Fenomena Renewal

FENOMENA RENEWAL 1. DEFINISI PROSES RENEWAL DAN KONSEP HUBUNGAN 2. TELADAN DARI PROSES RENEWAL

3. PROSES POISSON TERLIHAT SEPERTI PROSES RENEWAL 4. ASIMTOTIC BEHAVIOR DARI PROSES RENEWAL

5. GENERALISASI DAN VARIASI DARI PROSES RENEWAL 5.1 Penundaan Proses Renewal Diasumsikan bahwa {Xk} semuanya variabel random positif independen, tetapi hanya X2,X3,……adalah berdistribusi identik dengan fungsi distribusi F, sedang X1 kemungkinan mempunyai distribusi yang berbeda dengan fungsi distribusi G. Penundaan proses renewal digambarkan apabila kita mempunyai semua bahan untuk suatu proses ordinary renewal, pada awal waktu sampai renewal pertama mempunyai distribusi yang berbeda dari waktu dalam kejadian yang lain. Penundaan proses renewal akan timbul jika komponen dalam operasi pada waktu t=0 adalah tidak baru, tetapi semua urutan subsequent pengganti yang berikutnya adalah baru. Sebagai contoh, andaikan waktu mula-mula adalah y unit waktu setelah mulai dari suatu proses ordinary renewal. Kemudian waktu sampai renewal pertama setelah origin dalam proses penundaan akan mempunyai distribusi dari kelebihan lifetime y dari proses ordinary renewal. Jika W0 = 0 dan Wn = X1 + …… + Xn’ dan jika N(t) jumlah dari renewal sampai waktu t. Tetapi sekarang adalah esensial untuk mebedakan antara jumlah rata-rata dari renewal dalam proses penundaan. MD(t) = E[N(t)] dan fungsi renewal berdiatribussi dengan distribusi F,

∞

M(t) =

∑ F (t ) k =1

k

untuk proses penundaan teorema dasar renewal adalah lim t →∞

M d (t ) 1 = t µ

dimana µ = E(X2)

dan teorema state renewal bahwa lim[ M D (t ) − M D (t − h) = t →∞

h µ

dengan X2, X3, …… adalah variabel random kontinu. 5.2 Stasionary Proses Renewal Penundaan proses renewal dalam keadaan pertama mempunyai distribusi fungsi x

∫

G ( x) = µ −1 {1 − F ( y )}dy 0

disebut stasioner proses renewal. Kita mengusahakan model proses renewal yang mulai dengan jangka waktu yang tidak terbatas dimasa lalu, sehingga lifetime dari hal ini dijaga pada kondisi origin mempunyai distribusi limit dari kelebihan hidup dalam proses renewal biasa. Kita mengenal G sebagai distribusi limit. Antisipasi bahwa seperti proses yang menunjukkan jumlah dari stasionary, atau sifat-sifat time-invariant. Untuk stasionary proses renewal M D (t ) = E[ N (t )] =

t µ

dan untuk semua t Pr{Yt D ≤ x} = G ( x)

Sehingga, apa yang ada secara umum hanya suatu asymtotik renewal relation menjadi teridentifikasi, berlaku untuk semua t, dalam stasionary proses renewal. 5.3 Kumulatif dan Hubungan Proses Andaikan berasosiassi dengan unit ke i, atau interval lifetime, adalah variabel random Yi (distribusi teridentifikasi {Yi}) sebagai tambahan untuk lifetime Xi. Kita ikuti Xi dan Yi adalah dependen tetapi diasumsikan bahwa pasangan (Xi,Yi), (X2,Y1), ……..

adalah independen. Kita gunakan notasi F(x) = Pr{Xi≤x}, G(y) = Pr{Yi≤y}, µ = E(Xi), dan v = E(Yi). Proses Renewal Melibatkan Dua Komponen untuk Tiap-tiap Interval Renewal Andaikan Yi menggambarkan bagian dari durasi Xi seperti gambar berikut :

Y1

Y2

X1

Y3

X2

X3

Kita dapat menggambarkan bagian Y terjadi pada awal dari interval, tetapi asumsi ini tidak esensial untuk hasil berikut : Jika p(t) adalah probabilitas bahwa jatuh dalam bagian Y dari bberapa interval renewal. Ketika X1, X2, …… adalah variabel random kontinu, maka teorema renewal mengimplikasi evaluasi asymtitik yang penting sebagai berikut, lim p(t ) =

t →∞

E (Yi ) E( X i )

Beberapa contoh kongkrit Model Penggantian (Replacement Model) Dalam model ini penggantian tidak terjadi dengan sendirinya (instan). Misal Yi adalah waktu operasi dan Zi periode lag cicilan yang didahului dari unit operasi ke (i+1). Kita asumsikan bahwa urutan dari waktu antara penggantian sukses Xk+Zk , k=1,2, …… terdapat proses renewal. Kemudian p(t), probabilitas bahwa sistem adalah dalam operasi pada waktu t, konvergensi E[Yi]/E[Xi]. Model Antrian (A Queueing Model) Proses antrian adalah proses dimana costemer datang pada beberapa tempat yang ditunjuk dimana service dari bberapa macam dapat dikembalikan, ssebagai contoh, pada loket pembayaran di Bank atau pembayaran dikasir pada supermaket. Diasumsikan bahwa waktu antara kedatangan, atau waktu interarrival, dan waktu yang dihabiskan dalam penyediaan service yang diberikan pada costemer mengikuti aturan probabilistik.

Jika kedatangan dari antrian mengikuti proses Poisson dari intensitas λ, kemudian waktu sukses Xk dari permulaan dari periode sibuk ke-k untuk mulai dari periode sibuk berikutnya berbentuk proses renewal. Tiap Xk disusun dari bagian sibuk Zk dan bagian tidak sibuk Yk. Kemudian p(t), probabilitas bahwa antrian adalah kosong pada waktu t, konvergensi ke E(Y1)/E(X1). Prinsip Peter (The Peter Principle) “Prinsip Peter” menyatakan bahwa pekerja akan dipromosikan sampai akhirnya mencapai posisi yang mana disebut orang yang cakap (competen). Jika hal ini terjadi, orang tersebut akan tetap dalam pekerjaan tersebut sampai pensiun. Berdasarkan model pekerjaan tunggal dari “Prinsip Peter” adalah sebagai berikut : Orang diseleksi secara random dari populasi dan ditempatkan dalam pekerjaan. Jika orang tersebut adalah cakap, dia akan tinggal dalam pekerjaan untuk waktu random mempunyai fungsi distribusi kumulatif F dan mean µ dan dipromisikan. Jika tidak cakap, orang tinggal untuk waktu random yang mempunyai

fungsi distribusi kumulatif G dan mean v > µ dan

diberhentikan. Jika pekerjaan dalam keadaan lowong, maka orang lain akan diseleksi secara random dan proses berulang. Diasumsikan bahwa populasi infinit mengandung fraksi p dari orang cakap dan q = 1−p yang tidak cakap. Renewal terjadi setiap waktu dimana possisi diisi, dan oleh karenanya mean durasi dari sikluss renewal adalah E[Xk] = pµ + (1−p)v. Kumulatif Proses Interpretasikan Y sebagai biaya ayai nilai yang berasosiasi dengan siklus renewal ke-i. Klas dari problem diset secara natural dalam kontek umum dari pasangan {X i,Yi} dimana Xi disebabkan proses renewal. Perhatian disini terfokus pada yang disebut kumulatif proses N ( t ) +1

W (t ) =

∑Y

k

k =1

Akumulasi biaya atau nilai sampai waktu t (diassumsikan bahwa transaksi dibuat pada awal dari siklus renewal). Teorema dasar renewal yang dinyatakan dalam kasusu ini adalah :

lim 1t E{W (t )} =

t →∞

E{Y1 ] µ

Bebera Contoh dari Kumulatif Proses

5.4 6. TEORI RENEWAL DIAKRIT