Exercices Vecteurs Et Espaces Vectoriels

Vecteurs et espaces vectoriels Exercice 1 Soient les vecteurs suivants : -

-

-

1   2 v1 = 3  ;   5  0  − 1 v2 = 0  ;   1  − 1 2  v3 = 1  ;   0 

Calculer v1 + 2v2 -v3; calculer αv1 + 3βv2. Exercice 2 Soient les vecteurs suivants : -

-

v1 =

1   2   1 

v2 =

0  − 1   0 

;

;

Construire un vecteur linéairement dépendant de v1 et v2 . Construire un vecteur linéairement indépendant de v1 et v2 . Exercice 3 La définition d’un espace vectoriel fait appel à deux lois de composition; la première est une loi de composition interne; la deuxième est une loi de composition externe. Lorsque l’on considère l’espace vectoriel Rn, les lois de composition sont l’addition et la multiplication entre deux nombres réels. On peut proposer d’autres lois de composition. Par exemple, si l’on choisit des éléments  x1 

 y1 

v de R2 , tel que v =  x  et w =  y  on peut définit la loi interne v ⊕ w, tel que  2  2 ( x1 + y1 ) 2  ; ( x 2 + y 2 ) 2 

-v⊕w= 

et on peut définit la loi externe α ⊗v par

α 2 x1   α 2 x 2 

- α⊗ v = 

a- Est –ce que ces deux lois définissent un espace vectoriel de R2?

b- Même question avec les lois de composition suivantes  x1 + y1   

-

v ⊕ w = 0 

-

α⊗ v = 0 

α x1   

;

;

Exercice 4 Parmi les ensembles suivants. quels sont les sous–espaces vectoriels de Rn ?  x1 

a- v =   et x1= 3 x2 x2   x1 

b- v =   et x1= 1+ 2 x2 x2   x1 

c- v =   et x12+ x22 = 1 x2  d- v =

 x1    x2   x 3 

et x1 + x2 + x3 = 1

Exercice 5 Si U et V sont deux sous-espaces vectoriels de Rn , est ce que l’intersection U∩ V et l’union U ∪ V sont des sous-espaces vectoriels de Rn? Exercice 6 On peut montrer que l’ensemble des fonctions continues à une variable est un espace vectoriel sur R. Est que les fonctions suivantes sont linéairement indépendantes : - 1, sin(x), cos(x) - 1, sin(x), cos(x), cos(2x), cos2(x) Exercice 7 On définit le sous-ensemble V de R3 de la manière suivante : v est un élément de V si v

 x1    = 0  . 0 

Est-ce V est un sous-espace vectoriel? Donner une base de V. Exercice 8

En choisissant

1    v1 = 2 , v2 1 

=

1   2   0 

et v3 =

 2  4  , 2

quelle est la dimension de l’espace vectoriel

obtenu par combinaison linéaire de v1 et v2 ? Même question avec v1 et v3; Même question avec v2 et v3. Donner une base de ces trois espaces. Exercice 9 On a vérifié que l’ensemble des polynômes de degré 2 est un espace vectoriel de dimension 3. Une base de cet espace est fournie par les polynômes e1(x) = x2, e2 (x) = x et e3 (x) = 1; est ce que les polynômes (x – α )2, (x - α) et 1 forment une base ?