Diskret

Distribusi Probabilitas Diskret Teoritis

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

1

Distribusi Probabilitas Teoritis Diskret ƒ Distribusi seragam diskret (discrete uniform  distribution) ƒ Distribusi hipergeometris (hypergeometric distribution) ƒ Distribusi Bernoulli (Bernoulli distribution) ƒ Distribusi binomial (Binomial distribution) ƒ Distribusi binomial negatif atau Pascal (negative  binomial or Pascal distribution) ƒ Distribusi geometris (geometric distribution) ƒ Distribusi Poisson (Poisson distribution) DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

2

Distribusi Seragam Diskret Parameter:

X ∼ seragam diskret (a, b) Fungsi distribusi probabilitas: ⎧ 1 ⎪ b − a + 1 ;  x = a , a + 1,L, b − 1, b ⎪ f (x ) = ⎨ ⎪0; x lainnya ⎪⎩

a, b bulat; b ≥ a a : batas bawah b : batas atas Rataan:

μX =

a+b 2

Variansi:

σ = 2 X

(b − a + 1)2 − 1

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

12

3

Contoh Histogram Distribusi Seragam Diskret

a  = 1, b = 6 0.1800

f(x)

0.1600 0.1400 0.1200 0.1000 0.0800 0.0600 0.0400 0.0200 0.0000 1

2

3

4

5

6

x

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

4

Probabilitas Variabel Random Berdistribusi Seragam Diskret

P(X = x ) =

1 b−a +1 r

1 x =a b − a + 1

P(X ≤ r ) = ∑

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

5

Contoh Perhitungan Jumlah pesanan yang datang per hari diketahui berdistribusi seragam diskret dengan jumlah pesanan yang datang minimum  0 dan maksimum 10.  Probabilitas jumlah pesanan yang datang per hari adalah 4 atau kurang? 4 1 1 1 1 1 1 P(X ≤ 4 ) = ∑ = + + + + = 0,4545 11 11 11 11 11 x = 0 10 − 0 + 1 Rata‐rata jumlah pesanan per hari yang datang?

μX =

10 + 1 = 5,5 2

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

6

Distribusi Hipergeometris X ∼ hipergeometris (n, N, S)  Fungsi distribusi probabilitas: ⎧ C Sx C Nn−−xS ⎪ C N ;  x = 0,1,L,min{n, S} ⎪ n f (x ) = ⎨ ⎪0; x lainnya ⎪ ⎩

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

Parameter: n, S, N  bulat > 0 n ≤ N; S ≤ N Rataan:

μX = n

S N

Variansi: N − n ⎞⎛ ⎛ S ⎞⎛ S ⎞⎞ ⎟⎜ n⎜ ⎟⎜ 1 − ⎟ ⎟ ⎝ N − 1 ⎠⎝ ⎝ N ⎠⎝ N ⎠ ⎠

σ X2 = ⎛⎜

7

Rumus Kombinasi ⎛n⎞ n! C = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ r ⎠ r!(n − r )! n r

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

8

Percobaan Hipergeometris ƒ Dalam suatu populasi berukuran N, terdapat S  obyek yang dikategorikan sukses S, dan sisanya N – S dikategorikan gagal ƒ Suatu sampel random berukuran n diambil dari populasi ƒ Variabel random yang menyatakan banyaknya obyek berkategori sukses yang terpilih merupakan variabel random hipergeometris DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

9

Contoh Histogram Distribusi Hipergeometris 0.6000

N  = 10, S = 2, n = 4

0.5000

f(x)

0.4000

N  = 10, S = 4, n = 4

0.3000 0.2000 0.4500

0.1000

0.4000 0.3500

0.0000 1

2

3

4 f(x)

0

x

0.4500

N  = 10, S = 6, n = 4

0.2000 0.1500 0.1000 0.0500

0.4000 0.3500 f(x)

0.3000 0.2500

0.0000 0

0.3000 0.2500

1

2

3

4

x

0.2000 0.1500 0.1000 0.0500 0.0000 0

1

2

3

4

x

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

10

Probabilitas Variabel Random Berdistribusi Hipergeometris C Sx C Nn−−xS P(X = x ) = C Nn C Sx C Nn−−xS P(X ≤ r ) = ∑ N C x =0 n r

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

11

Contoh Perhitungan Suatu kotak mengandung 7 komponen yang terdiri dari 4  komponen merek A dan 3 bola komponen merek B.  Jika 3 komponen diambil secara random dari kotak, probabilitas bahwa tepat terdapat 2 komponen merek A yang terambil: P ( X = 2) =

4 2

7−4 3 −2 7 3

CC C

⎛ 4! ⎞⎛ 3! ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ CC 2!1! ⎠⎝ 1!2! ⎠ ⎝ = =  = 0,5143 7! C ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 3!4! ⎠ 4 3 2 1 7 3

  

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

12

Distribusi Bernoulli X ∼ Bernoulli (p) Fungsi distribusi probabilitas:

⎧p;  x = sukses ⎪ f (x ) = ⎨1 − p;  x = gagal ⎪0;  x lainnya ⎩ DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

Parameter: p (0 ≤ p ≤ 1)  Rataan:

μX = p Variansi:

σ X2 = p(1 − p ) 13

Percobaan Bernoulli ƒ Percobaan hanya menghasilkan dua kejadian yang mungkin, sukses atau gagal ƒ Probabilitas sukses adalah p (probabilitas gagal, 1 – p) ƒ Variabel random yang menyatakan munculnya sukses atau gagal merupakan variabel random  Bernoulli

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

14

Contoh Histogram Distribusi Bernoulli X = sukses = 1 = gagal = 0

p  = 0,2

0.9000

f(x)

0.8000 0.7000 0.6000 0.5000 0.4000 0.3000 0.2000 0.1000 0

0.5000

1

0.4000 f(x)

x

0.9000

0.3000 0.2000

0.8000 0.7000 f(x)

p  = 0,5

0.6000

0.0000

p  = 0,8

0.1000

0.6000 0.5000

0.0000 0

0.4000 0.3000

1 x

0.2000 0.1000 0.0000 0

1 x

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

15

Hubungan Distribusi Bernoulli dan Seragam Diskret X ∼ seragam diskret (a, b); a = 0; b = 1

X ∼ Bernoulli (p); p = 0,5

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

16

Distribusi Binomial X ∼ binomial (n, p)

Parameter: n bulat > 0; p (0 ≤ p ≤ 1)

Fungsi distribusi probabilitas: ⎧C p (1 − p ) ;  x = 0,1,L , n ⎪ f (x ) = ⎨ ⎪0;  x lainnya ⎩ n x

x

n− x

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

Rataan:

μ X = np Variansi:

σ X2 = np(1 − p ) 17

Percobaan Binomial ƒ Percobaan terdiri atas n usaha yang saling independen ƒ Tiap usaha hanya terdiri dari dua kejadian yang  mungkin, sukses atau gagal. ƒ Probabilitas tiap sukses untuk tiap usaha adalah tetap, yaitu p (probabilitas gagal, 1 – p) ƒ Variabel random yang menyatakan banyaknya sukses dalam n usaha independen merupakan variabel random binomial ƒ Percobaan binomial merupakan percobaan Bernoulli  yang independen yang dilakukan sebanyak n kali DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

18

Contoh Histogram Distribusi Binomial n= 5; p  = 0,2

0.4500

f(x)

0.4000 0.3500 0.3000 0.2500

n= 5; p  = 0,5

0.2000 0.1500

0.3500

0.1000 0.0500

0.3000 0.2500

0.0000 1

2

3

4

5 f(x)

0

x

0.2000 0.1500 0.1000 0.0500 0.0000

0.4500

0

n= 5; p  = 0,8

0.4000 0.3500

1

2

3

4

5

x

f(x)

0.3000 0.2500 0.2000 0.1500 0.1000 0.0500 0.0000 0

1

2

3

4

5

x

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

19

Probabilitas Variabel Random Berdistribusi Binomial P ( X = r ) = C nx p x (1 − p )n− x r

P ( X ≤ r ) = ∑ C nx p x (1 − p )n− x x =0

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

20

Contoh Perhitungan Probabilitas suatu komponen tidak mengalami kerusakan dalam suatu pengujian adalah 0,75.  Probabilitas tepat terdapat 2 komponen yang tidak mengalami kerusakan jika dilakukan pengujian sebanyak 4 kali: ⎛ 4! ⎞ 2 2 P ( X = 2) = C24 (0,75)2 (1 − 0,75)4 −2 = ⎜ ⎟(0,75) (0,25) = 0,2109 ⎝ 2!2! ⎠ Probabilitas terdapat 2 komponen atau lebih yang tidak rusak   

jika dilakukan pengujian sebanyak 4 kali: 1

P ( X ≥ 2) = 1 − P ( X ≤ 1) = 1 − ∑ C 4x (0,75)x (1 − 0,75)4 −x x =0

⎡⎛ 4! ⎞ ⎛ 4! ⎞ 0 4 1 3⎤                                           = 1 − ⎢⎜ ⎟(0,75) (0,25) + ⎜ ⎟(0,75) (0,25) ⎥ ⎝ 1!1! ⎠ ⎣⎝ 0!2! ⎠ ⎦                                           = 1 − 0,0508

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS                                           = 0,9492 Suprayogi

21

Hubungan Distribusi Binomial dan Bernoulli Xi ∼ Bernoulli (p) Xi independen dan identik n

Y = ∑ Xi i =1

Y ∼ binomial (n, p) DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

22

Hampiran Distribusi Binomial terhadap Hipergeometris X ∼ hipergeometris (n, S, N); n/N → 0

X ∼ binomial (n, p);  p = S/N

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

23

Contoh Perhitungan Suatu pabrik menerima pasokan material sebanyak 5000 unit  dengan 1000 unit diantaranya adalah material jenis A.  Jika 10  unit dipilih secara random, probabilitas tepat terdapat 3 unit  material jenis A yang terpilih: 1000 1000 P ( X = 3) = C10 3 ( 5000 ) (1 − 5000 ) 3

10 −3

⎛ 10! ⎞ 3 7                 = ⎜ ⎟(0,2) (0,8 ) ⎝ 3!7! ⎠                 = 0,2013    DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

24

Distribusi Binomial Negatif (Pascal) X ∼ binomial negatif (k, p)

Parameter:

Fungsi distribusi probabilitas:

k bulat > 0; p (0 ≤ p ≤ 1)

⎧C kx −−11 p k (1 − p )x −k ;  x = k , k + 1,L ⎪ f (x ) = ⎨ ⎪0;  x lainnya ⎩

Rataan:

μX = Variansi:

σ X2 = DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

k p k (1 − p ) p2 25

Percobaan Binomial Negatif ƒ Percobaan terdiri atas n usaha yang saling independen ƒ Tiap usaha hanya terdiri dari dua kejadian yang mungkin, sukses atau gagal. ƒ Probabilitas tiap sukses untuk tiap usaha adalah tetap, yaitu p (probabilitas gagal, 1 – p) ƒ Variabel random yang menyatakan banyaknya usaha agar terjadi sukses ke‐k merupakan variabel random binomial negatif DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

26

Contoh Histogram Distribusi Binomial  Negatif k = 2; p  = 0,2

0.0900 0.0800

Variabel random X  Æ banyaknya usaha untuk memperoleh k sukses

0.0700

0.0500 0.0400 0.0300 0.0200

0.3000

0.0100 0.2500

0.0000 0 1 2 3 4

k = 2;  p  = 0,5

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0.2000

x f(x)

f(x)

0.0600

0.1500 0.1000 0.0500 0.0000 0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

x

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

27

Probabilitas Variabel Random Berdistribusi Binomial Negatif P ( X = x ) = C kx −−11 pk (1 − p )x −k r

P ( X ≤ r ) = ∑ C kx −−11 p k (1 − p )x −k x =k

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

28

Contoh Perhitungan Probabilitas produk cacat adalah 0,1.  Jika produk diambil satu per satu, probabilitas ditemukannya produk yang cacat yang ketiga pada pengambilan kelima?  P ( X = 5) = C 35−−11 (0,1)3 (1 − 0,1)5−3 =

4! (0,1)3 (0,9 )2 = 0,0049 2!2!

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

29

Definisi Lain dari Variabel Random  Binomial Negatif & Fungsi Dist. Prob. Variabel random binomial negatif X  dapat juga didefinisikan sebagai banyaknya gagal sebelum memperoleh k sukses

Parameter: k bulat > 0; p (0 ≤ p ≤ 1)

Fungsi distribusi probabilitas:

⎧C xx + k −1 pk (1 − p )x ;  x = 0,1,2,L ⎪ f (x ) = ⎨ ⎪0;  x lainnya ⎩

P(X = x ) = C

x + k −1 x

p (1 − p ) k

x

r

P ( X ≤ r ) = ∑ C xx + k −1 p k (1 − p )x

x =0 DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

Rataan:

μX = Variansi:

σ X2 =

k(1 − p) p k (1 − p ) p2 30

Contoh Histogram Distribusi Binomial  Negatif k = 2; p  = 0,2

Variabel random X  Æ banyaknya gagal sebelum memperoleh k sukses

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

31

Contoh Perhitungan Probabilitas produk cacat adalah 0,1.  Jika produk diambil satu per satu, probabilitas terambilnya produk baik (tidak cacat) sebanyak dua sebelum menghasilkan produk cacat ketiga? 

P ( X = 2) = C22+3−1 (0,1)3 (1 − 0,1)2 =

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

4! (0,1)3 (0,9)2 = 0,0049 2!2!

32

Distribusi Geometris X ∼ geometris (p) Fungsi distribusi probabilitas:

⎧p(1 − p )x −1 ;  x = 1,2,L ⎪ f (x ) = ⎨ ⎪0;  x lainnya ⎩

Parameter: p (0 ≤ p ≤ 1) Rataan:

μX =

1 p

Variansi:

1− p σ = 2 p 2 X

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

33

Percobaan Geometris ƒ Percobaan terdiri atas n usaha yang saling independen ƒ Tiap usaha hanya terdiri dari dua kejadian yang mungkin, sukses atau gagal. ƒ Probabilitas tiap sukses untuk tiap usaha adalah tetap, yaitu p (probabilitas gagal, 1 – p) ƒ Variabel random yang menyatakan banyaknya usaha agar terjadi sukses pertama merupakan variabel random geometris DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

34

Contoh Histogram Distribusi Geometris 0.2500

p  = 0,2

Variabel random X  Æ banyaknya usaha untuk memperoleh sukses pertama

0.2000

f(x)

0.1500 0.1000

0.6000

0.0500

0.5000

p  = 0,5

0.0000 0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0.4000

f(x)

x 0.3000 0.2000 0.1000 0.0000 0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

x

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

35

Probabilitas Variabel Random Berdistribusi Geometris P ( X = x ) = p(1 − p )x −1 r

P ( X ≤ r ) = ∑ p(1 − p )x −1 x =1

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

36

Contoh Perhitungan Probabilitas produk cacat adalah 0,1.  Jika produk diambil satu per satu, probabilitas ditemukannya produk yang cacat pada pengambilan ketiga?  P ( X = 3) = (0,1)(1 − 0,1)3−1 = (0,1)(0,9 )2 = 0,081   

Rata‐rata banyaknya pengambilan untuk menemukan produk cacat?

μX =

1 = 10 0,1

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

37

Definisi Lain dari Variabel Random Geometris dan Fungsi Distribusi Probabilitas Variabel random geometris X dapat juga didefinisikan sebagai banyaknya gagal untuk memperoleh sukses pertama Fungsi distribusi probabilitas: ⎧p(1 − p )x ;  x = 0,1,2,L ⎪ f (x ) = ⎨ ⎪0;  x lainnya ⎩

P ( X = x ) = p(1 − p)x r

P ( X ≤ r ) = ∑ p(1 − p )x

Parameter: p (0 ≤ p ≤ 1) Rataan:

μX =

1− p p

Variansi: σ X2 =

1− p p2

x =0

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

38

Contoh Histogram Distribusi Geometris p  = 0,2

Variabel random X  Æ banyaknya gagal sebelum memperoleh sukses pertama

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

39

Contoh Perhitungan Probabilitas produk cacat adalah 0,1.  Jika produk diambil satu per satu, probabilitas diperoleh dua produk baik (tidak cacat) sebelum diperoleh produk cacat? P ( X = 2) = (0,1)(1 − 0,1)2 = (0,1)(0,9 )2 = 0,081   

Rata‐rata banyaknya produk baik (tidak cacat) yang diperoleh sebelum menemukan produk cacat?

μX =

1 − 0,1 0,9 = =9 0,1 0,1

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

40

Hubungan Distribusi Binomial Negatif dan Geometris X ∼ binomial negatif (k, p); k = 1

X ∼ geometris (p)

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

41

Distribusi Poisson X ∼ Poisson (λ) Fungsi distribusi probabilitas:

⎧ e − λ λx ⎪ x ! ;  x = 0,1,2,L ⎪ f (x ) = ⎨ ⎪0;  x lainnya ⎪ ⎩ DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

Parameter:

λ > 0 λ Æ rata‐rata kejadian per interval waktu atau daerah tertentu Rataan:

μX = λ Variansi:

σ X2 = λ 42

Ciri‐Ciri Proses Poisson ƒ Jumlah kejadian yang terjadi dalam suatu interval waktu atau daerah tertentu adalah independen terhadap jumlah kejadian dalam interval waktu atau daerah yang lain. ƒ Probabilitas suatu kejadian yang terjadi pada interval waktu atau daerah yang sangat kecil adalah proporsional terhadap panjang interval waktu atau luas daerah dan tidak tergantung pada jumlah kejadian yang terjadi di luar interval waktu atau daerah ini. ƒ Probabilitas lebih dari satu kejadian dalam interval waktu atau daerah yang sangat kecil adalah diabaikan

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

43

Contoh Histogram Distribusi Poisson 0.3000

λ =2

0.2500

0.1500 0.1000 0.0500 0.0000 0 1

2

3 4

5 6

7 8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x

f(x)

f(x)

0.2000

0.2000 0.1800 0.1600 0.1400 0.1200 0.1000 0.0800 0.0600 0.0400 0.0200 0.0000

λ =5

0 1

2

3 4

5 6

7 8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

44

Probabilitas Variabel Random Berdistribusi Poisson e − λ λx P(X = x ) = x ! e − λ λx P(X ≤ r ) = ∑ x ! x =0 r

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

45

Contoh Perhitungan Banyaknya gangguan mesin yang terjadi per hari diketahui berdistribusi Poisson dengan rata‐rata 10 gangguan per hari.  Probabilitas bahwa terdapat paling sedikit terdapat 5 gangguan per hari? P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4 )

e −10 (10 )x                   = ∑ x ! x =0 4

e −10 (10 )0 e −10 (10 )1 e −10 (10 )4 + +L+                   = 0 ! 1 ! 4 !                   = 0,00005 + 0,00045 + L + 0,01892

                  = 0,02925

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

                  

46

Hampiran Distribusi Poisson terhadap Binomial X ∼ binomial (n, p); n → ∞; p → 0

X ∼ Poisson (λ); λ = np

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

47

Contoh Perhitungan Probabilitas suatu produk yang harus dibuang karena rusak adalah 0,01.  Jika terdapat sebanyak 1000 produk, probabilitas terdapat 10  produk yang dibuang karena rusak?

λ = (1000)(0,01) = 10 e −(10 ) (10 )5 P(X = 5) = 5 !                 = 0,0378              DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

48

Ciri Reproduktif Variabel Random Poisson Xi ∼ Poisson (λi) Xi Æ saling independen n

Y = ∑ Xi i =1

Y ∼ Poisson (λ), λ = λ1 + λ2 + ... + λn DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

49

Contoh Perhitungan Banyaknya gangguan mesin A yang terjadi per hari diketahui berdistribusi Poisson dengan rata‐rata 10 gangguan per hari.  Banyaknya gangguan mesin B yang terjadi per hari diketahui berdistribusi Poisson dengan rata‐rata 5 gangguan per hari. Probabilitas banyaknya gangguan sebanyak 5 per hari adalah:

λ = λ1 + λ2 = 10 + 5 = 15 e −15 (15)5 P (X = 5 ) = 5 !                   = 0,00194                   DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITIS Suprayogi

50