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Notes de calcul D´eform´ee d’une fissure visco´elastique HPP Solution analytique 13 d´ecembre 2005

Hoai Nam NGUYEN

1

1

Potentiel complexe des probl` emes plans

La relation constitutive a ´et´e ´etablie `a partir de la repr´esentation Papkovich de champs de d´eplacement (Papkovich, 1932) : 2µu = 4 (1 − ν) Ψ − grad (ϕ + rΨ)

(1)

d’o` u: x ˆ, yˆ, zˆ : vecteurs unitaires des directions correspondantes x, y et z. u = uˆ x + v yˆ + wzˆ : vecteur d´eplacement. r = xˆ x + y yˆ + z zˆ : vecteur de position. ϕ et Ψ = ϕx x ˆ + ϕy yˆ + ϕz zˆ : scalaire et vecteur potentiel satisfaisant l’´equation : 4 ϕ = 0,

4Ψ = 0

(2)

En hypoth`ese de d´eformation plane : u = u(x, y), v = v(x, y), w = 0 les fonctions potentielles ne d´ependent que de x et de y : ϕz = 0

(3)

Puisque ϕ, Ψx et Ψy sont les fonctions harmoniques, elles peuvent s’exprimer par la partie imaginaire ou r´eelle d’une fonction analytique : Ψx =
ϕy = =f (z),

ϕ =
(4)

d’o` u f (z) et g(z) sont les fonctions analytiques dans le domaine occup´e par le solid. Rempla¸cons les expressions (4) dans la repr´esentation Papkovich (1), on obtient : 

 ∂ ∂ +i {
(5)

On en d´eduit sa conjugation correspondante : 2µ(u − ıv) = (3 − 4ν)f (z) − zf 0 (z) − g 0 (z)

(6)

` partir de la loi de Hooke d’un probl`eme d’´elasticit´e en hypoth`ese de d´eformation A plane : σij = λεll δij + 2µεij Soit encore : σxx = (λ + 2µ)εxx + λεyy σyy = (λ + 2µ)εyy + λεxx 2

On en d´eduit alors : σx + σy σx − σy τxy

    2µ ∂u ∂v 4µ ∂ = + = < (u + ıv) 1 − 2ν ∂x ∂y 1 − 2ν ∂z     ∂ ∂u ∂v = 2µ − = 4µ< (u − ıv) ∂x ∂y ∂z     ∂u ∂v ∂ = µ + = −2µ= (u − ıv) ∂y ∂x ∂z

(7) (8) (9)

Par cons´equent, les contraintes peuvent ˆetres d´ecrites par une fonction potentielle complexe : σx + σy = 4< [f 0 (z)]

(10)

   ∂ ∂ (u − ıv) − 4ıµ= (u − ıv) = −4µ< ∂z ∂z    ∂ = −2 2µ(u − ıv) ∂z 

σy − σx + 2ıτxy

σy − σx + 2ıτxy = 2 [zf ”(z) + g”(z)]

(11)

La solution en contrainte plane est d´eduite de celle en d´eformation plane en rempla¸cant le constant ´elastique ν par ν/(1 + ν) ou en prenant :  2  ν = 1 − 2k en d´eformation plane 2(1 − k 2 )  ν = 1 − 2k 2 en contrainte plane Avec l’hypoth`ese de d´eformation plane, nous calculons `a nouveau la repr´esentation (5) : 1 + k2 f (z) − zf 0 (z) − g 0 (z) 1 − k2 h i 2 0 (z) + g 0 (z) = f (z) − f (z) − zf 1 − k2

2µ(u + ıv) =

(12) (13)

L’utilisation des constants µ et k dans cette ´equation a pour but d’avoir une expression valable a` la fois en d´eformation plane et en contrainte plane. En effet, le d´eplacement d’un corps rigid peur ˆetre repr´esent´e par : f (z) = A + Bz,

g(z) = Cz

d’o` u A et C sont les constants complexes, qui d´eterminent la translation et B est un constant imaginaire, qui d´etermine la rotation. Si les composants de la force solicitant sur l’´el´ement frontier ds, o` u s est la longueur curviligne fronti`ere, sont Xds et Y ds dans les directions x et y : Xds = σx dy − τxy dx,

Y ds = τxy dy − σydx 3

ce qui conduit `a l’expression suivante : (X + ıY )ds = (σx dy − τxy dx) + ı (τxy dy − σydx) i = − [(σy − σx − 2ıτxy )dz + (σy + σx )dz] 2

(14)

Compte tenu des solutions en contraintes (10) et (11), l’´equation (14) devient : h i (X + ıY )ds = −ıd f (z) + zf 0 (z) + g 0 (z) d’o` u l’integration suivant la ligne curviligne en tenant compte des conditions limites :

f (z) +

zf 0 (z)

+

g 0 (z)

Z

(ıX − Y ) ds

= 0

4

s

(15)

2

M´ ethode Westergaard

2.1

Adaptation de la m´ ethode aux m´ ecanique de rupture

Cette approche de Westergaard a ´et´e d´evelopp´e en 1939. Ses ´equations constitutives ne sont pas ´etablies pour r´esoudre des probl`emes de m´ecanique de la rupture. Certaines modifications ont ´et´e effectu´ees afin de rendre cette m´ethode de potentiel complexe plus adapt´ee `a ce genre de probl`eme. Nous nous int´eressons particuli`erement `a une structure sym´etrique en pr´esence des fissures dans plan sym´etrique. Il s’agit de poser : f (z) = p(z) − s(z) g (z) = p(z) + s(z) − z [p0 (z) − s0 (z)]

(16) (17)

0

d’o` u:

(g 0 − f + zf 0 ) (g 0 + f + zf 0 ) et s = 2 2 Les ´equations (10), (11) et (5 ou 13) deviennet alors : p=

σx + σy = 4< [p0 (z) − s0 (z)]

(18)

σy − σx + 2ıτxy = 4s0 (z) − 2(z − z) [p”(z) − s”(z)]

(19)

h i 1 + k2 0 0 2µ(u + ıv) = [p(z) − s(z)] − p(z) − s(z) − (z − z) p (z) − s (z) 1 − k2

(20)

Les conditions (15) sont ainsi chang´ees : p(z) − s(z) + p(z) + s(z) + (z − z)

h

p0 (z)

−

i

s0 (z)

Z

s

(ıX − Y ) ds

=

(21)

0

2.2

Application en mode I de rupture

Supposons que la structure et le chargement en mode I sont sym´etriques par rapport au plan y = 0 et que le signe (+) ou (−) d´esigne le semi-plan inf´erieur ou sup´erieur respectivement . Etant donn´es deux points sym´etrique se situant `a z0 et z0 , leurs d´eplacements complexes respectifs (u0 + ıv0 ) et (u0 − ıv0 ) valent : h i 1 + k2 0 0 2µ(u0 + ıv0 ) = [p (z ) − s (z )] − p (z ) − s (z ) − 2ıy p (z ) − s (z ) (22) + 0 + 0 + 0 + 0 0 0 0 + + 1 − k2 h i 1 + k2 0 0 2µ(u0 − ıv0 ) = [p− (z0 ) − s− (z0 )] − p− (z0 ) − s− (z0 ) + 2ıy0 p− (z0 ) − s− (z0 ) (23) 1 − k2 On en d´eduit la conjugation complexe de la derni`ere ´equation (23) : i  0  1 + k2 h 0 2µ(u0 + ıv0 ) = p (z ) − s (z ) − p (z ) − s (z ) − 2ıy p (z ) − s (z ) (24) − 0 − 0 − 0 − 0 0 0 0 − − 1 − k2 Identification des ´equations (24) et (22) met en ´evidence les ´egalit´es : p− (z) = p+ (z),

s− (z) = s+ (z)

Si la structure ne contient qu’une seule fissure (y = 0, mode I comprend trois possibilit´es : 5

(25)

b < x < c), le chargement en

◦ La premi`ere consiste aux chargements de traction impos´es (σy )+ = (σy )− = σy0 (x) et 0 (x) sur les surfaces fissur´ees. (τxy )+ = −τxy )− = τxy ◦ La deuxi`eme s’agit alternativement de chargements de traction impos´es (τxy )+ = 0 (x) et de d´eplacements contrˆol´es v+ = −v− = v0 (x). −τxy )− = τxy ◦ La troisi`eme possibilit´e est d´eplacements impos´es sur les surfaces fissur´ees v+ = −v− = v0 (x) et u+ = u− = u0 (x) Math´ematiquement, ces trois configurations de chargement peuvent ˆetre interpr´et´ees 0 implique que τxy est connue tout au long de la diff´eremment : La condition τxy = ±τxy fronti`ere y = 0 de chaque mi-plan, de mˆeme interpretation pour le cas o` u v± = ±v0 (x). 0 (x) = 0, c’est-`aOn s’int´eresse particuli`erement le cas o` u (σy )+ = (σy )− = σy0 (x) et τxy dire : (σy − σx + 2ıτxy )− = (σy − σx + 2ıτxy )+ pour y = 0 (26) L’identification des ´equations (19 et (26) donne : s0− (x) = s0+ (x) pour y = 0 Pour les milieux infinis, la th´eorie de Liouville montre que s0 (x) est un polynˆome `a un degr´e fini satisfaisant la relation (19), et se r´eduit `a un constant du `a la contrainte impos´ee finie. Une unique fonction potentielle complexe est donc n´ecessaire. Le simplification par imposer s0 (x) nul ´equivaut `a une superposition d’une contrainte constante σx . Cette contrainte n’influence pas le facteur d’intensit´e de contraintes (FIC) d’une structure fissur´ee sym´etrique. Equation (18) montre que pour y = 0 : (σy )+ = 2
(27)

Pour x < b et x > c, l’´equation (20) devient : 2µı

  1  0 ∂v+ k2  0 0 = p s+ (x) − s0− (x) = 0 (x) − p (x) − + − 2 2 ∂x 1−k 1−k

(28)

Comme s0 (x) est analytique sur y = 0, donc : p0+ (x) − p0− (x) = 0 pour x < b, x > c

(29)

Soit L une portion de l’abscisse x contenant l’ensemble des fissures colin´eaires : p0+ (x) + p0− (x) = σy0 (x) p0+ (x) − p0− (x) = 0

2.3

pour x ∈ L pour x ∈ /L

(30)

Milieu infini

Dans cette section, on consid`ere un milieu infini en pr´esence d’une fissure (b < x < c) sousmis sous des contraintes impos´ees `a l’infini (σx∞ et σy∞ ) en supposant que contrainte de cissaillement des surfaces fissur´ees est nulle. Les ´equations (27) et (29) constituent un probl`eme de Hilbert dont la solution est la suivante : Z c 0 σy (ξ) G+ (ξ) P (z) 1 0 dξ + . (31) p (z) = 2πıG(z) b ξ−z G(z) avec : 6

G(z) = (z − b)1/2 (z − c)1/2 P (z) est un polynˆome de degr´e fini. Les conditions aux limites donnent : 4< [p0 (z) − s0 (z)]|z|→∞ = σy∞ + σx∞

(32)

4<[s0 (x)]|z|→∞ = σy∞ − σx∞

(33)

ce qui permet de d´eterminer P (z) : σy∞ σy∞ − σx∞ P (z) = z + a0 , s0 (z) = (34) 2 4 d’o` u a0 est d´etermin´e `a partir de la condition de fermeture de fissure aux deux extr´emit´es. On peut donc r´e´ecrire l’´equation (28) sous forme d’int´egration suivante :  c 2 2k 2 2µ [v+ (c) − v+ (b)] = =p+ (x) − =s(x) 1 − k2 1 − k2    b ∞  2 σy − σx∞ c 2k P (x) 2 − = = = 1 − k2 G(x) 1 − k2 4 b Z c ∞ σy x/2 + a0 2 p dx = 0 (35) = 1 − k2 b (x − b)(c − x) Soit encore : b+c ∞ σ (36) 4 y La contrainte normale et le gradient de d´eplacement dans le plan sym´etrique sont ensuite d´etermin´es : ) ( Z p c σ 0 (ξ) (ξ − b)(c − ξ) 1 1 y dξ + σy∞ [x − (b + c)/2] (37) σy = 2
avec le signe sup´erieur pour x > c et le signe inf´erieur pour x < b. Le facteur d’intensit´e de contrainte `a x = b est : hp i (b) KI = lim 2π(b − x) σy (x) x→b−0 s " Z # √ c 2π 1 c−ξ 0 ∞b − c = −√ σy (ξ) dξ + σy ξ−b 2 c−b π b En posant a = (c − b)/2 la demi-longueur de la fissure, on obtient : s Z c √ 1 c−ξ (b) KI = σy∞ πa − √ σy0 (ξ) dξ ξ−b πa b

(39)

(40)

(b)

Cette expression de KI montre que la singularit´e `a x = b devient nulle si : s Z c 1 c−ξ σy0 (ξ) dξ = σy∞ πa b ξ−b

(41)

Cette relation peut ˆetre consid´er´ee comme condition de continuit´e de contrainte `a x = b. C’est ´egalement la condition de fermeture de fissure (∂v+ /∂x = 0) `a x = b qui est v´erifi´ee par la formule (38) 7

3

Application des potentiels complexes en milieu infini

La m´ethode de Westergaard appliqu´es aux probl`emes de m´ecanique de la rupture est connue pour certain nombre de configuration de chargement. Dans le cas d’une petite fissure de longueur 2a (−a < x < a), traversant une plaque charg´ee dans son plan des contraintes impos´ees σy = σy∞ , σx = σx∞ , le facteur d’intensit´e de contrainte (FIC) selon (39) vaut : i hp (−a) 2π(−a − x) σy (x) KI = lim x→−a−0

Dans le plan de la fissure, c’est-`a-dire pour y = 0, le FIC KI , `a l’extr´emit´e x = −a, est d´efini par : √ KI = σy∞ πa (42) De plus, si l’origine choisie co¨ıncide avec le centre de la fissure, on a : p0 (z) =

σy∞ z , 2(z 2 − a2 )1/2

s0 (z) =

σy∞ − σx∞ 4

sur la portion y = 0, −a < x < a (43)

Ces fonctions choisies p(z) et s(z) satisfont ´egalement : √ √ z 2 − a2 = x 2 − a2 sur la partie y = 0, x > a

(44)

Si les constants d’int´egration sont choisis de telle sorte que :  v = 0 pour y = 0, |x| > a u = 0 pour z = 0 On obtient donc : p(z) =

σy∞ 2 (z − a2 )1/2 , 2

s(z) =

σy∞ − σx∞ z 4

(45)

Par cons´equent : σx = σy = τxy = u = v =

 ıya2 z − + − (z 2 − a2 )1/2 (z 2 − a2 )3/2   ıya2 z ∞ + σy < (z 2 − a2 )1/2 (z 2 − a2 )3/2 ya2 −2< 2 (z − a2 )3/2  2  σy∞ − σx∞ σy∞ k ıyz 2 2 1/2 < (z − a ) − − x 2µ 1 − k2 (z 2 − a2 )1/2 4(1 − k 2 )µ   σy∞ σy∞ − σx∞ ıyz 1 2 2 1/2 = (z − a ) − 2 + y 2µ 1 − k2 (z − a2 )1/2 4µ σx∞

σy∞

σy∞ <



(46) (47) (48) (49) (50)

On s’int´eresse notamment `a la solution de contrainte normale dans le plan sym´etrique ainsi que l’ouverture de la fissure : σy∞ |x| KI |x| √ σy = =p pour y = 0, |x| > 0 2 2 x −a πa(x2 − a2 )

(51) (52)

8

Les d´eplacement de la l`evre sup´erieure de la fissure (y = +0, −a < x < a) : u+ = −

σy∞ − σx∞ x 4(1 − k 2 )µ

√ σy∞ KI v+ = a2 − x 2 = 2 2(1 − k )µ 2(1 − k 2 )µ

(53)

r

a2 − x 2 πa

(54)

On remarque par ces r´esultats que la fissure a forme elliptique et la d´eformation εxx reste constante dans la zone fissur´ee.

9

4 4.1

Fissure dans un milieu isotrope visco´ elastique Mod` ele visco´ elastique

La loi de Hooke d´ecrivant le comportement d’un mat´eriau ´elastique lin´eaire s’´ecrire :   2µ σij = µ (uj,i + ui,j ) + κ − uk,k δji (55) 3 avec : µ : module de rigidit´e κ : module de compression. Le comportement m´ecanique du mat´eriau visco´elastique lin´eaire s’obtient apr`es un temps diff´erentiel en rempla¸cant µ et κ par des fonctions de temps correspondants dans la loi de comportement ´elastique. Ces derni`eres sont dues `a la m´emoire imparfaite du mat´eriau visco´elastique. On sait que l’´etat de contrainte visco´elastique `a un instant t d´ependra de l’histoire des d´eformations. R´eciproquement, l’´etat de d´eformation visco´elastique `a un instant t donn´e d´ependra de l’histoire des contraintes. La visco´elasticit´e lin´eaire suppose que si l’on prend deux histoires de d´eformations, la contrainte correspondant `a la somme des histoires de d´eformation sera la somme des contraintes correspondant `a chacune de ces d´eformations.    Z ∞ 2 σij = µ(t − s)[u˙ j,i (s) + u˙ i,j (s)] + κ(t − s) − µ(t − s) u˙ k,k (s)δji ds (56) 3 −∞ Les fonctions µ(t) et κ(t) sont suppos´ees nulles lorsque t < 0. Nous consid´erons par la suite le mod`ele visco´elastique lin´eaire de Zener : (   µ(t) = µ∞ + (µ0 − µ∞ )e−t/t0 H(t)   (57) κ(t) = κ∞ + (κ0 − κ∞ )e−t/t0 H(t). avec : H(t) : fonction Heaviside µ0 , µ∞ , κ0 : des constants du mat´eriau t0 : le temps de relaxation. Le chargement est suppos´e appliqu´e instantan´ement en ´evitant un temps de chargement si faible qu’il risque de provoquer les ondes dans le solid. Avec tel chargement, les effets d’inertie peuvent ˆetre n´eglig´es et le principe de correspondance s’applique effectivement pour les fissures fixes.

4.2

Le principe de correspondance ´ elastique-visco´ elastique

Supposons Sij , Ui et K(p) sont les transformations de Laplace de σij , ui et de κ(t) respectivement. Les transformations de Laplace de l’´equation constitutive (56) de Hooke a la forme suivante :   2 (58) Sij = M (p) (Uj,i + Ui,j ) + K(p) − M (p) Uk,k δij 3 Comme le mat´eriau consid´er´e est caract´eris´e par le mod`ele de Zener, les deux fonctions µ(t) et κ(t) ainsi que leurs transformations de Laplace sont proportionnelles l’une `a 10

l’autre. Cela implique que les transformations de Laplace du coefficient de Poisson ν et le rapport k = cS /cP sont constantes. On applique ce principe de correspondance pour le cas d’une plaque visco´elastique large en pr´esence d’une fissure fixe tendue de longueur 2a dont les l`evres sont soumises en mode I de chargement impos´e : σy = σy∞ , σx = σx∞ Les contraintes et d´eplacements dans le cas ´elastique correspondants sont donn´es par les ´equations (46)-(50) dont les composants verticaux sont les suivants :   ıya2 z ∞ + σy = σy < (z 2 − a2 )1/2 (z 2 − a2 )3/2   σy∞ σy∞ − σx∞ 1 ıyz 2 2 1/2 v = = + y (z − a ) − 2 2µ 1 − k2 (z − a2 )1/2 4µ On remarque que la formulation de contraintes ne contient aucun param`etre du mat´eriau. Selon le principe de correspondance, les contraintes visco´elastiques sont les mˆemes que contraintes ´elastiques. Le d´eplacement ´elastique d´epend sinon des param`etres du mat´eriau µ et k 2 : d’o` u s’´ecrit k 2 :  1 − 2ν  en d´eformation plane  k2 = 2(1 − ν)   k2 = 1 − ν en contrainte plane 2 La transformations de Laplace du d´eplacement v :     σy∞ 1 ıyz 1−m 2 2 1/2 V = = (z − a ) − 2 + y 2M (p) 1 − k2 (z − a2 )1/2 4 avec : m =

(59)

σx∞ σy∞

On exprime µ(t) en fonction de deux termes e−t/t0 et (1 − e−t/t0 ) :   
 µ(t) = µ∞ + (µ0 − µ∞ ) e−t/t0 H(t) = µ0 e−t/t0 + µ∞ 1 − e−t/t0 H(t)

(60)

La transformation de Laplace M (p) de la fonction µ(t) est calcul´ee `a travers celles de ces deux fonctions e−t/t0 et (1 − e−t/t0 ) : p M (p) = µ0 p+

1 t0

+ µ∞

1 t0

p+

(61)

1 t0

1 1 1 p + t0 → = M (p) µ0 p + µµ∞0 . t10 µ∞ 1

1 p 1 µ0 t0 = µ∞ 1 + µ0 p + µ0 t0 µ∞ p + µµ∞0 t10

(62)

Posons C(t) fonction complaisance d’inversion de 1/M (p) :       µ∞ t µ∞ t 1 1 1 −µ − C(t) = = e 0 t0 + 1 − e µ0 t0 H(t) M (p) µ0 µ∞     1 1 1 −µ∞ t/(µ0 t0 ) C(t) = − − e H(t) µ∞ µ∞ µ0 11 L−1 pt



(63)

Le d´eplacement de la l`evre sup´erieure de fissure `a y = 0 : √ σy∞ a2 − x2 v+ = pour |x| < a 2µ(1 − k 2 )

(64)

Soit encore : √     σy∞ a2 − x2 1 1 1 −µ∞ t/(µ0 t0 ) H(t) v+ (x, t) = − − e 2(1 − k 2 ) µ∞ µ∞ µ0

(65)

La transformation de Laplace peut s’appliquer aux autres mat´eriaux visco´elastiques lin´eaires dont µ(t) et κ(t) ne sont pas forc´ement proportionnelles et le temps de relaxation peut ˆetre diff´erent pour ces deux fonctions µ(t) et κ(t). On pourra d’ailleurs ´etudier d’autres probl`emes que fissures fixes `a condition que sa solution ´elastique correspondante soit connue.

12

Annexes 4.3

D´ eriv´ ee d’une fonction f (z).

Soit f une fonction de la variable complexe z d´efinissant une op´eration (ou une suite d’op´eration) qui, au nombre z dans un certain ensemble D inclus dans le plan, associe un certain nombre complexe not´e f (z) : ∀z 3 D −→ f (z) 3 C D est appel´e l’ensemble de d´efinition de la fonction f : c’est l’ensemble des points o` u l’on sait effectuer les op´erations permettant de calculer f (z). La donn´ee d’une fonction f (z) est ´equivalente `a la donn´ee de deux fonctions `a valeurs r´eelles u(x, y) et v(x, y telles que : ∀z 3 D,

f (z) = u(x, y) + ıv(x, y)

Supposons f (x, y) in R2 − differentiable, c’est-`a-dire poss´edant une diff´erentielle dans un certain domaine de R2 : df =

∂f ∂f dx + dy. ∂x ∂y

(66)

Par ailleurs : z = x + ıy

et dz = dx − ıdy

d’o` u l’on d´eduit : 1 dx = (dz + dz), 2

dx =

1 1 (dz − dz) = (ıdz − ıdz) 2ı 2

En reportant ces expressions dans (66) et en factorisant selon dz et dz, il devient :     ∂f ∂f 1 ∂f 1 ∂f −ı +ı df = dz + dz (67) 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y Cette expression justifie que l’on introduise deux op´erateurs diff´erentiels d´efinis comme suite :     ∂ 1 ∂ ∂ ∂ 1 ∂ ∂ ∂≡ = −ı , ∂≡ = +ı (68) ∂z 2 dx ∂dy ∂z 2 dx ∂dy

4.4

Fonctions holomorphes ou fonctions analytiques

A tout point M(x,y) du plan, on associe le complexe z = x + ıy dont le conjug´e est z = x − ıy. Dans ces deux derni`eres relations, on retire : x=

z+z 2

et

y=

z−z 2ı

(69)

Toute fonction g(x, y) peut-ˆetre consid´er´ee comme fonction de z et z, que l’on notera par abus de notation g(z, z). (x, y) ∈ Plan −→ g(x, y) (x, y) −→ (z, z) −→ g(z, z) 13

Pour ce changement de variable, on a :  g,z = g,z = 

1 2 1 2

(g,x − ıg,y ) (g,x + ıg,y )

g,x = g,z + gz,z g,y = ı(g,z − g,z )

Soient P (x, y) et Q(x, y), deux fonctions d´efinies sur un domaine S du plan. La fonction g d´efinie par g = P + ıQ est holomorphe dans S si : g,z = 0 Autrement dit g est fonction de la seule variable complexe z → g = g(z) D’apr`es les r`egle de d´erivation (70), on a alors : g,z = 0 → g,x + ıg,y = 0 Soit en reposant dans la premi`ere formule (68) : 1 g,z = (g,x + g,x ) = g,x 2 1 g,z = (−ıg,y − ıg,y ) = −ıg,y 2

−→ g 0 (z) =

∂g ∂x

∂g −→ g 0 (z) = −ı ∂y

compte tenu de l’expression de g on a l’´egalit´e : ∂Q ∂P ∂Q ∂P +ı = −ı + ∂x ∂y ∂y ∂y

( −→

∂P ∂x ∂P ∂y

= ∂Q ∂y = − ∂Q ∂x

Ces ´egalit´es correspondent aux conditions de Cauchy-Riemann. Ces relations implique ∆P = ∆Q = 0. Les parties r´eele et imaginaire d’une fonction holomorphe sont harmoniques.

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R´ ef´ erences [1] K. B. Broberg (1999), ”Cracks and Fracture”, Academic Press, pp. 45–246 [2] E. Znaty (1982), ”Propagation des fissures en milieu visco´elastique”, Th`ese de l’Ecole Nationale des Ponts et Chauss´ees [3] A. Ehrlacher (2004), ”M´ecanique de la rupture”, Cours DEA G´enie M´ecanique et Mat´eriaux - Ecole Nationale des Ponts et Chauss´ees [4] A. Zeghloul (2003), ”Concepts fondamentaux de la m´ecanique de la rupture”, Cours DEA M´ecanique Mat´eriaux Structures et Proc´ed´es - Universit´e de Metz

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