Concreto_ii_capitulo_10_clase_03_cimenta.pdf

10. CIMENTACIONES 10.1 GENERALIDADES Las zapatas son elementos estructurales en el arranque de las columnas o muros, que están en contacto con el suelo y sirven para transmitir la carga axial y los momentos de las columnas a las capas de suelo subyacentes con el objeto de impedir asentamientos uniformes excesivos o asentamiento diferenciales muy notorios entre columnas adyacentes. Bajo el anterior planteamiento, las zapatas tienen que diseñarse de manera continua junto con la columna o muro y debe de ser un agrandamiento de la base de la columna o del muro mismo, con el propósito de transmitir una presión adecuada de acuerdo a las propiedades del suelo. Esta presión debe ser lo suficientemente baja tal que los asentamientos no logren deteriorar los elementos superiores de la estructura. Así mismo, las presiones actuantes en las secciones de las columnas o las pantallas de los muros son, en cierta medida, muy altas comparadas con las presiones que resisten los suelos antes de experimentar deformaciones o fallas debidas al corte. Es por esto que es necesario repartir las cargas de columnas y muros en superficies amplias de cimentación, de manera que las presiones que transmite dicha cimentación sean menores o iguales que la admisible del suelo en consideración. Entre menos excavación se tenga que realizar para una cimentación, más económica resulta realizarla. Por lo general, se hace un cimiento en el nivel más alto donde se encuentra el material de soporte adecuado. Es posible que se encuentre una capa firme de mayor resistencia a una mayor profundidad, por lo que puede ser más económico bajar el nivel de cimentación aunque con ello se aumente el costo de la excavación. Sin embargo, al realizar lo anterior se podría economizar con una reducción en el tamaño de las zapatas o se podría tener más capacidad de aplicación de cargas, lo que permitiría tener un edificio con mayor cantidad de losas. En otros casos, si queremos profundizar la cimentación para alcanzar suelos de mejor resistencia el uso de pilotaje o sustitución del terreno por materiales de mejor calidad son otras alternativas para alcanzar u obtener un material de apoyo satisfactorio. Es igualmente importante ofrecer a la estructura suficiente resistencia al deslizamiento o al volcamiento especialmente para edificios esbeltos y con cargas de sismo relativamente importantes. Ante la presencia de cargas de sismo, para evitar los efectos de volcamiento, es mejor profundizar y encajonar la estructura dentro del suelo construyendo muros de contención para detener la acción de la tierra. Es conveniente que el suelo subyacente no solo resista las deformaciones y rotaciones propias de los asentamientos uniformes o diferenciales presentes en cada columna, sino que sirva de apoyo para la rotación en conjunto que la estructura puede experimentar debido a las cargas laterales . Una vez determinada la presión admisible del terreno, se determinan las áreas de las zapatas mediante la utilización de formulas simples de mecánica de materiales para esfuerzos admisibles. Si el centroide de la columna y la zapata coinciden, ésta se diseñara como una viga invertida sometida a las cargas uniformes que le transmite el terreno en la cara inferior. Si no se logran hacer coincidir los centroides de columna y zapata, el cimiento se diseña como una viga invertida pero la carga que le transmite el suelo no será uniforme sino variable de acuerdo a la excentricidad.

1

En la Figura 10.1.a y 10.1.b se observan las presiones de suelos arcillosos y arenosos en la cara inferior de la zapata. En terrenos arcillosos las presiones son un poco mayor en los bordes de la zapata debido a la cohesión del suelo, mientras que en los arenosos la falta de cohesión hace que las presiones sean menores en los extremos. Sin embargo, no solo el tipo de suelo hace que las presiones no estén uniformemente distribuidas: las propiedades del suelo y la zapata también pueden influir en las variaciones de la magnitud de las presiones de contacto. En la Figura 10.1.c se ha tomado la presión del suelo constante y esta es la condición que generalmente se asume para diseñar la zapata como una viga invertida. Sin embargo, si la carga es aplicada excéntricamente con respecto al centro de gravedad de la zapata, la presión del suelo no es uniforme sino que varía linealmente con respecto al momento que produce la carga excéntrica (Ver Figura 10.1.d)

Qadm(equivalente)

Qadm(equivalente)

a) Zapata en suelo arcilloso

b) Zapata en suelo arenoso

Pcolumna

Centroide de zapata

Qadm(uniforme)

Requivalente

c) Condición de presión uniforme

d) Condición de presión variable

Figura 10.1 Presiones reales de contacto entre zapatas y suelo para condiciones del suelo y para diseño como viga invertida. 10.2 TIPOS DE ZAPATAS Los diversos tipos de zapata y soluciones de cimentación que se pueden encontrar en la práctica común son:

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a) Zapatas corridas. Se utilizan como cimentación para muros perimetrales de contención o para muros estructurales internos. Su finalidad es distribuir las cargas lineales sobre el muro por lo que generalmente la relación ancho sobre longitud es bastante pequeña. (Ver Figura 10.2.a). b) Zapatas aisladas. Son zapatas para una sola columna que se calculan como una losa plana o acartelada en voladizo, con deformaciones en dos sentidos principalmente. Se usan cuando las columnas están muy separadas entre sí y la carga es relativamente baja o cuando el terreno es resistente, de tal manera que el área ocupada por esta sea relativamente baja. (Ver Figura 10.2.b). c) Zapatas combinadas. Soportan la carga de dos o más columnas y son necesarias cuando el cálculo de la longitud de los lados de las zapatas individuales indican un traslapo entre ellas. Se llega a la conclusión de usar una zapata combinada en uno de los dos siguientes casos: primero, cuando la suma de los lados de las zapatas de dos columnas contiguas en una dirección determinada es mayor que la separación entre las dos columnas; y segundo, cuando hay columnas ubicadas en los linderos de una edificación junto al paramento del terreno. En este caso, la columna solo se puede extender hacia el interior de la construcción apareciendo como excéntrica y superponiéndose a la zapata de la columna interior. (Ver Figuras 10.2.c). d) Zapatas excéntricas con vigas de equilibrio. Es el mismo segundo caso anterior pero con la zapata excéntrica sin superponerse en longitud con la zapata interior. Si embargo la excentricidad entre los puntos de aplicación de la carga de la columna y la reacción total de la zapata permiten la aparición de un momento de desequilibrio que debe ser compensado mediante el uso de una viga de equilibrio que transmita deformaciones y momentos y esté conectada a la columna interior cuyo fin primordial es actuar de contrapeso. (Ver Figura 10.2.d). e) Cimentación sobre pilotes. Se utilizan cuando el estrato resistente queda en un nivel muy profundo, por lo que las cargas que transmiten las columnas se transfieren hasta esta capa utilizando estos elementos, sin necesidad de sustituir materiales. Los pilotes pueden ser de otro material diferente al concreto reforzado y según el terreno que los circunda pueden trabajar por fricción o transmitir la carga de la columna hasta la capa resistente a través de la punta del mismo. (Ver Figura 10.2.e) f) Cimentación con pilares. Los pilares o “caissons”, a diferencia de los pilotes, tienen un tamaño mayor buscando llegar a un estrato bajo con una superficie amplia sin necesidad de hincar varios pilotes. Se utilizan cuando hay necesidad de atravesar capas que podrían ocasionar problemas al uso de pilotes, cuando la estabilidad de la construcción así lo requiera o cuando por contacto en la punta del pilar se asegure que existe la suficiente resistencia para transmitir las cargas de la columna. Al llegar al estrato buscado se hace en el pilar un ensanchamiento formando una campana o “pata de elefante” para buscar mas superpie de contacto. g) Losas de cimentación. Es una losa continua de concreto reforzado que ocupa una gran área o la totalidad de los paramentos de la edificación y se utiliza cuando el terreno tiene una baja capacidad de resistencia o cuando las columnas transmiten al suelo cargas muy grandes, de tal manera que el uso de zapatas individuales resultaría impráctico.

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Muro o pantalla continua

a) Zapatas corridas

b) Zapatas aisladas cuadradas y rectangulares

c) Zapatas combinadas

d) Zapata excentrica con viga de equilibrio

e) Cimentación con pilotes

Figura 10.2. Tipos de cimentación. 10.3 CARGAS Y RESISTENCIA EN ZAPATAS La capacidad del suelo a resistir los efectos de las cargas axiales, cortantes y momentos es determinada por los principios de la mecánica de suelos. Para el diseño de las dimensiones de la cimentación o del número de pilas o pilotes, se deben seguir los siguientes pasos:  Obtener información de la capacidad del suelo o de los pilotes por intermedio del estudio de suelos.

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 Determinar las dimensiones de la zapata o el número de pilas o pilotes de acuerdo a la magnitud de las cargas sin mayorar (cargas muertas, vivas, sismo o presión, entre otras).  Determinar la profundidad y reforzamiento de las zapatas basados en los conceptos de diseño al cortante y diseño a flexión. Las presiones de servicio y los resultados de cortante y momento son multiplicados por los factores de mayoración apropiados.  La zapata se asume lo suficientemente rígida para que la presión del suelo pueda tomar constante en toda la superficie inferior de la zapata (triangular o trapezoidal para zapatas excéntricas).  Momentos en la base de la columna o a nivel de pedestales necesitan ser considerados en el diseño.  El momento en la zapata debido a la presión del suelo debe ser calculado para un plano vertical que corta el espesor de la zapata a lo largo de la dimensión transversal de la misma y que está ubicado en el borde de la columna. (Ver figura 10.3.a).  Si se requiere el momento mayorado para una zapata corrida o aislada éste debe calcularse en la sección indicada en cualquiera de los tres casos de la Figura 10.3. b/2 b/2

b

z

b/2

Sección crítica

Sección crítica

b/4 b) Muro en mampostería

a) Columna aislada o muro corrido

Sección crítica

z/2 c) Columna aislada o corrida

Figura 10.3 Localización de la sección crítica para el calculo del momento de diseño a flexión en una zapata aislada o corrida, según tipo de solución estructural. El momento a flexión para una zapata de concreto reforzado no debe ser necesariamente el mismo en ambas direcciones bien sea por la configuración cuadrada o rectangular de la misma, o porque el espesor d cada dirección se ve afectado por la superposición de unas barras sobre las otras de acuerdo al diseño en las dos direcciones. Un valor promedio de los niveles en ambas direcciones es adecuado. La cuantía de refuerzo de una zapata es, en muchas ocasiones, menor a la mínima especificado para elementos sometidos a flexión, el menor de los dos entre: As ,min 

. * fy

f c'

* bw * d

. * bw * d



fy



ambas en MPa

Sin embargo, los diferentes códigos establecen como cuantía mínima para zapatas la que se requiere para retracción y temperatura en losas macizas reforzadas en una dirección, la cual debe

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corresponder como mínimo, a uno de los siguientes valores, los cuales son aplicables cuando se admite que se presente fisuración sin ningún control especial de figuración.  Para barras lisas, o corrugadas, con resistencia a la fluencia fy menor o igual a 350 MPa, se utilizará ....................................................................................................................... 0.0020  Para barras corrugadas con una resistencia a la fluencia fy igual a 420 MPa, o para mallas electrosoldadas de alambre liso o corrugado .............................................................. 0.0018  Para refuerzo con un punto de fluencia fy mayor de 420 MPa, correspondiente a una deformación unitaria de fluencia de 0.35% ................................................. (0.0018 x 420)/fy pero no menor de 0.0014 Este refuerzo debe tener una separación máxima no mayor de 5 veces el espesor de la losa o 500 mm, la que sea menor. 10.3.1 Presiones en el Suelo Cuando la zapata tan solo transmite al suelo su peso propio y la sobrecarga de tierra hasta nivel de contrapiso, estas cargas son balanceadas por una presión igual y de sentido contrario desarrollada por el suelo, denominada Qp. Si la carga de la columna es adicionada, la presión existente del suelo debe incrementarse en una cantidad igual a la carga que transmite la columna dividida entre el área de la zapata (Qn = Pcol / Az). Ahora, la presión total del suelo puede determinarse como Q = Qn + Qp y esta presión resultante debe ser menor que la presión admisible del suelo (Q ≤ Qa). En el diseño, el área de la zapata debe ser seleccionada basada en la suma de las cargas de servicio de la columna, peso propio de la zapata y sobrecarga del suelo, mientras que el refuerzo por flexión y la resistencia a cortante son calculadas usando la presión neta del suelo, de tal manera que: Az 

P( columna)  P( propio zapata)  P( sobrecarg a suelo) Qadmisible

Si se toma únicamente la carga de la columna la presión neta en la zapata tiene que ser igual a la presión admisible menos las presiones que causan el peso propio de la zapata y el peso de la sobrecarga del suelo. P( columna)

Az 

Qneta

Para combinaciones de carga incluyendo viento o sismo, la mayoría de los códigos permiten un incremento de 1/3 en la capacidad admisible del suelo, de tal manera que: Az 

. * P( D  peso zapata sobrecarg a )  . * PL  . * PW Qadmisible

También se puede usar, Az 

. * P( D  peso zapata sobrecarg a )  . * PL  . * PE Qadmisible

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Una vez se ha establecido el área de la zapata, el resto del diseño se continúa con cargas últimas, con base en la presión neta del suelo, de manera que: qu 

. * PD  . * PL Az

Para la combinación con sismo, qus 

. * PD  . * PL  . * PE Az

10.3.2 Diseño Unidimensional de Cortante para Zapatas Para el diseño unidimensional de zapatas como vigas de sección ancha sometidas a flexión, el procedimiento es el mismo seguido en la secciones C.11.11.1 y C.11.11.2 del Reglamento Colombiano de Construcciones Sismo Resistentes (NSR-10): se asume que la zapata actúa como una viga ancha con la sección crítica localizada a una distancia d de la cara de la columna o pedestal y ocupando todo el ancho transversal a la dirección longitudinal considerada. De acuerdo a estos criterios se deben cumplir la siguientes condiciones: Vu d    * Vn



Vn  Vc  Vs

donde Vu(d) es la cortante ultima a la distancia d de la cara de la columna y Vn es la cortante nominal de la sección. Para elementos sometidos a cortante y flexión únicamente, a menos que se realice un cálculo más adecuado, la cortante Vc resistida por el concreto debe ser: Vc  . *  *

f c' * Lz * d

La variable Lz es el ancho transversal de la zapata computado para la misma sección crítica. El valor de Lz corresponde a una de las dos dimensiones L1 o L2 mostradas en la siguiente figura. Según el reglamento NSR-10, cuando el cortante mayorado Vu exceda de la resistencia el cortante Vc debe suministrarse refuerzo a cortante que cumpla con  * Vn   * Vc  Vs  , en la cual la resistencia al cortante Vs debe calcularse según los numerales C.11.4.7.1 a C.11.4.7.5 del mismo reglamento. Para el refuerzo cortante se pueden utilizar mallas de refuerzo o barra múltiples con una separación de acuerdo a lo establecido en el diseño. Para el diseño de zapatas sin refuerzo transversal por cortante, las ecuaciones de resistencia para secciones transversales sometidas a esfuerzos cortantes y a tracción diagonal se pueden resumir de la siguiente manera: Vu d    * Vn   * Vc   * . *  *

fc' * Lz * d

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Área crítica para cortante a flexión d d/2 C1 d/2

Sección crítica para punzonamiento d/2

C2

d

C2 d/2

d

L2 d

Área crítica para cortante a flexión

L1 L1 a) Bloque crítico real para punzonamiento

b) Secciones criticas para cortante para flexión y punzonamiento

Figura 10.4. Áreas y secciones críticas utilizadas en diseño de cortante a flexión y punzonamiento. 10.3.3 Diseño por Punzonamiento en Dos Direcciones La sección critica para esfuerzo cortante por punzonamiento no está en el borde de la columna sino que la falla, si se presenta, ocurre en las caras de un tronco de pirámide con inclinación de 450 cuya base menor es la sección de la columna y cuya base mayor está delimitada por las caras de la columna mas dos veces la altura d de la zapata en cada dirección (Ver Figura 10.4.a). Entonces, para determinar la resistencia al cortante se deben chequear simultáneamente la cortante a flexión en la sección transversal del cubo ubicado a una distancia d de la cara de la columna y la cortante por punzonamiento, o cortante en dos direcciones, que debe ser considerada en el área perimetral de las secciones transversales conformadas por el espesor y el perímetro tomado sobre la base de las dimensiones de la columna ampliada en d/2 a cada lado de las mismas, donde exista una masa continua de concreto para resistir el cortante. La carga transmitida por la columna tiende a extenderse en la zapata, la cual a su vez la resiste por la oposición que la resistencia al cortante genera. La recomendación usual es establecer una sección crítica de penetración a d/2 de la cara de la columna, en la cual los esfuerzos combinados de cortante con la compresión axial transmitida por la columna son aparentemente críticos. Para el chequeo de la cortante por punzonamiento la sección crítica es el perímetro Bo (ver Figura 10.4), definido como: Bo  2 * C1  d   2 * C2  d   2 * C1  C2   4 * d

donde C1 y C2 son las dimensiones de la columna. El área crítica de punzonamiento corresponde al perímetro Bo multiplicado por la profundidad d de la zapata. El perímetro puede ser, igualmente, ubicado a d/2 de los cambios de espesor en la zapata ocasionados por la adición de pedestales. Para el diseño de una zapata en dos direcciones el valor de Vcp debe cumplir con las recomendaciones del reglamento NSR-10, en su numeral C.11.12.2:

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Vcp es el minimo entre

     * f c' * Bo * d  a. . *  *     c     s * d      * f c' * Bo * d  b. . *  *   Bo     c. . *  * f ' * B * d c o  

donde,

c = radio entre el lado mayor y el lado menor de la columna o área de apoyo. s = 40 para columnas interiores, 30 para columnas de borde y 20 para columnas esquineras. Bo = perímetro de la sección critica mostrada en la Figura 10.4.b. El área neta a considerar en el diseño por punzonamiento corresponde a toda el área de la zapata menos el área de la sección crítica encerrada por el perímetro Bo. 10.3.4 Transferencia de Fuerzas en la Base de la Columna, Pared o Pedestal. Una fuerza de transferencia entre la cimentación y elemento soportado, bien sea la columna, el muro o el pedestal, debe ser considerada para elementos vaciados en sitio. Las disposiciones para el cálculo y diseño de la transferencia están contenidas en la sección C.15.8 del reglamento NSR-10. Las fuerzas y momentos deben ser transmitidos desde los elementos soportados a las zapatas por medio de esfuerzos de contacto, barras de refuerzo o conectores mecánicos. Las fuerzas de cortante deben ser enteramente soportadas por las barras. Los esfuerzos de contacto o aplastamiento en la superficie entre el elemento soportante y el soportado no deben exceder la resistencia del concreto a los esfuerzos de contacto, tanto en la sección de la base de la columna como en la superficie del elemento que sirve de apoyo, en este caso, la superficie de la zapata determinada por el área de la base de la columna ampliada por el factor (sección C.10.14 del reglamento NSR-10): A2  2 A1 El área A1 corresponde al área de la base de la columna o área cargada, mientras que el área A2 es el área inferior del tronco de pirámide o cono contenido en su totalidad dentro del apoyo, que tiene como cara superior el área de la columna y cuyos lados caen con una pendiente de 1 vertical a 2 horizontal. Para la columna, la resistencia del concreto a los esfuerzos por aplastamiento esta determinada por la expresión:



 * Pna   * . * fc' * A



donde *Pna debe ser mayor o igual a la carga última actuante transmitida por el elemento soportado. En todos los cálculos se asume  = 0.65 para concreto simple, conservativo debido a los procesos constructivos de las zapatas. Si consideramos el acero en el arranque de la columna, bien sea en forma de refuerzo principal para la columna o sean bastones que vienen de la zapata y que se

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apoyan en la parrilla inferior de refuerzo de la misma zapata, la resistencia por aplastamiento se puede calcular como:





 * Pna   * . * fc' * A  Ast * ( f y  . * fc' )

donde Ast es la cantidad total de acero en el arranque de la columna. Para la zapata la resistencia a los esfuerzos por aplastamiento esta dada por:

 * Pna   *



A * . * f c' * A A





  * . * f c' * A



Cuando los esfuerzos por aplastamiento que soporta el concreto son superados por los que transmite el elemento soportado, se debe proveer refuerzo, barras de empalme o conectores mecánicos entre el elemento soportante y soportado, los cuales deben resistir:  Toda la fuerza de compresión en exceso de los esfuerzos de contacto admisibles, para cualquiera de los dos elementos.  Cualquier fuerza de tracción que actúe a través del plano de contacto. Si se transfieren momentos a la zapata de apoyo, el refuerzo, las barras de empalme o los conectores mecánicos deben ser los adecuados para cumplir los requisitos de C.12.17 del Reglamento NSR-10 o su similar en la norma ACI. Si se transfieren fuerzas horizontales a la zapata, el diseño debe realizarse de acuerdo con los requisitos de cortante por fricción de los numerales C.11.6 y C.11.6.4 de la norma NSR-10 o sus equivalentes en otro medio apropiado. Para zapatas vaciadas en sitio, si se requiere refuerzo, este puede colocarse extendiendo dentro de la zapata las barras longitudinales del elemento soportado, o colocando barras de transferencia comúnmente denominadas bastones de transferencia. En columnas y pedestales vaciados en sitio, la cuantía de refuerzo mínima que debe ser colocada en la zona de interfase entre la zapata y los elementos soportados –en el plano de contacto- no debe ser menor de 0.005, evaluada sobre el área de la sección del elemento soportado. Para muros vaciados en sitio, la cuantía de refuerzo vertical que pasa a través del plano de interfase no debe ser menor que una de las dadas por: 1.) Una cuantía de 0.0012 para barras corrugadas con diámetro menor o igual al de la barra Nº 5 (5/8”) ó 16M (16 mm), con fy mayor o igual a 420 MPa. 2.)

Una cuantía de 0.0015 para otras barras corrugadas.

3.)

Una cuantía de 0.0012 para malla electrosoldada de alambre liso o corrugado, con alambres de diámetro menor de 16 mm.

Según el reglamento NSR-10, las barras de transferencia o bastones no deben ser mayores de Nº 11 (1-3/8”) ó 32M (32 mm) y deben extenderse dentro de la columna o pedestal por una distancia no menor que la longitud de desarrollo o longitud del empalme de las barras de transferencia o las barras de refuerzo, la que sea mayor; y dentro de la zapata una distancia mayor, o igual, que la longitud de desarrollo de las barras de transferencia.

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10.4 ZAPATAS CORRIDAS Una zapata corrida para un muro es una loseta ancha que se extiende por debajo y a lo largo del mismo para resistir los momentos y las cortantes. Para diseñar una zapata de este tipo se asume la carga transmitida a lo largo del sentido horizontal del muro y las fuerzas internas se calculan de acuerdo a la teoría de flexión en el ala de losetas que se extienden en sentido transversal, según se muestra en las Figuras 10.3.a y 10.3.b. La loseta inferior se comporta como un voladizo a cada lado del muro con cargas ascendentes que son las que se originan por la presión del suelo en la cara inferior de la loseta que conforma la zapata. La resultante de las cargas que transmite el muro debe preferentemente producir cargas uniformes en la zapata para impedir irregularidad en el diseño y asentamientos excesivos. Sin embargo pueden existir cargas de contacto variables entre el suelo y la zapata, siempre y cuando las cargas actuantes máximas no sobrepasen las admisibles del suelo. Para zapatas con muros en concreto, la sección crítica para el momento de diseño es la cara del muro, mientras que para muros en mampostería se calcula el momento crítico a una distancia equivalente a un cuarto del ancho del muro contado a partir del centro mismo del muro. Para la cortante, se considera satisfactorio considerar un plano de falla a 450 por lo que es aceptable que la falla se considere a una distancia d de la cara del muro. Regularmente, el diseño de zapatas para muros se calcula por unidad de longitud en franjas de ancho B =1.0 m a lo largo del muro. El momento máximo de diseño (ver Figura 10.5), si la carga es simétrica y uniforme, está dado por: Mu 

q  Lz b  *      



donde,

q = presión uniforme sobre el suelo, en kN/m2. b = ancho el muro en t. Lz = Ancho transversal de la zapata, en metros. b

Lz /2 - b/2

B = 1.0 m

b/2 q

Sección crítica

q Diseño por cada metro de ancho Lz Lz

Figura 10.5. Zapata corrida para un muro de concreto. Diseño por metro de ancho.

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El refuerzo por flexión debe colocarse transversal, a lo largo del ancho Lz de la zapata, con el recubrimiento apropiado. Se debe chequear la longitud de desarrollo a partir de la sección crítica para momento y el espesor mínimo de una zapata no debe ser inferior a 150 mm para zapatas de muros sobre suelos y de 300 mm para zapatas apoyadas en pilotes. Ejemplo 1: Diseño de la zapata de un muro. Para un muro de ancho b = 15 cm, diseñar la zapata para resistir una carga muerta sin mayorar de 40 kN/m incluyendo el peso de la pantalla y una carga viva de 10 kN/m. El nivel inferior de la zapata debe estar localizado a 50 cm por debajo de la rasante del terreno. El peso de la tierra es  = 19 kN /m3 y la presión admisible del suelo es Qa(ultima) = 60 kN/m2. Diseñar con f’c = 21 Mpa y fy = 420 Mpa. Asumiendo un espesor de la zapata de 20 cm, la carga última de diseño por metro lineal es: Pu  . *   . * . *   ( .  . )* . *    . *   . kN / m

El valor 0.2*1.0*24 = 4.8 kN/m corresponde al peso por metro lineal de la zapata, mientras que (0.5-0.2)*1.0*1.9 = 5.7 kN/m corresponde al peso de la tierra. El ancho transversal requerido para la zapata es: Lz 

Pu Qa( ultima)



. kN / m  kN / m

 . Mt  Utilizar Lz  . m

La presión del suelo para diseño es: qu 

Pu . *   . *  kN / m   . kN / m Lz . m

Antes de calcular el acero requerido chequeamos por esfuerzos cortantes si el espesor asumido es adecuado. Asumiendo al menos 80 mm de recubrimiento al centro de la barra, la profundidad d se puede asumir en 0.12 m, por lo que la cortante de diseño por metro de ancho (B=1.0 m), es: b L   . .  Vud  qu * . *  z   d   . * . *    .   . kN        

y la cortante admisible es: Vu( adm )  * Vc   * . *  * 

fc' * B * d

. * . *  * * *   

 . kN  Vud  . kN

Chequeando nuevamente con el peralte mínimo de 150 mm permitido por el código y colocando el acero en la mitad de la profundidad obtenemos: b L   . .  Vu( d )  qu * . *  z   d   . * . *    .   . kN        

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Vu( adm )  * Vc   * . *  * 

fc' * Lz * d  

 . *  *  *   . *     

   . kN  Vu ( d )  . kN  

 Usar h  150 mm  d  75 mm

A continuación se calcula el momento último y el área de acero requerida para el diseño de la zapata, por cada franja de 1.0 Mt de ancho: qu   KN / m

L qu * B *  z  b     M u( disen~o ) 







. * . * .  . /    . kN  m 

 0.59 *  * f y   M u ( resistente )   *  * f y * B * d 2 *  1  '   fc   

. *    . *  *  *  *   *   

  .



. *  *     

As   * B * d  . *  *    mm

 Usar As  . cm

Usar 1#3 @ 20 cm con fy = 420 MPa por cada franja de 1.0 de largo en todo el sentido longitudinal. Longitudinal. Se revisa el acero mínimo de retracción y temperatura repartido en el ancho Lz de la zapata: As( Longitudinal )  . * Lz * d  . *  *    mm

 Usar As  1.5 cm 2



 Barras lisas

1# 3 @ 30 cm, por cada franja transversal de 1.3 Mt en todo el sentido longitudinal

Se utilizó la cuantía 0.002 para el acero de retracción y temperatura porque se piensa utilizar barras lisas #3, con resistencia a la fluencia fy menor o igual a 350 MPa. En la siguiente figura se puede observar la distribución del acero, tanto el transversal primario como el longitudinal secundario.

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#3 @ 30 cm Longitudinal

#3 @ 30 cm Longitudinal

#3 @ 20 cm Transversal

#3 @ 20 cm Transversal d=7.5 mm

Figura 10.6. Distribución de acero en la zapata del muro Por último, se chequea la longitud de anclaje de las barras #3 colocadas transversalmente: f y * t * c As( requerido) Ld  * db . *  f c' As( su ministrado)

Ld 

t  .     .  e

 * . * . . * . *   mm  . m (  /  )* . . * 

Las barras deben extenderse hasta un punto extremo donde el recubrimiento no sea menor de 75 mm, por tanto la longitud de desarrollo disponible es: Longitud Disponible 

1.3 0.15   0.075  0.5 Mt  Ld  0.35 m  Cumple! 2 2

10.5 ZAPATAS AISLADAS Para el diseño de zapatas aisladas se deben encontrar los momentos y cortantes de diseño que actúan en la cimentación, longitudes disponibles para que se garantice el desarrollo y anclaje del refuerzo y las cargas axiales de diseño para el chequeo de la transferencia de cargas entre la columna y la zapata. Para una zapata aislada diseñada a flexión se deben calcular los momentos en ambas direcciones alrededor de los ejes A-A’ y B-B’ mostrados en la Figura 10.7, los cuales pasan por las caras de las columnas. Ambos momentos están definidos según las siguientes expresiones: M u( A A' )  qu( dis ) *

L * Lvol(  )

y M u( B  B' )  qu( dis ) *



L * Lvol(  )



que corresponden a momentos de voladizo con secciones de flexión L2*hz alrededor del eje A-A´ y L1* hz alrededor del eje B-B’, respectivamente. El parámetro qu(dis) corresponde a la presión mayorada neta del suelo. Los anteriores momentos deben ser resistidos por una malla de acero que debe ser colocada en la parte inferior de la zapata, justo donde se desarrollan los esfuerzos a tracción de los voladizos.

14

Lvol(1)

Área crítica de momento a flexión

A

A Lvol(1) C1

hz B

C

2

B’

C2

B

B’

L2

L2

Lvol(2)

C

1

Lvol(2) A' L1

A'

Área crítica de momento a flexión

L1

Figura 10.7. Secciones críticas para el cálculo de momentos a flexión en ambas direcciones. Para el diseño a cortante de la zapata, se asume la falla en una sección ancha de viga o por punzonamiento, de acuerdo a lo estudiado en las secciones 10.3.2 y 10.3.3 del presente capitulo. Las cortantes de diseño a flexión en ambas direcciones son tomadas a partir de las áreas limitadas por las secciones que pasan por los ejes C-C’ y D-D’ en la Figura 10.8 y son definidas de acuerdo a las siguientes expresiones:







L C Lvol(  )    







L C Lvol(  )    

Vu( C C' )  qu( dis ) * L * Lvol(  )  d

Vu( D  D' )  qu( dis ) * L * Lvol(  )  d









mientras que la cortante de diseño por punzonamiento es definida como:

Vup( dis )  qu( dis ) * L * L  C  d * C  d  Para el diseño de la longitud de desarrollo de las barras de refuerzo en la zapata, se asume que el máximo esfuerzo a fluencia fy se alcanza en las caras de las columnas, donde los momentos son máximos. Desde aquí se considera que las barras se deben extender lo suficiente para desarrollar la fluencia, lo que generalmente es controlado las longitudes Lvol(1) y Lvol(2), que por lo general son suficientemente extensas y mayores que las longitudes de desarrollo. De otra modo, si las longitudes de los voladizos no son mayores que las longitudes de desarrollo de las barras de refuerzo de la zapata, se deben proveer ganchos con longitud suficiente para permitir el anclaje.

15

Área crítica para cortante a flexión

D d d/2

C1

d/2

C1+d

Área critica para cortante de diseño por punzonamiento

Sección crítica para cortante resistente a punzonamiento

d/2 C2 d/2

C

C2+d

L2 = Lz d

L2 = Lz

C’

D’ L1 = L z

L1 = Lz

Figura 10.8. Secciones críticas para el cálculo de cortante a flexión y de punzonamiento. Para el chequeo de la transferencia de cargas desde la columna hasta la zapata se considera que la carga de diseño transmitida por la columna es resistida mediante los esfuerzos admisibles de aplastamiento del concreto en la base de la columna más los esfuerzos desarrollados en los bastones, si están presentes, o las barras en las columnas que vienen de la zapata y cruzan la unión columna-zapata. Pero a la vez, la carga última de diseño de la columna debe ser menor que la resistencia al aplastamiento del concreto en el tronco de pirámide que se desarrolla en la zapata y cuyas caras, tanto inferior como superior corresponden al área A1 de la base de la columna y al área A2 , que es el área inferior del tronco de pirámide cuyos lados caen con una pendiente de 1 a 2. Cada una de estas condiciones deben ser revisadas una vez estemos seguros que se cumple con los estados límites gobernados por la presión del suelo, los cuales se pueden presentar de acuerdo a uno de los siguientes tres modos de falla: 1. Una falla por aplastamiento, en la cual el suelo debajo de la zapata es arrastrado hacia un lado y fuera de la superficie inferior de la zapata ( ver Figura 10.8). 2. Una falla por asentamientos diferenciales en las cuales el mismo causa daños estructurales entre columnas adyacentes. 3. Una falla por asentamiento total debido al peso global de la estructura.

Figura 10.9. Falla por aplastamiento del suelo bajo la zapata.

16

10.5.1 Zapatas Cuadradas Para una zapata cuadrada diseñada a flexión los lados L1 y L2 de la zapata son iguales y se pueden sustituir por Lz,de tal manera que: L1  L2  L z

El momento a flexión se calcula de acuerdo a: M u  qu( dis ) *

L z * L2vol 2

 Lvol 

L z C1  2 2

ó

Lz C2  2 2

donde C1 y C2 definen las dimensiones de la columna y deben ser consideradas de acuerdo a la dirección de análisis. Es de anotar que aunque la zapata sea cuadrada, la sección de la columna puede ser rectangular por lo que el momento a flexión puede no ser el mismo en ambas direcciones. Para el diseño a cortante de una zapata cuadrada la cortante de diseño a flexión se define de acuerdo a las siguientes expresiones: Vu( C C' )  qu( dis ) * L z * Lvol  d   Lvol 

L z C1 L C  ó z  2 2 2 2 2

mientras que la cortante de diseño por punzonamiento es definida como:





Vup( dis )  qu( dis ) * L2z  C1  d * C 2  d 

Ejemplo 2: Diseño de la zapata cuadrada. Determinar el área Az requerida para una zapata cuadrada, así como el espesor, las cuantías de acero en ambas direcciones, longitudes de desarrollo y la fuerza de transferencia en la base de la columna. El nivel inferior de la zapata está localizado a 1.2 m por debajo de la rasante del terreno. El peso de la tierra es  = 18.0 kN/m3 y la presión admisible del suelo es Qa = 300.0 kN/m2. Utilizar resistencias f 'c = 24.5 MPa para el concreto de la zapata, f 'c = 28 MPa para el concreto de la columna y fy = 420 Mpa como fluencia para el acero. Las siguientes son las condiciones de diseño a utilizar:  Carga muerta de servicio = 1600 kN (incluyendo peso propio columna)  Carga viva de servicio = 500 kN  Dimensiones de la columna = 600*600 mm2 Solución: a.) Cálculo del área requerida para la zapata: Asumiendo el espesor de la zapata como hz = 550 mm, el peso por metro cuadrado de suelo mas concreto por encima de la base de cimentación puede aproximarse en:

17

Q p  0.65 * 18.0  0.55 * 24.0  24.9 kN / m 2

La presión neta del suelo es: Qn  Qa  Q p  .  .  . kN / m

El área requerida para la zapata puede ser estimada como: P (    ) kNw Az  servicio   . m  Qn . kN / m

 Usar Az  . * . m

Para comprobar que estas son las dimensiones adecuadas, encontramos: P( servicio  sobrec arg a )  1600 500  2.8 * 2.8 * ( 0.65* 18  0.55* 24.0 )  2295.2 kN Az 

P( servicio  sobrec arg a ) Qa



2295.2 kNw 300.0 kNw / Mt 2

 7.65 m 2

 Az  2.8 * 2.8 m 2  Cumple!

La presión neta del suelo en la superficie inferior de la zapata, tomando cargas últimas, es: P ( . *   . *  ) KN qu( disen~o )  ultima    kN / m  Az ( . * . ) m

El factor de seguridad de cargas mayoradas sobre cargas de servicio es: Pultima ( . *   . *  ) KN   . Pservicio (    ) KN Si se utiliza este factor para mayorar la presión admisible del suelo, se obtiene: F .S . 

qu( admisible)  . *    KN / m  qu( disen~o )   kN / m  Cumple!

b.) Chequeo del espesor requerido para la zapata: A partir de los esfuerzos cortantes chequeamos si el espesor asumido de 550 mm es adecuado. Asumiendo al menos 75 mm de recubrimiento al centro de las barras de refuerzo, la profundidad d se puede asumir en 475 mm = 0.475 m, por lo que la cortante de diseño a flexión es: C L   . .  Vuf ( dis )  qu( dis ) * Lz *  z    d    * . *    .   . kN        

y la cortante admisible es:

18

Vuf ( adm )  * Vcf   * . *  * 

fc' * Lz * d  

 . * . *  *     . KN  Vuf ( dis )  . kN Vuf ( adm )  . *       

A continuación se revisa la cortante en dos direcciones o cortante por punzonamiento. Para tal efecto encontramos la cortante de diseño que esta determinada por la presión del suelo sobre toda el área de la zapata menos el área encerrada por el perímetro Bo:









Vup( dis )  qu * Lz  C  d * C  d    * .   .  .   . kN

Para determinar la cortante resistente por punzonamiento el valor de Vcp debe cumplir con:

Vcp minimo entre

     * f c' * Bo * d  a. . *  *     c     s * d      * f c' * Bo * d  b. . *  *   Bo     c. . *  * f ' * B * d c o  

donde, Bo   * C  d    * C  d    * C  C    * d   * ( .  . )   * .  . m c  radio entre el lado mayor y el lado menor de la columna . / .  .

 s   para columnas int eriores Por lo tanto,    * Vcp(  )  . *  *   c  

  *   f c' * Bo * d  . *    * . *   kN   

 * d  Vcp(  )  . *  *  s    * f c' * Bo * d  Bo   *    *    . *     * . *   kN    

Vcp(  )  . *  *

fc' * Bo * d  .. * . *

19

 *    kN  Usar 

0.675 m

Área crítica para cortante a flexión

1.075 m

Área critica para cortante de diseño por punzonamiento

d=0.475 m Sección crítica para cortante resistente a punzonamiento

d/2 0.6 d/2

d/2 0.6

1.075 m

Lz =2.8 m

2.8 m

d/2 0.475 m

0.675 m

2.8 m

Lz = 2.8 m

Figura 10.10. Secciones críticas a utilizar para el cálculo de cortante a flexión y punzonamiento en el ejemplo 2. La cortante admisible es: Vup( adm )  * Vcp(  )  . *   . kN

 Vup( dis )  . kN

c.) Diseño de cantidades de acero: A continuación se calcula el momento último y el área de acero requerida para el diseño de la zapata. Para tal efecto usamos la presión neta del suelo en la superficie inferior de la zapata cuyo valor es: qu( disen~o )   kN / m

por lo que el momento de diseño y la cuantía de acero se calculan de la siguiente manera, L C qu( dis ) * Lz *  z       M u( disen~o ) 



 M u ( resistente )   *  * f y * L z * d 2 *  1   



 * . * .  . /     kN  m  0.59*  * f y  

f c'

  

Reemplazando los valores de las variables,  

 *    . *  *  *  *   *  

20

. *  *    . 

  .



As   * b * d  . *  *    mm

 Usar As  . cm  # @  mm  L   mm, en cada sentido de la zapata.

El recubrimiento a utilizar debería ser (2800-12*220)/2  80 mm y la longitud de la barra sea de 2640 mm aproximadamente. Adicionalmente, se debe chequear que la cuantía de acero suministrado sea mayor que la cuantía mínima de acero por retracción y temperatura. En este caso la cuantía de acero suministrada es:

( su ministrada) 

 * . cm  .  ( min)  . , para acero corrugado. (  * . ) cm

La misma cantidad de acero es utilizada en ambas direcciones puesto que la zapata es cuadrada.

Figura 10.11. Cantidades de acero a utilizar para el cálculo a flexión en el ejemplo 2. d.) Diseño de longitud de desarrollo: La longitud de desarrollo se chequea en la sección crítica donde se presenta el momento máximo de diseño, es decir, en la cara de la columna. Chequeando con la formula simplificada, se obtiene: f y * t * c As( requerido) Ld  * db . *  f c' As( su ministrado) Ld 

t  .     .  e

 * . * . . *  *   mm  . m  * . . * .

Se puede establecer, a manera de comparación, un chequeo con la formula general:

21

f y *t *  e *  s

Ld 

. *  *

f c'

 c  Ktr  * b   db 

* db

donde, * * * * *

t = 1.0  Barras inferiores e = 1.0  No hay presencia de epóxicos s = 0.8  Barras No.6

Ktr = 0.0  No hay refuerzo transversal cb = 75 mm  c  Ktr   *  b   .   Usar máximo 2.5   db 

Con los anteriores parámetros, la longitud de desarrollo es: Ld 

 * . * . * . *    mm   cm . * . * .

La longitud de desarrollo final para las barras No. 6 es: Ld  final  Ld *

Asrequerido Assu ministrado

Longitud Disponible 

 . *

.  .  * .

 Usar Ld ( final )   cm

. .   .  . m  Ld ( final)  

e.) Fuerza de transferencia en la base de la columna: La fuerza resistente del concreto a los esfuerzos desarrollados por aplastamiento en la sección transversal de la columna (f’c = 28 MPa) se determinada de acuerdo a:





. *  *  *     . kN   

 * Pna   * . * fc' * A  . * 

La carga de diseño actuante en la base de la columna, que produciría los esfuerzos de aplastamiento, se calcula como:

Pultima  . *   . *    kNw   * Pna  . kN La fuerza resistente del concreto a los esfuerzos de aplastamiento en la zapata (f’c = 24.5 MPa) se determinada utilizando:

 * Pna   *



A * . * f c' * A A





  * . * f c' * A

22



donde A1 es el área de la base de la columna o área cargada, mientras que el área A2 es el área inferior del tronco de pirámide o cono que tiene como cara superior el área de la columna y cuyos lados tienen una pendiente de 1 vertical a 2 horizontal, hasta la base inferior de la zapata. De esta manera, si la altura de la zapata es hz, y los lados de la columna son C1 y C2, el lado del área de la base del tronco de pirámide es A2  ( C1  4 * hz ) * ( C2  4 * hz ) , de tal manera que: A   *    *   mm A  (    *  )   *   mm

Cualquiera de los dos lados de la base es inferior del tronco de pirámide es igual a los lados de la zapata. Esto es,

C1  4 * hz  600  4 * 550  2800 mm 

C1  4 * hz 

 Lz  2800 mm

Por lo tanto, A2 784   4.67  2.0  Tomar A1 36



A2  2.0  Usar   * Pnb   * 1.7 * f c' * A1 A1

por lo que la fuerza de aplastamiento resistida por el tronco de pirámide es:  . * . *  *      kN  P( ultima)   kN    

 * Pna  . * 

Lz = C1 + 4*hz

Area A1 Area A2 Lz = C2 + 4*hz

Figura 10.12. Áreas A1 y A2 a usar en chequeo de aplastamiento de la sección de la columna.

23



10.5.2 Zapatas Rectangulares En la práctica las columnas no siempre son diseñadas de forma cuadrada, sino que presentan secciones rectangulares, con lo cual es posible que las zapatas también presenten un diseño rectangular de tal manera que los voladizos para el cálculo de la flexión sean iguales en ambas direcciones. Con esto se busca una economía en el diseño de la zapata, tanto en materiales como en tiempo, pues siendo los voladizos iguales las cortantes y momentos se pueden diseñar para franjas de 1.0 Mt de ancho obteniéndose los mismos resultados en ambas direcciones. Las cantidades totales de momento y cortante son diferentes en ambas direcciones, pero las fuerzas internas y las cuantías de acero por metro sí serán iguales. De acuerdo a las dimensiones C1 y C2 de la sección de la columna, donde C1 corresponde al lado mayor y C2 al lado menor, se pueden determinar las dimensiones de la zapata de acuerdo a las siguientes expresiones:  C  C2  L1  L z   1  2  

;

 C  C2  L2  L z   1  2  

En este caso la expresión Lz corresponde al lado de una zapata cuadrada, con la misma área equivalente de diseño Az que se ha encontrado para el diseño de la zapata rectangular. Se puede establecer, como se hizo para las zapatas cuadradas, que L z  Az . Otras veces, por limitaciones de espacio solo es posible diseñar la zapata de forma rectangular aún cuando la columna tiene forma cuadrada. En este caso las longitudes del voladizo de las franjas de diseño son diferentes en cada sentido lo mismo que las fuerzas internas y las cuantías de refuerzo en los puntos críticos de diseño. En el sentido longitudinal L1, de mayor dimensión, el refuerzo mas largo se coloca uniformemente repartido en todo el ancho de la menor dimensión L2; pero para el refuerzo de menor longitud colocado en todo el ancho L1 de zapata, los esfuerzos tienden a ser mayores en la porción central de la zapata por lo que es conveniente concentrar mayor cantidad de acero en una franja de ancho L2. (Ver Figura 10.12). Área de zapata cuadrada

L2

L2

As en franja L2 As total en L1 L

1

Figura 10.13. Distribución del refuerzo transversal en L1 para zapatas rectangulares.

24

En este caso es conveniente considerar esfuerzos y refuerzo uniformemente repartidos como en una zapata cuadrada. El acero a colocar en la franja central L2 de esfuerzos críticos, dentro del ancho L1 de mayor longitud, se define de acuerdo a la siguiente expresión: As ( franja ancho L2 ) 

2 * As ( total en ancho L1 ) L1 L2  1

Las variables L1 y L2 son las dimensiones de la zapata rectangular. En la franja L2 , dentro del lado de mayor longitud L1, se concentra el acero dado por la anterior expresión. Obviamente, este acero es una parte del acero total que se debe colocar en la sección transversal de ancho L1. El refuerzo restante debe cumplir, al menos, con los requisitos mínimos de retracción y temperatura y debe distribuirse entre los extremos de ancho (L1 – L2 )/2 . Ejemplo 3: Diseño de la zapata rectangular. Diseñar una zapata rectangular usando los mismos datos del ejemplo anterior pero para una pantalla de dimensiones 0.4*1.0 m2. En el análisis se sebe igualmente incluir las dimensiones L1 y L2 de la zapata rectangular, la altura hz de la zapata, las cuantías de acero en ambas direcciones, longitudes de desarrollo y la fuerza de transferencia en la base de la columna. Datos:         

Nivel inferior de la zapata = -1.2 m El peso de la tierra es  = 18.0 kN/m3 la presión admisible del suelo es Qa = 300.0 kN/ m2 Carga muerta de servicio = 1600 kN (incluyendo peso propio columna) Carga viva de servicio = 500 kN Dimensiones de la columna = 0.4*1.0 m2  C1 = 1.0 m ; C2 = 0.4 m. f 'c = 24.5 Mpa, para el concreto de la zapata. f 'c = 28 Mpa, para el concreto de la columna. fy = 420 Mpa, fluencia para el acero.

Solución: a.) Cálculo de las dimensiones de la zapata: Asumiendo el espesor de la zapata como hz = 550 mm, el peso por metro cuadrado de suelo mas concreto por encima de la base de cimentación puede aproximarse en: Q p  0.65 * 18.0  0.55 * 24.0  24.9 kN / m 2

La presión neta del suelo es: Qn  Qa  Q p  300.0  24.9  275.1 kN / m 2

El área requerida para la zapata puede ser estimada como:

25

P ( 1600  500 ) kN Az  servicio   7.63 m 2 2 Qn 275.1 kN / m  C  C2 L1  L z   1 2 

 L z  2.8 m

1.0  0.4   3.1 m   2.8  2 

1.0  0.4  C  C2  L2  L z   1  2.5 m   2.8  2 2  

La diferencia entre las dos dimensiones de la zapata es la misma que entre las dos caras de la columna rectangular lo que asegura que los voladizos de diseño en ambas direcciones sean iguales. Para comprobar que estas son las dimensiones adecuadas, encontramos: P( servicio  sobrec arg a )  1600  500  2.5 * 3.1* ( 0.65 * 18  0.55 * 24.0 )  2293.0 kN Az 

P( servicio sobrecarg a ) Qa



2293.0 KN 300.0 KN / m

2

 7.64 m 2  Az  2.5 * 3.1 m 2 Cumple!

La presión neta del suelo en la superficie inferior de la zapata, tomando cargas últimas de diseño de la columna, es: P ( . *   . *  ) KN qu( disen~o )  ultima    kN / m Az ( . * . ) m

El factor de seguridad de cargas mayoradas sobre cargas de servicio es: P ( . *   . *  ) kN F .S .  ultima   . Pservicio (    ) kN Si utilizamos este factor para mayorar la presión admisible del suelo, obtendríamos: qu( admisible)  . *   . KN / m  qu( disen~o )   kN / m  Cumple!

b.) Chequeo del espesor requerido para la zapata: Asumimos inicialmente el mismo espesor de 550 mm y un recubrimiento de al menos 75 mm tomado al centro de las barras de refuerzo. La profundidad d es 475 mm = 0.475 m. La longitud del voladizo en cualquiera de las dos direcciones es: L C .  . Lvol(  )       . m







C .  .     . m  Igual a Lvol(  ) , direccion de L   

L

26

Puesto que la longitud del voladizo es igual en ambos sentidos se obtendrán los mismos valores para cortante y momento si diseñamos franjas de B = 1.0 Mt de ancho en ambas direcciones. De esta manera,

Vuf ( d )  qu( dis ) * B * Lvol  d    * . * .  .  Vuf ( d )  . kN  por metro de ancho y la cortante admisible en cada franja es: Vuf ( adm )  * Vcf   * . *  * 

fc' * Lz * d  

 . * . *  *      KN  Vuf ( dis )  . kN Vuf ( adm )  . *       

A continuación se chequea la cortante por punzonamiento por lo que encontramos la presión del suelo sobre toda el área de la zapata menos el área encerrada por el perímetro Bo: Vup( dis )  qu( dis ) * L * L  C  d * C  d    * . * .  .  . * ( .  . )  . kN 0.575 m

Área crítica para cortante a flexión

C1 + d =1.475 m

Área critica para cortante de diseño por punzonamiento

d=0.475 m d/2

1.0 m

d/2

Sección crítica para cortante resistente a punzonamiento d/2 C2+d = 0.875 m

0.4 m

L2 = 2.5 m

2.5 m

d/2 0.475 m

0.575 m

L1 = 3.1 m

3.1 m

Figura 10.14. Secciones críticas a utilizar para el cálculo de cortante a flexión y punzonamiento en el ejemplo 3. Para determinar la cortante resistente por punzonamiento el valor de Vcp debe cumplir con:

27

Vcp minimo entre

     * f c' * Bo * d  a. . *  *     c     s * d      * f c' * Bo * d  b. . *  *   Bo     c. . *  * f ' * B * d c o  

donde, Bo   * C  d    * C  d    * C  C    * d   * ( .  . )   * .  . m

c  radio entre el lado mayor y el lado menor de la columna . / .  .  s   para columnas int eriores Por lo tanto,     * f c' * Bo * d Vcp(  )  . *  *     c     *    . *    . kN  * . * .   

 * d  Vcp(  )  . *  *  s    * f c' * Bo * d  Bo   *    *    . *     * . *  . kN    

Vcp(  )  . *  *

f c' * Bo * d  .. * . *

 *   . kN  Usar 

La cortante admisible es: Vup( adm )  * Vcp(  )  . * .   kN

 Vup( dis )  . kN

c.) Diseño de cantidades de acero: A continuación calculamos el área de acero requerida para el diseño de la zapata. La diferencia entre las dos dimensiones de la zapata L1 y L2 es la misma que la diferencia entre las dos dimensiones C1 y C2 de la columna rectangular, de tal manera que los voladizos de diseño en ambas direcciones son iguales (Ver Figura 10.15). De esta manera los momentos a flexión se pueden diseñar para franjas de 1.0 Mt de ancho obteniéndose los mismos resultados en ambas direcciones.

28

C1 = 1.0 m

Lvol = 1.05 m

Área crítica para momento a flexión Área crítica para momento a flexión

L2 = 2.5 m

C2 = 0.4 m

Lvol = 1.05 m

L1 = 3.1 m

Figura 10.15. Secciones críticas a utilizar para el cálculo del momento a flexión del ejemplo 3. El momento de diseño por metro de ancho, en cualquiera de las dos direcciones de la zapata, es: M u( disen~o ) 

qu( dis ) * B * Lvol 





* . * .   . kN  m 

La cuantía de acero por metro de ancho, en cualquiera de las dos direcciones, se calcula utilizando la siguiente expresión, para momento resistente a flexión:  0.59 *  * f y   M u ( resistente )   *  * f y * B * d 2 *  1  '   f c  

Sustituyendo datos, obtenemos:  

. *    . *  *  *  *   *  

  .



. *  *    .  

As   * b * d  . *  *    mm

m

  . cm

m

 Usar As  L * . cm  . * .  . cm  # @  mm  L   mm  Usar As  L * .  . * .  . cm   # @  mm  Lbarra   mm

En cada caso la cuantía suministrada es mayor a la mínima requerida por temperatura:

( su ministrada) 

 * . cm (  * . ) cm

 .  ( min)  .  Cumple!

29

 ( su ministrada) 

 * . cm (  * . ) cm

 .  ( min)  .  Cumple!

Figura 10.16. Cantidades de acero a utilizar en la zapata rectangular del ejemplo 3. Al final la cuantía suministrada en la sección de la longitud más larga resultó mayor a la cuantías a colocar en la sección de la longitud más corta porque el momento en voladizo en la dirección mas larga tiene menos ancho disponible para colocar las barras. d.) Diseño de longitud de desarrollo: La longitud de desarrollo a partir del borde de la columna se compara con la longitud del voladizo para establecer si hay suficiente anclaje de las barras de refuerzo. f y * t * c As( requerido) Ld  * db . *  f c' As( su ministrado) Ld 

t  .     .  e

 * . * . . *  *  . mm  . m  * . . * .

Esta longitud es la más crítica para las dos cantidades de acero de refuerzo. La longitud de desarrollo final para las barras No. 6, entonces, puede ser establecida como:  Ld( final )   cm

y la longitud disponible tomada a partir de la cara de la columna, punto donde el momento es máximo, es:

30

L( disponible)  L( voladizo)  recubrimiento  .  .  . m  Ld  . m e.) Fuerza de transferencia en la base de la columna: La fuerza resistente del concreto para los esfuerzos de aplastamiento en la sección transversal de la columna (f’c = 28 MPa) está dada por:





 0.85 * 28 * 400* 1000  * Pna   * 0.85 * f c' * A1  0.65 *    6188.0 kN 10 3





La carga de diseño actuante que produciría los esfuerzos de aplastamiento en la base de la columna, es: Pultima  . *   . *    KN   * Pna  . kN

La fuerza resistente del concreto a los esfuerzos de aplastamiento en la zapata (f’c = 24.5 MPa) se determinada utilizando:

 * Pna   *



A * . * f c' * A A





  * . * f c' * A



donde A1 es el área de la base de la columna y A2 es el área inferior del tronco de pirámide que tiene como cara superior el área de la columna y cuyos lados tienen una pendiente de 1 vertical a 2 horizontal, hasta la base inferior de la zapata. Puesto que en las dos direcciones los lados del área inferior A2 del tronco de pirámide son mayores que los lados de la zapata, se toman los lados L1 y L2 de la zapata. A  C * C   *    *   mm Para A  ( C   * hz )     *     L    Usar L   mm ( C   * hz )     *     L    Usar L   mm A  L * L   *   mm

Por lo tanto,

A    .  .  Tomar A 



A  .  Usar   * Pnb   * . * f c' * A A

por lo que la fuerza de aplastamiento resistida por el tronco de pirámide es:  . * . *  *      

 * Pna  . * 

    kN  P( ultima)   kN  

31



10.5.3 Zapatas con Momentos de Diseño En las secciones anteriores se consideraron zapatas cargadas axialmente que producen solo esfuerzos uniformes de compresión en toda el área de contacto de la zapata. Sin embargo, la distribución de presiones debidas a las cargas que transmiten los muros y columnas depende, en muchos casos, de momentos o cargas excéntricas. Los momentos pueden originarse a partir de cargas horizontales como las producidas por el viento, los sismos o las presiones de tierra. El momento de diseño puede sustituirse por el producto de una excentricidad a por la carga axial de la columna, de tal manera que M = P*a. Si la excentricidad se encuentra siempre localizada en el mismo lado y a una distancia relativamente constante del centro de la zapata, será posible definir el centro de la zapata coincidiendo con la resultante para controlar la excentricidad y evitar la diferencia de presiones (ver Figura 10.30). Excentricidad de la carga Mcol Pcol

Centroide de la columna Centroide de zapata

q promedio

Requivalente

Figura 10.17. Zapatas con carga excéntrica y presión constante. Sin embargo, debido a que las cargas de viento y sismo son aleatorias y pueden llegar desde cualquier dirección, por lo regular se requieren zapatas simétricas donde el centro de la columna coincida con el centroide de la zapata, por lo que la presión del suelo no es constante sino que varía linealmente a lo largo de la zapata dependiendo de la dirección de momento considerada (ver Figuras 10.31 a, b y c). Cuando los momentos llegan a ser apreciables, en partes del área de la zapata hay levantamiento y se pierde el contacto con el suelo debido a que la interfase entre suelo y zapata no puede resistir tensión (ver Figura 10.31.c). Tan solo es considerada el área de la zapata donde persisten los esfuerzos de compresión. Por tal motivo, siempre es aconsejable diseñar la zapata de tal manera que la resultante esté localizada en el tercio núcleo central de la zapata para evitar tensiones en el suelo, como se muestra en la Figura 10.31.a. Este núcleo esta definido por el rombo que ocupa los tercios medios en cada dirección de la zapata.

32

Núcleo Central

L2

Núcleo Central

Carga P

Carga P

Núcleo Central

Carga P

1/3*L2

1/3*L2

1/3*L1

1/3*L1

1/3*L1

L1

L1

L1

Excentricidad ‘a’

Excentricidad ‘a’

Pcol

Excentricidad ‘a’

Pcol

Centroide de zapata

Pcol

Centroide de zapata

Qmin

Centroide de zapata

Qmin = 0 Qmax

Qmax

Qprom (a) Carga resultante en el núcleo central

(b) Carga resultante en el borde del núcleo central

Qmax (c) Carga resultante por fuera del núcleo central

Figura 10.18. Zapatas aisladas con carga excéntrica. De acuerdo a la excentricidad presente, la presión del suelo puede ser calculada de acuerdo a uno de los tres casos presentados en Figura anterior: a.) Cuando la carga resultante está dentro del núcleo central. En este caso la excentricidad a es menor que (L1 /6) y el esfuerzo (P/Az) es mayor que los esfuerzos de flexión (M*c/Iz) de la zapata. En este caso, Q

P M*c  Az Iz

donde, P Az M Iz

= = = =

carga vertical transmitida por la columna. Es positiva en compresión. área de la zapata momento alrededor del eje centroidal del área de la zapata. momento de inercia del área de la zapata alrededor del eje centroidal de la misma, en la dirección considerada. c = distancia desde el eje centroidal hasta el punto donde los esfuerzos son calculados, en la dirección de análisis. El mayor valor de c es L1/2. L1, L2 = dimensiones mayor y menor de la zapata, respectivamente.

33

L2

Para obtener los valores máximo y mínimo de la anterior expresión de los esfuerzos q, tomamos el valor de c igual a L1/2 y la relación (c/Iz) la definimos como: L1 / 2 c 6   3 I z L2 * L1 / 12 L2 * L21

de tal manera que:

Qmax 

P  6* a P  6* a  ; Qmin   *  1  *  1  Az  L1  Az  L1 

b.) Cuando la carga resultante está en el borde del núcleo central. En este caso la excentricidad a es igual a (L1 / 6) y el esfuerzo (P / Az) es menor que los esfuerzos de flexión (M*c / Iz) de la zapata. En este caso, a  M / P  L1 / 6 Qmin  0

Qmax 

P * ( L1 / 6 ) * c P P * ( L1 / 6 ) * c P P     Az Iz Az ( L * L3 / 12 ) Az 2 1

 Qmax 

 c   1  2 *  L1  

L / 2 P P* a* c P  P  1  2 * 1   2 *   Az Iz Az  L1  Az

c.) Cuando la carga resultante está por fuera del núcleo central. En este caso la excentricidad a es mayor que (L1 / 6). Puesto que la fuerza actúa fuera del tercio medio, se presentan esfuerzos de tensión en un lado de la zapata; pero si los esfuerzos máximos qmax son menores que los esfuerzos admisibles del suelo, es de esperarse que la zapata no se levante y conserve los esfuerzos de compresión triangulares mostrados en la Figura 10.18.c. En este caso el método utilizado en los anteriores casos (P/Az ± M*c/Iz) para el cálculo de presiones no es adecuado. Mejor se considera que el centro de gravedad de la distribución triangular presente en el suelo coincide con el punto de acción de la carga, por lo que la distancia r desde la carga P al borde de la zapata es r = L1 /2- a. Esta distancia es la misma distancia del centroide del triangulo de esfuerzos a la base del triangulo, de tal manera que la línea de acción de la carga P y la resultante R de las presiones coincidan. La longitud del triángulo de presiones es 3*r por lo que la resultante R de presiones y el esfuerzo máximo de compresión se definen como: R

3 * r * L2 * q max 2

 Qmax 

2 * Pcol 2* R  3 * r * L2 3 * r * L2

34

 Con r  L2  a

Excentricidad ‘a’

Distancia ‘r’

Pcol Centroide de zapata

qmax=2*P / 3*r*L2 Resultante ‘R’ de presiones

Figura 10.19. Distribución de presiones cuando a > L1/6 Las anterior consideración de carga aplica hasta que el valor de la excentricidad a alcanza el borde de la zapata, a partir del cual una excentricidad mayor de la carga Pcol resulta en volcamiento. Con el esfuerzo máximo se efectúa el diseño de la zapata, eso sí, teniendo en cuenta que las resultantes de momento y cortante no son uniformes a lo largo del diagrama de presiones. Este tipo de distribución lineal, es apropiada para suelos rocosos, rígidos o con alta resistencia. Sin embargo, para efectos prácticos el concepto de fluencia del suelo en el borde de la zapata, el cual ocurre cuando presiones extremas de contacto en los bordes de la zapata causan falla por incapacidad portante del suelo, puede causar una condición que es equivalente a la de volcamiento. La excentricidad que causa esta condición limita la excentricidad usual, por lo que la capacidad portante máxima del suelo tiene que limitarse a: Qmax  2.5 * Qadm

y el mínimo factor de seguridad para volcamiento debe estar especificado como FS = 1.5. Con los anteriores dos requerimientos, se limitan las condiciones para excentricidad máxima, amax, cuyo valor estará dado por: a max 

Pcol a 1  L1  *   FS 1.5  2 2 * Qmax * L2

 Pcol   r  2 * Qmax * L2 

Se debe considerar en el diseño una excentricidad no mayor que la determinada por amax y el uso de esta última condición de diseño depende del juicio del ingeniero de suelos sobre el comportamiento del suelo, o del ingeniero estructural sobre el posible alabeo que pueda sufrir la estructura.

35

L1 /2

Distancia r Excentricidad ‘a’

Pcol

r = Pcol / (2*Qmax*L2) a = (L1 /2) - r

Centroide de zapata

1/6*L1

Qmax= 2.5*Qa

Figura 10.20. Distribución de presiones portantes para la máxima excentricidad a. El diseño por resistencia puede involucrar cargas verticales y laterales de acuerdo a las combinaciones que exige el código NSR-10 (Sección B.2.3). Las principales combinaciones son:      

1.2D + 1.6L 1.2D+ 1.6L + 1.6H 1.2D + 1.0L + 1.6W 1.2D + 1.0L + 1.0E 0.9D + 1.6W +1.6H 0.9D + 1.0E + 1.6H

Las anteriores ecuaciones deben ser consideradas con los respectivos signos de acuerdo a la dirección de carga considerada. Recordar según lo estudiado en la sección 10.3.1 del presente capítulo que si se incluyen cargas laterales transitorias de viento o sismo, los esfuerzos permisibles se pueden incrementar un tercio según lo indicado en la sección B.2.3.4 de la Norma NSR-98 para las combinaciones de carga de servicio que incluyan:      

D+L+H D + 0.75L + 0.75(0.7E) + H D + 0.75L +0.75W+H D+H+W 0.6D + W + H 0.6D+0.7E+H

Ejemplo 4: Diseño de la zapata cuadrada con momento por carga lateral. Para el tipo de zapata especificado, con los datos de diseño dados, determinar: a.) b.) c.) d.) e.)

Área de la zapata Diseño a cortante por flexión y punzonamiento Cuantías de acero por flexión, en ambas direcciones. Chequeo de longitudes anclaje y desarrollo. Chequeo de transmisión de la fuerza horizontal de la columna a la zapata.

36

Datos de diseño:           

Nivel inferior de la zapata = -1.4 mt El peso de la tierra es  = 18.0 kN/m3 La presión admisible del suelo es Qa = 240.0 kN/m2 Carga total de servicio = 1500 kN (incluyendo peso propio columna). Momento de diseño en cargas de servicio = 180 kN-m Carga ultima total = 2000 kN (incluyendo peso propio columna). Momento último de diseño = 250 kN-m Fuerza horizontal de diseño en cargas de diseño = 220 kN Dimensiones de la columna = 0.5*0.5 m2, con 8 barras No. 7 de refuerzo principal. f 'c = 24.5 Mpa, para el concreto de columna y zapata. fy = 420 Mpa, resistencia a la fluencia del acero.

Solución: a.) Cálculo del área requerida para la zapata: Asumiendo inicialmente un espesor de zapata hz = 600 mm, el peso por metro cuadrado de suelo mas concreto por encima de la base de cimentación puede aproximarse en: Q p  0.8 * 18.0  0.6 * 24.0  28.8 kN / m 2

La presión neta del suelo es: Qn( adm )  Qa  Q p  240.0  28.8  211.2 kN / m 2

El área requerida para la zapata sin momentos de diseño, puede ser estimada como:

P 1500.0 kN Az  servicio   7.1 m 2 2 Qn( adm ) 211.2 kN / m Consideramos, tentativamente, un 15% adicional de área debido a la presencia del momento y encontramos las dimensiones de la zapata: Az  1.15 * 7.1  8.20 m 2

 Usar zapata cuadrada  L2z  L1 * L2  3.0 * 3.0 m 2

Para comprobar que estas son las dimensiones adecuadas, probamos las presiones incluyendo el momento de diseño: Excentricidad a 

L 180 kN  m 3.0  0.12 m  z   0.5 m 1500 kN 6 6

 6 * a  1500  6 * 0.12  P 2 2   Qn(max)  servicio *  1  * 1    206.7 kN / m  Qn( adm )  211.2 kN / m Az Lz  9.0  3.0  

37

 P  * a     * .     Qn( min)  servicio *   *     . kN / m Az L  .   .    z   Pcol Mcol Hcol

Núcleo Central

a

Carga P 0.5*Ccol L2 = Lz = 3.0 m

0.5*Ccol

1/3 L2 Centroide de zapata

Qn(min) Qn(max) 1/3L1 Qn(prom)

Mcol = 180.0 kN-m Pcol = 1500.0 kN Hcol = 120.0 kN

L1 = Lz = 3.0 m

Qn(max) = 206.7 kN/m2 Qn(min) = 126.7 kN/m2 Qn(prom)= 166.7 kN/m2

Figura 10.21. Dimensiones y presiones para la zapata cuadrada del ejemplo 7. La excentricidad y las presiones netas del suelo, máximas y mínimas, en la superficie inferior de la zapata, tomando cargas últimas de diseño, son:

Excentrici dad a 

L 250 kN  m 3.0  0.125 m  z   0.5 m 2000 kN 6 6

 6 * a  2000  6 * 0.125  P 2   qu(max)  ultima *  1  * 1    278 kN / m Az Lz  9.0  3.0    6 * a  2000  6 * 0.125  P 2   qu(min)  ultima *  1  * 1    167 kN / m Az L 9 . 0 3 . 0   z   b.) Chequeo de cortante en la zapata: Tomando el espesor asumido de 600 mm y asumiendo al menos 75 mm de recubrimiento al centro de la barras de refuerzo, la profundidad d se toma como 525 mm. La cortante de diseño a flexión, Vuf, calculada a una distancia d del borde de la columna, para presiones que no son constantes sino que varían linealmente desde un valor máximo qu(max) hasta el valor de presiones qu2 para la mitad de la zapata donde las presiones son mayores (ver Figura 10.34), se obtiene de la siguiente manera:  qu(max)  qu 2 Vuf ( dis )    2 

  L z Ccol  *    d  * Lz   2 2  

38

qu 2  qu(min) 

qu(max)  qu(min) *  Lz  Ccol  d   167  278  167  * 1.5  0.25  0.525   2

Lz

 

2

3.0

qu 2  251.2 kN / m 2    .  Vuf ( dis )    * .  .  . * .  . kN   

Figura 10.22. Diagramas de presiones para el cálculo de cortante, ejemplo7. La cortante admisible es: Vuf ( adm )  * Vcf   * . *  * 

fc' * Lz * d  

 0.17 * 24.5 * 3000 * 525    994.0 kN Vuf ( adm )  0.75 *   10 3  

 Vuf ( adm )  994.0 kN  Vuf ( dis )  575.5 kN  Cumple ! Considerando, de igual manera, un diagrama variable de presiones, se chequea la cortante por punzonamiento. Puesto que el diagrama de presiones es linealmente variable, las presiones a d/2 de cada cara de la columna son diferentes. Asumiendo los valores de estas presiones como qu3 y qu4 en la Figura 10.35, obtenemos:

qu3  qu(min) 

qu(max)  qu(min) *  Lz  Ccol  d   203.5 kN / m 2

qu4  qu(min) 

qu(max)  qu(min) *  Lz  Ccol  d   241.5 kN / m 2

Lz

Lz

  2

2

  2

2

39

 2

 2

La semisuma de estas dos presiones da la presión promedio:

qu( prom ) 

qu(max)  qu(min) 2

 222.5 kN / m 2

Según lo anterior la presión del suelo sobre toda el área de la zapata menos el área encerrada por el perímetro Bo es:









Vup( dis )  qu( prom ) * L2z  Ccol  d 2  222.5 * 3.0 2  0.5  0.525 2  1768.7 kN Así mismo, para determinar la cortante resistente por punzonamiento, Vcp, se debe cumplir dicho valor sea el mínimo de las siguientes tres expresiones:

Vcp minimo entre

     * f c' * Bo * d  a. . *  *     c     s * d      * f c' * Bo * d  b. . *  *   Bo     c. . *  * f c' * Bo * d  

donde,

Bo  4 * Ccol  d   4 * Ccol  d   4 * ( 0.5  0.525 )  4.1 m

 c  radio entre el lado mayor y el lado menor de la columna  0.5 / 0.5  1.0  s  40 para columnas int eriores Por lo tanto,

   *   Vcp(  )  . *    . kN  * . * .     *    *   Vcp(  )  . *     * . *  . kN    

Vcp ( 3 )  0.33*  *

f c' * Bo * d  0..33* 24.5 *

4100 * 525  3515.9 kN 1000

 Usar

Entonces,

Vup( adm )   * Vcp( 3 )  0.75 * 3515.9  2636.9 kN  Vup( dis )  1768.7 kN

40

c.) Diseño de cantidades de acero: A continuación se calcula el momento último y el área de acero requerida para el diseño de la zapata. Para tal efecto usamos las presiones qu6 y qu(max) del diagrama de presiones dado en la Figura 10.36. Estas presiones son las que producen el momento más crítico para el diseño del refuerzo a flexión. Como ya se mencionó anteriormente, debido a que en la mayoría de los casos se trabaja con condiciones de carga relacionadas con sismo o viento, la dirección del momento puede ser en cualquiera de los dos sentidos, por lo que se puede usar el mismo acero pasando por ambas caras junto al borde de la columna, sin importar que la presiones qu5 y qu(min) sean menos críticas.

Figura 10.23. Presiones para el cálculo de momentos de flexión en el ejemplo7. El momento de diseño se calcula de la siguiente manera,

qu6  qu(min) 

qu(max)  qu(min)*  Lz  Ccol   231.8 kN / m2 Lz

  2

 2 

 qu6  qu(max)   L z C col  *   Ruf     2  2  * Lz 2   donde Ruf es la fuerza resultante del el diagrama de presiones mostrado en la Figura 10.35, en toda la longitud transversal Lz de la zapata. La suma de Xa con Xb es la distancia (Lz –Ccol /2) desde el borde de la zapata hasta el extremo de la misma. Estas magnitudes se calculan de la siguiente manera, M u( disen~o )  Ruf * X a

 qu 6  2 * qu(max)  1  L z C col  * *  Xa     qu 6  qu(max)  3  2 2     2 * qu 6  qu(max)  1  L z C col  * *  Xb      qu 6  qu(max)  3  2 2   

Sustituyendo valores,

41

L z C col   Xa  Xb 2 2

 231.8  2 * 278  1.5  0.25  Xa    0.64 m * 3  231.8  278   2 * 231.8  278  1.5  0.25  Xb    0.61 m * 3  231.8  278  siendo,

C  X a  X b  0.64  0.61  1.25 m   Lz  col  2 2  por lo cual,

 231.8  278.0  Ruf    * 1.5  0.25 * 3.0  955.9 kN 2  

M u( disen~o )  Ruf * X a  955.9 * 0.64  611.8 kN  m Con este momento de diseño podemos calcular la cantidad de acero a partir de la siguiente expresión:

 As * f y M u ( resistente )   * As * f y *  d   1.7 * f c' * L z 

   

En este caso Lz es el ancho de la zapata. Limitando el momento actuante al resistente y sustituyendo datos, obtenemos:

As * 420   2 2 611.8 * 106  0.9 * As * 420 *  525    As  3200 mm  32.0 cm 1 . 7 * 24 . 5 * 3000    Usar 12#6 de longitud L  2.85 m, en cada sentido de la zapata. Se utilizaron 75 mm de recubrimiento para que la longitud de la barra sea de 2850 mm. El refuerzo debe estar repartido en un ancho libre de 2.85 m después de descontar los 7.5 cm de recubrimiento en cada extremo. La cuantía de acero suministrado comparada con la cuantía mínima de acero por retracción y temperatura muestra que,

( su min istrada ) 

12 * 2.85 cm 2 ( 300 * 52.5 ) cm 2

 0.0022  (min)  0.0018 Cumple!

42

Figura 10.24. Cantidades de acero a utilizar para el cálculo a flexión en el ejemplo 7. d.) Diseño de longitud de desarrollo: Se debe chequear la longitud de desarrollo desde la sección crítica de momento máximo de diseño, en la cara de la columna, hasta el extremo final de la barra. Para barras No. 6 y usando la expresión simplificada,

Ld ( 1 ) 

420 * 1.0 * 1.0 * 19  767 mm  0.77 m 2.1* 24.5

Longitud Disponible 

3.0 0.5   0.075  1.18 m  Ld  0.77 m 2 2

La longitud de anclaje de las barras longitudinales de la columna debe cumplir con los requisitos para barras ancladas dentro de la zapata. En tal caso se debe revisar esta longitud para las 8 barras No.7 especificadas como acero principal de la columna. Ld h 

100* d b f c'

*

As( requerido ) As( su min istrado )



100* 19.1 24.5

* 1.0  386 mm  Tomar Ldh  400 mm

Esta longitud es mayor que la longitud de anclaje disponible, la cual es igual a la profundidad de la zapata d = 525 mm. e.) Fuerza de transferencia en la base de la columna: La fuerza resistente del concreto a los esfuerzos desarrollados por aplastamiento en la sección transversal de la columna (f’c = 24.5 MPa) se determinada de acuerdo a:

43





. * . *  *     . kN    

 * Pna   * . * f c' * A  . * 

La carga de diseño en la base de la columna, que produciría los esfuerzos de aplastamiento, es: Pultima  . kN   * Pna  . kN

La fuerza resistente del concreto a los esfuerzos de aplastamiento en la zapata (f’c = 24.5 MPa) se determinada utilizando la siguiente expresión:

 * Pna   *



A2 * 0.85 * f c' * A1 A1





  * 1.7 * f c' * A1



donde A1 es el área de la base de la columna o área cargada, mientras que el área A2 es el área inferior del tronco de pirámide o cono que tiene como cara superior el área de la columna y cuyos lados tienen una pendiente de 1 vertical a 2 horizontal, hasta la base inferior de la zapata. De esta manera, si la altura de la zapata es hz, y los lados de la columna son C1 y C2 , el lado del área de la base del tronco de pirámide es A2  ( C1  4 * hz ) * ( C2  4 * hz ) , de tal manera que:

A1  500 * 500  25 * 10 4 mm 2 A2  ( 500  4 * 600 )2  841* 10 4 mm 2 Los dos lados de la base del tronco de pirámide son menores que los lados de la zapata. Esto es,

Ccol  4 * hz  500  4 * 600  2900 mm  L2  3000 mm Por lo tanto,

A2 841   5.8  2.0  Usar A1 25

A2  2.0 A1

;



 * Pnb   * 1.7 * f c' * A1

Entonces, la fuerza de aplastamiento resistida por el tronco de pirámide es:

 1.7 * 24.5 * 500 * 500    6768 kN  P( ultima )  2000 kN 10 3  

 * Pna  0.65 * 

** UTILIZANDO ZAPATA hz = 550 mm a.) Asumiendo inicialmente un espesor de zapata hz = 550 mm: Q p  . kN / m

;

Qn( adm )  Qa  Q p  .  .  . kN / m

44



El área requerida para la zapata sin momentos de diseño, puede ser estimada como:

P 1500.0 kN Az  servicio   7.1 m 2 2 Qn( adm ) 211.2 kN / m Consideramos, tentativamente, un 15% adicional de área: Az  1.15 * 7.1  8.20 m 2

 Usar zapata cuadrada  L2z  L1 * L2  3.0 * 3.0 m 2

Para comprobar que estas son las dimensiones adecuadas, probamos las presiones incluyendo el momento de diseño: Excentricidad a 

L 180 kN  m 3.0  0.12 m  z   0.5 m 1500 kN 6 6

 6 * a  1500  6 * 0.12  P 2 2   Qn(max)  servicio *  1  * 1    206.7 kN / m  Qn( adm )  211.2 kN / m Az Lz  9.0  3.0    P 6 * a  1500  6 * 0.12  2   Qn(min)  servicio *  1  * 1    126.7 kN / m Az L z  9.0  3.0  

La excentricidad y las presiones netas del suelo, tomando cargas últimas de diseño, son:

Excentrici dad a 

L 250 kN  m 3.0  0.125 m  z   0.5 m 2000 kN 6 6

 6 * a  2000  6 * 0.125  P 2   qu(max)  ultima *  1  * 1    278 kN / m Az L 9 . 0 3 . 0   z    6 * a  2000  6 * 0.125  P 2   qu(min)  ultima *  1  * 1    167 kN / m Az L 9 . 0 3 . 0   z   b.) Chequeo de cortante en la zapata: Tomando el espesor asumido de 600 mm y asumiendo al menos 75 mm de recubrimiento al centro de la barras de refuerzo, la profundidad d se toma como 525 mm. La cortante de diseño a flexión, Vuf, calculada a una distancia d del borde de la columna, para presiones que no son constantes sino que varían linealmente desde un valor máximo qu(max) hasta el valor de presiones qu2 para la mitad de la zapata donde las presiones son mayores (ver Figura 10.34), se obtiene de la siguiente manera:  qu(max)  qu 2 Vuf ( dis )    2 

  L z Ccol  *    d  * Lz   2 2  

45

qu   qu( min) 

qu( max)  qu( min)*  Lz  Ccol  d         * .  .  .    

Lz

 



.

qu   . kN / m    .  Vuf ( dis )    * .  .  . * .  . kN   

La cortante admisible es: Vuf ( adm )  * Vcf   * . *  * 

fc' * Lz * d  

 . * . *  *     . kN Vuf ( adm )  . *       

 Vuf ( adm )  . kN  Vuf ( dis )  . kN  Cumple !

Considerando, de igual manera, un diagrama variable de presiones, se chequea la cortante por punzonamiento. Puesto que el diagrama de presiones es linealmente variable, las presiones a d/2 de cada cara de la columna son diferentes. Asumiendo los valores de estas presiones como qu3 y qu4 en la Figura 10.35, obtenemos: qu   qu( min)

qu( max)  qu( min)*  Lz  Ccol  d   .

kN / m

qu  qu( min)

qu( max)  qu( min)*  Lz  Ccol  d   .

kN / m

Lz

  







  Lz     La semisuma de estas dos presiones da la presión promedio:

qu( prom ) 

qu(max)  qu(min) 2

 222.5 kN / m 2

Según lo anterior la presión del suelo sobre toda el área de la zapata menos el área encerrada por el perímetro Bo es:









Vup( dis )  qu( prom) * Lz  Ccol  d   . * .   .  .   . kN

Así mismo, para determinar la cortante resistente por punzonamiento, Vcp, se debe cumplir QUE:

Bo   * Ccol  d    * Ccol  d    * ( .  . )  . m

c  radio entre el lado mayor y el lado menor de la columna . / .  .  s   para columnas int eriores

46

Por lo tanto,

   *   Vcp(  )  . *    . kN  * . * .     *    *   Vcp(  )  . *     * . *  . kN     Vcp(  )  .. * . *

 *   . kN  Usar 

Entonces, Vup( adm )  * Vcp(  )  . *   . kN

 Vup( dis )  . kN

c.) Diseño de cantidades de acero: El momento de diseño se calcula de la siguiente manera, qu  qu( min)

qu( max) qu( min)*  Lz  Ccol   . Lz

M u( disen~o )  Ruf * X a

 



 

kN / m

 qu6  qu(max)   L z C col  *   Ruf     2  2  * Lz 2  

donde Ruf es la fuerza resultante del el diagrama de presiones mostrado en la Figura 10.35, en toda la longitud transversal Lz de la zapata. La suma de Xa con Xb es la distancia (Lz –Ccol /2) desde el borde de la zapata hasta el extremo de la misma. Estas magnitudes se calculan de la siguiente manera,

 qu 6  2 * qu(max)  1  L z C col  * *  Xa     qu 6  qu(max)  3  2 2     2 * qu 6  qu(max)  1  L z C col  * *  Xb      qu 6  qu(max)  3  2 2    Sustituyendo valores,

 231.8  2 * 278  1.5  0.25  Xa    0.64 m * 3  231.8  278 

 2 * 231.8  278  1.5  0.25  Xb    0.61 m * 3  231.8  278 

47

L z C col   Xa  Xb 2 2

siendo,

C  X a  X b  0.64  0.61  1.25 m   Lz  col  2  2 por lo cual,

 231.8  278.0  Ruf    * 1.5  0.25 * 3.0  955.9 kN 2  

M u( disen~o )  Ruf * X a  955.9 * 0.64  611.8 kN  m En este caso Lz es el ancho de la zapata. Limitando el momento actuante al resistente y sustituyendo datos, obtenemos:  

. *    . * As *  *   

As *     . * . *  

As   mm  . cm

 Usar # de longitud L  . m, en cada sentido de la zapata.

La cuantía de acero suministrado comparada con la cuantía mínima de acero por retracción y temperatura muestra que,

( su min istrada ) 

12 * 2.85 cm 2 ( 300 * 52.5 ) cm 2

 0.0022  (min)  0.0018 Cumple!

10.5.4 Transferencia de Fuerzas Horizontales de la Columna a la Zapata Cuando hay presencia de fuerzas horizontales en la base de la columna es preciso transmitir esta fuerzas a la zapata a través de un análisis de fricción. El método comúnmente utilizado para tal análisis es denominado Método de Diseño para cortante por Fricción y está descrito en la Sección 11.6 de la Norma NSR-10. Las disposiciones de esta sección se aplican donde hay transferencia de cortante en un plano determino y grietas potenciales debido al contacto entre dos concretos vaciados en tiempos diferentes, o a superficies de contacto entre materiales diferentes. Este método de diseño especifica que se debe cumplir con la relación básica de resistencia:

Cor tan te de transferencia requerida  Cor tan te especificada de diseño por fricción



Vu( diseño )   * Vn( fricción )   * Avf * f y * 



donde,

 = coeficiente de reducción, tomar 0.75 para cálculos de cortante que envuelvan fricción. Avf = área de refuerzo de cortante por fricción, en mm2  = coeficiente de fricción para ser utilizado en el método de cortante por fricción.

48

Según la sección C.11.6.4.3 del reglamento NSR-10, el coeficiente de fricción , que se utiliza en la anterior ecuación debe ser:  Concreto vaciado monolíticamente..............................................................................  = 1.4*  Concreto vaciado contra concreto endurecido con su superficie intencionalmente rugosa, como lo especifica la sección C.11.6.9 de la NSR-10.............................................. ...........  = 1.0*  Concreto vaciado contra concreto endurecido sin que su superficie se haya dejado rugosa intencionalmente.........................................................................................................  = 0.6*  Concreto anclado a perfiles estructurales de acero por medio de barras de refuerzo o por medio de pernos (véase C.11.6.10, NSR-10) ......................................................................  = 0.7* El coeficiente  se utiliza para reducir la resistencia en caso de emplearse concreto liviano y está definido en la sección C.8.6 de la NSR-10. Según la misma norma, la cortante nominal resistente, Vn, no debe ser mayor que 0.2 * f c' * Ac ni que 5.5*Ac, tomado Ac como el área que corresponde a la sección de concreto que resiste la transferencia de cortante por fricción, en mm². El resultado de la expresión 5.5*Ac estará dado en unidades de fuerza. Se especifica igualmente en la sección C.11.6 de la norma que:  El esfuerzo de fluencia del refuerzo de cortante por fricción no debe exceder de 420 MPa.  La tracción directa a través de la grieta supuesta debe ser atendida por un refuerzo adicional. La compresión neta permanente a través del plano de cortante puede adicionarse a la fuerza del refuerzo de cortante por fricción, Avf * fy, cuando se calcule el área de refuerzo requerida, Avf.  El refuerzo a cortante por fricción debe distribuirse a través de la grieta y anclarse adecuadamente en ambos lados por medio de anclaje, ganchos o soldadura a dispositivos especiales.  Cuando el concreto se coloque contra el concreto previamente endurecido, la superficie de contacto para transferencia de cortante debe estar limpia. Si  se supone igual a 1.0, la superficie de contacto debe tener rugosidades hechas intencionalmente con amplitudes hasta de 5 mm aproximadamente.  Cuando el cortante se transfiera entre concreto y acero laminado, utilizando pernos o barras de refuerzo, el acero debe estar limpio y libre de pintura. Ejemplo 5: Diseño de la transferencia en la carga horizontal del ejemplo anterior. Para la zapata cuadrada del ejemplo anterior, con los datos de diseño especificados, determinar la fuerza de transferencia en la base de la columna. Se chequea inicialmente que la fuerza cortante de diseño no sea mayor que la cortante de transferencia máxima permitida:

49



Vu( diseño)   * Vn   * . * fc' * Ac



Pero   * Vn   * Vn   * . * Ac 

El área Ac, coincide en este caso con el área de la columna, en la zona de contacto con la zapata. Por tanto,  . * . *  *     . kN    

 * Vn  . * 

 Usar !

 . *  *     . kN    

 * Vn   . * 

Entonces, la cortante nominal de transferencia de 918.8 kN es permitida en la base de la columna de 500*500 mm2. A continuación se calcula el área de estribos requerida en la sección de contacto:



Vu( diseño)   kN   * Vn   * Avf * f y * 



Usando  = 0.75 para fricción y  = 0.6 para concreto endurecido sin una superficie rugosa, se obtiene:

Avf ( req ) 

Vu( diseño)

* fy * 



 *    . mm  . cm  As( col )   #  . cm . *  * .

10.6 ZAPATAS CON VIGAS DE EQUILIBRIO Una alternativa para diseñar cimentaciones excéntricas, especialmente cuando la zapata externa no debe sobresalir de la propiedad y está limitada por la línea de paramento de la vivienda vecina, es utilizar una viga rígida de equilibrio que una la zapata excéntrica con una zapata interior. Esta viga sirve de palanca para evitar el volcamiento que produce la excentricidad entre la carga axial de la columna externa y la reacción equivalente del suelo en la zapata excéntrica (ver Figura 10.28). La resultante de las presiones debajo de la zapata excéntrica es la carga equivalente RE la cual tiene su centro de aplicación en la mitad de la distancia transversal L2E de misma zapata. Esta carga, al actuar junto con la carga axial PE de la columna exterior generan un momento de volcamiento PE*e, siendo e la excentricidad entre las dos fuerzas y es igual a 0.5*(L2E – C2E), el cual trata de inclinar la zapata excéntrica hacia arriba. Para contrarrestar este momento se une la zapata exterior con una zapata interior a través de una viga de equilibrio que transmita una carga R de desequilibrio, localizada a la altura del punto de aplicación de la fuerza axial de la columna interna y de la resultante RI de la zapata interna. Al multiplicar la resultante R por el brazo (L-e), se genera un momento que debe ser igual y de sentido contrario al momento de volcamiento en la zapata externa. En este sentido, la resultante R es parte de la columna interior y actúa como un contrapeso que evita el volcamiento debido al par de fuerzas externas.

50

PE

PI

e

e = 0.5*(L1E-C1E)

Línea de Paramento

(a) RI

RE

L2 E

C2I

C2E

C1E

L2I = LzI

C1I

(b)

L1I = LzI

L1E PE

PI L

(c)

RI

RE

C1E /2

L-e

e

PE

e = 0.5*(L1E-C1E)

L

(d)

R

RE L-e

Figura 10.25. Viga de equilibrio para cimentación con zapata externa excéntrica. Cargas actuantes y resultante R de desequilibrio para balancear momento debido a cargas de zapata externa.

51

Al observar la Figura 10.28.d se determina que existe equilibrio si la suma de PE con R es igual a RE lo cual es similar a afirmar que la resultante interna de presiones, RI, es igual a restar R de PI. Expresado de otra manera se cumple que: RE  PE  R ; RI  PI  R

Las dos expresiones anteriores permiten el cálculo de las dimensiones de las zapatas de manera con las presiones del suelo aproximadamente iguales debido a que el centro de gravedad de las reacciones equivalentes del suelo coincide con el centro de gravedad de la resultante de las cargas axiales que transmiten las columnas. Para que esto sea cierto se debe cumplir que: P *L P *e P *e RE  E ; R I  PI  E ; R  E (L e) (L e) (L e)

Una vez se determinan las reacciones del suelo RE y RI, cada zapata se diseña aisladamente

teniendo en cuanta que las presiones uniformes del suelo son ahora: P  R QnE  E AzE

P  R ; QnI  I AzI

siendo AzE y AzI son las respectivas áreas de las zapatas externa e interna. De acuerdo a estas expresiones se debe cumplir, adicionalmente, que: PE  PI  QnE * L1E * L2 E  QnI * L1I * L2 I

donde cada L1 y L2 corresponden a la longitud horizontal y a la longitud transversal, respectivamente, de cada zapata consideradas de forma rectangular. Para establecer tentativamente las dimensiones de diseño de las zapatas se parte del equilibrio de momento con respecto al eje de la columna interior: PE( servicio  sobrec arg a ) * L  Qa * L1E * L2 E * ( L  e )  e 

PE( servicio  sobrec arg a ) * L 

1 * ( L1E  C1E ) 2

Qa * L1E * L2 E * ( 2 * L  C 2 E  L1E ) 2

Por tanto, L2 E 

2 * L * PE ( servicio  sobrec arg a ) Qa * L1E * ( 2 * L  C1E  L1E )

Se asume de antemano que se ha establecido la dimensión L1E de la zapata externa, la cual corresponde a la menor dimensión de la misma, y que se ha definido Qa como la presión máxima admisible del suelo.

52

Para encontrar el área de la zapata interna se parte de nuevo considerando la suma de las cargas internas más externas pero considerando sobrepesos y presión máxima admisible, de manera que:

PE  PI ( servicio sobrecarg a )  Qa * L E * L E  Qa * L I * L I

PE  PI ( servicio sobrecarg a ) 



AzI  L I * L I

 * Qa * L E * PE( serv sobrecarg a ) * L  Qa * AzI  Qa * L E * (  * L  C E  L E )

a partir de la cual se deduce que:

AzI 

PI ( servicio  sobrec arg a ) Qa



PE ( servicio  sobrec arg a ) Qa

  2* L *   1  2 * L  C1E  L1E 

Si la zapata interna es cuadrada se cumple que AzI  L2zI a partir de lo cual se encuentra la longitud de diseño de la zapata interna. Una vez se definen las dimensiones momentos y cortantes se calculan de la misma manera que se procedió en el análisis de las zapatas aisladas. Se pueden establecer diagramas de momento y cortante para el sistema y a partir de estos estructurar el diseño definitivo. Ejemplo 6: Diseño de una Cimentación con Viga de Equilibrio. Diseñar una cimentación con viga de equilibrio para una columna exterior que carga 650 kN de carga total de servicio y una columna interior que carga 1300 kN. Los ejes de la columnas están separados 5.5 m y el terreno tiene una presión admisible de 300 kN/m2. La columna externa tiene una sección de 30*50 m2 y la columna interna tiene una sección de 50*50 cm2. Los datos de diseño se resumen a continuación. Datos:          

Nivel inferior de la zapata = -1.3 m El peso de la tierra es  = 18.0 kN/m3 la presión admisible del suelo es Qa = 300.0 kN/ m2 Carga total de servicio para columna externa, PE= 650 kN (incluye peso propio). Carga total de servicio para columna interna, PI =1300 kN (incluye peso propio). Factor de seguridad = 1.4 Dimensiones de la columna interior= 0.3*0.5 m2  C1E = 0.3 m ; C2E = 0.5 m. Dimensiones de la columna exterior= 0.5*0.5 m2  C1I = 0.5 m ; C2I = 0.5 m. f 'c = 21 Mpa, para el concreto de zapatas y columnas fy = 420 Mpa, fluencia para el acero.

Solución: a.) Cálculo de las dimensiones de las zapata: Asumiendo el espesor de la zapata como hz = 500 mm, el peso por metro cuadrado de suelo mas concreto por encima de la base de cimentación puede aproximarse en:

53

Q p  0.80 * 18.0  0.5 * 24.0  26.4 kN / m 2

La presión neta del suelo es: Qn  Qa  Q p  300.0  26.4  273.6 kN / m 2

El área requerida para la zapata externa puede ser estimada como:

AzE 

PE( servicio)



Qn

 kN . kN / m



 . m

Basándose en este estimativo se puede establecer que la carga de diseño de la zapata externa, incluyendo sobrecarga es aproximadamente: PE ( servicio  sobrec arg a )  650  2.4 * ( 0.8 * 18.0  0.5 * 24.0 )  713.4 kN

Los anteriores valores de área y carga de servicio más sobrecarga son tentativos pues no se ha adicionado el aumento de cargas por desequilibrio de la columna externa. Para tal efecto adoptamos, siendo la columna externa simétrica y asumiendo que el área requerida aumenta un diez por ciento del área tentativa ya encontrada, se asume inicialmente la dimensión menor de la zapara como L1E = 1.2 m. De acuerdo a la Figura 10.42 el valor de L2E es: L2 E 

2 * L * PE ( servicio sobrecarg a ) Qa * L1E * ( 2 * L  C1E  L1E )



2 * 5.5 * 713.4  2.2 m 300* 1.2 * ( 2 * 5.5  0.3  1.2 )

Con esta dimensión se obtiene una zapata exterior de Az = 1.2*2.2 = 2.64 m2, es decir, efectivamente un diez por ciento mayor a la asumida inicialmente, debido a la presencia del desequilibrio externo, R. Asumiendo una altura de 50 cm para la zapata interna, el área requerida para la zapata interna y la carga de servicio mas sobrecarga pueden ser estimadas como: AzI 

PI ( servicio) Qn



 kN . kN / m



 . m

PI ( servicio  sobrec arg a )  1300  4.75* ( 0.8 * 18.0  0.5 * 24.0 )  1425.4 kN

cada lado LzI de la zapata interna es determinado de una manera mas aproximada por: L2zI  

PI ( servicio  sobrec arg a ) Qa



PE ( servicio  sobrec arg a ) Qa

1425.4 713.4  2 * 5.5   *  1  4.54 m 2 300.0 300.0  2 * 5.5  0.3  1.2 

54

  2* L *   1  2 * L  C1E  L1E 

 L zI  2.13 m

La diferencia entre ésta área y la encontrada anteriormente (Az = 4.75 m2) utilizando solo la carga interna de servicio y el Qn, obedece a que en el segundo cálculo se involucra la influencia del desequilibrio R, el cual hace que se disminuya el área de la zapata externa. Sin embargo, se pueden redefinir las dimensiones de LzI como:  Usar LzI  2.15 m  Az( definitivo )  2.15 * 2.15  4.62 m 2

Siendo e la excentricidad entre la carga axial de la columna externa y la fuerza equivalente de las presiones del suelo en la zapata externa, la carga de desequilibrio estará definida por: e

( L1E  C1E ) 1.2  0.3   0.45 m 2 2

R 

PE( servicio ) * e Le



650* 0.45  57.9 kN 5.5  0.45

RE( servicio )  PE( servicio )  R  650.0  57.9  707.9 kN RI ( servicio )  PI ( servicio )  R  1300  57.9  1242.1 kN

Se toman tentativamente espesores de las zapatas de 50 cm. Las dimensiones finales de las zapatas con los respectivos espesores y las presiones netas del suelo para cada zapata son: AZE

 

AZI

 

L E * L E  . * . m  ; hE  . m QnE 

.  . kN / m  . * .

LZE * LZE  . * . m  ; hE  . m QnI 

.  . kN / m  . * .

Con las dimensiones exactas encontradas inicialmente para cada zapata los resultados de las presiones netas tienden a ser mas exactos. Las cargas distribuidas, por metro lineal, que corresponden a las anteriores presiones son: WnE  . * .  . kN / m WnI  . * .  . kN / m

y están ubicadas en la dirección longitudinal de las zapatas, paralelas a la viga de equilibrio.

55

PI = 1300 kN

PE = 650 kN e

35 cm

35 cm 70 cm

50 cm

50 cm 15 cm

QnE = 268.7 kN/m2

QnE = 268.1 kN/m2 RE = (650 + 57.9) kN = 707.9 kN

0.30 m

RI = (1300 – 57.9) kN = 1242.1 kN

5.5 m

0.5 m

0.5 m

0.35 m

L2E = 2.2 m

LZI = 2.15 m

0.5 m

L1E = 1.2 m

L1I = 2.15 m

PE = 650 kN

PI = 1300 kN 5.5 m

0.45 m

WnE= 589.8 kN/m RE = 707.9 kN

WnI= 577.7 kN/m RI = 1242.1 kN

3.375 m

679.0 kN

88.5 kN 57.9 kN

57.9 kN

561.5 kN

621.0 kN

* Los valores de momento y cortante están expresados en cargas de servicio.

-257.7 kN-m -159.9 kN-m -71.0 kN-m 6.6 kN-m

-62.2 kN-m A

B

C

E

D

333.8 kN-m

Figura 10.26. Análisis de la viga de equilibrio del ejemplo 11. Diagramas de cortante y momento a lo largo de la viga están calculados con cargas de servicio.

56

b.) Cálculo de flexión en la viga de equilibrio: El momento mayorado más crítico se toma en el borde interno de la zapata exterior:

M u( diseño)  . * R * L  L E  C E /    . * . * .  .  . /    . kN  m Con este momento se puede prediseñar la viga de equilibrio asumiendo (sugerido)=0.5*b, la cual tendría una sección tentativa de 0.30*0.7 m2. La viga se coloca a 15 cm por encima del borde inferior de las zapatas, por lo que la altura libre ente el borde superior de la viga y la superficie del piso es de 1.30 -0.85 = 0.45 m, suficiente para instalaciones y contrapiso. El recubrimiento para la viga es de 7.5 cm lo que indica que la altura efectiva d es 62.5 cm. Algunos momentos con las respectivas cantidades de acero a suministrar, calculados para la viga de equilibrio a partir de la cota cero en la línea de paramento (según se muestra en la Figura 10.42), son presentados a continuación: Localización

Momento Servicio (KN –m)

Momento Último (KN-m)

Cuantía de Refuerzo

Acero a Suministrar (cm2)

Número de Barras (cm2)

XA = 0.15 m

6.6

9.24

0.0032

6.0

3#6

XB = 1.20 m

-257.7

-360.8

0.0093

17.5

3#6+3#7

XC = 2.89 m

-159.9

-223.9

0.0056

10.5

3#7

XD = 4.575 m

-62.2

-87.1

0.0034

6.4

3#6

Igualmente, el cálculo de cortantes para el diseño de los estribos se establece a la distancia d de los bordes de las columnas internas y externas. La siguiente tabla muestra las cortantes últimas y de diseño del acero en los ejes de las columnas y en la franja central de la viga de equilibrio. Localización

Cortante de Servicio (KN)

Cortante Última (KN)

Cortante resistida por el concreto Vc (KN)

Cortante resistida por el Acero Vs (KN)

XA = 0.15 m

561.5

786.1

546.3

395.6

XB = 1.20 m

57.9

81.1

109.6

-.-

XD = 4.575 m

57.9

81.1

109.6

-.-

XE = 5.65 m

679.0

950.6

533.9

1081.0

La cortante máxima de diseño en la dirección de la viga de equilibrio está a d del borde de la columna interior. De acuerdo con la tabla anterior esta cortante corresponde a: Vu( diseño)  . * .  .. * . * ( .  . /  )  . kN

 * Vc(  I )   * . * 





. fc' * L E * d   * . *  *  *   . kN   

57

 * Vc(  I )  . kN  Vu( diseño)  . kN  Cumple El mismo cálculo se realiza para el diseño de la cortante a d de la cara de la columna exterior, es decir a (d + C1E/2) del eje de la columna externa: Vu( diseño)  . * .  . * . * ( .  . /  )  . kN





. fc' * L I * d   * . *  *  *   . kN   

 * Vc(  E )   * . * 

 * Vc(  E )  . kN  Vu( diseño)  . kN  Cumple Las cortantes en los tramos de viga embebidos en las zapatas se han revisado con las dimensiones de las zapatas en sentido transversal a la longitud de la viga y no con las dimensiones de la sección transversal de la viga de equilibrio. Esta condición es deseable puesto que al utilizar las dimensiones de la zapata, el chequeo es menos crítico ya que el área resistente a cortante es mayor. En el tramo intermedio se asume que la viga de equilibrio no se apoya en el terreno y se encontró que la cortante última que resiste el concreto tomando la sección neta de la viga es *Vc = 109.6 kN, mayor a la cortante Vu(actuante) = R = 1.4*57.9 =81.1 kN que actúa en el tramo. Se colocan estribos nominales cada 60 cm (separación máxima) c.) Cálculo de flexión en la zapata externa: Solo se calcula en dirección de la longitud L2E, es decir en la longitud transversal a la dirección de la viga de equilibrio, ya que el momento en el sentido longitudinal L2E es absorbido por la viga de equilibrio y solo se coloca acero nominal. Para tal efecto, inicialmente calculamos la presión por m2 para la zapata externa. quE  . * .  . kN / m

por lo que el momento de diseño tanto para el sentido de L2E es: q * L * L E /   C E /   . * . * .  .  M u  E   uE  E   . kN  m





Las cuantías de acero y el número de barras para cada dirección son:

 E   .



As   E * L E * d  .*  *    mm  . cm

 Usar para As  . cm   # @  mm  Lbarra   mm

 2 E   0.0018



As2   2 E * L2 E * d  0.0018* 2200* 425  1683 mm2  16.8 cm 2

 Usar para As2  16.8 cm 2  9#5 @ 210 mm  Lbarra  1300 mm  con gancho al final

58

Para el chequeo a cortante de la zapata externa, ésta se calcula con la sección transversal de altura d y longitud L1E, a la misma distancia d del borde del borde de la columna, tomada a lo largo de L2E: C L  Vuf (  E )  quE * L E *   E   E  d   . * . * .  .  .   . kN    

La cortante admisible en esta dirección es:

 * Vcf (  E )   * . * 



.  



f c' * L E * d  



* . *  *  *    kN  Vuf (  E )  . kN

El espesor de 50 cm de la zapata externa es satisfactorio para resistir momentos y cortantes de flexión. d.) Cálculo de flexión en la zapata interna: Siendo la columna cuadrada se calcula el momento de flexión en una sola dirección y se utiliza el diseño para colocar el mismo acero en ambas direcciones. Se asume que la viga de equilibrio solo se extiende hasta el borde externo de la zapata interna, por lo que el borde exterior de la zapata interna en el sentido longitudinal de la viga es libre de deformarse ya que no tiene la restricción de movimiento que aporta dicha viga. En éste sentido se considera un diseño uniforme para ambas direcciones. Entonces, quI  . * .  . kN / m

por lo que el momento de diseño es: q * LzI * LzI /   Ccol /   . * . * .  .  M uI  uI   . kN  m





La cuantía de acero y el número de barras para cada dirección es:

 z  .



AsZ   z * LzI * d  .*  *    mm  . cm

 Usar para Asz  . cm   # @  mm  Lbarra   mm

Seguidamente se efectúa el chequeo a cortante de la zapata interior en la cara paralela a la dirección de la viga de equilibrio: C L  Vuf  quI * LzI *  zI  col  d   . * . * .  .  .   . kN    

La cortante admisible para cada dirección se calcula como:

59

 * Vcf 

.  





* . *  *  *   . kN  Vuf  . kN

El espesor de 50 cm de la zapata es satisfactorio para resistir momentos y cortantes de flexión. Para establecer un análisis mas conservador de la cortante, especialmente en el sentido paralelo a la viga de equilibrio, se considera que la cortante crítica estaría a d del borde de la viga y no del borde de la columna. De ésta manera: bviga L  Vuf  quI * LzI *  zI   d   . * . * .  .  .   . kN    

Puesto que todavía Vuf es menor que *Vuc, el diseño continúa siendo satisfactorio. La longitud de desarrollo para barras #5, que en general en la denominación utilizada en el diseño individual de las zapatas, es de aproximadamente 70 cm para barras inferiores. Al igual que para la zapata interna, la zapata externa cuenta con una longitud mayor desde los puntos críticos del calculo de momento para desarrollar esta longitud. 6#5- L=2050 mm 3#6+3#7

3#7

3#6

35 cm 50 cm

7.5 mm

7.5 mm 9#5- L=1300 mm con gancho

Asmin = 2#6+1#5 7.5 mm

Figura 10.27. Distribución de aceros en las zapata.

60

10#5- L=2000 mm Cada dirección