Difraccion De Onda Plana Sobre Un Par De Planos Dielecricos Adyacentes Y Coplanares

TRABAJO COMPLEMENTARIO Título: Difracción de una onda plana en bloques adyacentes coplanares.

Alumno: Alejandro Jesus Huamantuma Anco

Código: 20150120

Curso: Campos Electromagnéticos Aplicados a las Telecomunicaciones

Profesor: Manuel Yarlequé

SEMESTRE 2018-2

Contenido Capítulo 1. Introducción ............................................................................... 3 Capítulo 2. Conocimientos previos ............................................................ 5 Capítulo 3. Desarrollo y Evaluación ........................................................13 Capítulo 4. Validación ..................................................................................17 Capítulo 5. Conclusiones .............................................................................19

1

Lista de Acrónimos GO

Óptica Geométrica

GTD

Teoría Geométrica de la difracción

UTD

Teoría uniforme de la difracción

UAPO

Solución asintótica uniforme de óptica física

CSD

Coeficiente de difracción pendiente de esquina

Introducción

Capítulo 1. Introducción La capacidad de describir y resolver problemas de difracción es la clave para aplicaciones muy importantes como la planificación de radioenlaces, diseño de antenas e identificación de objetivos de radar. El presente documento pretende desarrollar, evaluar y validar el comportamiento de las ondas electromagnéticas difractadas cuando se propagan en presencia de dos bloques adyacentes coplanares. Este trabajo tiene su principal base teórica en el artículo [1] publicado en el año 2016 titulado “Plane wave Diffraction by Co-Planar Adjacent Blocks” perteneciente a Marcello Frongillo, Giovanni Riccio y Gianluca Gennarelli. El desarrollo se basará en tres soluciones asintóticas (aproximadas) para modelar el fenómeno de la difracción, los cuales son más eficientes en el uso de recursos de cómputo y son aplicables en la actualidad. El primero de ellos es la Teoría Geométrica de la Difracción (GTD por sus siglas en inglés) propuesto por Joseph B. Keller (Keller, 1962). Esta teoría incorpora el fenómeno de difracción a las leyes de la Óptica geométrica (GO por sus siglas en inglés), que se basa en el supuesto de que las ondas se pueden representar por rayos que denotan la dirección de desplazamiento de la energía EM, y que los campos de onda son caracterizados matemáticamente por la amplitud, el factor de propagación de fase y la polarización. GTD tiene su importancia debido a que modulariza un problema de difracción. En otras palabras, te permite trabajar con componentes más pequeños y simples, de modo que la solución total sea una superposición de las contribuciones de cada problema menor.

Además, es fácil de aplicar, proporciona información física sobre la radiación y los mecanismos de dispersión de las distintas partes de la estructura, proporciona resultados precisos que se comparan bastante bien con experimentos y otros métodos, y se puede combinar con técnicas numéricamente rigurosas para obtener métodos híbridos. El segundo método es una versión uniforme del ya mencionado GTD y se titula la Teoría Uniforme de la difracción. (UTD por sus siglas en inglés) propuesto por R.C. Kouyoumjian y P.H. Pathak (Kouyoumjian y Pathak, 1974). Este trabajo apareció para suplir las limitaciones del GTD, el cual fallaba en las discontinuidades al momento de representar la transición entre la parte iluminada y la parte sombreada. Debido a sus características, los investigadores e ingenieros en general suelen preferir la UTD para tratar estructuras reales con bordes. Por último, el tercer método son las Soluciones Uniformes Asintóticas de Óptica Física para un conjunto de problemas de difracción (UAPO por sus siglas en ingles) propuestas por Giovanni Riccio (G. Riccio 2010). Este trabajo reúne los anteriores y los orienta a casos más específicos. G. Riccio ha desarrollado y publicado varios artículos relacionados que modelan la generación de la onda difractada luego de incidir en bordes de ángulo recto, ángulo agudo y ángulo obtuso. Uno de sus últimos artículos publicados en el año 2016 se refiere al caso de la incidencia de una onda en el cruce de dos medios distintos (bloques adyacentes coplanares) y es de este ultimo de donde basare mi trabajo. En las siguientes líneas se planteará y desarrollará métodos asintóticos para hallar los parámetros de una onda difractada que pueda ser aplicada a los campos de la investigación y la ingeniería como una alternativa confiable y simple de analizar.

Capítulo 2. Conocimientos previos En el capitulo anterior se presentaron las tres soluciones asintóticas en las que se basara el desarrollo del modelo de la difracción que analizaremos para alcanzar nuestro objetivo. En las siguientes líneas se hará una breve presentación de cada una de las soluciones para establecer nuestro panorama teórico antes de continuar con el desarrollo del trabajo.

2.1. Teoría Geométrica de la Difracción (GTD) Esta solución, propuesta por J. B. Keller en el año 1962, complementa, como ya se mencionó con anterioridad, la Óptica Geométrica (GO), en las cuales el fenómeno de la difracción no era representado. Keller expresa que, al igual que al igual que las leyes de GO, las nuevas leyes también serán deducibles del principio de Fermat y que los “rayos de difracción” se comportarán como rayos ordinarios. Es más, la teoría menciona lo siguiente: “Se supone que la fase del campo en un rayo es proporcional a la longitud óptica del rayo desde algún punto de referencia donde la fase es cero. Se supone que la amplitud varía de acuerdo con el principio de conservación de energía en un tubo estrecho de rayos. La dirección del campo, cuando es un vector, viene dada por un vector unitario perpendicular al rayo. Este vector se desliza paralelo a sí mismo a lo largo del rayo en un medio homogéneo y gira alrededor del rayo de una manera específica a medida que se desliza a lo largo de él en un medio no homogéneo. Se pueden usar exactamente los mismos principios que los que acabamos de describir para asignar un campo a cada rayo difractado. La única dificultad se produce al obtener el valor inicial del campo en el punto de difracción.” (J. B. Keller, 1962). 5

Para poder obtener el valor inicial del campo en el punto de difracción Keller propone la existencia de un “Coeficiente de difracción” análogo al coeficiente de reflexión o transmisión. Sin embargo, este coeficiente sería diferente dependiendo de si es producido por la incidencia de una onda en bordes, vértices, curvas suaves, etc. Uno de estos casos ya resuelto fue resuelto por Sommerfeld, un famoso físico alemán contemporáneo a Planck y Einstein. En [8] el plantea una solución para el caso de un plano semi-infinito con borde recto. El resultado consistía en las ondas planas incidente y reflejada mas una tercera onda que hace referencia la difractada. Sus conclusiones se pueden resumir de la siguiente manera: •

Un rayo incidente normal al borde del plano produce rayos difractados que también son normales al borde y que se dirigen en todas las direcciones.

•

Un rayo incidente oblicuo al borde del plano produce rayos difractados con frentes de onda cónicos con el borde recto como su eje.

Figura 2.1. Rayos difractados producidos por una onda con incidencia oblicua (izquierda) y otra con incidencia normal (derecha)

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Ahora, Keller aproxima el resultado de la siguiente manera: Consideraciones: -

Rayo difractado en un medio homogeneo, linea recta.

-

Caso bidimensional donde el borde es una linea y todos los rayos caen en un plano normal al borde.

-

r: Es la distancia desde el borde.

Para encontrar la amplitud 𝐴(𝑟) se consideran dos rayos como un tubo de rayos en el plano normal al borde. El area de la seccion transversal es proporcional a 𝑟 y el flujo de potencia debe ser proporcional a 𝑟. 𝐴2 . Ahora, como el flujo debe 1

ser constante, 𝐴(𝑟) debe ser proporcional a 𝑟 −2 . Ademas, la amplitud debe tambien ser proporcional a la Amplitud incidente 𝐴𝑖. De esta manera, nos 1

referimos a 𝐴(𝑟) = 𝐷. 𝐴𝑖. 𝑟 −2 , donde 𝐷 es el coeficiente de difraccion. Entonces, el campo difractado es 1

(1)

𝐸 = 𝐷. 𝐴𝑖. 𝑟 −2 . 𝑒 𝑖𝑘.𝑟

Keller compara este resultado con lo obtenido por Sommerfeld y concluye ambas soluciones se aproximan muy bien para valores grandes de 𝑘𝑟 siempre que 𝐷 tome la siguiente forma. 𝑗𝜋

𝐷= −

𝑒4

1

2(2𝜋𝑘)2 sin 𝛽

(2)

1 1 [sec ( ∗ (𝜃 − 𝛼)) ± csc ( ∗ (𝜃 + 𝛼))] 2 2

𝜋

Donde β es el angulo entre el rayo incidente y el borde (para este caso es 2 ). Los angulos entre los rayos incidente y difractado respecto del plano normal al borde son 𝜃 𝑦 𝛼 respectivamente. Finalmente para validar los resultados, Keller obtiene una expresion completa del campo total en un punto lejano y obtiene su patron de difraccion. Los resultados a continuacion muestran la buena aproximacion que se obtiene con este modelo.

Figura 2.2. Patrón de difracción aproximado por la solución asintótica del GTD

2.2. Teoría uniforme de la difracción (UTD). Aunque en [2], Keller desarrolla expresiones matemáticas para modelar el fenómeno de la difracción. Este presenta discontinuidades entre la zona iluminada y la zona sombreada que no son analizados en profundidad. Ante esta situación R.C. Kouyoumjian y P.H. Pathak en [3] desarrollan un modelo en el que incluyen una función de transición para complementar y mejorar el trabajo hecho por Keller en [2]. En palabras de los autores, “Este documento se ocupa de la construcción de una solución de alta frecuencia para la difracción de una onda electromagnética que incide oblicuamente en un borde en una superficie perfectamente conductora curva, por lo demás lisa, rodeada por un medio isotrópico homogéneo… () …Se hace hincapié en encontrar una forma compacta y precisa del coeficiente de difracción válido en las regiones de transición adyacentes a los límites de sombra y reflexión, y útil en aplicaciones prácticas.” (Kouyoumjian y Pathak, 1974) Para encontrar la solución asintótica del coeficiente de difracción en cuestión, se realizan los siguientes pasos: 1. Se empieza por la serie expandida de Luneberg-Kline en [9], la cual es una solución asintótica para el campo incidente.

Error! Use the Home tab to apply Título 1 to the text that you want to appear here.. Error! Use the Home tab to apply Título 1 to the text that you want to appear here. ∞

𝐸𝑖~𝑒 −𝑗𝑘∅ ∗ ∑ 𝑚=0

𝐸𝑚 (𝑗𝑤)𝑚

(3)

Si se incluye esta expresión en la ecuación vectorial de onda y se integra, el termino principal de (3) se convierte en

𝐸𝑖(𝑠)~𝑒

−𝑗.𝑘.∅(𝑠)

∗ 𝐸𝑜(𝑠) = 𝐸𝑜(0). 𝑒

−𝑗.𝑘.∅(0)

𝜌1. 𝜌2 ∗√ ∗ 𝑒 −𝑗.𝑘.𝑠 (𝜌1 + 𝑠)(𝜌2 + 𝑠)

(4)

Donde 𝑠 es la distancia a lo largo del camino del rayo y 𝜌1 , 𝜌2 son los radios de curvatura de los frentes de onda al punto de referencia 𝑠 = 0.

Figura 2.3. Tubo de rayos astigmático

2. El campo reflejado se expande de manera similar y se relaciona con el campo incidente a través de las condiciones de frontera en la superficie conductora. 𝜌𝑟 1. 𝜌𝑟 2 𝐸𝑟(𝑠) = 𝐸𝑖(𝑄𝑟). 𝑅. √ 𝑟 ∗ 𝑒 −𝑗.𝑘.𝑠 (𝜌 1 + 𝑠)(𝜌𝑟 2 + 𝑠)

(5)

Donde 𝜌𝑟 1 y 𝜌𝑟 2 son los radios de curvatura de los frentes de onda al punto de reflexión 𝑄𝑟 de la onda incidente, y R es el coeficiente de reflexión. 3. A continuación, se determina la forma generalizada del termino principal de la solución de alta frecuencia para el campo EM difractado.

𝜌𝜌′ 𝐸𝑑(𝑠)~𝐸𝑑(0′). √ ∗ 𝑒 −𝑗.𝑘.𝑠 (𝜌 + 𝑠)(𝜌′ + 𝑠)

(6)

Es conveniente ubicar el punto de referencia 0’ en el punto 𝑄𝑒 de donde emanan todos los rayos difractados. Ahora, como el campo difractado es independiente en el punto 0’, en el limite 𝜌′ → 0 existe. Además, ya que el campo difractado es proporcional al campo incidente en 𝑄𝑒, 𝜌 𝐸𝑑(𝑠)~𝐸𝑖. 𝐷. √ ∗ 𝑒 −𝑗.𝑘.𝑠 𝑠(𝜌 + 𝑠)

(7)

Se considera ahora los campos eléctricos y magnéticos en presencia de una superficie con borde. 𝐸 = 𝐸𝑖 + 𝐸𝑟 + 𝐸𝑑

(8a)

𝐻 = 𝐻𝑖 + 𝐻𝑟 + 𝐻𝑑

(8b)

Estos deben satisfacer la ecuación de Helmholtz 𝐸 (∇2 + 𝑘 2 ) ( ) = 0 𝐻

(9)

Finalmente, a través de las condiciones de frontera suave (Dirichlet) o fuerte (Neumann), las soluciones asintóticas se pueden poner de la forma 𝐸𝑑 𝐸𝑖 𝐷𝑠 𝜌 ( )~( )( )√ ∗ 𝑒 −𝑗.𝑘.𝑠 𝐻𝑑 𝐻𝑖 𝐷ℎ 𝑠(𝜌 + 𝑠)

(10)

Donde 𝐷𝑠 se refiere al coeficiente de difracción obtenido con la condición de frontera suave y 𝐷ℎ se refiere al coeficiente obtenido con la condición de frontera fuerte.

Finalmente, el termino principal del campo difractado contiene un simple factor de corrección que es hallado tomando en consideración la continuidad entre los espacios iluminados y no iluminados. Gracias a este factor es posible calcular

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fácilmente el campo en la región de transición. Esta propiedad permite utilizar la GTD en las regiones de transición sin agregar ninguna solución adicional. Al factor de corrección se le llama función de transición y es fácilmente incluido en el coeficiente de difracción. Tiene la siguiente forma ∞

𝐹(𝑋) = 2𝑗√𝑋 𝑒

𝑗𝑋

(11)

2

∫ 𝑒 −𝑗𝑟 𝑑𝑟 √𝑋

Si se la combina con los resultados obtenidos en GTD, el coeficiente de difracción toma la siguiente forma

𝐷= −

(12)

𝑗𝜋 𝑒4

F[k. L. 𝑎

1 2(2𝜋𝑘)2 sin 𝛽

[

− (𝜃

− 𝛼)]

1 sen (2 ∗ (𝜃 − 𝛼))

±

F[k. L. 𝑎

+ (𝜃

+ 𝛼)]

1 cos (2 ∗ (𝜃 + 𝛼)) ]

L es un parámetro de distancia que se determina para diversos tipos de iluminación. Para ondas planas L = s. [sin(𝜃 ± 𝛼)]2 2𝑛𝜋𝑁 ± −𝑋

Donde 𝑎 ± (𝑋) = 2 [cos (

2

)]2, N ± son enteros que satisfacen las siguientes

ecuaciones: 2nπ𝑁 + − 𝑋 = 𝜋 y 2nπ𝑁 − − 𝑋 = −𝜋. Además, 𝑎(𝑋) es una medida de la separación angular del punto del campo y los límites de la reflexión o sombra. Para ondas planas la aproximación es más precisa cuando KL > 1, amenos que n tenga un valor cercano a 1, entonces KL > 3.

2.3. Soluciones Uniformes Asintóticas de Óptica Física (UAPO). Como se mencionó en el capítulo introductorio, estas soluciones asintóticas intentan reunir los trabajos anteriores y enfocarlas a casos mas específicos. En ese sentido, la deducción de los resultados comienza desde el análisis del campo de dispersión. Es importante recordar que la difracción es un caso especial del fenómeno de la dispersión en el cual un grupo de las ondas dispersas poseen periodicidad y son coherentes entre ellas, lo cual genera una interferencia constructiva que propaga las ondas difractadas. Por lo tanto, comenzare presentando la integral de radiación que modela al campo de dispersión de manera general.

(13)

𝐸𝑠 ≅ −𝑗𝑘 ∬[(𝐼 − 𝑅̂ 𝑅̂ )(𝜂. 𝐽𝑠) + 𝐽𝑚𝑠 × 𝑅̂ ]𝐺(𝑟, 𝑟′) 𝑑𝑆

Donde 𝑆 es toda la superficie iluminada del objeto que causa la difracción, 𝐺(𝑥) es la función de Green, 𝜂 y 𝑘 son la impedancia intrínseca y la constante de propagación respectivamente. Además, 𝑅̂ es el vector unitario del elemento radiante e 𝐼 es una matriz de identidad de 3x3. Por último, 𝐽𝑠 y 𝐽𝑚𝑠 son el equivalente

a

las

corrientes

superficiales

eléctricas

y

magnéticas

respectivamente que se pueden determinar usando la aproximación física óptica. 𝐽𝑠 = 𝐽𝑠. 𝑒 𝑗𝜑

(14a)

𝐽𝑚𝑠 = 𝐽𝑚𝑠. 𝑒 𝑗𝜑

(14b)

Ahora, de acuerdo con los resultados de Keller explicados previamente, es posible tener una idea de la dirección del campo difractado en base a la geometría del borde y a la dirección del campo incidente. Por lo tanto, debería existir un vector unitario 𝑠̂ que apunte en esa dirección. De esta manera es posible usar 𝑅̂ ≅ 𝑠̂ para evaluar el campo difractado confinado a las direcciones de las ondas difractadas según la teoría del GTD.

A partir de aquí, los resultados varían de acuerdo con el caso que se esté evaluando. Es por ello por lo que la especificación del caso de un bloque con borde de 90 grados se desarrollará en el siguiente capítulo.

Capítulo 3. Desarrollo y Evaluación En las siguientes líneas explicaré el caso de una onda electromagnética incidente en el borde de dos objetos con ángulo recto. Como se mencionó en el capítulo introductorio, este análisis fue propuesto G. Riccio en [4]. Sin embargo, debido al interés de este trabajo, se utilizarán las soluciones propuestas por Gianluca Gennarelli y Giovanni Riccio en [5]-[7] en los que nos muestran casos más específicos de uso para los modelos teóricos previamente presentados. Concretamente se desarrollará los conceptos de [5] en el que se analiza el caso de un borde con ángulo de 90 grados. Además, es de interés de este trabajo analizar solo el campo difractado en la región externa de los bloques. Antes de empezar, se mostrará los pasos que seguirá el desarrollo del caso a través del siguiente esquema:

1

2 3 4

5

•Se parte de las integrales de radiacion superficial para cada region de observacion.

•Se manipulan las integrales para que se puedan resolver por el metodo Steepest Descendant. •Se obtiene una solucion uniforme asintotica en el dominio de la frecuencia que representa la funcion de transicion UTD y ademas de los coeficientes de reflexion y transmision de Fresenel. •Se aplica la transformada inversa de Laplace para obtener los coeficientes de difraccion en el dominio del tiempo.

•Se comparan los resultados

13

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Se presenta en este momento la estructura formada por dos bloques coplanares, dieléctrico y conductor, con bordes de 90 grados.

Figura 3.1. Estructura del modelo de dos bloques adyacentes coplanares

De la Figura 3.1 podemos aclarar que el siguiente análisis se realizara para el modo Transversal Eléctrico (TE) de la propagación de onda. Luego, se parte de la solución mencionada en el capitulo anterior en el que se hace referencia al campo disperso confinado a las direcciones de las ondas difractadas a través de la aproximación 𝑅̂ ≅ 𝑠̂ . Antes de empezar el desarrollo, se recuerda las expresiones 8a y 8b sobre la composición del campo eléctrico y magnético total. Ambos están compuestos por el campo incidente, el campo reflejado y el campo difractado. Este último se encontrará a través de las expresiones presentadas en el capítulo anterior.

3.1. Región Externa: Espacio libre Los campos incidente y reflejado se pueden hallar partiendo de las ecuaciones de Maxwell y encontrando soluciones para la ecuación de Helmholtz como se hizo en clase [11]. Luego se modela la incidencia de onda oblicua y se tiene el siguiente resultado. Para el campo incidente: ⃗⃗⃗ .𝑟 ⃗⃗⃗ = 𝐸𝑜𝑖. (0,0,1)𝑒 −𝑖.𝑘𝑖 𝐸𝑖

(15a)

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⃗⃗⃗⃗ 𝐾𝑖 = 𝐾𝑜. (− cos 𝜙 ′ , − sin 𝜙′ , 0)

(15b)

Para el campo reflejado: ⃗⃗⃗⃗ .𝑟 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑅. 𝐸𝑜𝑖. (0,0,1)𝑒 −𝑖.𝑘𝑟 𝐸𝑟

(16a)

⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐾𝑜. (− cos 𝜙 ′ , sin 𝜙′ , 0) 𝐾𝑟

(16b)

Donde K es el vector unitario de dirección del campo y R es el coeficiente de reflexión. Ahora, para el campo difractado: Se comienza el análisis de la integral de radiación en la ecuación (13) y las ecuaciones (14a y 14b). Sin embargo, debido a que estamos analizando la difracción en el borde de unión de dos bloques coplanares, la integral de dispersión comprenderá las contribuciones de la difracción tanto del objeto conductor y del objeto dieléctrico. De esta manera el campo de dispersión total tendrá la siguiente estructura. 𝐸𝑠 ≅ [𝐴𝑑. 𝐼𝑑 + 𝐴𝑚. 𝐼𝑚]𝐸𝑜𝑖

(17)

Donde 𝐴𝑑, 𝐼𝑑 representan a la contribución del objeto dieléctrico para el campo de dispersión. De la misma manera 𝐴𝑚, 𝐼𝑚 representan a la contribución producida por parte del objeto metálico-conductor. Luego, se procede a manipular para luego minimizar las Integrales 𝐼𝑑 𝑒 𝐼𝑚 a través del método de Steepest Descendant, en la región confinada a la aproximación 𝑅̂ ≅ 𝑠̂ , con el objetivo de encontrar una expresión para el campo difractado. Finalmente, el resultado de la minimización con todas las consideraciones necesarias tiene la siguiente forma:

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𝐸𝑑 ≅ [𝐴𝑑𝑑. 𝐼𝑑𝑑 + 𝐴𝑚𝑑. 𝐼𝑚𝑑]𝐸𝑜𝑖 = 𝐷.

𝑒 −𝑗.𝐾𝑜.𝜌 √𝜌

𝐸𝑜𝑖

(18)

Donde D es el coeficiente de difracción de la ecuación (12) del cual se ha hablado en el capítulo anterior.

En síntesis, hemos podido obtener una expresión para los tres componentes del campo eléctrico total (campo incidente, campo reflejado, campo difractado) a través de los modelos aproximados asintóticamente que se presentaron en el capitulo anterior de conocimientos previos.

Capítulo 4. Validación Para poder validar los resultados obtenidos, este trabajo hará referencia a el análisis propuesto por Maifuz Ali y Subrata Sanyal en [10]. Ellos proponen usar los modelos de difracción de GTD en una antena tipo Bocina. En base a los resultados de Keller (Keller, 1962), es posible analizar el campo difractado tomando en cuenta la geometría de la antena como se muestra en las figuras 4.1 y 4.2.

Figura 4.1. Geometría de la antena tipo bocina

17

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Figura 4.2. Cono de Keller de rayos difractados producido en los bordes de la antena

Figura 4.3. Geometría de la difracción de las paredes de la antena bocina

Capítulo 5. Conclusiones •

•

•

•

Los resultados obtenidos demuestran la viabilidad de las soluciones asintóticas para ser aplicadas en el campo de la ingeniería. Las soluciones son mas ligeras de analizar y presentan buenas aproximaciones que son útiles y dan información relevante. La teoría uniforme de la difracción UTD aproxima con mayor exactitud los valores de campo difractado tratando de no comprometer la eficiencia de los resultados. El análisis del campo difractado al incidir en el borde de dos bloques coplanares representa muchísimos de los casos de la vida real debido a que las ondas que llevan las comunicaciones viajan a través de muchísimos ambientes y obstáculos. Es muy común encontrarse con situaciones donde los medios cambian y las ondas difractadas presentan perdidas de energía. La aplicación de la teoría Geométrica de la difracción a la antena bocina, representa la facilidad con la que se pueden realizar análisis haciendo uso de modelos geométricos bien aproximados a la realidad.

19

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Referencias [1] M. Frongillo, G. Riccio and G. Gennarelli (2016), "Plane wave diffraction by co-planar adjacent blocks," 2016 Loughborough Antennas & Propagation Conference (LAPC), Loughborough, 2016, pp. 1-4. [2] J. B. Keller (1962), “Geometrical Theory of Diffraction,” Journal of the Optical Society of America, vol. 52, pp. 116-130. [3] R.G. Kouyoumjian and P.H. Pathak (1974), “A uniform geometrical theory of diffraction for an edge in a perfectly conducting surface,” Proc. IEEE, vol. 62, pp. 1448-1461. [4] Giovanni Riccio (2010), “Uniform Asymptotic Physical Optics Solutions for a Set of Diffraction Problems”, Wave Propagation in Materials for Modern Applications, Andrey Petrin (Ed.), ISBN: 978-953-7619-65-7, InTech. [5] G. Gennarelli and G. Riccio (2011), “A uniform asymptotic solution for diffraction by a right-angled dielectric wedge,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 59, pp. 898–903. [6] G. Gennarelli, G. Riccio (2011), “Plane-wave diffraction by an obtuse-angled dielectric wedge,” J. Opt. Soc. Am. A, vol. 28, pp. 627–632. [7] G. Gennarelli, M. Frongillo and G. Riccio (2015), “High-frequency evaluation of the field inside and outside an acute-angled dielectric wedge,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 63, pp. 374–378. [8] A. Sommerfeld (1954), “Optics”, New York, Academic Press, 1954. [9] Kline, M. (1951). “An asymptotic solution of Maxwell’s equations”. Communications on Pure and Applied Mathematics, 4(2-3), 225–262. [10] M. Ali and S. Sanyal (2010), "A Finite Edge GTD Analysis of the H-Plane Horn

Radiation

Pattern,"

in IEEE

Transactions

Propagation, vol. 58, no. 3, pp. 969-973, March 2010.

on

Antennas

and

[11] Apuntes

del

curso

“Campos

electromagnéticos

aplicados

a

las

telecomunicaciones – TEL203”, semestre 2018-2, Pontificia Universidad Católica del Perú.

21