Esercizi Di Fisica Dello Stato Solido

Picchiotti Alessandra

Esercizi svolti di fisica dello stato solido

Universit`a Cattolica del Sacro Cuore, Brescia Facolt`a di scienze matematiche fisiche e naturali [5] A.S. 2007-2008

2

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Indice 1 Modello di Drude, conducibilit` a termica

5

2 Modello di Sommerfeld e densit` a degli stati

9

3 Strutture cristalline

13

4 Scattering elastico, trattazione di Laue

17

5 Diffrazione

19

6 Bande nello schema di zona ridotto

25

7 Metodo tight-binding per un reticolo FCC

27

8 Tight-binding su un reticolo quadrato

31

9 Catena unidimensionale biatomica

37

10 Calore specifico elettronico e di reticolo

41

11 Modello di Debye

43

3

4

INDICE

Capitolo 1 Modello di Drude, conducibilit` a termica Consegna 1. Seguendo la traccia delineata da [3]capitolo 1, mostrare che la conducibilit`a termica k di un metallo calcolata con il modello di Drude `e: 1 k = v2 τcV , 3

(1.1)

dove v2 `e la velocit`a quadratica media, t il tempo di rilassamento e cV il calore specifico a volume costante. Nello svolgimento mettere in evidenza quali sono le ipotesi del modello utilizzate per derivare k.

Svolgimento Consideriamo una barra metallica, con una densit`a volumetrica di elettroni n, lungo la quale la temperatura varia lentamente. Se le estremit`a della barra sono termicamente isolate con l’ambiente, in generale ci sar`a un flusso di calore dall’estremit`a calda a quella fredda. A questo punto si pu`o creare un sistema stazionario scaldando l’estremit`a calda della barra della stessa quantit`a di calore e con la stessa velocit`a con cui si raffredda. La corrente associata alla conduzione del calore in un metallo `e definita dall’espressione: J = −KB ∇T

(1.2)

nel caso unidimensionale il gradiente esplicitato `e1 : Jc = −KB 1

∂T , ∂x

(1.3)

Il meno ha, come per la corrente elettrica, il significato che la corrente di calore `e di verso opposto al gradiente termico.

5

` TERMICA 6 CAPITOLO 1. MODELLO DI DRUDE, CONDUCIBILITA nel generico punto x della barra. Per calcolare la corrente termica si deve prendere una delle ipotesi del modello di Drude: gli elettroni raggiungono l’equilibrio termico con il loro intorno solo attraverso le collisioni, per cui un elettrone dopo un urto emerge con una velocit`a che dipende dalla temperatura in quel punto e non da quella che aveva prima dell’urto. Se calcoliamo l’energia termica di tale elettrone, dobbiamo considerare che nel generico punto x, met`a degli elettroni `e proveniente dalla regione a temperatura superiore e met`a da quella a temperatura inferiore. Gli elettroni provenienti da un lato della barra avranno subito un impatto (l’ultimo prima di arrivare in x) al punto x−vτ, mentre quelli provenienti dalla parte opposta avranno subito l’impatto successivamente precedente nel punto x + vτ. Le rispettive energie termiche saranno quindi dipendenti dalla temperatura in questi punti: ε = ε[T(x ± vτ)]. (1.4) Una corrente in generale si definisce come J = ∂Q ∂t , nel nostro caso Q rappresenta l’energia termica; quindi la corrente dovuta ai portatori che hanno energia ε[T(x − vτ)] `e2 : J− =

∂Q n ∂ε n ∂x n = = ε[T(x − vτ)] = (−v) ε[T(x − vτ)], ∂t 2 ∂t 2 ∂t 2

(1.5)

∂Q n ∂ε n ∂x n = = ε[T(x + vτ)] = (v) ε[T(x + vτ)]. ∂t 2 ∂t 2 ∂t 2

(1.6)

analogamente: J+ =

La corrente complessiva `e la somma delle due componenti: n J = J − +J+ = v{ε[T(x + vτ)] − ε[T(x − vτ)]} 2

(1.7)

Supponendo che la variazione di temperatura, all’interno di un libero cammino medio, sia piccola3 , si pu`o sviluppare ε nel punto x = vτ: ε[T(x − vτ)] ≈ ε[T(0)] +

∂ε ∣x=vτ (x − vτ) + ⋯ ∂x

(1.8)

ε[T(x + vτ)] ≈ ε[T(0)] +

∂ε ∣x=−vτ (x + vτ) + ⋯ ∂x

(1.9)

Analogamente:

2n 2

`e dovuto al fatto che in generale solo met`a degli n elettroni proviene da un lato, mentre l’altra met` a proviene dall’altra estremit`a. 3 Questo `e certamente vero, perch´e si `e presa come ipotesi che la temperatura lungo la sbarra variasse poco, a maggior ragione varia poco lungo un libero cammino medio.

7 Sostituendo nell’equazione (1.7) i due sviluppi e fermandosi al primo ordine, si ottiene: n ∂ε ∂ε J = v [ε[T(0)] + ∣x=vτ (x − vτ) − ε[T(0)] − ∣x=−vτ (x + vτ)] . 2 ∂x ∂x

(1.10)

Si ricordi che da teoremi dell’analisi si pu`o scrivere: ∂ε ∂ε ∂T = , ∂x ∂T ∂x

(1.11)

definendo la quantit`a:

∂ε ∣N,V , (1.12) ∂T il calore specifico a volume (e numero di particelle) costante, e sostituendo nell’equazione (1.10) si ottiene: cV = n

∂T ∂T 1 J = v [cv ( ) (x − vτ) − cv ( ) (x + vτ)] = 2 ∂x ∂x 1 ∂T = vcV [−2vτ ] = cV v2 τ(−∇T). (1.13) 2 ∂x L’estensione al caso tridimensionale `e possibile introducendo al posto di v, il vettore velocit`a media ⟨v⟩; ma poich´e ⟨v⟩ = ⟨v⟩x + ⟨v⟩ y + ⟨v⟩z , supposto che la velocit`a media sia la medesima nelle tre direzioni, si ha: ∣vx ∣2 = ∣v y ∣2 = ∣vz ∣2 = allora:

da cui:

∣v∣2 , 3

(1.14)

1 J = − v2 τcV ∇T, 3

(1.15)

1 k = v2 τcV 3

(1.16)

` TERMICA 8 CAPITOLO 1. MODELLO DI DRUDE, CONDUCIBILITA

Capitolo 2 Modello di Sommerfeld e densit` a degli stati Consegna 2. Calcolare l’espressione della densit`a degli stati di un gas di elettroni secondo il modello di Sommerfeld nel caso 1D, 2D e 3D.

Svolgimento In un gas di elettroni liberi ed indipendenti si ha che l’energia di particella libera `e: h̷ 2 k2 ε(k) = (2.1) 2m Nello stati fondamentale, cio`e a temperatura nulla, tutti i livelli sono occupati fino all’energia di fermi εF , mentre dopo tale limite, i livelli sono tutti vuoti. Per la funzione di Fermi-Dirac valgono le relazioni: ⎧ ⎪ ⎪1 se εF < µ, lim+ f⃗k,s = ⎨ T→0 ⎪ ⎪ ⎩0 se εF > µ,

(2.2)

come in figura 2. Affinch´e le due condizioni siano consistenti `e necessario che valga la seguente relazione1 : lim+ εF = µ. (2.3) T→0

1

Per i metalli questo vale con buona approssimazione fino alla temperatura ambiente

[3].

9

` DEGLI STATI 10CAPITOLO 2. MODELLO DI SOMMERFELD E DENSITA

Figura 2.1: Funzione di Fermi a temperatura nulla (0 K). Si cerca ora di calcolare il contributo elettronico al calore specifico a volume costante di un metallo: cV ∶=

∂u T ∂S ( ) =( ) , V ∂T V ∂T V

(2.4)

dove u ∶= U V. Poich´e per le ipotesi del modello di Drude gli elettroni sono indipendenti, l’energia interna U `e la semplice somma delle energie delle singole particelle mediate con la probabilit`a di occupazione2 : U = 2 ∑ ε(⃗k) f (ε(⃗k)). ⃗k

(2.5)

La funzione di Fermi f (ε(⃗k)) sottolinea il fatto che f⃗k dipende da ⃗k non direttamente, ma solo attraverso l’energia ε⃗k . CASO UNIDIMENSIONALE Nell’equazione (2.5) `e possibile trasformare la sommatoria in integrale, considerando il numero di particelle del sistema molto grande (NA ), cosicch´e ⃗k diventa molto fitto, fino a diventare una quantit`a continua, a questo punto si pu`o scrivere: dk f (ε(⃗k))ε(⃗k)dε, (2.6) u = 2∫ 2π 2

Il fattore 2 `e dovuto al principio di esclusione di Pauli, infatti per ogni livello sono possibili solo due elettroni

11 √ Utilizzando l’equazione (2.1) si ottiene che: k = 2mε/h̷ 2 e quindi differen√ ziando: dk = 2m/εh̷ 2 (1/2)dε, quindi l’equazione (2.6) diventa: √ u=∫

2m 1 f (ε)εdε = ∫ g(ε) f (ε)εdε, εh̷ 2 2π

(2.7)

dove `e stata definita la quantit`a: √ g(ε) ∶=

2m 1 . εh̷ 2 2π

(2.8)

CASO BIDIMENSIONALE Dall’equazione (2.5), nuovamente: u = 2∫

d2 k f (ε(⃗k))ε(⃗k)dε, 4π2

(2.9)

Utilizzando nuovamente le sostituzioni fatte nel caso unidimensionale, con le opportune modifiche: d2 k 2πkdk kdk = = = 4π2 2π2 π

√

2mε h̷ 2

√

2m 1 m dε = ̷ 2 dε, ̷ 2 εh 2π hπ

(2.10)

e sostituendo:

m u = ∫ ̷ 2 f (ε)εdε = ∫ g(ε) f (ε)εdε, hπ dove `e stata definita la quantit`a: m g(ε) ∶= ̷ 2 . hπ

(2.11)

(2.12)

CASO TRIDIMENSIONALE Dall’equazione (2.5), nuovamente: u = 2∫

d3 k f (ε(⃗k))ε(⃗k)dε, 8π3

(2.13)

Ancora una volta si calcolano le quantit`a: d3 k 4πk2 dk k2 dk 2mε = = 2 = ̷2 2 4π3 4π3 π hπ

√

2m 1 m dε = ̷ 2 2 ̷ 2 εh 2 hπ

√

2mε dε, h̷ 2

(2.14)

` DEGLI STATI 12CAPITOLO 2. MODELLO DI SOMMERFELD E DENSITA

(a) 1-D

(b) 2-D

(c) 3-D

Figura 2.2: Densit`a degli stati per un gas di elettroni liberi nel modello di Sommerfeld nei tre casi unidimensionale(2.2(a)), bidimensionale(2.2(b)) e tridimensionale(2.2(c)), figure create grazie a [2]. da cui si ottiene: m u = ∫ ̷2 2 hπ

√

2mε f (ε)εdε = ∫ g(ε) f (ε)εdε, h̷ 2

(2.15)

dove `e stata definita la quantit`a: m g(ε) ∶= ̷ 2 2 hπ

√

2mε . h̷ 2

(2.16)

Capitolo 3 Strutture cristalline Consegna 3. Alla temperatura di circa 13℃, lo stagno grigio (α − Sn) `e soggetto ad una transizione di fase cristallina nella struttura dello stagno bianco (β − Sn). L’α − Sn ha la struttura del diamante con una cella unitaria ˚ Invece la fase β − Sn presenta una struttura cubica il cui lato misura 6, 49 A. tetragonale a corpo centrato (bct) con 4 atomi per cella unitaria e parametri ˚ e c = 3, 18 A. ˚ Si calcoli la densit`a (g/cm3 ) di ciascuna di cella a = 5, 83 A delle due fasi.

Svolgimento La struttura dell’α − Sn `e riproposta in figura 3, si tratta di due FCC compenetrati (la struttura del diamante). Da tale figura si possono ricavare le seguenti informazioni: • numero di atomi sui vertici: 18 8 = 1, • numero di atomi sulle facce: 12 6 = 3, • numero di atomi interni: 4; quindi in totale in una cella ci sono 8 atomi. Il peso atomico dello stagno vale 1, 97 ⋅ 10−25 Kg, per cui la densit`a dello stagno grigio, utilizzando i dati forniti nel testo, `e: ρ=

1, 97 ⋅ 10−25 Kg ⋅ 8 −10

[6, 49 ⋅ 10

m]

3

= 0, 0576 ⋅ 105 Kg/m3 = = 0, 0576 ⋅ 102 g/cm3 = 5, 76 g/cm3 . (3.1) 13

14

CAPITOLO 3. STRUTTURE CRISTALLINE

Figura 3.1: Struttura dell’α-stagno, (3.1(a)) immagine presa da [1], (3.1(b)) immagine liberamente presa da [4]. La struttura del β − Sn `e riproposta in figura 3, si tratta di un BCT. Da tale figura si possono ricavare le seguenti informazioni: • numero di atomi sui vertici: 81 8 = 1, • numero di atomi sulle facce: 12 4 = 2, • numero di atomi interni: 1; quindi in totale in una cella ci sono 4 atomi. Il peso atomico dello stagno

Figura 3.2: Figura presa da [1].

15 vale, come prima, 1, 97 ⋅ 10−25 Kg, per cui la densit`a dello stagno bianco `e: ρ=

1, 97 ⋅ 10−25 Kg ⋅ 4

[5, 83 ⋅ 10−10 m] ⋅ [3, 18 ⋅ 10−10 m] 2

= 0, 0729 ⋅ 105 Kg/m3 =

= 0, 0729 ⋅ 102 g/cm3 = 7, 29 g/cm3 . (3.2)

16

CAPITOLO 3. STRUTTURE CRISTALLINE

Capitolo 4 Scattering elastico, trattazione di Laue ⃗ e Consegna 4. Spiegare l’origine del fattore di struttura geometrica S(G) ⃗ in caso di diffusione elastica di raggi X da parte del fattore di forma fα (G) di un reticolo. ⃗R ⃗α ⃗ = ∑ fα e−iG⋅ , (4.1) S(G) α

dove e `e la carica dell’elettrone, la sommatoria `e estesa agli atomi della cella unitaria e l’integrazione `e fatta sul volume di un atomo e vale: ⃗ rd3 ⃗ r ⃗ = 1 ∫ ρα (r⃗)e−iG⋅⃗ fα (G) . e

(4.2)

Svolgimento Consideriamo una struttura cristallina di cui si conosca la cella primitiva e una sua base, formata da n vettori (n atomi interni alla cella primitiva). Ogni cella primitiva, uguale alle altre attraverso operazioni di traslazione, ha all’interno, in generale, n atomi o ioni, cio`e un insieme di n punti fissati nelle posizioni d⃗1 , . . . , d⃗n , questi saranno i centri diffusori. Si supponga inizialmente che gli n atomi siano tra loro identici. La struttura della cella elementare influisce sull’intensit`a dell’onda diffratta, infatti l’intensit`a di un picco di Bragg dipende dall’interferenza; se tale interferenza `e costruttiva, l’intensit`a `e massima, ha senso quindi associare al dato picco di Bragg un vettore d’onda cos`ı definito: ⃗ ⃗′ − K ⃗ = K, K 17

(4.3)

18CAPITOLO 4. SCATTERING ELASTICO, TRATTAZIONE DI LAUE ogni atomo nella posizione d⃗i della cella primitiva contribuisce indipendentemente e quindi `e separabile dai contribuiti degli altri atomi, posti nelle posizioni d⃗j ≠ d⃗i , in tal modo la differenza di fase tra due generiche onde piane, provenienti dai due centri diffusori d⃗i e d⃗j , sar`a: ⃗

⃗ ⃗

eiK⋅(di −d j ) .

(4.4)

Si pu`o a questo punto calcolare l’intero apporto all’intensit`a dei picchi di Bragg, facendo la somma di tutti i contributi, dati dall’equazione (4.4), per tutti i d⃗i = d⃗1 , . . . , d⃗n : n

⃗ ⃗

SK⃗ = ∑ eiK⋅di ,

(4.5)

i=1

l’equazione (4.5) definisce la quantit`a SK⃗ , chiamata fattore geometrico di struttura, proporzionale all’intensit`a, cio`e all’ampiezza di diffusione. Natu⃗ il fattore geometrico pu`o annullarsi, precisaralmente, per alcuni valori di K mente in corrispondenza della separazione dei punti di diffrazione. Nel caso in cui gli atomi (o gli ioni) della base non siano tutti uguali, il fattore geometrico di struttura cambia un poco, in quanto ognuno dei d⃗i centri diffusori avr`a una densit`a elettronica diversa, tale informazione pu`o essere esplicitata tramite la quantit`a: ⃗ fi (K),

(4.6)

chiamata fattore di forma atomica, che appunto dipende dalla distribuzione delle cariche elettroniche. Utilizzando l’equazione (4.5) e l’equazione (4.6), si ottiene: n

⃗ ⃗

⃗ iK⋅di , SK⃗ = ∑ fi (K)e

(4.7)

i=1

che `e l’espressione pi` u generale del fattore geometrico di struttura. Si osservi che utilizzando la definizione (4.7) nel caso di n atomi uguali, il fattore atomico pu`o essere raccolto e portato fuori dalla sommatoria, diventando una semplice costante moltiplicativa. Inoltre dall’equazione (4.7) si pu`o anche vedere come, nel caso di diffrazione di raggi X, le ampiezze di diffusione associate ad ogni atomo della cella sono le trasformate di Fourier della densit`a elettronica dell’atomo [4], infatti: ⃗r ⃗ ∝ ∫ ρ J (r⃗)eiK⋅⃗ fi (K) dr⃗.

(4.8)

Capitolo 5 Diffrazione Consegna 5 ([3] capitolo 6, esercizio 1). Siano tre campioni di cui uno `e FCC, uno `e BCC e uno ha la struttura del diamante. Le posizioni approssimate dei primi quattro anelli di diffrazione per ciascun caso sono scritte nella tabella (5) A 42, 2℃ 49, 2℃ 72, 0℃ 87, 3℃

B 28, 8℃ 41, 0℃ 50, 8℃ 59, 6℃

C 42, 8℃ 73, 2℃ 89, 0℃ 115, 0℃

Tabella 5.1: Valori dell’angolo φ per i campioni. 1. Identificare le strutture cristalline di A, B e C. ˚ qual’`e il passo reticolare della 2. Data una radiazione X, con λ = 1, 5 A, cella cubica convenzionale nei tre casi? 3. Se si sostituisce la struttura a diamante con la struttura a zincoblenda con una cella unitaria cubica della stessa dimensione, a quale angolo si vedrebbero i primi quattro anelli riflessi? Suggerimento: si tenga conto della relazione tra la distanza dhkl tra i piani della famiglia hkl e la costante reticolare a: 1 h2 + k 2 + l2 = . a2 d2hkl

19

(5.1)

20

CAPITOLO 5. DIFFRAZIONE

Figura 5.1: Camera di Debye-Scherrer, i picchi di diffrazione sono registrati sulle sottili strisce (film strip), immagine liberamente tratta da [3].

Svolgimento 1 Le strutture cristalline FCC, BCC e quella del diamante possono essere ricostruite partendo dall’SC ed aggiungendo una base. Si ricorda che l’ampiezza di scattering avr`a un fattore di struttura geometrica: n

⃗

SG⃗ = ∑ eiG⋅⃗x j ,

(5.2)

j=1

⃗ `e un vettore del reticolo reciproco. dove x⃗j sono i vettori della base e G Il generico vettore del reticolo reciproco dell’SC `e: ⃗ = 2π (h⃗b1 + k⃗b2 + l⃗b3 ), G a

(5.3)

dove come al solito a `e il passo reticolare. La struttura BCC `e formata dall’SC pi` u la seguente base: ⎧ ⎪ ⎪x⃗1 = (0; 0; 0) ⎨ ⎪ ⃗ a ⎪ ⎩x2 = 2 (1; 1; 1)

(5.4)

Quindi utilizzando l’equazione (5.2), otteniamo in questo caso: ⎧ ⎪ ⎪2 se h + k + l `e pari, Sk = 1 + eiπ(h+k+l) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩0 se h + k + l `e dispari.

(5.5)

21 Nel caso della struttura FCC, costruiamo il reticolo tramite il solito SC e la seguente base: ⎧ x⃗1 = (0; 0; 0) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪x⃗2 = 2a (0; 1; 1) (5.6) ⎨ ⎪ x⃗3 = 2a (1; 0; 1) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a ⎪ ⎪ ⎩x⃗4 = 2 (1; 1; 0) Quindi utilizzando l’equazione (5.2), otteniamo in questo secondo caso: ⎧ ⎪ ⎪4 se h, k, l sono tutti e tre pari o dispari, iπ(k+l) iπ(h+k) iπ(h+l) Sk = 1+e +e +e =⎨ ⎪ ⎪ ⎩0 altrimenti. (5.7) Nell’ultimo caso, la struttura del diamante `e formata dall’SC e la base: ⎧ ⎪ ⎪x⃗1 = (0; 0; 0) (5.8) ⎨ ⎪ ⃗2 = 4a (1; 1; 1) x ⎪ ⎩ Quindi utilizzando l’equazione (5.2), otteniamo: ⎧ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ π ⎪1 + i Sk = 1 + ei 2 (h+k+l) = ⎨ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩1 − i

se h + k + l = 4n, con n ∈ Z, se h + k + l = 1 + 4n, con n ∈ Z, se h + k + l = 2 + 4n, con n ∈ Z, se h + k + l = 3 + 4n, con n ∈ Z.

(5.9)

I piani di Bragg sono costruiti partendo da un’interferenza costruttiva tra i vari riflessi, per cui vale l’equazione (5.1) e quindi si pu`o stabilire quali piani danno diffrazione: ⎧ (1; 1; 0); (2; 0; 0); (2; 1; 1); (2; 2; 0) BCC ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨(1; 1; 1); (2; 0; 0); (2; 2; 0); (3; 1; 1) FCC ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩(1; 1; 1); (2; 2; 0); (3; 1; 1); (4; 0; 0) diamond

(5.10)

Ora si calcolano i vettori del reticolo reciproco G che fanno picchi diffrattivi attraverso gli angoli φ della tabella: φ . 2

(5.11)

⎧ G1 = 0, 72 k ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪G2 = 0, 83 k = 1, 15 G1 ⎨ ⎪ G3 = 1, 17 k = 1, 63 G1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩G4 = 1, 38 k = 1, 92 G1

(5.12)

G = k − k′ = 2k sin Caso A:

22

CAPITOLO 5. DIFFRAZIONE Caso B:

⎧ G1 = 0, 49 k ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪G2 = 0, 70 k = 1, 43 G1 ⎨ ⎪ G3 = 0, 85 k = 1, 73 G1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩G4 = 0, 99 k = 2, 02 G1

(5.13)

Caso C:

⎧ G1 = 0, 73 k ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪G2 = 1, 19 k = 1, 63 G1 ⎨ (5.14) ⎪ G = 1, 40 k = 1, 92 G ⎪ 3 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩G4 = 1, 69 k = 2, 32 G1 dove, poich´e k non `e espresso, sono stati calcolati i rapporti con il rispettivo G1 : √ Il modulo del vettore K⃗0 `e pari a K0 = d2 h2 + k2 + l2 , quindi si pu`o calcolare per le tre strutture. Caso BCC: √ 2π ⎧ G = ⎪ 1 ⎪ a √2 ⎪ √ ⎪ ⎪ 2π ⎪ ⎪G2 = a 4 = 2 G1 = 1, 42 G1 √ √ (5.15) ⎨ 2π ⎪ G = 6 = 3 G = 1, 73 G ⎪ 3 1 1 a √ ⎪ √ ⎪ ⎪ 2π ⎪ ⎪ G = 8 = 4 G1 = 2 G1 4 ⎩ a Caso FCC: √ ⎧ 2π ⎪ G = 3 1 ⎪ a ⎪ √ ⎪ √ ⎪ ⎪ 4 2π ⎪ G = 4 = ⎪ ⎪ 2 a 3 G1 = 1, 15 G1 √ √ ⎨ (5.16) ⎪ G3 = 2π 8 = 83 G1 = 1, 63 G1 ⎪ ⎪ a ⎪ √ ⎪ √ ⎪ ⎪ 2π 11 ⎪ G = 11 = ⎪ 3 G1 = 1, 91 G1 ⎩ 4 a Caso del diamante: ⎧ ⎪ G1 = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪G2 = ⎨ ⎪ G3 = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩G4 =

√ 3 √ √ 8 = 83 G1 = 1, 63 G1 √ √ 2π 11 = 113 G1 = 1, 91 G1 a √ √ 2π 1 16 = 4 a 3 G1 = 2, 31 G1

2π a 2π a

(5.17)

dove, poich´e a non `e espresso, sono stati calcolati i rapporti con il rispettivo G1 . Confrontando questi ultimi risultati con quelli sperimentali si conclude che il caso A coincide con un FCC, il caso B con un BCC, mentre il caso C coincide con la struttura del diamante.

23 2 Dai dati forniti nel testo si possono trovare il vettore d’onda ∣⃗k∣ ∶= k e i passi reticolari a, per i tre casi descritti: k=

2π ˚ = 4, 2 1/A λ

(5.18)

da cui, utilizzando l’equazione (5.3): ⎧ ˚ FCC 2, 94 A ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ˚ BCC a = ⎨5, 20 A ⎪ ⎪ ⎪ ˚ diamond ⎪ ⎩3, 50 A

(5.19)

3 Poich´e la struttura della zincoblenda `e geometricamente uguale a quella del diamante, i piani che generano i riflessi sono gli stessi del diamante, infatti il fattore di struttura `e lo stesso1 , cio`e: (1; 1; 1); (2; 0; 0); (2; 2; 0); (3; 1; 1)

(5.20)

Se si eguaglia l’equazione (5.3) ed (5.18) con la condizione di interferenza costruttiva G = 2π d , si ottiene: φ 2π 2π = 2 sin , d λ 2 da cui:

√ λ h2 + k2 + l2 φ = 2 arcsin ( ), 2a

(5.21)

(5.22)

sviluppando i conti si trova che: ⎧ 43, 57° ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪35, 28° ⎨ ⎪ 50, 75° ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩57, 26°

1

(5.23)

La differenza tra la struttura della zincoblenda e quella del diamante `e che la seconda ha un solo tipo di ioni/atomi, mentre la prima ha due differenti specie.

24

CAPITOLO 5. DIFFRAZIONE

Capitolo 6 Bande nello schema di zona ridotto Consegna 6. Determinare l’espressione delle bande energetiche di elettrone libero relative a un reticolo quadrato di lato a. Rappresentare nello schema di zona ridotta (−π/a < k < π/a) le prime 5 bande lungo la direzione [1, 0].

Svolgimento Nella rappresentazione a zona ridotta, quando i vettori d’onda ⃗k degli elettroni escono dalla prima zona di Brillouin, tali vettori vengono traslati all’in⃗ del reticolo reciproco. terno della stessa, attraverso un vettore G L’equazione di Scrh¨odinger per l’elettrone libero `e: ̷2 ˆ = − h ∇2 ψ = εψ Hψ 2m la cui soluzione `e: ε(r⃗′ ) =

2 h̷ 2 (r⃗′ ) 2m

(6.1)

(6.2)

⃗ dove r⃗ `e un vettore della prima zona di Brillouin, allora Definendo r⃗′ = r⃗ − G ′ sostituendo r⃗ si ottiene: ⃗ 2 h̷ 2 h̷ 2 (r⃗ − G) [(rx − Gx )2 + (r y − G y )2 ] , ε(r⃗) = = 2m 2m con: Gx = G y =

2π n, con n ∈ Z. a 25

(6.3)

(6.4)

26

CAPITOLO 6. BANDE NELLO SCHEMA DI ZONA RIDOTTO

Figura 6.1: Schema di zona ridotta Per trovare le prime cinque bande `e necessario semplicemente sostituire n con i valori interi (naturali con segno); inoltre poich´e il reticolo `e quadrato, rx = r y : ⎧ h̷2 2 ⎪ prima banda ⎪ 2m rx ⎪ ⎪ ⎪ h̷2 2 π ε(r⃗) = ⎨ 2m [rx ± 2 a ] seconda e terza banda (6.5) ⎪ ⎪ 2 ̷h2 ⎪ π ⎪ ⎪ ⎩ 2m [rx ± 4 a ] quarta e quinta banda

Capitolo 7 Metodo tight-binding per un reticolo FCC Consegna 7. Si consideri un reticolo cubico a facce centrate. Risolvere, nello schema di tight-binding, l’equazione di Schr¨odinger per orbitali di tipo s considerando il contributo dei 12 atomi primi vicini. Discutere il significato degli integrali α, β e γ che compaiono nella espressione degli autovalori dell’energia ε(k). Tracciare, al variare di k, l’andamento della banda energetica in direzione (kx , k y , kz ) = (1, 1, 1), cio`e nella direzione ΓL. Si trascuri la dipendenza di ε(k) da a. Suggerimento: si veda la trattazione proposta da [3], capitolo 10.

Svolgimento Attraverso la teoria del tight-binding si arriva alla seguente equazione: ⎤ ⎡ ⎢ ∗ ∗ ⃗˜ ⃗r⎥⎥ = 0, (7.1) ∑ bm ⎢⎢(E(⃗k) − Em ) δm,m′ + ∫ φm′ (⃗r)∆Uφm (⃗r)d⃗r + ∑ ∫ φm (⃗r)∆Uφm (⃗r − R)d ⎥ ⎥ ⎢ m ⃗˜ R≠0 ⎣ ⎦ ⃗˜ sono i vettori dove la seconda sommatoria `e stata ristretta solo ai primi vicini, infatti R del reticolo diretto primi vicini, perch´e la φm , la funzione d’onda atomica1 , `e per ipotesi ben localizzata attorno al suo atomo (vero nel caso di orbitale s, come questo) per cui solo per i primi vicini la sommatoria `e sensibilmente diversa da zero; m `e l’indice che ricopre gli 1

Tale funzione d’onda atomica viene presa per ipotesi come una combinazione lineare di funzioni d’onda atomiche, che soddisfano la condizione di Bloch: ⃗ ⃗ φn⃗k (⃗r) = ∑ eik⋅⃗r φn (⃗r − R), ⃗ R

tale funzione d’onda a sua volta soddisfa le condizioni di Bloch.

27

(7.2)

28CAPITOLO 7. METODO TIGHT-BINDING PER UN RETICOLO FCC orbitali degeneri, ma in questo caso solo l’orbitale s viene considerato, che non `e degenere, per cui la sommatoria su m viene ristretta al solo caso in cui m = 1, cio`e esplicitando anche la funzione d’onda: ⃗⃗ ⃗ = 0, Es − E(⃗k) + α + ∑ eik⋅R β(R) (7.3) ⃗˜ R≠0

dove sono state definite le seguenti quantit`a: ⎧ ⎪ ⎪α ∶= ∫ ψ∗s (⃗r)∆Uψ(⃗r)d⃗r, ⎨ ⃗ ⃗ ⃗r. ⎪ β(R) ∶= ∫ ψ∗s (⃗r)∆Uψ(⃗r − R)d ⎪ ⎩

(7.4)

Poich´e ψ(⃗r) `e una funzione d’onda reale e non ha dipendenza angolare, ma solo dipendenza dall’ampiezza, dati garantiti dal fatto che si considera solo l’orbitale s, allora: ⃗ = β(R). ⃗ β(−R)

(7.5)

Considerando solo i 12 atomi primi vicini si ha: ⎧ ⃗ 1 = a (±1; 0; ±1) R ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪⃗ ⎨R2 = 2a (±1; ±1; 0) ⎪ ⎪ a ⎪ ⃗ ⎪ ⎩R3 = 2 (0; ±1; ±1)

(7.6)

⃗ sono: i corrispondenti valori di ⃗r − R ⎧ ⃗ 1 = a (±rx ± rz ), ⃗r − R ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⃗ ⎨⃗r − R2 = 2a (±rx ± r y ), ⎪ ⎪ a ⎪ ⃗ ⎪ ⎩⃗r − R3 = 2 (±r y ± rz ).

(7.7)

∆U ha la stessa simmetria del cristallo, quindi cambiando segno ai suoi argomenti, o permutando gli indici (rx ; r y ; rz ) non cambia il suo valore, mentre α `e lo stesso per tutti e ⃗ perch´e dipende solo da ∣⃗r∣ che `e fissato. Ora `e necessario calcolare la dodici i valori di R, sommatoria dell’equazione (7.3), definendo per comodit`a: ⎧ ⎪ βa = β (a/2(1; 0; 1)) = β (a/2(−1; 0; −1)) , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ β ⎪ b = β (a/2(1; 0; −1)) = β (a/2(−1; 0; 1)) , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪βc = β (a/2(1; 1; 0)) = β (a/2(−1; −1; 0)) , ⎨ ⎪ βd = β (a/2(1; −1; 0)) = β (a/2(−1; 1; 0)) , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ βe = β (a/2(0; 1; 1)) = β (a/2(0; −1; −1)) , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩β f = β (a/2(0; 1; −1)) = β (a/2(0; −1; 1)) ,

(7.8)

per esempio l’addendo della sommatoria in (7.3) relativo a βa `e: a a a βa ei 2 (kx +ky ) + βa ei 2 (−kx −ky ) = 2βa cos (kx + k y ), 2

(7.9)

mentre l’addendo relativo a βb `e: a a a βb ei 2 (kx −ky ) + βa ei 2 (−kx +ky ) = 2βa cos (kx − k y ), 2

e cos`ı via.

(7.10)

29 Ricordiamo che per ipotesi il potenziale ∆U = ∆U(⃗r) = ∆U(x, y, z) `e periodico, questo significa che assume lo stesso valore per tutti i vettori traslati di un vettore del reticolo diretto rispetto ad ⃗r, cio`e: ⃗ = ∆U; ∆U(⃗r) = ∆U(⃗r ± R) (7.11) di conseguenza β diventa, ricordando che φ `e la funzione d’onda di un orbitale s, per cui dipende solo da ⃗r: ⃗ = ∫ ψ∗ (⃗r)∆Uψ(⃗r)d⃗r = ∫ ψ∗ (⃗r)∆U(⃗r)ψ(⃗r)d⃗r = β ∀R. ⃗ β(R) s s

(7.12)

Questo significa che β si pu` o raccogliere e quindi i due termini (7.9) e (7.10), utilizzando le formule di prostaferesi: a a 2β [cos a/2(kx + kz ) + cos a/2(kx − kz )] = 4β [cos kx cos kz ] , 2 2

(7.13)

e cos`ı via anche per gli altri quattro termini. Sommando tutto quanto, l’equazione (7.3) diventa:

a a a a a a E(⃗r) = Es + α + 4β [cos kx cos kz + cos k y cos kz + cos kx cos k y ] . 2 2 2 2 2 2

(7.14)

Come ultimo punto dell’esercizio si calcola ora l’andamento della banda energetica nella direzione Γ − L, al variare di ⃗r, i due punti Γ ed L sono cos`ı definiti, nello spazio reciproco: ⎧ ⎪ ⎪Γ = (0; 0; 0) ⎨ (7.15) ⎪L = ( 1 ; 1 ; 1 ) ⎪ 2 2 2 ⎩ per cui il reciproco del vettore ⃗r, cio`e ⃗k = (kx ; k y ; kz ), dovendo essere compreso tra questi due punti, dovr` a variare tra un minimo di (0; 0; 0) ed un massimo di 1 1 1 ( 2 ; 2 ; 2 ), cio`e: 2π 1 0 ≤ ki = ≤ i = x, y, z (7.16) a 2 dove per`o le tre componenti sono uguali tra loro, per quanto richiesto dal testo, quindi parametrizzando: kx = k y = kz = l

2π 1 0≤l≤ . a 2

(7.17)

Ora `e possibile sostituire i valori trovati: 1 2π E = Es + α + 4β [3 ⋅ cos2 ( l a)] = Es + α + 12β cos2 (πl). 2 a

(7.18)

30CAPITOLO 7. METODO TIGHT-BINDING PER UN RETICOLO FCC

Figura 7.1:

Capitolo 8 Tight-binding su un reticolo quadrato Consegna 8. Si considerino gli elettroni in un reticolo quadrato bidimensionale le cui bande energetiche, trattate con l’approssimazione di tight-binding hanno la seguente dipendenza da k: ε(⃗k) = E0 [2 − cos(akx ) − cos(ak y )] ,

(8.1)

dove a `e la costante reticolare. 1. Si traccino alcune curve di energia costante nel piano kx, ky. 2. Si mostri che la maggior parte delle curve di energia costante attraversano i bordi della zona di Brillouin perpendicolarmente ai piani di Bragg. 3. Tracciare la curva di dispersione ε(k) nella direzione WX (vedi (8)). 4. Disegnare la superficie di Fermi nel caso in cui ogni atomo del reticolo contribuisca con 1 elettrone ( half-filling condition). Abbiamo a che fare con un metallo o con un isolante? 5. Disegnare la superficie di Fermi nel caso in cui ogni atomo del reticolo contribuisca con 2 elettroni. Abbiamo a che fare con un metallo o con un isolante? Discutere le differenze con il caso in cui la superficie di Fermi sia quella calcolata per un gas di elettroni in presenza di un potenziale debole. 6. Calcolare il tensore Mi j (matrice 2 × 2, in questo caso) della massa efficace a centro zona, cio`e Γ = (0, 0), e nei punti a bordo zona X = (1, 0) e W = (1, 1).

31

32

CAPITOLO 8. TIGHT-BINDING SU UN RETICOLO QUADRATO

Figura 8.1:

Svolgimento 1 Data la relazione di dispersione: E(kx , k y ) = E0 [2 − cos(akx ) − cos(ak y )],

(8.2)

ottenuta mediante metodo di tight-binding su reticolo quadrato, si possono trovare le curve di energia costante, tenuto conto che a `e la costante reticolare. Le seguenti figure sono state ottenute con Mathematica ver. 6.01. In figura 8 si riporta l’andamento dell’energia in funzione di kx e k y relativo alla prima zona di Brillouin, il cui codice `e:

Manipulate[Plot3D[{2*e-e*Cos[a*x]-e*Cos[a*y]}, {x,-\[Pi]/2,\[Pi]/2},{y,-\[Pi]/2,\[Pi]/2}, ImageSize->{400,400}], {{a,-48},-10,10,.01,ImageSize->Tiny,Appearance->"Labeled"}, {{e,-7.5},-10,10,.01,ImageSize->Tiny,Appearance->"Labeled"}, AutorunSequencing -> {1, 3, 5, 7, 9}]

2 ⎧ ∂ ⎪ ⎪ ∂kx (2 − cos (akx ) − cos (ak y )) = a sin (kx ) ⎨ ∂ ⎪ (2 − cos (akx ) − cos (ak y )) = a sin (k y ) ⎪ ⎩ ∂ky

(8.3)

33

(a)

(b)

Figura 8.2: Si riporta l’andamento dell’equazione (8.2). (8.2(a)) In pi` u zone di Brillouin. (8.2(b)) Ristretta alla prima zona di Brillouin. I due assi in basso sono kx e k y , sull’asse verticale l’energia. Quindi il gradiente dell’energia `e: ⃗ ∇E(k ekx + a sin (k y )ˆeky x , k y ) = a sin (kx )ˆ

(8.4)

Quindi andando a prendere i piani con kx o k y costante: ⎧ ⎪ ⃗ π , k y ) = a sin (ak y )ˆeky ⎪∇E( a ⎨ π ⃗ ⎪ ∇E(k ekx ⎪ x , a ) = a sin (akx )ˆ ⎩

(8.5)

Il gradiente `e ortogonale alle superfici equipotenziali, allora le superfici equipotenpi pi ziali sono sempre ortogonali ai piani di Bragg, esclusi i punti (± a , 0), (0, ± a ), pi pi (± a , ± a ), per i quali la divergenza di E `e nulla.

3 In figura 8 `e riportata la curva di dispersione in direzione W − X: π E(kx , k y ) = E( , k y ) = E0 [2 − cos π − cos (ak y )] = E0 [3 − cos (ak y )] . a Il codice `e: Plot[3-Cos[\[Pi]-x],{x,0,\[Pi]},PlotRange->{-0.1,4.5}, Ticks->None]

(8.6)

34

CAPITOLO 8. TIGHT-BINDING SU UN RETICOLO QUADRATO

Figura 8.3: Curva di dispersione per un reticolo quadrato nella direzione W-X. 4 2

) , l’area della prima In questa situazione il volume di un singolo modo k `e: ( 2π L 2

) , allora il volume occupato dagli elettroni nello stato zona di Brillouin `e ( 2π a fondamentale `e: 1 4π2 1 2π2 Vk = 2 2 L2 = 2 . (8.7) a L 2 a Il volume occupato `e quindi la met`a di quello della prima zona di Brillouin.

ContourPlot[2-Cos[x]-Cos[y],{x,-\[Pi],\[Pi]},{y,-\[Pi],\[Pi]}]

5 Nel caso che ogni atomo contribuisca con due elettroni, il volume occupato nel 2 k-spazio dagli stati occupati `e 4π , la banda `e completamente piena ed il materiale a2 `e ISOLANTE. Nel caso in cui i calcoli vengano eseguiti con l’approssimazione a elettroni quasi liberi, le superfici equipotenziali sono circonferenze lontano dai piani di Bragg e sono deformate in prossimit`a del piano per effetto del potenziale. Quando ci sono n = 2a elettroni, il vettore d’onda di Fermi kF confina dalla prima zona e se non cade nella regine di energia d’ampiezza 2∣u1 ∣ data dal potenziale, pu`o verificarsi che alcuni livelli nella banda successiva siano occupati. Questo `e il caso dei CONDUTTORI.

35

(a) 1 elettrone

(b) 2 elettroni

Figura 8.4: 6 Ora si calcola la massa efficace: 1 1 ∂2 En (k) = ̷2 . m∗ h ∂k2

(8.8)

Poich´e E(⃗k) = E0 [2 − cos (akx ) − cos (ak y )], si trova: ⎧ ∂2 E ⎪ = a2 cos (akx ), ⎪ ⎪ ∂kx2 ⎪ ⎪ ⎪ ∂2 E = a2 cos (ak ), ⎨ ∂k2y y ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ∂E ⎪ ⎪ = ∂E = 0, ⎪ ⎩ ∂kx ∂ky ∂ky ∂kx

(8.9)

si trova che la massa efficace `e la seguente matrice: 1 a2 cos (akx ) 0 = ̷2 [ ] 0 cos (ak m∗ h y)

(8.10)

Sostituendo kx e k y con i valori richiesti nel testo si trovano i seguenti risultati. Per il punto Γ = (0; 0), (kx , k y ) = (0; 0): 1 a2 1 0 (Γ) = ̷2 [ ] h 0 1 m∗

(8.11)

Per il punto X = (1; 0), (kx , k y ) = (π/a; 0): 1 a2 −1 0 (X) = ̷2 [ ] m∗ h 0 1

(8.12)

36

CAPITOLO 8. TIGHT-BINDING SU UN RETICOLO QUADRATO

Figura 8.5: (8.5(a)): nearly free electron model; (8.5(b)): prima zona di Brillouin. Per il punto W = (1; 1), (kx , k y ) = (π/a; π/a): 1 a2 −1 0 (W) = ̷2 [ ] m∗ h 0 −1 kx k y −

π π 0 E a a

(8.13)

(8.14)

Capitolo 9 Catena unidimensionale biatomica Consegna 9. Si consideri un reticolo di Bravais unidimensionale con due ioni per cella primitiva, posti nelle posizioni di equilibrio na e na + d. Calcolare le relazioni di dispersione per le bande fononiche ω = ω(k) relative a tale reticolo nel caso in cui i due atomi 1 e 2 della base abbiano la stessa massa M1 = M2 = M, ma le costanti di forza G e K tra gli atomi primi vicini dipendano dal fatto che la loro separazione sia +d o −d. Discutere i casi limite dei fononi di centro zona (k=0) e bordo-zona (k = π/a).

Svolgimento Il problema pu` o essere schematizzato come in figura 9. Le equazioni classiche del

Figura 9.1: In blu le molle con costante di forza G, in rosso K. moto, considerando solo l’interazioni con i primi vicini, sono le seguenti: ⎧ ⎪ ⎪Mu¨ n,1 = −K (un,1 − un,2 ) − G (un,1 − un−1,2 ) ⎨ ⎪ ⎪ ⎩Mu¨ n,2 = −G (un,2 − un+1,1 ) − K (un,2 − un,1 ) ,

(9.1)

dove le coordinate un,1 e un,2 si riferiscono allo spostamento relativo dalle posizioni d’equilibrio degli atomi nella cella n-esima di tipo 1 o di tipo 2.

37

38

CAPITOLO 9. CATENA UNIDIMENSIONALE BIATOMICA

Si stanno cercando soluzioni del tipo un,i (q⃗, ω) = ui ei(⃗q⋅n⃗a−ωt) , dove i = 1, 2. Ora si sostituisce tale tipo di soluzione nel sistema (9.1), che quindi diventa: ⎧ ⎪ ⎪Mω2 u1 ei(⃗q⋅n⃗a−ωt) = −K (u1 ei(⃗q⋅n⃗a−ωt) − u2 ei(⃗q⋅n⃗a−ωt) ) − G (u1 ei(⃗q⋅n⃗a−ωt) − u2 ei(⃗q⋅(n−1)⃗a−ωt) ) ⎨ 2 i(⃗ q⋅n⃗ a−ωt) ⎪ = −K (u2 ei(⃗q⋅n⃗a−ωt) − u1 ei(⃗q⋅n⃗a−ωt) ) − G (u2 ei(⃗q⋅n⃗a−ωt) − u1 ei(⃗q⋅(n+1)⃗a−ωt) ) , ⎪ ⎩Mω u2 e (9.2) semplificando quanto possibile si trova: ⎧ ⎪ ⎪(−ω2 M + K + G) u1 − (K + Ge−iqa ) u2 = 0 ⎨ +iqa 2 ⎪ ⎪ ⎩− (K + Ge ) u1 + (−ω M + K + G) u2 = 0.

(9.3)

Questo sistema si trova imponendo l’equazione secolare nulla: G + K − Mω2 −K − Ge−iqa ∣ = 0, ∣ −K − Ge+iqa G + K − Mω2

(9.4)

i cui calcoli espliciti sono: (G + K − Mω2 ) − (K + Ge−iqa ) (K + Ge+iqa ) = 2

= G2 + K2 + M2 ω4 + 2GK − 2GMω2 − 2KMω2 − − K2 − G2 eiqa e−iqa − KGeiqa − KGe−iqa =

= M2 ω4 − 2Mω2 (G + K) − GK (eiqa + e−iqa − 2) = 0, (9.5) Risolvendo questa equazione di quarto grado si ottiene: √ M2 (G + K)2 + GKM2 (2 cos (qa) − 2) M(G + K) ± , ω2 = M2

(9.6)

cio`e la legge di dispersione: ω2 =

G+K 1 √ 2 G + K2 + 2GK cos (qa). ± M M

(9.7)

Ora `e possibile studiare i casi limite.

q=0 Per q << πa il coseno pu` o essere approssimato, sviluppando in serie e troncando al secondo termine, che equivale a fare il limite per qa → 0: cos (qa) ≈ 1 −

(qa)2 . 2

(9.8)

Al primo ordine di q le due radici diventano: ⎧ 2(K+G) ⎪ ⎪ω2 = M ⎨ 2 ⎪ ⎪ ⎩ω = 0,

(9.9)

39 Definendo:

−ω2 M + K + G u1 ∶= , u2 (K + G)e−iqa

(9.10)

in questo caso si ha qa = 0, per cui: u1 −ω2 M + K + G = , u2 (K + G)

(9.11)

Utilizzando le soluzioni (9.9): ⎧ u ⎪ ⎪ u21 = ⎨ u1 ⎪ ⎪ ⎩ u2 =

K+G (K+G) = 1 −2G−2K+K+G (K+G)

(9.12) = −1

cio`e:

⎧ ⎪ ⎪u1 = u2 ⎨ (9.13) ⎪ ⎪ ⎩u1 = −u2 nella banda acustica i due ioni della cella si muovono in fase con gli altri, mentre nella banda ottica i due atomi nella cella sono sfasati di un angolo piatto.

q = π/a In questo caso il coseno vale −1 e quindi sostituendo, le radici diventano: ⎧ ⎪ ⎪ω2 = ⎨ 2 ⎪ ⎪ ⎩ω =

2G M 2K M,

(9.14)

Sostituendo qa = π nell’equazione (9.10): u1 K−G = , 2 u2 −ω M + K + G

(9.15)

⎧ u ⎪ ⎪ u12 = ⎨ u1 ⎪ ⎪ ⎩ u2 =

(9.16)

Utilizzando le soluzioni (9.14): G−K (G−K) K−G (G−K)

=1 = −1

In questo caso il moto delle celle vicine `e sfasato di 180, ma gli ioni all’interno di ciascuna cella si muovono in fase nel modo acustico e sfasati di 180 nel modo ottico.

40

CAPITOLO 9. CATENA UNIDIMENSIONALE BIATOMICA

Capitolo 10 Calore specifico elettronico e di reticolo Consegna 10. Si consideri l’espressione del calore specifico elettronico ricavata dal modello di Sommerfeld e quella del calore specifico di reticolo ricavata dal modello di Debye. Si calcoli a quale temperatura T0 il contributo del calore specifico di reticolo diventa maggiore del calore specifico elettronico.

Svolgimento L’espressione per il calore specifico elettronico ricavata dal modello di Sommerfeld `e: π2 KB T CEl ) ZnKB , (10.1) ( v = 2 εF dove εF = KB TF . L’espressione per il calore specifico di reticolo ricavata dal modello di Debye `e: CRv =

12π4 T 3 nKB ( ) . 5 TD

(10.2)

Il rapporto tra queste due quantit`a `e: CEl v = CRv Calcoliamo quando

G−K (G+K)

π2 KB T 2 KB TF ZnKB 12π4 T3 3 5 nKB TD

=

3 5ZTD , 24π2 T2 TF

(10.3)

= Cret e poniamo (10.3) pari ad uno, da cui si ricava: v , cio` ¿ Á 5ZT3 T3 Z À D = 0, 65 D , T2 = Á 24πTF TF

41

(10.4)

42CAPITOLO 10. CALORE SPECIFICO ELETTRONICO E DI RETICOLO cio`e:

¿ Á T3 Z À D . T = 2, 510−1 Á TF

Poich´e si ha che TD ≈ 102 K e che TF ≈ 104 − 105 K, sostituendo si ottiene: ¿ Á 106 À ≈ 1 − 2 K. T ≈ 10−1 Á 104

(10.5)

(10.6)

Questa `e la temperatura alla quale il contributo di CRv diventa maggiore di CEl v .

Capitolo 11 Modello di Debye Consegna 11. Si consideri la formula che esprime nel caso pi` u generale la densit` a di modi vibrazionali in un reticolo in dipendenza dalla frequenza ω: g(ω) = ∑ ∫ s

d⃗k δ(ω − ωs (⃗k)). (2π)3

(11.1)

Si dimostri che, nel modello di Debye in cui si considera una relazione di dispersione lineare ω = ck per tutti i rami fononici, la densit` a degli stati g(ω) dipende da 2 ω . Identificare le analogie tra questa relazione di dispersione e quella per i modi del campo elettromagnetico in una cavit` a.

Svolgimento Utilizzando lo stesso metodo con il quale abbiamo calcolato la densit`a dei livelli elettronici, si definisce: 1 1 Q (ωs (⃗k)), ∑ Q (us (⃗k)) = ∑ ∫ d⃗k V ⃗k,s (2π)3 s

(11.2)

ossia una sommatoria mediata su tutti i livelli fotonici. Si introduce la densit` a dei modi normali g(ω), definita in modo tale che g(ω)dω sia il numero totale dei modi con frequenze comprese in un range infinitesimo [ω, ω + dω], mediato sul volume totale del cristallo. In termini di g si ha: ∫ g(ω)Q(ω)dω.

(11.3)

Uguagliando l’equazione (11.2) con l’equazione (11.3) si ricava l’espressione per la g(ω): 1 δ(ω − ωs (⃗k))d⃗k. (11.4) g(ω) = ∑ ∫ 3 8π s

43

44

CAPITOLO 11. MODELLO DI DEBYE

Come ipotesi per il modello di Debye si prende una dispersione di tipo lineare ω = ck per tutti i rami fotonici e si assume che i vettori d’onda dei modi normali rimangono all’interno di una sfera di raggio k0 , cio`e: g0 (ω) = 3 ∫

k
1 δ(ω − c(⃗k))d⃗k, 8π3

dove il fattori di 3 `e dovuto al numero di rami fotonici. Si ricorda che: d⃗k = 4πk2 dk,

(11.5)

(11.6)

quindi sostituendo e calcolando l’integrale si trova: 2 ⎧ k0 ⎪ 3 ⎪ 2π3 2 ωc3 2 g0 (ω) = ∫ k dkδ(ω − ck) = ⎨ ⎪ 2π2 0 ⎪ ⎩0

se ω < ω0 = k0 c se ω > ω0 .

(11.7)

Le analogie e le differenze con la dispersione per i modi del campo elettromagnetico in una cavit` a sono descritte di seguito. Il fallimento della legge di Dulong-Petit nel spiegare il calore specifico dei solidi alle basse temperature `e paragonabile alla catastrofe di Rayleigh-Jeans: il fallimento della teoria classica nel predire la densit`a di energia della radiazione da corpo nero. La velocit` a del suono `e formalmente sostituita da quella della luce nel corpo nero, per cui il grado di libert`a longitudinale `e soppresso in quanto la velocit`a di propagazione `e quella della luce. La formula per la radiazione da corpo nero ha un fattore extra di 2/3 che corrisponde al fatto che ci sono solo due rami nello spettro dei fotoni, infatti la radiazione elettromagnetica non `e longitudinale. Il limite superiore dell’integrale non `e limitato a k0 dal momento che non ci sono restrizioni al numero massimo di k permessi nel caso dei fotoni, il k massimo dei fononi dipende dal numero di atomi del reticolo.

Bibliografia [1] webmineral.com. [2] www.mathe-fa.de. [3] N. W. Ashcroft and N. D. Mermin. Solid State Physics. 1993. [4] F. Bassani and U. M. Grassano. Fisica dello stato solido. Bollati Boringhieri. [5] L. E. Sangaletti. Lucidi delle lezioni. Technical report, Universit`a Cattolica del Sacro Cuore, dipartimento di Matematica, Fisica e Scienze Naturali, Brescia, Italia, 2008-2009. Lucidi del corso di Fisica Dello Stato solido 1.

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