante la combinación de un filtro pasa alta y otro pasa baja, utilizando un amplificador operacional adicional. Se emplean redes de ranura para generar una característica de respuesta tipo filtro supresor de banda angosta. Filtros de rechazo de banda de banda ancha Para diseñar un filtro de rechazo de banda de banda ancha, se separan primeramente las especificaciones, individuales pasa baja y pasa alta. A continuación, se diseñan filtros pasa alta y pasa baja, y se combinan mediante un amplificador operacional, como se muestra en la figura 19-28.
problema 19.15 Se requiere un filtro supresor de banda con puntos 3dB en 300 y 3000 Hz, y un rechazo de más de 12 dB entre 600 y 1500 Hz. teoría Puesto que la razón 3dB superior a la inferior sobrepasa 1.5, se necesita un diseño de banda ancha.
22
drs/vcm
Filtros
solución Sepárese la especificación en especificaciones individuales pasa baja y pasa alta. Filtro pasa baja: 3 dB a 300 Hz 12dB mínimo a 600 Hz Filtro pasa alta: 3dB a 3000 Hz 12dB mínimo a 1500 Hz Calcúlese el factor de pendiente As para los dos tipos de filtros: Pasa baja: As = 600 = 2 300 Pasa alta: As = 3000 = 2 1500
En la figura 19-8 se indica que un diseño Butterworth de n = 2 proporciona 12 dB a ω = 2. Este filtro normalizado satisface tanto los requisitos pasa bajas como pasa altas. Los filtros pasa alta y pasa baja resultantes se combinan utilizando el circuito de la figura 19-28. El filtro final aparece en la figura 19-29.
23
drs/vcm
