Estadistica Aplicada- 1er Corte Mapa.docx

 Fenómeno aleatorio Los experimentos (o fenómenos) aleatorios son aquellos en los que no se puede predecir el resultado. Si se puede predecir el resultado, es un experimento determinista. Ejemplos:  

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Lanzar una moneda es un experimento aleatorio ya que no sabemos si obtendremos cara o cruz. Calentar agua a altas temperaturas es un experimento determinista ya que sabemos, con toda seguridad, que el agua hervirá a partir de determinada temperatura. Lanzar un dado es un experimento aleatorio ya que no podemos predecir el número que obtendremos. Extraer una bola de una urna que sólo contiene bolas rojas es un experimento determinista ya que podemos predecir que la bola extraída será roja.

 Espacio muestral El espacio muestral es el conjunto de los resultados posibles de un experimento aleatorio. Denotaremos el espacio muestral de un experimento con E o Ω. Ejemplo: 

El espacio muestral del lanzamiento de una moneda es E= {cara, cruz} E= {cara, cruz} ya que éstas son las dos únicas posibilidades.

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El espacio muestral del lanzamiento de un dado es E={1,2,3,4,5,6}E={1,2,3,4,5,6} Pero también puede ser E= {par, impar} E={par, impar}

Nótese que, dependiendo de lo que nos interese, el espacio muestral será de una forma u otra. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado puede interesarnos la paridad del resultado obtenido (es decir, si el número que ha salido es par o impar) o puede simplemente interesarnos el número que ha salido.

Los espacios muestrales se clasifican en:  

Espacio muestral discreto, son espacios muestrales cuyos elementos resultan de hacer conteos, siendo por lo general subconjuntos de los números enteros. Espacio muestral continuo, son espacios muestrales cuyos elementos resultan de hacer mediciones, siendo por lo general intervalos en el conjunto de los números reales.

 Evento Un evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. Los eventos normalmente se denotan con las letras mayúsculas A, B, C; y tienen la característica de ser subconjuntos de S ((A, B, C)  S).  Tipos de eventos Los eventos pueden ser: 

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Evento seguro, es aquel que tiene todos los posibles resultados. S = A  #S = #A. Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7. Evento imposible, es aquel que no tiene un posible resultado. Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7. Eventos compatibles, dos eventos, A y B, son compatibles cuando tienen algún eventos elemental común. Ejemplo si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un evento elemental común. Evento incompatibles, dos eventos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. Ejemplo si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles. Eventos independientes, dos eventos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Ejemplo al lazar dos dados los resultados son independientes. Eventos dependientes, dos eventos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. Ejemplo extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son eventos dependientes. Evento contrario, el evento contrario a A es otro evento que se realiza cuando no se realiza A. Ejemplo son eventos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.

Se clasifican en:  

Evento simple, siendo aquel que tiene un solo punto muestral. Evento compuesto, siendo aquel que tiene dos o más puntos muestrales.

Donde el punto muestral es cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio. Representándose al número de puntos muestrales por #S.

Ejemplo: El lanzamiento de una moneda. Experimento aleatorio: Lanzar una moneda tres veces Espacio muestral: S = {(S,S,S),(S,S,A),(S,A,S),(A,S,S),(A,A,S),(A,S,A),(S,A,A),(A,A,A)} S es el evento seguro. Evento simple: A: que salgan tres sellos. A = {(S,S,S)} #A = 1 Evento compuesto:

#S = 8

B: Que salgan al menos dos sellos. B = {(S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S)} #B = 4 Ante estos conceptos es posible llegar a pensar que un evento y un punto muestral son lo mismo, pero realmente no lo son. Un ejemplo claro se puede observar en el lanzamiento del dado, un evento sería por ejemplo que salga número par, para lo cual servirían los puntos muestrales {2} {4} {6}. De ahí las diferencias entre unos y otros.

 Probabilidad La probabilidad es la ciencia que trata de cuantificar los posibles resultados de un experimento en el cual está presente la incertidumbre o la aleatoriedad. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos. Un experimento es un proceso que se observa con el fin de establecer una relación entre condiciones en que se realizan y los resultados que se obtienen. Se clasifican en:

Un experimento determinístico es aquel que al ser realizado con las mismas condiciones iníciales produce los mismos resultados. Ejemplo: Una operación de adición.

 Tipos de probabilidad

1.

Probabilidad frecuencial

Para poder determinar esta probabilidad se realiza un experimento aleatorio repetido un número específico de veces y se procede a registrar esos datos, dividiéndolos cuantas veces se obtenga el resultado que se espera, entre las veces que se haya realizado el experimento. Ejemplo: Se lanza un dado 10 veces. Anota las veces en que salió cada número del dado. Divide las veces que salió el dado entre la cantidad de veces que se lanzó. 2.

Probabilidad matemática

Este tipo de probabilidad pertenece a la rama de las matemáticas que estudian los experimentos conocidos como aleatorios, en los cuales se conocen previamente la mayoría de los resultados que puedan desencadenar esos experimentos matemáticos. En algunos casos no se tiene la seguridad de cuál será el resultado de ciertas combinaciones. 3.

Probabilidad binomial

Señala el éxito o el probable fracaso. 4.

Probabilidad objetiva

Es el tipo de probabilidad que es calculada sabiendo la cantidad total de posibles respuestas o resultados. 5.

Probabilidad geométrica

Es aquella que muestra la exactitud de la probabilidad. 6.

Probabilidad subjetiva

Está determinada por la veracidad de un hecho dependiendo de la evidencia que se tiene.

7.

Probabilidad hipergeométrica

Es la que indica un muestreo sin ningún tipo de reemplazo. 8.

Probabilidad Poisson

Es aquella probabilidad que calcula un hecho en espacio y también en tiempo. 9.

Probabilidad lógica

Es la que se fundamenta, principalmente, en una evidencia sobre un determinado suceso y solamente utiliza las relaciones de la lógica que es inductiva. 10. Probabilidad condicionada Este tipo de probabilidad como su nombre lo indica es una posibilidad condicionada, va a depender de lo que le ocurra al otro. Ejemplo: Es posible que pase un hecho A, si ya ha pasado un hecho o suceso B. 11. Probabilidad de la intersección Esta probabilidad se denomina de intersección si el hecho que se verifica ocurre solo cuando se verifican A y B. Se denominan A y B a dos elementos del conjunto. 12. Probabilidad de la unión Es una probabilidad o posibilidad de la unión cuando se pueden verificar tanto A como B o ambos a la vez. Ejemplo AyB, A o B. Dentro de la probabilidad de la unión los sucesos pueden ser compatibles e incompatibles. 13. Probabilidad de espacio muestral Es un conjunto en el que están incluidos todos los resultados probabilísticos que sea posible que ocurran durante un experimento de tipo aleatorio. Su símbolo es E. Los elementos que lo conforman siempre se escriben dentro de llaves como estas: { }.A los elementos que componen el espacio muestral se les denomina sucesos elementales. Los espacios muestrales pueden ser discretos y continuos. 14. Probabilidad clásica En este tipo de probabilidad el número de eventos que sean favorables tendrán también igual cantidad de eventos posibles. 15. Probabilidad simple

Según esta probabilidad es posible que pueda producirse algún evento específico. Es igual las veces en que determinado hecho sucederá dividido entre la total cantidad de eventos que sea posible que ocurran. 16. Probabilidad compuesta o conjunta En esta probabilidad pueden ocurrir dos hechos. Hay la posibilidad de que el segundo evento vaya a depender del primero o puede ser que no dependa uno del otro. En un caso puede el evento ser dependiente y en el otro independiente.  Teoremas de probabilidad TEOREMA 1. Si  es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra  debe ser cero. p()=0

Ejemplo : La probabilidad de que un estudiante sea mujer es "1 menos la probabilidad de que no sea varón". DEMOSTRACIÓN: Si sumamos a un evento A cualquiera, como  y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces p(A)=p(A) +p()=p(A). LQQD TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 – p(A). DEMOSTRACIÓN: Si el espacio muestral , se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego =AAc, por tanto p()=p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p()=1, por tanto, p(Ac)= 1 - p(A) .LQQD TEOREMA 3. Si un evento A  B, entonces la p(A)  p(B). DEMOSTRACIÓN: Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=A(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)0 entonces se cumple que p(A)p(B). LQQD TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) – p(AB) DEMOSTRACIÓN: Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AB, por tanto, A=(A \ B)(AB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AB), entonces, p(A \ B) = p(A) – p(AB). LQQD TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(AB)=p(A) + p(B) – p(AB). DEMOSTRACIÓN:

Si AB = (A \ B)  B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(A  B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) – p(AB), por tanto, p(AB) = p(A) + p(B) – p(AB). LQQD

 Variable aleatoria Una variable aleatoria es una función que asigna un valor, usualmente numérico, al resultado de un experimento aleatorio. Por ejemplo, los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc. o un número real (p.e., la temperatura máxima medida a lo largo del día en una ciudad concreta). Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles resultados de un experimento aún no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente existente es incierto (p.e., como resultado de medición incompleta o imprecisa). Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar diferentes valores; una distribución de probabilidad se usa para describir la probabilidad de que se den los diferentes valores. En términos formales una variable aleatoria es una función definida sobre un espacio de probabilidad. Las variables aleatorias suelen tomar valores reales, pero se pueden considerar valores aleatorios como valores lógicos, funciones o cualquier tipo de elementos (de un espacio medible). El término elemento aleatorio se utiliza para englobar todo ese tipo de conceptos relacionados. Un concepto relacionado es el de proceso estocástico, un conjunto de variables aleatorias ordenadas (habitualmente por orden o tiempo).

 Tipos de variable aleatoria Para comprender de una manera más amplia y rigurosa los tipos de variables, es necesario conocer la definición de conjunto discreto. Un conjunto es discreto si está formado por un número finito de elementos, o si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que haya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así sucesivamente5 (es decir, un cojunto infinito numerable sin puntos de acumulación). Para variables con valores en usualmente en: 

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las variables aleatorias se clasifican

Variable aleatoria discreta: una v.a. es discreta si su recorrido es un conjunto discreto. La variable del ejemplo anterior es discreta. Sus probabilidades se recogen en la función de cuantía. (Véanse las distribuciones de variable discreta). Variable aleatoria continua: una v.a. es continua si su recorrido es un conjunto no numerable. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores

de la variable abarca todo un intervalo de números reales. Por ejemplo, la variable que asigna la estatura a una persona extraída de una determinada población es una variable continua ya que, teóricamente, todo valor entre, pongamos por caso, 0 y 2,50 m, es posible.6 (Véanse las distribuciones de variable continua). Las definiciones anteriores pueden generalizarse fácilmente a variables aleatorias con valores sobre o . Esto no agota el tipo de variables aleatorias ya que el valor de una variable aleatoria puede ser también una partición, como sucede en el proceso estocástico del restaurante chino o el conjunto de valores de una variable aleatoria puede ser un conjunto de funciones como el proceso estocástico de Dirichlet.