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S.E.P.

S.E.I.T.

D.G.I.T.

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TUXTEPEC

TEMA:

MATERIA:

PRESENTA: ESPECIALIDAD:

CATEDRATICO:

Tuxtepec, Oax. MAYO del 2006

HIDRAULICA UNIDAD I: HIDROSTÁTICA 1.1 Presión hidrostática 1.1.1 Ecuaciones básicas de la estática de fluidos 1.1.2 Tipos de presión 1.1.3 Distribución de presión Hidrostática 1.1.4 Dispositivos de medición 1.2 Empuje Hidrostático 1.2.1 Resultante de la cuña de Presión 1.2.2 Centros de Presión 1.2.3 Empujes en superficies planas 1.2.4 Empujes en superficies curvos 1.3 Flotación 1.3.1 Principio de Arquímedes 1.3.2 Condiciones de equilibrio de cuerpos en flotación

UNIDAD II: PRINCIPIOS CONSERVATIVOS 2.1 Conservación de la materia 2.1.1 Ecuación de continuidad 2.1.2 Ecuación del gasto 2.2 Conservación de la energía 2.2.1 Ecuación de la energía 2.2.2 Solución para una vena líquida 2.2.3 Análisis de la ecuación de energía 2.2.4 Líneas de energía y líneas de cargas isométricas 2.2.5 Ecuación de potencias en bombas y turbinas 2.2.6 Aplicaciones 2.3 Conservación de la cantidad de movimiento 2.3.1 Impulso y cantidad de movimiento 2.3.2 Fuerza hidrodinámica 2.3.3 Aplicaciones

UNIDAD III: HIDRAULICA EXPERIMENTAL 3.1 Modelos hidráulicos 3.1.1 Similitud 3.1.2 Leyes de similitud 3.1.3 Planeación y construcción de modelos hidráulicos 3.2 Orificios y compuertas 3.2.1 Ecuación general de los orificios 3.2.2 Coeficiente velocidad, contracción y gasto 3.2.3 Aplicación a orificios 3.2.4 Aplicación a compuertas

UNIDAD IV: FLUJO EN CONDUCTOS DE PRESIÓN 4.1 Resistencia a flujos en conductos a presión 4.1.1 Pérdidas de energía por fricción 4.1.2 Pérdidas de energía por accesorios 4.2 Cálculo de flujo en tubería 4.2.1 Conductos sencillos 4.2.2 Tuberías en paralelo 4.3 Redes en tuberías 4.3.1 Redes abiertas 4.3.2 Redes cerradas

UNIDAD V: GOLPE DE ARIETE 5.1 Principio teórico de golpe de ariete 5.1.1 Definición 5.1.2 Teoría de la columna rígida 5.1.3 Teoría de la columna elástica 5.2 Efectos del golpe de ariete 5.2.1 En compuertas

5.2.2 En tuberías y dispositivos hidráulicos 5.2.3 En líneas de descargas de bomba 5.2.4 Contrarrestar el golpe de ariete

UNIDAD VI: MÁQUINAS HIDRÁULICAS 6.1 Fundamentos 6.1.1 Impulso 6.1.2 Reacción 6.1.3 Leyes de similitud 6.2 Máquinas de funcionamiento hidráulica 6.2.1 Bomba 6.2.2 Turbinas 6.3 Problemas de operación 6.3.1 Cavitación 6.3.2 Golpe de ariete

UNIDAD I: HIDROSTÁTICA 1.1 PRESION HIDROSTÁTICA La estática de fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo, y cuando se trata sólo de líquidos, se denomina hidrostática. Desde el punto de vista de ingeniería civil es más importante el estudio de los líquidos en reposo que de los gases, por lo cual aquí se hará mayor hincapié en los líquidos y, en particular, en el agua. En términos generales se puede decir que la presión es una fuerza por unidad de área, esto es:

P=

En donde:

F = FA−1 A

(1.1)

F = fuerza normal al área A A= área P = presión media sobre el área A La ecuación 5.1 da la presión media sobre el área considerada “A”; sin embargo, si la presión es variable y se desea obtener la presión en un punto determinado de la superficie total, con área “dA”, se puede emplear la definición siguiente:

P = lím a→0

∆F dF = ∆A dA

(1.2)

La hidrostática y la aerostática; son las ciencias que en conjunto estudian los fluidos en reposo, descansan sobre tres principios o leyes básicas, los cuales son: el principio de Pascal, el principio de Stevin y el principio de Arquímedes. De los tres principios anteriores, los relacionados directamente con la presión son el Pascal y el de Stevin, los cuales se discuten a continuación:

V.2 PRINCIPIO DE PASCAL Éste principio establece que “en cualquier punto en el interior de un fluido en reposo la presión es la misma en todas las direcciones.”

V.2.1 Demostración práctica Si se tiene un recipiente como el mostrado en la figura 1.1, al cual, por medio del pistón se le aplica una fuerza “F” , entonces el líquido dentro del recipiente se comprimirá con una presión igual a “FA-1” siendo “A” el área de la sección transversal del pistón. Al suceder esto se observa que en los tubos colocados en diferentes partes del recipiente, el líquido sube a la misma altura “h” en todos ellos, lo cual indica que la presión en cada punto del recipiente es la misma. Obviamente, en el experimento anterior, se supone que no existe escurrimiento del líquido entre las paredes del recipiente y el pistón.

V.2.2 Demostración Teórica Considerando un prisma imaginario con dimensiones elementales ubicado en el interior de un fluido en reposo (Fig.1.2), se tiene:

Como el fluido está en reposo, se puede establecer que:

ΣFy = 0

Sustituyendo las fuerzas actuantes, de acuerdo con la figura 5.2, se tiene: (1.3)

Ps (dxds) − Py (dxdz ) = 0

Por otra parte, de la figura se obtiene que:

senθ =

(1.4)

dz ds

Sustituyendo 5.4 en 5.3 queda:

dz − Py (dxdz ) = 0 ds Psdxdz − Pydxdz = 0 Ps (dxds)

Dividiendo por dxdz, se tiene:

Ps − Py = 0 O bien:

Ps = Py

(1.5)

De la misma manera, se puede establecer que:

ΣFz = 0

(1.6)

Sustituyendo las fuerzas actuantes se tiene:

 dydz  − Ps ( dxds) cos θ − γdx  + Pzdxdy = 0  2 

(1.7)

El segundo término del lado izquierdo de la ecuación anterior representa el peso del prisma

( γV ) . De la figura 1.2 se obtiene que:

cos θ =

dy ds

(1.8)

Sustituyendo 5.8 en 5.7:

 dv   dxdydz  − Ps ( dxds )  − γ   + Pz (dxdy ) = 0  ds   2  Dividiendo por dxdy queda:

− Ps − γdz − Pz = 0 El término

"γdz" puede despreciarse, ya que es muy pequeño esto es:

γdz ≅ 0 Entonces queda:

− Ps + Pz = 0

O bien:

Pz = Ps

(1.9)

Comparando 1.9 con 1.5 se obtiene finalmente que:

Ps = Pz = Py

(1.10)

Con lo cual queda demostrado el principio de Pascal. Para comprobar que Px es también igual a la presión en las otras direcciones, basta colocar el prisma en alguna otra posición con respecto a los ejes coordenados.

V.2.3 Aplicación práctica del principio de Pascal (principio de la Prensa Hidráulica) En la figura 1.3, presentada a continuación, se muestra un esquema típico de una prensa Hidráulica.

Si se aplica una fuerza F1 al émbolo de la izquierda, ésta provocará una presión media sobre el líquido en el interior de la prensa igual a:

P1 =

F1 −1 = F1 A1 A1

(1.11)

De acuerdo con el principio de Pascal, la presión de la misma en todas las direcciones, entonces, la presión P1 transmite a través del líquido y actuará sobre el pistón de la derecha, es decir, si se tiene en cuenta que las pérdidas por fricción en el interior de la prensa son despreciables, se tiene que:

P1=P2

(1.12)

Claro que también hay que considerar que las pérdidas por fricción entre los pistones y los cilindros son despreciables.

P2 =

La presión P2 a su vez es igual a:

F2 −1 = F2 A2 A2

(1.13)

Finalmente, sustituyendo 5.11 y 5.13 en 5.12 queda: F1A1 = F2A2-1

(1.14)

Si se supone, como sucede en la mayoría de los casos prácticos, que las áreas son circulares, la ecuación anterior se transforma en: F1D1-2 = F1D1-2

(1.15)

Las ecuaciones anteriores son las expresiones matemáticas del Principio de la Prensa Hidráulica, en los cuales: F1 = Fuerza ejercida sobre el pistón de la izquierda F2 = Fuerza ejercida sobre el pistón de la derecha A1 = Área del pistón de la izquierda A2 = Área del pistón de la derecha D1 y D2 = Diámetros respectivos (en caso de áreas circulares) La ecuación 5.14 puede obtenerse de forma alterna si se aplica el principio de la conservación del trabajo y la energía de la Prensa Hidráulica como se ve en la figura 1.4

En la figura anterior, la línea punteada corresponde a la posición inicial de los pistones.

Al aplicar una fuerza F1 al pistón de la izquierda, ésta se mueve una distancia 11, desplazando cierta cantidad de líquido. El trabajo desarrollado por F1 al moverse la distancia 11 vale: W1 = F111

(1.16)

Sin embargo, el líquido desplazado por el pistón de la izquierda hace que el émbolo de la derecha suba, moviéndose una distancia 12, la cual, según se ve en la figura, tiene que ser más pequeña que 11 ya que el diámetro del pistón de la derecha es mayor. El trabajo desarrollado por el pistón de la derecha será: W2 = F212

(1.17)

De acuerdo con el principio de la conservación del trabajo y la energía, y despreciando las pérdidas por fricción, se puede establecer que: W1 = W2

(1.18)

Sustituyendo 5.16 y 5.17 en 5.18 queda: F111 = F212

(1.19)

Como los volúmenes desplazados por los pistones son los mismos, ya que no existe escurrimiento de líquido entre éstos y las paredes interiores de los cilindros, entonces: V = A111 =A212 De donde:

11 =

(1.20)

A2 12 A1

Sustituyendo 5.20 en 5.19 y operando álgebra se tiene:

F1

A2 12 = F212 A1 −1

F1 A1 = F2 A2

(1.14)

−1

Y, para áreas circulares: F1D1-2 = F2D2-2

(1.15)

Las cuales, como pueden verse, son las mismas ecuaciones obtenidas en las páginas anteriores. Ahora se analizarán algunas consecuencias prácticas de éste principio; Suponiendo que D2 sea diez veces mayor que D1, es decir, D2 = 10D1 y que se aplique una fuerza F1 de 1kg en el pistón de la izquierda. Sustituyendo estos valores en la ecuación 5.15 se obtiene:

2

 10 D1   = 100kg F2 = 1kg   D1 

Lo cual significa que por cada kilogramo de fuerza que se aplique en el pistón de la izquierda, la prensa será capaz de levantar o transmitir una fuerza de 100kg al pistón de la derecha. Es obvia la ventaja que tiene la aplicación de éste principio. Éste principio a dado lugar a un amplio desarrollo de los controles hidráulicos para equipo en operación, como gatos hidráulicos, equipo pesado para mover tierra, montacargas, grúas, superficies de control de aviones, plataformas elevadoras, básculas, etc.

PRINCIPIO DE STEVIN Éste principio se enuncia de la siguiente manera: “la diferencia de presiones entre dos puntos situados a diferente profundidad en el seno de un líquido en reposo es igual a la diferencia de profundidad multiplicada por el peso específico del líquido”

Demostración Considerando un prisma regular imaginario en el interior de un líquido en reposo, como el mostrado en la figura 1.5

Como el líquido está en reposo, es decir, en equilibrio, se puede establecer que:

ΣFy = 0 Sustituyendo las fuerzas actuantes se tiene que:

− P2 A2 + P1 A1 − γV = 0

(1.21)

Pero, como el prisma es regular se tiene que: A1 = A2 = A Sustituyendo en (5.21) y recordando que V = Ah, queda:

− P2 A + P1 A − γAh = 0 Dividiendo por el área de A:

− P2 + P1 − γh = 0

P1 − P2 − γh

Esto es:

∆P = γh

O bien:

(1.22`)

Donde: P1 – P2 =

∆P = diferencia de presiones entre los puntos 1 y 2, ubicados en diferentes

profundidades en el seno del líquido

γ = peso específico del líquido h = distancias vertical entre los puntos 1 y 2 Si se compara esta ecuación con el enunciado del principio, puede verse que es exactamente lo mismo. La ecuación 1.22 ó 1.22` es, pues, la representación matemática del principio de Stevin. Es importante hacer notar que el principio de Stevin, representado matemáticamente por la ecuación 1.22 ó 1.22`, es válido en el caso de que el fluido pueda considerarse continuo y homogéneo; en otras palabras que tenga un peso específico constante. Éste principio, también es conocido por el nombre de “Teorema general de la Hidrostática” Efectuando un análisis de la ecuación 1.22, puede observarse que si h = 0, entonces P 1 = P2; lo cual significa que en cualquier fluido en reposo, la presión en todos los puntos de un plano horizontal dados es la misma, o visto de otra manera, en un fluido en reposo, todos los puntos que tienen la misma presión se encuentran en un plano horizontal común. Éste principio encuentra múltiples aplicaciones en la práctica, entre otras, para determinar la presión a que estarán sujetos los cuerpos sumergidos en algún fluido, seto es particularmente importante en el diseño de submarinos, batiscafos, equipos de buceo y todo tipo de equipo para operación submarina y/o subacuática. Además este principio es básico para manometría, ya que los manómetros de tubo con líquido, lo utilizan para determinar la presión manométrica y en algunos casos también la absoluta, como se verá más adelante (sección V.5) Finalmente, puede decirse que el principio de Stevin es básico, ya que prácticamente no existe problema hidrostático en que no se involucre ya sea directamente o en la deducción de alguna ecuación.

V.4 TIPOS DE PRESIONES En esta sección se estudiarán 3 tipos de presiones de uso común en la práctica ingenieril, las cuales son: 1. Presión atmosférica o barométrica 2. Presión absoluta 3. Presión relativa o manométrica

Presión atmosférica Ésta es la presión debida al peso de los gases de la atmósfera terrestre, nosotros vivimos en el fondo de un océano de gases, a la mezcla de los cuales se le da el nombre de

aire. Éste aire tiene peso (aproximadamente

1 del peso del agua en condiciones normales) 815

y por ende provoca una presión al actuar sobre la superficie de la tierra. En base a lo anterior, es lógico suponer que la presión atmosférica varíe con la altitud del nivel del mar. Un lugar más alto tendrá una columna de aire menor sobre él, y por tanto, una presión atmosférica menor que un lugar más bajo. La presión atmosférica que actúa sobre el nivel medio del mar se denomina “PRESIÓN ATMOSFÉRICA NORMAL O ESTÁNDAR”. A la presión atmosférica que se ejerce sobre una localidad determinada se le llama “PRESION ATMOSFERICA LOCAL”. Por lo tanto, para cualquier lugar de la tierra situado al nivel del mar se tiene que: PRESION ATMOSFERICA LOCAL ═ PRESION ATMOSFERICA NORMAL

V.4.1 Presión absoluta y presión relativa o manométrica En una región con el espacio exterior, que esta prácticamente vació de gases, la presión es esencialmente cero. Tal condición puede lograrse en forma muy aproximada en el laboratorio. La presión en el vació absoluto se llama CERO ABSOLUTO. No puede por tanto, existir una presión menor al CERO ABSOLUTO. Todas las presiones que se miden con respecto al CERO ABSOLUTO, se denominan presiones absolutas y no puede haber una presión absoluta negativa, como es lógico. Sin embargo, debido a su principio de funcionamiento, la gran mayoría de los aparatos que miden la presión no dan lecturas de presión absoluta, sino únicamente incrementos o decrementos de presión con respecto a la presión atmosférica local. En este caso, la presión de referencia (o el cero de la escala) corresponde precisamente al valor de la presión atmosférica local. A este tipo de presión se le llama PRESION RELATIVA O MANOMETRICA.

Para este tipo de presión, como esa lógico, existe la posibilidad de que la lectura sea negativa, cero o positiva. A las presiones relativas negativas se les denomina “PRESIONES DE VACIO” Todos estos tipos de presiones y escalas se muestran el la figura 5.6 donde se observa la relación que guarda la escala absoluta de presiones con la escala relativa o manométrica.

En la figura 1.6 se grafico del lado izquierdo la escala absoluta de presiones y en el lado derecho la escala negativa o manométrica. También están graficadas la presiona atmosférica normal y la presión atmosférica local, tomando encuenta que la localidad dada no se encuentra a nivel del mar, de tal manera que la presión atmosférica normal sea mayor que la presión atmosférica local. En la escala absoluta, el cero se muestra en el origen, coincidiendo con la línea horizontal que equivale al cero absoluto. En la escala relativa de presiones el cero esta ubicado en la línea correspondiente a la presión atmosférica local; entonces, para medir dos presiones cualesquiera (P1 y P2), si estas son medidas en escala absoluta de presiones, ambas serán positivas, como se observa en la figura 5.6, ya que en las lecturas se efectúan a partir del cero absoluto. Si se quieren medir estas mismas presiones con la escala relativa de presiones; la presión P2 será positiva, pero P1 será negativa, ya que se encuentra por debajo del cero de esta escala, el cual coincide con el valor de la presión atmosférica local. En este diagrama también se puede ver que el máxima valor negativo que puede tener una presión medida en la escala relativa de presiones coincide con el valor de la presión atmosférica local,

ya que si fuera mayor (en valor absoluto) equivaldría a que la presión llegara a ser menor que el 0 absoluto, lo cual es imposible. Para encontrar la presión absoluta a partir de la presión leída en un dispositivo que de la presión relativa, habrá que sumar a la presión leída en ese dispositivo, la presión atmosférica local, medida exactamente con un barómetro. Esto puede expresarse matemáticamente como: Pabs = Patm. Local + Prel

(1.23)

Esta ecuación puede comprobarse fácilmente en la figura 1.7 La ecuación anterior, básica en el estudio de presiones, se puede obtener a partir de la ecuación 1.22 esto es, a partir del principio de Stevin, de la manera siguiente: Suponiendo que se aplica 1.22 entre dos puntos 1 y 2, situados a cierta profundidad en un líquido y en la superficie libre de este, respectivamente, como se muestra en la figura 1.8 La ecuación 5.22 puede escribirse de la manera siguiente:

P1 = γh + P2

(1.24)

De acuerdo con la figura 1.8 y con la ecuación 1.22 se tiene que: P2 = Patm local

Por otro lado, el término

γh equivale a la presión hidrostática relativa a la profundidad dentro

del líquido. Esta es una presión relativa debido a que mide el incremento de presión (debido a la profundidad del punto 1) sobre el valor de la presión atmosférica local, que es la presión soportada por el punto 1, ubicado en la superficie libre. Por lo tanto se puede decir que:

γh = Prel Finalmente, la presión P1 debe ser la presión absoluta que se tiene en el punto 1, ya que es la suma de la presione atmosferita local (que actúa sobre la superficie libre) y del incremento de presión

γh debido al aumento de la profundidad, esto es:

P1 = Pabs

Sustituyendo las tres relaciones anteriores en 5.24 se tiene que: Pabs = Patm. Local + Prel

(1.23)

1.1.2 TIPOS DE PRESIÓN En esta sección se estudiara tres tipos de presión de uso común en la práctica en ingeniería que son: 1. Presión atmosférica o manométrica. 2. Presión absoluta. 3. Presión relativa o manométrica.

PRESION ATMOSFERICA. Esta es la presión debido al peso de los gases de la atmósfera terrestre. Nosotros vivimos en el fondo de un océano de gases, a la mezcla de los cuales se les da el nombre de

aire. Este aire tiene peso (aproximadamente

1 815

del peso del agua en condiciones

normales) y, por ende, provoca una presión al actuar sobre la superficie de la tierra. En base a lo anterior, es lógico suponer que la presión atmosférica varía con la altitud sobre el nivel del mar. Un lugar más alto tendrá una columna de aire menor sobre él, y por tanto, una presión atmosférica menor que un lugar más bajo. La presión atmosférica que actúa sobre el nivel medio del mar se denomina “PRESIÓN ATMOSFÉRICA NORMAL O ESTÁNDAR”. A la presión atmosférica que se ejerce sobre una localidad determinada se le llama “PRESION ATMOSFERICA LOCAL”. Por lo tanto, para cualquier lugar de la tierra situado al nivel del mar se tiene que: PRESION ATMOSFERICA LOCAL ═ PRESION ATMOSFERICA NORMAL Por otro lado, el término

γh equivale a la presión hidrostática relativa a la profundidad dentro

del líquido. Esta es una presión relativa debido a que mide el incremento de presión (debido a la profundidad del punto 1) sobre el valor de la presión atmosférica local, que es la presión soportada por el punto 1, ubicado en la superficie libre. Por lo tanto se puede decir que:

γh = Prel Finalmente, la presión P1 debe ser la presión absoluta que se tiene en el punto 1, ya que es la suma de la presione atmosferita local (que actúa sobre la superficie libre) y del incremento de presión

γh debido al aumento de la profundidad, esto es:

Sustituyendo las tres relaciones anteriores en 5.24 se tiene que:

P1 = Pabs

abs

= Patm. Local + Prel

(1.23)

Cuadro 1.1.1 Tipos de presiones con su respectivo aparato de medición

1.1.3 DISTRIBUCION DE PRESION HIDROSTATICA En general, los aparatos para medir presión se llaman manómetros, sin embargo, en forma particular, según el tipo de presión que miden, adoptan distintos nombres, los cuales se muestran en el cuadro 5.1 Existen innumerables tipos de aparatos para medir presión; algunos mecánicos, otros eléctricos y cada uno con grados de precisión muy diversos. Aquí se hablará solamente del principio de funcionamiento de los instrumentos más comunes para medir presiones. Cuadro 5.1 Tipos de presiones con su respectivo aparato de medición TIPO DE PRESION A MEDIR Presión atmosférica Presión absoluta Presión relativa (positiva) Presión relativa (negativa) Presiones muy pequeñas Diferencia de presiones

NOMBRE DEL APARATO Barómetro Manómetro de presión absoluta Manómetro Vacuómetro Micromanómetro Manómetro diferencial

Como puede verse en el cuadro 5.1, la presión atmosférica se mide con aparatos llamados barómetros, de los cuales existen varios tipos. En esta sección solamente se hablará del principio de funcionamiento del barómetro de mercurio, desarrollado por Evangelista Torricelli, alrededor del año de 1650, (ver figura 5.8) Torricelli construyó un tubo de vidrio en uno de cuyos extremos había una esfera soplada. El tubo tenía una longitud de alrededor 120 cm. Este tubo y la esfera se llenaron completamente con mercurio. Tapando con un dedo el extremo del tubo, se le dio vuelta y se le introdujo en un recipiente que también contenía mercurio. Al retirar el dedo, el mercurio bajo de nivel, estabilizándose en una altura h igual a unos 76 cm. (ver figura 5.8) De lo anterior se dedujo que la columna de 76 cm. De mercurio, equilibraba la presión de aire exterior (presión atmosférica), ya que sobre el mercurio dentro del tubo sólo actúa la presión del vapor del mercurio, lo que,

para fines prácticos, puede considerarse como si

estuviera vacío. La presión atmosférica, puede expresarse en términos de columna de líquido (unidades de longitud) o en términos coherentes, que son las unidades que se obtienen al aplicar la ecuación 5.1, es decir,

[ Fuerza / Area ] . La ecuación que relaciona lo anterior, se deriva del

principio de Stevin, y es:

P = γh

(5.25)

Donde: P = Presión de unidades coherentes

[ Fuerza / Area ] .

γ = Peso específico del líquido h = Altura de presión en unidades de longitud.

Entonces, la presión atmosférica normal, expresada en términos de altura de presión vale, según lo encontrado por Torricelli y confirmado posteriormente: Patm normal = 76 cm. De mercurio =760 mm. De mercurio. En honor a Torricelli, a esta unidad de presión se le dio el nombre de Torr, esto es: 1 mm de mercurio = 1 Torr La presión atmosférica normal expresada en unidades coherentes, se obtiene a partir de la ecuación 5.25 y vale:

P=

γh = (13600 kg m-3)(0.76 m) = 10330 kg m-2

P = (10330 kg m-2)(104 m2cm-2) = 1.033 kg cm-2

O bien:

Usualmente, se acostumbra expresar la expresión en términos de altura de agua, por lo tanto, la presión atmosférica normal de estas unidades valdrá:

h=

P (10330kgm −2 ) = = 10.33m.c.a. γ (1000kgm −3 )

En el sistema internacional de unidades S.I. la unidad básica para la medición de cualquier tipo de presión es el PASCAL, el cual se define como: 1PASCAL = 1 N m-2

Entonces, la presión atmosférica normal, expresada en pascales, valdrá:

P = (10330 kg m-2)(9.81 N kg-1) = 101337.3 Pascales. Sin embargo, el pascal presenta el inconveniente de ser una unidad bastante pequeña para medir la gran mayoría de las personas usuales en ingeniería, por lo que se acostumbra usar algún múltiplo de esta como el KPA (kilopascal = 10 3 pascales), el MPA (megapascal = 106 pascales). A pesar de lo anterior, para el caso particular de la presión atmosférica, es muy usado el BAR, el cual se define como:1 BAR = 105 Pascales Por lo tanto, la presión atmosférica normal en bares será: P = (101337.3 Pascales)

 5 milibares  10  = 1.01337 bares bar  

En la actualidad, la mayoría de las estaciones meteorológicas del mundo han estandarizado el milibar como unidad básica para la medición de la presión atmosférica, entonces:

 

Patm normal = (1.01337 bares) 10

3

milibares   = 1013.3 Milibares bar 

La obtención del valor de la presión atmosférica normal en el sistema inglés de unidades, tanto en unidades coherentes (Lo pulg-2 o Lb pie-2), como unidades de altura (pulg o pies de mercurio o de agua) se deja como ejercicio (ver problema V.8.1) Por otra parte, como se dijo anteriormente, la presión atmosférica

local varía

principalmente con la altitud sobre el nivel del mar. Existen numerosos gráficos en donde se puede obtener tal variación, aquí se presenta la figura 5.9, la cual dá la variación de la presión atmosférica con la altitud sobre el nivel del mar, así como la temperatura de ebullición del agua para el mismo rango de altitudes. Sin embargo, para fines prácticos, y cuando no se disponga de un grafico como el de la figura 5.9 conviene recordar la siguiente regla, la cual puede aplicarse con muy poco margen de error: La expresión atmosférica local disminuye 25.4 mm (10``) de mercurio por cada 305 m (1000 pies) sobre el nivel del mar. Obviamente esta disminución a partir del valor de la presión atmosférica normal o estándar que, como se vio anteriormente, es de 760 mm de mercurio. Además, existen algunas fórmulas empíricas bastante confiables, como la propuesta por la Comisión Internacional de la Navegación Aérea, la cual expresa que: P = 1013.2

 288 − 0.0065Z    288  

2.256

(5.26) Válida para

Donde: P= presión atmosférica local en milibares Z = Altitud sobre el nivel del mar en metros.

( 0 ≤ Z ≤ 12000m )

1.1.4 DISPOSITIVOS DE MEDICIÓN MEDICION DE LA PRESION RELATIVA Y ABSOLUTA. En esta selección, se describirá en forma breve, el principio de fundamentos de los aparatos más comunes para medir la relación relativa y absoluta.

TUBOS PIEZOMETRICOS Este aparato es un tubo transportable de diámetro pequeño (entre 12 y 15 mm.) que se conectan al punto en donde se requiere medir la presión (véase figura 1.10)

Este dispositivo mide la presión hidrostática de un líquido midiéndolo la altura allá que asciende el mismo dentro del tubo, por lo tanto, un tubo piezometrito mide la altura de presión en un líquido, y si se quiere conocer la presión en unidades de fuerza sobre área hay que aplicar la ecuación 1.25. Una de las ventajas que este aparato es su gran precisión y si desventaja principal es que solo sirve para medir presiones pequeñas, ya que de lo contrario se requeriría que el tubo fuera muy alto, cosa que resultaría impractica.

Manómetros con líquido V.5.3.2.1 Para medir presiones relativas Los manómetros de líquido consisten simplemente en un tubo en forma de U el cual contiene en su interior un líquido. El tubo se conecta por uno de sus brazos al depósito o tubería donde se requiera medir la presión, estando el otro brazo abierto a la atmósfera (véase Fig. 1.11).

El líquido dentro del tubo se denomina líquido manométrico (color negro, ver la Fig. 1.11) y es muy común que sea mercurio ya que tiene una densidad muy alta y un bajo coeficiente de expansión térmica. Son también usados, sobre todo para medir presiones más pequeñas: El tetracloruro de carbono (Dr = 1.6 a 20ºC) , el tetrabromoeato (Dr = 3.43 a 0ºC), el bromuro de etileno (Dr = 2.18 a 0ºC), el bromorfo (Dr = 3.0 a 0ºC), el tolueno (Dr = 0.87), la parafina (Dr = 0.87), la parafina (Dr = 0.81) y el agua (Dr = 1.0); éstos tres últimos se utilizan sobre todo cuando la presión que va a medirse es de un gas. Este tipo de manómetros pueden medir presiones relativas positivas y negativas. Esto se muestra en la Fig. 1.11, en la cual se presentan tres casos posibles. En la Fig. 1.11a se está midiendo una presión relativa positiva, ya que la presión del depósito es mayor que la presión atmosférica local e impulsa al líquido manométrico hacia el brazo derecho del manómetro. En la Fig. 1.11b sucede lo contrario, es decir, la presión atmosférica local es mayor que la presión del depósito y, por consecuencia, el líquido manométrico se eleva en el tubo conectado al depósito; la presión de este caso será una presión relativa negativa. Finalmente, en la Fig. 1.11c las presiones del depósito y de la atmósfera son iguales y, por tanto, el líquido manométrico sube a la misma altura en ambos brazos, la lectura en este caso sería cero, en la escala relativa de presiones obviamente.

V.5.3.2.2 Para medir presiones absolutas Este tipo de manómetro puede usarse también para medir presiones absolutas, sólo que en este caso el brazo derecho del manómetro no debe encontrarse abierto a la atmósfera, sino que debe estar cerrado y vacío. De esta manera, todas las presiones que se midan en el depósito o tubería serán absolutas, ya que son medidas a partir del cero absoluto. Esto se muestra en la Fig. 1.12

Cuando en ambos brazos del manómetro el líquido se encuentre al mismo nivel (Fig. 1.12b), quiere decir que la presión en el depósito o tubería equivale al CERO ABSOLUTO, es decir, el depósito está vacío.

V.5.3.3 Manómetro diferencial Algunas veces, a los manómetros de tubo en U se les llama manómetros diferenciales, pues miden la diferencia de presión entre un depósito o tubería y la atmósfera. Sin embargo, en forma más particular, se acostumbra llamar manómetro diferencial a un tubo en U que mida la diferencia de presiones entre dos depósitos o entre dos secciones de un mismo conducto, ver Fig. 1.13

V.5.3.4 Manómetro de Bourdon Este tipo de manómetro consta de un tubo que tiene una sección transversal elíptica, doblado en un aro circular y hueco en su parte interior. El principio de funcionamiento de éste manómetro se muestra en la Fig. 1.14. Cuando la presión atmosférica local (presión relativa cero) prevalece por la parte exterior del tubo, éste no se reflexiona; para ello, la aguja del manómetro, está calibrada para leer una presión de cero en la carátula exterior. Cuando se aplica una presión al manómetro (la cual entra por el interior del tubo elíptico) el tubo tiende a enderezarse, en forma muy parecida a esos juguetes que se dan en las fiestas llamados “espanta suegras” que se enderezan cuando se sopla por su extremo. El extremo del tubo ya conectado a un mecanismo previamente calibrado, el cual hace que la aguja se mueva e indique la correspondiente presión en la carátula exterior.

Un manómetro de Bourdon puede medir también presiones absolutas, a condición de que por la parte exterior del tubo elíptico reine un vacío total. Esto sólo puede lograse si el interior del manómetro, donde está alojado el tubo elíptico, se encuentre sellado y vacío; de esta manera, cualquier presión por encima del cero absoluto que entre el tubo elíptico deformará este, ya que por su parte exterior la presión equivale al cero absoluto. Este tipo de manómetro es muy común y es bastante confiable sino se le somete a excesivas pulsaciones de presión o a choques externos indebidos. Sin embargo, como ambas condiciones prevalecen a veces en la práctica, es deseable que se instalen amortiguadores de pulsaciones en la línea que conduce a tales manómetros y que éstos se calibren periódicamente para verificar su exactitud.

V.5.3.5 Otros tipos de manómetros Existen múltiples tipos de manómetros además de los descritos anteriormente, como son: Manómetros de cubeta, Manómetros diferenciales tóricos, Manómetros de membrana, Micromanómetros, Manómetros de fuella, de émbolo, de resorte, combinados, eléctricos, etc. Si el lector se interesa en ellos puede consultar por ejemplo: Mataix, Claudio (1982), Creus, Antonio (1981) o Holzbock, Werner (1982)

V.6 PRESIÓN DE SATURACIÓN DE VAPOR Todos los líquidos que se exponen a la atmósfera presentan una superficie libre. Entre ésta y el aire de la atmósfera (intercara) existe un incesante movimiento de moléculas que escapan del líquido, esto es, el líquido se evapora. Un líquido volátil, por ejemplo: se vaporiza completamente al contacto con la atmósfera. Si la superficie libre está en contacto con su

espacio cerrado y vacío (por ejemplo en el espacio vacío de los manómetros de tubo en U mostrados en la Fig. 1.12 o en el barómetro de Torricelli, mostrado en la Fig. 1.8) la evaporación se produce sólo hasta que en espacio se satura de vapor. Éste vapor ejerce una presión sobre la superficie libre, la cual impide que el líquido se siga evaporando y cuya magnitud depende únicamente de la temperatura. Esta presión se denomina Presión de saturación de vapor, y es denotada por Ps. Debido a lo anterior, la altura a la que se asciende el mercurio en un barómetro de

Torriceli no es simplemente

h=

patm.local , sino que, como el espacio vacío dentro del tubo se γ

satura con el vapor de mercurio, entonces la altura real será:

h= Donde:

Patm.local − Ps γ

(1.27)

γ = peso específico del mercurio Lo mismo sucede en los manómetros de presión absoluta como los mostrados en la Fig. 1.12, los cuales en realidad no están refiriendo sus lecturas al CERO ABSOLUTO sino al valor de la presión de saturación de vapor del líquido manométrico a la temperatura que se encuentre. Sin embargo, como la presión de saturación de vapor de los líquidos comunes a temperaturas ordinarias (10 a 30ºC) es muy pequeña, en la mayoría de los casos prácticos puede despreciarse. A pesar de esto, como la presión de saturación de vapor de un líquido aumenta con la temperatura, hay que tener cuidado en tomarle en cuenta principalmente cuando ésta es algo elevada (digamos, mayor de 45ºC en el caso del agua). Cada líquido tiene sus respectivos valores de presión de saturación en vapor en función de la temperatura. En la Fig. 1.15 se muestran estos valores para el agua. Obviamente, según lo explicado anteriormente, la presión de saturación de vapor, es una PRESIÓN ABSOLUTA.

1.2 EMPUJE HIDROSTATICO A Arquímedes de Siracusa (287 – 212 A. de C) que fue uno de los más grandes hombres de ciencia de la antigua Grecia, se le considera actualmente como el Padre de la Hidrostática, ya que una de sus mayores aportaciones a la ciencia es el llamado Principio de Arquímedes, el cual se enuncia como “todo cuerpo total o parcialmente sumergido en influido experimenta un empuje vertical hacia arriba que es igual al peso del volumen de fluido desalojado”. Este empuje actúa en el centro de gravedad de la parte sumergida del cuerpo.

DEMOSTRACIÓN TEÓRICA Al igual que el principio de Pascal, el de Arquímides tiene varias formas de demostrarse, tanto teórica como práctica, de las cuales se expondrán algunas a continuación: Si sumergimos un prisma regular dentro de un fluido y obtenemos la resultante de las fuerzas verticales que actúan sobre este prisma por parte del fluido tenemos:

ΣFy = P2 A − P1 A................1 En donde: A = Área de la sección transversal del prisma De acuerdo con el principio de Stevin las presiones P1 y P2 valen:

P1 = γZ ...........................2 P2 = γ ( Z + h).................3 Obviamente, P2 es mayor que P1 ya que el área donde actúa esta última presión se encuentra a menor profundidad en el fluido. Sustituyendo 2 y 3 en 1 tenemos:

ΣFy = γ ( Z + h) A − γZA ΣFy = γZA + γhA − γZA ΣFy = γhA.........................4 Pero hA = volumen del prisma (V), entonces:

ΣFy = γV ..........................5 El signo positivo indica que el sentido de esta fuerza es vertical hacia arriba, de acuerdo con la convención de la Fig. 6.1 Debido a lo anterior, a esta fuerza se le llama fuerza de empuje o simplemente empuje y se designa con la letra (E), por lo tanto, la ecuación 5 nos queda:

E = γV ................................6.1

La ecuación 6.1 es la representación matemática del principio de Arquímedes, en donde: E = empuje sobre el cuerpo

γ = peso específico del fluido en que se encuentra sumergido el cuerpo V = volumen desplazado del fluido Una forma alterna de representar teóricamente el principio de Arquímedes es debido al principio de la conservación del trabajo y la energía, como se ve enseguida: Consideramos que levantamos imaginariamente un cuerpo de volumen (V) y peso específico ( γ 0 ) una altura (h), haciéndolo en el vacío y después dentro de un fluido con peso específico ( γ ). Para el primer caso hay que efectuar un trabajo igual a

W1 = γ 0Vh . En el

segundo caso, en el cual se despreciará el rozamiento, se gasta menos energía, ya que al levantar el cuerpo de volumen (V) a la misma altura (h), un volumen (V) del fluido desciende la misma altura. Por esta razón, el trabajo necesario para levantar el cuerpo en el segundo caso es igual a:

W2 = γ 0Vh − γVh . Interpretando la cantidad de trabajo que restamos ( γVh ),

podemos decir, que en comparación con el vacío, dentro del fluido actúa una fuerza complementaria

F = γV que facilita el ascenso del cuerpo. Esta fuerza es precisamente el E = γV .................................6.1

empuje, por lo tanto:

Que es la misma ecuación obtenida anteriormente.

DEMOSTRACIÓN PRÁCTICA Se cuelga un cilindro (I) y un cubo (II) de igual volumen del brazo izquierdo de una balanza. Ambos se equilibran con la carga o contrapeso III. Supongamos que ahora sumergimos el cilindro (I) dentro de un líquido. Debido a esto, el brazo izquierdo de la balanza se elevará a causa de la fuerza de empuje que actúa sobre el cilindro (I) sumergido. El equilibrio vuelve a lograrse si llenamos el cubo (II) con un volumen de agua igual al volumen del cilindro (I). Como el volumen de agua es igual al volumen del cilindro sumergido (I), entonces quiere decir que el empuje ascendente es igual al peso del líquido que llevaría el espacio ocupado por el cilindro, (ver Fig. 6.2)

Fig. 6.2 Demostración práctica del principio de Arquímides

RESUMEN DEL PRINCIPIO DE ARQUÍMIDES Todos los cuerpos experimentan un empuje vertical hacia arriba al estar sumergidos en un fluido, nosotros mismos, en este instante, estamos recibiendo un empuje vertical hacia arriba igual al peso específico del fluido que desalojamos (aire) por el volumen desalojado (volumen de nuestro cuerpo). Claro, nosotros estamos acostumbrados a vivir con este empuje, el cual, es despreciable en comparación con el peso de nuestro cuerpo y es bastante pequeño como para hacernos flotar en el aire. Por ejemplo, un hombre promedio, con un volumen corporal de 70 lts. Estará recibiendo, por parte del aire que desaloja, un empuje

aproximadamente igual a:

kg   E = γV = 1.23 3 (0.07 m 3 ) = 0.085kg = 85 grs , el cual es m  

bastante pequeño. Sin embargo, si este mismo hombre se sumerge en agua, entonces el

empuje que recibirá será:

kg   E = γV = 1000 3 (0.07 m3 ) = 70kg , el cual ya no es m  

despreciable, e incluso, es tan grande que hará que el hombre flote en el agua. De hecho, todos los seres humanos normales y la mayoría de los animales recibimos por parte del agua un empuje mayor a nuestro peso, y por lo tanto, al sumergirnos en ella flotamos. De la misma manera flotaríamos en cualquier líquido que tuviera un peso específico mayor que el del agua. Pero si nos sumergimos en un líquido que tenga un peso específico algo menor que el del agua no flotaríamos (sería menor que nuestro peso). Sin embargo, nuestro peso aparente dentro de esos líquidos sería menor. El empuje, de acuerdo con lo anterior, puede expresarse en forma alterna como la diferencia del peso del cuerpo en el aire y el peso aparente que tendría al estar totalmente sumergido en un fluido. Esto es: E = Wen el aire-Wen el fluido En donde:

E = empuje Wen

el aire

= peso del cuerpo en el aire

Wen

el fluido

= peso del cuerpo sumergido en un fluido

Obviamente la condición para que esta ecuación sea válida es que el cuerpo se encuentre totalmente sumergido en un fluido. Cualquier material que su peso específico sea menor que el peso específico del fluido que le rodea (sea líquido o gas), flotará en este. Por todo de lo que ya estuvimos hablando podemos establecer que:  Cualquier cuerpo que su peso sea menor o igual al peso del volumen del líquido que puede desplazarse si se sumerge en este FLOTARÁ  Cualquier cuerpo que su peso sea mayor al peso del volumen de líquido que puede desplazar al sumergirse en éste se HUNDIRÁ

El principio de Arquímedes, a parte de ser la base para la construcción de barcos tiene múltiples aplicaciones.

CONSTRUCCIÓN DE UNA ESCALA PARA UN HIDROMETRO En este problema vamos a construir una escala para un hidrómetro. Un hidrómetro es un aparato que se utiliza para medir la densidad de los líquidos (midiendo directamente la densidad relativa). Éste aparato se muestra en la Fig. 6.3 y consta de un vástago y un bulbo. En el fondo del bulbo y por dentro de este se colocan pequeñas esferas metálicas (balines) usualmente de plomo, con el fin de hacer que el centro de gravedad del hidrómetro quede ubicado lo más bajo posible de éste para que flote verticalmente al sumergirlo en cualquier líquido. El bulbo siempre se debe quedar sumergido, emergiendo sólo parte del vástago. Obviamente mientras mas denso sea el líquido emergerá una mayor altura del vástago (ya que el hidrómetro necesita desplazar un volumen menor de este líquido para equilibrar su peso) y viceversa. La escala se coloca pues en el vástago y se calibra marcando la posición de la superficie libre cuando el hidrómetro flota en agua destilada. A este punto corresponderá una densidad relativa (Dr = 1). Para trazar la escala a partir de este valor se efectúa lo siguiente: Sea: VB = volumen del bulbo A = área de la sección transversal del vástago

γ A = peso específico del agua γ X = peso específico del líquido WH = peso total del hidrómetro l = profundidad que se sumerge el hidrómetro cuando flota en un líquido x Cuando el hidrómetro flota en agua se cumple que:

ΣFy = 0 E = WH

WH = γ A (VB + Al )........................1 Y cuando lo hace en otro líquido x

WX = γ A (VB + Al X )........................2 Igualando 1 y 2 tenemos que:

E – WH = 0

γ X (VB + Al X ) =γ A (VB + Al ) γ X VB + γ X Al X = γ AVB + γ A Al γ X Al X − γ A Al = γ AVB − γ X VB

Dividiendo por

γ A nos queda:

γX γ Al X − Al = VB − X VB γA γA DrAl X −V B − DrV B DrAl X = V B − DrV B + Al DrAl X = V B (1 − Dr ) + Al  1  Al Al X = V B  −1 +  Dr  Dr V  1  l lx = B  −1 + A  Dr  Dr

lx =

l V  1  + B − 1...................6.3 Dr A  Dr  En donde:

Dr = densidad relativa del líquido (x)

Fig. 6.3 Hidrómetro

Pero

γX γA

, entonces: =

Dr

Con la ecuación 6.3, conocidos el volumen del bulbo (V B), la sección transversal del vástago y la longitud l a partir del bulbo a la que se sumerge el hidrómetro, se puede calcular cualquier altura lx para líquidos de diferentes densidades relativas. Observe que si sustituimos Dr = 1 en la ecuación 6.3 nos queda que: lx = l Si sustituimos una Dr >1 obtendremos que: lx < l y sustituimos una Dr < 1 obtenemos que:

lx > l Lo anterior puede comprobarse en el laboratorio para cualquier hidrómetro.

1.2.2 CENTROS DE PRESION Para sumergir totalmente en agua una colchoneta inflable necesitamos empujarla hacia abajo. Es más fácil sostener un objeto pesado dentro del agua que fuera de ella. Cuando buceamos pareciera que nos apretaran los tímpanos. Éstos y muchos otros ejemplos nos indican que un líquido en equilibrio ejerce una fuerza sobre un cuerpo sumergido. Pero, ¿qué origina esa fuerza?, ¿en qué dirección actúa?, ¿también el aire en reposo ejerce fuerza sobre los cuerpos?, ¿qué determina que un cuerpo flote o no? Éstas son algunas de las cuestiones que aborda la estática de fluidos: el estudio del equilibrio en líquidos y gases. Un fluido en reposo en contacto con la superficie de un sólido ejerce fuerza sobre todos los puntos de dicha superficie. Si llenamos de agua una botella de plástico con orificios en sus paredes observamos que los chorritos de agua salen en dirección perpendicular a las paredes. Esto muestra que la dirección de la fuerza que el líquido ejerce en cada punto de la pared es siempre perpendicular a la superficie de contacto. En el estudio de los fluidos, resulta necesario conocer cómo es la fuerza que se ejerce en cada punto de las superficies, más que la fuerza en sí misma. Una persona acostada o parada sobre una colchoneta aplica la misma fuerza en ambos casos (su peso). Sin embargo, la colchoneta se hunde más cuando se concentra la fuerza sobre la pequeña superficie de los pies. El peso de la persona se reparte entre los puntos de la superficie de contacto: cuanto menor sea esta superficie, más fuerza corresponderá a cada punto. Se define la presión como el cociente entre el módulo de la fuerza ejercida perpendicularmente a una superficie (F perpendicular) y el área (A) de ésta: En fórmulas es: p=F/A

La persona parada ejerce una presión mayor sobre la colchoneta que cuando está acostada sobre ella. La fuerza por unidad de área, en cada caso, es distinta. Cuando buceamos, la molestia que sentimos en los oídos a una cierta profundidad no depende de cómo

orientemos

la

cabeza:

el

líquido

ejerce

presión

sobre

nuestros

tímpanos

independientemente de la inclinación de los mismos. La presión se manifiesta como una fuerza perpendicular a la superficie, cualquiera sea la orientación de ésta. Densidad y peso específico La densidad es una magnitud que mide la compactibilidad de los materiales, es decir, la cantidad de materia ¡contenida en un cierto volumen. Si un cuerpo está hecho de determinado material, podemos calcular su densidad como el cociente entre la masa del cuerpo y su volumen: d = m/V Análogamente, se define el peso específico como el peso de un determinado volumen del material. Por lo tanto:

p=P/V

(peso dividido el volumen, pero el peso es la masa (m) por

la aceleración de la gravedad (g)) Se puede entonces escribir: p=(m.g)/V. Como vimos antes, m/V es la densidad d, entonces p=d.g Las unidades de presión que se utilizan normalmente son:

Sistema

Unidad

Nombre

M.K.S.

N/m²

Pascal (Pa)

TECNICO

Kg/m²

---

C.G.S.

dina/cm²

Baría

EL PRINCIPIO DE PASCAL En las figuras se muestran dos situaciones: en la primera se empuja el líquido contenido en un recipiente mediante un émbolo; en la segunda, se empuja un bloque sólido. ¿Cuál es el efecto de estas acciones? ¿Qué diferencia un caso de otro?

La característica estructural de los fluidos hace que en ellos se transmitan presiones, a diferencia de lo que ocurre en los sólidos, que transmiten fuerzas. Este comportamiento fue descubierto por el físico francés Blaise Pascal (1623-1662) , quien estableció el siguiente principio: Un cambio de presión aplicado a un fluido en reposo dentro de un recipiente se transmite sin alteración a través de todo el fluido. Es igual en todas las direcciones y actúa mediante fuerzas perpendiculares a las paredes que lo contienen. El principio de Pascal fundamenta el funcionamiento de las genéricamente llamadas máquinas hidráulicas: la prensa, el gato, el freno, el ascensor y la grúa, entre otras. Cuando apretamos una chinche, la fuerza que el pulgar hace sobre la cabeza es igual a la que la punta de la chinche ejerce sobre la pared. La gran superficie de la cabeza alivia la presión sobre el pulgar; la punta afilada permite que la presión sobre la pared alcance para perforarla. Cuando caminamos sobre un terreno blando debemos usar zapatos que cubran una mayor superficie de apoyo de tal manera que la presión sobre el piso sea la mas pequeña posible. Seria casi imposible para una mujer, inclusive las mas liviana, camina con tacos altos sobre la arena, porque se hundiría inexorablemente. El peso de las estructuras como las casas y edificios se asientan sobre el terreno a través de zapatas de hormigón o cimientos para conseguir repartir todo el peso en la mayor cantidad de área para que de este modo la tierra pueda soportarlo, por ejemplo un terreno normal, la presión admisible es de 1,5 Kg/cm². La Presa Hidráulica El principio de Pascal fundamenta el funcionamiento de las genéricamente llamadas máquinas hidráulicas: la prensa, el gato, el freno, el ascensor y la grúa, entre otras. Este

dispositivo,

llamado

prensa

hidráulica, nos permite prensar, levantar pesos o estampar

metales

ejerciendo

fuerzas

muy

pequeñas. Veamos cómo lo hace. El recipiente lleno de líquido de la figura consta de dos cuellos de diferente sección cerrados

con

sendos

tapones

ajustados

y

capaces de res-balar libremente dentro de los tubos (pistones). Si se ejerce una fuerza (F1) sobre el pistón pequeño, la presión ejercida se transmite, tal como lo observó Pascal, a todos los puntos del fluido dentro del recinto y produce fuerzas perpendiculares a las paredes. En particular, la porción de pared representada por el pistón grande (A2) siente una fuerza (F2) de manera que mientras el pistón chico baja, el grande sube. La presión sobre los pistones es la misma, No así la fuerza! Como p1=p2 (porque la presión interna es la misma para todos lo puntos). Entonces: F1/A1 es igual F2/A2 por lo que despejando un termino se tiene que: F2=F1.(A2/A1) Si, por ejemplo, la superficie del pistón grande es el cuádruple de la del chico, entonces el módulo de la fuerza obtenida en él será el cuádruple de la fuerza ejercida en el pequeño.

La prensa hidráulica, al igual que las palancas mecánicas, no multiplica la energía. El volumen de líquido desplazado por el pistón pequeño se distribuye en una capa delgada en el pistón grande, de modo que el producto de la fuerza por el desplazamiento (el trabajo) es igual en ambas ramas. ¡El dentista debe accionar muchas veces el pedal del sillón para lograr levantar lo suficiente al paciente!

1.2.3 EMPUJES EN SUPERFICIES PLANAS Se considera un recipiente con un líquido en reposo, donde una de sus paredes tiene una inclinación

θ respecto a la horizontal, como se indica en la fig. 29. Sobre esta pared se

delimita una superficie de área A para la cual se desea conocer la fuerza resultante debida a la presión hidrostática, así como

su punto de aplicación o

La fuerza resultante sobre la superficie A será:

centro de presiones.

Ρ = ∫∫ pdA =γ ∫∫ zdA(2.14) A

A

es decir, el volumen de a cuña de distribución de presiones abcd está limitada por el área A. La integral que aparece en la Ec. (2.14) es el momento estático del área respecto de la superficie libre del líquido y se puede expresar en términos del área A y de la profundidad de su centro de gravedad zG. El empuje hidrostático es entonces

P = γAz G (2.15) Las coordenadas ( X K , Y K ) del centro de presiones se obtienen cuando se iguala la suma de los momentos estáticos de las áreas diferenciales respecto de los ejes x y y, con el producido por la fuerza resultante. Para el eje x tenemos que

PYk = ∫∫ yγ zdA A

donde la integral representa el momento estático del volumen de la cuña de presiones respecto del eje x. De aquí se deduce que

y k coincide con la ordenada de la proyección K´ del centro

de gravedad S, de la cuña. Se puede dar también una interpretación distinta y para ello se substituye Z=Y sen θ en la ecuación anterior:

Py k = γsenθ ∫∫ y 2 dA (2.16) A

Figura 2.9. Empuje hidrostático y centro de presiones sobre una superficie plana e inclinada

donde la integral es el momento de inercia del área A respecto del eje x, el cual es también

I X = ∫∫ y 2 dA = I X + AyG 2 A

en que

I X es el momento de inercia del área respecto de un eje centroidal paralelo a x; I X

puede también expresarse como eje centroidal paralelo a

x.

2 I X = r x A, donde r x es el radio de giro de A respecto del

Por tanto, si se substituye la Ec. (215) en la (216), con

z G = y G senθ , resulta: 2

rx yk = + yG (2.17) yG

Obsérvese que el centro de presiones se encuentra por debajo del centro de gravedad del área. Aunque tiene importancia secundaria, se puede calcular en forma análoga a

XK :

PX K = rsenθ ∫∫ xydA A

La integral de esta ecuación representa el producto de inercia

I xy , del área respecto del

sistema de ejes x-y; por tanto

XK =

I XY (2.18) yG A

Generalmente, las superficies sobre las que se desea calcular el empuje hidrostático son simétricas respecto de un eje Paralelo a y. Esto hace que quede

sobre

dicho

I xy = 0 y que el centro de presiones eje.

Un procedimiento gráfico para determinar yK se presenta en la Fig. 2.9: sobre G´ se levanta una normal G´M a la superficie de altura

γ x ; la intersección de la perpendicular a la

recta O1 M con la superficie señala la posición de K´. Se deja al lector la demostración del procedimiento. En la tabla 2.1 se presentan la posición del centro de gravedad, el área y el radio del giro de las figuras más usuales. Problema 2.1. Calcular el empuje hidrostático y el centro de presiones sobre la pared de 2 m de ancho de un tanque de almacenamiento de agua, para los siguientes casos: a) pared vertical con líquido de un solo lado (Fig. 2.10); b) pared inclinada con liquido en ambos lados (figura 2.lla); c) pared vertical con líquido en ambos lados (Fig. 2. llb).

Figura 2.10. Distribución de la presión hidrostática sobre una pared vertical. Solución a). En la Fig. 2.10 se muestra la distribución de presiones hidrostáticas del agua sobre la pared vertical. La presión total para

γ = 1ton / m 3 , según la Ec. (2.t5), vale

h h2 2.4 2 P = γbh = γb = 1× 2 × 2 2 2 P = 5.76ton El empuje hidrostático es igual al volumen de la cuña de distribución de presiones. La profundidad del centro de presiones según la Ec. (217) y las características indicadas en la Fig. 2.10, vale

ZK =

h 2 x2 h 2 + = h = 1.6m 12h 2 3

Fig. 2.11 Empuje hidrostático sobre una pared inclinada o vertical con líquido en ambos lados

Este valor también es e! de la profundidad del centro de gravedad de la cuña de distribución de presiones. Solución b). La distribución depresiones es lineal en ambos lados y de sentido contrario, siendo la distribución resultante como se muestra en la Fig. 2. lla.

En la misma forma que en la solución (a), el empuje hidrostático sobre la pared es el volumen de la cuña de distribución de presiones de ancho h indicada con el área sombreada, la cual se puede determinar calculando el área del triángulo de presiones de la izquierda menos el de la derecha. Para el triángulo a la izquierda

h12 P1 = γb 2 senθ Aplicada a la distancia

y k1 =

y k 1 , desde el punto A, entonces

2 h1 3 senϑ

Para el triangulo a la derecha, se tiene que

P1 = γb

h22 2 senθ

Aplicada a la distancia

yk2 =

y k 2 desde el punto A, resulta

h1 − ( h2 / 3) senϑ

El empuje total esta representado por la cuña sombreada:

P = P1 − P2 = γb

(

)

h12 − h22 2.4 2 − 1.4 2 = 1x = 4.388ton 2senϑ 2 x 0.866

Tomando momentos de las fuerzas respecto A, obtenemos

h12 h22 h1 − ( h2 / 3) 2 h1 x − λb 2senϑ 3 senϑ 2senϑ senϑ Substituyendo el valor de P, y k se puede despejar y escribir en la forma Py k = γb

yk =

h1 1 h13 − h23 2.4 2.916 − = − = 1.649m 2 2 senϑ 3senϑ h1 h2 0.866 3x 0.866

SOLUCIÓN c). Para el caso de la figura 2.11b es suficiente hacer anteriores resultando

ϑ =90º en lasa ecuaciones

P = γb

h12 − h22 2.4 2 − 1.4 2 = 1x 2 x = 3.8ton 2 2

y k = z k = h1 −

y k = 2.4 −

1 h13 − h23 3 h13 − h22

1 2.4 3 − 1.4 3 = 1.428m 3 2.4 2 − 1.4 2

1.2.4 EMPUJES EN SUPERFICIES CURVAS TEOREMA DE PASCAL Para sumergir totalmente en agua una colchoneta inflable necesitamos empujarla hacia abajo. Es más fácil sostener un objeto pesado dentro del agua que fuera de ella. Cuando buceamos pareciera que nos apretaran los tímpanos. Éstos y muchos otros ejemplos nos indican que un líquido en equilibrio ejerce una fuerza sobre un cuerpo sumergido. Pero, ¿qué origina esa fuerza?, ¿en qué dirección actúa?, ¿también el aire en reposo ejerce fuerza sobre los cuerpos?, ¿qué determina que un cuerpo flote o no? Éstas son algunas de las cuestiones que aborda la estática de fluidos: el estudio del equilibrio en líquidos y gases. Un fluido en reposo en contacto con la superficie de un sólido ejerce fuerza sobre todos los puntos de dicha superficie. Si llenamos de agua una botella de plástico con orificios en sus paredes observamos que los chorritos de agua salen en dirección perpendicular a las paredes. Esto muestra que la dirección de la fuerza que el líquido ejerce en cada punto de la pared es siempre perpendicular a la superficie de contacto. En el estudio de los fluidos, resulta necesario conocer cómo es la fuerza que se ejerce en cada punto de las superficies, más que la fuerza en sí misma. Una persona acostada o parada sobre una colchoneta aplica la misma fuerza en ambos casos (su peso). Sin embargo, la colchoneta se hunde más cuando se concentra la fuerza sobre la pequeña superficie de los pies. El peso de la persona se reparte entre los puntos de la superficie de contacto: cuanto menor sea esta superficie, más fuerza corresponderá a cada punto. Se define la presión como el cociente entre el módulo de la fuerza ejercida perpendicularmente a una superficie (F perpendicular) y el área (A) de ésta: En fórmulas es: p=F/A

La persona parada ejerce una presión mayor sobre la colchoneta que cuando está acostada sobre ella. La fuerza por unidad de área, en cada caso, es distinta. Cuando buceamos, la molestia que sentimos en los oídos a una cierta profundidad no depende de cómo

orientemos

la

cabeza:

el

líquido

ejerce

presión

sobre

nuestros

tímpanos

independientemente de la inclinación de los mismos. La presión se manifiesta como una fuerza perpendicular a la superficie, cualquiera sea la orientación de ésta.

EMPUJES EN SUPERFICIES PLANAS Y CURVAS

El teorema fundamental de la hidrostática ¿Por qué las paredes de un dique van aumentando su espesor hacia el fondo del lago’? ¿Por qué aparecen las várices en las piernas? Es un hecho experimental conocido que la presión en el seno de un líquido aumenta con la profundidad. Busquemos una expresión matemática que nos permita calcularla. Para ello, consideremos una superficie imaginaria horizontal S, ubicada a una profundidad h como se muestra en la figura de la derecha. La presión que ejerce la columna de líquido sobre la superficie amarilla será: p = Peso del líquido/Area de la base Con matemática se escribe: p = P/S = (d . V)/S=(d . S . h)/S= d . h (porque la S se simplifican) Donde p es el peso específico del líquido y V es el volumen de la columna de fluido que descansa sobre la superficie S. Es decir que la presión que ejerce un líquido en reposo depende del peso específico (p) del líquido y de la distancia (h) a la superficie libre de éste. i ahora consideramos dos puntos A y B a diferentes profundidades de una columna de líquido en equilibrio, el mismo razonamiento nos permite afirmar que la diferencia de presión será: PA —PB = p . hA— d . hB

Este resultado constituye el llamado teorema fundamental de la hidrostática: La diferencia de presión entre dos puntos dentro de una misma masa líquida es el producto del peso específico del líquido por la distancia vertical que los separa. Ésta es la razón por la cual dos puntos de un fluido a igual profundidad estarán a igual presión. Por el contrario, si la presión en ambos puntos no fuera la misma, existiría una fuerza horizontal desequilibrada y el líquido fluiría hasta hacer que la presión se igualara, alcanzando una situación de equilibrio. Hasta aquí sólo hemos encontrado la expresión de la presión que ejerce el líquido sobre un cuerpo —imaginario o no— sumergido en una determinada profundidad h. Ahora bien, ¿cuál es la presión total ejercida en el cuerpo? Si tenemos en cuenta que, probablemente, por encima del líquido hay aire (que también es un fluido), podemos afirmar que la presión total ejercida sobre el cuerpo es debida a la presión de la columna del líquido más la presión que ejerce el aire sobre la columna. Es decir: P = Paire + Plíquido = Patmosférica + d . h Este resultado tiene generalidad y puede ser deducido del teorema fundamental de la hidrostática. Veamos cómo. Si consideramos que el punto B se encuentra exactamente en la superficie del líquido, la presión en A es: PA= PB+ d . Ah = Psuperficie + P. (hA-hB) = Patmosférica + d . h Los vasos comunicantes son recipientes comunicados entre sí, generalmente por su base. No importa cuál sea la forma y el tamaño de los recipientes; en todos ellos, el líquido alcanza la misma altura.

Cuando tenemos un recipiente vertical conteniendo un liquido y le hacemos perforaciones en sus paredes, las emisiones del liquido de los agujeros de la base tendrán mayor alcance que las emisiones de arriba, ya que a mayor profundidad hay mayor presión.

1.3 FLOTACION El primer requisito para que un barco flote es que cumpla con el principio de Arquímides es decir, que se construya de tal forma que:  Desplace más agua que su cuerpo  Guardar simetría tanto geométrica, como sobre todo, dinámicamente; (al estar en agua tranquila el barco guarde una posición horizontal) Matemáticamente hablando, existen dos fuerzas que afectan la estabilidad de un barco:  El peso del mismo  El empuje que recibe por porte del agua desalojada. Por lo que se debe cumplir que:

ΣFy = 0................... (Ya que el barco flota) E–W=0 E=W

Condición de equilibrio El peso del barco actúa en el centro de gravedad de este (CG) mientras que el empuje

actúa en el centro de gravedad del volumen sumergido del barco, al cual se le llama centreo de flotabilidad (CF) o de la canela (C). La Fig. 7.1 muestra un barco en aguas tranquilas, en esta condición el barco se encuentra estable, con su centro de gravedad situado por encima del centro de flotabilidad. En este caso, las fuerzas involucradas, es decir, el peso del barco y el empuje actúan sobre la misma línea de acción.

Sin embargo, cuando el barco se encuentra en altamar sufre cierto balanceo debido al oleaje y al viento. Para este caso, en la Fig. 7.2 se muestra un barco sufriendo un cierto balanceo. El centro de gravedad del barco (donde actúa el peso) sigue estando donde mismo, no así el centro de flotabilidad ya que este se ha trasladado a la izquierda debido a que la forma del volumen desplazado cambia por la forma del barco. El barco de esta figura se dice

que es un BARCO ESTABLE, ya que como puede verse, la acción combinada de las dos fuerzas (peso W y empuje E) provocan un momento tendiente a enderezar el barco. El barco de la Fig. 7.3 se encuentra ladeado, pero este barco quizá es muy angosto o tiene su centro de gravedad muy arriba, esto hace que a pesar de que el centro de flotabilidad se ha desplazado hacia la izquierda a causa de que vació la forma del volumen desplazado, no fue suficiente para provocar el momento restaurado en el mismo. Como puede observarse, aquí la acción combinada de las dos fuerzas (W y E) hará que el barco actúe su balanceo y probablemente hará que zozobre. En las figuras 7.2 y 7.3 se encuentra un punto marcado con una (M). A este punto se le llama METACENTRO, el cual corresponde al punto de intersección de la línea de acción del empuje con el eje de simetría del barco.

La posición del metacentro es de vital importancia para determinar si un cuerpo flotante es estable o no. En general podemos decir que:  Si M se encuentra por encima del CG el cuerpo es estable  Si M se encuentra por debajo del CG el cuerpo es inestable  Si M y CG coinciden, el cuerpo tiene un equilibrio indiferente En el caso particular de un barco interesa que se cumpla la primera condición. Sin embargo, si M se encuentra por encima del CG, pero muy cerca una de la otra el barco se balanceará lenta

y ampliamente y será muy probable que se hunda en caso de un choque. Si M está muy arriba del CG el barco regresará bruscamente a la vertical con riesgo de dañar la carga y causar trastornos a los tripulantes y pasajeros (será a lo que se le denomina BARCO DURO). La distancia que existe entre CG y M se llama altura metacéntrica, la cual, si M está por encima de CG (cuerpo estable) es positiva; si M coincide con CG (equilibrio indiferente) vale cero y si M se encuentra por debajo del CG es negativa. En la práctica un valor confiable de altura metacéntrica para barcos mercantes modernos totalmente cargados es de un 5% de la manga, es decir, la parte más ancha del barco.

En el cuadro 7.1 se muestran algunos valores prácticos de altura metacéntrica para ciertos tipos de embarcaciones. TIPO DE EMBARCACIÓN Barcos de Vela Torpederos Cruceros Cargueros De Pasajeros

ALTURA METACÉNTRICA 0.90 a 1.50 0.40 a 0.60 0.80 a 1.20 0.60 a 0.90 0.45 a 0.60

Cuadro 7.1 Algunas alturas metacéntricas de tipos diversos de buques A veces, en la práctica, situar el metacentro de una embarcación resulta muy difícil, sin embargo, existen algunas ecuaciones, como la obtenida por Duhamel, la cual desarrollaremos enseguida, basándonos en la Fig. 7.4

El volumen desplazado total no cambia en valor por la vuelta a través del ángulo

θ,

pero si cambia en forma debido a la emersión del volumen en forma de cuña (omn) y a la sumersión de un volumen igual (om´n´) Estas cuñas representan una pérdida de empuje E2 debido al volumen emergido (omn) y una ganancia del mismo E1 debido a la sumersión del volumen (om´n´).

La nueva posición de la fuerza de empuje total (E´) puede considerarse como la resultante de componer al empuje (E) en su posición original y las fuerzas desequilibrantes de pérdida y ganancia de empuje (E1 y E2). Como el momento de una fuerza resultante es igual a la suma algebraica de los momentos de sus componentes y el centro de flotabilidad original (CF) se seleccionó como centro de momentos tenemos.

Como E1 = E2 dejamos la ecuación 1 en función de E1, entonces:

E´l = E (0) + E1 x + E2 y..................................1 E´l = E1 x + E1 y = E1 ( x + y )...............................2 Como, de la figura tenemos que:

∴l = Considerando un ángulo considerado es:

x+ y =

d d + = d entonces: E´l = E1d 2 2

E1d ´..........................3 E

θ pequeño y de acuerdo con la Fig. 7.5 el volumen del prisma

dv = xtgθdA.........................................4

La fuerza de empuje sobre este prisma elemental será:

dE1 = γdv = γxtgθdA...................................5 Y el momento de esta fuerza elemental con respecto a cero será:

dM = xdE1 = γx 2tgθdA...................................6 La integral de esta ecuación representa el momento de E1 con respecto al eje “y”. Pero recordando que a lado izquierdo de “y” existe también otro prisma, sobre el que actúa una fuerza E2. Entonces el momento de la pareja E1 y E2 será el doble del momento que nos da la integral de la ecuación 6, ya que E1 y E2 son iguales, entonces:

2 ∫ xdE1 = 2γtgθ ∫ x 2 dA........................................7 De estática tenemos que:

∫ xdE

1

= E1d , entonces sustituyendo:

E1d = 2γtgθ ∫ x 2 dA............................................8

También de estática tenemos que:

2 ∫ x 2 dA = Iy donde:

Iy = momento de inercia con respecto al eje “y” (eje longitudinal del barco) del área de la sección transversal del barco en la línea de flotación, en consecuencia:

E1d = γtgθIy.................................9 Sustituyendo en 3 tenemos:

l=

γtgθIy ´..........................10 y como E´= γV entonces: E l=

γtgθIy tgθIy = ...................................11 γV V

Ahora de la Fig. 7.4 tenemos:

l = (CF • M ) senθ ......................12

Donde: CF·M es la distancia que hay entre el CF y el M. Sustituyendo en 11 nos queda:

tgθIy V tgθIy ∴ CF • M = .........................................13 senθV (CF • M ) senθ =

Como

θ es pequeño tenemos que tgθ ≈ senθ entonces la ecuación 13 puede

escribirse como:

CF • M =

Iy .....................................7.1 V

Esta es la llamada ecuación de Duhamel. Como la altura metacéntrica es la distancia desde el CG hasta el M; se tiene que:

CG • M =

Iy ± (CG • CF )......................................7.2 V

Donde: + CG·M = altura metacéntrica +

Iy = momento de inercia del área que la superficie libre del líquido intercepta en el cuerpo

flotante con relación al eje de inclinación (eje sobre el cual se supone que el cuerpo pueda girar) V = volumen del líquido desplazado NOTA: el signo positivo representa el caso en el que el CG está debajo del CF.

1.3.1PRINCIPIO DE ARQUIMEDES Notable matemático e inventor griego, que escribió importantes obras sobre geometría plana y del espacio, aritmética y mecánica. Nació en Siracusa, Sicilia, y se educó en Alejandría, Egipto. En el campo de las matemáticas puras, se anticipó a muchos de los descubrimientos de la ciencia moderna, como el cálculo integral, con sus estudios de áreas y volúmenes de figuras sólidas curvadas y de áreas de figuras planas. Demostró también que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe. En mecánica, Arquímedes definió la ley de la palanca y se le reconoce como el inventor de la polea compuesta. Durante su estancia en Egipto inventó el ‘tornillo sin fin’ para elevar el agua de nivel. Arquímedes es conocido sobre todo por el descubrimiento de la ley de la hidrostática, el llamado principio de Arquímedes, que establece que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una pérdida de peso igual al peso del volumen del fluido que desaloja (véase Mecánica de fluidos). Se dice que este descubrimiento lo hizo mientras se bañaba, al comprobar cómo el agua se desplazaba y se desbordaba.Arquímedes pasó la mayor parte de su vida en Sicilia, en Siracusa y sus alrededores, dedicado a la investigación y los experimentos. Aunque no tuvo ningún cargo público, durante la conquista de Sicilia por los romanos se puso a disposición de las autoridades de la ciudad y muchos de sus instrumentos mecánicos se utilizaron en la defensa de Siracusa. Entre la maquinaria de guerra cuya invención se le atribuye está la catapulta y un sistema de espejos —quizá legendario— que incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del sol.Al ser conquistada Siracusa, durante la segunda Guerra Púnica, fue asesinado por un soldado romano que le encontró dibujando un diagrama matemático en la arena. Se cuenta que Arquímedes estaba tan absorto en las operaciones que ofendió al intruso al decirle: "No desordenes mis diagramas". Todavía subsisten muchas de sus obras sobre matemáticas y mecánica, como el Tratado de los cuerpos flotantes, El arenario y Sobre la esfera y el cilindro. Todas ellas muestran el rigor y la imaginación de su pensamiento matemático.El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado. La explicación del principio de Arquímedes consta de dos partes como se indica en las figuras:

1. El estudio de las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido. 2. La sustitución de dicha porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones.

Porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido. Consideremos, en primer lugar, las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto de fluido. La fuerza que ejerce la presión del fluido sobre la superficie de separación es igual a p·dS, donde p solamente depende de la profundidad y dS es un elemento de superficie. Puesto que la porción de fluido se encuentra en equilibrio, la resultante de las fuerzas debidas a la presión se debe anular con el peso de dicha porción de fluido. A esta resultante la denominamos empuje y su punto de aplicación es el centro de masa de la porción de fluido, denominado centro de empuje. De este modo, para una porción de fluido en equilibrio con el resto se cumple Empuje=peso=rf·gV El peso de la porción de fluido es igual al producto de la densidad del fluido rf por la aceleración de la gravedad g y por el volumen de dicha porción V. Se sustituye la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones si sustituimos la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones. Las fuerzas debidas a la presión no cambian, por tanto, su resultante que hemos denominado empuje es el mismo, y actúa sobre el mismo punto, es decir, sobre el centro de empuje.

Lo que cambia es el peso del cuerpo y su punto de acción que es su propio centro de masa que puede o no coincidir con el centro de empuje.

Por tanto, sobre el cuerpo actúan dos fuerzas: el empuje y el peso del cuerpo, que no tienen en principio el mismo valor ni están aplicadas en el mismo punto. En los casos más simples, supondremos que el sólido y el fluido son homogéneos y por tanto, coincide el centro de masa del cuerpo con el centro de empuje.

Ejemplo: Supongamos un cuerpo sumergido de densidad ρ rodeado por un fluido de densidad ρf. El área de la base del cuerpo es A y su altura h.

La presión debida al fluido sobre la base superior es p1= ρfgx, y la presión debida al fluido en la base inferior es p2= ρfg(x+h). La presión sobre la superficie lateral es variable y depende de la altura, está comprendida entre p1 y p2. Las fuerzas debidas a la presión del fluido sobre la superficie lateral se anulan. Las otras fuerzas sobre el cuerpo son las siguientes: Peso del cuerpo, mg Fuerza debida a la presión sobre la base superior, p1·A

Fuerza debida a la presión sobre la base inferior, p2·A En el equilibrio tendremos que mg+p1·A= p2·Amg+ρfgx·A= ρfg(x+h)·A o bien, mg=ρfh·Ag

El peso del cuerpo mg es igual a la fuerza de empuje ρfh·Ag Como vemos, la fuerza de empuje tiene su origen en la diferencia de presión entre la parte superior y la parte inferior del cuerpo sumergido en el fluido. El principio de Arquímedes se enuncia en muchos textos de Física del siguiente modo: Cuando un cuerpo está parcialmente o totalmente sumergido en el fluido que le rodea, una fuerza de empuje actúa sobre el cuerpo. Dicha fuerza tiene dirección hacia arriba y su magnitud es igual al peso del fluido que ha sido desalojado por el cuerpo.

Energía potencial de un cuerpo en el seno de un fluido

Cuando un globo de helio asciende en el aire actúan sobre el globo las siguientes fuerzas: •

El peso del globo Fg=–mgj .

•

El empuje Fe= rfVgj, siendo rf la densidad del fluido (aire). La fuerza de rozamiento Fr debida a la resistencia del aire

Dada la fuerza conservativa podemos determinar la fórmula de la energía potencial asociada

La fuerza conservativa peso Fg=–mgj está asociada con la energía potencial Eg=mg·y. Por la misma razón, la fuerza conservativa empuje Fe= rVg j está asociada a la energía potencial Ee=-rfVg·y. Dada la energía potencial podemos obtener la fuerza conservativa

La energía potencial asociada con las dos fuerzas conservativas es Ep=(mg- rfVg)y A medida que el globo asciende en el aire con velocidad constante experimenta una fuerza de rozamiento Fr debida a la resistencia del aire. La resultante de las fuerzas que actúan sobre el globo debe ser cero. rf Vg- mg-Fr=0 Como rfVg> mg a medida que el globo asciende su energía potencial Ep disminuye. Empleando el balance de energía obtenemos la misma conclusión

El trabajo de las fuerzas no conservativas Fnc modifica la energía total (cinética más potencial) de la partícula. Como el trabajo de la fuerza de rozamiento es negativo y la energía cinética Ek no cambia (velocidad constante), concluimos que la energía potencial final EpB es menor que la energía potencia inicial EpA. En la página titulada "movimiento de un cuerpo en el seno de un fluido ideal", estudiaremos la dinámica del cuerpo y aplicaremos el principio de conservación de la energía.

EL EMPUJE: PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

Resulta evidente que cada vez que un cuerpo se sumerge en un líquido es empujado de alguna manera por el fluido. A veces esa fuerza es capaz de sacarlo a flote y otras sólo logra provocar una aparente pérdida de peso. Pero, ¿cuál es el origen de esa fuerza de empuje? ¿De qué depende su intensidad? Sabemos que la presión hidrostática aumenta con la profundidad y conocemos también que se manifiesta mediante fuerzas perpendiculares a las superficies sólidas que contacta. Esas fuerzas no sólo se ejercen sobre las paredes del contenedor del líquido sino también sobre las paredes de cualquier cuerpo sumergido en él.

Distribución de las fuerzas sobre un cuerpo sumergido

Imaginemos diferentes cuerpos sumergidos en agua y representemos la distribución de fuerzas sobre sus superficies teniendo en cuenta el teorema general de la hidrostática. La simetría de la distribución de las fuerzas permite deducir que la resultante de todas ellas en la dirección horizontal será cero. Pero en la dirección vertical las fuerzas no se compensan: sobre la parte superior de los cuerpos actúa una fuerza neta hacia abajo, mientras que sobre la parte inferior, una fuerza neta hacia arriba. Como la presión crece con la profundidad, resulta más intensa la fuerza sobre la superficie inferior. Concluimos entonces que: sobre el cuerpo actúa una resultante vertical hacia arriba que llamamos empuje. ¿Cuál es el valor de dicho empuje?

Tomemos el caso del cubo: la fuerza es el peso de la columna de agua ubicada por arriba de la cara superior (de altura h1). Análogamente, F2 corresponde al peso de la columna que va hasta la cara inferior del cubo (h2). El empuje resulta ser la diferencia de peso entre estas dos columnas, es decir el peso de una columna de líquido idéntica en volumen al cubo sumergido. Concluimos entonces que el módulo del empuje es igual al peso del líquido desplazado por el cuerpo sumergido. Con un ejercicio de abstracción podremos generalizar este concepto para un cuerpo cualquiera. Concentremos nuestra atención en una porción de agua en reposo dentro de una pileta llena. ¿Por qué nuestra porción de agua no cae al fondo de la pileta bajo la acción de su propio peso? Evidentemente su entorno la está sosteniendo ejerciéndole una fuerza equilibrante hacia arriba igual a su propio peso (el empuje). Ahora imaginemos que “sacamos” nuestra porción de agua para hacerle lugar a un cuerpo sólido que ocupa exactamente el mismo volumen. El entorno no se ha modificado en absoluto, por lo tanto, ejercerá sobre el cuerpo intruso la misma fuerza que recibía la porción de agua desalojada. Es decir: Un cuerpo sumergido recibe un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de líquido desplazado. E = Peso del líquido desplazado = dlíq . g . Vliq desplazado = dliq . g . Vcuerpo Es importante señalar que es el volumen del cuerpo, y no su peso, lo que determina el empuje cuando está totalmente sumergido. Un cuerpo grande sumergido recibirá un gran empuje; un cuerpo pequeño, un empuje pequeño.

1.2.3 CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE CUERPOS EN FLOTACION

¿Como hace un barco para flotar? Pues bien, el mismo está diseñado de tal manera para que la parte sumergida desplace un volumen de agua igual al peso del barco, a la vez, el barco es hueco (no macizo), por lo que se logra una densidad media pequeña. En el caso de los submarinos, tienen un sistema que le permite incorporar agua y de esta manera consiguen regular a sus necesidades la densidad media de la nave. EL PROBLEMA DE LA CORONA DEL REY El rey Hierón le entregó 2,5 kg de oro a su joyero para la construcción de la corona real. Si bien ése fue el peso de la corona terminada, el rey sospechó que el artesano lo había estafado sustituyendo oro por plata en el oculto interior de la corona. Le encomendó entonces a Arquímedes que dilucidara la cuestión sin dañar la corona. Con sólo tres experiencias el sabio pudo determinar que al monarca le habían robado casi un kilo de oro. Veamos cómo lo hizo. En primer lugar, Arquímedes sumergió una barra de medio kilo de oro puro y comprobó que desplazaba 25,9 cm3. Por lo tanto, el peso específico del oro es: Poro = 500 gr/25.3 cm3 =19.3 gr/cm3 Si el joyero hubiera hecho las cosas como le habían indicado, el volumen de líquido desplazado por la corona real, que pesaba 2,5 kilogramos, debería haber sido: Vcorona = 2.500 gr/19.3 gr/cm3=129.5 cm3 A continuación, sumergió la corona real y midió que el volumen de agua desplazado era de 166 cm3, o sea, mayor del esperado. ¡Hierón había sido estafado! ¿En cuánto? Para saber qué cantidad de oro había sido reemplazado por plata, Arquímedes repitió la primera experiencia sumergiendo una barra de un kilo de plata para conocer su peso específico. Como el volumen desplazado resultó 95,2 cm3, se tiene que: Pplata=1000 gr/95.2 gr/cm3=10.5 gr/cm3 Sabemos que el peso total de la corona es 2.500 gr. (el joyero tuvo la precaución de que así fuera) y su volumen total, de 166 cm3. Entonces:

Vcorona=Voro+Vplata=166 cm3 Vplata=166-Voro Pcorona=Poro+Pplata=2500 gr. Si reescribimos la última ecuación en función del peso específico y el volumen, nos queda que: 19.3 gr/cm3 . Voro + 10.5 gr/cm3 . Vplata = 2500 gr Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas (Voro y Vplata). Sustituyendo una ecuación con la otra, se tiene que: 19,3 gr/cm3. Voro + 10.5 gr/cm3. (166 cm3-Voro) = 2.500 g de donde se despeja la incógnita: Voro =86cm3 con lo que se deduce que: Poro =Poro Voro = 19,3 gr/cm3 . 86 cm3 = 1.660 gr Pplata=Pcorona - Poro =2.500gr -1.660 gr =840 gr De esta manera, Arquímedes pudo comprobar que al rey le habían cambiado 840 gr. de oro por plata. Cuenta la leyenda que el joyero no pudo disfrutar del oro mal habido.

TAREAS REALIZADAS EN LA PRIMERA UNIDAD

TEOREMA II DE BUCKINGHAM En 1915, Buckingham demostró que el número de grupos adimensionales de variables independientes necesarios para relacionar las variables de un proceso dado es igual a n- m, donde n es el número de variables que intervienen y m, es el número de dimensiones básicas incluidas en las variables. Por lo tanto, si la residencia al avance F de una esfera en un fluido es función de la velocidad V, la densidad variables

( F ,V , ρ , µ , D )

ρ , la viscosidad µ y el diámetro D, tenemos cinco

y tres dimensiones fundamentales (L, F, T). Por lo que se tendrá 5 - 3

= 2 grupos básicos de variables que servirán para relacionar los resultados experimentales.

MAGNITUDES FÍSICAS, UNIDADES Y DIMENSIONES

En la descripción y estudio

de los fenómenos físicos se han desarrollado (y se

desarrollan) conceptos abstractos muy especiales llamados magnitudes físicas. Estas magnitudes se definen por medio de un conjunto de operaciones experimentales que permiten obtener un número como medida de la magnitud en cualquier situación. Esta definición comprende dos pasos esenciales: 1.-La elección de una unidad de medida con múltiplos y submúltiplos 2.- Un proceso para comparar la magnitud o medir con la unidad de medida y establecer un número como medida de la magnitud. Ejemplos de magnitudes físicas: longitud, área, volumen, tiempo, masa, energía, temperatura, fuerza, potencia, velocidad, aceleración, etc. Una de las tareas fundamentales de la física consiste en establecer las relaciones que existen entre las diversas magnitudes que intervienen en un fenómeno determinado. Éstas relaciones matemáticas definiciones o leyes; permiten asociar la media de una magnitud con la medida de las otras magnitudes con las cuales están relacionadas. Por ejemplo: cuando una partícula se mueve en línea recta se define la velocidad como la longitud recorrida por la partícula en unidad de tiempo y si se ha

definido adecuadamente un sistema de unidades, se escribe que se toma la partícula en recorrer la magnitud

V =

∆x , donde ∆t es el tiempo ∆t

∆x . Asimismo la aceleración se define como

el cambio de velocidad sufrido en una unidad de tiempo, y se escribe

a=

∆v . Por otra parte la ∆t

segunda ley de Newton establece que la relación que sufre esta partícula es proporcional a la fuerza neta que actúa sobre ella; F = ma. El concepto de dimensión de una magnitud aparece cuando se trata de construir un sistema de unidades. En principio podría asignársele a cada magnitud física una unidad de medida para la longitud, otra para el tiempo, otra para le velocidad, otra independiente para la aceleración t asimismo otra para la fuerza, pero esto nos conduciría a la necesidad de especificar coeficientes que realizarán las conversiones de unidades y escribiríamos:

∆x ∆t ∆v a = C2 ∆t f = C3 = ma

V = C1

Ante la posibilidad de semejante proliferación de coeficientes de conversión sea establecido un procedimiento general para construir sistemas de unidades; se adoptan por convención algunas magnitudes físicas como fundamentales y se eligen arbitrariamente sus respectivas unidades de medida; las magnitudes que no forman parte de las fundamentales son llamadas magnitudes derivadas y sus unidades de medida se establecen fijando los valores numéricos de los coeficientes que figuran en las expresiones matemáticas que relacionan estas magnitudes con las fundamentales. Las unidades de medida de la velocidad, aceleración y fuerza quedan unívocamente determinadas en función de las unidades de medida de las fundamentales: la unidad de velocidad es entonces el m/s, la unidad de aceleración es el metro por segundo por segundo m/s2 y la de fuerza es kilogramo metro por segundo al cuadrado N. Y es en ese punto donde aparece la noción de dimensión de una magnitud física.

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD Corresponde a la noción intuitiva de que solo puedan sumarse o igualarse cantidades del mismo tipo y que no puede hacerse lo mismo con cantidades de tipo diferente. Este principio suministra un método muy eficaz para el control de la consistencia de las ecuaciones que se manejan en el estudio de algún problema. Así si en alguna expresión matemática que relacione las magnitudes físicas pertinentes al problema, los términos que se suman o se igualan, no tienen todos una misma dimensión, hay un error en alguna parte y se hace preciso revisar. Pero ¡cuidado! la homogeneidad dimensional no garantiza que la ecuación sea la correcta, puede haber errores en las constantes o en la concepción del problema. En consecuencia, las ecuaciones que se manejan en física deben de ser todas dimensionalmente homogéneas y en el momento de realizar los cálculos para obtener el valor

numérico de una magnitud en términos de los valores numéricos conocidos de las otras magnitudes, las unidades de medida deben ser expresadas todas en el mismo sistema de unidades: la homogeneidad dimensional y la consistencia de las unidades son dos aspectos de una misma cosa.

SISTEMA DE UNIDADES Desde 1989, las definiciones

de las unidades de medida de las magnitudes

fundamentales fueron establecidas por una organización internacional llamada Conferencia General de Pesas y Medidas, y cuenta con representantes de la mayoría de los Países del mundo. El sistema de unidades definido por esta organización, basado en el sistema métrico decimal y cuyo mas inmediato antecesor al sistema MKS, se conoce oficialmente desde 1960 como Sistema Internacional o SI, y su uso tiende a ser adoptado mundialmente. En este Sistema han sido escogidas como magnitudes fundamentales las siguientes: longitud, tiempo, masa, intensidad de corriente eléctrica, intensidad luminosa, temperatura y cantidad de sustancia en la tabla siguiente nombramos las unidades definidas como fundamentales y sus respectivos símbolos. Magnitud Fundamental Longitud Tiempo Masa Corriente Eléctrica Temperatura Intensidad Luminosa Cantidad de Sustancia

Unidad de Medida ( SI ) Metro Segundo Kilogramo Amperio Kelvin Candela Mol

Símbolo de la Unidad M S Kg A K Cd Mol

Se hace necesario definir unidades suplementarias para la medida de ángulos planos y la medida de ángulos sólidos; éstas y un conjunto de unidades SI muy utilizadas en Mecánica son listadas a continuación. Se incluye también la fórmula dimensional de cada magnitud. SÍMBOLO MAGNITUD LONGITUD MASA TIEMPO VELOCIDAD ACELERACIÓN ÁNGULO PLANO ÁNGULO SÓLIDO VELOCIDAD ANGULAR ACELERACIÓN ANGULAR FRECUENCIA

TÍPICO OFICIAL L M T V a

θ ,φ Ω ϖ α v

UNIDAD PATRON INTERNACIONAL Metro, m Kilogramo, Kg Segundo, s m/s m/s2 radianes, rad Estereoradian Rad/s rad/s2 Hertz (s-1)

DIMENSION L M T L T-1 L T-2 Adimensional Adimensional T-1 T-2 T-1

MOMENTUM-IMPULSO FUERZA TRABAJO-ENERGÍA POTENCIA MOMENTUM-ANGULAR TORQUE MOMENTO DE INERCIA PRESIÓN-ESFUERZO MÓDULO DE ELASTICIDAD MÓDULO DE COMPRESIBILIDAD VISCOSIDAD CALOR ENTROPÍA

Kg m/s Newton N Joule J (N m) Vatio (Watt) Kg m/s Nm Kg m2 Pascal Pa (N/m2)

M L T-1 M L T—2 M L2 T-1 M L2 T-3 M L2 T-2 M L2 M L-1 T-2 M L-1 T-2

Y, B, G

Pa

M-1 L T2

X

Pa-1

M L-1 T-1

Pa s J J/0K

M L2 T2 M L2 T-2

P F W, E Pot L

τ

I P,

σ

η Q S

Otro Sistema de unidades de gran importancia en física es el sistema cgs que define el centímetro, el gramo y el segundo como unidades de medida para la longitud, la masa y el tiempo respectivamente. Su uso en Mecánica es relativamente escaso, pero en la teoría electromagnética es de gran importancia. Las unidades del Sistema Inglés o Británico, en vías de extinción, se definen ahora oficialmente en función de las unidades SI de la siguiente manera: Longitud: 1 pulgada = 2.54 cm. Masa: 1 libra masa = 0.45359237 kg Tiempo: 1 segundo = 1 s La libra es la unidad de fuerza en el Sistema Británico, y equivale a una fuerza igual al peso de una libra masa en condiciones específicas. En Física, las unidades inglesas sólo se emplean en Mecánica y en Termodinámica, y no existe un sistema Británico de unidades eléctricas. Otras unidades de fuerza que, aunque no forman parte de ningún sistema de unidades, son: el kilogramo fuerza (kgf) y el gramo fuerza (gf): 1 kgf es el peso de una masa de un kilogramo en la superficie de la tierra; de la expresión f = ma se deduce que en un sitio donde la aceleración de la gravedad sea 9.8 m/s2, 1 kgf = (1 kg) (9.8 m/s2) = 9.8 kg m/s2 = 9.8 N Asimismo, 1 gf es el peso de una masa de 1 g; así, 1 gf = ( 1 g)(980 cm/s2) = 980 g cm/s2 = 980 dinas PESO ESPECÍFICO ( γ )

La fuerza gravitacional por unidad de volumen de fluido o simplemente el peso por unidad de volumen se denomina peso específico y se representa por el símbolo

γ (gamma),

que se determina dividiendo el peso de la sustancia entre el volumen que ocupa.

Pe =

peso p = volumen v

Donde: Pe = peso específico de la sustancia en N/m3; N = kg m/s2 P = Peso de la sustancia en N v = volumen que ocupa en m3

DENSIDAD

(ρ )

La densidad de una sustancia “P” expresa la masa contenida en la unidad de volumen. Su valor se determina dividiendo la masa de la sustancia entre el volumen que ocupa.

ρ=

masa m = volumen v

Donde: m = kg v = m3 = litro DENSIDAD RELATIVA La relación del peso específico de un líquido dado al peso específico del agua a una temperatura estándar de referencia se define como densidad relativa. La temperatura estándar de referencia para el agua a menudo se toma como 40C, donde el peso específico del agua a presión atmosférica es de 9810 N/m3; con esta referencia la densidad relativa del mercurio a 200C es:

den.rel.deHg =

133KN / m3 = 13.6 9.81KN / m3

Ya que la densidad relativa es una relación de pesos específicos, no tiene dimensiones y por supuesto es independiente del sistema de unidades. VISCOSIDAD Esta propiedad se origina por el rozamiento de unas partículas con otras cuando el líquido fluye por tal motivo, la viscosidad se puede definir como una medida de la resistencia que opone un líquido al fluir. Si un recipiente perforado en el centro se hacen fluir por separado: miel, leche, agua y alcohol; se observa que cada líquido fluye con rapidez distinta. Mientras más viscoso es un líquido más tiempo tarda en fluir. Al medir el tiempo que el líquido deja de fluir se conoce su viscosidad en el sistema

1nemton m kgm / s 1 poiseville = m2 kg 1 poiseville = ms

kg ms

1 poiseville = que tiene un fluido cuando su 2 internacional es el poiseville, definido como =la viscosidad

movimiento rectilineo uniforme sobre una superficie plana, es retardado por una fuerza de un Newton por metro cuadrado de superficie de contacto con el fluido, cuya velocidad respecto a la superficie es de 1m/s.

PRESIÓN MANOMÈTRICA En una región, como en el espacio exterior que está virtualmente vacío de gases, la presión es esencialmente cero. Tal condición puede lograrse en forma muy aproximada en el laboratorio, donde una bomba de vacío se utiliza para vaciar una botella. La presión en el vacío se denomina cero absoluto, y todas las presiones respecto a esta presión cero se llaman presiones absolutas. De ahí que la presión atmosférica al nivel del mar en un día en particular está dada por 101 kN/m2, que equivale a 760 mm de deflexión en un barómetro de mercurio. Muchos dispositivos medidores de presión no miden presiones absolutas, si no únicamente diferencias de presión. Por ejemplo; un manómetro consistente en un tubo de bordón común (fig.3-3) indica tan solo la diferencia entre la presión en el fluido al cual se conecta y la presión en la atmósfera. En este caso, la presión de referencia es realmente la presión atmosférica en el indicador. Este tipo de lectura de presión se llama presión manométrica. La unidad fundamental de presión en el sistema internacional (SI) es el pascal (Pa) que equivale a un Newton por metro cuadrado (N/m2). Las presiones manométrica y absoluta suelen identificarse después de la unidad. Por ejemplo, si una presión de 50 kPa se midiese con un manómetro respecto a la atmósfera, absoluta fuese 100 kPa, entonces la presión podría expresarse P = 50 kPa manométrica P = 150 kPa absoluta

Siempre que la presión atmosférica se utiliza como referencia (en otras palabras, cuando se mide la presión manométrica) existe la posibilidad de que la presión a sí medida pueda ser ya sea positiva o negativa. A las presiones manométricas negativas se les llama presiones de vacío. De ahí que si un manómetro se conecta a un tanque e indica una presión de vacío de 31 kPa absoluta. En la (fig. 3-3) se muestra un ejemplo de este sistema de referencia para presiones arbitrarias de pA = 200kPa manométrica y pB = 51kPa absoluta con una presión atmosférica de 101 kPa absoluta.

1

DIFERENCIA ENTRE UN LÍQUIDO Y UN GAS

1. Los líquidos son prácticamente incomprensible, los gases son compresibles

2. los líquidos ocupan un valor definido y tienen superficies libre, mientras que los gases ocupan la forma del recipiente que los contienen. La densidad ( ρ ) representa la masa de fluido contenida en la unidad de volumen; en los sistema absoluto y gravitacional sus dimensiones son [ ML³ ] Y [ FT² L ] respectivamente. Peso especifico (δ ω) representa el peso de fluido por unidad de volumen [ FL ³] δ= ω = Pg

δ= ω = w = kg vol m³

ρr Densidad Relativa = ω sust

no tiene dimensiones

ω agua ω = 1000kg / m³ Densidad Absoluta = ω kg / m³ = kg seg² g m / seg²

m

Viscosidad: la viscosidad de un fluido es una medida de su resistencia a fluir, como resultado de la interacción y cohesión de sus moléculas. μ = Viscosidad Absoluta o Dinámica. Para el sistema absoluto cm–grmasa–seg, la equivalencia es gm/cmseg, que es utilidad como unidad de viscosidad cinemática, se conoce como poise. 1 poise = 1 gm cmseg Para el sistema gravitacional es más común la unidad: 1 kgseg = 98.0665 gm m³

cmseg

En el sistema CGS se emplea la unidad 1 STOKE = 1 cm² =0.001 m² seg

seg

CALCULO DE Ycp Tomando momentos con respecto al eje X. (el cual se coloca a lo largo del punto de contacto de la superficie libre del liquido con la pared de la estructura se tiene: FYcp = ∫ ydF

......(1' )

∴

De estatica (Teorema de los segundos

1 YdF ......( 2' ) F∫ SUSTITUIMO S 5 Y 7 EN ( 2' ) 1 Ycp = Y γ Y sen θ dA ......( 3' ) γ sen θ Ycg A ∫ γ sen θ Ycp = Y 2 dA ......( 4' ) γ sen θ Ycg A ∫ Ycp =

momentos de A. ò momentos de inercia)

∫Y

2

dA = Ix

......( 5' )

Ix = momento de inercia del àrea con respecto al eje x mostrando en la fig. Ix Ycp = .......( 6' ) Ycg A

Es mas practico obtener el momento de inercia del área con respecto a un eje paralelo a “x” que pase por el centro de gravedad de la misma, entonces recurrimos al teorema de los ejes paralelos, el cual es:

Ix = Ixcg + A Y 2 cg .......( 7' ) sust. en 6'

Ixcg = momento de inercia del àrea con

Ixcg + AY cg AYcg Ixcg Ycp = + Ycg .......( 2) AYcg Nota : 2

Ycp =

respecto a un eje, paralelo a " x" ,φ, pase por el C.G del àrea.

Si el àrea se encuentra en una pared vertical, esto es, θ = 90 0 , se tendria

h= Y sen hcg= Ycg sen hcp= Ycp sen

=90º

∴

hcp =

Ixcg + hcg Ahcg

h=Y hcg=Ycg hcp=ycp

........( 3 )

MOMENTOS DE INERCIA DE FIG. GEOMÉTRICAS COMUNES.

sen 90º =1

Como el momento de inercia de cualquier área es una cantidad positiva, y observando las EC. (2) y (3) se concluye

φ , Ycp > Ycg y que hcp>hcg se concluye que el centro de presión

del área se encuentra por debajo del centro de gravedad de la misma.

CALCULO DE Ycp

De igual forma, pero ahora tomando momentos con respecto al eje “y” obtenemos:

FXcp = ∫ xdF .......(1' ' ) ∴ 1 Xcp = ∫ xdF .......( 2' ' ) F sust. 5 y 7 en 2' ' 1 Xcp = ∫ x γ sen θ y d A .......( 3' ' ) γ sen θ Ycg A xYdA γ sen θ Xcp = ∫ γ sen Ycg A De estàtica (teorema de los productos de inercia) tenemos que ∫ xydA = Ix .......( 5' ' )

Ixy = producto de inercia del àrea con respecto a los ejes " X" y " Y" mostrados en la fig. Al igual que el caso anterior, nos interesa saber el producto de inercia del àrea pero con respecto a dos ejes " X" y " Y" paralelos

Ixy = Ixycg + AXcg ......( 6' ' )

a los de la fig. y que pasen por el centro de

5' '

gravedad del àrea. Ixycg Xcp = + xcg * * * * * *( 4) Ycg A Ixycp = producto de inercia con respecto

en

4' ' IxY Xcp = .......( 7' ' ) Ycg A 6' ' en 7' ' Ixycg + AXcg Ycg Xcp = Ycg A

a sus ejes centroides. Xcp

En la mayoría de los casos

puede ser mayor, menor o igual que Xcg.

las áreas sobre las cuales se calcula la fuerza hidrostática son simétricas con respecto o por lo menos un eje centroidal Entonces (4) es.

Xcp = Xcg ........( 5) Ya Ixycg = 0 cuando alguno de los ejes centroidales, a los dos, son ejes de simetría.

PROBLEMAS

1.-Determinar la localización “Y” de la articulación en la compuerta rectangular de la Fig. De tal manera que la compuerta se abra cuando el nivel del liquido alcance la posición mostrada. NOTA: para que la compuerta se abra para alcanzar una altura mayor de 2mts. , es necesario hacer coincidir el punto de aplicación de la fuerza. hidrostática con la articulación, cuando el nivel es exactamente el mostrado. Independientemente del valor de la fuerza, el punto de aplicación es:

Ixcg + hcg A hcg consideran do 1 m de ancho 2 - 0.8 hcg = 0.8 + = 1.4m 2 A = bh = 1.2m x 1m = 1.2 m 2 hcp =

bh 3 1m x (1.2m ) Ixcg = = = 0.144 m 4 12 12 0.144 m 4 ∴hcp = + 1.4m = 1.4857 m 1.2m 2 (1.4m ) ∴Y = 2 - 1.4857 = 0.5143 m = Y 3

La compuerta AB tiene un eje de giro en B y su anchura es de 1.5 m. ¿ Que fuerza vertical, aplicada en su centro de gravedad, será necesaria para mantener la compuerta en equilibrio, si pesa 2,000 Kg ?

1.5

A W F

1.5 4 N Calculo de FH

B = Eje

FH = Ɣ heg A heg = 1.5 + 1.5 ÷ 2 = 2.25 m. Sen 45º = 1.5 ÷ h A = b h = b (1.5 m. ÷ sen 45º) = 1.5 m. x 2.12 m. A = 3.18 m.2 FH = Ɣ heg A = (1000 Kg./m.3 )(2.25 m.)(3.18 m.2) FH = 7155 Kg. Actuara en forma normal Calculo de N : ‫ ץ‬c p = Іx ÷ A ‫ ץ‬cg + ‫ ץ‬cg ‫ ץ‬c g = heg ÷ ‫ ץ‬cg ‫ ץ‬c g = heg ÷ sen 45º = 3.18 m І x = (1.5 )(1.5÷sen45º)3 ÷ 12 = 1.191m.4 ‫ ץ‬c p = 1.191 m.2 ÷ (3.18 m.2)(3.18 m.) + 3.18 m. = 3.297 m. De la Fig. N = 3 m. ÷ sen 45º = ‫ ץ‬cp = 4.242 m. – 3.297 ∴ N = 0.9448 m. Calculo de M : Como F y W actuaran en el C.G. del área A – B, entonces M será : M = 1.5 ÷ 2 = 0.75 m. Haciendo suma de momentos en B y suponiendo que (F) tiene el sentido indicado, tenemos : ∑MB = 0 = FHN – WM –FM ∴ F = FHN – WM ÷ M F = (7155 Kg.)(0.9448) – (2000 Kg.)(0.75) ÷ 0.75 m F = 7013.4 Kg. 2.-Calcular el empuje hidráulico y el centro de presiones sobre la pared de 2 m de ancho de un tanque de almacenamiento de agua, para los siguientes casos : a).- Pared vertical con liquido de un solo lado. Fig. (a) b).- Pared inclinada con líquidos en ambos lados. Fig. (b) c).- Pared vertical con líquidos en ambos lados. Fig. (c) A).- Pared vertical con liquido de un solo lado. Ɣ = 1 Ton. / m.3 P = Ɣ A heg ∴ P = Ɣ b h1 (h1 ÷ 2) = Ɣ b (h2 ÷ 2) = 1 x 2 x 2.42 ÷ 2 = 5.7 Ton. El empuje hidrostático es igual al volumen de la cuña dist. de presiones. Ƶk = (h)2(2) ÷ (12)(h) + h ÷ 2 = 2÷ 3 (h) = 1.6 m.

Fig. (a)

h1=2.4

ƵK

Ɣ h1

B).- Pared inclinada con líquidos en ambos lados. Triangulo de izquierda – triangulo de derecha ∆ izquierda

P = Ɣ h (h2÷2sen⊖)

∆ derecha

‫ץ‬K1 = (2÷2)(h1÷sen⊖)

P2 = Ɣ b x (h2)2 ÷ 2sen⊖

‫ץ‬K2 = (h1 – h2÷3) ÷ (senӨ)

P = P1 – P2 = Ɣ b (h – h2 ÷ 2senӨ) = 1x2 (2.42 – 1.42 ÷ 2x 0.866) =4.388 Ton. 2 1

2

Tomando momentos de las fuerza respecto al punto A P ‫ץ‬K = Ɣ h (h12÷2senӨ) x (2÷3)(h1÷senӨ) – Ɣ b (h22÷2senӨ) x (h1 – h2/3÷senӨ) Sustituyendo el valor de P, ‫ץ‬K se puede despejar y escribir. ‫ץ‬K = (h1÷senӨ) – (1÷3 x senӨ)(h13 – h23 ÷ h12 – h22) = 2.4 ÷ 0.866 – 2.916 ÷ 3 x 0.866 = 1.649 Fig. (b)

6 ‫ץ‬

P

h1 =

h1 =

Ɣ Ɣ

C).- Pared vertical con líquidos en ambos lados. P = Ɣ b (h – h2 ÷ 2) = 1 x 2 (2.4 – 1.4 ÷ 2) = 3.8 Ton. 2 1

2

2

2

‫ץ‬K = ƵK = h1 – 1 / 3 (h13 – h23 ÷ h12 – h22) = 2.4 – 1 / 3 (2.43 – 1.43 ÷ 2.42 – 1.42) = 1.428 Fig. (C)

h h2 Ɣ

SISTEMA DE DIEMENCIONES

Ɣ

DIMENCIONES FLT(TECNICO) MLT(ABSOLUTO) FMLT(INCOHERENTE)

METRICO

KG.S 2 =1 N M

FUERZA

MASA

KG

KG.S 2 =1 UTM M

KGT

KGM

KG

M

MLT(ABSOLUTO) LONGITUD

SEG

TIEMPO

M

S

SEG LB − PIES = POUDAL SEG

LB

INGLES

FUERZA

MASA

LONGITUD

TIEMPO

LBT

LB − S 2 = SEG PIES

LB

LBM

PIE

PIE

PIE

SEG

SEG

SEG

UNIDAD II: PRINCIPIOS CONSERVATIVOS 2.1CONSERVACION DE LA MATERIA

Esta ley es una de las tres leyes de conservación de la física - La le y de la conservación de la masa postulada que esta no se puede crear ni destruir. Este concepto origina le ecuación de continuidad, la que establece que, dentro de cualquier sistema hidráulico se debe balancear la descarga que entra, el volumen que se almacena y la descarga que sale; en otra palabras, se deben considerar todas las cantidades volumétricas. Como el agua se considera incompresible, se puede usar a este respecto tanto la masa como el volumen en formas

intercambiable. Para poner el concepto en forma matemática, se puede escribir la ecuación de cantidad como

Qent − Qsal = Cambio en el almacenamiento

(2.2a)

La ecuación anterior se usa a menudo en el análisis de los depósitos y en el control de las avenidas de los ríos. Es importante que la escala del tiempo sea la misma en ambos lados de la ecuación. Por ejemplo, si las descargas están en

" pie 3 / seg" , y se desea el cambio en el

almacenamiento por periodos de 6 horas, será necesario introducir un factor de conversión apropiado. En el caso de que no sea posible tener cambio alguno en el almacenamiento, como cuando una tubería está llena, el lado derecho de la ecuación 2.2 a se deducirá a cero,

Qent − Qsal = 0

(2.2b)

Lo que significa que lo que entra tiene que salir. En ciertas aplicaciones, como en los ríos o en las tuberías complejas, se separa el problema en componentes de menor tamaño que se unen en puntos determinados. En este caso, se debe cuidado al seleccionar el signo apropiado para cada componente de descarga. La conversión común de signos a considerar es la que tiene como positivas las descargas que encuentra a la componente hidráulica, y las que salen como negativo. en los puntos donde se unen dos componentes hidráulicas, cambiara el signo de la descarga.

2.1.1 ECUACION DE CONTINUIDAD

La ecuación de continuidad o conservación de masa es una herramienta muy útil para el análisis de fluidos que fluyen a través de tubos o ductos con diámetro variable. En estos casos, la velocidad del flujo cambia debido a que el área transversal varía de una sección del ducto a otra.

Si se considera un fluido con un flujo estable a través de un volumen fijo como un

tanque con una entrada y una salida, la razón con la cual el fluido entra en el volumen debe ser igual a la razón con la que el fluido sale del volumen para que se cumpla el principio fundamental de conservación de masa

La ecuación de continuidad es empleada para el análisis de boquillas, toberas, altura de alabes de turbinas y compresores, perfil de los alabes de las turbinas a reacción entre otros.

1. Nota introductoria: Los siguientes apuntes sobre los "ASPECTOS FÍSICOS ELEMENTALES DEL VUELO DE LAS COMETAS", son una recopilación de los escritos que aparecieron en catalán en el Boletín L´Estel del Barcelona Estels Club debidos a Xavier Soret que bajo el nombre de "Aclarint conceptes" (Aclarando conceptos), se han ido publicando a lo largo de más de una veintena de números del citado boletín. He considerado que tales escritos eran de interés para los que les gustaba los aspectos más "científicos" de las cometas, pero debido al idioma de publicación, limitaban mucho la difusión de tal obra, esta fue la razón que me llevo ha recopilarlos y presentarlos en la forma que tienes en tu mano. La traducción no es literal, por lo que he cambiado el orden en que fueron publicados estos artículos, omitiendo conceptos recurrentes y algunos que he considerado evidentes, todo esto en vías de una mayor claridad expositiva, así mismo, he añadido algunos conceptos que no aparecían en estos escritos, como el capítulo dedicado a la Teoría de la Semejanza. Aunque pueda asustar un poco, si se echa una primera ojeada, no hacen falta grandes conocimientos físicos-matemáticos para entender lo que sigue, no van más allá de los estudiados en bachiller, creo yo que es más importante, poseer una gran curiosidad científica, que otra cosa.

Espero que el lector disfrute con su lectura, lo que yo he disfrutado redactándolos. 2. Conceptos Elementales De Mecánica De Fluidos Ecuación De Continuidad

Consideremos un fluido, que atraviesa dos superficies S1 y S2, las cuales, son perpendiculares a las direcciones de las líneas de corriente del fluido. Como entre ambas superficies no existe ninguna fuente ni sumidero de fluido, la masa que atraviesa las superficies tiene que ser igual, por tanto: M1 = M2

Principio de conservación de la matera. De acuerdo con este, de la masa de fluido que en la unidad de tiempo entra a un volumen especificado entro del flujo, una parte se queda almacenada en su interior y el resto sale del volumen. Si el volumen que se estudia es de forma y magnitud constante (volumen de control), el almacenaje no puede ser indefinido. Matemáticamente es preferible tratar con la cantidad neta de masa que sale y que entra, sumadas algebraicamente; así, el principio de la conservación de la materia, aplicado a un volumen de control fijo completamente arbitrario dentro del flujo, de expresa en la formula siguiente: Cantidad neta de masa que atraviesa la superficie de frontera del volumen, en la unidad de tiempo.

+

Rapidez de variación de la masa contenida en el volumen

=0

Este principio se aplica lo mismo a un volumen de control de tamaño diferencial que a uno finito, de lo cual se deriva la llamada ecuación de continuidad. Ecuación diferencial de continuidad Si bien esta ecuación no tiene mucha aplicación en los problemas de flujo unidimensional en hidráulica, aquí se presenta su derivación para ser utilizada en los problemas de flujo con potencial. Para obtenerla se aplica el principio de conservación de la materia al volumen de control diferencial, mostrado en la Fig. 4.1 (de lados dx, dy, dz). En el centro de masa p del volumen considerado corresponden los valores p y v como funciones de punto y del tiempo, o bien, el producto pv como función vectorial. Al pasar a las caras normales al eje x, que limitan al elemento de fluido, la función pv se incrementa y decrementa en la misma cantidad:

1 ∂pv x dx, 2 ∂x donde el subíndice x indica componente de la función pv según x. de este modo, considerando positiva la masa que sale del volumen y negativo la que entra, la cantidad neta de masa que atraviesa estas cara es:

∂pv x 1 ∂pv x  1 ∂pv x    dx dydz −  pv x − dx dydz = dxdydz  pv x + 2 ∂x 2 ∂x ∂x     Por un razonamiento semejante, la cantidad neta de masa que atraviesa las caras normales al eje y es:

∂pv y ∂y

dxdydz;

Y, la que atraviesa a las normales al eje z;

∂pv z dxdydz ∂z Finalmente, la rapidez de variación de la masa contenida en el volumen elemental es:

∂ ( pdxdydz ); ∂t De tal manera que el principio de conservación de la masa establece lo siguiente:

∂pv y ∂pv x ∂pv z ∂ dxdydz + dxdydz + dxdydz + ( pdxdydz ) = 0 ∂x ∂y ∂z ∂t y, puesto que el volumen elemental escogido no cambia con el tiempo, la ecuación anterior se puede simplificar y resulta:

∂pv x ∂pv y ∂pv z ∂p + + + = 0( 4.1a ) ∂x ∂y ∂z ∂t O bien, recordando que

div( pv ) =

∂pvx ∂pv y ∂pvz + + , ∂x ∂y ∂z

La ecuación anterior también se expresa en la forma

div ( pv ) +

∂p = 0( 4.1b ) ∂t

Las ecs. (4.1ª Y b) son dos formas de expresar la ecuación diferencial de continuidad, que es la más general para un flujo compresible no permanente; admite las siguientes simplificaciones: a) fluido compresible permanente

( ∂p / ∂t = 0) div( pv ) = 0( 4.2 ) b) flujo incompresible no permanente (p = constante)

divν = 0( 4.3)

c) flujo incompresible no permanente

∂p   = 0  p = cons tan te, ∂t   divν = 0

Igual que la Ec. (4.3) para un flujo incompresible, sea o no permanente. Problema 4.1 un flujo incompresible permanente, con simetría axial respecto del eje z (Fig. 4.2), esta limitado por una superficie sólida (con la misma simetría) cuya forma esta definida por la ecuación zr 2 = b (r, radio medido desde el eje z, y b una constante) y tiene un campo de velocidades dado por las componentes en coordenadas cilíndricas: v r = ar ; vθ = 0; v z = −2az. a) demostrar que se satisface la ecuación diferencial de continuidad. b) Determinar la expresión para el gasto a través de la sección horizontal A-A y de la sección cilíndrica B-B c) Determinar la velocidad en el punto P(r = z =1.5m) cuando Q = 10.64m/seg. (ref. 20)

Solución a). El campo de velocidades, definido en coordenadas cilíndricas, equivale a las siguientes expresiones en coordenadas cartesianas.

v x = ax v y = ay v z = −2az

Resulta entonces que

divν = a + a − 2a = 0 Esto es, se satisface la ecuación de continuidad (4.3) y se verifica que el flujo es incompresible. Para los restantes puntos conviene mas utilizar las coordenadas polares.

Solución b). Para la sección horizontal A-A, el gato es b z

Q = − ∫ 2π r ( − 2az ) dr 0

b

r2  z Q = 4πaz   = 2πab  2 0 Para la sección cilíndrica B-B se tiene: b r2

Q = ∫ 2πr ( ar ) dz = 2πar [ z ] 2

b r2 0

0

Q = 2πab c) para el punto P:

b = zr 2 = 1.5 * 2.25 = 3.375m 2 Y, considerando el valor de Q, se tiene entonces que

a=

Q 10.64 = = 0.502 seg −1 2πb 2 * 3.1416 * 3.375

Por tanto, la magnitud de la velocidad en el punto P, es:

2

v = v r + v z2 = a r 2 + 4 z 2 = 0.502 2.25 + 4 * 2.25 v = 1.684m / seg ECUACIÓN DE BERNOULLI En la Fig. 11.1 se presenta un conducto a través del cual existe un flujo de un fluido incompresible (líquido). Vamos a asumir que el flujo sea permanente y que no existe transferencia de masa a través de las paredes del conducto es decir, que la cantidad de fluido que entre por una sección determinada del conducto es decir, que la cantidad de fluido que entre por una sección determinada del conducto sea igual a la que sale por otra sección en el mismo intervalo.

Aplicando el principio de la conservación de la energía, el cual dice que:

E1 + W1-2 = E2

……….11.1

En donde: E1 = energías de las partículas del fluido en la sección 1 E2 = idem en la sección 2 W1-2 = trabajo necesario para llevar una partícula de fluido de la sección 1 a la sección 2. Como la energía en cada punto se divide en energía cinética y en energía potencial, tenemos que de acuerdo con la ecuación 11.1 ECIN 1 +EPOT 1 +W1-2 = ECIN 2 +EPOT 2…………………………1 Sabemos que ECIN = 1 / 2 mv2

y que EPOT = mgz

El trabajo de 1 a 2 se puede ver así: en el sentido del flujo actúa la fuerza F1 = P1A1, la cual ayuda a trasladar las partículas del punto 1 al punto 2; la fuerza F2 = P2A2 actúa en sentido contrario, es decir, trata de impedir que las partículas del fluido ponen del punto 1 al punto 2. A parte de estas dos fuerzas, existe otra que trata de impedir el flujo de 1 y 2, esta es la fuerza de rozamiento entre las paredes del conducto y las partículas del fluido en contacto con ellas. Sin embargo en el análisis siguiente vamos a considerar despreciable esta última fuerza. La fuerza F1, en un instante pequeño de tiempo t mueve ciertas partículas de fluido una distancia

l1 ; como el fluido es incompresible, este movimiento se transmite hasta el punto 2, en

el cual las partículas se desplazan una distancia

l2 . Entonces el trabajo de 1y 2 podemos

expresarlo como:

W1− 2 = F1l1 − F2l2 W1− 2 = P1 A1l1 − P2 A2 l2 ..........................................2

Como las distancias

l1 y l2 son pequeños podemos considerar que A1l1 = V1 y

A2l2 = V2 en donde V1 y V2 son los volúmenes desplazados en un instante pequeño de tiempo (t). Para V1 = V2 ya que el flujo es permanente compresible y sin transferencia de masa a través de las paredes del conducto, con esto podemos establecer que: V1 = V2 = V

sustituyendo en 2 nos queda: W1-2 = P1V1 – P2V2 = (P1 – P2)V……………………………….3

Poniendo el volumen en función de la densidad y la masa del fluido tenemos:

W1− 2 = ( P1 − P2 )

m .....................................4 δ

Sustituyendo las energías potencial y cinética en cada punto y el trabajo de 1 a 2 en la ecuación 1 nos queda:

1 2 m 1 mv1 + mgz1 + ( P1 − P2 ) = mv22 + mgz2 ...................5 2 p 2 Dividiendo entre mg:

V12 1 V2 + Z1 + ( P1 − P2 ) = 2 + Z 2 .........................................6 2g pg 2 g Recordando que pg =

γ y ordenando los términos de acuerdo con su subíndice a uno

y otro lado del signo igual, tenemos:

P V2 V12 P + Z1 + 1 = 2 + Z 2 + 2 .......................................11.2 2g γ 2g γ

La ecuación anterior se conoce como ecuación de Bernoulli en la cual se han despreciado las pérdidas de energía por fricción y no se ha considerado la adición de energía por medios externos al flujo. Si consideramos las pérdidas por fricción y tenemos algún dispositivo que añada energía al flujo entre los puntos 1 y 2, la ecuación de Bernoulli tiene la siguiente forma:

V12 P V2 P + Z 1 + 1 + H A − H F 1− 2 = 2 + Z 2 + 2 .....................................11.3 2g γ 2g γ

En donde: V1 = velocidad media del fluido en la sección 1 V2 = idem en la sección 2 Z1 = distancia vertical desde el plano de referencia al punto 1 Z2 = idem en el punto 2 Estas distancias Z son positivas si el punto se encuentra por encima del plano referencia; son negativas si el punto se encuentra por debajo del plano y son cero si el punto coincide con dicho plano. P1 = presión del fluido en el punto 1 P2 = presión del fluido en el punto 2

RECOMENDACIONES PARA LA APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI  Siempre se aplica en la dirección del flujo  Generalmente se aplica desde el inicio hasta el final de la instalación (casi siempre el inicio y el final de una instalación, se considera la superficie libre del líquido en el deposito de aspiración y de descarga, respectivamente).  Los puntos elegidos como 1 y 2 deben ser puntos en los cuales sea posible determinar su presión, velocidad y posición (altura) con respecto al plano de referencia  Si en un problema dado al aplicar la ecuación de Bernoulli nos quedara más de una incógnita, posiblemente sea necesario aplicar también la ecuación de continuidad o aplicar nuevamente Bernoulli seleccionando otros puntos de la instalación.

2.1.2 ECUACION DEL GASTO GASTO EN MASA O MÁSICO Se define como la cantidad de fluido, expresada en unidades de masa, que pasa por una sección determinada en la unidad de tiempo. Es decir: •

M = PAV

Ó

•

M = PQ

GASTO EN PESO (W) Cantidad de fluido, expresada en unidades de peso, que pasa por una sección determinada en la unidad de tiempo y se puede expresar como: •

W = γAV En la fig. 3.13, un elemento dA, de la superficie S (limitada por la curva C) y que contiene al punto cualquiera P, se puede representar por el vector diferencial de superficie: dA = dAn Donde n se define como un vector unitario normal a la superficie en el punto P, cuyo sentido positivo se establece por convención.

Figura 3.13. Concepto de gasto. La velocidad v que corresponde al punto P tiene en general una dirección distinta a la de dA. En un intervalo dt, el volumen de fluido que atraviesa el elemento de superficie dA queda determinado por el producto escalar de los vectores: el diferencial de arco ds sobre la línea de corriente que pasa por P y el vector diferencial de superficie dA. Entonces, considerando que ds = v dt, el volumen de fluido que pasa a través del elemento dA vale: d v = ds . dA = v . dA dt El flujo de volumen a través de toda la superficie S queda definido por la ecuación

Q=

dv = v.dA( 3.11) dt ∫∫ v

Cuyas dimensiones son

[ L T ] . Este flujo de volumen se conoce como gasto o caudal. 3

−1

Si en un flujo la superficie S se escoge de modo que las líneas de corriente sean normales a ella en cada punto, de la Ec. (3.11) el gasto se puede calcular de la manera siguiente:

Q = ∫∫ vdA( 3.12 ) A

Se llama velocidad media, a través de la superficie S de área A, al promedio calculado así:

V =

∫∫ v.dA A

A

=

Q ( 3.13) A

Y equivale a suponer que la velocidad se distribuye uniformemente sobre toda la superficie, con un valor constante V y en dirección perpendicular a la misma. Problema 3.6. En el fluido mencionado en el problema 3.4, determinar el gasto, por unidad de ancho, del chorro que pasa a través de una superficie horizontal localizada a y=1.5m y limitada por las abscisas x=-0.50m y x=0.50m Solución: el vector velocidad para el fluido es

v = 3 xi − 3 yj Y el vector diferencial de superficie es dA=-dxj Haciendo el producto escalar indicado en la EC. (3.11), esta se escribe como 0.50

Q=

∫ 3ydx

− 0.50

Donde los limites de integración corresponden a las abscisas. La integración efectuada con y=cte, conduce al siguiente resultado:

Q = 3y

[ x]

0.50 − 0.50

= 3y

Y para y=1.5m vale

2.2CONSERVACION DE LA ENERGIA. Primero procederemos a distinguir entre dos tipos de fuerzas, conservativas y no conservativas. Consideremos un ejemplo de cada tipo y después discutimos cada ejemplo, desde varios puntos de vista diferente, pero relacionados.

Imaginemos un resorte con uno de sus extremos asegurado a una pared rígida, como se muestra en la figura 8-1. Deslicemos, directamente hacia el resorte, un bloque de masa m con la velocidad v; suponemos en el plano horizontal no tiene fricción, y que el resto es ideal, es decir, que obedece la ley de Hooke (Ec.2-7),

F = − Kx,

(2.3)

Donde F es la magnitud de la fuerza ejercida por el resorte, cuando su extremo libre se desplaza la distancia x. Después de que el bloque toca el resorte, la rapidez, y con ella la energía cinética del bloque decrecen, hasta que finalmente el bloque alcanza el reposo por la acción de la fuerza del resorte, como en la figura 8-1b. Entonces, cuando se extiende el resorte comprimido, el bloque invierte su movimiento; gana rapidez y energía cinética y, cuando pasa de nuevo por la porción del contacto inicial con el resorte, encontramos que tiene la misma rapidez y energía cinética que la que tenia originalmente, solo que ha cambiado el sentido del movimiento. El bloque pierde energía cinética durante parte de su movimiento, pero la gana totalmente durante la otra parte de su movimiento, cuando regresa a su punto de partida.

La energía cinética de un cuerpo se puede interpretar como su capacidad para hacer trabajos en virtud de su movimiento. Claramente se ve en la figura anterior, que al completarse al viaje redondo, la capacidad del bloque para hacer trabajo permanece igual; se ha conservado. La fuerza elástica ejercida por un resorte ideal y otras fuerzas que actúan en la misma forma, se llama conservativas. La fuerza de la gravedad también es conservativa; si lanzamos una pelota verticalmente hacia arriba (si la resistencia

del aire es depresiable), regresa hasta

nuestra mano con la misma energía cinética que tenia cuando dejo nuestra mano.

Si por el contrario, unja partícula sobre la que actúa una o mas fuerzas, regresa a su posición inicial con mas o menos energía cinética de la que tenia inicialmente, entonces, en su viaje redondo ha cambiado su capacidad para hacer trabajos, su capacidad para hacer trabajos no se conserva

y cuando menos una de las fuerzas que actúan se identifican como no

conservativas. La fricción se opone al movimiento del bloque, sin importar en que sentido se mueve, y se encuentra que el bloque regresa a su punto de partida con menos energia cinetica de la que tenia inicialmente. Decimos que esta fuerza y otras que se comportan de la misma manera, son no conservativas. La fuerza de inducción en un betatrón (sec. 32-6), también es una fuerza no conservativa. En lugar de disipar energía cinética, la produce, de tal manera que un electrón que se mueva en la órbita circular del betatrón, regresará a su posición inicial con más energía cinética que la que tenía originalmente. En un viaje redondo el electrón gana energía cinética, como debe hacerlo, si el betatrón ha de ser efectivo. Resumiendo: una fuerza es conservativa si la energía cinética de una partícula sobre la que actúa, regresa a su valor inicial después de un viaje redondo. Una fuerza es no conservativa, si la energía cinética de la partícula cambia después de un viaje redondo. En esta definición suponemos que la fuerza en cuestión sólo es una de las que hacen trabajo sobre la partícula. Si más de una fuerza hace trabajo, consideraremos que los efectos atribuibles a cada una de estas fuerzas se pueden analizar separadamente.

2.2.1ECUACION DE LA ENERGIA Ecuación del movimiento Si no se incluyen los efectos termodinámicos en el flujo ni la adición o extracción de energía mecánica desde el exterior (bomba o turbina), es posible derivar las ecuaciones del movimiento- aplicables al flujo de líquidos- a partir de la segunda ley de Newton. Para ello es necesario considerar las fuerzas que se oponen al movimiento, las cuales desarrollan un trabajo mecánico equivalente a la energía disipada al vencer dichas fuerzas. Cuando se aplica la segunda ley de newton a un elemento diferencial de masa de liquido, en la forma dF=dm a, se obtienen las ecuaciones del movimiento- a lo largo de una línea de

corriente- para el flujo de un liquido real, no permanente; puede generalizarse para una vena liquida en flujo unidimensional. La derivación de dicha ecuación corresponde a las condiciones particulares del movimiento según el sistema natural de coordenadas. Para el planteo de las ecuaciones es necesario establecer el equilibrio dinámico de las fuerzas en las direcciones tangencial, normal y binormal, que actúan sobre el elemento líquido (mostrado en la figura 4.6), con la fuerza de peso como única fuerza de cuerpo. Dicho elemento encierra al puno o, en el cual existen los valores v, p, ρ ,τ (velocidad, presión, densidad, esfuerzo de fricción). Las componentes de las fuerzas que actúan sobre el elemento en la dirección +s son las siguientes: la fuerza de superficie resultante de un gradiente de presiones en la dirección del movimiento; para la dirección positiva de la coordenada curvilínea s (fig. 4.6 b) es:

1 ∂p  1 ∂p  ∂p   ds dndb −  p + ds dndb = − dsdndb p− 2 ∂s  2 ∂s  ∂s  

la fuerza de superficie, debida a la resistencia al movimiento, se puede evaluar en términos del esfuerzo tangencial de fricción ‫זּ‬, el cual varia únicamente en la dirección n dado que en la inmediata vecindad del puno P no hay variación de la velocidad en la dirección b. esta fuerza es:

1 ∂τ  1 ∂τ  ∂τ   dn dsdb − τ − dn dsdb = dndsdb τ + 2 ∂n  2 ∂n  ∂n  

c) la componente de la fuerza de cuerpo, debida al propio peso del elemento. Con

cos θ =

∂z , vale: ∂s

− pgdsdndb cos θ = − pgdsdndb

∂z ∂s

La segunda ley de newton- aplicada al elemento- establece que la suma de estas fuerzas es igual a la masa del elemento, multiplicada por la componente a s de la aceleración dada por la EC.(3.5ª). Puesto que en todos los términos que representan fuerzas aparece el volumen del elemento ds dn db, resulta entonces:

 ∂  v 2  ∂v  ∂z   ∂p ∂τ − ∂s + ∂n − pg ∂s  dsdndb = p  ∂s  2  + ∂t  dsdndb     Dado que p ds dn db representa la masa del elemento, si los términos de la ecuación anterior se dividen entre aquella, cada término representara una fuerza por unidad de masa. Resulta entonces que esta es la primera ecuación diferencial del movimiento.

NOTA: Las dimensiones del elemento son ds, dn y db, medidas a través de su centro; v, p, p y 't, los valores medidos en P. Figura 4.6 b). Componentes de las fuerzas que actúan sobre el elemento.

El primer término es debido gradiente de presiones en la dirección la línea de corriente; el segundo, la fuerza de resistencia causada por la fricción interna y que induce la disipación de energía; el tercero, la fuerza de peso (todas estas fuerzas son por unidad de masa); finalmente, el cuarto término (segundo miembro) es el cambio de energía cinética aceleración convectiva) que experimenta unidad de masa a lo largo de la línea corriente; y, el último, la aceleración local de la misma. La Ec. (4.8a) se ha derivado por simplicidad para un elemento de área transversal constante. Sin embargo, el mismo resultado se obtiene si el elemento es divergente (Ref. 12). En la misma forma se establece el equilibrio dinámico del elemento, ahora en la dirección de la normal principal a la línea de corriente, sobre la cual la componente de la aceleración está

dirigida en sentido negativo de n y está expresada por la Ec. (3.5b) y donde, además, no existe fuerza de fricción. Resulta:

Donde r es el radio local de curvatura de la línea de corriente. Dividiendo entre p ds dn db, se tiene:

La Ec. (4.8b) permite determinar la distribución de la presión en la dirección de la normal principal de la línea de corriente, si se conoce la distribución de v sobre la misma. Es válida para el flujo compresible permanente o no y sus diferentes términos representan a las fuerzas por unidad de masa. En el caso de que la línea de corriente sea de curvatura despreciable (r=∞), el segundo termino de la Ec. (4.8 b) vale cero. Finalmente, del equilibrio dinámico según la dirección de la binormal, resultaría:

−

1 ∂p ∂z −g = 0( 4.8c ) p ∂b ∂b

Debido a que a b = 0 Ec. (3.5 c). La ecuación (4.8c) es valida para el flujo permanente o no permanente y sus términos también representan a fuerzas por unidad de masa. Si se trata del flujo de líquidos los efectos térmicos no tienen influencia en p y, además, es común que los cambios de p y τ , con la posición del punto, sean más tar p (aun en golpe de ariete). Por tanto, las Ecs. (4.8) para el flujo de líquidos se pueden escribir en forma:

∂  p ∂z ∂  τ  ∂  v 2  ∂v −   − g +   =   + ( 4.9a ) ∂s  ρ  ∂s ∂n  ρ  ∂s  2  ∂t ∂  p ∂z v2 −   − g = − ( 4.9b ) ∂n  ρ  ∂n r −

∂  p ∂z   − g = 0( 4.9c ) ∂b  ρ  ∂b

Todavía más considerando las ecuaciones (3.6) y (3.8), la forma vectorial de las ecuaciones del movimiento (4.9 a, b, c) es (Ref.12):

 v2  p  ∂ τ  ∂v − grad  + gz  +  s = grad   + rotv * v + ( 4.9) ∂t ρ  ∂n  ρ   2  LIQUIDA

222 SOLUCION PARA UNA VENA

El considerar que los valores de z , ρ , p, hr Yv, sobre una línea de corriente ideal que coincidiera con el eje de una vena liquida, fueran representativos de cada sección, no implicaría un error apreciable y la Ec. (4.12) seria igualmente valida para la vena liquida. Esta consideración es suficientemente precisa por lo que respecta a los términos que contienen las cuatro primeras magnitudes, pero será menos exacta en lo que se refiere a los que contienen a

v. En efecto; al existir una distribución de velocidades en la sección, que además se aparta del valor medio v (Fig. 4.7), se comete un error en el cálculo de dicho valor medio.

Puesto que en las ecuaciones (4.11) y (4.12) el término

v2

2 g representa la energía cinética

que posee la unidad de peso, la que corresponde al peso del líquido que atraviesa el área dA en la unidad de tiempo será: γvdAv 2 / 2 g . En la misma forma, la energía cinética que posee todo el peso del liquido que fluye a través de una sección de la vena liquida, en la unidad de tiempo, es γVAαV 2 / 2 g. donde α corrige el error de considerar el valor medio de la velocidad. Se debe entonces satisfacer lo siguiente:

α

V2 v2 γVA = ∫∫ γvdA 2g 2g A

Puesto que

γ representa el valor medio del peso especifico en toda la sección, resulta que

Por un razonamiento análogo con el último termino de la Ec. (4.12), se tiene Los coeficientes α ,Y , β se conocen como coeficientes de coriolis y de boussinesq, respectivamente. Con estas correcciones la Ec. (4.12) resulta así: Que es la ecuación diferencial de la energía para una vena liquida, llamada también ecuación dinámica. Si esta ecuación se integra entre dos secciones, 1 y 2 de la vena líquida, se obtiene:

2

Es decir, la ecuación general de la energía para una vena liquida, donde

∑h

r

representa la

1

disipación de energía interna del flujo, entre las secciones 1 y 2, que además, incluye la constante de integración C (t). Interpretación de la ecuación de la energía Con el objeto de entender mejor las diferentes aplicaciones de la Ec. (4.19), es adecuado hacer una interpretación física de los diferentes términos que intervienen en ella. El análisis de cada uno de sus términos muestra que corresponden a los de una longitud o carga. El termino z, medido desde un plano horizontal de referencia, se llama carga de posición;

p

γ es la carga

1 ∂βV 2 ds de presión; αV / 2 g la carga de velocidad; ∑ hr la perdida de carga y g ∫1 ∂t 1 2

2

2

la

carga correspondiente al cambio local de la velocidad. La Ec. (4.19) establece las relaciones entre las diferentes transformaciones de la energía mecánica del líquido, por unidad de peso del mismo FL / F . La carga de posición es la energía correspondiente al trabajo mecánico a la presión; la carga de velocidad es la energía cinética de toda la vena liquida; la perdida de carga es la energía transformada en otro tipo de energía (transferencia de calor) que, en el caso de los líquidos, no es utilizable en el movimiento; y, finalmente, la carga correspondiente al cambio local de la velocidad es la energía utilizada para efectuar dicho cambio.

[

]

∂β V = 0 y la Ec. (4.19) se reduce a la expresión: ∂t 2 p1 V12 p2 V22 z1 + + α1 = z2 + +α2 + ∑ hr ( 4.20 ) γ 2g γ 2g 1

a) Si el flujo es permanente,

2

b) Si, además, no hay pérdida de energía,

∑h

r

= 0 y los coeficientes α 1 = α 2 = 1 , la

1

Ec. (4.20) adopta la forma llamada ecuación de Bernoulli para una liquida, esto es:

z1 +

p1 V1 p V2 + = z 2 + 2 + 2 ( 4.21) γ 2g γ 2g

p V2 c) Si H = z + + α representa la energía por unidad de peso que tiene el líquido γ 2g en una determinada sección, la cual es medida desde el plano horizontal de referencia, la Ec. (4.20) se simplifica así: 2

H 1= H 2 + ∑ hr ( 4.22 ) 1

En una determinada sección la energía de un volumen v del líquido, respecto del plano horizontal de referencia, es: E = γHv Y, por definición de energía y potencia, en esa sección esta ultima vale:

P = γQH ( 4.23)

Donde: γ Peso especifico del liquido, en

kg / m 3

H Energía total respecto del plano de referencia, en m; Q Gasto en la sección considerada, en m 3 / seg ; P Potencia del liquido, en kgm / seg . Esto es, si se multiplican ambos miembros de la Ec. (4.22) por

γQ , para el flujo permanente, 2

esta ecuación se puede también expresar en la forma

P1 = P2 + ∑ Pr ( 4.24 ) 1

Una interpretación física de cada uno de los términos de la Ec. (4.19) para una conducción forzada con escurrimiento no permanente, se muestra en la Fig. 4.8, la cual tendría validez para un instante determinado. Con este esquema se pueden hacer las siguientes definiciones. 1. La línea de energía une los puntos que indican en cada sección la energía de la corriente. 2. La línea de cargas pieloométricas o gradiente de cargas de presión, une los puntos que marcan en cada sección la suma de las cargas por arriba del y plano de referencia. De acuerdo con estas definiciones la línea de cargas piezométricas está separada de la línea de energía, una distancia vertical correspondiente a cada sección.

Al mismo tiempo se pueden hacer las siguientes generalizaciones. 1. La línea de energía no puede ser horizontal o con inclinación ascendente en la dirección del escurrimiento, si el líquido es real y no adquiere energía adicional desde el exterior. La diferencia de nivel de la línea de energía en dos puntos distintos representa la pérdida de carga o disipación de energía por unidad de peso del líquido fluyente. 2. La línea de energía y la de cargas piezométricas coinciden y quedan al nivel de la superficie libre para un volumen de líquido en reposo (por ejemplo, un depósito o un embalse). 3. En el caso de que la línea de cargas piezométricas quede en algún tramo por debajo del eje de la vena líquida, las presiones locales en ese tramo son menores que la presión cero de referencia que se utilice (comúnmente la presión atmosférica).

En la Fig. 4.9 se muestra la disposición de las líneas de energía, y de cargas piezométricas, de una instalación hidroeléctrica donde el flujo es permanente; la turbina aprovecha la energía disponible Ha., b. En la Fig. 4.10 se muestra el mismo esquema, pero en este caso se trata de una instalación de bombeo. Para los dos casos la Ec. (4.19) se escribe como sigue:

En la instalación hidroeléctrica la turbina queda generalmente muy próxima a la sección 2 y el término es despreciable. Por lo que respecta al término Ha., b éste se ha empleado en la Ec. (4.25) como una energía cedida o añadida al flujo y tiene las dimensiones de una longitud. En efecto, por definición de potencia (Ec. 4.23) tenemos que:

Es la energía neta por unidad de peso que cede o se transmite al líquido por efecto de la máquina; tiene signo positivo en la Ec. (4.25) cuando el líquido cede energía (turbina) o negativo cuando la recibe (bomba). Aún más, si P. es la potencia nominal de la máquina y 1}su eficiencia, entonces

Si se trata de una turbina; y

si es una bomba. En el caso de una conducción a superficie libre en escurrimiento continuo (figura 4.11), con líneas de corriente de curvatura despreciable y paralelas, es más adecuado medir la carga de posición desde el plano de referencia hasta el punto más bajo de la sección transversal, esto es, hasta la plantilla del canal. La carga de presión coincide con el tirante y de la sección, es decir, con el desnivel entre

la superficie libre y la plantilla, siempre que sea pequeño el ángulo θ de inclinación de la plantilla. Esto equivale a considerar que la distribución de presiones es hidrostática y que no existen componentes de la aceleración normales a la dirección del flujo.

Finalmente, la carga de velocidad se mide desde el nivel de la superficie libre del agua hasta la línea de energía. En el caso de que sean los ángulos e > 10', la carga de presión es distinta y se evalúa como , en que d es el tirante y medido en dirección perpendicular a la plantilla del canal; o bien, siendo y , donde y es el tirante y medido verticalmente. De este modo, la suma de las cargas de posición, presión y velocidad es

donde V representa la velocidad media en La sección perpendicular a la plantilla correspondiente al tirante d. La pérdida de energía que se produce al escurrir un líquido real puede deberse no sólo al efecto de fricción entre las partículas del líquido y las fronteras que confinan a la vena líquida, sino -además- al efecto de separación o turbulencias inducidas en el movimiento al presentarse obstáculos o cambios bruscos en la geometría. El primer tipo de perdida se conoce como perdida de energía por fricción; es proporcional a la longitud de recorrido y suele adquirir gran importancia en estructuras largas. El segundo tipo de perdida se conoce como perdida menor y se concentra en el sitio mismo en que se origina.

2.2.3ANALISIS DE LA ECUACION DE LA ENERGIA El primer término es debido gradiente de presiones en la dirección la línea de corriente; el segundo, la fuerza de resistencia causada por la fricción interna y que induce la disipación de energía; el tercero, la fuerza de peso (todas estas fuerzas son por unidad de masa); finalmente, el cuarto término (segundo miembro) es el cambio de energía cinética aceleración convectiva) que experimenta unidad de masa a lo largo de la línea corriente; y, el último, la aceleración local de la misma. La Ec. (4.8a) se ha derivado por simplicidad para un elemento de área transversal constante. Sin embargo, el mismo resultado se obtiene si el elemento es divergente (Ref. 12). En la misma forma se establece el equilibrio dinámico del elemento, ahora en la dirección de la normal principal a la línea de corriente, sobre la cual la componente de la aceleración está dirigida en sentido negativo de n y está expresada por la Ec. (3.5b) y donde, además, no existe fuerza de fricción. Resulta:

Donde r es el radio local de curvatura de la línea de corriente. Dividiendo entre p ds dn db, se tiene:

La Ec. (4.8b) permite determinar la distribución de la presión en la dirección de la normal principal de la línea de corriente, si se conoce la distribución de v sobre la misma. Es válida para el flujo compresible permanente o no y sus diferentes términos representan a las fuerzas por unidad de masa. En el caso de que la línea de corriente sea de curvatura despreciable (r=∞), el segundo termino de la Ec. (4.8 b) vale cero. Finalmente, del equilibrio dinámico según la dirección de la binormal, resultaría:

−

1 ∂p ∂z −g = 0( 4.8c ) p ∂b ∂b

Debido a que a b = 0 Ec. (3.5 c). La ecuación (4.8c) es valida para el flujo permanente o no permanente y sus términos también representan a fuerzas por unidad de masa.

Si se trata del flujo de líquidos los efectos térmicos no tienen influencia en p y, además, es común que los cambios de p y τ , con la posición del punto, sean más tar p (aun en golpe de ariete). Por tanto, las Ecs. (4.8) para el flujo de líquidos se pueden escribir en forma:

∂  p ∂z ∂  τ  ∂  v 2   − g +   =  ∂s  ρ  ∂s ∂n  ρ  ∂s  2 ∂  p ∂z v2 −   − g = − ( 4.9b ) ∂n  ρ  ∂n r −

−

 ∂v  + ( 4.9a )  ∂t

∂  p ∂z   − g = 0( 4.9c ) ∂b  ρ  ∂b

Todavía más considerando las ecuaciones (3.6) y (3.8), la forma vectorial de las ecuaciones del movimiento (4.9 a, b, c) es (Ref.12):

 v2 p  ∂ τ  − grad  + gz  +  s = grad  ρ  ∂n  ρ   2

 ∂v  + rotv * v + ( 4.9) ∂t 

2.2.5 ECUACION DE POTENCIAS EN BOMBAS Y TURBINAS

Los fluidos son impulsados a través de las tubería y equipos de bombas, vertedores, sopladores y compresores. Estos aparatos retroalimentan la energía mecánica de la sustancia, aumentando su velocidad, presión y/o altura. Los aparatos más usados son los que proporcionan energía por desplazamiento positivo o los que lo hacen por fuerzas centrífugas. Las bombas se utilizan para mover líquidos, mientras que los vertedores, sopladores y compresores son empledos para impulsar gases y vapor. Al usar bombas la densidad del fluido es constante; puede utilizarse para subir un líquido, forzándolo a entrar a un recipiente o simplemente darles suficiente presión para que fluya por la tubería. No importa cual sea el servicio requerido para utilizar la bomba; en todos los casos se deben tomar encuenta las diferentes formas de energía para favorecer su trabajo. En el siguiente diagrama, la bomba instalada en el sistema provee energía para extraes un líquido del recipiente 1 y descargarlo a flujo constante en 2. El líquido entra a la conexión de succión de la bomba en el punto A y llega al punto B. Se puede plantear una ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B. Como en este caso la única fricción es la que se produce dentro de la bomba, esta se mide con la eficiencia de la misma

(ub

2

− ua 2

) 21gc + (Zb − Za) gcg + ( Pb − Pa ) P1 = − Mϕ

Las cantidades entre paréntesis se denominan cabezas, cargas o columnas. Hay cargas de velocidad. De altura o de presión. La carga total esta definida por:

H=

g P u2 +Z + ρ gc 2 gc

En las bombas la diferencia de altura entre la succión y la descarga es despreciable, por lo que Za y Zb pueden no tomarse en consideración. Inclusive la diferencia entre ub y ua suelen ser despreciables. Si Ha es la carga de succión Hb es la columna de descarga:

( Hb − Ha ) = ∆H = Pb − Pa ρ

La carga o cabeza se expresa en metros o pies de líquidos (cubicos).

POTENCIA HIDRÁULICA Es el trabajo requerido para cambiar la posición, presión y velocidad de un líquido en un tiempo determinado

ϕH =

ϕ (M ) M

ϕ H = ∆HM [ =]

Kgm Kg HP Kgm × × = HP Kg seg 76 seg

M = gasto másico ( = ) M θ −1

ϕ H = potencia hidráulica (=) E Potencia Es la energía consumida por la bomba para dar el trabajo que requiere el fluido. También recibe el nombre de potencia al freno.

ϕ=

ϕ H ∆HM = ;η = eficiencia ( = ) adimensional también η η

ϕ=

C a ρ∆H 75η

donde: Ca = caudal en m3/seg

ρ = densidad en Kg/m3 ϕ = potencia en CV H = carga o cabeza en metros

75 es un factor de conversión de

Kgm a CV seg

BOMBAS CENTRÍFUGAS En esta bomba la energía o cabeza se le aplica líquido por medio de fuerza centrífuga. El tipo más común es el de las bombas con cabeza de caracol (véase en la figura); el líquido entra cerca del eje del impulsor, que gira a alta velocidad, y es arrastrado rápidamente a través de un espiral que se va haciendo cada vez más amplia

Figura Las paletas del impulsor son curvas para asegurar el flujo suave del líquido. La carga de velocidad aplicada al líquido se convierte gradualmente en carga de presión, al reducirse la unidad del líquido.

En la mayoría de las bombas la sección del orificio de admisión es mayor que el de presión, esta regla casi y en general queda alterada en las bombas de giro bi-direccional donde ambos orificios presentan el mismo diámetro. La razón de las diferencias de diámetros anotada, queda justificada por la necesidad de ingreso de aceite a la bomba al valor más bajo posible (máximo 1,20 metros por segundo) quedará como consecuencia una mínima pérdida de carga, evitándose de esta forma el peligro de la cavitación. En ningún caso debe disminuirse por razones de instalación o reparación el diámetro nominal de esta conexión que invariablemente esta dirigida al depósito o tanque como así también mantener la altura entre el nivel mínimo de aceite de este último y la entrada en el cuerpo de la bomba (Ver Fig. 2.6) de acuerdo al indicado por el fabricante. Para las bombas a engranajes, paletas y pistones sin válvulas, los fabricantes dan valores de succión del orden de los 4 a 5 pulgadas de mercurio cuando ellas operan con aceites minerales, disminuyendo este valor a 3 pulgadas de mercurio cuando las bombas operan con fluidos sintéticos. En general podemos decir que la distancia h de la Fig. 2.6. no debe superar nunca los 80 centímetros. Las bombas de pistones con igual válvula de admisión y salida no proveen una

succión suficiente para elevar el aceite y funcionar sin cavitación por ello se recurre al llenado o alimentación por gravedad como vemos en la Fig. 2.7.

2.2.6 APLICACIONES La observación de lo anotado permitirá el funcionamiento correcto de las bombas instaladas asegurando su eficiencia, mediante una aspiración correcta y preservando la vida útil de las mismas al limitar las posibilidades de la cavitación por una altura a excesiva o una sección de aspiración menor es la indicada.Uno de los problemas que frecuentemente se presentan, es la aspiración de aire por parte de la bomba, teniendo por consecuencia un funcionamiento deficiente, perdida de presión, excesivo desgaste y funcionamiento sumamente ruidoso.Afortunadamente los puntos por los cuales puede ingresar aire a la bomba están perfectamente localizados. Consideraremos ahora los que se encuentran entre la bomba propiamente dicha y el tanque.

En la Fig. 2.8 observamos una disposición corriente de una tubería de succión en ella cada conexión de accesorio es decir 1, 2 , 3 y 4 presenta un camino propicio para el ingreso de aire si bien esta tubería no soporta presión, el empaquetado de los accesorios y conexiones señaladas, debe efectuarse con extremo cuidado para impedir que , por succión de la bomba , se introduzca aire. Cuando la tubería de succión se acopla a la bomba mediante una brida A es necesario prestar especial atención al aro sello o junta existente entre la brida y el cuerpo de la

bomba, ya que su estado determinará la posibilidad de ingresa de aire. Un método que si bien es poco ortodoxo resulta rápido y eficiente para el estado de los puntos A, 1 ,2 ,3 y 4 o similares, es aplicar mediante un pincel espuma obtenida con agua y detergente. Una rápida aparición de las burbujas nos indicará el sitio exacto por donde se incorpora aire al circuito. El extremo de la tubería de succión termina en el tanque, a través de una coladera o totalmente libre, según el caso, pero en ambos su ubicación debe quedar 2 pulgadas por debajo del nivel mínimo del tanque, eliminando de esta forma, la última posibilidad de ingreso de aire.

2.3CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO La ecuación de la cantidad de movimiento en un cuerpo libre o volumen de control se deriva de la segunda ley de Newton. Se conoce como la cantidad de movimiento de un elemento de masa M al producto de esta por su velocidad. Por lo tanto, la segunda ley de Newton establece lo que sigue. “La suma vectorial de todas las fuerzas F que actuan sobre una masa de fluido es igual a la rapidez del cambio del vector lineal cantidad de movimiento de la masa del fluido”, es decir:

F=

d ( Mv ) dt

Fig. Derivación de la ecuación de la cantidad de movimiento para un volumen de control. Las fuerzas externas son de dos tipos:

a) Fuerza de superficie que actúa sobre la masa de fluido y, a su vez, pueden ser: Fuerzas Fp, normales a la frontera de la masa, que se pueden evaluar en términos de las intensidades de presión sobre la misma. Conviene aquí observar que la presión comprende, además de la presión estática, la dinámica ejercida por el flujo.

Fuerzas FT, tangenciales a la frontera de la masa, que se pueden medir en términos del esfuerzo tangencial sobre la misma. b) Fuerzas de cuerpo Fc, generalmente de precio propio la masa que fluye en la unidad de tiempo, a través de un elemento de superficie de dA de la que encierra al volumen de control (mostrado en la fig), es ρv • dA. Se recuerda que la magnitud del vector dA es igual al área del elemento de superficie; su dirección normal al mismo elemento; y –por convención- positivo si se dirige hacia afuera del volumen. Por lo tanto, ρv • dA. es posible si el fluido sale del volumen, dado que el producto escalar tendrá ese signo, y negativo en caso contrario. La variación en el tiempo, de la cantidad de movimiento a través del elemento dA será entonces

ρv( v • dA) En cualquier instante la masa de un elemento diferencial es ρdu , donde la densidad del elemento depende del instante que se considere y de la posición del mismo dentro del volumen de control. La cantidad de movimiento de dicho elemento de volumen será entonces: vρdu .

2.3.1 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO Las fuerzas debido al esfuerzo cortante se considera como la ecuación de fricción desde la frontera hacia el líquido y en ocasiones, puede ser difícil de evacuarlas. Las fuerzas del cuerpo pueden ser de cualquier tipo pero, en general serán fuerzas debidas al peso del volumen de control y aplicadas a su centro de gravedad. V = representa al vector de velocidad media del gasto Q que atraviesa una cierta posición de la superficie de control; se considera aplicado en el centro de gravedad y en la dirección normal a las porciones de área de la Sc. De esta manera cada producto

QβV que integra el término

Σ( QβV ) será un vector de la misma dirección y sentido de V se deberán efectuar cada término con un signo: posditivos si el gasto sale del volumen de control y negativo en caso contrario. Finalmente,

β representa el coeficiente de Buussinesq para corregir el efecto de

considerar una velocidad media en lugar de la verdadera distribución de velocidades sobre la proporción de área.

2.3.2 FUERZA HIDROSTÁTICA

Esta rama de la mecánica de fluidos se ocupa de las leyes de los fluidos en movimiento; estas leyes son enormemente complejas, y aunque la hidrodinámica tiene una importancia práctica mayor que la hidrostática, sólo podemos tratar aquí algunos conceptos básicos.

Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinámicas para los fluidos sólo pueden expresarse de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es incompresible e ideal, es decir, si se pueden despreciar los efectos del rozamiento y la viscosidad. Sin embargo, como esto nunca es así en el caso de los fluidos reales en movimiento, los resultados de dicho análisis sólo pueden servir como estimación para flujos en los que los efectos de la viscosidad son pequeños. a) Flujos incompresibles y sin rozamiento Estos flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, que afirma que la energía mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es constante a lo largo de una línea de corriente. Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido. El teorema de Bernoulli implica una relación entre los efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la presión disminuye. Este principio es importante para predecir la fuerza de sustentación de un ala en vuelo. Ecuación de continuidad: (para flujo estacionario e incompresible, sin fuentes ni sumideros, por evaluarse a lo largo de una línea de corriente). 1) Ley de conservación de la masa en la dinámica de los fluidos: A1.v1 = A2.v2 = cte.

Recordar que p = F/A

F = p.A

Flujo de volúmen: (caudal). = A .v [m3/s]

Ecuación de Bernoulli: (principio de conservación de la energía) para flujo ideal (sin fricción).

p/

= energía de presión por unidad de masa.

g.h = energía potencial por unidad de masa. v2/2 = energía cinética por unidad de masa. Ecuación de Bernoulli para flujo en reposo: v1 = v2 = 0 p1 +

.g.h1 = p2 +

.g.h2

b) Flujos viscosos: movimiento laminar y turbulento Los primeros experimentos cuidadosamente documentados del rozamiento en flujos de baja velocidad a través de tuberías fueron realizados independientemente por Poiseuille y por Hagen. El primer intento de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones matemáticas se debió a Navier e, independientemente, a Stokes, quien perfeccionó las ecuaciones básicas para los fluidos viscosos incompresibles. Actualmente se las conoce como ecuaciones de Navier-Stokes, y son tan complejas que sólo se pueden aplicar a flujos sencillos. Uno de ellos es el de un fluido real que circula a través de una tubería recta. El teorema de Bernoulli no se puede aplicar aquí, porque parte de la energía mecánica total se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso, lo que provoca una caída de presión a lo largo de la tubería. Las ecuaciones sugieren que, dados una tubería y un fluido determinados, esta caída de presión debería ser proporcional a la velocidad de flujo. Los experimentos demostraron que esto sólo era cierto para velocidades bajas; para velocidades mayores, la caída de presión era más bien proporcional al cuadrado de la velocidad. Este problema se resolvió cuando Reynolds demostró la existencia de dos tipos de flujo viscoso en tuberías. A velocidades bajas, las partículas del fluido siguen las líneas de corriente (flujo laminar), y los resultados experimentales coinciden con las predicciones analíticas. A velocidades más elevadas, surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo, o remolinos (flujo turbulento), en una forma que ni siquiera en la actualidad se puede predecir completamente. Reynolds también determinó que la transición del flujo laminar al turbulento era función de un único parámetro, que desde entonces se conoce como número de Reynolds. Si el número de

Reynolds (que carece de dimensiones y es el producto de la velocidad, la densidad del fluido y el diámetro de la tubería dividido entre la viscosidad del fluido) es menor de 2.000, el flujo a través de la tubería es siempre laminar; cuando los valores son mayores a 3000 el flujo es turbulento. El concepto de número de Reynolds es esencial para gran parte de la moderna mecánica de fluidos. Los flujos turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones calculadas, y su análisis depende de una combinación de datos experimentales y modelos matemáticos; gran parte de la investigación moderna en mecánica de fluidos está dedicada a una mejor formulación de la turbulencia. Puede observarse la transición del flujo laminar al turbulento y la complejidad del flujo turbulento cuando el humo de un cigarrillo asciende en aire muy tranquilo. Al principio, sube con un movimiento laminar a lo largo de líneas de corriente, pero al cabo de cierta distancia se hace inestable y se forma un sistema de remolinos entrelazados. Ecuación de Bernoulli para flujo real (con fricción)

H0 = perdida de energía por rozamiento desde 1 hasta 2. c) Flujos de la capa límite Los flujos pueden separarse en dos regiones principales. La región próxima a la superficie está formada por una delgada capa límite donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el modelo matemático. Fuera de esta capa límite, se pueden despreciar los efectos de la viscosidad, y pueden emplearse las ecuaciones matemáticas más sencillas para flujos no viscosos. La teoría de la capa límite ha hecho posible gran parte del desarrollo de las alas de los aviones modernos y del diseño de turbinas de gas y compresores. d) Flujos compresibles El interés por los flujos compresibles comenzó con el desarrollo de turbinas de vapor por el británico Parsons y el sueco Laval. En esos mecanismos se descubrió por primera vez el flujo rápido de vapor a través de tubos, y la necesidad de un diseño eficiente de turbinas llevó a una mejora del análisis de los flujos compresibles. El interés por los flujos de alta velocidad sobre superficies surgió de forma temprana en los estudios de balística, donde se necesitaba comprender el movimiento de los proyectiles.

Uno de los principios básicos del flujo compresible es que la densidad de un gas cambia cuando el gas se ve sometido a grandes cambios de velocidad y presión. Al mismo tiempo, su temperatura también cambia, lo que lleva a problemas de análisis más complejos. El comportamiento de flujo de un gas compresible depende de si la velocidad de flujo es mayor o menor que la velocidad del sonido. El sonido es la propagación de una pequeña perturbación, u onda de presión, dentro de un fluido. Para un gas, la velocidad del sonido es proporcional a la raíz cuadrada de su temperatura absoluta. La velocidad del sonido en el aire a 20 ∞C (293 Kelvin en la escala absoluta), es de unos 344 metros por segundo. Si la velocidad de flujo es menor que la velocidad del sonido (flujo subsónico), las ondas de presión pueden transmitirse a través de todo el fluido y así adaptar el flujo que se dirige hacia un objeto. Por tanto, el flujo subsónico que se dirige hacia el ala de un avión se ajustará con cierta distancia de antelación para fluir suavemente sobre la superficie. En el flujo supersónico, las ondas de presión no pueden viajar corriente arriba para adaptar el flujo. Por ello, el aire que se dirige hacia el ala de un avión en vuelo supersónico no está preparado para la perturbación que va a causar el ala y tiene que cambiar de dirección repentinamente en la proximidad del ala, lo que conlleva una compresión intensa u onda de choque. El ruido asociado con el paso de esta onda de choque sobre los observadores situados en tierra constituye el estampido sónico de los aviones supersónicos. Frecuentemente se identifican los flujos supersónicos por su número de Mach, que es el cociente entre la velocidad de flujo y la velocidad del sonido. Por tanto, los flujos supersónicos tienen un número de Mach superior a 1. 2.3.3 APLICACIONES La ecuación de la energía y de la cantidad de movimiento se aplica de manera diferente, si se hace correctamente, ellas describirán el flujo con idénticos grados de exactitud. Sus principales diferencias se encuentran en su estructura: mientras la ecuación de la cantidad de movimiento es vectorial y engloba fuerzas tales y condiciones externas –sin tomar en cuenta los cambios internos de energía- la ecuación de la energía es por el contrario escalar y toma en cuenta los cambios internos de energía y no las fuerzas totales y condiciones externas. En muchos casos, de una de las dos ecuaciones es suficiente para el análisis de un problema; la elección entre ellas depende que sean las fuerzas totales o la energía del flujo la que se necesita en la solución. En otros casos, por el contrario, la naturaleza del problema es tal que resulta necesario usar las dos ecuaciones simultáneamente para utilizar la opción correcta. En general, cualquiera que sea el sistema de ecuaciones por usar, este se deberá plantear entre secciones finales con direcciones de frontera permanentes definidas, es decir, entre ellas secciones de la conducción en los que se conozcan con exactitud los valores de la energía de posición, de presión y de la velocidad y, por lo mismo0 la energía total.

UNIDAD III: HIDRÁULICA EXPERIMENTAL 3.1 MODELOS HIDRAÚLICOS La Hidráulica, hoy en día una ciencia básica de la ingeniería, estuvo durante mucho tiempo basada en resultados empíricos obtenidos de anteriores obras hidráulicas. Con el desarrollo paulatino de teorías y técnicas desarrolladas tanto en modelos reducidos como en modelos matemáticos, ha cambiado esta orientación empirista. Como muchas veces una descripción matemática de los fenómenos hidráulicos es muy complicada o imposible al menos por ahora, dado el estado del conocimiento humano, se hace necesaria la experimentación en modelos hidráulicos a escala reducida, los que además son útiles para la calibración de los modelos matemáticos. El modelo hidráulico es una ayuda importante para el diseño de las obras hidráulicas difíciles de analizar por medio de un modelo matemático, siempre y cuando el diseño de un modelo reducido sea correcto, está bien operado y los resultados sean interpretados con sentido crítico. El objetivo final de una investigación en un modelo hidráulico es mejorar las situaciones desfavorables existentes en el prototipo (la estructura hidráulica al tamaño natural), o ayudar en el diseño de obras hidráulicas para encontrar una solución, sin riesgos de fallas completas o parciales, de las obras que se van a construir. Los costos de la investigación en modelos hidráulicos reducidos no suben más del 0.75% del costo del proyecto de la realidad, y casi siempre la ejecución del modelo justifica su mismo valor por disminución de los riesgos en la ejecución u operación de la obra, por ganancia de tiempo en la ejecución de la misma, por la comprensión que proporciona del funcionamiento del prototipo, o por las valiosas recomendaciones que pueden surgir para su diseño. En cuanto a la situación del Laboratorio de la Facultad de minas en el campo de investigación, se cuenta con los elementos materiales fundamentales, ya sea en aquél o en otros de la sede, cuando se requieran aparatos de medida muy complejos, la investigación pura dependería en gran parte de la calidad y de la mística de los técnicos que hagan parte del laboratorio, y de la relación que exista entre ellos y los técnicos dedicados a la práctica profesional, pues esos últimos pueden señalar las necesidades. Con respecto a la investigación aplicada: dependería en gran parte del estímulo y oportunidades de trabajo que se den al laboratorio (como elemento que relaciona a la Universidad con la sociedad), de las entidades oficiales, semioficiales y de las firmas de ingenieros dedicados a las prácticas de la ingeniería, tanto en el diseño como en la construcción.

3.1.1 SIMILITUD

Uno de los notables descubrimientos de Newton fue la Ley de la Gravitación Universal, según la cual si dos cuerpos tienen masa, cuando están cerca uno del otro hay una fuerza de atracción entre ellos. Así, por ejemplo, la tierra atrae a la luna y el sol a la tierra. Para estos propósitos, lo importante de esta ley es que nos indica, en primer lugar, que la fuerza entre los cuerpos depende de la distancia entre ellos. No da lo mismo tener dos cuerpos muy cercanos uno del otro que muy separados. Mientras mayor sea la distancia entre los cuerpos menores, será la fuerza entre ellos, ya que ha medida que las distancia entre dos cuerpos sea mayor, menor será el efecto que uno ejerza sobre el otro.

3.1.2 LEYES DE SIMILITUD En segundo lugar, la ley de la gravitación universal nos indica cómo depende la fuerza de la distancia de un metro y la fuerza tiene determinado valor. Si la distancia entre estos mismos cuerpos aumenta al doble, o sea a 2m, entonces la fuerza disminuye a la cuarta parte. Si la distancia aumenta el triple, o sea a 3m, la fuerza disminuye a la novena parte, etc. La cuarta parte de la fuerza es igual a º; pero 4 es igual a 2 2, o sea, 2 elevado a la potencia 2; por lo que la cuarta parte es igual a ½ 2. La novena parte de la fuerza es igual a 1/9; pero 9 = 3 2, o sea, 3 elevado a la potencia 2; por lo que la novena parte es igual a 1/32, etc. En consecuencia: si la distancia aumenta 3 veces, la fuerza disminuye 1/32 veces; si la distancia aumenta 4 veces, la fuerza disminuye 1/42veces, etc. Esto último se expresa diciendo que la disminución del valor de la fuerza es como el cuadrado de la distancia. En forma abreviada, usando lenguaje matemático lo anterior se expresa diciendo que la fuerza depende en forma inversamente proporcional al cuadrado de loa distancia. Inversamente quiere decir que al aumentar la distancia disminuye la fuerza. Ahora bien, si en lugar de haber considerado la distancia en la escala de metros la hubiéramos tomado en la escala de kilómetros, la forma en que varía la fuerza con la distancia no cambia, sigue disminuyendo en razón al cuadrado de la distancia. Si se toma una escala de miles o de millones de kilómetros (como ocurre en el caso del sistema planetario), la dependencia de la fuerza con la distancia sigue siendo la misma. Por tanto, como el mismo comportamiento ocurre sin importar la escala, éste fenómeno es auto similar. Existen otros fenómenos en la naturaleza en los que la dependencia de la distancia no es como el cuadrado, que acabamos de considerar, sino que dependen de otra potencia. Además, puede ocurrir que la fuerza no disminuya al aumentar la distancia. Por ejemplo, podemos considerar un resorte: si este se estira sabemos entonces que ejerce una fuerza que trata de regresarlo su posición original (se dice de equilibrio). Mientras mayor sea la distancia que se estire, mayor será la fuerza que el resorte ejerza. Lo mismo ocurre cuando se comprime, mientras mayor sea la distancia en que se comprima, mayor será la fuerza que ejerza.

Además, resulta que: si la distancia aumenta al doble, la fuerza aumenta al doble; si la distancia aumenta a triple, la fuerza aumenta a triple; etc. O dicho de otra manera: si la distancia aumenta dos veces, la fuerza aumenta 2 veces, si la distancia aumenta 3 veces, la fuerza aumenta 3 veces, etc. Vemos ahora que el 2, o el 3, son 21 y 31, respectivamente, cantidades elevadas a la potencia 1. En este caso vemos que la fuerza aumenta como la distancia. Usando lenguaje matemático se abrevia esta información diciendo que la fuerza es proporcional a la primera potencia de la distancia. En este caso también hay auto similitud. Hemos hablado de la relación entre las fuerzas y distancias. Sin embargo, en muchos fenómenos alguna cantidad depende de una variable (no necesariamente la distancia), ya sea: inversamente, lo que quiere decir que al aumentar el valor de la variable disminuye el valor de la cantidad, o bien en forma proporcional, lo que quiere decir que al aumentar el valor de la variable aumenta el valor de la cantidad. Además, la dependencia entre la cantidad y la variable de la que depende puede usarse por medio de alguna potencia, que no necesariamente tiene que ser siempre ni 2 (como en la ley de la gravitación universal) ni 1 (como en el resorte). Puede ser como otro valor numérico, ya sea entero o no. Cuando la dependencia de una cantidad de su variable es como la que acabamos de explicar se dice que el fenómeno está regido por una ley de potencias. En todos estos casos existe la auto similitud.

3.2 ORIFICIOS Y COMPUERTAS

Considere un recipiente lleno en un líquido, en cuya pared lateral se ha practicado un orificio de pequeñas dimensiones (en comparación con su profundidad H) y cualquier forma, además de un área A. El orificio desgasta un gasto Q cuya magnitud se desea calcular, para lo cual se supone que el nivel del agua en el recipiente permanece constante por el efecto de la entrada de un gasto idéntico a la que sale; o bien porque pose un volumen muy grande. Además, el único contacto con el líquido y la pared debe ser alrededor de una arista afilada como se muestra en la figura. esto es, el orificio es de pared delgada. Las partículas de liquido

en la aproximada del orificio se mueve aproximadamente en dirección al centro del mismo, de modo que, por efecto de su inercia, la deflexión brusca que sufren produce una contracción del chorro, la cual se alcanza a la sección 2A se le llama contraída y tiene una área Ac inferior al área A del orificio. En ella las velocidades de las partículas son prácticamente uniformes y con un valor medio V.

3.2.1 ECUACIÓN GENERAL DE ORIFICIOS Suponiendo un plano de referencia que coincida con el centro de gravedad del orificio, la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre las secciones 1 y 2

de una vena liquida,

además de considerar despreciable la velocidad de llagada al orificio, co0nduce a la expresión;

H=

V2 2g

Donde se ha despreciado el desnivel entre los centros de gravedad del orificio y la sección contraria. De aquí se obtiene

V = 2 gH

(3.2.1)

La ecuación llamada de Torricelli y puede obtenerse de la ecuación de Bernoulli entre dos puntos: uno dentro del recipiente y otro en el centro de gravedad de la sección contraída. Esto es, la ec .(3.2.1) indica que la velocidad sigue una ley parabólica con la profundidad y en este caso la velocidad media V, se calcula con la profundidad media del orificio y corresponde al centro de gravead, no obstante que las velocidades de las partículas arriba de este punto son menores y, abajo, mayores. Esto tendrá por supuesto mayor valides a medida que la sección transversal, no horizontal, del orificio sea mucho menor que la profundadas H del mismo. Es además, los resultados obtenidos de la ec. . (3.2.1) concuerda con lo obtenido experimentalmente solo si se corrigen, mediante un coeficiente Cv llamado de velocidad, en la forma:

V = C v 2 gH

(3.2.2)

Donde Cv, coeficiente sin dimensiones muy aproximo a 1, es de tipo experimental y además corrige el error no considerar la ec. (3.2.1), tanto la perdida de energía ∆hr , como los coeficientes a1 y a2. Si el área de la sección contraída se calcula en términos de la del orificio, por medio de un coeficiente Cc llamada de contracción (también condiciones), en la forma; Ac = CcA El gasto descargado por el orificio es entonces

Q=

C v C v A 2 gH

(3.2.3)

O bien con Cd =CvCc (coeficiente de gasto), el gasto se le calcula finalmente con la ecuación general de un orificio de pared delgada, a saber; Q=

C d A 2 gH

(3.2.4)

Conviene calcular que las ecuaciones anteriores se considerado H como el desnivel entre la superficie libre y el centro de gravedad del orificio. Esto resulto de suponer que era despreciable la velocidad de llegada del orificio y la presión sobre la superficie libre corresponde a la atmosférica. Cuando ello no acontece, H corresponde a la energía total; esto es, a la suma de la profundidad del orificio, de la carga de velocidad de llegada y de la carga de presión sobre la superficie del agua: 2

E=H+

Vo p + o 2g γ

(3.2.5)

3.2.2 COEFICIENTE DE VELOCIDAD, CONTRACCIÓN Y GASTO, EN ORIFICIOS DE PARED DELGADA.

Semiesfera de radio R, traza la figura cuya dirección es radial al centro

de la

semiesfera. Los coeficientes de velocidad, contracción y gasto, de un orificio, son básicamente experimentales. Sin embargo en teoría es posible encontrar la magnitud del coeficiente de gasto para un orificio circular a partir de la ecuación de la cantidad del movimiento aplicada sobre un volumen de control limitado por la frontera del chorro en contacto con el aire. La sección contraída y, dentro del recipiente, por una superficie semiesférica del radio igual al del orificio como en la fig. para hacer lo anterior, se designa como V 1la velocidad de una partícula sobre la la superficie de la semiesfera vale:

A1 = 2πR 2

(3.2.6)

Y corresponde a la sección contraída;

Ac = C c A = C c πR 2

(3.2.7)

De la ecuación de continuidad se obtiene V1 =

Ac V A1

Sustituyendo en esta ecuación a las Eccs. (3.2.6) y (3.2.7) resulta que

V1 =

1 CcV 2

(3.2.8)

Para aplicar la ecuación de la cantidad de movimiento es necesario conocer la velocidad media sobre la semiesfera en la dirección del escurrimiento. La componente paralela al eje del orificio de las velocidades V1, sobre la superficie de la semiesfera, vale V1

cos θ ; es

decir, que la variación es según una ley cosenoidal como se muestra en la figura de este modo, la media de las componentes de la velocidad, sobre la superficie semiesférica, se obtiene por la

Vs πR 2 con el volumen encerrado por la superficie de ley

igualación del volumen cilíndrico cosenoidal, o sea

Vs =

V1 ∫ ∫ A cos θdA πR 2

Y con cos θ

=

R2 − r2 , dA = 2πrdr ; R

Entonces

Vs =

2V1 R ∫ R 2 − r 2 rdr 3 0 R

La integración conduce al resultado siguiente:

(

)

R

[

2V  2V 3 Vs = − 13  R 2 − r 2  = − 13 − R # 20 3R  3R

]

Finalmente, se tiene que

2 Vs = V1 3

(3.2.9)

Sustituyendo la ec. (3.2.8) en la (3.2.9) resulta:

Vs =

Cc V 3

(3.2.10)

Por lo tanto, es posible evaluar los coeficientes β que intervienen en la ecuación de la cantidad de movimiento. Por luna parte, el coeficiente

β para la sección contraída vale 1,

pues se supone que la distribución de la velocidad coincide con la media; sin embargo, el coeficiente β para la semiesfera tiene un valor distinto de 1 y resulta de una ecuación a saber;

∫ ∫ A v1 cos 2 θdA AVs2 2

β1 =

De la figura 3.3.6,dA=2 π r dr y además

r2 r2 2 sen θ = 2 ; cos = 1 − 2 R R 2

(3.2.11)

Con esta expresión y considerando la ec. 3.2.8 el valor

β1 =

1 R C cV 2 ∫ 2 o 3 AVs

β1 es:

 r2  1 C c2V 2 πR 2 πR 2  1 − 2 2πrdr = −   4  R  AVs2 2  2 

Y la ecuación (3.3.10) resulta entonces que

β1 =

2 9 9 2 2 πR C V = = 1.125 c 2 2 2 8 8 πR C c V

(3.2.12)

Es necesario conocer la fuerza que impulsan al volumen de agua limitado por la sección contraída y la sección de la esfera; en un punto E sobre la semiesfera actúa la presión p. la ecuación de Bernoulli para una línea de corrientes se aplica en este punto, es

H = z+

p v12 + γ 2g

Si se acepta que la carga H es muy grande en comparación con el radio del orificio, puede entonces desprenderse z y, por tanto, sobre la semiesfera la presión sera constante y de valor:

 v12   p = γ  H − 2 g   Por lo cual la componente en la dirección del movimiento del empuje o fuerza total, sobre la superficie de la semiesfera, es

 v2  pA = γ  H − 1  A 2g  

(3.2.13)

En la sección contraída actúa la presión atmosférica, por lo que la fuerza sobre dicha sección será cero. La masa del líquido descargada a través del orificio es

γ C c AV g La cual se acelera desde la velocidad media Vs sobre la semiesfera, expresada por la ecuación (3.2.10), hasta la velocidad media V en la sección contraída. Así, de acuerdo con las ecuaciones (3.2.8),(3.2.10), (3.2.12) y (3.2.13), la ecuación de la cantidad de movimiento se expresa como sigue:

2  1  C cV   γ 9 Cc   γA H − V    = AC cV V − 2 g  2   g 8 3   

Por otra parte, la ec.(3,2,2)se tiene que

H=

1 V2 C v2 2 g

Con lo que resulta:

V2 2g

 3 2 1 2 1  2C c − C c + C c − 2  = 0 4 4 Cv  

O bien, eliminando la carga de velocidad, se tiene que

1 3 1  − C c − 2C c + 2 = 0 Cv 4 4 Por tanto:

C c2 − 4C c +

2 =0 C v2

Debido a que Cc debe ser menor que 1, la raíz valida en esta ecuación en la correspondiente al signo negativo del radial; así, se se obtienen la ecuación

Cc = 2 − 4 −

2 C v2

(3.2.14)

En la tabla 3.2.1 se presentas los valores de Cc y Cd calculados de la ec. (3.2.14), diferentes valores de Cv y la definición de Cd. TABLA 3.2.1 COEFICIENTES DE GASTO DE LE ECUACUPON 3.2.14

Cv

1

0.99

0.98

0.97

0.96

0.95

Cc

0.586

0.60

0.615

0.631

0.647

0.664

Cd

0.586

0.594

0.603

0.612

0.621

0.631

Mediante un análisis dimensional se comprueba que los coeficientes de velocidad, contracción gasto, son funciones exclusivamente del numero de Reynolds. De acuerdo con los resultados de diferentes investigaciones ,para orificios circulares subvalores tienen la variación mostrada

en la figura 3.2.4 se no observa que para números de reynolds Re 105, los coeficientes

Cv ,

C c y C d son independientes de dicho numero y adquieren los valores constantes siguientes: C v = 0.99 C c = 0.605 C d = 0.060 Por definición de coeficiente de contracción, para un orificio circular se obtiene que

1 Dc Cc

D=

Y con

(3.2.15)

C c = 0.605,D= 1.285 Dc ; o bien, Dc = 0.778D Cuando se trata de orificios rectangulares de poca altura loa coeficientes

Cv , Cc y C d

son prácticamente los mismos en la figura 3.2.4. en este caso (en lugar de D) en el numero de Reynolds se utiliza la mínima dirección a del orificios en la ecuación (3.2.4) corresponde a su área A = ab (b es la dimensión máxima del orificio ). Los resultados de la figura 3.2.4 son validos siempre que se tenga una contracción completa, que se logra si la distancia entre los cuantos del orificio y las fronteras del recipiente (pared lateral, fondo o superficie libre) es por lo menos 3D en orificios circulares, o 3a en orificios rectangulares.

3.2.3 Y 3.2.4 APLICACIÓN DE ORIFICIOS Y COMPUERTAS

PERDIDA DE ENERGÍA Si al establecer la ecuación de Bernoulli para deducir su ecuación (3.2.1), se incluye el término de perdida de energía, entonces,

H=

V2 + ∆hr 2g

Por otra parte, la ecuación (3.2.2), resulta

H=

1 V2 C v2 2 g

Que, substituida en la ecuación anterior, da

 1 V 2 V2 ∆hr =  2 − 1 =K 2g  Cv  2g

(3.2.16)

La ecuación (3.2.16) indica que la perdida de energía es proporcional a al carga de velocidad media a la sección contraída. El coeficiente de perdida K no tiene dimensiones y es función solo del coeficiente de velocidad siguiente:

K=

1 −1 C v2 Así, para

Cv =

(3.2.17a)

C v = 0.99, K= 0-02. de la ecuación (3.2.17a) se tiene también que:

1 K +1

(3.17b)

El perfil de la trayectoria del chorro queda determinado por una ecuación.

COMPUERTAS Una compuerta consiste en una placa móvil, plana o curva, que al levantarse permite graduar la altura del orificio que se va descubriendo, ala vez que controlar la descarga producida. El orificio generalmente se hace entre el piso de un canal y el borde inferior de la compuerta, por lo que su ancho coincide con el del canal; en estas condiciones el flujo puede considerarse bidimensional.

El gasto de una compuerta y las características hidráulicas de su descarga se puede conocer a partir del estudio de una red de flujo obtenida por cualquiera de los métodos propuestos. La red de flujo de la compuerta plana en la figura permite explicar con claridad la contracción que experimenta el chorro descargado por el orificio de altuta valor

a , hasta alcanzar un

C c a en una distancia L en la que las líneas de corriente se vuelven horizontales y tiene

por ello una distribución hidrostatica de presiones. Debido al fenómeno de contracción con el piso, se produce una perdida de carga

velocidad

∆hr que influye en el calculo del gasto. La carga de

V12 con que llega el agua en el canal, agua arriba de la compuerta, tiene mayor 2g

importancia a medida que la relación

y1 disminuye. a

En el canto interior de la compuerta las líneas de corrientes tienden a unirse y es ahí donde la velocidad adquiere su máximo valor. Debido a la curvatura de las líneas de corriente en gran presión actúa sobre la línea de intersección del plano de la compuerta, razón por la cual se tiene una velocidad pequeña. Para obtener la ecuación que proporcione al gasto, aquí se considera el caso mas general de una compuerta plana, con una inclinación figura y un ancho b la inclinación

θ 0 respecto a la horizontal como se muerta en la

θ 0 es equivalente a la del tangente en el labio de la

compuerta radial. De la figura 6.12, y con

θ = 90∞ incluye en el caso de la compuerta vertical

de la figura 6.11.se establece la ecuación de la energía entre una sección 1, agua arriba, en la compuerta y la sección contraída a saber: 2

H = y1

V1 V2 = C ca + 2 2g 2g

(3.22)

COMPUERTA: Puerta movible que se coloca en las esclusas de los canales y en los portillos de las presas de río para detener o dejar pasar las aguas. Las compuertas son equipos mecánicos utilizados para el control del flujo del agua y mantenimiento en los diferentes proyectos de ingeniería, tales como presas, canales y proyectos de irrigación. Existen diferentes tipos y pueden tener diferentes clasificaciones, según su forma, función y su movimiento. Las diferentes formas de las compuertas dependen de su aplicación, el tipo de compuerta a utilizar dependerá principalmente del tamaño y forma del orificio, de la cabeza estática, del espacio disponible, del mecanismo de apertura y de las condiciones particulares de operación. Aplicaciones: Control de flujos de aguas Control de inundaciones Proyectos de irrigación Crear reservas de agua Sistemas de drenaje Proyectos de aprovechamiento de suelos Plantas de tratamiento de agua Incrementar capacidad de reserva de las presas

Compuertas Planas Deslizantes Se les llama compuertas deslizantes pues para su accionar se deslizan por unos rieles guías fijos. Puede ser movida por diferentes tipos de motores.

Estas compuertas pueden ser de acero estructural, madera y en caso de pequeñas cabeza de hierro, el espesor y el material de la compuerta dependerá de la presión del agua y el diseño de los sellos. Al trabajar a compresión estas compuertas tienen buenas adaptaciones a los sellos presentando pequeñas fugas. Este tipo de compuertas han sido utilizadas para todo tipo de cabezas, pero resultan ser más económicas para pequeñas cabezas y tamaños moderados pues necesitan grandes fuerzas para ser movidas. Compuertas Planas de Rodillos Las compuertas planas de rodillos están diseñadas especialmente para controlar el flujo a través de grandes canales donde la economía y la facilidad de operación sean dos factores preponderantes. Son denominadas compuertas de rodillos ya que están soportadas en rodillos que recorren guías fijas y generalmente tienen sellos de caucho para evitar filtraciones a través de los rodillos. Los rodillos minimizan el efecto de la fricción durante la apertura y el cierre de las compuertas, como consecuencia de estos se necesita motores de menor potencia para moverlas. Pueden ser diseñadas para abrirse hacia arriba o hacia abajo. Estas compuertas son muy versátiles ya que pueden diseñarse tanto para trabajar bajo presión en una o ambas caras simultáneamente. Generalmente son de sección transversal hueca, para disminuir la corrosión e infiltraciones son rellenadas con materiales inertes como el concreto.

Compuertas Radiales (Taintor) Las compuertas radiales se construyen de acero o combinando acero y madera. Constan de un segmento cilíndrico que está unido a los cojinetes de los apoyos por medio de brazos radiales. La superficie cilíndrica se hace concéntrica con los ejes de los apoyos, de manera que todo el empuje producido por el agua pasa por ellos; en esta forma sólo se necesita una pequeña cantidad de movimiento para elevar o bajar la compuerta. Las cargas que es necesario mover consisten en el peso de la compuerta, los rozamientos entre los cierres laterales, las pilas, y los rozamientos en los ejes. Con frecuencia se instalan contrapesos en las compuertas para equilibrar parcialmente su peso, lo que reduce todavía más la capacidad del mecanismo elevador. La ventaja principal de este tipo de compuertas es que la fuerza para operarlas es pequeña y facilita su operación ya sea manual o automática; lo que las hace muy versátiles.

Compuertas Flap o Clapetas Llamadas también clapetas, formadas por un tablero articulado en su arista de aguas arriba que puede abatirse dando paso al agua. Estas compuertas se abren automáticamente por un diferencial de presión aguas arriba y se cierran cuando el nivel aguas abajo supera el nivel aguas arriba o cuando el nivel aguas arriba alcance el nivel deseado de almacenamiento. Existen compuertas clapeta de contrapeso, en las que los tableros se mantenían en su posición elevada por medio de un puntal, hasta que la sobre elevación del nivel del agua les hacía bascular sobre el extremo superior del puntal; también las hay sin contra peso que son recomendadas para aquellos casos de poca altura de agua y gran luz de vano.

Compuertas Ataguía Están compuestas de vigas separadas colocadas unas sobre otras para formar un muro o ataguía soportado en ranuras en sus extremos. La separación de las pilas de apoyo depende del material de las vigas, de la carga que obre en ellas, y de los medios que se disponga para manejarlas, es decir, para quitarlas y ponerlas.

Compuertas Mariposa Las compuertas tipo mariposa son utilizadas para controlar el flujo de agua a través de una gran variedad de aberturas. Aunque pueden ser utilizadas para controlar el flujo en ambas direcciones la mayoría de las instalaciones sólo las utilizan para controlar el flujo en una dirección. Con las compuertas mariposa es posible tener una máxima cabeza de energía en ambos lados de la compuerta. La cabeza estática se mide desde el eje horizontal de apertura de la compuerta. La mayoría de estas compuertas son instaladas en sitios con baja cabeza de presión (menor a 6 metros).

Las secciones transversales de este tipo de compuertas

normalmente son cuadradas o rectangulares; las secciones circulares no son muy comunes ya que estas se utilizan en válvulas mariposa. Son ideales cuando hay poco espacio disponible ya que al girar respecto a un eje, no es necesario disponer de espacio para levantarlas y allí se puede ubicar el mecanismo de apertura. Estas pueden ser utilizadas como reguladoras de flujo, pues al rotar la hoja cambia el tamaño de la abertura y se regula el caudal que fluye a través de ella.

Compuertas Caterpillar (Tractor) Son también conocidas como Compuertas de Broome, en honor a su inventor. Este tipo de compuertas son utilizadas tanto para altas como para bajas cabezas de presión. Han sido

utilizadas con cabezas hasta de 200 pies en varios proyectos hidroeléctricos y de control de inundaciones. Ambos extremos de la compuerta están equipados con orugas que facilitan su desplazamiento a lo largo de ranuras paralelas a los lados de la compuerta. Las orugas se mueven alrededor de la compuerta mientras la compuerta es movida. Este tipo de compuertas es movido por medio de cables de acero tirados por motores, lo que facilita su operación bajo diferentes condiciones de flujo.

Compuertas Cilíndricas Las compuertas cilíndricas consisten en cilindros sólidos de acero (generalmente) abiertas en ambos extremos, que funcionan por el balance de las presiones de agua en las superficies interior y exterior. Este tipo de compuertas generalmente son levantadas por medio de cables o máquinas hidráulicas; como la presión del agua siempre se encuentra balanceada, el único peso que debe ser movido es el equivalente al peso propio de la compuerta.

Mecanismos Complementarios Por sus grandes dimensiones, peso y cargas que deben soportar, las compuertas deben ser movidas por sistemas mecánicos (eléctricos, hidráulicos, manuales). Estos sistemas pueden ser de gran variedad y su utilización depende de múltiples factores tales como espacio disponible, cargas transmitidas a la estructura y por supuesto el tipo de compuerta que deben mover. Los sistemas más comunes son: pórticos, puentes grúa, vigas de alce, servomotores, contrapesos y malacates. Se deben incluir mecanismos adicionales como: marcos, sellos, rieles, fuentes de potencia, dispositivos de transporte y sistemas de control para garantizar su buen funcionamiento

COMPUERTAS PROYECTO HIDROELÉCTRICO PORCE II Compuertas Para la Captación

Las compuertas serán utilizadas para el cierre de las aducciones de la estructura de captación, para efectuar la inspección y el mantenimiento del túnel o de las válvulas de admisión de las turbinas en la casa de máquinas. Las compuertas serán operadas por medio de grúas polar y una viga de alce. Se utilizaran cinco compuertas del tipo tablero plano de construcción soldada y con membrana y sellos en su cara de aguas abajo. Dotada de ruedas principales, ruedas guía y soporte tipo ballesta para ayudar en el sellado.

Debido a que existe una diferencia entre el nivel del pozo de la captación y el nivel del embalse, se crea una diferencia de presión originando fuerzas sobre la compuerta, fuerzas que deberán ser absorbidas durante el cierre por las ruedas principales. Características Generales Ancho: 3.45m Altura: 4.10m Presión de Diseño: 241 kPa Fuerza de Cierre: Cierra por su propio peso bajo condiciones de presión desbalanceada (el peso de la compuerta deberá ser al menos un 50% superior a las fuerzas estimadas que se oponen al cierre). Fugas: < 0.08 l/s

Compuertas Radiales para el Vertedero Se utilizaran dos compuertas radiales sin solapa (laterales) y dos compuertas radiales con solapa (centrales) para el vertedero, fabricadas de acero de construcción soldada. Las cuatro compuertas serán operadas hidráulicamente con tendencia a la apertura con contrapesos.

La compuerta y la solapa deberán ser mantenidas cerradas por medio de

servomotores que impedirán la acción de apertura del contrapeso y la acción de apertura de la presión del agua en la solapa (las solapas se abren por su propio peso). Es posible cerrar la compuerta y la solapa mediante condiciones desbalanceadas de presión. Características Generales Ancho: libre entre pilas: 11m Altura: 14m Radio de la membrana: 14m Fugas: < 1l/s por metro lineal Presión de Diseño: La equivalente al nivel máximo del embalse.

Compuerta Auxiliar del Vertedero Se utiliza una compuerta auxiliar para los cuatro azudes del vertedero. La compuerta es del tipo ataguía (stoplogs, 12 secciones horizontales) de acero de fabricación soldada. Esta sirve para cerrar cualquiera de los cuatro azudes del vertedero, para operar durante la inspección o mantenimiento de la compuerta radial. Será operada por un carro grúa y una viga de alce, y cerrará por su propio peso bajo presiones equilibradas. La apertura se efectuará con presiones balanceadas por medio de un sistema de “bypass” instalado en las pilas intermedias.

Características Generales Ancho: libre entre pilas: 11m Altura: 13.80m Fugas: < 2l/s por metro lineal Presión de Diseño: Condiciones normales de operación.

Compuerta de Ruedas para la Aducción de la Descarga de Fondo Se utiliza una compuerta de ruedas con actuador hidráulico para cerrar la aducción de la descarga de fondo. Operará bajo condiciones de presión equilibradas y cerrará bajo su propio peso (normalmente cerrada). Características Generales Ancho: 2500mm Altura: 3200mm Fugas: < .08 l/s Presión de Diseño. Correspondiente al nivel máximo del embalse.

Otras Compuertas Utilizadas

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Compuerta Deslizante para la Descarga de Fondo

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Compuerta Radial para la Descarga de Fondo

COMPUERTAS Y VERTEDEROS

Son estructuras de control hidráulico. Su función es la de presentar un obstáculo al libre flujo del agua, con el consiguiente represamiento aguas arriba de la estructura, y el aumento de la velocidad aguas abajo.

Existen diferentes tipos de vertederos que se clasifican de acuerdo con el espesor de la cresta y con la forma de la sección de flujo. En el primer caso se habla de vertederos de pared delgada, vertederos de pared gruesa y vertederos con cresta en perfil de cimacio. En el segundo se clasifican como vertederos rectangulares, trapezoidales, triangulares, circulares, parabólicos, proporcionales, etc. Un caso particular es el vertedero lateral, el cual se instala en una de las paredes de un canal para derivar hacia otro canal o para descargar excesos de agua. Las compuertas a su vez se clasifican como deslizantes y radiales. Los esquemas y las ecuaciones particulares de los diferentes tipos de estructuras se encuentran en los Manuales de Hidráulica y en los textos que se presentan en las Referencias, al final del artículo.