Est A Bi Lid Ad

Estabilidad

Estabilidad Un sistema dinámico es estable si para cualquier entrada comprendida entre un límite superior y otro inferior la salida también resulta acotada sin importar las condiciones iniciales del sistema. La localización de los polos de una función de transferencia representa un primer criterio de estabilidad de un sistema. Todos los polos de la función de transferencia deben estar en el semiplano complejo con parte real negativa Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz Partiendo de la expansión de la ecuación característica de un sistema a lazo cerrado

1 + GP GC = an s n + an −1 s n −1 + L + a1 s + a0 = 0

(1)

donde a n > 0 , en caso de no serlo se multiplican ambos miembros por -1 Se realiza un primer test donde si alguno de los coeficientes a 0 , a1 , K, a n −1 es negativo o cero, implica que al menos una raíz de la ecuación característica pertenece al semiplano complejo de la derecha y por tanto el sistema es inestable. El segundo test se realiza si todos los coeficientes son positivos, se debe construir el arreglo de Routh como el que se muestra: FILA

para la estabilidad, todos los elementos en la primera columna deben ser positivos. Las primeras 2 filas del arreglo de Routh corresponden a los coeficientes de la ecuación característica. Los elementos en las filas remanentes se calculan de las fórmulas siguientes a a − a n a n −3 (2) b1 = n −1 n − 2 a n −1 a a − a n a n −5 b2 = n −1 n − 4 (3) a n −1 M

b1 a n −3 − a n −1b2 b1 b a − a n −1b3 c 2 = 1 n −5 b1 c1 =

(4) (5)

M (n+1 filas se construyen ; el número de filas debe ser n=orden de la ecuación característica) Se examinan los elementos de la primera columna a0, a1, b1, c1,…d1 a) Si alguno de los elementos es negativo al menos existe una raíz en el semiplano complejo a la derecha del eje imaginario b) El número de cambios de signo en la primer columna es igual al número de raíces en el semiplano complejo a la derecha del eje imaginario Ejemplo1: Aplicación del arreglo de Routh para la determinación del parámetro de ajuste de un controlador proporcional 8 GP = GL = GV = G M = 1 GC = K C ( s + 2) 3 Y ( s) la ecuación característica de es 1 + GC GV G P G M = 0 L( s ) 8 =0 1+ ( s + 2) 3 ( s + 2) 3 + 8 K C = 0

(6)

s + 6 s + 12 s + 8 + 8 K C = 0 3

2

Se desea conocer el valor de KC que causa inestabilidad, es decir si existe al menos una raíz de (A) que sea positiva. Usando el arreglo de Routh , 1

12

n=3

6 8 + 8K C 6(12) − (1)(8 + 8 K C ) 0 6 8 + 8K C 0

Se analizan las condiciones para la estabilidad 72 − (8 + 8K C ) > 0 K C < 8 8 + 8K C > 0 K C > −1 La restricción importante es KC < 8. Si algún KC ≥ 8 causará inestabilidad. Específicamente KC = 8 Corresponde al caso crítico de estabilidad

Método del Lugar de las raíces para determinar la estabilidad de un sistema Polos de un sistema a lazo cerrado El lugar de las raíces de una función de transferencia H(s) es un diagrama de la localización (locus) de todos los posibles polos del sistema a lazo cerrado empleando una ganancia proporcional k y realimentación unitaria:

La función de transferencia a lazo cerrado es: (7) y así los polos del sistema a lazo cerrado son valores que cumplen con 1 + K H(s) = 0. Escribiendo H(s) = b(s)/a(s), luego esta ecuación tiene la forma

(8) Siendo n = orden de a(s) y m = orden de b(s) [el orden de un polinomio es la mayor potencia de s que aparece en éste]. Se considerarán todos los valores positivos de K, en el límite en que k → 0, los polos del sistema a lazo cerrado son a(s) = 0 (o sea los polos de H(s)). En el límite en que k → infinito, los polos del sistema son b(s) = 0 (o sea los ceros de H(s)). Sin importar el valor de K que se tome, el sistema a lazo cerrado tendrá siempre n polos, donde n es el número de polos de H(s). la ubicación de las raíces (root locus) debe tener n ramas, cada una de ellas comienza en un polo de H(s) y va a un cero de H(s). Si H(s) tiene más polos que ceros (como es el caso más común) m < n y se dice que H(s) tiene ceros en infinito. En este caso, el límite de H(s) cuando s → infinito es cero. El número de ceros en infinito es n-m, el número de polos menos el número ceros, y es el número de ramas del lugar de las raíces que va a infinito (asíntotas). Por tanto del método del lugar de las raíces se puede seleccionar una ganancia tal que conduzca al sistema por un camino deseado y con una determinada dinámica. Los polos con parte real positiva serán inestables. Los que se encuentren cerca del eje imaginario tendrán la mayor influencia sobre la respuesta a lazo cerrado. Independientemente del número de polos del sistema la dinámica responderá preponderantemente dependiendo de la ubicación de los polos dominantes del mismo. Ejemplo 2: cálculo del lugar de las raíces para un sistema genérico de 2do orden Dado un sistema definido como:

GP =

KP (τ 1 s + 1) (τ 2 s + 1)

(9)

Siendo la ecuación característica

1+

KP KC = 0 (τ 1 s + 1) (τ 2 s + 1)

(τ 1 s + 1) (τ 2 s + 1) K = 0 , donde K C K P = K

(10) (11)

Se considerará a K como un parámetro de cambio, luego se pueden realizar las siguientes observaciones: a) cuando K = 0 (Kc = 0), la ecuación característica tiene sus raíces en los polos del proceso p1 =

-1

τ1

, p2 =

-1

τ2

(12)

b) a medida que K crece desde 0, las raíces de la ecuación característica están dadas por

p 1, 2 =

− (τ 1 + τ 2 ) ±

(τ 1 + τ 2 ) 2 - 4τ 1 τ 2 (1 + K) 2τ 1 τ 2

(13)

Estas son reales, distintas y negativas siempre que (τ 1 + τ 2 ) 2 - 4τ 1 τ 2 (1 + K) 〉 0

O

K〈

(τ 1 + τ 2 ) 2 -1 4τ 1 τ 2

(14)

 1  (τ 1 + τ 2 ) 2 KC〈 -1   K P  4τ 1 τ 2 

c) cuando K

C

=

 1  (τ 1 + τ 2 ) 2 -1   K P  4τ 1 τ 2 

p 1, 2 =

− (τ 1 + τ 2 ) 2τ 1 τ 2

(15) (16)

d) KC 〉

 1  (τ 1 + τ 2 ) 2 -1   K P  4τ 1 τ 2 

Se tendrán 2 raíces distintas pero complejas conjugadas

(17)

p 1, 2 =

− (τ 1 + τ 2 ) ±

la parte real será

4τ 1 τ 2 (1 + K) - (τ 1 + τ 2 ) 2 2τ 1 τ 2 − (τ 1 + τ 2 ) 2 τ1 τ 2

(18)

la parte imaginaria tiende a infinito mientras K → ∞

Im

C A

B

Re

Figura 1: lugar de raíces para el ejemplo 2

Usando esta información se puede construir el lugar de las raíces de acuerdo con las siguientes pautas: •

el comienzo del diagrama corresponde a Kc = 0 y está dado por los puntos A (-1/τ1,0) y B(-1/τ2,0)

•

a medida que Kc satisface la desigualdad (14) se obtienen 2 raíces negativas reales y distintas. Luego el lugar de las raíces está dado por 2 curvas distintas que emanan de los puntos A y B y permanecen en el eje real hasta alcanzar el punto C. En este punto Kc adopta los valores dados por (15) presentando una raíz doble.

•

para mayores valores de Kc que satisfacen la desigualdad (17) se tienen nuevamente 2 curvas ya que el sistema presenta raíces complejas conjugadas. Dado que la parte real de los complejos es constante, las 2 ramas del lugar de las raíces es perpendicular al eje real y se extiende a infinito a medida que Kc →∞

En la Figura 2 se puede ver cómo es el lugar de raíces para un sistema de tercer orden

Figura 2: lugar de las raíces para un sistema de tercer orden. X representan los polos del lazo abierto, • representan los polos del sistema a lazo cerrado para diferentes Kc, → indican las nuevas posiciones de los polos a lazo cerrado a medida que crece Kc Gráfica del lugar de las raíces de una función de transferencia empleando MATLAB Considere un sistema a lazo abierto cuya función de transferencia es

para diseñar un controlador feed-back para un sistema a lazo cerrado por el método del lugar de raíces que presente un 5% de sobrevalor (overshoot) y 1 segundo de tiempo de subida. Resolviéndolo con Matlab resulta num=[1 7]; den=conv(conv([1 0],[1 5]),conv([1 15],[1 20])); rlocus(num,den) axis([-22 3 -15 15])

Figura 3: Elección del valor de K empleando el método de lugar de raíces La Figura 3 presenta la ubicación de todas las posibles ubicaciones de los polos para un control proporcional puro. Obviamente no todos los polos satisfacen la condición de diseño especificada. Para determinar cuál es la parte aceptable para el diseño se puede emplear el comando sgrid(Zeta,Wn) para graficar las líneas de coeficiente de amortiguamiento(Zeta) y frecuencia natural (Wn) constantes. Estos 2 argumentos deben ser vectores si se desea mirar el rango de valores aceptables. En el problema aquí planteado se pidió un sobrevalor menor del 5% (que significa Zeta mayor que 0.7) y un tiempo de subida de 1 segundo (Wn mayor que 1.8). En Matlab: zeta=0.7; Wn=1.8; sgrid(zeta, Wn)

Figura 4: selección de Kc por el método del lugar de las raíces

En este diagrama las 2 líneas de punto con un ángulo de 45º indican las ubicaciones de los polos con Zeta = 0.7entre estas líneas, los polos tendrán Zeta > 0.7 y fuera de las líneas Zeta < 0.7. El semicírculo indica la ubicación de los polos con Wn = 1.8; dentro del círculo, Wn < 1.8 y fuera del círculo Wn > 1.8. Volviendo al problema los polos deben estar entre las 2 líneas y fuera del semicírculo para alcanzar las condiciones de diseño. Dado que todos los polos están en el semiplano izquierdo el sistema será estable. Usando el comando rlocfind de Matlab para elegir la ubicación de los polos [kd,poles] = rlocfind(num,den) Clickeando en el diagrama se obtienen los valores mostrados en la Figura 5

Figura 5: obtención de los polos para una dada condición Respuesta del sistema a lazo cerrado Para encontrar la respuesta del sistema a un escalon se debe conocer la función de transferencia a lazo cerrado usando Matlab [numCL, denCL] = cloop((kd)*num, den) los dos argumentos de la función cloop son el numerador y denominador del sistema a lazo abierto. Se debe incluir la ganancia proporcional seleccionada y considerando feedback unitario. En caso de no ser unitario en el help de Matlab se puede consultar la función feedback, con la cual se encuentra la función de transferencia a lazo cerrado con una ganancia distinta de 1 para el sistema retroalimentado. La respuesta al escalon del sistema a lazo cerrado resulta: step(numCL,denCL)

Figura 6: respuesta del sistema a lazo cerrado para una entrada de tipo escalon Criterios de estabilidad en el dominio frecuencial El método de la respuesta en frecuencia puede ser menos intuitivo que otros métodos vistos previamente pero presenta ciertas ventajas especialmente en algunas situaciones de la vida real tales como el modelado de funciones de transferencia a partir de datos físicos. La respuesta en frecuencia puede ser representada de diferentes formas 2 de las más comunes corresponde a los diagramas de Bode y Nyquist. Ambos métodos presentan la misma información pero de diferente manera. En algunos casos puede considerarse al diagrama de Bode más claro y representativo ya que la información se presenta en dos gráficas diferentes, una de módulo y otra de fase, ambas en función de la frecuencia. En este trabajo se discutirá el método de Bode. La respuesta en frecuencia es una representación de la respuesta del sistema a entradas sinusoidales de frecuencia variable. La salida de un sistema lineal frente a una entrada de este tipo es también sinusoidal de la misma frecuencia pero con diferente magnitud y fase. La respuesta en frecuencia está definida como la diferencia de magnitud y fase entre las sinusoides de entrada y salida. En las próximas secciones se detallará la forma en que empleando información de lazo abierto pueden deducirse aspectos vinculados al lazo cerrado. Criterio de estabilidad de Bode Un sistema a lazo cerrado es inestable si la función de transferencia a lazo abierto tiene una relación de amplitud mayor que 1 a una determinada frecuencia crítica ω C que corresponde a un ángulo de fase de -1800 como se muestra en la Figura 7

Figura 7: frecuencia de corte para la fase de -180º

El Criterio de estabilidad de Bode provee de información de la estabilidad del lazo cerrado teniendo información de lazo abierto Ejemplo 3: Dado un proceso cuya función de transferencia a lazo abierto es GOL ( s ) =

2K C (0.5s + 1) 3

Determinar la estabilidad del lazo cerrado para 3 valores de KC: 1, 4 y 20. Solución: El diagrama de Bode para los 3 valores de KC se muestra en la Fig. 8. Notar que en la gráfica de ángulo de fase las 3curvas son idénticas:

Kc 1 4 20

AROL 0.25 1.0 5.0

ESTABLE? si condicionalmente estable no

Figura 8: diagrama de Bode para el ejemplo 3 GOL ( s ) = Ejemplo 4 Determine la estabilidad del sistema a lazo cerrado tal que ,

2K C (0.5s + 1) 3

G p (s) =

K C 4e −2 s 5s + 1

Encontrar ω C del diagrama de Bode ¿Cuál es el máximo valor de KC para que el sistema sea estable? Solución: El diagrama de Bode para KC =1 se muestra en la Figura 9. Notar que : ω C = 1.69 rad min AR OL

ω =ω C

= 0.235

∴ K C max AR OL =

1 = 4.25 0.235

Figura 9: diagrama de Bode del Ejemplo 4 para Kc = 1 Ganancia última y período último • Ganancia última: K CU ≡ máximo •

valor

de K

C

para el que

sistema a lazo cerrado usando cuando un control proporcional. 2π período último: PU ≡

resulta estable un

(19) ωC • KCU puede determinarse de la función de transferencia a lazo abierto cuando se utiliza un control proporcional con KC =1. Luego

K CU = •

1 AROL

for K C = 1

(20)

ω =ω C

Nota: los sistemas de primer y segundo orden (sin tiempo muerto) no presentan KCU

Márgenes de ganancia y fase El margen de ganancia (GM) y margen de fase (PM) proveen de medidas de cuán cerca está un sistema de su límite de estabilidad •

Margen de ganancia: Considere AC ≡ AROL en

ω = ω C . Luego el margen de ganancia está definido como:

1 (21) AC De acuerdo con el criterio de etabilidad de Bode, GM > 1 ⇔ etabilidad • Margen de fase • Considere ω1 ≡ frecuencia a la cual AROL = 1.0 y el correspondiente ángulo de fase es GM ≡

φ1 . El margen de fase está definido como: PM ≡ 180 o + φ1 De acuerdo con el criterio de etabilidad de Bode, PM > 0 ⇔ etabilidad Ver la Figura 9

Margen de ganancia

Margen de fase

Figura 9. Margen de ganancia y fase en el diagrama de Bode Regla heurística: Un sistema retroalimentado bien diseñado presenta :

(22)

1.7 ≤ GM ≤ 2.0 30 o ≤ PM ≤ 45 o

Criterio ganancia-ancho de banda: Se puede argumentar que un sistema retroalimentado bien diseñado debería maximizar el producto K cu ⋅ω c . Por ejemplo, para cambios en carga: IAE ≅

C1 K cuω c

(23)

Construcción del diagrama de Bode con Matlab Para crear el diagrama de la respuesta en frecuencia se genera un vector de frecuencias variando de cero a infinito y computando los valores de la función de transferencia de la planta en aquellas frecuencias. Si G(s) es la función a de transferencia a lazo abierto de un sistema y w el vector de frecuencias, se grafica G(j*w) vs. w. dado que G(j*w) es un número complejo, se puede dividir en su magnitud y fase (diagrama de Bode) o su posición en el plano complejo donde la frecuencia aparece explicitada en forma paramétrica (diagrama de Nyquist). Para construir el diagrama de Bode con Matlab se emplea el comando bode. Por ejemplo, escribiendo bode(50,[1 9 30 40])se despliega el diagrama de Bode de la función a de transferencia (24) mostrado en la Figura 10 50 ----------------------s^3 + 9 s^2 + 30 s + 40

Figura 10: diagrama de Bode de la función a de transferencia dada en (24)

(24)

Notar que los ejes correspondientes a frecuencia están en escala logarítmica, la fase dada en grados y la magnitud en decibeles. Recordar! : un decibel está definido como 20*log10 ( |G(j*w| ) Margen de Ganancia y Fase Se tiene el sistema de la Figura 11:

Figura 11: sistema realimentado donde K es una ganancia variable y G(s) es la planta bajo estudio. El margen de ganancia está definido como el cambio de ganancia requerido para hacer que el sistema a lazo abierto se vuelva inestable. Sistemas con grandes márgenes de ganancia pueden soportar importantes cambios en los parámetros del sistema antes de que ocurra la inestabilidad. Recordar! Que la magnitud de ganancia unitaria corresponde a la ganancia de cero decibeles El margen de fase está definido como el cambio de fase requerido por el sistema a lazo abierto para que el sistema a lazo cerrado se inestabilice. El margen de fase es también una medida de la tolerancia del sistema que presenta retardo. Si existe un retardo mayor que 180/Wpc en el lazo (donde Wpc es la frecuencia donde la fase alcanza el valor de -180º), el sistema a lazo cerrado se vuelve inestable. El tiempo muerto incrementa la fase en w*retardo (en radianes/segundo) pero no afecta la ganancia que toma magnitud 1. El margen de fase es la diferencia entre la fase que presenta la curva bajo estudio y -180º en el punto correspondiente a la frecuencia para la cual la ganancia es de 0dB (frecuencia de corte de ganancia, Wgc). Del mismo modo el margen de ganancia es la diferencia entre la curva de magnitud y 0dB en el punto correspondiente a la frecuencia para la cual la fase es de -180º (frecuencia de corte de fase, Wpc). En caso de modificar ganancias no se requiere realizar un nuevo diagrama de Bode para calcular el margen de fase, simplemente resultará un cambio en la magnitud, equivalente a modificar el eje y . Básicamente se trata de encontrar la nueva frecuencia de corte y realizar la lectura del margen de fase. Por ejemplo suponer que ha ingresado el comando bode(50,[1 9 30 40]), en ese caso se tendrá el siguiente diagrama de Bode :

Figura 12: Bode con ganancia unitaria ( 0 db) El margen de fase es de alrededor de 100º. Si ahora se adiciona una ganancia de 100, a través del by comando bode(100*50,[1 9 30 40]). El nuevo diagrama resulta

Figura 13: Bode con ganancia 100 como puede verse el diagrama es exactamente el mismo de antes y la magnitud se ha corrido en 40dB (por la ganancia de 100). El margen de fase es ahora de aproximadamente -60º. Este mismo resultado puede alcanzarse si las magnitudes sobre el eje y se desplaza 40dB hacia abajo. El siguiente comando devuelve los márgenes de ganancia y fase y sus respectivas frecuencias de corte y una representación gráfica del diagrama de Bode como la que se presenta en la Figura 14 margin(50,[1 9 30 40])

Figura 14: márgenes de ganancia y fase en el diagrama de Bode obtenido con Matlab.