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Diseños Factoriales El objetivo de un diseño factorial es estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias respuestas o características de calidad, es decir, lo que se busca es estudiar la relación entre los factores y la respuesta, con la finalidad de conocer mejor cómo es esta relación y generar conocimiento que permita tomar acciones y decisiones que mejoren el desempeño del proceso. Por ejemplo, uno de los objetivos particulares más importantes que en general tiene un diseño factorial es determinar una combinación de niveles de los factores en la cual el desempeño del proceso sea mejor que en las condiciones de operación actuales, es decir, encontrar nuevas condiciones de operación del proceso que eliminen o disminuyen cierto problema de calidad en la variable de salida. Los factores pueden ser de tipo cualitativo (máquinas, tipos de material, operador, la presencia o ausencia de una operación previa, etc.) , o de tipo cuantitativo (temperatura, humedad, velocidad, presión, etc.). Para poder estudiar la manera en cómo influye cada factor sobre la variable respuesta, es necesario elegir al menos dos niveles de prueba para cada uno de ellos. Con el diseño factorial completo se corren aleatoriamente en el proceso todas las posibles combinaciones que pueden formarse con los niveles seleccionados. Definición de experimento factorial Un diseño de experimentos factorial o arreglo factorial es el conjunto de puntos experimentales o tratamientos que pueden formarse considerando todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores. Por ejemplo, con k=2 factores ambos con dos niveles de prueba, se forma el diseño factorial 2x2=22 que consiste de cuatro combinaciones o puntos experimentales. Considerando otra vez k=2 factores, pero ahora con tres niveles y el otro con dos niveles se puede construir 3x2 combinaciones que dan lugar al diseño factorial 3x2. Más en general, la familia de diseños factoriales 2k consiste en k factores, todos con dos niveles de prueba; la familia de diseños 3k consiste de k factores cada uno con tres niveles de prueba. Diseño Factorial 22 Supongamos que se tienen dos factores A: tiempo y B: velocidad, cada uno con dos niveles (bajo y alto), la respuesta es la cantidad de aditivo. En el experimento, cada tratamiento se corrió tres veces (tres réplicas) lo que da un total de 12 corridas del proceso. Por simplicidad sólo se muestra los resultados de la primera réplica: Tiempo 3

6

Velocidad 600 1000 17,10 18,76 ─ ─ ─ ─ 16,26 18,16 ─ ─ ─ ─

Efecto principal y efecto de interacción El efecto de un factor se define como el cambio observado en la variable respuesta debido a un cambio de nivel de tal factor. En particular los efectos principales, son los cambios en la media de la variable respuesta debido a la acción individual de cada factor. Matemáticamente el efecto principal de un factor es la diferencia entre la respuesta media observada cuando tal factor estuvo en su nivel más alto y la respuesta media observada cuando el factor estuvo en su nivel más bajo. Por ejemplo, para los datos de la tabla anterior están daos por: Efecto A: 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 =

16.26+18.16 17.10+18.76 − 2 2

Efecto B: 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 =

= −0.72

18.76+18.16 17.10+16.26 − 2 2

= 1.78

Por otro lado, se dice que dos factores interactúan entre sí o que tienen un efecto de interacción sobre la variable respuesta, cuando el efecto de un factor depende del nivel en que se encuentra el otro. Por ejemplo, los factores tiempo y velocidad interactúan si el efecto del tiempo es muy diferente en cada nivel de velocidad, o viceversa, si el efecto de la velocidad depende del tiempo. Veamos esto con los datos: Efecto A con B bajo: 16.26 – 17.10 = -0.84 Y cuando la velocidad es alta el efecto de A es: Efecto A con B alto: 18.16 – 18.76 = -0.6 Si estos dos efectos de A en función del nivel B fueran diferentes, entonces eso sería evidencia de que la elección más conveniente del nivel de A depende del nivel en que esté B y viceversa. Es decir, eso sería evidencia de que los factores A y B interactúan entre sí. En la práctica el cálculo del efecto de A en cada nivel de B no se hace, y más bien se calcula el efecto global de la interacción entre los dos factores. El efecto de interacción entre A y B, denotado por AB se calcula como la diferencia entre la respuesta media cuando ambos factores se encuentran en el mismo nivel ((bajo,bajo),(alto,alto)), y la respuesta media cuando los factores se encuentran en niveles opuestos ((bajo, alto),(alto, bajo)). Para el ejemplo el efecto de la interacción tiempo x temperatura está dado por: 𝐴𝐵 =

17.10 + 18.16 16.26 + 18.76 − = 0.12 2 2

Los valores absolutos de los efectos principales y del efecto de la interacción son una medida de la magnitud de su efecto sobre la variable respuesta. Así, entre más grande sea el valor absoluto de un efecto, mayor influencia tendrá sobre la variable respuesta. Sin embargo, para saber si los efectos son estadísticamente significativos se requiere del análisis de varianza. Ventajas de los diseños factoriales

1. Son diseños que se pueden aumentar para formar diseños compuestos en caso de que se requiera una exploración más completa. 2. Se pueden correr fracciones de diseños factoriales, las cuales son de gran utilidad en las primeras etapas de una investigación que involucra a muchos factores, cuando interesa descartar de manera económica los que son importantes, antes de hacer un estudio más detallado con los factores que si son importantes. 3. Pueden utilizarse en combinación con diseños de bloques en situaciones en las que no puede correrse el diseño factorial completo bajo las mismas condiciones o circunstancias. 4. La interpretación y cálculo de los efectos en los experimentos factoriales se puede hacer con aritmética elemental, en particular cuando cada factor se prueba en dos niveles. Diseños Factoriales con dos Factores Considere los factores A y B con a y b (a, b ≥ 2) niveles de prueba, respectivamente. Con ellos se puede construir el diseño factorial a x b que consiste en a x b tratamientos. Se llama réplica a cada repetición completa del arreglo factorial. Los diseños factoriales que involucran menos de 4 factores se corren replicados para poder tener la potencia necesaria en las pruebas estadísticas sobre los efectos de interés, de tal forma que si se hacen n réplicas, el número total de corridas experimentales es n(a x b). Modelo Estadístico: Con un diseño factorial a x b se pueden estudiar los efectos individuales y el efecto de interacción de ambos factores. En términos estadísticos lo que se afirma es que el comportamiento de la variable respuesta Y en el experimento con k réplicas se podrá escribir mediante: 𝑌𝑖𝑗𝑘 = 𝜇 + 𝛼𝑖 + 𝛽𝑗 + (𝛼𝛽)𝑖𝑗 + 𝜀𝑖𝑗𝑘 𝑖 = 1,2, … , 𝑎

𝑗 = 1,2, … , 𝑏

𝑘 = 1,2, … , 𝑛

Donde 𝜇 es la media general, 𝛼𝑖 es el efecto del i-ésimo nivel del factor A, 𝛽𝑗 es el efecto del j-ésimo nivel del factor B, (𝛼𝛽)𝑖𝑗 representa el efecto de interacción en la combinación ij y 𝜀𝑖𝑗𝑘 es el error aleatorio que supone sigue una distribución con media cero y varianza constante 𝜎 2 y son independientes entre sí. Para que la estimación de los parámetros en este modelo sea única, se introducen las restricciones: ∑𝑎𝑖=1 𝛼𝑖 = ∑𝑏𝑗=1 𝛽𝑗 = 0 y ∑𝑎𝑖=1(𝛼𝛽)𝑖𝑗 = ∑𝑏𝑗=1(𝛼𝛽)𝑖𝑗 = 0 Es decir, los efectos dados en el modelo son desviaciones respecto de la media global. Hipótesis a evaluar y análisis de varianza

Para el Factor A 𝐻0 : 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴 = 0 𝐻1 : 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴 ≠ 0 Ó 𝐻0 : 𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑎 = 0 𝐻1 : 𝛼𝑖 ≠ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑖 Para el Factor B 𝐻0 : 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐵 = 0 𝐻1 : 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐵 ≠ 0 Ó 𝐻0 : 𝛽1 = 𝛽2 = ⋯ = 𝛽𝑏 = 0 𝐻1 : 𝛽𝑗 ≠ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑗 Para la interacción AB: 𝐻0 : 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴𝐵 = 0 𝐻1 : 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝐴𝐵 ≠ 0 Ó 𝐻0 : (𝛼𝛽)𝑖𝑗 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑖𝑗 𝐻1 : (𝛼𝛽)𝑖𝑗 ≠ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑖𝑗 El ANOVA para un diseño factorial a x b con n réplicas resulta de descomponer la variación total como: SST=SSA+SSB+SSAB+SSE Y la tabla de ANOVA está dada por:

Fuente de Variación

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

Estadístico F

Efecto A

SSA

a-1

CMA=SSA/(a-1)

CMA/CME

Efecto B

SSB

b-1

CMB=SSB/(b-1)

CMB/CME

SSAB

(a-1)(b-1)

CMAB=SSAB/((a-1)(b-1))

CMAB/CME

Error

SSE

ab(n-1)

CME=SSE/(ab(n-1))

Total

SST

abn-1

Efecto AB

Ejemplo: En un experimento llevado a cabo para determinar cuál de tres sistemas de misiles es preferible, se midió el promedio de consumo de los propulsores para 24 encendidos estáticos. Se utilizaron cuatro tipos diferentes de propulsores. En el experimento se obtuvieron observaciones duplicadas de promedios de consumo en cada combinación de los tratamientos. Los datos aparecen a continuación:

Sistema de Misiles

B1

Tipo de impulsor B2 B3

B4

A1

34,0 32,7

30,1 32,8

29,8 26,7

29,0 28,9

A2

32,0 33,2

30,2 29,8

28,7 28,1

27,6 27,8

A3

28,4 29,3

27,3 28,9

29,7 27,3

28,8 29,2

Ejercicios: 1. Se realizó un estudio con el objetivo de averiguar la estabilidad de la vitamina C en concentrado de jugo de naranja congelado reconstituido que se almacena en un refrigerador por un periodo de hasta una semana. Tres tipos de concentrado de jugo de naranja congelado se probaron utilizando tres periodos diferentes de tiempo. Estos últimos se refieren al número de días que transcurren desde que el jugo de naranja se mezcla hasta que se somete a la prueba. Los resultados, en miligramos de ácido ascórbico por litro, se registraron de la siguiente manera, según se indica en la siguiente tabla.

Marca

Tiempo en días 3

0

7

A1

52,6 49,8

54,2 46,5

49,2 42,8

49,4 53,2

42,7 40,4

48,8 47,6

A2

56,0 49,6

48,0 48,4

48,8 44,0

44,0 42,4

49,2 42,0

44,0 43,2

A3

52,5 51,8

52,0 53,6

48,0 48,2

47,0 49,6

48,5 45,2

43,4 47,6

Utilice un nivel de significancia de 0,05 para probar las hipótesis: a) No existe diferencia en los contenidos de ácido ascórbico entre las diferentes marcas de concentrado de jugo de naranja. b) No existen diferencias en los contenidos de ácido ascórbico debido a los diferentes periodos de tiempo. c) Las marcas de concentrado de jugo de naranja y el número de días que transcurre desde que el jugo se mezcla hasta que se somete a la prueba no interactúan.

2. Se realizó un estudio para determinar qué músculos necesitan sujetarse a un programa de acondicionamiento de tal forma que se mejore el comportamiento de un jugador en el servicio tendido utilizado en tenis. Se probaron cinco músculos diferentes: deltoide anterior, pectoral mayor, deltoide posterior, deltoide medio y tríceps; en cada uno de tres individuos, y el experimentador se llevó a cabo tres veces para cada combinación de tratamiento. Los datos del electromiograma, registrados durante el servicio fueron los siguientes:

Sujeto 1

2

3

1 32 59 38 63 60 50 43 54 47

2 5 1,5 2 10 9 0 41 43 47

Músculo 3 58 61 66 64 78 78 26 29 23

4 10 10 14 45 61 71 63 46 55

5 19 20 23 43 61 42 61 85 95

a) Individuos diferentes tienen iguales mediciones de electromiograma. b) Diferentes músculos no tienen efecto sobre las mediciones electromiográficas. c) Los sujetos y los tipos de músculos no interactúan.

3. Un ingeniero está diseñando una batería para usarse en un aparato que estará sujeto a variaciones extremas de temperatura. Tiene tres opciones para el material de la placa para la batería, y como sabe que la temperatura afecta la vida de la batería decide probar tres temperaturas: 15°F, 70°F, 125°F. Se prueban 4 baterías en cada combinación de material y temperatura y las 36 pruebas se corren en orden aleatorio (completamente al azar). Los datos son vida (en horas) de las baterías.

Tipo de Material 1

130 74

155 180

Temperatura (°F) 70 34 40 80 75

2

150 159

188 126

136 106

122 115

25 58

70 45

3

138 168

110 160

174 150

120 139

96 82

104 60

15

125 20 82

70 58

a) ¿Qué efectos produce el material y la temperatura en la vida de la batería? b) ¿Existe un material que produzca uniformemente más larga vida a la batería sin importar la temperatura? 4. Se estudia el rendimiento de un proceso químico. Se piensa que las dos variables más importantes son la presión y la temperatura. Se seleccionan tres niveles de cada factor y se lleva a cabo un experimento factorial con dos réplicas. Los datos del rendimiento son:

Temperatura (°C) 150 160 170

200 90.4 90.2 90.1 90.3 90.5 90.7

Presión (psig) 215 90.7 90.6 90.5 90.6 90.8 90.9

230 90.2 90.4 89.9 90.1 90.4 90.1

a) Analice los datos, ¿qué concluye? b) ¿Bajo qué condiciones debe operarse este sistema? 5. Un ingeniero sospecha que el acabado superficial de una pieza metálica se afecta por la velocidad de alimentación y la profundidad de corte. Selecciona tres velocidades de

alimentación y cuatro profundidades de corte. Se realiza un experimento factorial y se obtiene los siguientes resultados:

Velocidad de Alimentación (pulg/min) 0.20

0.25

0.30

0.15 74 64 60 92 86 88 99 98 102

Profundidad de corte (pulg) 0.18 0.20 79 82 68 88 73 92 98 99 104 108 88 95 104 108 99 110 95 99

0.25 99 104 96 104 110 99 114 111 107

Realice las interpretaciones pertinentes. 6. Se describe un experimento para investigar el efecto del tipo de cristal y el tipo de fósforo sobre la brillantez de un cinescopio. Los datos son la corriente en micro amperes necesaria para obtener un nivel de brillantez específico. Los datos son los siguientes.

Tipo de Cristal 1.00

2.00

1 280 290 285 230 235 240

Realice las interpretaciones pertinentes.

Tipo de fósforo 2 300 310 295 260 240 235

3.00 290 285 290 220 225 230