Cours6

Dept GEII IUT Bordeaux I

LES OSCILLATEURS

(Vol. 6)

G. Couturier Tel : 05 56 84 57 58 email : [email protected]

Sommaire

I- Généralités sur les oscillateurs (diaporama) - Conditions d'oscillation dans un système du deuxième ordre sans perte et avec perte - Les oscillateurs en pratique ; conséquence sur la forme de l'oscillation - Importance du coefficient de surtension Q du réseau de réaction sur la précision de la fréquence de l'oscillation

II- Les différents types d'oscillateurs II- 1- Oscillateurs basses fréquences II- 2- Oscillateurs hautes fréquences a) Oscillateur Colpitts b) Oscillateur Hartley c) Oscillateur Clapp et stabilité des oscillateurs d) Oscillateur Clapp à fréquence variable

III- Oscillateurs à quartz III- 1- Notions de piézo-électricité III- 2- Schéma électrique équivalent d'un quartz III- 3- Ordre de grandeur des éléments du schéma équivalent d'un quartz III- 4- Comportement en fréquence d'un quartz III- 5- Oscillateur à résonance série du quartz III- 6- Oscillateur à résonance parallèle du quartz III- 7- Oscillateur travaillant en mode harmonique

IV- Oscillateurs à résistance négative IV- 1- Stabilité ou instabilité IV- 2- Fonctionnement d'un astable à diode tunnel

Annexe I : Application note 200-2 Hewlett Packard : Fundamentals of quartz oscillators Annexe II : Use of the TMS320C5x Internal Osillator With External Crystals or Ceramic Resonators, Application Report, Texas Instruments II - Les différents types d'oscillateurs II- 1- Remarque sur le calcul du gain de boucle

Avant de présenter les différents types d'oscillateurs, il est nécessaire de faire une remarque sur le calcul du gain en boucle ouverte. En effet, bien souvent les quadripoles sont supposés avoir une impédance de sortie nulle et une impédance d'entrée infinie. En pratique, ce n'est pas le cas et il faut évidemment tenir compte des impédances d'entrée et de sortie. Pour calculer le gain en boucle ouverte d'un système en réaction, on peut à priori ouvrir la boucle n'importe où. Cependant pour que le calcul ait un sens il faut prendre certaines précautions, en particulier en ce qui concerne les impédances d'entrée. Soit par exemple le système bouclé suivant :

A( ω ) Μ

Ν β( ω )

Fig. 1 Synoptique d'un système bouclé, où couper la boucle ?

Le gain de boucle G(ω) peut être obtenu en coupant la boucle en M ou N ou tout autre point à l'intérieur d'un des quadripôles. Prenons par exemple le cas où on coupe en M, on obtient donc le gain G(ω) en injectant un signal Ve à l'entrée de A et en mesurant le signal Vs en sortie de β, à condition de charger le quadripôle β par une impédance Ze égale à l'impédance d'entrée du quadripôle A.

A( ω ) Ze Ve

G(ω )=

Vs Ve

β( ω ) Vs

Ze

Fig. 2 Méthode de calcul du gain en boucle ouverte

Nous présentons ci-dessous divers types d'oscillateurs en commençant par les oscillateurs basses fréquences utilisant comme réseau de réaction des cellules R-C. Ensuite

nous aborderons les oscillateurs hautes fréquences dont les réseaux de réaction sont constitués par des selfs et condensateurs. Une discussion de la stabilité des oscillateurs nous conduira finalement aux oscillateurs à quartz. II - 2- Oscillateurs basses fréquences Les oscillateurs basses fréquences sont constitués par un amplificateur (amplificateur opérationnel ou transistor) sur lequel on effectue une réaction de la sortie sur l'entrée au moyen de circuits RC. Pour un amplificateur qui déphase de π on utilise trois cellules R-C en cascade, pour un amplificateur qui déphase 2π, le quadripôle de réaction est un pont de Wien. a) Cas d'un amplificateur déphasant de π Le montage avec amplificateur opérationnel se présente sous la forme suivante :

R R

aR C

C/a

a2 R

M

R1

C/a 2

_

2 N

+

Fig. 3 Oscillateur à trois cellules RC

L'amplificateur A(ω) de la Fig. 1 est constitué d'un amplificateur opérationnel monté en inverseur, son gain est égal à -R2/R1. Le réseau de réaction est constitué de trois cellules RC en cascade. Le gain de boucle G(ω) peut à priori être obtenu en coupant soit en M soit en N, une coupure en N conduit cependant à des calculs plus compliqués qu'une coupure en M, ceci parce que l'impédance vue à droite du point N est complexe. L'impédance d'entrée à droite du point M (Ze de la Fig. 1) est égale à R1, il faut donc pour calculer G(ω) ouvrir en M puis mettre en parallèle sur le dernier condensateur de valeur C/a2 un résistance R1. Pour simplifier 1 << R1 (avec ωosc la les calculs, on choisit R1, C et le paramètre a tels que 2 (C / a )ω osc pulsation de l'oscillateur) , dans ce cas le gain en boucle ouverte G(ω)=Vs/Ve est obtenu à partir du schéma électrique de la Fig. 4. On obtient : G(ω ) = −

R2 1 avec ω0RC=1 R1  2 ω 2  2 1 ω ω 3  1 − (3 + )( )  + j (3 + + 2 ) − ( )  a ω0   a a ω0 ω0  

(1)

La fréquence d'oscillation est obtenue en écrivant que la partie imaginaire de G(ω)=0, ceci conduit à une pulsation d'oscillation ωosc :

ω osc = ω 0 3 +

2 1 + a a2

(2)

La condition G(ωosc)≥1 sur le gain conduit à : R2  12 7 2 ≥ 6 + + 2 + 3 R1  a a a 

(3)

R2 aR

R C

C/a

a2 R C/a 2

R1 Vs

Ve

_ +

G( ω )=

Vs Ve

Fig. 4 Schéma électrique utilisé pour le calcul du gain en boucle ouverte

La non linéarité fixant l'amplitude de l'oscillation est ici générée par l'amplificateur opérationnel. Pour contrôler l'amplitude de l'oscillation, on peut utiliser une varistance (VDR pour voltage dependent resistor), c'est un élément dont la résistance diminue à mesure que la tension aux bornes augmente. Cet élément est placé en parallèle sur la résistance R2, ainsi le 1 R 2 R VDR avec RVDR la valeur de la VDR. Le gain de la partie amplificatrice devient − R1 R 2 + R VDR gain diminue si l'amplitude du signal augmente. Le fait que l'amplitude soit stabilisée par un élément non-linéaire conduit inévitablement à une oscillation légèrement différente d'une sinusoïde pure, on peut qualifier la pureté de l'oscillation par son taux de distorsion. b) Cas d'un amplificateur déphasant de 2π Dans ce cas le réseau de réaction est constitué par un pont de "Wien" comme le montre la Fig. 5 ci-dessous. L'amplificateur est constitué d'un amplificateur opérationnel monté en "non-inverseur" de gain égal à (1+R2/R1). Le gain en boucle ouverte G(ω) peut encore être obtenu en coupant la boucle soit en M soit en N. Pour simplifier les calculs, il est préférable de couper au point M, car l'impédance à droite de M est pratiquement infinie (entrée V+ de l'amplificateur opérationnel).

R2

_

M

N

+

mR R1

R

C/n

C

Fig. 5 Oscillateur à pont de "Wien"

Le gain de boucle ouverte G(ω) est donc obtenu en calculant le rapport Vs/Ve dans le schéma électrique de la Fig. 6. On obtient :

 R  G(ω ) =  1 + 2  R1  

1

(4)

n   (1 + m + n) + j RCmω −   RCω 

R2 _

+

C/n mR

R1

G( ω )=

Ve R

Vs

Vs Ve

C

Fig. 6 Schéma électrique utilisé pour le calcul du gain en boucle ouverte

La fréquence d'oscillation est obtenue en écrivant que la partie imaginaire de G(ω)=0, ceci conduit à une pulsation d'oscillation ωosc : ω osc =

1 RC

n m

(5)

La condition G(ωosc)≥1 sur le gain conduit à :  R  1 1 + 2  ≥1 R1  (1 + m + n) 

(6)

II -3 -Oscillateurs hautes fréquences Ces oscillateurs sont constitués d'un élément actif, un transistor bipolaire ou un FET et d'un réseau de réaction accordé sur la fréquence d'oscillation. Le réseau de réaction utilise des selfs et condensateurs. Les selfs ne sont pas utilisées aux basses fréquences car leur encombrement est trop important. Le réseau de réaction est en général une cellule en π, différents montages sont possibles suivant l'agencement des selfs et condensateurs. Nous passons ainsi en revue les oscillateurs Colpitts, Hartley et Clapp. a) Oscillateur Colpitts Le montage avec un transistor à effet de champ est le suivant : V cc Rc N M

FET

L

C3 R

Re

C4

C1

C2

Fig. 7 oscillateur Colpitts avec un FET

Dans ce montage les résistances R, Re et Rc participent à la polarisation du FET, C3 est un condensateur de liaison , C4 est un condensateur de découplage. Le réseau de réaction est constitué de la self L et des deux condensateurs C1 et C2. Le schéma électrique aux variations de la Fig. 8 permet de calculer le gain en boucle ouverte. Dans ce schéma on a supposé que les éléments du réseau de réaction, en particulier la self L, étaient sans perte. Nous reviendrons sur ce point lors de l'étude de la stabilité des oscillateurs.

g Ve m Ve

L R eq

C1

C 2'

Fig. 8 Schéma électrique pour le calcul du gain en boucle ouverte

Vs

La résistance Req correspond à Rc en parallèle avec la résistance de sortie du FET. La résistance R est supposée très supérieure à l'impédance du condensateur C2. L'impédance d'entrée du FET est essentiellement capacitive, la capacité Ce d'entrée du FET est inclue dans C '2 =C2+Ce. Le gain G(ω)=Vs/Ve se met sous la forme suivante : G(ω ) =

(− LC ω ' 2

− g m R eq

2

(

+ 1) + jR eq (C1 + C '2 )ω − LC1C '2ω 3

)

(7)

La fréquence d'oscillation est obtenue en écrivant que la partie imaginaire de G(ω)=0, ceci conduit à une pulsation d'oscillation ωosc : 1

ω osc =

(8)

C C' L 1 2' C1 + C 2

La condition G(ωosc)≥1 sur le gain conduit à : g m R eq C1 C '2

≥1

(9)

b) Oscillateur Hartley C'est un montage analogue à l'oscillateur Colpitts, il suffit de permuter le rôle des inductances et capacités dans le réseau de réaction. On obtient donc le montage suivant :

V cc Rc N M

FET C 4

C

C3 R

Re

L1

L2

C5

Fig. 9 oscillateur Hartley avec un FET

Le gain en boucle ouverte G(ω) se calcule à partir d'un schéma analogue à celui de la Fig. 18, on obtient :

G(ω ) =

- gm        1  1  1 1 +  C eω −  + 1  L2ω   R eq  Cω  C eω −   L2ω   

        1  1 1     j 1− + 1   L1ω  Cω Ceω −     L2ω     

(10)

avec Ce la capacité d'entrée du FET. Dans l'hypothèse où

1 >> L2ω , on obtient pour pulsation d'oscillation : C eω 1

ω osc ≈

C(L1 + L2 )

(11)

La condition sur le gain conduit à : g m R eq L2 L1

≥1

(12)

c) Oscillateur Clapp et stabilité des oscillateurs La dérive de la pulsation ωosc et de l'amplitude des oscillations en fonction du temps dépend de l'évolution des éléments actifs (transistor, FET, ampli. op.) et passifs (R, L, C) ainsi que de la charge. -Le problème de la charge est résolu en intercalant entre l'oscillateur et la charge utilisateur un étage séparateur d'impédance d'entrée indépendante de la charge de sortie. -Le vieillissement des composants passifs et l'effet de la température conduisent à une modification de ωosc. L'utilisation de quartz compensés en température donne les meilleurs résultats. -L'évolution des composants actifs peut être liée à la dérive de la tension d'alimentation. Nous montrons ci-dessous que la dérive en fréquence sera d'autant moindre que la courbe de phase du réseau de réaction présentera une variation de phase très importante au voisinage de la pulsation ωosc. L'oscillateur Clapp est ainsi une amélioration par rapport à l'oscillateur Colpitts, il ne permet pas cependant d'obtenir les performances des oscillateurs à quartz comme nous le verrons au paragraphe III. Dans les calculs précédents nous avons supposé que la partie amplificatrice de l'oscillateur déphasait de 180°, en conséquence il y a oscillation à la pulsation ωosc lorsque le réseau de réaction déphase également de 180°. Supposons maintenant que le déphasage de la partie amplificatrice passe de 180° à 180°+δ, il s'ensuit que la pulsation d'oscillation va se déplacer à ω 'osc telle que le déphasage du réseau de réaction soit maintenant égal à 180°-δ. Pour que ω 'osc reste voisin de ωosc il faut donc que la variation de phase du réseau de réaction autour de ωosc soit la plus importante possible, ce qui s'exprime par la relation mathématique suivante :

dφ →∞ dω ω osc

(13)

avec φ(ω) la phase du réseau de réaction. La Fig. 10 ci-dessous montre le cas de deux oscillateurs, un stable l'autre peu stable. L'oscillateur A est plus stable que l'oscillateur B, en effet pour une même variation de phase δ de l'amplificateur, la pulsation de l'oscillateur A passe de ωosc à ω 'osc alors que celle de l'oscillateur B passe de ωosc à ω ''osc avec ω osc − ω 'osc << ω osc − ω ''osc .

amplificateur

réseau de réaction

phase du réseau de réaction oscil. B

oscil. A

δ ω

180° '' ωosc ' ωosc ωosc Fig. 10 Illustration de la stabilité d'un oscillateur

La stabilité d'un oscillateur est donc directement liée à la courbe de phase du réseau de réaction. Il est possible par exemple d'améliorer la stabilité d'un oscillateur de type Colpitts en modifiant la branche horizontale de la cellule de réaction en Π . En effet si on remplace la self L de la Fig. 7 par une self L1 en série avec un condensateur C on obtient une variation de la courbe de phase beaucoup plus rapide autour de la pulsation ωosc. L'oscillateur ainsi réalisé porte le nom d'oscillateur Clapp, son schéma est donné en Fig. 11.

Pour trouver la pulsation d'oscillation ωosc il n'est pas nécessaire de refaire tous les calculs, on peut utiliser les résultats de l'oscillateur Colpitts. En effet il y aura oscillation à ωosc lorsque l'ensemble self L1 en série avec le condensateur C sera équivalent à la self L du montage Colpitts, c'est à dire lorsque : Lω osc = L1ω osc −

1 Cω osc

1

→ L = L1 −

(14)

Cω 2osc

V cc Rc N M

R

FET

Re

L1

C3

C1

C

C2

Fig. 11 Oscillateur Clapp

Pour trouver ωosc, il suffit alors de remplacer L de la relation (8) par l'expression (14), on obtient finalement :

ωosc =

    1 1 1 + = L1  C1C '2 C     C1 + C'2

1 1 1 1 1 avec = + ' + L1Ceq C eq C1 C2 C

(15)

avec C '2 =C2+Ce et Ce la capacité d'entrée du FET. Pour illustrer l'avantage de l'oscillateur Clapp sur l'oscillateur Colpitts, nous avons tracé sur les Fig. 12 et 13 les courbes de phase ϕ(Vs/Ve) des montages Clapp et Colpitts. Les éléments sont tels que la fréquence d'oscillation fosc est de 27.037MHz dans les deux montages. Dans les calculs l'amplificateur est représenté sous forme d'un générateur de tension en série avec une résistance, on a donc les équivalences suivantes avec les éléments de la Fig. 8; A0=-gmReq et Rs=Req. Les courbes de la Fig. 12 correspondent à un réseau de réaction sans perte alors que les courbes de la Fig. 13 incluent des pertes dans la self, les courbes de la Fig.

14 donnent le module du gain. On définit un facteur de qualité Q=Lωosc/r pour l'oscillateur Colpitts et Q=L1ωosc/r pour l'oscillateur Clapp. On obtient respectivement :

oscillateur Colpitts sans perte :

dϕ = 1. 429 x10−5 rd / Hz df 27.037MHz dϕ = 5. 953x10−5 rd / Hz df 27.037MHz

oscillateur Clapp sans perte :

oscillateur Colpitts avec perte :

dϕ = 3. 928 x10−6 rd / Hz df 27.037MHz

dϕ = 1. 629 x10−5 rd / Hz df 27.037MHz

oscillateur Clapp avec perte :

Q=78

Q=338

Prenons le cas des oscillateurs avec perte, si la phase de l'amplificateur vient à varier de un degré pour une raison quelconque la fréquence variera de 4441Hz pour l'oscillateur Colpitts alors que pour l'oscillateur Clapp la variation sera seulement de 1070Hz. Le calcul complet de la phase du gain de boucle permet d'obtenir la pente dϕ/df au voisinage de ωosc, on obtient (voir TD Oscillateurs) : dϕ ≈ df ω osc

4 πR sC12 R C 2ω C eq + s 1 osc Q

(16)

Pour obtenir une grande stabilité il faut, pour des valeurs de C1, Rs et ωosc fixées : -diminuer Ceq -augmenter Q tout en conservant la relation L1C eq ω 2osc = 1, ceci conduit à rechercher pour la branche horizontale de la cellule de réaction en Π , une faible capacité C et une forte valeur de L1 pour obtenir un coefficient de qualité Q élevé. Nous verrons qu'un quartz se caractérise principalement par sa très forte valeur de Q, dans ce cas la relation (16) se ramène à :

dϕ Q ≈2 df ω osc fosc

L'intérêt du montage Clapp est double. Il permet :

1) d'obtenir une plus grande stabilité 2) de réaliser un oscillateur à fréquence variable. d) Oscillateur Clapp à fréquence variable Pour réaliser un tel oscillateur on modifie le montage de base de la Fig. 7 afin que l'une des bornes du condensateur C soit à la masse.

V cc Rc N C3 FET M Re

R

C1

L1

C2

C

Fig. 15 Oscillateur Clapp à fréquence variable

Le montage de la Fig. 15 est de type grille à la masse, le condensateur C3 est un condensateur de découplage. Pour étudier le gain en boucle ouverte on peut par exemple couper au point M, il faut alors mettre en parallèle sur le condensateur C2 l'impédance vue à gauche du point M, c'est à dire, d'après le schéma en boucle ouverte de la Fig. 16, Re//(1/gm) à la pulsation de résonance ωosc. Si 1/C2ωosc<< Re//(1/gm), les calculs sont très simples, en effet il est facile de voir que le gain en boucle ouverte Vs/Ve sera réel quand le circuit bouchon L1, C, C1 et C2 sera à la résonance, c'est à dire lorsqu'il présentera une impédance infinie. Ceci est obtenu pour la pulsation ωosc telle que :

1 1 1 + jC1ω osc jC 2ω osc

+

1 1 jL1ω osc + jCω osc

=0

→

ωosc =

    1  1 1 + L1  C1C2 C    C1 + C 2 

On remarque que ce résultat est analogue à celui de la relation (15).

(17)

g m V1 V1

Rc

Re

Ve

Vs

C1

L1

C2

C

Fig.16 Schéma simplifié pour l'étude du gain en boucle ouverte du montage de la Fig. 20

La condition sur le gain se ramène à :

Vs Ve

= gmRc ω osc

C1 ≥1 C1 + C 2

(18)

NB : Pour réaliser un oscillateur à fréquence variable on peut remplacer le condensateur variable C par une diode varicap. On rappelle qu'une diode varicap est une diode polarisée en inverse, la capacité Cdiode d'une telle diode varie comme l'inverse de la racine carrée de la tension de polarisation Vpol : 1 (Vpol + Vbi )

Cdiode ∝

(19)

Vbi est le potentiel de diffusion de la diode (voir cours de physique des semiconducteurs). La polarisation de la diode nécessite quelques précautions pour ne pas perturber : 1) la polarisation du FET, 2) la pulsation de résonance ωosc.

C

1

C2

L

1 C4

D

L2

Fig. 17 Circuit de polarisation d'une diode varicap

V pol

Le condensateur C4 est un condensateur de liaison, il évite la perturbation de la polarisation du FET par la tension Vpol . Sa valeur est telle que : 1 1 << → C4 >> C diode C 4 ω osc C diode ω osc

(20)

La self L2 est une self de choc, elle évite la perturbation de la pulsation de résonance ωosc par la tension de polarisation Vpol. Sa valeur est telle que : L2ω osc >>

1

(21)

Cdiode ω osc

III- Oscillateurs à quartz Pour obtenir une bonne stabilité nous avons vu qu'il fallait disposer d'une branche horizontale du réseau de réaction en Π avec un fort coefficient de qualité Q, une forte valeur de L1 et une faible valeur de capacité. A cet effet on utilise un quartz qui est un résonateur piézo-électrique. En tant qu'électroniciens nous avons besoin de connaître le schéma électrique équivalent d'un quartz. Avant de présenter ce schéma nous rappelons brièvement ce qu'est la piézo-électricité. III- 1- Notions de piézo-électricité La piézo-électricité est un phénomène propre à certains types de cristaux (le quartz est le plus connu) anisotropes. La piézo-électricité a été mise en évidence par les frères Pierre et Jacques Curie en 1880. L'effet "direct" consiste en l'apparition de charges électriques à la surface des électrodes lorsque le matériau piézo-électrique est soumis à des contraintes mécaniques.

contrainte mécanique

plans de charges aux électrodes

P

matériau piézo-électrique (isolant électronique) électrodes métalliques

Fig. 18 Mise en évidence de l'effet piézo-électrique "direct"

Lorsque le matériau piézo-électrique est soumis à une contrainte mécanique (compression, extension, cisaillement, ... ), il en résulte une déformation, celle-ci entraîne une polarisation P à l'intérieur du matériau. Si les deux électrodes métalliques sont reliées par un court-circuit, il passe un courant I dans celui-ci lors de la variation de la contrainte et deux plans de charges apparaîssent dans les électrodes métalliques aux interfaces électrode/matériau. Le courant I est donné par :

I=

dQ d(Sσ ) dD = =S dt dt dt

avec D = ε 0 E + P = P car E = 0 d'où I = S

dP dt

(22)

S est la surface des électrodes, D l'induction électrique et E le champ électrique. On rappelle que la polarisation P d'un élément de volume dv est égal au moment dipolaire p par unité de volume : élément de volume dv q1

O

q

2

q3

qi

ri

r r r r -2 p = Pdv avec p = ∑ rq i i et ∑ q i = 0, P s'exprime en Cm i

i

qi est une charge localisée au point i dans le volume dv, le point O peut être quelconque dans la mesure où la somme des charges est nulle, c'est à dire ∑ q i = 0 . i

L'effet piézo-électrique "inverse" consiste en une modification des dimensions des cristaux en présence d'un champ électrique, la tension de polarisation Vpol entraîne une polarisation qui conduit à une modification des dimensions. Cette polarisation s'ajoute à la polarisation classique due à la permittivité ε0εr du matériau. Les générateurs d'ultrasons utilisent l'effet piézo-électrique inverse.

électrodes métalliques

V pol

matériau piézo-électrique

P

Fig. 19 Mise en évidence de l'effet piézo-électrique "inverse"

Explication de la piézo-électricité : Un cristal non polarisé peut être considéré comme un ensemble de particules chargées positives et négatives ( ∑ q i = 0 ) avec des centres de i

gravité confondus. Lorsque le cristal est soumis à une contrainte mécanique (compression, extension, cisaillement, .. ), il y a modification des dimensions du cristal. Il n'apparaît pas pour autant une polarisation P de déformation. Seuls les cristaux ne présentant pas de centre de symétrie donneront naissance à une polarisation P. Pour illustrer ce concept nous montrons sur

la Fig. 20 ci-dessous le cas de deux ensembles de charges qi, l'exemple [a] contient un centre de symétrie alors que l'exemple [b] n'en contient pas. En l'absence de contrainte les centres de gravité des charges + et - se trouvent en C pour les cas [a] et [b]. En présence d'une contrainte de compression les centres de gravité des charges + et sont encore confondus en C dans le cas [a], par contre dans le cas [b] les centres de gravité des charges + et - sont distincts et sont respectivement situés en C+ et C-. La contrainte ne fait pas apparaître de moment dipolaire dans le cas [a] alors qu'elle en fait apparaître dans le cas [b]. Dans la théorie de la piézo-électricité on introduit des coefficients piézo-électriques qui relient la polarisation aux contraintes mécaniques. Ces coefficients forment ce qu'on appelle un tenseur, en effet la polarisation qui est un vecteur à trois composantes n'a pas forcément la même direction que les contraintes. Dans l'exemple de la Fig. 20, on voit par exemple que la polarisation se développe perpendiculairement à la direction de la contrainte de compression. La direction et l'amplitude de la polarisation P dépendront fortement des contraintes appliquées. La piézo-électricité ne se manifeste donc que pour certaines classes de géométrie cristalline, autrement dit pour certains types d'arrangements des atomes dans la maille cristalline. Le quartz par exemple, qui est une forme cristalline de la silice (SiO2), présente des coefficients piézo-électriques non nuls. Deux coefficients piézo-électriques sont nécessaires pour qualifier le quartz.

sans contrainte C

C

contrainte de compression C

[a]

C-

C+

[b]

Fig. 20 Effet de l'arrangement des charges sur la piézo-électricité, une contrainte de compression fait apparaître une polarisation non nulle dans le cas [b].

L'arrangement simplifié des atomes dans le cas du quartz est représenté sur la Fig. 21, simplifié car O −2 est un groupement d'atomes. On définit trois axes, l'axe optique (z) passe par

les sommets des rombohèdres, l'axe mécanique (y) passe par le milieu des faces et l'axe électrique (x) passe par le sommet, ces axes sont perpendiculaires à l'axe z. Il existe trois axes (x) et trois axes (y) déduits les uns des autres par une rotation de 120° autour de l'axe (z). On remarque que la disposition des charges dans le plan R est analogue à celle du cas [b] de la Fig. 20. Les propriétés vibratoires d'une lamelle de quartz taillée dans un cristal orienté dépendent fortement de l'orientation de cette lamelle par rapport aux axes x, y et z. On définit ainsi différentes coupes suivant les applications recherchées. Ces coupes sont baptisées de noms conventionnels (X, Y, BT, AT, DT, CT, FT, etc ... ), voir la Fig. 6 de l'annexe I. Chacune d'elles est optimale dans une gamme de fréquences données, et à chacune correspondent des performances thermiques particulières. Une lamelle de quartz piézo-électrique, de coupe et de dimensions particulières, possède un certain nombre de fréquences de résonance mécanique propres. Cette lamelle peut être excitée par une tension alternative appliquée à des électrodes déposées sur elle de manière qu'une de ces résonances soit priviligiée. Les principaux modes de vibration utilisés sont la flexion, l'élongation, le cisaillement de surface et d'épaisseur. Le mode de vibration est déterminé par la disposition et la forme des électrodes métalliques (Au, Ag ou Al) déposées sous vide par évaporation à la surface de la lamelle. A titre indicatif les quartz utilisés dans la gamme de 0.8MHz-30MHz travaillent en cisaillement d'épaisseur et sur le mode fondamental, les coupes sont soit du type AT ou BT. Pour des fréquences plus élevées, jusqu'à 150MHz le quartz vibre sur un harmonique (trois, cinq, ... ).

S +i

z axe optique

y axe mécanique + Si O2 R O2

+ Si

O2 + Si

60° + Si

O2

+ S i O2

x axe électrique O 2

disposition des atomes dans le plan R

Fig. 21 Disposition simplifiée des atomes de Si et O dans une maille élémentaire de quartz

III- 2- Schéma électrique équivalent d'un quartz Avant d'étudier le cas d'un matériau piézo-électrique comme le quartz analysons le comportement d'un matériau non piézo-électrique. a) cas des cristaux non piézo-électriques On cherche à établir la relation entre le courant I et tension V appliquée aux bornes d'une lamelle d'un cristal non piézo-électrique de permittivité relative εr, d'épaisseur d et de surface S. La relation courant-tension est obtenue à partir des équations ci-dessous :

I=

dQ d (Sσ ) dD V avec D = ε0 E + P, P = ε0 χE et E = = =S dt dt dt d

d'où I =

I = C0

Sε0 (1 + χ ) dV en posant εr = (1 + χ ) on obtient finalement : d dt

(23)

dV εεS avec C0 = 0 r dt d

Comme prévu la lamelle est équivalente à un simple condensateur de valeur C0=ε0εrS/d. Dans les équations précédentes, Q est la charge à la surface des électrodes et σ est la densité de charge, c'est à dire Q/S. D est l'induction électrique et P la polarisation reliée au champ électrique par la susceptibilité χ. Ιci il s'agit d'une polarisation sans modification des dimensions du cristal, la polarisation résulte de la déformation des couches électroniques externes des atomes. Cette polarisation est toujours présente même dans les cristaux piézoélectriques, c'est elle qui est responsable de la permittivité, elle est introduite via les constantes χ ou εr. b) Cas des cristaux piézo-électriques Pour trouver la relation entre courant et tension d'une lamelle piézo-électrique, il faut rajouter, à la polarisation introduite par les constantes χ ou εr, la polarisation résultant de la modification des dimensions. Cette polarisation met en jeu le déplacement d'atomes de nature différente (exemple Si et O dans le quartz), ces atomes sont couplés entre eux par des forces de rappel, grosso modo on peut donc assimiler la matière à des masses et des ressorts, pour être complet il faut ajouter des forces de frottement pour exprimer qu'une partie de l'énergie est dissipée sous forme de chaleur. Une description quantitative exacte du problème est complexe, pour bien faire comprendre les paramètres pertinents du problème on va ramener celui-ci à un cas simple de polarisation induite par le déplacement d'un seul type d'atome de masse M. Soit donc un ion de charge (+) et de masse M qui s'éloigne de la quantité x de son point de repos sous l'action d'une tension de polarisation V, le fait que l'ion de charge (-) reste immobile revient à supposer que sa masse est très supérieure à M.

avec tension appliquée

sans tension appliquée

ion immobile

M + -

-

+

x les centres de gravité des

les centres de gravité des

charges + et - sont confondus

charges + et - sont différents d'où moment dipolaire p=qx

Fig. 22 Modèle simple pour l'obtention du schéma électrique équivalent du quartz

Dans le cas d'une lamelle piézo-électrique comprenant N moments dipolaires la polarisation P devient : P = ε0 χE +

Nqx Sd

avec q la charge de l'ion, qx le moment dipolaire et Sd le volume de la lamelle, d'où l'expression I du courant : I=

=

d (ε0 E + ε0 χE + ( Nqx / Sd) ) d(ε0 E + P) dQ dσ dD =S =S =S =S dt dt dt dt dt Sε0 (1 + χ ) dV Nq dx + = i1 + i 2 d dt d dt

(24)

Sε 0 (1 + χ ) Sε 0ε r = , c'est la capacité géométrique d d de la lamelle, indépendamment de l'effet piézo-électrique. On peut d'ores et déjà mettre le schéma électrique de la lamelle de quartz sous forme de deux branches en parallèle, une première branche équivalente à un condensateur C0 dans laquelle passe le courant i1, la deuxième branche d'impédance Zm est parcourue par le courant i2. Cette branche appelée impédance motionnelle représente l'effet piézo-électrique proprement dit. Posons comme précédemment C0 =

V i2 Zm

I

i

1

C0

Fig. 23 Schéma électrique obtenu à partir des équations (24)

Etudions maintenant la contribution i2, c'est à dire celle provenant du terme en dx/dt, remarquons que dx/dt représente la vitesse de déplacement de l'ion de masse M. Pour obtenir dx/dt il faut résoudre l'équation cinématique de la masse M. Faisons le bilan des forces s'appliquant sur l'ion de masse M : M

M

d2 x = ∑ forces = force électrique + ∑ forces mécaniques dt 2 d2x dx V dx =q − kx −a 2 = qE − kx − a dt dt d dt ↓ ↓ ↓ force force de force de électrique rappel frottement

(25)

k est la raideur du "ressort" simulant la liaison entre les deux atomes, les forces de frottement sont directement proportionnelles à la vitesse (modèle classique), a est une constante. Nq dx En introduisant i 2 = dans l'équation 25, on obtient : d dt Md 2 di 2 kd 2 + Nq 2 dt Nq 2 en posant : L =

∫

t

0

i 2 (u)du +

ad 2 i =V Nq 2 2

Md 2 Nq 2 ad 2 , C = et r = , on obtient finalement l'équation suivante : Nq 2 kd 2 Nq 2 L

di 2 1 t + i (u)du + ri 2 = V dt C ∫0 2

(26)

L'impédance Zm est donc équivalente à un circuit r, L, C en série. Le schéma électrique équivalent du quartz se met donc sous la forme suivante :

V i2

L

C

r

I

i

1

C

0

Fig. 24 Schéma électrique équivalent d'une lamelle de quartz

Remarque 1 : on peut vérifier par les équations aux dimensions l'homogénéité des relations obtenues, sachant que M est en kg, k en Nm-1 et a en Nsm-1, on obtient bien L en VsA-1, C en AsV-1 et r en VA-1. Remarque 2 : on vérifie bien que la pulsation de résonance propre électromécanique 1 1 = , résultat classique en mécanique. LC M/k Remarque 3 : La fréquence de résonance dépend légèrement de la température (voir § III et IV de l'annexe) par l'intermédiaire de la constante k, on peut minimiser cette dépendance lors de la fabrication en choisissant une coupe adéquate ou encore en thermostatant le montage oscillateur avec un module à effet Peltier par exemple. III- 3- Ordre de grandeur des éléments du schéma équivalent d'un quartz A titre d'exemple nous donnons les valeurs de L, C, r et C0 d'un quartz dont la fréquence de résonance parallèle (voir par la suite la définition de cette fréquence) est égale à 27MHz. L=3.486mH, C=10fF, r=30Ω et C0=3pF 1 On vérifie bien que ≈27MHz, comme attendu le coefficient de qualité est 2π LC Lω ≈ 20000 , par ailleurs on a C0<
(1- LCω 2 ) + jrCω

− rCC0ω 2 + j(Cω + C 0ω − LCC0ω 3 )

= Zr + jZ i

(27)

Pour faire clairement apparaître le comportement en fréquence, étudions Z dans le cas où on néglige r, on obtient un comportement assez proche de la réalité, il vient :

Z=

1

(1- LCω 2 )

j(Cω + C0ω − LCC 0ω 3 )

1 avec fs = et f p = 2π 2π LC

=

− j  ω 2 − ωs2    ωC0  ω 2 − ωp2 

 11 1  C  +  , on en déduit : f p = fs  1 +  L  C C0   C0 

1/ 2

(28)

La fréquence fs est appelée fréquence de résonance série, dans l'approximation r=0 c'est la fréquence de résonance électromécanique, pour cette fréquence Z=0. La fréquence fp est appelée fréquence de résonance parallèle, pour cette fréquence Z → ∞. D'après la relation (39) on a le comportement suivant : f < fs → le quartz a un comportement capacitif fs < f < f p → le quartz a un comportement selfique f > f p → le quartz a un comportement capacitif application numérique : 1) Calculs approchés avec r=0, on obtient : fs=26 956 061.61Hz, fp=27 000 951.00Hz,

fp-fs=44889.39Hz

L'allure de la partie imaginaire Zi est représentée ci-dessous, la partie réelle Zr est nulle. Zi

26956061.61

SELFIQUE

CAPACITIF

fréquence (Hz)

27000951.00

CAPACITIF

Fig. 25 Allure de la partie imaginaire Zi pour r=0

2) Calculs complets avec r=30Ω, on obtient les allures suivantes pour Zi et Zr : 62354

Zi (Ω )

capacitif fs

f p' f s'

selfique

capacitif fp

26956072

27000246

fréquence (Hz) 27000940 27001615 -66300

Z r (Ω )

128682 27000951 30

fréquence (Hz) Fig. 26 Allure des parties imaginaire Zi et réelle Zr pour r=30Ω

Nous donnons sur la Fig. 27 les allures des parties imaginaire et réelle ainsi que de la phase (arctg(Zi/Zr)) pour une large gamme de fréquences. D'après les courbes des Fig. 26 et 27 on voit qu'au voisinage de fs le quartz se comporte grosso modo come un circuit résonnant série alors qu'autour de fp il se comporte comme un circuit résonnant parallèle. III- 5- Oscillateur à résonance série du quartz Si on prend en compte la résistance r, l'impédance Zi passe par zéro non pas pour fs mais pour une fréquence fs' légèrement supérieure à fs comme le montre la Fig. 26. Au voisinage de fs ou (fs' ) la branche motionnelle présente une impédance (Zr≈r et Zi≈0) beaucoup plus faible que l'impédance du condensateur C0 (r<<1/C0ωs), il s'ensuit que le quartz peut être assimilé à un circuit résonant série à très fort coefficient de qualité Q=Lωs/r>104, son schéma est donné ci-dessous : V V i2

L

C

r

I

I

i 1

C

L

C

r

0

Fig. 28 Schéma électrique équivalent du quartz au voisinage de la fréquence de résonance série fs

Pour obtenir un oscillateur avec une très grande stabilité il suffit alors de remplacer le circuit R, L1, C d'un oscillateur Clapp par un quartz et de faire travailler celui-ci au voisinage de la pulsation de résonance série ω s . On choisit alors C1 et C2 tels que :

LCeq ω 2osc = 1 avec

1 1 1 1 = + + C eq C1 C 2 C

et ωosc très légèrement supérieure à ωs (en fait ω 's ), en effet la branche horizontale doit être équivalente à une self. D'un point de vue pratique le constructeur de quartz donne la valeur à laquelle le quartz est prévu pour fonctionner, c'est à dire ωosc, et la valeur de la capacité dite de charge C1C2/(C1+C2). Compte tenu des valeurs de Q très élevées dans les quartz, on obtient des valeurs de dϕ / df plus de 1000 fois supérieures à celles rencontrées dans les oscillateurs classiques utilisant des composants discrets pour lesquels il est difficile d'avoir des Q>100. Un rapide calcul à partir de la relation (16) et des valeurs mentionnés ci-dessus conduit à une valeur : dϕ ≈ 1. 4 x10−3 rds−1 df

avec Rs=20kΩ et C1=60pF

(29)

a) Oscillateurs sinusoïdaux Dans la plupart des oscillateurs le quartz est utilisé au voisinage de la résonance série, un montage possible pour signaux sinusoïdaux est représenté sur la Fig. 29 ci-dessous, ce montage est équivalent à l'oscillateur Clapp de la Fig. 11. A la fréquence d'oscillation fosc désirée, on doit vérifier : 1 1 1 1 1 = + + + Ceq C1 C2 C 4 C 1 1 1 1 = + + est la valeur de la capacité de charge La capacité Cc telle que : C c C1 C2 C4 imposée par le constructeur pour que le quartz travaille effectivement à ωosc. la capacité C4>>C (quartz) permet d'ajuster la fréquence de l'oscillateur à la valeur fosc. LCeq ω 2osc = 1 avec

Vcc

Z i (Quartz)

Rc

f osc Q C 4

FET

fs

f 's fréquence

R

Re

C3

C1

C2

Fig. 29 Oscillateur à quartz au voisinage de la résonance série et partie imaginaire Zi du quartz

. A titre indicatif nous donnons sur les Fig. 30 et 31, les courbes du module et de la phase du gain en boucle ouverte correspondant au schéma de la Fig. 29. Le montage oscille à la fréquence fosc=26963564Hz et au voisinage de cette fréquence dϕ on mesure d'après la courbe de la Fig. 35-b : ≈1.4x10-3rds-1, une valeur df 26.963MHz 2Q équivalente à =1.4x10-3rds-1. Une variation de phase de un degré entraîne une variation de fosc fréquence de seulement 12Hz. L'amplitude de l'oscillation "quasi-sinusoïdale" est fixée par les non-linéarités du FET, voir en TD pour le calcul de cette amplitude. b) Oscillateurs pour signaux numériques Un montage oscillateur très utilisé en numérique est représenté sur la Fig. 32. Ce montage est encore de type Clapp, mais l'amplificateur est ici un inverseur CMOS. La résistance R (q.q. MΩ) assure le point de fonctionnement statique en M (Vs=Ve=VDD/2, avec VDD la tension d'alimentation), c'est à dire dans la région linéaire où le gain est compris entre 10 et 100, suivant le type d'inverseur.

En sortie de l'inverseur on obtient un signal (signal logique à deux états '0' et '1') décomposable en séries de Fourier, le réseau de réaction en Π ne transmet pratiquement que le fondamental, le signal Ve d'attaque de l'inverseur est donc quasi-sinusoïdal et d'amplitude telle que l'inverseur passe du niveau '0' au niveau '1'. Le condensateur C3 permet d'ajuster la fréquence fosc à la valeur désirée, son rôle est identique à C4 de la Fig. 29. R

Ve

inverseur CMOS V DD

Vs

droite Vs =Ve

Vs R M

VDD /2 Q C1 a)

C3

C2 b)

VDD /2

Ve

Fig. 32 Osillateur à quartz au voisinage de la résonance série et caractéristique de l'inverseur CMOS

Remarque : la résistance R du schéma de la Fig. 32 sert à limiter la puissance dissipée dans le quartz, sa valeur est de q.q. 10Ω. Si la puissance dissipée dans le quartz est trop importante, celui-ci s'échauffe et la fréquence d'oscillation est modifiée. La courbe de la Fig. 19 de l'annexe II montre la variation de fréquence en fonction de la température pour un quartz de coupe AT. III- 6- Oscillateur à résonance parallèle du quartz Au voisinage de la fréquence fp le quartz est donc équivalent à un circuit Rp, Lp, Cp parallèle, cherchons les valeurs de ces éléments en fonction des éléments L, C, r et C0 du quartz. Pour ce faire il faut repartir de l'équation (27) donnant l'expression de Z ou plutôt de son inverse, on obtient : 2 3 1 − rCC 0ω + j(Cω + C0ω − LCC 0ω ) Y= = Z (1- LCω 2 ) + jrCω

Au voisinage de fp on peut faire les approximations suivantes : ωp2  ω2 C C C (1 − LCω ) = (1 − ω 2 ) ≈ (1 − ω 2 ) = 1 − 1 − C  = − C et C >> rCω ω p d'où :  s s 0 0 0 2

− rCC0ω 2 1 1 LCC0ω 3 1 1 + +j = + + jC pω Y≈ ω C C j C R p jL pω − C0 C0 (C + C0 )ω 2 C0 avec

Rp ≈

Lp ≈

C rCC 20ω 2p

≈

1 rC20 ω 2s

C

C 0 (C + C 0 )ω

2 p

=

=

LC rC 20

1 LC20

LCC0ω 2p L2C30C Cp ≈ = C (C + C0 ) C0

(30)

On obtient donc le schéma équivalent suivant autour de fp : V V i2

L

Rp C

I

r I

Cp Lp

i 1

C

0

Fig. 33 Schéma électrique équivalent du quartz au voisinage de la fréquence de résonance parallèle fp

Il est important de noter que contrairement à un circuit R, L, C parallèle classique le quartz ne passe pas le continu comme pourrait le laisser croire le schéma de la Fig. 33. Le principe des oscillateurs utilisant un quartz travaillant à la résonance parallèle fp est donné à la Fig. 34. Hors de la résonance fp du quartz l'impédance de celui-ci est faible et le gain en boucle ouverte est très inférieur à l'unité. Au voisinage de fp, l'impédance du quartz est élevée et est égale à Rp, le gain de boucle peut, suivant les valeurs du gain A et de la résistance R, devenir ≥ 1, il y alors oscillation. Rappelons que la fréquence fp dépend de la capacité géométrique C0 du quartz, fp=fs(1+C/C0)1/2, toute capacité mise en parallèle sur C0 modifie donc la fréquence de résonance parallèle, en particulier la capacité d'entrée de l'amplificateur A.

(a)

(b)

Vcc

R C1

A Q

Q

C2

R

Fig. 34 (a)Montage de base d'un oscillateur à quartz travaillant au voisinage de la résonance parallèle et (b) montage utilisant un transistor

III - 7- Oscillateur travaillant en mode harmonique Les oscillateurs travaillant à des fréquences élevées (>20-30MHz) utilisent des quartz prévus pour vibrer non pas sur la fréquence fondamentale mais sur l'harmonique trois ou cinq, ces quartz sont dits travailler en mode harmonique (overtone). NB : En pratique, un quartz prévu pour travailler à fosc, sur l'harmonique trois par exemple, aura en fait une fréquence fondamentale légèrement différente de fosc/3. L'utilisation des quartz en mode harmonique nécessite des montages particuliers évitant tout risque d'oscillation sur le fondamental, un montage type est donné ci-dessous à la Fig. 35.

C1 C3

L

Q R2

R1

C2

V cc Fig. 35 Montage oscillateur travaillant en mode harmonique

Si on remplace le quartz par un court circuit ce montage est analogue à celui de la Fig. 15 et la fréquence d'oscillation est donnée par :

f1 =

1 CC 2π L 1 2 C1 + C 2

qui est la fréquence de résonance propre du circuit L, C1 et C2. En présence du quartz, prévu pour travailler par exemple en mode harmonique trois, le montage oscillera quand l'impédance de celui-ci sera pratiquement un court circuit, c'est à dire à la fréquence fosc de l'harmonique trois mais également au voisinage de fosc/3. Pour empêcher l'oscillation à cette dernière fréquence on effectue une présélection par l'intermédiaire du circuit L, C1 et C2. Le circuit L, C1 et C2 est calculé tel que sa fréquence de résonance f1 soit le plus près possible de fosc, à cette fréquence le gain de boucle G(ω) est élevé et la condition G( ω ) ≥ 1 est réalisée. A la fréquence fosc/3 le circuit L, C1 et C2 est très loin de sa résonance propre. Il s'ensuit que son impédance est très faible et que par conséquent la fraction de tension sur C2 est pratiquement nulle ce qui conduit à un gain de boucle très inférieur à l'unité, empêchant du même coup le risque d'une oscillation à la fréquence fosc/3. La Fig. 36 montre deux oscillateurs utilisant un quartz travaillant en mode harmonique, dans chaque cas les deux circuits L4 et C4 ont une fréquence de résonance série égale à la fréquence fondamentale du quartz empêchant ainsi l'oscillation sur le fondamental. R

Ve

Vcc

inverseur CMOS VDD Vs R Q C1

C3

C2

C1 L4 C4

Q

L4 C4

C2

R

Fig. 36 Montages utilisant un quartz travaillant en mode harmonique

IV- Oscillateurs à résistance négative Il est possible de réaliser des oscillateurs avec des dispositifs à résistance négative, c'est le cas par exemple de la diode tunnel. La caractéristique I-V d'une diode tunnel est tracée en gras sur la Fig. 37 ci-dessous. Nous rappelons qu'une diode tunnel est obtenue en juxtaposant deux semiconducteurs N et P dégénérés, c'est à dire fortement dopés (≈1018cm-3). L'effet tunnel ne peut s'expliquer que dans le cadre de la mécanique quantique, c'est à dire lorsque le mouvement des électrons est décrit par une fonction d'onde. Il autorise par exemple le passage d'un courant entre deux métaux séparés de q.q. nm.

I

I

II

III I

P'

Q'

Q

V

N

M S

P

R

D2

D1 V

V

V2

1

Fig. 37 Caractéristique I-V d'une diode tunnel et droite de charge

La caractéristique I-V présente deux zones de résistances positives I et III et une zone de résistance négative dans la région II (dV/dI<0), la région III est équivalente à la caractéristique d'une diode classique. Nous allons montrer que le montage ci-dessous utilisant une diode tunnel conduit suivant les valeurs de Vpol et R à un montage stable ou au contraire à un montage instable, c'est à dire un oscillateur. I

R

Vpol

L

V

Fig. 38 Montage oscillateur avec diode tunnel

IV- 1- Stabilité ou instabilité A chaque instant t on peut écrire l'équation suivante : Vpol = Ri + L

dI dI + V ou encore Vpol − RI − V = L dt dt

(31)

la droite Vpol-RI-V=0 correspond à la droite de charge statique. L'intersection de cette droite avec la caractéristique I-V de la diode tunnel définit en principe le point de repos. En fait deux cas sont à considérer suivant que la droite de charge coupe la caractéristique I-V dans les régions de résistance positive ou dans la région de résistance négative. a) Cas où la droite de charge statique coupe la caractéristique I-V dans la région I ou III Ce cas est illustré par la droite de charge D1 sur la Fig. 37. Pour savoir si le point M qui correspond à l'intersection de la droite de charge statique et de la caractéristique I-V est stable il suffit de créer une perturbation qui éloigne le point de fonctionnement de M, déplacement en

Q de coordonnées (I,V) par exemple, et de regarder si le point de fonctionnement revient bien en M après suppression de la perturbation. Si c'est le cas le montage est reputé stable. Sur la Fig. 37 intéressons nous au segment PQ, il vaut : PQ = V1 − V

(32)

Le point P appartient à la droite de charge statique, il vérifie la relation Vpol-RI-V1=0, d'où la nouvelle écriture de la relation (32) : PQ = Vpol − RI − V

(33)

La comparaison des équations (31) et (33) donne : PQ = L

dI dt

(34)

En conclusion, quand on fait passer le point de fonctionnement de M en Q, I diminue, la quantité PQ=LdI/dt est positive quant à elle, donc le courant croît et tend de nouveau vers M, autrement dit le point de fonctionnement converge vers M. Pour s'en convaincre il suffit de refaire le même raisonnement avec un point de fonctionnement quittant M pour Q' (voir Fig. 37), I augmente, mais dans ce cas la quantité P'Q'=LdI/dt est négative et le courant diminue, le point de fonctionnement retourne vers le point M. b) Cas où la droite de charge statique coupe la caractéristique I-V dans la région II Ce cas est illustré par la droite de charge D2 sur la Fig. 37 qui coupe la caractéristique I-V en N. Procédons comme précédemment, éloignons le point de fonctionnement en R, le courant diminue. Intéressons nous au segment SR=LdI/dt, cette fois la valeur de SR est négative, il s'ensuit que le courant I diminue le point de fonctionnement ne converge donc pas vers le point N.

En conclusion, si la droite de charge statique coupe la caractéristique I-V dans une région de résistance négative il n'y a pas de point de fonctionnement stable.

Du fait de l'absence de point de fonctionnement stable, le montage constitue alors un astable dont on se propose maintenant d'étudier la forme des signaux. IV- 2- Fonctionnement d'un astable à diode tunnel Pour simplifier le raisonnement et les calculs on commence par linéariser par morceaux la caractéristique I-V de la diode tunnel, voir Fig. 39 ci-dessous. Comme le point N n'est pas un point stable et que le point de fonctionnement à un instant t doit se trouver sur la caractéristique I-V, le seul cycle autorisé est donc EABCE....

I

X A

IA

B N

IC

E

F

C

D

V O

V E V A VF VD E 0 Y

VB

VC

Fig. 39 caractéristique linéarisée d'une diode tunnel et cycle de l'astable

Etudions les différentes étapes : 1) étape EA, la diode est équivalente à une résistance r1, le circuit permettant de déterminer V et I est donc le suivant : R

V pol

L

r1

V

Fig. 40 Schéma équivalent lors de l'étape EA

Lors de cette étape la tension V évolue de VE à VA avec la constante de temps τ1=L/(R+r1). Arrivé au point A le courant ne peut diminuer pour emprunter le trajet AD, (voir la remarque précédente sur cette portion de courbe à résistance négative), le point de fonctionnement saute en B. Il y a un saut de tension de VA à VB sans variation de courant compte tenu de la self. 2)étape BC, la diode est équivalente à une résistance r2 en série avec une force électromotrice E0 , le circuit permettant de déterminer V et I est donc le suivant : R

V pol

L r

2

V

E0 Fig. 41 Schéma équivalent lors de l'étape BC

Lors de cette étape la tension V évolue de VB à VC avec la constante de temps τ2=L/(R+r2)<τ1. Au point C, la diode se comporte comme un générateur de courant de valeur Ic, la tension V devrait passer instantanément de VC à VF, impossible car le point F n'est pas sur la caractéristique de la diode, la tension passe donc instantanément de VC à VD. Arrivé au point D, le courant ne peut augmenter pour emprunter le trajet DA, (voir la remarque précédente sur cette portion de courbe à résistance négative), le point de fonctionnement saute en E. Il y a donc un saut de tension de VC à VE sans variation de courant compte tenu de la self. Le cycle continue ainsi indéfiniment. Les graphes des tensions V et I sont représentés ci-dessous :

V VB VC

B C

VA VE

A

A

E

t I

τ2

τ1

Τ2

Τ1

IA

IC t

Fig. 42 Graphes de la tension et du courant d'un montage astable à diode tunnel

Un calcul rapide montre que les durées T1 et T2 valent respectivement : T2 = τ 2ln

VY − VB V − VE et T1 = τ1ln X VY − VC VX − VA

(35)

Les tensions VX et VY sont données par les intersections de la droite de charge avec la caractéristique de la diode dans les régions I et III.

Conclusion : Compte tenu du fait que les transitions AB et CE sont instantanées en théorie (en pratique il y a un temps de transition ≠ 0), les astables à diode tunnel permettent d'atteindre des fréquences très élevées, de l'ordre du GHz.